LabFisica B Relatorio PARADOXO E CINEMATICA DO CONE DUPLO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
GFI128 - Laboratório de Física B
PARADOXO E CINEMÁTICA DO CONE DUPLO
Diogo Rossetti
Guilherme Oliveira
Pedro Marçal
Turma: 30H
Lavras - MG
Data de entrega: 24/02/2022
Objetivo
Neste relatório vamos experimentar e analisar o tempo de
deslocamento de um cone duplo a respeito de seus ângulos e explicar o
aparente paradoxo em um plano inclinado dividido em dois segmentos.
Resumo
Obtemos informações para concluir que como a cinemática do cone
duplo de papel em relação a pequenas inclinações do plano em que seu
movimento ocorreu e discutimos sobre o erro da velocidade angular, esse
movimento também nos deu uma noção ao fenômeno do cone duplo subir o
plano inclinado o que ocorreu como uma maneira do corpo achar um novo
ponto de equilíbrio, ou seja, mesmo que o objeto em si aparente subir o
plano, a distância do centro de massa dele ao ponto de contato diminuiu.
Introdução teórica
Para começar a falar do nosso sistema precisamos de coordenadas,
utilizaremos as coordenadas cartesianas com três dimensões x, y e z,
também vamos manter uma informação sobre a inclinação do plano θ e do
quão estão afastados os dois segmentos dele β.
Figura 1: O esquema do cone duplo, R é o raio do centro de massa, � é a largura de
um cone, α é o ângulo interno do cone, A e B são os pontos de contato do cone duplo no
plano inclinado e as funções y’ e z’ monitoram o ponto de contato em relação ao centro de
massa e ao solo respectivamente (x é a variável que “sai do papel” e não aparece nessa
visualização YZ).
Vamos analisar o plano YZ, é possível ver que entre z e y existe uma
linha inclinada a um ângulo fixo α, matematicamente isso significa que uma
pequena variação em z causa uma pequena variação em y multiplicado pela
tangente do ângulo da linha.
(1)
Podemos fazer a mesma análise com os outros dois planos XZ e XY,
onde se encontram essa dependência a um ângulo fixo. Abaixo está o plano
XZ com o ângulo do plano inclinado θ.
Figura 2: O plano XZ do nosso sistema, ele mostra a vista frontal do plano inclinado.
(2)
E também abaixo, o plano XY com um ângulo até a coordenada x igual
a φ. Note que fizemos antes a distinção entre as coordenadas e as funções
colocando uma linha acima da variável, no caso isso funciona para a
coordenada z que fala a respeito da altura do cone duplo enquanto z’ fala da
altura do plano inclinado. Essa distinção não necessariamente ocorre para a
variável y já que em ambos casos ela indica o mesmo resultado, então
podemos daqui adiante usar y = y’.
Figura 3: O plano XY nos mostra uma vista de cima sobre o plano inclinado.
(3)
Toda essa análise foi feita com um propósito, combinando a equação 3
com a equação 1, obtemos a seguinte expressão para o diferencial dz.
(4)
Compare a diferença de dz e dz’, ela quantifica o quanto o cone duplo
se deslocou infinitesimalmente, como o aparente paradoxo é feito com o cone
duplo subindo o plano inclinado temos a condição onde a diferença de dz e
dz’ deve ser maior que zero.
(5)
Agora o paradoxo em si pode ser explicado bem facilmente usando um
argumento de energia, como foi explicado no papel “The double cone: a
mechanical paradox or a geometrical constraint ?”, o centro de massa do
corpo pode explicar esse movimento natural do cone ao subir o plano
inclinado.
O caso é, ele não sobe o plano inclinado, só aparenta subir quando
observamos o objeto como um todo, mas o que está realmente acontecendo
é que o centro de massa do cone duplo fica mais perto do solo quando ele
passa pelos 2 segmentos que divergem. Então pela lei de conservação de
energia, sabendo que no final tem só energia cinética de rotação.
O cone duplo com respeito ao centro de massa tem um momento de
inércia igual a 3/5 da massa vezes raio ao quadrado, isso porque o momento
de inércia de um cone em referência a sua ponta é 3/10 então o cone duplo
por simetria é duas vezes esse valor. Com isso isolando para a velocidade
angular temos:
Para sabermos como o ângulo do plano inclinado altera o tempo de
deslocamento fazemos a seguinte análise da função z’.
Figura 5: Um esquema sobre o movimento do duplo cone ao longo do plano
inclinado, a função z’ registra a altura do plano inclinado após o deslocamento x, note que
ao se deslocar o raio no ponto de contato vai diminuindo pela divergência do segmentos
que separam o plano inclinado.
Digamos que o cone duplo se movimente com uma velocidade de
translação igual a da figura acima, já que na direção da coordenada x não
tem nenhuma aceleração, a velocidade nessa direção é o seno da velocidade
ao “subir” o plano e ela é constante, sabendo também que a função z’
depende do deslocamento x podemos juntar os dois fatos combinado com a
trigonometria da figura 5 com o raio r e o restante (R - r).
mas,
então:
Quando o plano ficar em equilíbrio temos duas condições, o tempo será
igual ao tempo deslocado, r deve ser igual a 0 e a velocidade assumindo uma
relação sem deslizamento será igual a velocidade angular vezes o raio do
cone duplo.
Materiais utilizados e procedimento experimental
Foi usado para esse experimento o esquema do cone duplo e do plano
inclinado do “paperPino” (está na bibliografia), ou seja, ambos o cone e o
plano foram recortados de um papel A4 e montados para o procedimento.
Como é previsto, o cone duplo será colocado no ponto mais baixo do
plano inclinado e ele naturalmente vai subir para diminuir sua energia
potencial gravitacional do centro de massa.
Foram gravadas todas as tentativas para obter a duração do
deslocamento, também todas as medidas diretas sobre o cone e o plano
inclinado, os diferentes ângulos foram obtidos através da adição de papéis ao
plano já construído.
(a) (b)
Figura 4: (a) o cone duplo na parte inferior do plano inclinado sendo colocado no
movimento. (b) o cone duplo em movimento aparentemente subindo o plano inclinado (as
fotos foram tiradas da gravação usada na coleção dos dados).
Todas as medidas diretas foram retiradas das gravações e colocadas
na seção posterior em Resultados.
Resultados
Aqui comentaremos os resultados obtidos no experimento,
primeiramente a tabela abaixo fala sobre as medidas diretas do cone duplo e
também ao ângulo φ que separa o plano inclinado.
Ângulo φ Ângulo α Diâmetro do Cone Largura do Cone
30° 32° 6,8 cm 5,5 cm
Para o experimento em si separamos na tabela abaixo o respectivo
ângulo e o tempo que durou para subir o plano inclinado.
Ângulo θ (°) Tempo t (s)
2 3,13
3 2,78
5 2,30
Abaixo está o gráfico com a regressão não linear dos dados obtidos
usando o programa SciDavis.
Sabendo que o deslocamento Δz foi aproximadamente 3mm temos que
a velocidade angular para o cone duplo assumindo que todos os 3
experimentos tiveram o mesmo cone do mesmo papel impresso.
E o seu erro utilizando as derivadas parciais com respeito a cada
medida direta.
Comparando essa velocidade angular com a do gráfico obtido pelo
SciDavis, percebe-se uma variação muito grande igual ao seguinte valor.
f(x) = , ω = 3,166 rad/s
1
3.166𝑥
Análises e Conclusões
Neste trabalho conseguimos verificar uma das leis mais importantes da
física sobre um corpo querer minimizar sua energia potencial ao observarmos
como o cone duplo aparentemente subiu o plano inclinado justamente para
diminuir sua energia potencial gravitacional.
Também conseguimos obter valores experimentais utilizando o que foi
descrito na teoria, que nos permitem concluir que quanto maior o ângulo mais
rápido o centro de massa tende a diminuir sua energia potencial gravitacional,
porém vale notar que o experimento foi feito com um esquema impresso com
tudo já pré determinado, ou seja, não foi muito flexível quanto a mudança do
ângulo, talvez a função tenha um formato diferente quando grandes
mudanças no ângulo são feitas mas esse pensamento não pôde ser
averiguado neste relatório.
Outra erro que deve ter notado na análise da velocidade angular foi a
discrepância entre o gráfico obtido no SciDavis e a teoria, talvez a teoria
tenha assumidos fatos que não foram considerados no experimentoou o
experimento tenha um erro instrumental significativo, pois olhando o erro da
velocidade angular ele está entre 1 e 2 para ambos o raio e ao deslocamento
da coordenada z.
Acabou que o paradoxo em si pode ser explicado com o formalismo
das leis da física, mesmo que visualmente o cone duplo tenha de fato se
elevado a uma altura maior comparado ao chão, ele diminui sua energia
potencial gravitacional já que na subida os dois segmentos dividindo o plano
se divergem, isso acabou deixando no final o cone duplo com o ponto de
contato bem no centro de massa.
Bibliografia
Física para Cientistas e Engenheiros Vol.1- Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica: Volume 1 (TIPLER Paul, MOSCA Gene).
Fundamentos da Física Experimental (VERA Jose, ROSSO Karen).
https://www.paperpino.net/the-incredible-anti-gravity-double-cone-lincredibile-
doppio-cono-anti-gravitazionale/ (Cone duplo impresso)
https://eric.ed.gov/?id=EJ956435 (Papel que retiramos o argumento da
energia potencial gravitacional diminuir)
https://www.paperpino.net/the-incredible-anti-gravity-double-cone-lincredibile-doppio-cono-anti-gravitazionale/
https://www.paperpino.net/the-incredible-anti-gravity-double-cone-lincredibile-doppio-cono-anti-gravitazionale/
https://eric.ed.gov/?id=EJ956435