[11351 - 33032]capitulo5

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99
Capítulo 5
Amortização de empréstimos 1
Seção 1
Introdução ao estudo dos sistemas de 
amortização de empréstimos
Neste capítulo, você estudará os diversos sistemas de amortização de 
empréstimos, o sistema de amortização constante, o sistema de amortização 
francês e o sistema de amortização americano.
Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões 
metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas 
período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução 
propriamente dita do principal. (HAZZAN, 2007).
Notações:
St = Saldo devedor no instante t
St-1 = Saldo devedor no instante anterior a t
i = taxa de juros
Rt = prestação efetivada no instante t
At = amortização no instante t
Jt = juros no período que de t-1 a t
P = principal (valor do empréstimo)
n = número de períodos
1 NIEHUNS, Sidenir. Matemática Financeira. UnisulVirtual: Palhoça, 2019.
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Capítulo 5 
1.1 - Fórmulas básicas para o estudo de sistemas de amortização 
de empréstimos
P= A1+A2+…+An
St = St-1+J - Rt
At = Rt+ Jt
Jt = St-1 .i
Jt = Rt- At
St = St-1- At
Modelo de planilha que organiza os elementos fundamentais do sistema de 
amortização de empréstimos:
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
Total
1.2 - Exemplo
Um empréstimo de R$ 21.000,00 foi contraído, será amortizado 
quadrimestralmente da seguinte forma:
A1= 6.000,00 A2= 7.000,00 A3= 8.000,00
Os juros também serão pagos quadrimestralmente a uma taxa de 10% a.q. 
Construa a planilha do empréstimo.
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 - - - 21.000,00
1 6.000,00 2.100,00 6.600,00 15.000,00
2 7.000,00 1.500,00 8.500,00 8.000,00
3 8.000,00 800,00 8.800,00 -
Total 21.000,00 4.400,00 23.900,00
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101
Matemática Financeira
Os juros incidem sobre o saldo devedor. A prestação é composta com o valor da 
amortização mais os juros.
Seção 2 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada 
período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo 
saldo devedor existente no período anterior. O sistema de amortização constante 
apresenta as seguintes características:
 • é o empréstimo em que o principal é amortizado com parcelas 
constantes (iguais) que se obtém dividindo-se o valor do principal 
pelo número de prestações;
 • as prestações e os juros são decrescentes.
2.1 - Fórmulas utilizadas no sistema de amortização constante 
(SAC)
A= A1=A2= A3=…An=(P/n)
R1 = A + J1 = A + P.i
R2 = A + J2 = A + (P-A) . i = A + P . i – A . i
.
.
.
Rn = A + [P – (n-1). A]. i = A + P. i – (n-1) A. i
2.2 - Exemplo
1) Um cliente toma emprestado R$ 60.000 de um banco e deverá ser pago em 
10 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de 
3% a.m. Calcule o valor das parcelas e apresente a planilha de empréstimo.
P= 60.000
n=10
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102
Capítulo 5 
Para calcular o valor da amortização, devemos dividir o valor principal pelo 
número de parcelas. 
P
A=
n
60000,00
A= 6.000,00
10
�
O valor dos juros é calculado multiplicando-se a taxa de juros sobre pelo valor do 
saldo devedor.
J = Saldo devedor x i
Para calcular os juros do período 1, precisamos multiplicar 60.000,00 . 0,03 = 
1.800,00
O valor das parcelas é a soma entre o valor da amortização mais os juros.
Prestação = Amortização + juros
Prestação = 6.000,00 + 1800,00 = 7.800,00
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 - - - 60.000,00
1 6.000,00 1.800,00 7.800,00 54.000,00
2 6.000,00 1.620,00 7.620,00 48.000,00
3 6.000,00 1.440,00 7.440,00 42.000,00
4 6.000,00 1.260,00 7.260,00 36.000,00
5 6.000,00 1.080,00 7.080,00 30.000,00
6 6.000,00 900,00 6.900,00 24.000,00
7 6.000,00 720,00 6.720,00 18.000,00
8 6.000,00 540,00 6.540,00 12.000,00
9 6.000,00 360,00 6.360,00 6.000,00
10 6.000,00 180,00 6.180,00 -
Total 60.000,00 9.900,00 69.900,00
2) Um banco empresta para uma empresa R$ 180.000,00 para ser devolvido pelo 
sistema de amortização Constante (SAC) em 6 parcelas anuais, com carência de 
3 anos (a primeira parcela será paga no início do quarto ano) a taxa é de 12% a.a.
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103
Matemática Financeira
Os juros serão capitalizados durante a carência. Faça a planilha do empréstimo.
P = 180.000
i =12% a.a.
n = 6 
m = 3 (carência)
Devemos capitalizar os juros nos 3 anos de carência.
m
P= C (1 i)�
3
P= 180000 (1 0,12)�
P= 180000 . 1,404928
P= 252887,04
O saldo devedor no terceiro ano é R$ 252.887,044, com esse valor iniciamos os 
cálculos de juros no quarto ano.
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 - - - 180.000,00
1 201.600,00
2 225.792,00
3 252.887,04
4 42.147,84 30.346,44 72.494,28 210.739,20
5 42.147,84 25.288,70 67.436,54 168.591,36
6 42.147,84 20.230,96 62.378,80 126.443,52
7 42.147,84 15.173,22 57.321,06 84.295,68
8 42.147,84 10.115,48 52.263,32 42.147,84
9 42.147,84 5.057,74 47.205,58 -
Total 252.887,04 106.212,54 359.099,58 -
O sistema de amortização constante é utilizado para períodos de longo prazo. A Caixa 
Econômica Federal usa esse sistema para financiar a casa própria. 
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104
Capítulo 5 
Seção 3 
Sistema de Amortização Francês (Price ou SAF) 
Nesse sistema, as prestações são iguais e periódicas, a partir do instante em que 
começam a ser pagas.
Assim, considerando um principal a ser pago nos instantes 1,2,3,....,n, a uma taxa 
de juros (expressa na unidade de tempo da periodicidade dos pagamentos), as 
prestações sendo constantes constituem uma sequência uniforme em que cada 
parcela é indicada por R. (HAZZAN, 2007).
Apresenta as seguintes características:
 • o principal mais os juros são devolvidos em prestações constantes e 
consecutivas ao final de cada período;
 • as amortizações constituem uma sequência crescente e os juros 
uma sequência decrescente.
Importante:
• A taxa de juros deve estar na mesma unidade do período de capitalização.
• Quando o período da taxa não coincide com o período de capitalização, usamos a 
taxa por período de capitalização (taxa efetiva), ou seja, dividimos pelo período.
• O saldo devedor em um determinado instante é igual ao valor atual das prestações a 
vencer.
3.1 - Fórmula usada no sistema de amortização francês
P = Principal
R = Prestação
. n iP R a� �
(1 ) 1
(1 ) .
n
n i n
ia
i i
� �
� � �
�
3.2 - Exemplos
1) (MATHIAS, 2009) Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, sem 
prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa 
contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações 
anuais, construir a planilha.
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105
Matemática Financeira
Resolução:
O principal deve ser devolvido em 5 prestações iguais anuais e postecipadas. 
Devemos, primeiro, calcular o valor da parcela para depois demonstrar a planilha.
P = 100.000,00
i = 10%a.a
n = 5 
(1 ) 1
(1 ) .
n
n
iP R
i i
� �� �
� � ��� �
5
5
(1 0,10) 1
100000
(1 0,10) .0,10
R
� �� �
� � ��� �
0,610510
100000
0,161051
R � �� � �
� �
100000 .3,790787R�
100.000
3,790787
R � �� �
� �
R = 26.379,75
Aqui, pode ser calculado também pela HP 12C
F Fin
1000000 CHS PV
10i
5n
PMT = 26.379,75
Logo, o principal será devolvido em 5 prestações anuais de R$ 26.379,75.
matematica_financeira.indb 105 04/10/2019 10:45
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Capítulo 5 
Agora, vamos demonstrar a planilha:
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 - - - 100.000,00
1 16.379,75 10.000,00 26.379,75 83.620,25
2 18.017,72 8.362,02 26.379,75 65.602,52
3 19.819,50 6.560,25 26.379,75 45.783,02
4 21.801,45 4.578,30 26.379,75 23.981,59
5 23.981,59 2.398,1626.379,75 –
Total 100.000 31.898,73 131.898,74 –
Para encontrarmos o valor da amortização, precisamos calcular o valor da 
prestação menos o valor dos juros.
Amortização = Prestação - Juros
2) (HAZZAN, 2007) Um empréstimo de R$ 800.000,00 foi obtido por uma 
empresa por ocasião da compra de um prédio. O empréstimo deve ser evolvido 
pelo sistema francês em cinco prestações semestrais à taxa de 4%a.s., com 
atualização monetária posterior das prestações. Obtenha a planilha.
Cálculo do valor da prestação:
P = 800.000,00
i = 4%a.s
n = 5 semestres
(1 ) 1
(1 ) .
n
n
iP R
i i
� �� �
� � ��� �
5
5
(1 0,04) 1
800.000
(1 0,04) .0,04
R
� �� �
� � ��� �
0,216653
800000
0,048666
R � �� � �
� �
800000 .4,451824R�
800.000
4,451824
R � �� � �
� �
R= 179.701,69
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Matemática Financeira
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 - - - 800.000,00
1 147.701,69 32.000,00 179.701,69 652.298,31
2 153.609,76 26.091,93 179.701,69 498.688,55
3 159.754,15 19.947,54 179.701,69 338.934,40
4 166.144,31 13.557,38 179.701,69 172.790,08
5 172.790,08 6.911,60 179.701,69 0,0
Total
Observe que os valores das amortizações aumentam e os valores dos juros diminuem.
3.3 - Cálculo do saldo devedor no sistema francês
Quando desejamos calcular o saldo devedor em um determinado instante, no 
sistema francês, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual 
das prestações a vencer. Com isso, eliminamos o valor dos juros contidos nas 
prestações. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou 
seja, é o saldo devedor. (HAZZAN, 2007).
Exemplo:
Em um empréstimo de R$ 120.000,00, a ser pago pelo sistema francês, em 40 
meses e à taxa de 4% a.m., qual o saldo devedor 25º mês? 
Resolução:
P = 120.000,00
i =4% a.m.
n =40
Vamos primeiro calcular o valor da prestação:
(1 ) 1
(1 ) .
n
n
iP R
i i
� �� �
� � ��� �
40
40
(1 0,04) 1
120.000
(1 0,04) .0,04
R
� �� �
� � ��� �
3,801021
120000
0,192041
R � �� � �
� �
120000 .19,792776R�
matematica_financeira.indb 107 04/10/2019 10:45
108
Capítulo 5 
120.000
19,792776
R � �� � �
� �
R = 6.062,82
25 26 27 28 ... 40
15 prestações
O saldo devedor no 25º mês é o valor atual da sequência uniforme das prestações a 
vencer (15 prestações)
25
(1 ) 1
(1 ) .
n
n
iSD R
i i
� �� �
� � ��� �
15
25 15
(1 0,04) 1
6.062,82
(1 0,04) .0,04
SD
� �� �
� � ��� �
25
0,800944
6.062,82.
0,072038
SD � �� � �
� �
25
6062,82.11,118354SD �
800.000
4,451824
R � �� � �
� �
25SD = 67.408,57
Observe que deu uma pequena diferença de centavos, pode acontecer devido aos 
arredondamentos.
Confira na planilha o saldo devedor do 25º mês.
matematica_financeira.indb 108 04/10/2019 10:45
109
Matemática Financeira
PERÍODO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$120.000,00 
1 (R$1.262,82) R$4.800,00 (R$6.062,82) R$118.737,18 
2 (R$1.313,33) R$4.749,49 (R$6.062,82) R$117.423,85 
3 (R$1.365,86) R$4.696,95 (R$6.062,82) R$116.057,99 
4 (R$1.420,50) R$4.642,32 (R$6.062,82) R$114.637,49 
5 (R$1.477,32) R$4.585,50 (R$6.062,82) R$113.160,17 
6 (R$1.536,41) R$4.526,41 (R$6.062,82) R$111.623,75 
7 (R$1.597,87) R$4.464,95 (R$6.062,82) R$110.025,89 
8 (R$1.661,78) R$4.401,04 (R$6.062,82) R$108.364,10 
9 (R$1.728,25) R$4.334,56 (R$6.062,82) R$106.635,85 
10 (R$1.797,38) R$4.265,43 (R$6.062,82) R$104.838,46 
11 (R$1.869,28) R$4.193,54 (R$6.062,82) R$102.969,18 
12 (R$1.944,05) R$4.118,77 (R$6.062,82) R$101.025,13 
13 (R$2.021,81) R$4.041,01 (R$6.062,82) R$99.003,32 
14 (R$2.102,69) R$3.960,13 (R$6.062,82) R$96.900,63 
15 (R$2.186,79) R$3.876,03 (R$6.062,82) R$94.713,84 
16 (R$2.274,27) R$3.788,55 (R$6.062,82) R$92.439,57 
17 (R$2.365,24) R$3.697,58 (R$6.062,82) R$90.074,34 
18 (R$2.459,85) R$3.602,97 (R$6.062,82) R$87.614,49 
19 (R$2.558,24) R$3.504,58 (R$6.062,82) R$85.056,25 
20 (R$2.660,57) R$3.402,25 (R$6.062,82) R$82.395,68 
21 (R$2.766,99) R$3.295,83 (R$6.062,82) R$79.628,69 
22 (R$2.877,67) R$3.185,15 (R$6.062,82) R$76.751,02 
23 (R$2.992,78) R$3.070,04 (R$6.062,82) R$73.758,24 
24 (R$3.112,49) R$2.950,33 (R$6.062,82) R$70.645,76 
25 (R$3.236,99) R$2.825,83 (R$6.062,82) R$67.408,77 
26 (R$3.366,47) R$2.696,35 (R$6.062,82) R$64.042,30 
27 (R$3.501,13) R$2.561,69 (R$6.062,82) R$60.541,17 
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Capítulo 5 
28 (R$3.641,17) R$2.421,65 (R$6.062,82) R$56.900,00 
29 (R$3.786,82) R$2.276,00 (R$6.062,82) R$53.113,18 
30 (R$3.938,29) R$2.124,53 (R$6.062,82) R$49.174,89 
31 (R$4.095,82) R$1.967,00 (R$6.062,82) R$45.079,07 
32 (R$4.259,66) R$1.803,16 (R$6.062,82) R$40.819,41 
33 (R$4.430,04) R$1.632,78 (R$6.062,82) R$36.389,37 
34 (R$4.607,24) R$1.455,57 (R$6.062,82) R$31.782,13 
35 (R$4.791,53) R$1.271,29 (R$6.062,82) R$26.990,59 
36 (R$4.983,20) R$1.079,62 (R$6.062,82) R$22.007,40 
37 (R$5.182,52) R$880,30 (R$6.062,82) R$16.824,87 
38 (R$5.389,82) R$672,99 (R$6.062,82) R$11.435,05 
39 (R$5.605,42) R$457,40 (R$6.062,82) R$5.829,63 
40 (R$5.829,63) R$233,19 (R$6.062,82) R$0,00 
 O sistema de amortização francês é aplicado em financiamentos de automóveis, 
máquinas, caminhões etc... e também pelo comércio no financiamento de 
eletrodomésticos.
Seção 4 
Sistema Americano (SA)
Segundo Mathias (2009), neste sistema o mutuário obriga-se a devolver o 
principal em uma só parcela após ter decorrido o prazo de carência estipulado. 
Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos 
juntamente com o principal.
4.1 - Exemplo
1) (MATHIAS,2009) Um banco empresta R$ 100.000 a uma empresa, a uma 
taxa de juros de 6%a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos. 
Sabendo-se que os juros serão cobrados semestralmente, calcular a planilha 
pelo sistema americano. 
matematica_financeira.indb 110 04/10/2019 10:45
111
Matemática Financeira
Período (n) Amortização (At) Juros (Jt) Prestações (Rt) Saldo Devedor (St)
0 – – – 100.000,00
1 6.000,00 6.000,00 100.000,00
2 6.000,00 6.000,00 100.000,00
3 6.000,00 6.000,00 100.000,00
4 100.000,00 6.000,00 106.000,00 –
Total 100.000,00 24.000,00 124.000,00
Nesse caso, os juros foram pagos a cada semestre, mas também podem se 
acumular e serem pagos junto com o valor amortizado no último período.
Neste capítulo, você aprendeu os conceitos e aplicabilidades de amortização de 
empréstimos. Especificamente, sobre amortização de constante, amortização 
sistema francês e sistema americano.
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Capítulo 5 
Atividades de Autoavaliação
1. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deverá ser pago em 12 prestações 
mensais pelo sistema de amortização constante com juros de 1,8% 
a.m. Elaborar um plano de amortização do empréstimo (Planilha).
2. Uma empresa toma emprestado de um banco R$ 300.000,00, que 
vai ser amortizado em 10 prestações anuais pelo SAC, com uma taxa 
de juros de 10% a.a. com carência de 2 anos. Os juros serão pagos 
durante a carência. Elabore uma planilha para demonstrar os valores.
3. (TOSI, 2008) Um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 deve ser 
liquidado por meio do pagamento de cinco prestações iguais e 
mensais, vencendo a primeira 30 dias após a data da contratação, 
por meio do Sistema de Amortização Francês. Sabendo que a taxa 
de juros compostos cobrada foi de 3%a.m., pede-se:
a. o valor das prestações a serem pagas;
b. construir uma tabela demonstrando o estado da dívida e o 
valor dos juros e principal amortizado após o pagamento de 
cada prestação.
4. (DUTRA, 2010) Um cliente solicita a um banco um empréstimo 
de R$ 40.000,00 pelo sistema de amortização francês em 60 
prestações mensais. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 
juros de 2,8%a.m, obtenha o valor da prestação e o saldo devedor 
depois de pagar a 20ª prestação.
5. (DUTRA, 2010) Um empréstimo de R$ 300.000,00 será saldado 
em 50 prestações mensais a uma taxa de 1,5% a.m. Determine 
a parcela de juros relativa à 15ªprestação pelo sistema de 
amortização francês (price).
6. Uma TV está sendo anunciada por R$ 2.500,00 à vista ou em 
24 parcelas mensais, a taxa que está sendo sobrada é de 3,5% 
a.m. Se o cliente optar por parcelar, qual será o valor da parcela? 
Demonstre a planilha.
7. Pedro financiou um apartamento que custou R$ 152.000,00 pelo 
sistema de amortização constante. A taxa cobrada pelo banco foi 
de 6,5% a.a., sendo pago mensalmente em 30 anos. Calcule a taxa 
efetiva e elabore uma planilha para demonstrar os valores. Use o 
Excel para facilitar.
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