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FENÓMENOS DE TRANSPORTE II
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
AULA # 1 03/08/18 
SUMÁRIO: 
 Introdução à Disciplina, Programa e Bibliografia.
 Capítulo I : INTRODUÇÃO A TRANSFERÊNCIA DE
CALOR
O que acha que iremos estudar nesta 
disciplina?
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Âmbito de aplicação da Transferência de Calor
 Fundamental para todos os ramos da engenharia
Engenharia mecânica
 Refrigeração de motores, Ventilação , Ar condicionado….etc
Engenharia Metalurgica
 Processos pirometalúrgicos, Processos hidrometalurgicos, Projectos
de fornos, Projectos de regeneradores…………etc
Engenharia Quimica
 Evaporação, Condensação, Reactores e trabalhos de
Refinarias……etc
Engenharia Electrotécnica
 Cálculo de transformadores e Geradores………..etc
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Âmbito de aplicação da Transferência de Calor
Engenharia Naval
 Transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc
Engenharia Civil e Arquitectura
 Previsão nos projectos de tubulações interiores nas alvenarias para
escoamento de fliuidos quentes especialmente em países frios
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO II: Transferência de calor por condução
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO IV: Condução em regime transiente
CAPÍTULO V: Transferência de calor por convecção
CAPÍTULO VI: Introdução à permuta de calor por radiação
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
2/12
Bibliografia Básica
Incropera/DeWitt/Bergman/Lavine, Fundamentos de transferência de
calor e de massa, 6ª ed. Rio de Janeiro: Editora Grupo Gen, 2013.
Bird, R.B., Stewart, W.E., Fenômenos de Transporte, 2º ed. Rio de
Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos, 2012;
Welty, J.R., Wicks, C.E., Wilson, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat,
and Mass Transfer, 3ª ed. John Wiley and Sons, New York, 1984
-
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
-2 Avaliações Contínuas – Mini Testes (A.C)
- 2 Provas Parcelares (P.P.)
- 1 Exame de Época Normal (Exame)
- 1 Exame de Época de Recurso (Recurso)
RExame = resultado final, incluindo a nota do exame ordinário;
AC = média da avaliação contínua incluindo a avaliação dos seminários;
PP- média da avaliação das provas parcelares;
Escala 0 à 20: Aprovado ≥ 10
RRecurso = 0,4 RExame + 0,6 RRecurso
RRecurso = resultado final incluindo a nota do exame de recurso.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Método de avaliação
  Exame6,04,0*PP*7,0AC*3,0RExame 
.
Capítulo I :INTRODUÇÃO A TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Objectivo : Dominar os conceitos fundamentais de Transporte
de Calor
 O que é transferência de calor e como se transmite?
 Quais as origens físicas? Quais as equações de taxa? Quais os
mecanismos ?
 Que relações existem com a termodinâmica?
 Qual a relevância da transferência de calor?
Em que disciplina (s ) já falaram sobre Calor ? 
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Em Termodinâmica a energia é transferida entre um sistema e
sua vizinhança (na forma de calor e trabalho).
 Em Termodinâmica trabalha-se com estados de equilíbrio
(normalmente calcula-se a energia trocada entre um estado inicial
e final), desconsiderando a existência de gradientes de
temperatura.
 Com isto não é possível obter-se informações sobre a velocidade
ou o tempo decorrido durante a transferência de energia.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
 A termodinâmica por si só é capaz de fornecer uma visão
macroscópica (ou global), contento portanto um nível menor de
informação sobre o processo em questão.
 A termodinâmica não se preocupa com os mecanismos que
proporcionam a transferência de energia/calor.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Fenómenos de Transporte
 Transferência de Calor , não se consideram apenas estados de
equilíbrio, podendo haver gradientes de temperatura.
 Utiliza-se uma abordagem mais elaborada para o mecanismo de
transmissão de energia, sendo portanto possível obter um maior nível
de informação, como por exemplo a velocidade e o tempo
associados à transferência de energia (quantifica-se a taxa com que
a transferência de calor ocorre)
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
 O estudo da transferência de calor permite uma análise
microscópica (ou local), fornecendo portanto informações mais
detalhadas sobre o processo considerado.
No entanto o conteúdo de termodinâmica é base para o estudo da
transmissão de calor, sendo portanto imprescindível um bom
entendimento deste.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
O que é Transferência de calor?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
O que é transferência de calor?
Sempre que existir uma diferença de temperatura em um sistema ou
sempre que dois sistemas com diferentes temperaturas são postos
em contacto, há transferência de energía.
O proceso mediante o qual a energía é transferida é conhecido
como transferência de calor, onde o que se transfere recebe o nome
de Calor.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
O que é Transferência de calor?
Transferência de calor ( ou calor) é a energia térmica em trânsito
devido a uma diferença de temperatura.
Sempre que existir uma diderença de temperatura em um meio ou
entre meios diferentes, ocorre, transferência de calor,
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
O que é Transferência de calor?
Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contacto direto,
ocorrerá uma transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de
menor temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles.
Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico.
Se T1 > T2 T1 > T > T2
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Como é que o calor é transferido?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Como é que o calor é transferido?
Referimo-nos aos diferentes tipos de processos de transferência de calor como modos de
transferência de calor
Condução: Transferência de calor que ocorre quando existe um
gradiente de temperatura em um meio estacionário, que pode ser
sólido ou um fluido.
Convecção: Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e
um fluido em movimento quando eles se encontram em temperaturas
diferentes
Radiação: Transferência de calor que ocorre entre duas superfícies a
diferentes temperaturas, na ausência de um meio que se interponha
entre elas, e devido ao facto de todas as superfícies a uma
temperatura não nula emitirem energia na forma de ondas
eletromagnéticas.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Modos de transferência de calor
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Conhecendo os modos de transferência de 
calor, apresente exemplos?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
A transmissão do calor pode ocorrer de três formas distintas:
Condução, Convecção e Radiação.
Modos de Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
A transmissão do calor pode ocorrer de três formas distintas:
Condução, Convecção e Radiação.
Mecanismo Físico da Condução de
de calor
A condução de calor está associada a actividades atômicas a nível
molecular,onde energia é transferida de forma aleatória através de
vibrações e movimentos internos de rotação das moléculas de região
de temperatura mais alta, onde estes efeitos são maiores para a
região de menor temperatura.
O mecanismo da condução pode ser entendido considerando, como
exemplo, um gás submetido a uma diferença de temperatura
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Condução de calor
A figura abaixo apresenta um gás entre duas placas a diferentes
temperaturas:
1. O gás ocupa o espaço entre duas superfícies [1] e [2] mantidas a diferentes
temperaturas de modo que T1 > T2.
2. Como altas temperaturasestão associadas com energias moleculares mais
elevadas, as moléculas próximas à superfície são mais energéticas, portanto,
movimentam-se mais rápido.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Condução de calor
3. O plano hipotético X é constantemente atravessado por moléculas de cima
e de baixo. Entretanto, as moléculas de cima estão associadas com mais alta
energia do que as moléculasde baixo. Existe uma transferência líquida de
energia de [1] para [2] porcondução.
Assume-se que o gás não tem movimento macroscópico.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Condução de calor
Para os líquidos o processo é basicamente o mesmo, embora as
moléculas estejam menos espaçadas e as interações sejam mais
fortes e mais frequentes.
Para os sólidos existem basicamente dois processos ( ambos bastante
complexos ):
1. Sólido mau condutor de calor
2. Sólido bom condutor de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Condução de calor
O que determina se um material será bom ou mau condutor térmico
são as ligações em sua estrutura atômica ou molecular.
 Assim, os metais são excelentes condutores de calor devido ao fato
de possuírem os elétrons mais externos "fracamente" ligados,
tornando-se livres para transportar energia por meio de colisões
através do metal.
 Por outro lado temos que materiais como lã, madeira, vidro, papel
e isopor que são maus condutores de calor (isolantes térmicos),
pois, os elétrons mais externos de seus átomos estão firmemente
ligados.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Qual a equação da taxa de transferência de 
calor por condução?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Condução
Para condução térmica a equação utilizada para descrever a taxa
de transferência de calor tem como base a lei de Fourier.
Lei de Fourier para parede plana:
q= taxa de transferência de calor por condução na direcção x por
unidade de área perpendicular à direcção de transferência(W)
k= condutividade térmica [W/(m.K)]
dT/dx= gradiente de temperatura (ºC/m)
O sinal – é uma consequência do transporte ocorrer na direcção do
decréscimo de T.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Convecção
A convecção está associada ao movimento de moléculas de um
fluido em contacto com uma superfície. Tal movimento na presença
de um gradiente de temperatura contribui para a transferência de
calor.
È composto por dois mecanismos:
 Transferência de calor devido ao movimento aleatório molecular
(advecção)
 Transferência de aclor devido ao movimento global ou
macroscópico do fluido. Em qualquer instante um grande número
de moléculas movimenta-se colectivamente e transporta energia (
convecção)
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Convecção
A convecção pode ser classificada em:
Convecção natural ou livre: Quando o escoamento do fluido é
induzido por forças de empuxo que são originadas a partir de
diferenças de densidade ou massas especificas causadas por
variação de temperaturas no fluido.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transporte natural de fluidos
Convecção Natural
Mecânismo de Transferência de Calor por Convecção
1- As partículas que estão próximas à superfície da placa recebem
calor por condução e armazenam energia.
2- Estas particulas têm a sua temperatura elevada e portanto a
densidade reduzida, já que são mais leves elas sobem e trocam calor
com as partículas mais frias ( e mais pesadas) que descem.
Exemplo: O aquecimento da água
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Físico da Convecção
Convecção forçada: Quando o escoamento é ocasionado por
meios externos, tais como um ventilador, uma bomba, ou ventos
atmosféricos
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
2/12
Mecânismo de Transferência de Calor por Convecção
1- A velocidade da camada de ar próxima a superfície é muito baixa.
2- Nesta região o calor é transferido por condução. Ocorre
armazenamento de energia pelas particulas presentes nesta região.
3- A medida que estas particulas passam para a região de altas
velocidades elas são transportadas pelo fluxo transferindo calor para
as particulas mais frias
Exemplo: Uma ventoinha a arrefecer
Cmponentes eléctricos
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Convecção
Há processos de convecção nos quais existe também a troca de calor
latente. Essa troca de calor latente é associada a mudança de fase
entre os estados líquidos e vapor do fluido:
Ebulição: A transferência resulta da movimentação do fluido induzida
por bolhas de vapor geradas no fundo de uma panela contendo
água em ebulição.
Ou pela condensão de vapor de água na superficie externa de uma
tubulação por onde escoa água fria.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Qual a equação da taxa de transferência de 
calor por convecção?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Convecção
Independentemente da natureza especifica do processo de
transferência de calor por convecção a taxa de transferência é dada
pela equação:
O fluxo de calor por convecção é proporcional a
diferença entre as temperaturas da superficie e
do fluido.
Esta equação é conhecida como lei de resfriamento
de Newton
h é o coeficiente de transferência de calor por
convecção
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
ThATThAQ  )(

Transferência de Calor por Convecção
Lei de Resfriamento de Newton
Q = h * A * (Ts - T∞ )
Onde:
Q= taxa de transferência de calor por convecção (W)
h=coeficiente de transferência de calor por convecção [W/(m2.K)]
A= área (m2)
Ts= temperatura da superfície
T∞= temperatura do fluido
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Convecção
Transferência de Calor por Radiação
Radiação térmica: é um processo pelo qual o calor é transmitido de
um corpo a alta temperatura para um de temperatura mais baixa
quando tais corpos estão separados no espaço, ainda que exista
vácuo entre eles. È a energia emitida pela materia que se encontra a
uma temperatura não nula.
A emissão também ocorre a partir de liquidos e gases não obstante
nos dedicarmos ao estudo da radiação a partir de superficies sólidas.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecanismo Fisico da Transferência de Calor por Radiação
Todas as superficies com temperatura não nula emitem energia na
forma de ondas electromagnéticas
A emissão pode ser atribuida a mudanças nas configurações
electrônicas dos atomos ou moleculas que constituem a materia
Enquanto a transferência por condução e convecção requer a
presença de um meio material . A radiação não necessita. Na
realidade a transferência por radiação ocorre mais eficientemente no
vácuo.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Radiação
• Toda a matéria que se encontra a uma temperatura acima do Zero Absoluto
(0 K) irradia energia térmica.
• Não necessita de meio material para ocorrer, pois a energia é transportada
por meio de ondas eletromagnéticas.
• É mais eficiente quando ocorre no vácuo.
Sendo assim, podemos definir irradiação:
Irradiação térmica é um processo de transmissão
do calor por meio de ondas eletromagnéticas,
predominando entre elas, as radiações
infravermelhas (ondas de calor)
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Qual a equação da taxa de transferência de 
calor por radiação?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Transferência de Calor por Radiação
O poder emissivo da superficie(radiador ideal ou corpo negro) é calculado
pela equação:
𝑬𝒃 = 𝝈𝑻𝒔
𝟒
𝝈 = 𝟓, 𝟔𝟕 𝒙 𝟏𝟎−𝟖 W/𝒎𝟐.𝑲𝟒 ( Constante de Stefan –Boltzmann)
𝑇𝑠 - Temperatura absoluta da superfície (K)
O poder emissivo da superficie real é calculada pelaequação:
E= 𝜺𝝈𝑻𝒔𝟒
𝜺 – emissividade 0 ≤ 𝜀 ≤ 1
A irradiação pode ser calculada pela equação:
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
A taxa líquida de transferência de calor por radiação entre
a vizinhanca e uma superfície real, é dada por:
𝑞𝑟 = 𝜀𝜎𝐴(𝑇𝑠
4 − 𝑇𝑣𝑖𝑧4 )
Esistem muitas aplicações nas quais é prefer´vel utilizar a
expressão:
𝑞𝑟 = ℎ𝑟(𝑇𝑠 − 𝑇𝑣𝑖𝑧)
ℎ𝑟 −coeficiente de transferencia de calor por radiação
ℎ𝑟 = 𝜀𝜎 (𝑇𝑠 + 𝑇𝑣𝑖𝑧 )( 𝑇𝑠
2 + 𝑇𝑣𝑖𝑧2 )
(
Transferência de Calor por Radiação
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Conservação de energia
Tendo em vista que a energia total do sistema é conservada, a única
maneira da energia de um sistema mudar é se a energia cruzar a sua
fronteira.
Para um sistema fechado a energia pode cruzar a fronteira de um
sistema através de:
1. Transferência de calor através das fronteiras
2. Trabalho (realizado pelo sistema ou no sistema).
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Qual a equação que traduz o primeiro principio 
da termodinâmica?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei daTermodinâmica
Conservação de energia
Onde:
ΔE é a variação da energia total acumulada no sistema
Q é o calor transferido para o sistema
W é o trabalho efetuado pelo sistema.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Também podemos aplicar a 1ª Lei da Termodinâmica em um volume
de controle (ou sistema aberto).
Neste caso temos a ocorrência da chamada advecção de energia,
que é o transporte de energia graças a entrada e saída de massa do
volume de controle.
Conservação de energia para um volume de controle em um instante
qualquer.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Primeira Lei da Termodinâmica em um intervalo de tempo (Δt):
.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Qual a equação para a energia Total?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Primeira Lei da Termodinâmica se refere à energia total.
Para o estudo da transferência de calor estamos interessados
principalmente nas formas de energia térmica e mecânica.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Energia potencial: devida à presença do fluido num campo
gravitacional. É dada por gz
Energia cinética: devida à existência de movimento
(translacional ou rotacional). É dada por v2/2
Energia interna: relacionada com a energia rotacional,
translacional e vibracional nas ligações químicas. É dada por U.
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Geralmente, variações nas energias cinética e potencial são
pequenas, e portanto desprezadas.
A energia interna (U) é constituída por componentes:
 Sensível (Usen)
 Latente (Ulat)
 Químico
 Nuclear
Usen e Ulat em conjunto são chamados de energia térmica (Ui).
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Equação das energias térmica e mecânica em um intervalo de tempo
(Δt):
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
A 1ª Lei da Termodinâmica deve ser satisfeita a cada e em todo
instante deempo (t). Por isso, é possível formular a lei com base em
taxas.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Equação das Energias Térmica e Mecânica em um Instante (t):
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Primeira Lei da Termodinâmica
Para sistemas em escoamento em condições de regime estacionário e sem
geração de energia térmica:
Tendo em conta as condições de:
 Regime estacionário
 Inexistência de variações na energia latente
 Ausência de geração de energia térmica
Teremos:
Equação simplificada da energia térmica para sistemas em escoamento e regime
estacionário
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Segunda Lei da Termodinâmica
Estabelece condições para que as transformações termodinâmicas
possam ocorrer.
Enunciado de Kelvin-Planck, particularmente relevante para
operação de maquinas térmicas (motores de combustão interna,
plantas de potencia, dispositivos termoeletrônicos)
 É impossível a construção de um dispositivo que, por si só, isto é,
sem intervenção do meio exterior, consiga transformar
integralmente em trabalho o calor absorvido de uma fonte a uma
dada temperatura uniforme.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relações com a Segunda Lei da Termodinâmica
Como consequência do enunciado Kelvin-Planck é que uma
maquina térmica deve trocar calor com dois, ou mais, reservatórios de
calor, recebendo energia térmica do reservatório de maior
temperatura e rejeitando energia térmica para o de menor
temperatura.
A eficiência de uma maquina térmica é definida como a fração de
calor transferido para o interior da máquina térmica que é convertida
em trabalho.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecânismos combinados
 Na maioria das situações práticas ocorrem em simultâneo dois ou
mais mecânismos de transferência de calor.
 Nos problemas de engenharia quando um dos mecânismos
domina quantitativamente, soluções aproximadas podem ser
obtidas desprezando todos, excepto o mecanismo dominante
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Dê exemplo de um processo em que ocorram 
mecânismos combinados ?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Mecânismos combinados
Em que problemas pode aplicar o que acabou de 
abordar sobre transferência de calor ?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Relevância da transferência de calor
 Problemas industriais e Ambientais
Exemplos:
 Conversão e produção de energia . Geração de energia eléctrica
 Como maximizar as taxas de transferência de calor e manter a integridade
dos materiais em ambientes de temperaturas elevadas
 Desenvolvimento de sistemas de conversão de energia solar e produção
de energia elétrica
 Sistemas de propulsão, tais como combustão interna, turbinas a gás e
foguetes
 Projectos de refregeração e sistemas de ar condicionado
 Projectos de sistemas como caldeiras, condensadores e turbinas
 Poluição do ar e da água, influenciando fortemente os climas locias e
globais
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Metodologia para resolução de problemas de transferência de calor
1. Dados: Após a leitura cuidadosa do problema escreva suncita e
objectivamente o que se conhece a respeito do problema
2. Achar: Escreva suncita e objectivamente o que deve ser encontrado
3. Esquema: Desenhe um esquema do sistema físico.
4. Hipóteses: lListe todas as considerações e hipoteses pertinentes
5. Propriedades: Reuna os valores das propriedades necessárias aos cálculos
6. Análise: Comece a sua análise aplicando as leis de conservação e
introduza as equações de taxa de transferência de calor conforme
necessário
7. Comentários: Discuta os resultados. São coerentes?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
AULA # 2 10/08/17 
SUMÁRIO: 
Capítulo I: INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Objectivo : Dominar os conceitos fundamentais de Transporte de
Calor
 Exercícios de aplicação dos conceitos
Resumo dos processos de Transferência de Calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Modo Mecânismo Equação da Taxa Propriedade 
ou 
coeficiente 
de 
transporte
Condução Difusão de energia devido 
ao movimento molecular
aleatório
𝑞´´𝑥 
𝑤
𝑚2
= −𝐾
𝑑𝑇
𝑑𝑥
K (W/m.K)
Convecção Difusão de energia devido 
ao movimento molecular
aleatório e ao transporte de 
energia devido ao 
movimento global do fluido
𝑞´´𝑤 𝑚2
= ℎ (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) h (W/𝑚
2.K)
Radiação Energia transferida por 
ondas electromagnéticas
𝑞´´ 𝑤 𝑚2
= 𝜀𝜎 (𝑇𝑠4 − 𝑇∞4)
ouq 𝑤 = ℎ𝑟𝐴 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑣𝑖𝑧 )
𝜀, ℎ𝑟 (W/𝑚2.K)
Metodologia para resolução de problemas de transferência de calor
1. Dados: Após a leitura cuidadosa do problema escreva suncita e
objectivamente o que se conhece a respeito do problema
2. Achar: Escreva suncita e objectivamente o que deve ser encontrado
3. Esquema: Desenhe um esquema do sistema físico.
4. Hipóteses: lListe todas as considerações e hipoteses pertinentes
5. Propriedades: Reuna os valores das propriedades necessárias aos cálculos
6. Análise: Comece a sua análise aplicando as leis de conservação e
introduza as equações de taxa de transferência de calor conforme
necessário
7. Comentários: Discuta os resultados. São coerentes?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercicio # 1
Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de
15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 ºC. As
paredes da sala, de 25 cm de espessura, são feitas de tijolos com
condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.ºC e a área das janelas
podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes
pode estar até a 40 ºC em um dia de verão. Desprezando a troca
de calor pelo piso e pelo tecto, que estão bem isolados. Calcular
o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em HP ).
OBS : 1 HP = 641,2 Kcal/h
Solução: Q= 2 HP
Exercício #2
Explique o que um Engenheiro responsável pela
construção de um forno necessita de fazer para
reduzir as perdas térmicas pela parede do forno
por razões económicas.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício #2 Solução
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício #2 Solução
Trocar o material da parede ou reduzir a temperatura
interna do forno podem ser acções de difícil
implementação. Porém, a colocação de isolamento
térmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as
acções de:
 Redução da condutividade térmica;
Aumento da espessura da parede.
Exercicio # 3
Um recipiente fechado cheio com café quente encontra-se em uma
sala cujo ar e paredes estão a uma temperatura fixa. Identifique todos
os processos de transferência de calor que contribuem para o
arrefecimento do café.
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercicio # 3 Solução:
𝑞1 = Convecção natural entre o café e a parede do frasco de plástico
𝑞2 = Condução através da parede do frasco de plástico
𝑞3 = Convecção natural do frasco de plástico para o ar
𝑞4 = Convecção natural do ar para a capa plástica
𝑞5 = Radiação entre as superfícies externa do plástico e interna da capa plástica
𝑞6 = Condução através da capa plástica
𝑞7 = Convecção natural da capa plástica para o ar ambiente
𝑞8 = Radiação entre a superfície externa da capa plástica e a vizinhança
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercicio # 4
Uma tubulação de vapor de água sem isolamento térmico
passa através de uma sala onde o ar e as paredes se
encontram a 25ºC. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, e
a temperatura da superfície e a emissividade são,
respectivamente, 200ºC e 0,8.
a) Quais são o poder emissivo e a irradiação da superfície?
b) Se o coeficiente associado à transferência de calor por
convecção natural da superfície para o ar é de 15
W/(𝑚2K), qual a taxa de calor perdida pela superfície do
tubo por unidade de comprimento ?
Solução: E= 2270 W/𝒎𝟐; G= 447 W/𝒎𝟐; q´= 998 w/m
AULA # 3 14/08/17 
SUMÁRIO: 
Capítulo I: INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Objectivo : Dominar os conceitos fundamentais de Transporte de
Calor
 Exercícios de aplicação dos conceitos
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício # 5
Os gases quentes da combustão de uma fornalha
são separados do ar ambiente e de sua vizinhança,
que estão a 25ºC, por uma parede de tijolos de
espessura L= 15 cm. O tijolo tem condutividade
térmica k= 1,2 W/mºC e emissividade 0,8. Em
condições de regime estacionário, a temperatura
da superfície externa vale 100ºC. A transferência de
calor por convecção livre para o ar adjacente à
superfície é caracterizada pelo coeficiente de
convecção h= 20 W/𝑚2ºC. Qual a temperatura da
superfície interna do tijolo?
Solução: 𝑻𝟏 = 𝟑𝟓𝟐 º𝑪
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício # 6
As superfícies internas de um grande edíficio são mantidas a
20ºC, enquanto que a temperatura na superfície externa é de
-20ºC. . As paredes medem 25 cm de espessura e foram
construidas com tijolos de conductividade térmica o,6
Kcal/hmºC.
a) Calcule a perda de calor por cada 𝑚2de superfície por
hora.
b) Sabendo que a área total do edíficio é de 1000 𝑚2 e que o
poder calorífico do carvão é de 5500 Kcal/Kg,determine a
quantidade de carvão a ser utilizada no sistema de
aquecimento durante um período de 10 horas. Suponha
que o rendimento do sistema de aquecimento é de 50%.
2/12
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício # 7
O revestimento de uma placa é curado através da sua
exposição a uma lâmpada de infravermelho de 2000 W/𝑚2.
Ele absorve 80% da irradiação e tem emissividade de 0,5. A
placa também está exposta a uma corrente de ar e a uma
grande vizinhança, cujas temperaturas são 20ºC e 30ºC,
respectivamente.
Se o coeficiente de convecção entre a placa e o ar ambiente
é 15 W/𝑚2K, qual a temperatura de cura da placa?
Solução: T = 𝟏𝟎𝟒 º𝑪
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercício # 8
A parede de um forno industrial é construída com tijolos com
0,15 m de espessura e conductividade térmica de 1,7 W/mK.
Foram efectuadas medidas em estado estacionário que
revelaram temperaturas de 1400K e 1150 K, no interior e no
exterior das paredes respectivamente.
Determine a taxa de transferência de calor através da
parede, sabendo que as dimensões são de 0,5 m de altura
por 1,2 m de largura.
Solução: Q= 4250 W
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercicio # 9
Deseja-se que o fluxo de calor através de um bloco de
amianto ( k = 0,74 W/m.K ) seja de 5000 W/m², para uma
diferença de temperatura de 200 °C entre as faces do bloco.
Qual deve ser a espessura do bloco?
Solução: L= 2,96 cm
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Exercicio # 10
Através de uma placa de aço carbono ( k = 60,5
W/m.K ) de 50 por 75 cm, com 2 cm de espessura,
existe uma taxa de transferência de calor da ordem
de 2500 W. A temperatura de uma face da placa é
250 °C. Calcule a temperatura da outra face da
placa.?
Solução: T = 247,8 ºC
AULA # 4 17/08/16 
SUMÁRIO: 
Capítulo II : INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
Conducção unidimensional em regime estacionário
Objectivo: Aprofundar o grau de conhecimento da lei de Fourier;
Aplicação da Lei de Fourier em diferentes formas geométricas;
Desenvolvimento da equação de calor e obtenção da
distribuição de temperatura
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Joseph Fourier
1768 -1830
Barra metálica ligada a dois recipientes, um
contendo água em ebulição e outro contendo
uma mistura de água e gelo;
 Barra está isolada lateralmente;
 T varia linearmente por toda a barra;
 O fluxo de calor através da barra é proporcional
à área de secção, A, da barra e à diferença de
T e inversamente proporcional ao comprimento,
L, da barra.
Qual a Lei que rege a transferência de calor 
por condução?
O que diz esta Lei?
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Ou por analogia a Lei de Newton da viscosidade:
Se considerarmos uma barra de um material sólido com área A localizada entre duas
placas paralelas grandes, separadas por uma distância Y, ao elevar-se a temperatura
de uma das placas, estabelece-se um perfil de temperatura na barra.Quando se alcança o estado estacionário, é necessário uma taxa constante de
transferência de calor Q, através da barra, para manter a diferença de temperatura.
Verifica-se que para valores pequenos de , a seguinte relação é válida:
A taxa de decréscimo de calor por unidade de área é proporcional ao decréscimo de
temperatura ao longo da distância Y. A constante de proporcionalidade k é a
condutividade térmica da barra.
A equação é válida também para líquidos e gases desde que na ausência de
conveção e radiação.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Na forma diferencial a equação será :
Esta equação é a forma unidimensional da lei de Fourier da
Condução de Calor e determina que o fluxo térmico devido à
condução é proporcional ao gradiente de temperatura
Se a temperatura variar nas três direcções, para cada uma das
direcções teremos:
O sinal é negativo porque o calor é sempre transferido no sentido de
diminuição de temperatura
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Condutividade térmica
A propriedade física que determina a taxa com que o calor é
conduzido é a Condutividade térmica
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Condutividade térmica
Faixas da condutividade térmica de vários estados da matéria a
temperaturas e pressões normais
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Condutividade térmica
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de
sólidos seleccionados
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Condutividade térmica
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de
gases seleccionados a pressões normais
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Condutividade térmica
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de
líquidos não melálicos seleccionados sob condições saturadas
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
Cp é o calor especifico a pressão constante
 A difusividade térmica mede a capacidade do material de
conduzir energia térmica em relação à capacidade de
armazená-la.
 A difusividade térmica tem as mesmas unidades que a
viscosidade cinemática ou seja L²/T
Difusividade térmica
Propriedades termofísicas:
1. Propriedades de transporte
 Coeficientes das taxas de difusão
 Conductividade térmica
 Viscosidade cinemática
 Difusividade térmica
2. Propriedades termodinâmicas
 Densidade
 Calor especifico
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Qual o objectivo a alcançar com a Lei de 
Fourier? 
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR (DIFUSÃO TÉRMICA)
PRINCIPAIS OBJECTIVOS DA ANÁLISE DA CONDUÇÃO DE CALOR
Distribuição de Temperaturas
 Fluxo de calor por condução
 Verificação da integridade estrutural
do material através da determinação
de tensões, expansões e deflexões
térmicas
 Optimização da espessura do
material isolante
 Compactibilidade entre
revestimentos especiais ou
adesivos usados com o material
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Como obter a distribuição de temperaturas? 
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR (DIFUSÃO TÉRMICA)
VOLUME DE CONTROLO DIFERENCIAL PARA ANÁLISE DA CONDUÇÃO
EM COORDENADAS CARTESIANAS NUM MEIO HOMOGÊNIO SEM
MOVIMENTO MACROSCÓPICO
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Mecanismo: Transferência de calor por condução
Volume de controlo diferencial: dxdydz
Taxas de transferência de calor por condução à entrada: 𝑞𝑥 , 𝑞𝑦 , 𝑞𝑧
Taxas de transferência de calor por condução à saida: 𝑞𝑥+𝑑𝑥 , 𝑞𝑦+𝑑𝑦 , 𝑞𝑧+𝑑𝑧
Do desenvolvimento em série de taylor ( desprezando os termos de ordem superiores)
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑞𝑦+𝑑𝑦 = 𝑞𝑦 +
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧 +
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Taxa de geração de energia térmica: 𝐸𝑔 = 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Considerando ausância de mudança de fases
Termo de acúmulo de energia: 𝐸𝑎𝑐𝑢 = 𝜌𝐶𝑝
𝜕 𝑇
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
As taxas de transferência de calor por condução podem ser 
determinadas pela Lei de Fourier:
𝑞𝑥 = −𝑘𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑦 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑞𝑧 = −𝑘𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Subsitituindo na Lei de conservação de energia: 𝐸𝑒𝑛𝑡 + 𝐸𝑔 − 𝐸𝑠𝑎𝑖 = 𝐸𝑎𝑐𝑢
Obtemos a Equação do Calor:
𝝏
𝝏𝒙
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒙
+
𝝏
𝝏𝒚
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒚
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝒒 = 𝝆𝑪𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Esta equação postula que em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de 
transferência de energia por condução para o interior de um volume 
unitário somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve 
ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no interior 
deste volume.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Versões simplificadas da equação do calor:
Se K=cte
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2 𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧2
+
 𝑞
𝑘
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Se o regime for transiente e não existir geração de energia:
𝝏𝟐𝑻
𝝏 𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝑻
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝑻
𝝏𝒛𝟐
=
𝟏
𝜶
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Equação de Fourier
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Se existir geração de energia e o estado for estacionário:
𝝏
𝝏𝒙
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒙
+
𝝏
𝝏𝒚
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒚
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝒒 = 𝟎
Equação de Poisson
Se não existir geração de energia e o estado for estacionário:
𝜕2𝑇
𝜕 𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
= 0
Equação de Laplace
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Se a transferência de calor for unidimensional ( por exemplo na direcção x) 
e não existir geração de energia: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 0
Ou seja : Em condições de transferência de calor unidimensional, em 
regime estacionário sem geração de energia, o fluxo de calor é uma 
constante na direcção da transferência.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
EM COORDENADAS CILINDRICAS:
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏𝜽
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝜽
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝒒 = 𝝆𝑪𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Quais as equações de Fourier em coordenadas 
cilíndricas? 
CAPÍTULO I: Introdução a Transferência de calor
EM COORDENADAS CILINDRICAS:
𝒒𝒓 = −𝑲
𝝏𝑻
𝝏𝒓
𝑞𝜃 = −
𝑘
𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝜃
𝒒𝒛 = −𝑲
𝝏𝑻
𝝏𝒛
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
EM COORDENADAS ESFÉRICAS
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓𝟐
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝟏
𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
𝝏
𝝏𝜽
𝒌𝒔𝒆𝒏𝜽
𝝏𝑻
𝝏𝜽
+
 
𝒒 = 𝝆𝑪𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
O que faltará para a obtenção da distribuição 
de temperaturas? 
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
EM COORDENADAS ESFÉRICAS
𝒒𝒓 = −𝑲
𝝏𝑻
𝝏𝒓
𝒒𝜽 = −
𝒌
𝒓
𝝏𝑻
𝝏𝜽
𝒒∅ = −
𝒌
𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
𝝏𝑻
𝝏∅
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL
1. Temperatura da superfície constante
𝑇 0, 𝑡) = 𝑇𝑠
Condição de Dirichlet ou condição de contorno de primeira 
espécie
2. Fluxo térmico na superfície constante
a) Fluxo térmico diferente de zero
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL
2. Fluxo térmico na superfície constante
b) Superfície isolada termicamente ou adiabática
3. Condição de convecção na superfície
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
AULA # 5 30/08/18 
SUMÁRIO: 
Capítulo II : INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
 A equação da difusão de calor (Difusão térmica)
 Exercícios de aplicação dos conceitos
Exercícios
A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura
de 1 m num certo instante de tempo é dada por: T(x)=a+bx+cx2, na
qual T está em ºC e x em m, enquanto a=900 ºC, b=-300 ºC/m e c=-50
ºC/m2. Uma geração de calor uniforme, =1000 W/m3, está presente na
parede, cuja área é de 10 m2. O seu material possui as seguintes
propriedades: =1600 kg/m3, k=40 W/(mºC) e Cp=4 kJ/(kgºC).
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede
(x=0) e que deixa a parede (x=1 m).
b) Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede.
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relaçãoao tempo
nas posições x=0; 0,25 e 0,5 m
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Exercícios
Um cilindro com raio 𝑟0, Comprimento L e condutividade térmica k
está imerso em um fluido de coeficiente de transferência de calor
por convecção h e temperatura desconhecida 𝑇∞. Em um certo
instante do tempo, a distribuição de temperaturas no cilindro é T(r)
= a + b𝑟2,na qual a e b são constantes. Obtenha as expressões
para a taxa de transferência de calor em 𝑟0e para a temperatura
do fluido.
.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Capítulo II : TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR
CONDUÇÃO
Exercícios
Seja a parede de um tubo com raios interno e externo iguais a
𝑟𝑖 e 𝑟𝑒 cujas temperaturas são mantidas a 𝑇𝑖 e 𝑇𝑒 , respectivamente.
A conductividade térmica do material do tubo é função da
temperatura e pode ser representada por uma expressão na forma
k=𝑘0 (1 + aT), onde 𝑘0 e a são constantes. Obtenha uma expressão
para a taxa de transferência de calor por unidade de
comprimento do tubo.
.
AULA # 6 04/09/17 
SUMÁRIO: 
Capítulo II : INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
 A equação da difusão de calor (Difusão térmica)
 Exercícios de aplicação dos conceitos
Exercícios
Deduzir a expressão do fluxo de calor q para um cilindro oco,
longo, de comprimento L, sabendo-se que na superficie interior de
raio 𝑟1 existe a temperatura 𝑇1 e, na exterior, de raio 𝑟2 , a
temperatura 𝑇2, sendo 𝑇1 > 𝑇2 e K o coeficiente de condutividade
térmica do material.
.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Exercícios
Em um certo instante de tempo, a distribuição de
temperaturapsura em uma parede com 0,3 m de espessura é T(x)
= a + bx+ c𝑥2, onde T está em ºC x em metros, a= 200ºC, b= -
200ºC/m e C= 30 ºC/𝑚2 . A parede possui uma condutividade
térmica de 1 W/(mK).
a) Com base em uma superfície de área unitária, determine a
taxa de transferência de calor para dentro e para fora da
parede bem como a taxa de variação da energia acumulada
no interior da parede.
b) Se a superficie fria estiver exposta a um fluido a 100ºC, qual é o
coeficiente de transferência de calor por convecção?
.
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
AULA # 7 04/09/19 
SUMÁRIO: 
Capítulo III : Conducção unidimensional em regime estacionário
 Parede composta
 Sistemas radiais
O cilindro
A esfera
 Condução com geração de energia térmica
Objectivo
Análise da condução unidimensional em regime estacionário.
 Expressões da distribuição de temperaturas e da taxa de
transferência de calor em geometrias comuns (plana, cilíndrica
e esféricas) distribuição de temperaturas e da taxa de
transferência de calor
 Conceito de resistência térmica e de círcuito térmico
 Efeito da geração interna de calor na determinação da
distribuição de temperaturas e da taxa de transferência de
calor
CAPÍTULO II: Introdução a Condução
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Parede plana
Transferência de calor através de uma parede plana. a) Distribuição de temperaturas
b) Circuito térmico equivalente
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Da Equação do Calor:
𝝏
𝝏𝒙
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒙
+
𝝏
𝝏𝒚
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒚
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝒒 = 𝝆𝑪𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Para condições de regime estacionário sem fontes de geração de 
energia.
𝑑
𝑑𝑥
𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= 0; T(0) =𝑻𝒔,𝟏 e T(L) =𝑻𝒔,𝟐
𝑻 𝒙 = (𝑻𝒔,𝟐 − 𝑻𝒔,𝟏 ) 
𝒙
𝒍
+ 𝑻𝒔,𝟏
A temperatura varia linearmente com X
Parede plana
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑥 = −𝐾𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝐾𝐴
𝐿
(𝑻𝒔,𝟏 − 𝑻𝒔,𝟐 )
q= ℎ𝐴(𝑻𝒔 − 𝑻∞ )
Parede plana
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
(𝑻𝒔,𝟏 − 𝑻𝒔,𝟐 )
𝑞𝑥
=
𝐿
𝑘𝐴
𝑅𝑒 =
(𝑬𝒔,𝟏 − 𝑬𝒔,𝟐 )
𝐼
=
𝐿
𝜎𝐴
Para Convecção
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑇𝑠− 𝑇∞
𝑞
=
1
ℎ𝐴
Para Radiação:
𝑅𝑡,𝑟𝑎𝑑 =
𝑇𝑠− 𝑇𝑣𝑖𝑧
𝑞
=
1
ℎ𝑟𝐴
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,2
𝑅𝑡𝑜𝑡
𝑅𝑡𝑜𝑡 =
1
ℎ1𝐴
+
𝐿
𝑘𝐴
+
1
ℎ2𝐴
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1
 1 ℎ1𝐴
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
 𝐿 𝐾𝐴
=
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
 1 ℎ2 𝐴
Parede plana
𝑞𝑥 é constante
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,2
𝑅𝑡𝑜𝑡
𝑅𝑡𝑜𝑡 =
1
ℎ1𝐴
+
𝐿
𝑘𝐴
+
1
ℎ2𝐴
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1
 1 ℎ1𝐴
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
 𝐿 𝐾𝐴
=
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
 1 ℎ2 𝐴
Parede plana
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Parede composta em série
Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Parede composta em série
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
 𝑅𝑡
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
 1 ℎ1𝐴
+ 
𝐿𝐴
𝑘𝐴𝐴
+ 
𝐿𝐵
𝑘𝐵𝐴
+ 
𝐿𝐶
𝑘𝐶𝐴
+ 1 ℎ4𝐴
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1
 1 ℎ1𝐴
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇2
 
𝐿𝐴
𝑘𝐴𝐴
=
𝑇2 − 𝑇3
 
𝐿𝐵
𝑘𝐵𝐴
= ⋯ .
Taxa de transferência de calor
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑥 = 𝑈𝐴∆𝑇
𝑈 =
1
𝑅𝑡𝑜𝑡𝐴
=
1
 1 ℎ1
+ 
𝐿𝐴
𝑘𝐴
+ 
𝐿𝐵
𝑘𝐵
+ 
𝐿𝐶
𝑘𝐶
+ 1 ℎ4
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡 =
∆𝑇
𝑞
=
1
𝑈𝐴
Coeficiente Global de Transferência de calor, U
Parede composta em série
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
As paredes compostas também podem ser caracterizadas
por configurações série-paralelo
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralelo
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Resistência Térmica de contacto
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralelo
𝑅𝑡,𝑐 =
(𝑻𝑨 − 𝑻𝑩 )
𝑞𝑥
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Sistemas Radiais: Cilindro
Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Sistemas radiais
O cilindro:
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑘𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0
𝑇 𝑟 = 𝐶1𝑙𝑛𝑟 + 𝐶2
𝑇 𝑟1 = 𝑇𝑠,1
𝑇 𝑟2 = 𝑇𝑠,2
𝑇 𝑟 =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑙𝑛 
𝑟1
𝑟2
𝑙𝑛
𝑟
𝑟2
+ 𝑇𝑠,2
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘 2𝜋𝑟𝐿
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟 =
2𝜋𝐿𝑘 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑙𝑛 
𝑟2
𝑟1
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝑙𝑛 
𝑟2
𝑟1
2𝜋𝐿𝑘
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Parede cilindrica composta
Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑟 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
1
2𝜋𝑟1𝐿ℎ1
+
𝑙𝑛 
𝑟2
𝑟1
2𝜋𝑘𝐴𝐿
+
𝑙𝑛 
𝑟3
𝑟2
2𝜋𝑘𝐵𝐿
+
𝑙𝑛 
𝑟4
𝑟3
2𝜋𝑘𝐶𝐿
+
1
2𝜋𝑟4𝐿ℎ4
𝑞𝑟 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
𝑅𝑡𝑜𝑡
= 𝑈𝐴 𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
𝑈1 =
1
1
ℎ1
+
𝑟1
𝑘𝐴
𝑙𝑛
𝑟2
𝑟1
+
𝑟1
𝑘𝐵
𝑙𝑛
𝑟3
𝑟2
+
𝑟1
𝑘𝐶
𝑙𝑛
𝑟4
𝑟3
+
𝑟1
𝑟4
1
ℎ4
𝑈1𝐴1 = 𝑈2𝐴2 = 𝑈3𝐴3 = 𝑈4𝐴4 =
1
 𝑅𝑡
Parede cilindrica composta
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Sistemas radiais
A esfera:
Condução em uma casca esférica
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘 4𝜋𝑟2
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟
4𝜋
 
𝑟1
𝑟2 𝑑𝑟
𝑟2
= − 
𝑇𝑠,1
𝑇𝑠,2
𝑘 𝑇 𝑑𝑇
𝑞𝑟 =
4𝜋𝑘 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
 1 𝑟1 − 
1
𝑟2
𝑅𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
1
4𝜋𝑘
1
𝑟1
−
1
𝑟2
Parede cilindrica composta
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Condução com Geração de Energia Térmica
A energia térmica pode ser gerada por:
 Conversão de energia eléctrica em energia
térmica
 Desaceleração e absorção de neutrões no
elemento combustível de um reactor nuclear
 Reacções químicas exoctérmicas ou
endoctérmicas
 Conversão de energia electromagnética em
energia térmica
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
AULA # 8 07 /09/19 
SUMÁRIO: 
Capítulo III : Conducção unidimensional em regime estacionário
 Exercíciosde aplicação de conceitos
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Exercício
Calcule a resistência térmica e a taxa de transferência de
calor através de uma lâmiba de vidro de janela( k= 0,81
W/mK) com 1 m de altura, 0,5 m de largura e 0,5 cm de
espessura, se a temperatura da superfície externa for 24 ºC e a
temperatura da superfície interna for 24,5 ºC.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Exercício
Uma janela dupla possui duas placas de vidro, com 7mm de espessura cada uma,
que confinam uma camada de ar com 7mm de espessura. A janela separa o ar da
sala a 20ªC do ar do ambiente externo a -10ªC. O coeficiente convectivo
associado à superficie interna(lado da sala) é de 10 W/(𝑚2K)
Se o coeficiente convectivo associado ao ar externo(ambiente) é de ℎ𝑒 = 80
W/(𝑚2K) qual é a perda de calor através de uma janela que possui 0,8 m de altura
por 0,5 m de largura. Suponha que o ar entre as placas de vidro encontra-se
estagnado e 𝑘𝑣𝑖𝑑𝑟𝑜 = 1,4 𝑊/(𝑚𝐾)𝑘𝑎𝑟 = 0,0245 𝑊/(𝑚𝐾)
.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Exercícios
As paredes compostas de um forno possui três materiais, dois dos quais com
condutividade térmica, 𝑘𝐴 = 20𝑊/(𝑚𝐾) e 𝑘𝐶 = 50𝑊/(𝑚𝐾), e espessura 𝐿𝐴 = 0,30 m
e 𝐿𝐶 = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B que se encontra entre os materiais
A e C, possui espessura 𝐿𝐵 = 0, 15 m conhecida mas a sua condutividade térmica
𝑘𝐵 é desconhecida.
Sob condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma
temperatura na superfície externa do forno de 𝑇𝑠,𝑒 = 20ºC, uma temperatura na
superfície interna 𝑇𝑠,𝑖 =600ºC e uma temperatura do ar no interior do forno de
𝑇∞ = 800ºC . O coeficiente convectivo interno h é conhecido e igual a 25
W/(𝑚2K). Qual é o valor de 𝑘𝐵 ?
AULA # 9 07 /09/19 
SUMÁRIO: 
Capítulo III : Conducção unidimensional em regime estacionário
 Exercícios de aplicação de conceitos
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Exercício
Considere uma parede plana composta constituída por dois
materiais com conductividades térmicas 𝐾𝐴 = 0,1 W/(m.K) e 𝐾𝐵
= 0,04 e espessuras 𝐿𝐴 = 10 mm e 𝐿𝐵 = 20 mm. A resistência de
contacto na interfase entre os dois materiais é conhecida,
sendo 0,3 𝑚2k/W. O material A está em contacto com um
fluido a 200ºC, com h= 10 W/𝑚2. k e o material B está em
contacto com um fluído a 40ºC, no qual h= 20 W/𝑚2. k
a)A qual é a taxa de transferência de calor através de uma
parede que tem 2 m de altura e 2,5 m de largura?
b) Esboce a distribuição de temperaturas.
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Exercício
Humanos são capazes de controlar suas taxas de produção de calor e de
perda de calor para manter aproximadamente constante a sua temperatura
corporal de 𝑇𝐶 = 37ºC sob uma ampla faixa de condições ambientais. Este
processo é chamado de termorregulação. Considere uma pessoa com uma
camada de pele e gordura, com uma temperatura interna um pouco abaixo
da temperatura corporal 𝑇𝑖 = 35ºC =308 k e com uma camada de
pele/gordura com espessura L= 3 mm e com conductividade térmica
efectivaK = 0,3 W/(m.k). Para reduzir a taxa de perda de calor, a pessoa veste
roupas especiais esportivas (casaco para neve e humidade) feitas com um
isolante de aerogel de sílica nanoestruturado com uma conductividade
térmica extremamente baixa, igual a 0,014 W/(mk) . A pessoa tem uma área
superficial de 1,8 𝑚2. A emissividade da superfície externa do casaco é 𝜀 =
0,95. A vizinhança, o ar ou a água se encontra a 10ºC. Qual espessura do
isolante de aerogel é necessária para reduzir a taxa de perda de calor para
100 W(uma taxa de geração de calor metabólica típica) no ar e na água?
Qual é a temperatura resultante da pele?
A transferência de calor por convecção para o ar é caracterizada por um
coeficiente h= 2 W/ 𝑚2.k e por radiação por ℎ𝑟 = 5,9 W/ 𝑚
2.k
A transferência de calor por convecção para a água é caracterizada por um
coeficiente h= 200 W/ 𝑚2.
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Exercício
Uma parede plana é composta por duas camadas de materiais A e
B. Na parede de material A há geração de calor uniforme q=
1,5x106 W/𝑚3, 𝐾𝐴 = 75 W/(m.K) e a espessura 𝐿𝐴 = 50 m- A parede do
material não apresenta geração de calor, 𝐾𝐵 = 150 W/(m.K) e a
espessurae 𝐿𝐵 = 20 mm. A superfície interna do material A está
perfeitamente isolada, enquanto a superfície externa do material B é
resfriada por uma corrente de água com 𝑇∞ = 30ºC e h= 1000 W/
𝑚2.k
a) Determine a equação de distribuição de temperaturas na parede
de material A
b) Esboce a distribuição de temperaturas que existe na parede
composta em condições de regime estacionário.
c) C) Determine a temperatura 𝑇0 da superfície isolada e
temperatura 𝑇2 da superfície resfriada.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
AULA # 10 10/09/16 
SUMÁRIO: 
Capítulo III : Superfícies estendidas
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
O que são superfícies estendidas?
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Superfícies estendidas
 È o termo usado para descrever a transferência de calor por
condução no interior de um sólido e por convecção (e/ou
radiação) nas fronteiras do sólido.
 Numa superfície estendida a transferência de calor por
convecção nas fronteiras do sólido ocorre perpendicularmente à
transferência de calor por condução no interior do sólido.
 Existem superfícies estendidas que são usadas especificamente
para aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e
um fluido adjacente. Esta superfície estendida é chamada de
aleta
2/12Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas
Possuem uma grande variedade de aplicações em .
 Transformadores;
 Motores de combustão interna;
 Compressores;
 Motores eléctricos
 Permutadores de calor
 etc,….
Exemplos:
 Os dispositivos para resfriar o cabeçote de motores de
motocicletas e de cortadores de grama;
 Dispositivos para resfriar transformadores de potência eléctrica
 Os tubos aletados usados para promover a troca de calor entre o
ar e fluido de trabalho em um aparelho de ar condicionado
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Como podemos aumentar a taxa de transferência 
de calor numa superfície estendida?
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas
Como aumentar a taxa de transferência de calor.
Q= hA(𝑇𝑠 - 𝑇∞ ) ; Se 𝑇𝑠é fixa:
 Aumentar o coeficiente h, através do aumento da velocidade do
Fluido. Existem muitas situações em que o aumento de h, até ao
valor máximo possível é insuficiente, ou os custos associados são
proibitivos;
 Aumentar a temperatura do fluido,𝑇∞, que é frequentemente
impraticável;
 Melhor opção:
Aumento da área da superfície através da qual ocorre a convecção,
através de aletas que se estendem da parede para o interior do
fluido adjacente
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas
Existem diferentes configurações de aleta. Exemplo:
 Aleta plana: É qualquer superfície estendida que se encontra
fixada a uma parede plana. Pode ter uma área de secção
transversal uniforme ou variando com a distância x da parede.
 Aleta anular: Encontra-se fixada circunferencialmente a um cilindro
e a sua secção transversal varia com o raio a partir da parede do
cilindro
 Aleta piniforme ou pino: É uma superfície estendida de áre de
secção transversal circular. Podem possuir secção transversal
uniforme ou não
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas
A selecção de uma determinada configuração de aleta depende
de:
 Considerações de espaço, de peso, de fabricação e de custo
 Extensão na qual as aletas reduzem o coeficiente convectivona
superfície e aumentam a queda de pressão associada ao
escoamento sobre as aletas
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Como determinar a taxa de transferência de calor 
associada a uma aleta?
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas
Através da determinação da distribuição de temperaturas ao longo
da aleta mediante um balanço de energia em um elemento
diferencial, considerando:
 Condições de regime estacionário;
 Conductividade térmica constante;
 Radiação na superfície desprezível;
 Sem geração de calor;
 Coeficiente de transferência de calor, h, uniforme ao longo da
superfície;
 Condições unidimensionais na direcção x;
 A Temperatura é uniforme ao longo da espessura da aleta, isto é,
só é função de x.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas com área de secção transversal uniforme
Caso de aletas planas rectangularese piniformes de secção
transversal uniforme:
𝐴𝑡𝑟 ( área transversal) é constante;
𝐴𝑠 ( área da superfície medida desde a base até x) = Px
P (perímetro da aleta);
 𝑑𝐴𝑡𝑟 𝑑𝑥 = 0 e 
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥 = P
𝑑2 𝑇
𝑑𝑥2
−
ℎ𝑃
𝐾𝐴𝑡𝑟
𝑇 − 𝑇∞ = 0
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Desempenho de aletas
Efectividade da aleta, 𝜀𝑎, é definida como a razão entre a taxa de
transferência de calor da aleta e a taxa de transferência de calor
que existiria sem a presença da aleta.
𝜀𝑎 =
𝑞𝑎
ℎ𝐴𝑡𝑟,𝑏𝜃𝑏
𝐴𝑡𝑟,𝑏 - Área da secção transversal da aleta na sua base
O uso de aletas só é justificado se:
𝜀𝑎 ≥ 2
Para aleta infinita:
𝜀𝑎 = (
𝐾𝑃
ℎ𝐴𝑡𝑟
)1/2
O uso só é justificado se:
𝐾𝑃
ℎ𝐴𝑡𝑟
> 4
Observação: A taxa máxima de transferência de calor possível na
aleta são atingidos para mL = 2,65, pelo que faz pouco sentido
estender as aletas além de L= 2,65/m
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Desempenho de aletas
O desempenho de aletas também pode ser quantificado em termos
de resistência térmica.
𝑅𝑡,𝑎 =
𝜃𝑏
𝑞𝑎
𝐴𝑡𝑟,𝑏 - Área da secção transversal da aleta na sua base
A resistência térmica convectiva pode ser determinada pela
equação:
𝑅𝑡,𝑏 =
1
ℎ𝐴𝑡𝑟
A efectividade da aleta será:
𝜀𝑎 ==
𝑅𝑡,𝑏
𝑅𝑡,𝑎
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Efeciência da aleta
Efeciência da aleta, η𝑎, é uma outra medida de desempenho de
uma aleta e é definida como a razão entre o calor real transmitido
pela aleta e o calor transmitido se toda a aleta estivesse à
temperatura de base.
η𝑎 =
𝑞𝑎
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑞𝑎
ℎ𝐴𝑎𝜃𝑏
𝐴𝑎 - Área superficial da aleta
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Aletas com área de secção transversal não uniforme
Nestes casos as soluções não são na forma de
funções exponenciais simples ou hiperbólicas.
Por exemplo para o caso da aleta anular:
𝑑2 𝑇
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
−
2ℎ
𝑘𝑡
𝑇 − 𝑇∞ = 0
Com 𝑚2 = 2ℎ/𝑘𝑡 e 𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
𝑑2𝜃
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑟
− 𝑚2𝜃 = 0
Equação de Bessel modificada de ordem zero com solução:
𝜃 𝑟 = 𝐶1𝐼0 𝑚𝑟 + 𝐶2𝐾0 𝑚𝑟
𝐼0 𝑒 𝐾0 - são funções de Bessel modificadas de ordem zero.
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
CAPÍTULO I: Transferência de calor-Introdução
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Efeciência Global da Superfície
Efeciência global da superfície, η𝑜, caracteriza um conjunto de aletas
e a superfície base na qual ele está fixado e é definida como:
η𝑜 =
𝑞𝑡
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑞𝑡
ℎ𝐴𝑡𝜃𝑏
𝑞𝑡 - Taxa total de transferência de calor na área superficial 𝐴𝑡
𝐴𝑡 - Área superficial associada à área das aletas e a fracção exposta
da base ( Superfície primária)
𝐴𝑡= N 𝐴𝑎+ 𝐴𝑏
𝐴𝑡- área superficial total
N- Número de aletas no conjunto
𝐴𝑎- área superficial de cada aleta
𝐴𝑏-área da superfície primária
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Efeciência Global da Superfície
A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da
superfície primária (sem aletas) pode ser representada por:
𝑞𝑡 = Nη𝑎h𝐴𝑎𝜃𝑏 + h𝐴𝑏𝜃𝑏
η𝑎, Eficiência de uma aleta isolada
h- Coeficiente convectivo equivalente para a superfície das aletas e
a superfície primária
𝑞𝑡 = h Nη𝑎𝐴𝑎 + (𝐴𝑡 − N𝐴𝑎) 𝜃𝑏 = h𝐴𝑡 1 −
N𝐴𝑎
𝐴𝑡
(1 − η𝑎) 𝜃𝑏
η𝑜 = 1 −
N𝐴𝑎
𝐴𝑡
(1 − η𝑎)
A resistência térmica de um conjunto de aletas será
𝑅𝑡,𝑜=
𝜃𝑏
𝑞𝑡
=
1
η
𝑜
ℎ𝐴𝑡
Capítulo III : Conducção unidimensional em
regime estacionário
Efeciência Global da Superfície
A resistência térmica de contacto será:
𝑅𝑡,𝑜(𝑐)=
𝜃𝑏
𝑞𝑡
=
1
η
𝑜(𝑐)
ℎ𝐴𝑡
A eficiência global da superfície correspondente será:
η𝑜(𝑐)=1 −
N𝐴𝑎
𝐴𝑡
(1 −
η
𝑎
𝐶1
)
𝐶1= 1 + η𝑎ℎ𝐴𝑎( 
𝑅𝑡,𝑐
´´
𝐴𝑐,𝑏
)
Na fabricação deve –se tomar cuidado para garantir que 𝑅𝑡,𝑐 ≪ 𝑅𝑡,𝑎
AULA # 10 16/09/16 
SUMÁRIO: 
Capítulo III : Superfícies estendidas
Exercícios de aplicação de conceitos
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
2/12
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Exercícios
O cilindro do pistão do motor de uma motocicleta é construído em
liga de alumínio 2024 – T6, tendo uma altura H=0,15 m e um
diâmetro externo D= 50 mm. Sob condições típicas de operação, a
superfície externa do cilindro está a uma temperatura de 500 K e
encontra-se exposta ao ar ambiente a 300K, com um coeficiente
convectivo de 50 W/( 𝑚2𝐾). Aletas anulares são fundidas
integralmente com o cilindro para aumentar a transferência de
calor para a vizinhança. Considere cinco destas aletas, com
espessura t= 6mm, comprimento L= 20mm e igualmente
espaçadas. Qual é o aumento na taxa de transferência de calor
devido ao uso da aleta?
2/12
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Exercícios
Duas barras longas de diâmetro D = 10 mm estão unidas por solda
em suas extremidades, sendo o ponto de fusão da solda 650 ºC. As
barras estão no ar a 25ºC com um coeficiente de 10 W/(𝑚2K).
Qual a potência mínima necessária para efectuar a solda? K =
379 𝑊/(𝑚𝐾)
2/12
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Exercícios
Um aparato experimental para medida de condutividade térmica
de materiais sólidos utiliza duas barras longas que são equivalentes
em muitos aspectos, excepto que uma é fabricada com um
material padronizado de condutividade térmica conhecida 𝐾𝐴
enquanto a outra é fabricada com um materail cuja
condutividade térmica 𝐾𝐵é desconhecida. As duas barras são
fixadas a uma fonte de calor a uma temperatura fixa 𝑇𝑏 , são
expostas a um fluido à temperatura 𝑇∞ , e termopares são
instalados nas barras para medir a temperatura a uma distância
determinada 𝑥1 da fonte de calor. Se o material padronizado for
aluminio com 𝐾𝐴 = 200 W/mºk e apresentar valores de
temperatura 𝑇𝐴= 75ºC e 𝑇𝐵= 60ºC. em 𝑋1 para𝑇𝑏= 100ºC e 𝑇∞= 25º,
qual é a condutividade térmica 𝐾𝐵 do material do teste?
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Exercícios
Pás de turbina montadas sobreum disco rotativo em um motor de turbina a
gás estão expostas a uma corrente de gás a 𝑇∞ =1200ºC e que mantém um
coeficiente de transferência de calor sobre a pá de h= 250 W/(𝑚2K). As pás
fabricadas em Inconel K = 20𝑊/(𝑚𝐾), têm um comprimento de L = 50 mm.
O perfil da pá possui uma área de secção transversal uniforme 𝐴𝑠 = 6 x
10−4 e um perímetro P= 110 mm. Um sistema proposto para o resfriamento
das pás, que envolve a passagem do ar através do disco de suporte, é
capaz de manter a base de cada pá a uma temperatura de 𝑇𝑏 =300ºC
a) Sendo a temperatura máxima permissível para a pá de 1050ºC e a
extremidade da pá podendo ser considerada adiabática, o sistema de
resfriamneto proposto é satisfatório?
b) Para o sistema de resfriamento proposto, qual é a taxa na qual o calor é
transferido de cada pá para o ar de resfriamento ?
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Exercícios
Um bastão de latão com 100 mm de comprimento e 5 mm de diãmetro
se estende horizontalmente a partir de uma solda a 200 ºC. O bastão
encontra-se num ambiente com 𝑇∞ = 20ºCe h= 30 W/(𝑚
2K).
Quais são as temperaturas no bastão a 25, 50 e 100 mm da solda?
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
CAPÍTULO III: Superfícies estendidas
Placas de circuito impresso são tratadas pelo aquecimento
sobre pressão de uma pilha dessas placas conforme a figura. As
placas de suporte acima e abaixo da pilha são mantidas a
uma temperatura uniforme pela circulação de um fluido. O
propósito da operação de aquecimento sobre pressão é a
cura do epóxi, que liga as folhas de fibra de vidro e confere
regidez as placas de circuito. A condição de cura é obtida
quando o époxi é mantido a uma temperatura igual ou superior
a 170ºC por pelo menos 5 min.
2/12
AULA # 02/10/17
SUMÁRIO: 
CAPÍTULO IV: Condução Transiente 
O Método da capacitância Global
Soluções exactas e aproximadas para sistemas planos e radiais.
Modelo do sólido semi –infinito.
2/12Condução em regime transiente
Muitos problemas de transferência de calor são dependentes do tempo e surgem 
quando as condições de contorno de um sistema são mudadas. Por exemplo se a 
temperatura superficial de um sistema for mudada
O nosso objectivo será desenvolver procedimentos para:
 Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido em relação ao 
tempo;
 Determinação da taxa de transferência de calor entre o sólido e a vizinhança; 
2/12Condução em regime transiente
A natureza do procedimento dependerá das considerações que podem ser feitas para o 
processo.
Se os gradientes de temperaturas no interior do sólido puderem ser desprezados –
Método da capacitância global
Se os gradientes de temperatura não são desprezíveis- mas a transferência de calor no 
interior do sólido é unidimensional-Soluções exactas da equação do calor
Exemplo: sólidos finitos( paredes planas, cilindros longos e esferas) e sólidos semi – infinitos
Geometria complexa - métodos das diferenças finitas ou elementos finitos
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Método da Capacitância Global.
Resfriamento de um metal quente
Hipótese: A temperatura do sólido é uniforme no espaço, durante o processo transiente
Implicações: Gradientes de temperatura desprezáveis
: K-Infinito
: Resistência à condução for pequena em comparação a resistência a 
transferência de calor entre o sólido e a Vizinhança
2/12Condução em regime transiente
Balanço Global de energia no sólido:
 − 𝐸𝑠𝑎𝑖 = 𝐸𝑎𝑐𝑢
−ℎ𝐴𝑠 𝑇 − 𝑇∞ = 𝜌 𝑉𝐶
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= exp −
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝑐
𝑡
𝜏𝑡 =
1
ℎ𝐴𝑠
𝜌𝑉𝑐 = 𝑅𝑡𝐶𝑡
Cálculo da energia total transferida:
𝑄 = 𝜌𝑉𝑐 𝜃𝑖 1 − 𝑒𝑥𝑝 −
𝑡
𝜏𝑡
Esta equação pode ser utilizada para o cálculo do tempo necessário para o sólido alcançar uma 
determinada temperatura T
2/12Condução em regime transiente
Resposta transiente da temperatura de sólidos com capacitâncias globais para diferentes 
constantes de tempo térmicas,𝜏𝑡
2/12Condução em regime transiente
Validade do método de Capacitância Global
𝐾𝐴
𝐿
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 = ℎ𝐴 𝑇𝑠,2 − 𝑇∞
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞
=
 𝐿 𝐾𝐴
 1 ℎ𝐴
=
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣
=
ℎ𝐿
𝐾
= 𝐵𝑖
Número de Biot
𝐵𝑖 =
ℎ𝐿𝑐
𝐾
< 0,1 O Erro associado à utilização do 
método da capacitância global é 
pequeno
Influência do número de Biot na 
Distribuição de temperatura
2/12Condução em regime transiente
Número de Fourier
ℎ𝐴𝑠𝑡
𝜌𝑉𝑐
=
ℎ𝐿𝑐
𝐾
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2 = 𝐵𝑖. 𝐹𝑜𝐿𝑐 = 𝑉/𝐴𝑠
𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2 è conhecido como número de Fourier
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= exp(−𝐵𝑖. 𝐹0)
Distrribuições de temperaturas transientes para diferentes números de Biot em uma parede plana resfriada simetricamente por convecção
2/12Condução em regime transiente
Efeitos espaciais
Condições
 Os gradientes de temperatura não são desprezáveis
 Conductividade térmica constante
 Sem geração de energia térmica
 Estado transiente ou não estacionário
Da equação do calor para coordenadas rectangulares:
𝜕2 𝑇
𝜕𝑋2
=
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Para o problema típico de condução transiente:
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖 ; Condição inicial
Condições contorno:
𝜕 𝑇
𝜕𝑋
|𝑥=0 = 0 ; − 𝐾
𝜕 𝑇
𝜕𝑋
|𝑥=𝐿 = ℎ 𝑇 𝐿, 𝑡 − 𝑇∞ ; solução: T = T(x , t,𝑇𝑖 , 𝑇∞, 𝐿, 𝐾, 𝛼, ℎ)
2/12Condução em regime transiente
Definindo as variáveis adimensionais:
𝜃∗ =
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑋∗ =
𝑋
𝐿
; 𝑡∗ =
𝛼 𝑡
𝐿2
= Fo
Teremos: 
𝜕2 𝜃∗
𝜕𝑋∗2
=
𝜕𝜃∗
𝜕𝐹𝑜
𝜃∗ 𝑋∗, 0 = 1 Condição inicial
𝜕 𝜃∗
𝜕𝑋∗
|𝑥∗=0 = 0 ; 
𝜕 𝜃∗
𝜕𝑋∗
|𝑋∗=1 = −𝐵𝑖𝜃
∗(1, 𝑡∗) ; condições de contorno 
𝐵𝑖 =
ℎ𝐿
𝐾
Solução: 
𝜃∗ = 𝑓 𝑋∗, 𝐹𝑜, 𝐵𝑖
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Parede Plana com convecção.:
 A parede encontra-se inicialmente a temperatura: 𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖
 Subitamente imersa em um fluido com a temperatura: 𝑇∞≠ 𝑇𝑖
 Espessura = 2L
 Condução ocorre exclusivamente na direcção X
Solução Exacta do problema:
Fo=
𝛼 𝑡
𝐿2
As quatro três raízes da função transcendental são fornecidas no apêndice B.3
2/12Condução em regime transiente
Parede Plana com convecção
Solução aproximada
Para 𝐹𝑜 > 0,2
Primeiro termo da solução em série infinita
ou
Temperatura adimensional no plano central (𝑋∗ = 0 )
𝜃0
∗ =
𝑇0 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
2/12Condução em regime transiente
Parede Plana com convecção
Transferência Total de energia
𝐸𝑒𝑛𝑡 − 𝐸𝑠𝑎𝑖 = ∆𝐸𝑎𝑐𝑢
Quantidade máxima de Transferência de energia que 
poderia ocorrer se o processo se estendesse até t= ∞
A razão entre a quantidade Total de energia transferida a partir da parede ao longo do 
intervalo de tempo t e quantidade máxima possível será: 
Para calcular o 𝜃0
∗ teremos a tabela 5.1
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Sistemas radiais com convecção.:
Para um cilindro infinito ( 𝐿 𝑟0 ≥ 10 )
O cilindro encontra-se inicialmente a temperatura: 𝑇 𝑟, 0 = 𝑇𝑖
 Subitamente imerso em um fluido com a temperatura: 𝑇∞≠ 𝑇𝑖
 raio= 𝑟0
Solução Exacta do problema:
𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝑟0
2 ; 𝐵𝑖 =
ℎ𝑟0
𝐾
As grandezas 𝐽0 𝑒 𝐽1 são as funções de Bessel de primeira espécie e os 
seus valores estão tabelados no Apêndice B.4
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Sistema radiais com convecção
Para um cilindro infinito
Solução aproximadaPara 𝐹𝑜 > 0,2
Primeiro termo da solução em série infinita
Ou 
Temperatura adimensional na linha do centro
Os valores dos Coeficientes C1 e estão listados na Tabela 5.1 para uma faixa de números de Biot
2/12Condução em regime transiente
Sisteam Radiais com convecção
Transferência Total de energia
Cilindro infinito
Quantidade máxima de Transferência de energia que 
poderia ocorrer se o processo se estendesse até t= ∞
A razão entre a quantidade Total de energia transferida a partir da parede ao longo do 
intervalo de tempo t e quantidade máxima possível será: 
Para calcular o 𝜃0
∗ teremos a tabela 5.1
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Sistemas radiais com convecção.:
Para a esfera)
A esfera encontra-se inicialmente a temperatura: 𝑇 𝑟, 0 = 𝑇𝑖
 Subitamente imerso em um fluido com a temperatura: 𝑇∞≠ 𝑇𝑖
 raio= 𝑟0
Solução Exacta do problema:
𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝑟0
2 ; 𝐵𝑖 =
ℎ𝑟0
𝐾
2/12Condução em regime transiente
Sistemas radiais com convecção
Para a esfera
Solução aproximada
Para 𝐹𝑜 > 0,2
Primeiro termo da solução em série infinita
Ou 
Temperatura adimensional na linha do centro
Os valores dos Coeficientes C1 e estão listados na Tabela 5.1 para uma faixa de números de Biot
2/12Condução em regime transiente
Sistemas Radiais com convecção
Transferência Total de energia
Para a esfera
Quantidade máxima de Transferência de energia que 
poderia ocorrer se o processo se estendesse até t= ∞
A razão entre a quantidade Total de energia transferida a partir da parede ao longo do 
intervalo de tempo t e quantidade máxima possível será: 
Para calcular o 𝜃0
∗ teremos a tabela 5.1
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
2/12Condução em regime transiente
Sólido Semi-Infinito
Sólido que se estende até ao infinito em todas as Direcções excepto uma
 È caracterizada por uma única superfície identificável
 Fornece uma idealização útil para muitos problemas práticos
Pode ser usado para:
 Determinar a transfgerêncai de calor transiente próxima a superfície da 
taerra
 Resposta transiente de um sólido finito como uma palca espessa
Para este caso:
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖 - Condição Inicial
: 𝑇 𝑥 → ∞, 𝑡 = 𝑇𝑖 Condição de contorno no interior do sólido
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Sólido Semi-Infinito
Soluções em forma fechada foram obtidas para três importantes condições na superfície, 
impostas instantaneamente em t=0
 Temperatura superficial constante --𝑇𝑠 ≠ 𝑇𝑖
 Fluxo térmico constante na superfície --𝑞0
,,
 Exposição da superfície para um fluido caracterizado por 𝑇∞ ≠ 𝑇𝑖 e um 
coeficiente convectivo h
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Sólido Semi-Infinito
Solução para o caso 1:
𝜂 = 
𝑥
4𝛼𝑡 1/2
A função erro de Gauss é uma função 
matemática classica que se encontra no 
Apêndice B
Histórico de temperaturas em um sólido semi-infinito
Com convecção na superficie
2/12Condução em regime transiente
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Exercício 
Considere um oleoduto em aço(AISI) com um metro de diâmetro e espessura da 
Parede de 40 mm. O oleoduto é muito bem isolado no exterior, e antes do inicio do
Escoamento suas paredes encontram-se a uma temperatura uniforme de -20ºC. Com 
O inicio do escoamento, óleo quente a 60ºC é bombeado através do oleoduto, 
Criando uma condição convectiva correspondendo a h= 500 W/𝑚2K na superfície 
Interna do oleoduto.
1-Quais os números apropriados de Biot e Fourier 8 minutos após o inicio do 
escoamento?
2- No instante t= 8 min, qual a temperatura na superfície externa da tubulação 
cobertaPelo isolamento?
3-Qual o fluxo de calor 𝑞,, ( W/𝑚2 ) para a tubulação a partir do oléo em t=8 min?
4~Qual a quantidade total de energia por metro linear do eleoduto de tubulação é
Transferida do óleo para o tubo até t= 8 min?
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Exercício 
Aço é sequencialmente aquecido e resfriado (temperado) para aliviar estresses e 
torná-lo menos quebradiço. Seja uma placa com 100 mm de espessura( K= 45 
W/(mK), 𝜌 = 7800 kg/𝑚3, Cp = 500 J/(kg.K) ) que está inicialmente a uma temperatura 
uniforme de 300ºC e é aquecida (em ambos lados) em um forno a fogo directo para o qual
𝑇∞ = 700 ºC e h= 500 W/(𝑚
2K).Quanto tempo demora para que uma temperatura mínima de 
550ºC na placa seja atingida?
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Exercício 
Em um processo de têmpera, uma placa de vidro, que se encontra inicialmente a 
uma temperatura uniforme 𝑇𝑖 é resfriada pela redução de temperaturas em ambas as 
superfícies a 𝑇𝑠 . A placa tem 20 mm de espessura, e o vidro tem difusividade térmica de 
6x10−7𝑚2/ s.
a) Quanto tempo levará para que a temperatura no plano médio atinja 50% de sua redução 
máxima de temperatura possível?
b) Se (𝑇𝑖 - 𝑇𝑠 ) = 300ºC qaul o máximo gradiente de temperatura no vidro no tempo acima’
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Exercício 
Um longo bastão de pirocerâmica com 20mm de diâmetro é revestido por
um tubo metâlico muito fino para proteção mecânica . A fixação entre o
bastão e o tubo possui uma resistência de conctacto de 0,12 m-K/W.
Se o bastão está inicialmente a uma temperatura uniforme de 900 K e é
subitamente resfriado pela sua exposição a uma corrente de ar, na qual, 𝑇∞
= 300 K e h= 100 W /(𝑚2 .K), em que instante de tem,po a temperatura no
eixo do bastão atinge 600 K?
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Exercício 
Na instalação de audotoras deve haver a preocupação com a
possibilidade de ocorrer congelamento durante periodos de baixas
temperaturas ambientais, em locais de clima frio. Embora o problema de
determinar a temperatura no solo em função do tempo seja complicado
devido às constantes mudanças nas condições da superfície, estimativas
razoáveis podem ser baseadas na hipótese de temperatura na superfície
constante ao longo de um periodo prolongado de tempo frio . Dessa forma
qual é a profundidade mínima 𝑋𝑚 que você recomendaria para evitar o
congelamento em condições nas quais o solo, inicialmente a uma temperatura
uniforme de 20ºC, é submetido a uma temperatura na superficie constante de -15ºC
por 60 dias?
Propriedades: 𝜌 = 2050 𝐾𝑔/𝑚3 K= 0,52 W/(mK) c = 1840 J/(Kg.K) 𝛼 =
𝐾
𝜌𝑐
=
0,130𝑥10−6𝑚2/s
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Exercício 
Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser
avaliado. O materail, uma esfera com raio ro = 5 mm, encontra-se
inicialmente em equilibrio a 400 ºC no interior de um forno. O material é
repentinamente removido do forno e submetido a um processo de
resfriamento em duas etapas.
Etapa I: Resfraimento no ar a 20ªC por um periodo de tempo 𝑡𝑎 até que a
temperatura do centro atinja um valor crítico, 𝑇(𝑎,𝑡𝑎)= 335ªC. Para essa
situação, o coeficiente de transfer~encia de calor por convecção é ℎ𝑎= 10
W/(𝑚2.k)
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica a segunda etapa é
iniciada.
Etapa 2: resfriamento em um banho agitado de água a 20ªC, com um
coeficiente de transferência de calorpor convecção de ℎ𝑏= 6000 W/(𝑚
2.k)
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Exercício 
Propriedades: 𝜌 = 3000 𝐾𝑔/𝑚3 ; K= 20 W/(mK) ; c = 1000 J/(Kg.K) 𝛼 =
𝐾
𝜌𝑐
=
6,66 𝑥10−6𝑚2/s
a) Calculle o tempo requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se
completar.
b) Calculle o tempo requerido na