Cálculo com curvas paramétricas| Resumo Exercícios com gabarito

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Cálculo com curvas paramétricas
1. Tangentes
A inclinação:
dy
dx
=
dy
dt
/
dx
dt
se
dx
dt
6= 0
Tangente horizontal:
dy
dt
= 0 se
dx
dt
6= 0
Tangente vertical:
dx
dt
= 0 se
dx
dt
6= 0
d2y
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
)
=
d
dt
(
dy
dx
)
dx
dt
2. Área{
x = f(t)
y = g(t), α ≤ t ≤ β
A =
∫ β
α
g(t)f ′(t)dt
3. Comprimento de arco{
x = f(t)
y = g(t), α ≤ t ≤ β
L =
∫ β
α
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
4. Área da superf́ıcie{
x = f(t)
y = g(t), α ≤ t ≤ β
S =
∫ β
α
2πy
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
1
Lista de exerćıcios
1. Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao
valor do parâmetro dado:{
x = t− t−1
y = 1 + t2, t = 1
2. Encontre uma equação da tangente da curva num dado ponto por dois
métodos:
(a) sem eliminar o parâmetro;
(b) eliminando o parâmetro primeiro.{
x = 1 +
√
t
y = et
2
, (2, e)
3. Encontre
dy
dx
e
d2y
dx2
. Para quais valores de t a curva é concava para cima?
(a)
{
x = et
y = te−t
(b)
{
x = cos2t
y = cost, 0 < t < π
4. Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical.
Trace a curva.
(a)
{
x = t3 − 3t
y = t3 − 3t2
(b)
{
x = cosθ
y = cos3θ
5. Encontre a inclinação da reta tangente à trocóide{
x = acos3θ
y = asen3θ
Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical? Em que pontos a
tangente tem a inclinação 1 ou -1?
6. Encontre a área determinada pelo eixo Ox e pela curva{
x = +et
y = t− t2
7. Encontre a área sob um arco da curva{
x = 2θ − senθ
y = 2− cosθ
2
8. Trace a curva e calcule o seu comprimento.
x = cost− ln
(
tg
t
2
)
y = sent,
π
4
≤ t3π
4
9. Uma curva chamada espiral de Cornu é definida pelas equações paramétricas:
= C(t) =
∫ t
0
cos
πu2
2
du
y = S(t) =
∫ t
0
sen
πu2
2
du
(a) Trace essa curva. O que acontece quando t→ +∞ e t→ −∞?
(b) Calcule o comprimento da espiral de Cornu a partir da origem até o
ponto com o valor do parâmetro t.
10. Calcule a área da superf́ıcie gerada pela rotação da curva dada em torno
do eixo Oy. {
x = et − t
y = 4et/2, 0 ≤ t ≤ 1
11. Encontre a área da superf́ıcie obtida pela rotação da curva dada em torno
do eixo Ox. {
x = acos3θ
y = asen3θ, 0 ≤ θπ
2
3
Gabarito
1. y = x+ 2
2. y = 4ex− 7e, t = 1
3. (a)
dy
dx
=
1− t
e2t
,
d2y
dx2
=
2t− 3
e3t
, t < 3/2
(b)
dy
dx
=
1
4
sect,
d2y
dx2
= − 1
16
sec3t, 0 < t < π/2
4. (a)
Tangentes horizontais: t = 0 (0, 0)
t = 2 (2,−4)
Tangentes verticais: t = 1 (−2,−2)
t = −1 (2,−4)
4
(b)
Tangentes horizontais: θ =
π
3
(3k + 1), k ∈ Z (1/2,−1) e (−1/2, 1)
θ =
π
3
(3k + 2), k ∈ Z (1/2,−1) e (−1/2, 1)
Não há tangentes verticais:
5.
dy
dx
= −tgθ, não existem os pontos onde a tange é vertical ou horizontal.
Inclinação 1: θ =
3π
4
+ πk, k ∈ Z
(√
2a
4
;−
√
2a
4
) (
−
√
2a
4
;
√
2a
4
)
Inclinação -1: θ =
π
4
+ πs, s ∈ Z
(√
2a
4
;
√
2a
4
) (
−
√
2a
4
;−
√
2a
4
)
6. 3− e
7. π(2r2 + d2)
8. ln1/2
9. (a) Para t → ±∞ a curva se aproxima para um ćırculo em primeiro
(terceiro) quadrante
(b) t
10. π(e2 + 2e− 6)
11.
6
5
πa2
5
6