E2_ESAP

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Estatística 
Aplicada
 Celso Ramos
E-book 2
Neste E-book:
INTRODUÇÃO ���������������������������������������������� 3
TABELAS ��������������������������������������������������������4
Séries Estatísticas ���������������������������������������������������5
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ���������10
Variável discreta ���������������������������������������������������� 11
Variável contínua ��������������������������������������������������� 12
Construção da tabela de distribuição ������������������ 13
Limites de classe �������������������������������������������������� 14
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ��������20
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL � 23
Média Aritmética ��������������������������������������������������� 23
Mediana ����������������������������������������������������������������� 26
Moda ���������������������������������������������������������������������� 30
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������34
2
E-book 
1
Distribuição de frequência 
e medidas de posição
E-book 
2
INTRODUÇÃO
Na estatística, os valores de variáveis são apresenta-
dos em uma forma sintética com a intenção de dar 
a você uma visão geral do estudo dos fenômenos� 
Para um melhor entendimento serão apresentados 
tabelas, gráficos e sua construção. Além disso, você 
vai entender o que são as medidas de posição que 
visam a determinar a maior concentração de valores 
de uma dada distribuição�
Bons estudos!
3
TABELAS
Você vai entender como os dados coletados sobre 
determinado tema são apresentados por meio de 
tabelas� 
Qual é o conceito de tabelas?
A tabela é um quadro que resume um conjunto de 
observações�
Como é composta uma tabela?
Uma tabela é composta por:
a) Corpo: conjunto de linhas e colunas;
b) Cabeçalho: parte superior que apresenta o con-
teúdo das colunas;
c) Coluna indicadora: parte da tabela que mostra o 
conteúdo das linhas;
d) Linhas: retas imaginárias que ajudam na leitura 
dos dados;
e) Título: conjunto de informações�
Produção de Soja – Brasil: 2001 a 2006
ANOS PRODUÇÃO (1�000 
toneladas)
2001 10
2002 13
2003 24
4
Produção de Soja – Brasil: 2001 a 2006
2004 35
2005 23
2006 12
Tabela 1: Fonte: Própria autoria.
O que representa uma tabela em estatística?
A tabela representa séries estatísticas. Na prática, 
a tabela tem como função apresentar um fenômeno 
estatístico de forma resumida. Na tabela 1 foram re-
presentados os dados sobre a produção de soja no 
Brasil, em certo período de tempo. A representação 
facilita o entendimento dos dados coletados para que 
você possa interpretar e, se for necessário, tomar 
decisões.
Séries Estatísticas
O que é uma série estatística?
Série estatística é toda tabela que apresenta distri-
buição de um conjunto de dados estatísticos� Você 
vai encontrar, em vários locais, as tabelas estatísticas 
como forma de representação de alguma informação�
Quais são os tipos de séries estatísticas?
Basicamente é possível identificar quatro tipos de séries 
estatísticas: cronológica, geográfica, especificativa e 
distribuição de frequência�
5
a) Cronológica: é conhecida por temporal ou histórica, 
pois os elementos podem ser variáveis (época) ou fixos 
(local e fenômeno)� As informações ou dados são pro-
duzidos ao longo do tempo, por exemplo: anos, meses, 
dias, bimestres etc�
Para melhor entendimento, imagine você como diretor 
de vendas de uma empresa de produção de compo-
nentes eletrônicos para celulares; você deseja verificar 
a evolução das vendas ocorridas no semestre, mês a 
mês e seu preço médio�
Você solicita ao departamento específico de análise 
uma tabela que apresente os valores de vendas no 
período desejado� A tabela solicitada é a cronológica, 
pois você vai verificar a evolução das vendas no tempo 
e seus preços médios�
Vendas de celulares no semestre – mês a mês
SEMESTRE PREÇO MÉDIO (R$)
julho 1000
agosto 1200
setembro 1100
outubro 845
novembro 955
dezembro 1400
Tabela 2: Fonte: própria autoria.
a) Geográfica: é conhecida também por espacial ou 
territorial, pois seus elementos podem ser variáveis 
(local) ou fixos (época e fenômeno). As informações 
6
ou dados são produzidos por diferentes regiões ge-
ográficas, por exemplo: continentes (europeu, afri-
cano, asiático etc�) ou localidades (São Paulo, Rio 
de Janeiro etc�)
Exemplo: seguindo como diretor de vendas da em-
presa citada no primeiro exemplo, agora você solicita 
o comportamento das vendas ocorridas em vários 
estados brasileiros e a vida útil em anos� 
A tabela é geográfica, pois você vai verificar as ven-
das por região e sua vida útil�
Série Geográfica
Vendas de celulares – região 
Estados brasileiros Número de anos
Bahia 4
Paraíba 3
Rio de Janeiro 2
São Paulo 2
Santa Catarina 3
Paraná 3
Tabela 3: Fonte: própria autoria.
a) Especificativa: é conhecida também por categó-
rica ou por categoria, pois seus elementos podem 
ser variáveis (fenômeno) ou fixos (época e local). As 
informações ou dados são obtidos nas diferentes 
categorias de uma mesma variável, pois varia o fenô-
7
meno cores (vermelha, verde, preta etc�) e produtos 
(celulares, carregadores etc�)
Exemplo: após solicitar o comportamento das vendas 
ocorridas em vários estados brasileiros e a vida útil 
em anos e uma tabela que apresenta os valores de 
vendas, agora você solicita o comportamento das 
vendas de cada um de seus produtos� A tabela é 
especificada, pois você vai verificar quase produtos 
são mais vendidos�
Série Especificada
Vendas de produtos produzidos
Tipo de produtos Quantidade (1�000)
Celulares 100
Carregadores 34
Fones de ouvido 45
Bateria portátil 18
Caneta touch 5
Capa para celular 80
Tabela 4: Fonte: própria autoria.
a) Distribuição de frequências: é conhecida por se-
riação, pois elementos podem ser fixos e são apre-
sentados por meio de gradações� Os dados ou infor-
mações se referem ao fenômeno que é apresentado 
e são reunidos conforme o grau de magnitude� 
Exemplo: notas 0 a 2, 2 a 4, 4 a 6 etc.; centímetros: 0 a 
15, 15 a 30, 30 a 35.
8
Distribuição de Frequência 
Notas de 50 alunos numa atividade
Notas Número de alunos
0|--- 2 5
2|--- 4 15
4|--- 6 16
6|--- 8 12
 8|--- 10 2
Tabela 5: Fonte: própria autoria.
Por fim, você deve ter observado que uma série es-
tatística possui elementos como o tempo, o espaço 
e a espécie�
Podcast 1 
9
https://famonline.instructure.com/files/108405/download?download_frd=1
DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA
Vamos dar continuidade em tabelas, destacan-
do a mais utilizada para representar dados de um 
fenômeno�
Por que é necessário agrupar os dados coletados?
O estudo de determinados fenômenos requer que 
você faça uma grande coleta de dados numéricos, 
e essas informações devem ser organizadas e con-
densadas em uma tabela com o propósito de facilitar 
a leitura e interpretação�
Como é feita uma tabela de distribuição de 
frequência?
Para que você tenha mais facilidade na construção 
da tabela é necessário seguir alguns passos� 
Imagine que você tenha feito uma coleta de dados 
referente às estaturas de um grupo de colegas de 
trabalho� O resultado obtido é chamado de dados 
brutos e foi o seguinte:
Dados brutos: 150 cm, 156 cm, 175 cm, 158 cm, 165 
cm, 179 cm, 155 cm, 189 cm�
O primeiro passo é ordenar, ou seja, colocar em or-
dem crescente ou decrescente� A organização dos 
dados recebe o nome de Rol e fica da seguinte forma:
10
Rol: 150 cm, 155 cm, 156 cm, 158 cm, 165 cm, 175 
cm, 179 cm, 189 cm�
 Variável discreta
Como se monta uma tabela de variável discreta?
Agrupamos uma sequência. Exemplo: em uma sala 
de aula, 28 alunos fizeram uma prova valendo de 0 
a 5, e foram obtidos os valores seguintes:
Tabela de distribuição de frequência - variável 
discreta
Notas dos alunos (Xi) Frequência (fi)
0 1
1 5
2 8
3 5
4 6
5 3
∑ 28
Tabela 6: Fonte: própria autoria
A tabela apresenta uma forma mais simples de 
entender os valores da distribuição de frequência� 
Dessa forma você pode responder qual a nota obti-
da com maior frequênciapelos alunos� A nota foi 2 
porque a maior frequência foi de 8 alunos�
11
 Variável contínua
Como se constrói uma tabela de distribuição de fre-
quência de uma variável contínua?
Para que você possa fazer a construção é necessário 
seguir algumas etapas�
Exemplo: dada uma sequência de números, construa 
uma tabela de distribuição de classes�
Sequência de números: 
19 20 35 41 18 39 20 36 25
16 15 33 20 28 18 16 39 19
18 20 18 25 15 39 20 37 36
36 36 35 23 35 33 30 16 28
Principais etapas:
Construirmos o ROL (colocar os números em ordem 
crescente):
15 15 16 16 16 16 18 18 18
18 19 19 20 20 20 20 20 23
25 25 28 28 30 33 33 35 35
35 36 36 36 37 39 39 39 41
a) Pegarmos o maior valor do rol e subtrairmos do 
menor valor do rol�
R = 41 – 15 = 26� O número representa o tamanho 
da sequência�
12
b) Determinarmos a quantidade de classes da 
sequência�
As classes são intervalos de variação da variável� 
São representadas por i, sendo i = 1, 2, 3, ���K, onde 
K é o número total de classes da distribuição de 
frequência�
k= 𝑛𝑛
k= 36
#
n = significa a quantidade de elementos do ROL = 36
K = quantidade de classes = 6
c) Determinarmos a amplitude da classe, ou seja, o 
intervalo, através da seguinte fórmula:
h = R/K
Na sequência apresentada acima temos h = 26/6 = 
4,3333� Você deve arredondar para facilitar a medida 
do intervalo; no exemplo será 5.
Construção da tabela de 
distribuição
O menor número da série é o 15, portanto inicia-se a 
construção das classes a partir dele e vai somando 
de cinco em cinco�
13
Tabela de distribuição da série
Classes Frequência (fi)
15|--- 20 12
20|--- 25 6
25|--- 30 4
30|--- 35 3
35|--- 40 10
40|--- 45 1
∑ 36
Tabela 7: Fonte: própria autoria.
Limites de classe
São os extremos de cada classe apresentada. O me-
nor número chamamos de limite inferior da classe 
(li) e o maior número chamamos de limite superior 
da classe (Li)�
Na tabela apresentada temos:
15|----- 20
O número 15 se refere ao limite inferior da classe e 
o número 20, ao limite superior da classe� 
FIQUE ATENTO
Existe outra forma para determinação do número 
de classes de uma distribuição de frequência: uti-
14
lizamos a regra de Sturges� Fórmula de Sturges: 
K = 1 + 3,3, log N, onde N é o número de observa-
ções e K é o número de classes�
Até agora você observou que existem vários tipos 
de tabelas e que a distribuição de frequência possui 
suas particularidades, pois sua montagem requer 
saber a quantidade de classes que serão utilizadas 
para representar um fenômeno� Você pode utilizar 
a fórmula de Sturges e também o bom senso na 
construção de sua tabela�
Observe no exemplo abaixo como utilizar o bom 
senso�
Distribuição de frequência por classes
Estatura de colegas do trabalho
Estatura em cm Número de colegas (fi)
150 |--- 160 4
160 |--- 170 1
170 |--- 180 1
180 |--- 190 1
Tabela 8: Fonte: própria autoria.
Para construir a tabela você poderá utilizar a fórmula 
de Sturges: K = 1 + 3,3 log N, no caso K = 1 +3,3 log 7 
= 1 + 3,3 (1,945910149) = 1 + (6,421503492) = 7,42�
Pela fórmula o valor é de 7,42 classes� Observe que 
utilizei apenas 5 classes, porque existem somente 
7 pessoas no grupo consultado� Foi necessário fa-
15
zer um ajuste por meio do bom senso� Na prática, 
quando você fizer uma distribuição de frequência, 
tenha cuidado e utilize a quantidade de classes com 
bom senso�
Dando sequência sobre construção de tabelas de 
frequência, você vai perceber que há vários tipos 
de frequências, sendo quatro em uma tabela de 
distribuição� 
Quais são esses tipos de frequências?
a) frequência simples ou absoluta (fi): ela representa 
os valores do número de dados de cada classe� O 
total dos números de dados é representado por: ∑ 
fi = n.
b) frequência relativa (fri): representa os valores das 
razões entre as frequências simples e a frequência 
total: fri = fi /∑ fi. 
c) frequência acumulada (Faci): representa o total das 
frequências de todos os valores inferiores ao limite 
superior do intervalo de uma dada classe�
Fi = f1 + f2 + f3 +���fk
d) frequência acumulada relativa ( Faci): representa a 
frequência acumulada de uma classe, dividida pela 
frequência total da distribuição�
Fri = Fi/∑ fi 
Para que você possa entender melhor, observe o 
exemplo na tabela de distribuição de frequência. 
16
Exemplo: a tabela de distribuição de frequência repre-
senta a idade de 30 pessoas num grupo de estudos 
na faculdade�
Xi fi
23 7
24 13
25 8
26 2
∑ 30
Tabela 9: Fonte: própria autoria.
A partir da tabela apresentada vamos fazer a frequ-
ência relativa (fri)� Você tem de abrir mais uma coluna 
para facilitar o entendimento�
Cálculo da frequência relativa:
Xi fi fri (%)
23 7 23,33
24 13 43,33
25 8 26,67
26 2 6,67
∑ 30 100
Tabela 10: Fonte: Própria autoria.
Fórmula:
fri = fi /∑ fi 
17
fri = 7 /30 � 100 = 23,33%
fri = 13 /30 � 100 = 43,33%
fri = 8 /30 � 100 = 26,67%
fri = 2 /30 . 100 = 6,67%
A partir da tabela apresentada, agora vamos fazer a 
frequência acumulada (fac)� Você tem de abrir mais 
uma coluna para facilitar o entendimento�
Cálculo da frequência acumulada:
Xi fi Fac
23 7 7
24 13 20
25 8 28
26 2 30
∑ 30
Tabela 11: Fonte: Própria autoria.
Fac1 = 7
Fac2 = 7 + 13 = 20
Fac3 = 20 + 8 = 28
Fac4 = 28 + 2 = 30
A partir da tabela apresentada, agora vamos fazer 
a frequência acumulada relativa (faci)� Você tem de 
abrir mais uma coluna para facilitar o entendimento�
Cálculo da frequência acumulada:
18
Xi fi Fac Faci(%)
23 7 7 23,33
24 13 20 66,67
25 8 28 93,33
26 2 30 100
∑ 30
Tabela 12: Fonte: Própria autoria.
Fac1 = 7/30 � 100 = 23,33 %
Fac2 = 20/30 � 100 = 66,67%
Fac3 = 28/30 � 100 = 93,33%
Fac4 = 30/30 � 100 = 100%
Você observou como pode ser apresentada a tabela 
de distribuição de frequência e os tipos de frequên-
cias mais utilizados�
19
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
DA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA
As tabelas de distribuição de frequência podem ser 
representadas por meio de gráficos. Os gráficos mais 
utilizados são histograma ou polígono de frequência�
Você percebeu como é importante representar fenô-
menos estudados utilizando tabelas� Agora você vai 
analisar os gráficos de tabelas e como eles facilitam 
a leitura dos dados coletados�
Como pode ser construído o histograma?
O histograma é gráfico composto por retângulos jus-
tapostos. A base fica no eixo horizontal. 
Exemplo: representar graficamente a distribuição 
de frequência sobre a estatura (em centímetro) de 
40 pessoas�
i Altura em cm fi
1 150 |- 154 4
2 154 |- 158 9
3 158 |- 162 11
4 162 |- 166 8
5 166 |- 170 5
6 170 |- 174 3
Total 40
Tabela 13: Fonte: Própria autoria.
20
0
2
4
6
8
10
12
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
s 
fi
Histograma
Figura 1: Fonte: Própria autoria.
Observe no gráfico que a classe com maior frequên-
cia é a 158 |--- 162, com 11 pessoas, pois o gráfico 
de retângulos destaca o maior de todos.
O próximo gráfico a ser construído é o polígono de 
frequência� Será aproveitada a tabela de distribuição 
de frequência, acrescentando a coluna do ponto mé-
dio da distribuição� 
O polígono de frequência é um gráfico de linha.
i Altura em cm xi fi
1 150 |- 154 152 4
2 154 |- 158 156 9
3 158 |- 162 160 11
4 162 |- 166 164 8
5 166 |- 170 168 5
6 170 |- 174 172 3
Total 40
Tabela 14: Fonte: Própria autoria.
21
0
148 152 156 160 164 168 172 176
2
4
6
8
10
12
Altura em cm (pontos médios -cm)
Figura 2: Fonte: Própria autoria.
Observe que na representação gráfica marcamos os 
pontos médios, além da união desses pontos�
REFLITA
Imagine a seguinte situação: na sala de treina-
mento de uma empresa, há um cartaz que apre-
senta os seguintes dados de 2011: eram 73 co-
laboradores treinados; em 2012, 77; em 2013, 
94; em 2014, 81� A empresa está apresentando 
os dados de uma forma que não fica tão percep-
tível, pois o objetivo era apresentar a evolução 
histórica dos colaboradores que participavam do 
treinamento. Existe uma maneira mais clara de 
apresentar esses dados: ográfico. O gráfico pode 
ser o histograma (colunas), pois é usado para fa-
cilitar a leitura dos dados, porque apresenta as 
informações de maneira mais visual�
22
MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL
Você analisou que na distribuição de frequência 
podem ser classificados vários fenômenos. Para 
facilitar, existem medidas que contribuem para o 
entendimento dos fenômenos estudados� Essas me-
didas apresentam um resumo de certas caracterís-
ticas consideradas importantes da distribuição de 
frequências, pois facilitam a análise da estatística�
Qual o significado de medidas de tendência central?
Significa que os dados observados tendem, em geral, 
a se agrupar em torno dos valores centrais�
Agora você vai conhecer quais são as medidas de 
tendências centrais mais utilizadas, tais como, média 
aritmética, mediana e moda�
Média Aritmética
O que é média aritmética?
A média aritmética é o quociente da divisão da soma 
dos valores da variável pelo número deles. E repre-
sentado pelo seguinte símbolo: x
23
n
x
x
n
1i
iå
==
Onde temos:
x = a média aritmética;
ix = os valores da variável;
n = o número de valores.
É a medida de tendência central mais usada para 
descrever resumidamente uma distribuição de fre-
quências� É o valor único que representa todos os 
demais valores de uma série� 
Você vai conhecer dois tipos de médias mais utili-
zadas: a média aritmética simples e a ponderada�
a) Média aritmética simples: para dados não agru-
pados em classes� Exemplo: dada a sequência de 
dados 2, 5, 7, 6 determinar a média
∑ Xi = 2+5+7+6/4 = 5. 
Você pode observar que há a soma dos números e 
a divisão pela quantidade�
b) Média aritmética ponderada: para dados não 
agrupados em classes�
24
Exemplo: a tabela de distribuição de frequência repre-
senta a idade de 30 pessoas num grupo de estudos 
na faculdade�
Xi fi Xi.fi
23 7 161
24 13 312
25 8 200
26 2 52
∑ 30 725
Tabela 15: Fonte: Própria autoria.
Para determinar o valor da média ponderada basta 
multiplicar Xi por fi e dividir pelo total da frequência fi�
�̅�𝑥 =
∑ 𝑓𝑓&	 ( 𝑋𝑋&
	
*
&+,
∑ 𝑓𝑓&	*&+,
17,24
30
725
==x
SAIBA MAIS
Leia o artigo “Uso do jogo digital educativo na 
aprendizagem da média aritmética”� O artigo faz 
uma análise e reflexões sobre um experimento 
prático no ensino de matemática� O objetivo é 
tratar as medidas de posição nos cursos técni-
25
cos em administração de empresas� O diferencial 
é utilizar os jogos digitais para ensinar a média 
aritmética� 
Link: http://www.ufjf.br/ebrapem2015/files/2015/10/
gd6_patricia_boletini.pdf� Acesso em: 27 mai� 2019�
Mediana
O que é mediana?
Mediana é uma medida de posição central. É definida 
como sendo o número que se encontra no centro de 
uma série de números, estando em uma determinada 
ordem�
Como você pode utilizar a mediana?
Ela pode ser utilizada para obter o ponto que divide 
a distribuição de frequência em partes iguais�
Para calcular a mediana é preciso observar se o nú-
mero de elementos da série é par ou ímpar, e fazer 
o rol�
Se o número de elementos for ímpar, o valor da me-
diana é determinado pela seguinte fórmula:
n + 1/2�
O valor de n é o número de elementos do Rol�
Se o número de elementos for par, o valor da mediana 
é determinado pela seguinte fórmula:
n/2 e n + 1/2�
26
http://www.ufjf.br/ebrapem2015/files/2015/10/gd6_patricia_boletini.pdf
http://www.ufjf.br/ebrapem2015/files/2015/10/gd6_patricia_boletini.pdf
Você tem que determinar os números que estão nas 
duas posições�
Cálculo da mediana para dados não agrupados
Exemplo: dada a série 5, 12, 4, 8, 9, 7.
Determinar o Rol: 4, 5, 7, 8, 9, 12�
Verificar se o Rol é par ou ímpar. O Rol é par, portanto 
para determinar a mediana deverá fazer n/2 e n + 
1/2: 6/2 = 3 e 6 + 1/2 = 3,5�
Você determinou a posição, pois a mediana está 
entre a 3o e a 3,5o posição� Para calcular a média 
dos números: 
No caso temos Md = 7 + 8/2 = 7,5�
A média da série é 7,5.
Cálculo da mediana para dados agrupados
a) Dados agrupados sem intervalos de classe�
Tabela de distribuição de quantidade de canetas-
-tinteiro em um grupo de 28 pessoas�
Número de 
canetas (xi)
fi Fac
0 3 3
1 6 9
2 15 24
3 4 28
Total 28
Tabela 16: Fonte: Própria autoria.
27
n/2 = 28/2 = 14�
A menor frequência acumulada que supera o valor 
é 14, que corresponde ao valor 2 da variável� 
Md = 2�
Dados agrupados com intervalo de classe�
Aqui é necessário que você faça alguns passos e 
depois utilize a fórmula adequada�
Inicialmente você deve determinar as frequências 
acumuladas�
Depois calcula-se 2
fiå
 
�
Determine a classe correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superior à 
(classe mediana) e, por fim, você vai utilizar a 
fórmula:
( )
i
i
i f
hantF
2
f
Md
×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
+=
å
!
Temos:
! Limite inferior da classe mediana�
F(ant�) é a frequência acumulada da classe ante-
rior a classe mediana�
h é a amplitude do intervalo da classe mediana.
fi é a frequência do intervalo da classe mediana�
2
fiå
28
Exemplo: a tabela apresenta a altura em centíme-
tros dos alunos de uma classe do ensino médio� 
Determine a mediana desses alunos:
i Altura em cm fi Fi
1 150 |- 154 4 4
2 154 |- 158 9 13
3 158 |- 162 11 24
4 162 |- 166 8 32
5 166 |- 170 5 37
6 170 |- 174 3 40
Total 40
Tabela 17: Fonte: Própria autoria.
20
2
40
2
fi ==å
, logo classe mediana é i = 3� 
Classe mediana = 158|--- 162�
! = 158� 
F(ant) = 13�
h = 4� 
f3 = 11�
[ ] 5,1605,2158
11
41320158Md =+=×-+=
29
A mediana das alturas dos alunos dessa classe é 
de 160,5 cm� Você pode entender que numa turma 
onde a altura mínima é de 150 cm e a máxima é 
de 174 cm a medida que está na posição central 
dessa série, ou seja, a altura do aluno no centro é 
de 160,5 cm�
Podcast 2 
Moda
O que significa moda?
Você vai conhecer uma medida de tendência central 
que está no senso comum das pessoas: a moda�
Moda é o valor que ocorre com maior frequência 
numa sequência ou série de valores� Ela pode ser 
calculada para dados não agrupados e agrupados�
Para dados não agrupados: uma série de valores 4, 
5, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10,12; o valor que se repete com 
maior frequência é o número 10�
Mo = 10�
Pode ocorrer também uma série com mais de uma 
moda. Exemplo: uma série de valores 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 
9, 10, 10, 10, 11, 12; os valores que se repetem com 
maior frequência são os números 7 e 10� A série é 
conhecida por bimodal�
Mo= 7 e Mo = 10�
30
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Existe também moda de variáveis sem intervalo de 
classes. Como exemplo, temos: dada a seguinte va-
riável sem intervalo de classes, determine a moda de 
quantos livros um grupo de 20 pessoas lê por ano�
Leitura de livros
Número de livros por 
ano ( Xi)
fi (pessoas)
1 5
2 10
3 3
4 2
Total 20
Tabela 18: Fonte: própria autoria.
No exemplo apresentado é possível verificar que a 
moda são dois livros por ano, porque a frequência 
de pessoas que leem é 10, a maior�
Mo = 2�
31
Agora para dados agrupados em classes: Exemplo: 
dada a seguinte distribuição de frequência de quan-
tos livros um grupo de 55 pessoas lê por ano�
Leitura de livros
Número de livros por 
ano 
Xi (ponto médio) fi (pessoas)
0|---- 2 1 12
2|---- 4 3 28
4|---- 6 5 9
6|---- 8 7 6
Total 55
Tabela 19: Fonte: Própria autoria.
Inicialmente, você tem que determinar a classe mo-
dal da série. Você terá que verificar na coluna (fi) 
pessoas o número que houver maior frequência: 28� 
Assim você consegue identificar que a classe modal 
é de 2|--- 4�
Com a informação obtida sobre a classe modal pode 
ser calculado o valor exato da moda por meio de 
uma fórmula�
Fórmula de Czuber:
D1
Mo = LMo + -------------- x h
D1 + D2
Sendo 
LMo: limite inferior da classe�
32
h: intervalo da classe modal�
D1: frequência simples da classe modal - frequência 
simples anterior à da classe modal�
D2: frequência simples da classe modal - frequência 
simples posterior à da classe modal.A moda de leitura ficou em torno de três livros por ano.
16
Mo =		2		+		------------- x 2		=	2,91
16		+		19
LMo = 2 
H = 2 
D1 = 28 - 12 = 16 
D2 = 28 - 9 = 19 
Até o momento, você percebeu como é importante a 
representação dos fenômenos por meio de tabelas e 
gráficos, pois auxiliam na determinação de medidas 
de tendência central para que você possa fazer análise 
sobre o que foi estudado�
33
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Você estudou neste módulo o que é a distribuição de 
frequência e sua importância na interpretação dos 
fenômenos estatísticos� Foi possível entender o que 
significa a tabela e como ela é construída, pois é um 
quadro que resume um conjunto de observações� 
Além disso, foram colocados os gráficos mais usuais, 
como histograma e polígono de frequência como 
formas de apresentação dos dados com o objetivo 
de produzir uma visão mais rápida do fenômeno a 
ser estudado�
Completando o conteúdo abordado, as medidas de 
tendência central, tais como média aritmética, me-
diana e moda, que tiveram destaque, pois são valo-
res que trazem consigo informações contidas nos 
dados estatísticos� Na prática, elas são medidas que 
passam o comportamento geral das observações 
que foram estudadas� Na sequência você terá mais 
conhecimentos que irão completar seus estudos 
sobre a estatística�
34
SínteSe
O que é medida de tendência central 
e quais as conhecidas (média 
aritmética, mediana, moda);
Os conteúdos apresentados 
proporcionaram um entendimento 
que permite trabalhar com a 
representação dos dados e sua 
análise.
A representação gráfica de uma 
distribuição de frequência;
Tabela da variável discreta e 
contínua;
Como os dados podem ser 
apresentados (tabelas e gráficos);
Como é construída uma tabela de 
distribuição de frequência;
O que vem ser a distribuição de 
frequência e a necessidade de 
agrupar dados;
Os tipos de series estatísticas 
existentes, tais como: cronológica, 
geográfica, especificativa;
As séries estatísticas e sua 
representação;
Agora você compreendeu o 
significado de tabela, e como é sua 
construção para que possa entender 
os dados coletados. Em destaque 
você verificou os gráficos mais 
usuais da distribuição de frequência, 
tais como histograma e polígono de 
frequência, e seu objetivo na 
interpretação das informações 
coletadas, pois isso possibilitou uma 
visão rápida do fenômeno que foi 
estudado. Além disso, foram 
abordadas as medidas de tendência 
central que, em geral, são medidas 
que representam uma série de 
dados quanto à sua posição na 
distribuição de frequência.
O conteúdo está dividido em:
O conceito de tabela e seu 
comportamento;
Distribuição de Frequência 
e Modedias de posição
Referências
CASTANHEIRA, Helson Pereira� Estatística Aplicada 
a todos níveis� Curitiba: Intersaberes, 2012� Acesso 
em: 26 mai� 2019�
CRESPO, Antônio Arnot� Estatística fácil. São Paulo: 
Saraiva, 2012�
LARSON, Ron� Estatística Aplicada. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2015� Acesso em: 26 
mai� 2019�
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	Distribuição de Frequência
	 Variável discreta
	 Variável contínua
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	Limites de classe
	Representação gráfica da Distribuição de Frequência
	Medidas de Tendência Central
	Média Aritmética
	Mediana
	Moda
	Considerações finais
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