Matematica - Modulo2

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
MATEMÁTICA - Módulo 1 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS  
 
1. A NOÇÃO DE CONJUNTO 
 
Um conjunto é, por exemplo, uma coleção de qualquer de objetos, ou                       
de itens ou de pessoas. Assim, o grupo de alunos que assistem às aulas                           
numa sala de aula é um conjunto. Lembramos que, tanto o conjunto                       
como os elementos que o formam não têm uma definição e, por isso,                         
são denominados conceitos primitivos, intuitivamente, sabemos que             
conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, pessoas, números,                     
etc. 
 
1.1 Exemplificando:  
 
● O conjunto dos números primos: B = {2,3,5,7,11,13, ...} 
● Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado                   
conjunto A, quando for, dizemos que: 
 
 ​a pertence a A e escrevemos .a∈ A  
 
● Caso contrário, dizemos que: 
 
 a não pertence a A e escrevemos ∈ .a / A  
 
 
2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Representamos conjunto por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.                 
Seus integrantes, que chamaremos de elementos, são colocados entre                 
chaves separados por vírgula. Assim, por exemplo, podemos dizer que a                     
sucessão de número 0,1,2,3,4... forma um conjunto denominado conjunto                 
dos números naturais, que representamos por N = {0,1,2,3,4,5,...}. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
2.1 FORMAS UTILIZADAS PARA REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Existem diversas maneiras para se representar um conjunto, entre as                   
quais três são as mais utilizadas: 
 
Diagramas: ​Podemos representar um conjunto por meio de uma figura                   
chamada diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês, 1834-1923). No                   
interior do diagrama, são destacados seus elementos, da seguinte                 
maneira: 
 
a) U = N  b) U = Z   
 
 
Letra Maiúscula: ​Um conjunto também pode ser representado por uma                   
letra maiúscula, nomeando seus elementos entre chaves, como por                 
exemplo, o conjunto de números pares: 
 
A = {2, 4, 6, 8…}  
 
Propriedade característica: É possível também representar um conjunto               
sem necessariamente descrever seus elementos. Para isso, basta               
representar o conjunto por meio de uma propriedade característica                 
que seus elementos possuem. Quando é dada uma propriedade                 
característica dos elementos de um conjunto, dizemos que ele está                   
representado por compreensão, por exemplo: 
 
A = {x|x é um número par menor que 9} 
 
Observação: ​O símbolo “|” significa “tal que”  
 
 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
3. ELEMENTO DE CONJUNTOS 
 
Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. Por                   
exemplo, no conjunto dos números pares menores que 9, os elementos                     
são 0,2,4,6,8. Costuma-se representar um conjunto nomeando os               
elementos um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por                   
vírgulas. Para nomear um conjunto usamos geralmente uma letra                 
maiúscula, como por exemplo: 
 
A = {0, 2, 4, 6, 8} 
4. CONJUNTO VAZIO 
 
O conjunto vazio, cujo notação é não possui elementos. Uma            ou {},⊘          
propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o                 
conjunto vazio. Por exemplo, números naturais ímpares menores do que                   
1}: 
 
{x|x é um número natural ímpar menor do que 1} = ø​, pois não há                             
número natural ímpar menor do que 1. 
 
5. CONJUNTO UNIVERSO 
 
Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado                 
tema de Matemática, devemos retirar os elementos de que                 
necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o                     
nome de ​Conjunto Universo e é representado pela letra ​U​​. Sendo assim,                       
todos elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U.  
 
É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por                   
exemplo, se U é o conjunto dos números naturais, então a equação                       
x+5=2 não tem solução, porém, se U é o conjunto dos números inteiros,                         
então a equação x+5=2 tem solução x = -3. 
 
5.1 Exemplificando: 
 
a) No conjunto A = , X só pode assumir valores        | x² xX ∈ N − 3 + 2 = 0            
que pertencem ao conjunto N, conjunto dos números naturais,                 
portanto, U = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
b) Em B = , x só pode assumir valores que      | x² xX ∈ Z + 5 + 6 = 0              
pertencem ao conjunto Z, conjunto de números inteiros, portanto,                 
U = Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. 
 
6. CONJUNTO UNITÁRIO 
 
O conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.                   
Considere, por exemplo, o conjunto P = {x|x é um número primo, par e                           
positivo}. O único número primo par é o 2, logo, P é um conjunto                           
unitário e podemos escrever P = {2}. 
 
PRATICANDO 
 
1. Classifique em conjunto vazio ou conjunto unitário: 
  
a. A = {x|x é natural maior do que 10 e menor do que 11}. 
b. B = {x|x é par maior do que 3 e menor do que 5}. 
c. C = {x|x é número primo maior do que 7 e menor do que 11}. 
 
7. SUBCONJUNTOS. 
 
Assim como um elemento pode ser relacionado a um conjunto, usando                     
as palavras “pertence” ou “não pertence”, podem-se relacionar também                 
dois conjuntos entre si usando “está contido” ou “não está contido”.   
 
7.1 Exemplificando: 
 
Considere os conjuntos B e S, também representados por diagrama: 
 
 
S = {2,4,6,8,10} 
B = {1,3,5,7, 9} 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
Note que qualquer elemento de S também pertence a B. Neste caso,                       
dizemos que S está contido em B ou S é subconjunto de B. Indica-se                           
lê-se “S está contido em B”.,S ⊂ B   
 
Observação: ​ Este símbolo significa ​está contido ​​." ⊂ "   
 
Podemos dizer também que B contém S. Indica-se lê-se “B contém                ,B ⊃ S      
A”. 
 
Observação: ​ Esté símbolo significa ​contém." ⊃ "  
 
Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos                           
que A não está contido em B, ou que B não contém A, por exemplo:  
 
A = (1,2,3,4,5) e B = {1,2,6} 
 
Note que o elemento 4 pertence a A mas não pertence a B. Escrevemos:  
 
Lê-se “A não está contido em B”. ⊄ BA :  
 
Lê-se “B não contém A”. ⊅ AB :  
 
Observação: 
 
● O símbolo significa não está contido e significa não contém.⊄ ⊅  
 
● Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando                   
qualquer elemento de A também pertence a B. 
● Se e , então A = B.A⊂ B B ⊂ A  
● Os símbolos e são utilizados para relacionar conjuntos., ,⊂ ⊃ ⊄ ⊅  
● Para todo conjunto A, tem-se .A⊂ A  
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
● Para todo conjunto A, tem-se , onde ø representa o conjunto          ø ⊂ A            
vazio.  
 
PRATICANDO  
 
1. Dados os conjuntos A = {1,2}, B = {1,2,3,4,5}, C = {3,4,5} e D =                             
{0,1,2,3,4,5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a. A ⊂ B e.​​ C ⊄ A i.​​ ø ⊂ A 
b. C ⊂ A f​​. A ⊂ D j. ​​D ⊃ A   
c. B ⊂ D g.​​ B ⊂ C  k. ​​ ø ⊂ B 
d. D ⊂ B h.​​ B ⊂ B l. ​​ C ⊃ D 
 
2. Escreva os símbolos: 
 
a. Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da região                 
Sudeste. 
 
b. Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região                 
Sudeste. 
 
c. 17 não pertence ao conjunto dos números primos. 
 
d. 15 não pertence ao conjunto dos números primos. 
 
e. Pentágono não pertence ao conjuntodos quadriláteros. 
 
f. Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros. 
 
 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
 
8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
8.1 União: 
 
Dados os conjuntos A = {0, 10, 20, 30, 50} e B = {0, 30, 40, 50, 60}, podemos                                     
escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou                       
pertencem a B ou ambos. Assim, C = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C                                   
é chamado união de A e B e é indicado por A U B. De modo geral, dados                                   
dois conjuntos A e B, a união A U B é o conjunto formado pelos                             
elementos de A mais os elementos de B. 
 
x|x ou x A ⋃ B = { ∈ A ∈ B  
8.1.1 Exemplificando: 
 
Se A={1, 2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 5}, então A U B=(0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
 
8.2 Intersecção: 
 
Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b}, podemos escrever o                                       
conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente               
a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim C = {a, e, u}. O                                       
conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A ∩ B. 
 
x|x e x A ⋂ B = { ∈ A ∈ B  
 
No diagrama abaixo, a intersecção A ∩ B está representada: 
 
 
8.2.1 Exemplificando: 
 
Se A = {1,2,3,4} e B = {2,3,8}, então A ∩ B = {2, 3}. 
 
8.3 Diferença 
 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever                                       
o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não                         
pertencem a B. Assim, C = {0, 3, 6, 8}. O conjunto C é chamado diferença                               
entre A e B e é indicado por A - B. 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
 
 B{x|x e x∈ } A − ∈ A / B  
 
Observe que, se B ​⊂ A, a diferença A - B é igual ao ​C ​A​B. Por exemplo,                                  
se A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {4, 8}, então A - B = {0, 2, 6} = C ​A​B. 
 
8.3.1 Exemplificando: 
 
Se A={1,3,5,7} e B={1,3}, então A - B = {5,7} e B - A = ⊘  
 
8.4 Complementar 
 
Dado o universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, dizemos                         
que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o                             
conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. De                       
modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se                       
complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos                     
elementos de U que não pertencem a A, indica-se ​C​u​A.  
 
= {x|x ∈ U e x ∉ A} Ac   
8.4.1 Exemplificando: 
 
Se A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}, então ​C ​B​A = B - A = {4,5}  
 
 
PRATICANDO 
 
1. Dado os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f, g} e B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, 
m, n}, determine: 
 
a. A - B  
b. A - C 
c. B - C 
d. B - A 
 
2. Dado os conjuntos A = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3, 
6, 9, 10}, determine: 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
a. A U B 
b. A ∩ B 
c. A U C 
d. A ∩ C 
e. B ∩ C 
f. (A ∩ B) U C 
g. (A ∩ C) U B 
h. (A ∩ B) ∩ C 
i. (A U B) ∩ C 
j. (A U C) ∩ B 
k. A U (B ∩ C) 
l. A ∩ (B ∩ C) 
 
9. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
9.1 Conjunto dos números naturais (N): 
 
 
 
9.2 Conjunto dos números inteiros (Z):  
 
 
 
9.2.1 Representação geométrica de Z:  
 
 
Consideremos alguns subconjuntos de Z: 
 
● Conjunto dos números inteiros não-negativos: Z+ = {0,1,2, …} 
● Conjunto dos números inteiros negativos: Z- = {..., -2,-1, 0} 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
9.3 Conjunto dos números racionais (Q):  
 
O conjunto de números racionais (Q) é formado por todos os números                       
que podem ser escritos na forma de fração, com denominador                   
não-nulo. Como entre dois números racionais quaisquer existem               
infinitos números racionais, não é possível nomear todos os elementos                   
de Q. Assim, representamos esse conjunto por meio de uma                   
característica comum a todos os elementos: 
 
 {x|x , p e q }Q = = q
p ∈ Z ∈ Z *  
 
  
Vejamos alguns subconjuntos de Q: 
 
● Conjunto dos números racionais não-negativos: 
 
{x|x e x Q + = ∈ Q ≥ 0  
 
 
● Conjunto dos números racionais negativos:  
 
{x|x e x Q − = ∈ Q ≤ 0  
 
9.4 Conjunto dos números reais (I):  
 
Existem números que na forma decimais não são periódicos, nem têm                     
um número finito de casas, como e muitos outros. Esses            , π √2 √3        
números são chamados irracionais.  
 
A união dos números racionais com os irracionais forma o conjunto dos 
números reais (R). 
 Q R = ⋃ I   
 
Observe que, ao representar R, também estamos representando os                 
números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais: 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
  
 N ⊂ Z ⊂ Q⊂ R  
 
Observação: Para eliminar o zero de um conjunto, colocamos um                   
asterisco (*). Vejamos um exemplo: N*={1,2,3,...}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 1 
REVISADO POR 
 
 
REFERÊNCIA 
 
Todo embasamento teórico desta apostila foi retirada do livro:   
 
DANTE, Luiz Roberto, ​Matemática, Contexto e Aplicações ​​, 3​ª Edição,                 
São Paulo, Editora Ática S.A., 2011.