Aula 03 Análise de dados quantitativos

Prévia do material em texto

Disciplina: Análise de dados
Aula 3: Análise de dados quantitativos
Apresentação
Nesta aula, aprenderemos os conceitos de medidas de posição e dispersão, que serão úteis na análise e interpretação de
situações como a que foi descrita aqui. Além da visualização por meio de grá�cos, podemos quanti�car a posição central e
dispersão dos dados.
Objetivos
• Organizar e visualizar dados quantitativos por meio de tabelas e grá�cos;
• Calcular e interpretar as medidas de posição central e dispersão;
• Fazer uma análise exploratória dos dados por meio do resumo dos cinco números e pela análise do Box-Plot.
Dados quantitativos
Sabemos que dados quantitativos são provenientes de variáveis quantitativas discretas ou contínuas. Diferentemente de dados
qualitativos, quando estamos analisando um conjunto de dados numéricos temos a possibilidade de explorar melhor esse
conjunto, caracterizando-o por meio de sua tendência central, formato e variação .1
Mas por que há variabilidade em um conjunto de dados?
Vamos pensar em empresas que fabricam qualquer tipo de produto: elas não conseguem fabricar produtos que tenham
características sempre idênticas, ou seja, dois produtos nunca são exatamente iguais. Pode acontecer da variação encontrada
entre os produtos ser imperceptível, mas ela pode ser grande de maneira a tornar o produto não conforme ou torná-lo defeituoso.
Nesse caso, como fontes de variabilidade, podemos citar: diferenças nos materiais, diferenças no desempenho e operação dos
equipamentos de manufatura e diferenças na maneira como os operadores realizam suas tarefas.

qualidade é inversamente proporcional à variabilidade
Fonte: MONTGOMERY (2016, p. 5).
Na engenharia de qualidade, o principal objetivo é a redução sistemática da variabilidade nas características chaves da qualidade
do produto. Redução da variabilidade implica em menores custos, em consequência de menos reparos dos produtos, menos
reclamações dentro da garantia, etc.
Antes de estudarmos as medidas de posição e dispersão, vamos aprender a organizar e apresentar dados quantitativos em
distribuições de frequências e grá�cos.
Distribuição de frequências
A estrutura de uma distribuição de frequências para dados quantitativos é a mesma que aquela que aprendemos para dados
qualitativos. Para dados discretos, apresentamos os valores em ordem crescente. Agora, para um grande conjunto de dados
contínuos, organizamos os dados em intervalos de classes, pois dados contínuos se repetem em uma frequência baixa, tornado
a tabela extensa. O mesmo pode ser feito para muitos dados discretos com pouca repetição.
Para a organização dos dados em classes, precisamos saber qual o número de classes que vamos construir e a amplitude
(tamanho) de cada classe.
Não há um número de classes ideal a ser construída, mas existem fórmulas que servem como referência. Podemos utilizar a
regra da raiz, sugerida por vários autores:
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
k ≅ √n
onde k indica o número de classes que vamos construir
n é o número total de observações do conjunto de dados.
É muito comum o valor obtido para k não ser inteiro, então, vamos aproximar para o inteiro próximo de k
Para determinar a amplitude e o número de observações em cada classe, devemos:
1
Encontrar a amplitude total dos dados, ou seja,
amplitude total = valor máximo - valor mínimo
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
2
Dividir a amplitude total pelo número de classes, ou seja,
amplitude de classe =
amplitude total
k
Normalmente, o resultado dessa divisão não é inteiro. Podemos arredondar até o próximo número
inteiro, para facilitar a construção das classes.
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
3
O valor mínimo dos dados pode ser utilizado como o limite inferior da primeira classe. Caso esse
número seja decimal, podemos considerar o inteiro anterior a esse número. Por exemplo, se o menor
valor do conjunto de dados é 2,15, podemos considerar como limite inferior da primeira classe o número
2.
4
Após a identi�cação dos limites inferiores e superiores das classes, contamos o número de
observações que pertencem a cada intervalo de classe (frequências absolutas). Também, podemos
encontrar as frequências relativas (%) de cada classe.
5
Devemos deixar claro, na distribuição de frequências, se os valores iguais aos limites estão ou não
incluídos na classe. Construiremos intervalos de classe fechados à esquerda. A representação deste
tipo de intervalo é:
Li - Ls|
Por exemplo, seja o intervalo: 0 | - 2
Pertencem a este intervalo valores iguais ou superiores ao limite inferior do intervalo (neste exemplo, 0) e inferiores ao limite
superior (neste exemplo, 2). Se houver o número 2 no conjunto de dados, ele entra no próximo intervalo de classe (por exemplo,
2 | - 4).
Exemplo
Um dos principais indicadores para a qualidade dos serviços oferecidos por qualquer organização é a velocidade com que a
organização responde às reclamações dos clientes. Uma grande loja de departamentos, que comercializa mobiliário e coberturas
para pisos, passou por uma grande expansão ao longo dos últimos anos. Um objetivo estratégico empresarial corresponde a
reduzir o tempo entre o momento em que a reclamação é recebida e o momento em que o problema objeto da reclamação é
solucionado. Durante um ano recente, a empresa recebeu 50 reclamações com relação à instalação de carpetes. Os dados a
seguir representam o número de dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema:
1 2 4 4 5 5 5 10 11 12
13 13 14 19 20 21 22 23 26 26
26 27 27 27 28 29 29 29 30 31
31 32 33 35 35 36 52 54 61 68
74 81 94 110 110 123 126 137 152 165
Fonte: Levine et al. (2016, p. 88).
Vamos apresentar os dados em uma distribuição de frequências. Usando a regra da raiz para encontrar o número de classes,
temos:
� ≅ √50 ≅ 7, 1
Como o resultado é um valor decimal, temos que considerar um valor inteiro próximo a esse resultado. Então, podemos escolher
trabalhar com 7 classes.
A amplitude de cada classe é:
��������� �� ���� ������ = (����� �á���� − ����� �í����) /7 = (165 − 1) /7 ≅ 23, 4
Vamos considerar a amplitude de cada classe 24 e o limite inferior da primeira classe 0 (começar com 1 também é possível!).
Tabela 1 - Tempo (em dias) para a solução do problema
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Tempo (em dias) Frequência Frequência Relativa (%)
| - 24 18 36,00
24 | - 48 18 36,00
48 | - 72 4 8,00
72 | - 96 3 6,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Observamos que 72% das reclamações precisaram de até 48 dias para serem solucionadas e que 10% delas precisaram entre
120 a 168 dias.
Métodos grá�cos
Os dois tipos de grá�cos frequentemente utilizados para variáveis quantitativas são o grá�co de barras, para dados discretos que
não foram agrupados, e o histograma, para dados contínuos agrupados em classes.
Grá�co de Barras
Já utilizamos o grá�co de barras para mostrar visualmente o comportamento das categorias de uma variável qualitativa. Aqui, o
procedimento é o mesmo, porém, colocaremos os valores da variável quantitativa no eixo das abscissas (eixo x) e as frequências
absolutas ou porcentagens no eixo das ordenadas. Não devemos esquecer dos cuidados que devemos ter na construção de um
grá�co!
Exemplo
Um fabricante de molas, interessado em implementar um sistema de controle de qualidade para monitorar seu processo de
produção, analisou 40 lotes de produção com tamanho igual a 50 e registrou o número de molas fora da conformidade em cada
um dos lotes. Os dados são apresentados no grá�co a seguir.
A variável de interesse é o númerode molas fora da conformidade e ela é classi�cada como quantitativa discreta.
Os valores observados para essa variável estão entre 3 e 12 molas fora da conformidade, distribuídos de acordo com as
frequências apresentadas no grá�co.
Grá�co 1 – Número de molas fora da conformidade nos lotes analisados
Histograma
Um histograma é semelhante ao diagrama de barras, porém refere-se a uma distribuição de frequências construída com
intervalos de classes. Por isso, apresenta uma diferença: não há espaços entre as barras. Os intervalos de classes são colocados
no eixo horizontal enquanto as frequências são colocadas no eixo vertical.
O histograma é muito utilizado para visualizarmos a natureza da distribuição dos dados. Muitas técnicas estatísticas exigem que
os dados amostrais sejam provenientes de uma população que tenha uma distribuição que não se afaste drasticamente de uma
curva em forma de sino. Para veri�car essa exigência, podemos sempre usar o histograma.
Grá�co 2 – Histograma para o perímetro torácico de homens adultos
 Fonte: Blog Sonia Vieira <//soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html>
Mas, o que é uma curva em forma de sino? As características para uma curva em forma de sino são: o aumento das frequências,
que atingem um máximo e depois decrescem e a simetria (metade a esquerda do grá�co é uma imagem re�etida da metade a
direita). A Figura a seguir apresenta uma curva em forma de sino ajustada ao histograma.
Exemplo
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
Os dados a seguir referem-se ao tempo de parada de um equipamento, seja por manutenção ou troca de ferramentas. Os tempos
estão em minutos e foram coletados uma vez ao dia.
Grá�co 3 – Histograma para o tempo (minutos) de parada de um equipamento
Podemos observar que a distribuição dos dados é aproximadamente simétrica. Nesse exemplo, o histograma é o grá�co
apropriado para visualizar os dados coletados, pois eles foram agrupados em classes.
Medidas de posição central
Depois da organização e visualização de dados quantitativos, podemos encontrar medidas que nos fornecem a localização ou
tendência central dos dados, ou seja, dão a ideia do centro em torno do qual os dados se distribuem. Conheça a seguir as
medidas mais utilizadas.
Média
Fórmula:
x̄ =
∑ni=1xi
n
ou
x̄ =
∑ki=1xi · fi
n
Em que:
n
Σ
i=1
xi representa o somatório das observações;
n número de observações no conjunto de dados;
fifrequência com que as observações se repetem.

Vantagens e desvantagens
1. É a medida de posição central mais conhecida e mais utilizada.
2. É in�uenciada pela presença de valores discrepantes (outliers) no conjunto de dados. Nessas situações, a mediana é
mais representativa que a média aritmética.
3. Só pode se encontrada para variáveis quantitativas.
Moda
Fórmula:
Não tem fórmula, basta analisar a distribuição de frequências, pois moda é a resposta que aparece com a maior frequência
em um conjunto de dados.
Um conjunto de dados pode:
1. Não ter moda (distribuição amodal).
2. Ter uma moda (distribuição unimodal).
3. Ter duas modas (distribuição bimodal).
4. Ter mais de duas modas (distribuição multimodal).

Vantagens e desvantagens
1. A moda pode ser encontrada para variáveis qualitativas e quantitativas.
2. A limitação do uso da moda está no fato de que um conjunto de dados pode não ter moda alguma, ou pode ter mais
de uma moda, ao passo que a média e a mediana são únicas.
Mediana
Se o número de elementos do conjunto de dados for ímpar, temos:
Md = x n+1
2
Se o número de elementos do conjunto de dados for par, temos:
Md =
x n
2
+ x n
2
+1
2
em que x n
2
, x n
2
+1 e x n+1
2
 indicam as observações que ocupam as posições “do meio” do conjunto de dados.

Vantagens e desvantagens
1. A mediana não é in�uenciada pela presença de valores discrepantes (outliers) no conjunto de dados, sendo, nesses
casos, mais representativa que a média aritmética.
2. A mediana pode ser encontrada para variáveis qualitativas ordinais.
3. Para encontrar a mediana os dados devem estar ordenados.
4. A mediana é o valor do meio de um conjunto de dados ordenado. Metade dos valores é menor ou igual à mediana, e
metade dos valores é maior ou igual ao valor da mediana.
As fórmulas apresentadas são para estudos realizados com dados amostrais.
Representamos o número de observações em uma amostra por n e no caso de população
utilizamos N.
Para dados agrupados em classes, em que não temos acesso ao conjunto de dados brutos,
substituímos os valores individuais presentes em cada intervalo (que são desconhecidos)
pelos respectivos pontos médios de cada classe.
Exemplo
Vamos utilizar os dados do Exemplo referente ao número de molas fora da conformidade para calcular as medidas de posição.
Média:
x̄ =
∑ki=1xi · fi
n
=
3×1+4×4+5×3+ … +12×4
1+4+3+ … +4
=
301
40
= 7, 525 molas
Moda:
A resposta que aparece com a maior frequência é o 7 (aparece 9 vezes). Portanto: mo = 7molas
Mediana:
x̄ =
∑ki=1xi · fi
n
=
3×1+4×4+5×3+ … +12×4
1+4+3+ … +4
=
301
40
= 7, 525 molas
Como o número de observações é par (40 observações), temos:
Md =
x n
2
+ x n
2
+1
2
=
x 40
2
+ x 40
2
+1
2
=
x20+ x21
2
=
7+7
2
= 7molas
Como sabemos qual é o valor que está na vigésima e vigésima primeira posições? Basta somarmos as frequências até
chegar nas posições desejadas. No exemplo:
1 + 4 + 3 + 4 + 9 = 21
Isso quer dizer que precisamos ir até a barra cuja resposta da variável é 7 para chegarmos nas posições 20 e 21.
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Pelas medidas encontradas, concluímos que o número médio de molas fora da conformidade na amostra em estudo é 7,525 e
que pelo menos metade das observações são maiores ou iguais a 7 (pelo valor encontrado para a mediana). A moda nos informa
que a observação que aparece com a maior frequência é 7 molas fora da conformidade.
Medidas de dispersão
Você lembra do caso da peça fabricada por duas linhas de produção que deveria apresentar
comprimento médio de 75 cm? E da Figura 1, lá na apresentação desta aula? Se achar
melhor, reveja este exemplo.
Além de caracterizar um conjunto de dados por meio das medidas de posição central, é muito importante estudar a variabilidade
presente (ou não) nos dados. Como vimos na Figura 1, a Linha 1 está produzindo peças com menor variabilidade no comprimento
quando comparada com a Linha 2. Sabemos que qualidade é inversamente proporcional à variabilidade e que a melhoria da
qualidade é a redução da variabilidade nos processos e produtos (MONTGOMERY, 2016, p. 6).
Então, vamos aprender a calcular e interpretar as medidas de dispersão mais utilizadas?
Amplitude total
Fórmula:
x_((máximo)) - x_((mínimo))
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal

Vantagens e desvantagens
1. Fácil de calcular e interpretar.
2. Só leva em conta dois valores do conjunto de dados.
3. A amplitude é muito sensível a valores discrepantes.
Variância
Fórmula:
s2 =
∑ni=1 xi - x̄
2
n - 1
ou
s2 =
∑ni=1x
2
i -
∑ni=1xi
2
n
n - 1
Para dados em tabelas:
s2 =
∑ni=1 xi - x̄
2 · fi
n - 1
ou
s2 =
∑ni=1x
2
i · fi -
∑ni=1xi · fi
2
n
n - 1
( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal

Vantagens e desvantagens
1. Leva em conta todas as observações do conjunto de dados.
2. É interpretada como uma média do quadrado dos desvios, pois desvio é a distância de qualquer observação do
conjunto de dados em relação à média desse conjunto:
desvio = x - x̄
3. A unidade de medida da variância é igual ao quadrado da medida dos dados, tornado difícil a interpretação do valor
numérico obtido.
Desvio-padrão
Fórmula:
� = √ (� ^ 2 )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal

Vantagens e desvantagens
1. Apresenta a mesma unidade de medida dos dados.
2. Como a média, o desvio-padrão é in�uenciado pela presença de valores discrepantes (outliers) no conjunto de dados.
3. É utilizado para comparar a variabilidade de dois conjuntos de dados diferentes quando as médias forem
aproximadamente iguais e quando as unidades de medidas para os dois conjuntos forem as mesmas.
Coe�ciente de variação
Fórmula:
cv =
s
x̄
× 100
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal

Vantagens e desvantagens
1. É adimensional.
2. Serve para comparar a variabilidade de conjuntos de dados cujas variáveis em estudo são diferentes (com unidades
de medidas diferentes).
As medidas e dados apresentados são para dados amostrais.
Exemplo
Dando continuidade ao estudo sobre o número de molas fora da conformidade, vamos encontrar as medidas de dispersão.
Vamos apresentar os dados contidos no grá�co em um quadro:
Tempo (em dias) Frequência Frequência Relativa (%)
|―24 18 36,00
24|―48 18 36,00
48|―72 4 8,00
72|―96 3 6,00
Amplitude total
AT = x (máximo ) - x (mínimo )AT = 12 - 3 = 9molas
A maior diferença entre quaisquer dois lotes, em termos de número de molas fora da conformidade, é 9.
Variância
s2 =
∑ni=1x
2
i · fi -
∑ni=1xi · fi
2
n
n - 1
Precisamos das seguintes quantidades:
∑ni=1x
2
i · fi = 3
2 × 1 + 42 × 4 + ⋯ + 122 × 4 = 2. 481∑ni=1xi · fi = 3 × 1 + 4 × 4 + ⋯ + 12 × 4 = 301
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Então:
s2 =
∑ni=1x
2
i · fi -
∑ni=1xi · fi
2
n
n - 1
=
2481 -
( 301 ) 2
40
39
=
2481 - 2265 , 025
39
= 5, 54molas2
Como a variância é expressa em unidades elevadas ao quadrado, vamos encontrar o desvio-padrão.
Desvio-padrão
s = √s2s = √5, 54 = 2, 35molas
Coe�ciente de variação
cv =
s
x̄
× 100cv =
2 , 35
7 , 525
× 100 = 31, 23 %
Concluímos que o número médio de molas fora da conformidade, por lote, é 7,5, com um desvio-padrão de 2,25 molas.
Com esses valores, o departamento de controle de qualidade tem como avaliar se a produção está ocorrendo de acordo
com padrões estabelecidos, ou se mudanças são necessárias para atingir a qualidade requerida.
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
( )
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Análise exploratória de dados
Caracterizamos o conjunto de dados quanto a sua tendência central e a sua variabilidade. Além disso, podemos descrever dados
numéricos por meio de uma análise exploratória de dados . que utiliza ferramentas estatísticas como grá�cos e medidas de
posição central e de dispersão para compreender características importantes sobre o conjunto. Aprenderemos, agora, como
encontrar o resumo dos 5 números e como construir e interpretar um grá�co denominado Box-Plot.
Veja no Grá�co 4 algumas das medidas que vamos aprender.
2
Grá�co 4 - Dispersão da idade dos alunos matriculados em cursos de graduação, por modalidade de ensino
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
https://estacio.webaula.com.br/cursos/go0022/aula3.html
 Fonte: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira- INEP <//download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf> .
Quartis
Os quartis (Q1, Q2 e Q3), como o próprio nome sugere, divide a distribuição dos dados ordenados em quatro partes, sendo que:
• Primeiro quartil (Q1): no mínimo 25% dos valores ordenados são menores ou iguais a Q1 e no mínimo 75% são maiores ou
iguais a Q1.
• Segundo quartil (Q2): no mínimo 50% dos valores ordenados são menores ou iguais a Q2 e no mínimo 50% são maiores ou
iguais a Q2.
• Terceiro quartil (Q3): no mínimo 75% dos valores ordenados são menores ou iguais a Q3 e no mínimo 25% são maiores ou
iguais a Q3.
Com os dados ordenados, temos:
Posição Q1 =
n
4
Posição Q2 =
n
2
Posição Q3 =
3 ·n
4
Comentário
Quando fazemos estas divisões para encontrar as posições dos quartis, pode acontecer do resultado ser um número inteiro ou
um número fracionário. Então, adotaremos a seguinte convenção:
• Se a divisão resultar num número fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil será a observação encontrada nesta
posição.
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
• Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média aritmética da observação que ocupar a posição encontrada com a
observação que ocupar a posição imediatamente seguinte.
Para construir o Box-Plot, precisamos encontrar:
xmáximo
Q1
Q2
Q3
xmínimo
Exemplo
Os dados a seguir representam o número de falhas, por dia, no servidor de rede de uma empresa, durante 20 dias.
1 2 0 0 3 1 2 2 3 1
4 5 5 3 6 8 1 5 16 2
Vamos encontrar o resumo dos 5 números.
Para encontrar os quartis, precisamos ordenar os dados:
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 4 5 5 5 6 8 16
Posição Q1 =
n
4
=
20
4
= 5. O Q1 está entre a quinta e sexta posições dos dados ordenados:
Q1 =
1+1
2
= 1falha
Posição Q2 =
n
2
=
20
2
= 10. O Q2 está entre a décima e décima primeira posições dos dados ordenados:
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Q3 =
2+3
2
= 2, 5falhas
Posição Q3 =
3 ·n
4
=
3 · 20
4
= 15. O Q3 está entre a décima quinta e décima sexta posições dos dados ordenados:
Q3 =
5+5
2
= 5falhas
Então, o resumo dos 5 números para esse conjunto de dados é:
xmínimo Q1 Q2 Q3 xmáximo
0 1 2,5 5 16
Como podemos explorar informações importantes presentes nesse conjunto de dados?
Podemos construir um grá�co denominado Box-Plot, que veremos a seguir.
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Box-Plot
Este grá�co é construído utilizando o resumo dos cinco números. Ele informa, entre outras coisas, a posição, variabilidade e
simetria dos dados. A posição central é dada pela mediana (Q2) e a dispersão pela amplitude interquartil (dq). Com as posições
relativas de Q1, Q2 e Q3 temos ideia da assimetria da distribuição. Veja a seguir um exemplo de Box-Plot.Grá�co 5 – Box-Plot
 Fonte: BUSSAB e MORETTIN (2002, p. 48).
Citação

Para construir este diagrama, consideremos um retângulo onde estão representados a
mediana e os quartis. A partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto
mais remoto que não exceda LS = q3+(1, 5)dq, chamado limite superior. De modo similar,
da parte inferior do retângulo, para baixo, segue uma linha até o ponto mais remoto
que não seja menor do que LI = q1- (1, 5)dq, chamado limite inferior. Os valores
compreendidos entre esses dois limites são chamados valores adjacentes. As
observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior
estabelecidos serão chamadas pontos exteriores e representadas por asteriscos. Essas são
observações destoantes das demais e podem ou não ser o que chamamos de outliers ou
valores atípicos.
Fonte: BUSSAB; MORETTIN, 2002, p. 48.
Exemplo
Vamos construir o Box-Plot para o Exemplo do número de falhas no servidor de rede. resumo dos cinco números é:
xmínimo Q1 Q2 Q3 xmáximo
0 1 2,5 5 16
Para encontrar LI e LS, precisamos da distância interquartil, obtida por:
dq = Q3 - Q1dq = 5 - 1 = 4
Então:
LI = q1 - (1, 5)dq = 1 - (1, 5) × 4 = - 5LS = q3 + (1, 5)dq = 5 + (1, 5) × 4 = 11
Agora, temos as informações necessárias para construir o Box-Plot.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Grá�co 6 – Box-Plot para o número de falhas diárias no servidor de rede
 Fonte: Elaboração do autor.
O que podemos concluir do Box-Plot apresentado? Por que a observação 16 é um outlier? E,
por que as linhas que saem do retângulo não vão até o valor encontrado para o limite inferior
(LI) e limite superior (LS)?
Para responder essas perguntas, vamos à explicação fornecida por Bussab e Morettin (2002, p. 48):
• A partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto mais remoto que não exceda LS = q3 + (1, 5)dq, chamado limite
superior.
• O valor do limite superior é LS = 11 e, no conjunto de dados, o valor mais remoto que não exceda o número 11, é X19 = 8.
• De modo similar, da parte inferior do retângulo, para baixo, segue uma linha até o ponto mais remoto que não seja menor do
que LI = q1 - (1, 5)dq, chamado limite inferior.
• O valor do limite inferior é LI = 5 e, no conjunto de dados, o valor mais remoto que não é menor que o número -2, é o valor
mínimo Xmínimo = 0.
• As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior estabelecidos serão chamadas pontos
exteriores e representadas por asteriscos. Essas são observações destoantes das demais e podem ou não ser o que
chamamos de outliers ou valores atípicos.
• A observação 16 está acima do limite superior (LS = 11), portanto, é identi�cado como um outlier. Se tivermos certeza que o
outlier é um erro (por exemplo, erro de medição ou de digitação), devemos corrigi-lo ou retirá-lo do conjunto de dados. Agora,
se soubermos que o outlier é um valor correto, devemos estudar seu efeito construindo grá�cos e calculando as medidas
descritivas com e sem o outlier.
Atividade
1. Bernardin (Mestrado Engenharia Mecânica/UFSC, 1994) realizou um experimento que tinha o objetivo de melhorar a qualidade
do processo de formulação de massa cerâmica para pavimento. Os corpos de prova eram “biscoitos” que saíam do processo de
queima e a quantidade era avaliada por três variáveis, a saber: X1 = retração linear (%), X2 = resistência mecânica e X3 = absorção
da água (%). O experimento foi realizado sob 8 condições diferentes (no estudo original eram 18). Foram feitos 5 ensaios em cada
uma das 8 condições experimentais. Os dados são apresentados a seguir.
C1 X1 X2 X3 C1 X1 X2 X3 C1 X1 X2 X3 C1 X1 X2 X3
1 8,9 41,1 5,5 3 9,4 50,0 0,8 5 13,4 60,6 0,5 7 12,9 41,1 0,2
1 9,2 39,0 4,8 3 9,9 48,3 0,6 5 13,4 60,0 0,5 7 12,4 39,0 0,4
1 8,0 36,9 6,2 3 9,6 50,1 0,6 5 13,6 68,4 0,2 7 12,6 36,9 0,5
1 8,7 39,2 5,7 3 9,2 49,9 0,7 5 13,4 60,8 0,7 7 12,6 39,2 0,4
1 8,7 35,9 5,5 3 9,4 56,2 0,5 5 12,4 51,4 1,0 7 12,9 35,9 0,3
2 12,6 52,7 0,9 4 6,6 31,2 9,0 6 9,6 41,2 3,9 8 8,2 40,8 4,4
2 13,6 53,5 0,4 4 6,4 25,3 10,2 6 10,6 53,0 4,5 8 9,2 43,8 3,9
2 11,6 47,0 1,3 4 5,9 22,8 10,5 6 8,9 37,0 3,3 8 9,2 48,6 4,0
2 10,1 31,1 1,8 4 5,9 27,5 10,6 6 7,5 30,1 3,0 8 8,5 46,9 4,3
2 12,1 50,9 1,1 4 6,8 31,9 9,3 6 8,9 41,6 3,5 8 8,7 46,2 4,1
Fonte: BARBETTA (2004, p. 88).
Organize os dados da variável X2 em uma distribuição de frequências.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
2. Utilizando os dados da Atividade 1, encontre a média e o desvio-padrão para a variável X1, considerando as condições 1 e 6. Em
qual condição o conjunto de dados apresenta menor variabilidade?
3. Construa o Box-Plot para a variável X1.
Notas
Variação 1
As medidas descritivas de dispersão (variação) nos auxiliam a entender a variabilidade presente em um conjunto de dados, de
maneira a nos apoiarem nos processos de tomada de decisão.
Molda análise ecploratória de dados 2
Na análise exploratória de dados quantitativos, encontramos os quartis, o resumo dos cinco números e construímos o Box-Plot.
Referências
BARBETTA, Pedro A.; REIS, Marcelo M.; BORNIA, Antonio C. Estatística: para cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas,
2004.
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Estatística: Teoria e Aplicações Usando Microsoft Excel em Português.
7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P de. Noções de Probabilidade e Estatística. 6. ed. São Paulo: Editora da Universidade
de São Paulo, 2004.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao Controle Estatístico de Qualidade. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2014.
Portal Action. MEDIDAS DE DISPERSÃO. Disponível em: <// www.portalaction.com.br/ estatistica- basica/ 22- medidas- de-
dispersao <//www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao> >. Acesso em: 18 nov. 2018.
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. CENSO DA EDUCAÇÃO SUPERIOR 2010. Disponível em:
<// download.inep.gov.br/ educacao_ superior/ censo_ superior/ documentos/ 2010/ censo_ 2010.pdf <//download.inep.gov.br
/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf> >. Acesso em: 18 nov. 2018.
Blog Sonia Vieira. Distribuição normal (para não-matemáticos). Disponível em: <// soniavieira.blogspot.com/ 2016/ 06/
distribuicao- normal- para- nao- matematicos.html <//soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-
matematicos.html> >. Acesso em: 18 nov. 2018.
Próxima aula
• Conceito de probabilidade;
• Probabilidade condicional e independência;
• Teorema de Bayes.
Explore mais
• Boxplot <//www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot> - Portal Action
• O que é assimetria (ou distorção) e como se mede? <//soniavieira.blogspot.com/2018/05/> - Blog Sonia Vieira
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/22-medidas-de-dispersao
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdfhttps://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2010/censo_2010.pdf
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://soniavieira.blogspot.com/2016/06/distribuicao-normal-para-nao-matematicos.html
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/31-boxplot
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2018/05/
• Avaliação tipo A da incerteza da medição <//soniavieira.blogspot.com/2016/05/> - Blog Sonia Vieira
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/
https://soniavieira.blogspot.com/2016/05/