Aula 05 - Projeto Geométrico Curvas Horizontais Circulares

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ESTRADAS
Aula 05: Projeto Geométrico – Curvas Horizontais 
Circulares
Curitiba, 22 de março de 2021
Prof.ª MSc. Larissa Vieira
Curvas horizontais
• O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos (tangentes) e
trechos curvos (curvas horizontais) alternadamente;
• Geralmente fatores como a topografia da região, características do solo,
desapropriações etc. obrigam o uso de curvas;
• Reduzir o número de curvas não é tão importante quanto ter curvas com
raios grandes.
Alinhamento horizontal
Segundo o Manual de Projeto Geométrico do DNIT, entre os aspectos que
devem ser considerados no projeto do traçado (p. 63):
“É preferível que o traçado seja uma sequência de curvas de raios longos
concordadas por tangentes curtas do que longas tangentes concordadas por
curvas de raio pequeno”
Concordância horizontal
Na conexão de dois trechos em tangente há três tipos de concordância:
a) Curva circular simples: quando dois trechos em tangente são ligados por
um arco de círculo
Concordância horizontal
b) Curva circular composta: quando dois trechos em tangente são conectados
por dois ou mais arcos de círculo sucessivamente tangentes girando no mesmo
sentido;
Podem ser de dois ou três centros:
R1
R2
Concordância horizontal
b) Curva circular composta:
(curva de três centros)
R2 R2
R1
Concordância horizontal
b) Curva circular composta com transição: a tangente é conectada com uma
curva circular por meio de uma curva com raio variável (curva de transição),
infinito na conexão com a tangente e igual ao raio da curva no ponto de
tangência com a curva circular;
Geometria das curvas horizontais circulares
Parâmetros geométricos da curva:
PI = ponto de interseção das tangentes
PC = ponto de curva (início da curva)
PT = ponto de tangência (fim da curva)
AC = deflexão entre as tangentes = ângulo
central da curva
R = raio da curva
T = tangente da curva
D = desenvolvimento = comprimento do
arco
O = centro da curva
Geometria das curvas horizontais circulares
Relações entre os parâmetros:
No triângulo O-PC-PI:
T
R
= tg
AC
2
T = R . tg
AC
2
D
2 π R
=
𝐴𝐶
360
D =
π . R. AC
180
(AC em 
graus)
D = AC . R (AC em radianos)
G
20
=
360
2 π R
G =
1.145,9156
R
Em que G é o grau da curva = ângulo central correspondente a um arco de 20 m
Obs.: é comum usar G = 1146/R
Geometria das curvas horizontais circulares
Cálculo das estacas dos pontos notáveis da curva:
• Para locar um ponto no traçado, usamos a estaca como unidade de
comprimento, de modo que 1 estaca = 20 metros;
• Quando um ponto a ser localizado não corresponde a um número exato de
estacas, sua posição é definida pela estaca anterior mais a distância em metros
a partir desta.
• Exemplo: o ponto P, distante 335,48 m do ponto inicial do traçado (estaca
zero), corresponde à estaca 16 + 15,48 m;
• Dada a estaca do PI, podemos calcular:
– Estaca do PC: estaca do PI – distância T
– Estaca do PT: estaca do PC + distância D
Locação das curvas horizontais circulares
• É a locação que define a posição da estrada no campo;
• Inicialmente são locados os PIs, verificados os ângulos de deflexão das
tangentes e, posteriormente, locadas as curvas e os demais elementos
geométricos;
• A locação das curvas do projeto pode ser feita pelo processo das deflexões
e cordas:
Para locar um ponto B, distante L1
metros de um ponto A, é necessário que
se calcule inicialmente a deflexão d1
L1
Locação das curvas horizontais circulares:
Chamando de α1 o ângulo central que
corresponde ao arco de comprimento L1,
temos:
Sendo AO perpendicular a IA e o triângulo
AIB isósceles, temos:
L1
G
20
=
α1
L1
logo α1 =
G . L1
20
d1 =
α1
2
ou d1 =
G . L1
40
Locação das curvas horizontais circulares:
Analogamente, podemos calcular a deflexão d2
para a locação do ponto C, distante L2 do
ponto A:
Observe que a deflexão é proporcional ao
comprimento do arco e a constante G/40 é a
deflexão para locar um arco de 1 metro de
comprimento.
Portanto, a deflexão para locar um arco de
comprimento L será:
L2
d2 =
α2
2
ou d2 =
G . L2
40
d = L
G
40
Locação das curvas horizontais circulares:
Assim, para a locação de uma curva a partir do PC, supondo que a estaca do PC
seja [ NPC + fPC ], em que NPC é o número de estacas inteiras e fPC é a fração da
estaca, a deflexão para locar a primeira estaca inteira da curva (estaca NPC + 1) é:
Para locar as demais estacas inteiras, basta somar ao valor da deflexão inicial d1
os valores de G/2 sucessivamente.
d1 = 20 − fPC
G
40
Locação das curvas horizontais circulares:
Como geralmente os raios são grandes em relação à distância entre as estacas
locadas, os arcos podem ser substituídos por suas cordas sem a introdução de
erro significativo, o que permite que a locação seja feita com por meio de uma
sequência de cordas de comprimento L (geralmente L = 20 m)
Locação das curvas horizontais circulares:
Para facilitar a locação, é aconselhável elaborar uma tabela:
Se o valor de G não for exato, essa sequência de cálculo irá acumular o erro no
valor da deflexão, prejudicando o fechamento final da curva. Para evitar isso, é
conveniente dividir a deflexão para o PT, que é AC/2, pelo comprimento da
curva, obtendo a deflexão para 1 metro; multiplicando esse valor pela distância a
partir do PC, obtemos a deflexão em cada ponto.
Indicação de curva circular em projeto:
Exemplo:
1) Em uma curva circular, são conhecidos os seguintes elementos:
- PI = 148 +5,60 m;
- AC = 22°36’
- R = 600,00 m
a) Calcular a tangente, o desenvolvimento, o grau e as estacas do PC e do PT;
b) Calcular a tabela de locação da curva.
- PI = 148 +5,60 m;
- AC = 22°36’
- R = 600,00 m
a) Calcular a tangente, o desenvolvimento, o grau e as estacas do PC e do PT
1º Transformar AC em graus decimais:
AC = 22°36’ = 22,6° (Se 1° = 60’, então 36’ = 0,6° *regra de três*)
2º Calcular a distância T:
3º Calcular o desenvolvimento D:
T
T = R . tg
AC
2
= 600 . tg
22,6°
2
= 𝟏𝟏𝟗, 𝟖𝟗 𝐦 = [5 + 19,89]
D
D =
π . R. AC
180
=
π . 600. 22,6
180
= 𝟐𝟑𝟔, 𝟔𝟕 𝐦 = [11 + 16,67]
4º Calcular o grau da curva G:
5º Calcular as estacas de PC e PT
[PC] = [PI] – T = [148 + 5,60] – [5 + 19,89] = [142 + 5,71]
[PT] = [PC] + D = [142 + 5,71] + [11 + 16,67] = [154 + 2,38]
G =
1.145,9156
R
=
1.145,9156
600
= 𝟏, 𝟗𝟎𝟗𝟖𝟓𝟗°
T
D
Observação: o desenvolvimento D pode ser calculado pela relação:
D =
20 . AC
G
Contudo, se o grau for calculado sem precisão suficiente, por exemplo pela
fórmula G=1146/R, poderá acarretar em erro no valor de D.
Na curva dada, teríamos G = 1146 / 600 = 1,91°
Substituindo,
D =
20 . 22,6
1,91
= 236,65 cm
Comparando com o resultado mais preciso obtido anteriormente igual a 236,67
cm, resulta em um erro de 2 cm.
b) Calcular a tabela de locação da curva
1º Calcular a deflexão para o PT
2º Calcular a deflexão para 1 metro:
3º Tabela de locação da curva no Excel
dPT =
𝛼
2
=
22,6°
2
= 11,3°
L2
𝑑 =
𝑑𝑃𝑇
D
=
11,3°
236,67
= 0,047745806°
Exercício:
1) Considerando o traçado a seguir com curvas circulares, calcular a estaca final
do trecho.