CA2 - aula 5 - Pilares - Parte 1

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FACULDADE PARAÍSO - CE
Pilares – Parte 1
Mayco Velasco de Sousa
mayco.velasco@fapce.edu.br
1
mailto:mayco.velasco@fapce.edu.br
PILAR – CONCEITOS GERAIS
CONCRETO ARMADO II
Pilares são “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que
as forças normais de compressão são preponderantes.” (NBR 6118/2014, item 14.4.1.2).
Pilares-parede são “Elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente
dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser
compostos por uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede,
em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior,
ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural.” (NBR 6118/2014, item
14.4.2.4).
O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de
cálculo, que compreendem as forças normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e
as forças cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ação horizontal.
2
PILAR – Solicitações Normais
CONCRETO ARMADO II
Os pilares podem estar submetidos a forças normais e momentos fletores, gerando os
seguintes casos de solicitação:
3
1. Compressão simples:
A compressão simples também é chamada compressão centrada ou compressão
uniforme. A aplicação da força normal Nd é no centro geométrico (CG) da seção
transversal do pilar, cujas tensões na seção transversal são uniformes.
PILAR – Solicitações Normais
CONCRETO ARMADO II
4
2. Compressão composta:
Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de força normal e momento fletor sobre o
pilar.
• Flexão Composta Normal (ou Reta): existe a força normal e um momento fletor em
uma direção, tal que Mdx = e1x . Nd;
• Flexão Composta Oblíqua: existe a força normal e dois momentos fletores, relativos
às duas direções principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . Nd e M1d,y = e1y . Nd.
PILAR – Índice de Esbeltez
CONCRETO ARMADO II
5
O índice de esbeltez (λ) é uma grandeza que estima com que facilidade um pilar irá
encurvar. O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de
giração, nas direções a serem consideradas (NBR 6118:2014, 15.8.2):
el Ii
i A
λ = ⇔ =
le = comprimento de flambagem; 
i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal 
de concreto, não se considerando a presença de armadura); 
I = momento de inércia; 
A = área da seção; 
h = dimensão do pilar na direção considerada.
Para seções retangulares, tem-se:
3,46 el
h
λ ⋅=
PILAR – Índice de Esbeltez
CONCRETO ARMADO II
6
Em função do índice de esbeltez máximo, os pilares podem ser classificados como:
• Curto: se λ < 35;
• Médio: se 35 < λ < 90;
• Medianamente esbelto: se 90 < λ < 140;
• Esbelto: se 140 < λ < 200.
MAIS FREQUENTE
PILAR – Índice de Esbeltez
CONCRETO ARMADO II
7
O comprimento equivalente (le), de flambagem, do elemento comprimido (pilar), suposto
vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:
0
e
l h
l
l
+
≤ 

lo = distância entre as faces internas dos
elementos estruturais, supostos horizontais, que
vinculam o pilar;
h = altura da seção transversal do pilar, medida
no plano da estrutura em estudo;
l = distância entre os eixos dos elementos
estruturais aos quais o pilar está vinculado.
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
8
Uma força normal atuando em um pilar de seção retangular pode estar aplicada no seu
centro geométrico (compressão simples ou centrada), a certa distância desse centro e
sobre um dos eixos de simetria (flexão composta) e em um ponto qualquer da seção
(flexão oblíqua).
Essas distancias, chamadas de excentricidades, que devem ser conhecidas para o
dimensionamento de pilares isolados, são de diversos tipos e causadas por fatores
diferentes:
• Excentricidade de 1ª ordem;
• Excentricidade acidental;
• Excentricidade se segunda ordem;
• Excentricidade suplementar (fluência).
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
9
1. Excentricidade de 1ª ordem
A excentricidade de 1ª ordem (e1) é devida à possibilidade de ocorrência de momentos
fletores externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou
devido ao ponto teórico de aplicação da força normal não estar localizado no centro de
gravidade da seção transversal, ou seja, existência da excentricidade inicial a.
Considerando a força normal N e o momento fletor M (independente de N)
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
10
2. Excentricidade Acidental
Este tipo de excentricidade é relacionada à possíveis “erros” que podem acontecer na
execução dos elementos estruturais (pilares). Como, incerteza na locação da força normal ou
desvio do eixo da peça, durante a construção, em relação à posição prevista em projeto.
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
11
2. Excentricidade Acidental
O valor de excentricidade acidental (ea), para o caso de falta de retilinidade, pode ser
calculado por:
1
1 1,mín
2
1
100
a
He
H
θ
θ θ
 =  
 
= ≥
⋅
H = altura do lance (pé direito), em metro;
θ1,mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;
θ1,máx = 1/200
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
12
3. Excentricidade de Segunda Ordem
O efeito de flambagem causa um deformação na peça que influi no esforço interno da
estrutura, podendo causar sua instabilidade. Para reproduzir o efeito de flambagem,
admite-se que a força de compressão atue com certa excentricidade (e2) em relação ao
centro do pilar. A consideração de tal efeito é feita apenas quando o valor de λ do pilar
considerado for maior do que o valor de λ1, para o mesmo pilar.
1
1 1
25 12.5
35 90
b
e
hλ λ
α
+
= ⇒ ≤ ≤
Se λ < λ1 – não é necessário considerar a excentricidade de segunda ordem;
Se λ ≥ λ1 – necessário a consideração da excentricidade segunda ordem.
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
13
3. Excentricidade de Segunda Ordem
a) Pilares biapoiados sem forças transversais
b) Demais casos
MA – é o momento fletor de 1a ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto ao
longo do pilar biapoiado);
MB – é o momento fletor de 1a ordem no outro extremo B do pilar (toma-se para MB o
sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário).
0.60 0.4 0.40 0.40 1.00Bb b
A
M
M
α α= + ⋅ ≥ ⇒ ≤ ≤
1bα =
2
2
1
10
ele
r
=
Excentricidade máxima de segunda ordem:
PILAR – Excentricidades
CONCRETO ARMADO II
14
4. Excentricidade Suplementar (fluência)
A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de
esbeltez λ > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a
excentricidade adicional ecc dada a seguir (NBR 6118, 15.8.4):
2
2.718 1
10
sg
e sg
N
N Nsg
cc a
sg
ci c
e
e
M
e e
N
E IN
l
ϕ⋅
−
  
 = + ⋅ −       
⋅ ⋅
=
ea = excentricidade devida a imperfeições locais; 
Msg e Nsg = esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; 
ϕ = coeficiente de fluência; 
Eci = módulo de elasticidade tangente; 
Ic = momento de inércia; 
le = comprimento de flambagem.
PILAR – Momento Mínimo
CONCRETO ARMADO II
15
O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem
acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:
( )1 , 0.015 0.03d mín dM N h= + ⋅
h = é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros.
“Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja
atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem
ser acrescidos os momentos de 2ª ordem definidos na Seção 15.” Portanto, ao se
considerar o momento fletor mínimo pode-se desconsiderar a excentricidade acidental
ou o efeito das imperfeições locais.
PILAR – Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
CONCRETO ARMADO II
16
De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o cálculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser
feito pelo Método Geral ou por métodos aproximados. O Método Geral é obrigatório para
elementoscom λ > 140.
A norma apresenta diferentes métodos aproximados, sendo eles: método do pilar-padrão
com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), método do pilar-padrão com rigidez κ
aproximada (15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r
(15.8.3.3.4) e método do pilar-padrão para pilares de seção retangular submetidos à
flexão composta oblíqua (15.8.3.3.5).
Serão adotados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e com rigidez
aproximada, que são simples de serem aplicados no dimensionamento.
PILAR – Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
CONCRETO ARMADO II
17
1. Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de
pilares com λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu
eixo. A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a
deformação da barra seja senoidal. A não linearidade física é considerada através de uma
expressão aproximada da curvatura na seção crítica.”
O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado com a expressão
2
, 1 , 1 ,
1
10
e
d tot b d A d d A
lM M N M
r
α= ⋅ + ⋅ ⋅ ≥
Mom. 1ª ordem Mom. 2ª ordem
onde: αb = parâmetro definido no item de excentricidade;
Nd = força normal solicitante de cálculo;
λe = comprimento de flambagem.
1/r = curvatura na seção crítica.
PILAR – Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
CONCRETO ARMADO II
18
1. Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada
A curvatura da crítica é avaliada pela seguinte expressão aproximada:
( )
1 0.005 0.005
0.5r h hν
= ≤
⋅ +
h = altura da seção na direção considerada; 
Ac = área da seção transversal; 
fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão (fck/γc).
Sendo: d
c cd
N
A f
ν =
⋅
1 , 1 ,
, 1 ,
d A d mín
d tot d mín
M M
M M
≥
≥
Embora o item 15.8.3.3.2 da versão de 2014 da NBR 6118, diferentemente da versão de 
2003, não apresente diretamente, pode-se também considerar que
M1d,A = valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA;
M1d,mín = momento fletor mínimo como definido a seguir;
PILAR – Determinação dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
CONCRETO ARMADO II
19
2. Método do Pilar-Padrão com Rigidez κAproximada
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de
pilares com λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao
longo de seu eixo. [...] O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da
majoração do momento de 1ª ordem pela expressão: ”
1 ,
, 1 ,2
1
120
b d A
Sd tot d A
M
M M
α
λ
κ ν
⋅
= ≥
−
⋅
,32 1 5 Rd totaprox
d
M
h N
κ ν
 
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 
“Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot. Em um processo de
verificação, onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com
essa armadura e com Nd = NSd = NRd.”
( )2 2, 1 ,
1
19200 3840 19200
3840 0
d tot d d b dA d tot
b d dA
M h N h N M M
h N M
λ α
α
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
ITERATIVO
SEM ITER.
PILAR – DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O MÁXIMO 
MOMENTO FLETOR 
CONCRETO ARMADO II
20
Sendo constante a força normal (Nd) ao longo da altura do pilar, no dimensionamento deve
ser analisada qual seção do pilar, ao longo de sua altura, estará submetida ao maior
momento fletor total, segundo as direções principais do pilar. Normalmente basta verificar
as seções de extremidade (topo e base) e uma seção intermediária C, que é aquela
correspondente ao máximo momento fletor de 2ª ordem (M2d)
PILAR –Armadura Longitudinal 
CONCRETO ARMADO II
21
Segundo a NBR6118/2014 “o dimensionamento das armaduras longitudinais deve
conduzir a um conjunto de esforços resistentes (𝑁𝑁𝑅𝑅𝑑𝑑 , 𝑀𝑀𝑅𝑅𝑑𝑑 ) que constituam
ENVOLTÓRIA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES (𝑁𝑁𝑆𝑆𝑑𝑑 , 𝑀𝑀𝑆𝑆𝑑𝑑 ) determinados na
análise estrutural”.
Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória mínima de 1ª ordem,
tomada a favor da segurança:
PILAR –Armadura Longitudinal 
CONCRETO ARMADO II
22
Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das
direções do pilar, a envoltória de momentos resistentes deve englobar, também, a
envoltória mínima de 2ª ordem.
PILAR –Armadura Longitudinal - Ábacos
CONCRETO ARMADO II
23
No dimensionamento dos pilares feito manualmente, os ábacos são imprescindíveis, porque
permitem a rápida determinação da taxa de armadura, sem necessidade de aplicar as
equações teóricas da Flexão Composta Normal ou Oblíqua. Além disso, os ábacos
proporcionam a fácil escolha de diferentes arranjos de armadura na seção transversal.
Nesta apostila serão aplicados os ábacos de VENTURINI (1987) para a Flexão Composta
Normal e de PINHEIRO (1994) para a Flexão Composta Oblíqua. Esses ábacos devem ser
aplicados apenas no dimensionamento de pilares com concretos do Grupo I de resistência
(fck ≤ 50 MPa), porque foram desenvolvidos com alguns parâmetros numéricos que não se
aplicam aos concretos do Grupo II .
PILAR –Armadura Longitudinal - Ábacos
CONCRETO ARMADO II
24
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
A figura mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos de VENTURINI (1987) para
a Flexão Composta Normal (ou Reta).
,
d
c cd
d tot
c cd
N
A f
M e
h A f h
ν
µ ν
=
⋅
= =
⋅ ⋅
Nd = força normal de cálculo; 
Ac = área da seção transversal do pilar; 
Md,tot = momento fletor total de cálculo; 
h = dimensão do pilar na direção considerada; 
e = excentricidade na direção considerada;
fcd = resistência de cálculo do concreto à 
compressão (fck/γc); 
c cd
s
yd
A fA
f
ω ⋅ ⋅
=
Escolhida uma disposição construtiva para a
armadura no pilar, determina-se o ábaco a ser
utilizado, em função do tipo de aço e do valor
da relação d’/h. No ábaco, com o par ν e µ,
obtém-se a taxa mecânica ω.
PILAR –Armadura Longitudinal - Ábacos
CONCRETO ARMADO II
25
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
A figura mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos de PINHEIRO et al. (1994)
para a Flexão Composta Oblíqua.
, ,, ,
d
c cd
d tot y yd tot x x
x y
x c cd y c cd
N
A f
M eM e
h A f h h A f h
ν
µ ν µ ν
=
⋅
= = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
c cd
s
yd
A fA
f
ω ⋅ ⋅
=
Escolhida uma disposição construtiva para a
armadura no pilar, determina-se o ábaco a ser
utilizado, em função do tipo de aço e dos valores das
relações d’x/hx e d’y/hy . No ábaco, com o trio (ν, µx ,
µy), obtém-se a taxa mecânica ω.
PILAR – Majoração das Cargas de Pilares
CONCRETO ARMADO II
26
Os pilares com seção transversal retangular são diferenciados dos pilares-parede em
função da relação entre os lados, conforme a regra:
É importante salientar que o texto indica que todos os esforços solicitantes atuantes no
pilar devem ser majorados por γn , ou seja, a força normal e os momentos fletores que
existirem.
PILAR – EXEMPLO 1
CONCRETO ARMADO II
27
Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na figura abaixo, sendo
conhecidos:
Nk: 785,7 kN - C20 - CA50
d' = 4,0 cm;
Seção Transversal 20 x 50 cm
comprimento equivalente (de flambagem): λex = λey = 280 cm
PILAR – EXEMPLO 2
CONCRETO ARMADO II
28
Dimensionar o mesmo pilar do exemplo 1 considerando a força normal dada a seguir:
Nk = 1.071 kN
seção transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2)
comprimento de flambagem:
λex = λey = 280 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
PILAR – EXEMPLO 3
CONCRETO ARMADO II
29
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Nk = 1.110 kN
M1d,A,x = - M1d,B,x = 2.170 kN.cm
seção transversal 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2)
comprimento de flambagem:
λex = λey = 280 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
PILAR – EXEMPLO 4
CONCRETO ARMADO II
30
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Nk = 500 kN
M1d,A,x = - M1d,B,x = 7.000 kN.cm
seção transversal 20 x 40 (Ac = 800 cm2)
comprimento de flambagem:
lex = ley = 280 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
Concreto C25;
PILAR – momento decálculo
CONCRETO ARMADO II
31
Pilar P5: 15 x 50 // Viga V6: 16 x 60
V
6
PILAR – momento de cálculo
CONCRETO ARMADO II
32
Pilar P5: 15 x 50 // Viga V6: 16 x 60
,inf
,inf ,
,sup ,inf
,sup
,sup ,
,sup ,inf
p
k k eng
p viga p
p
k k eng
p viga p
r
M M
r r r
r
M M
r r r
Ir
l
=
+ +
=
+ +
=
I: Momento de inércia na seção
considerada;
l: vão efetivo da viga até o pilar ou
comprimento de flambagem do pilar.
inf
1 M
2
PILAR – EXEMPLO 5
CONCRETO ARMADO II
33
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Nk = 820 kN
M1d,A,x = - M1d,B,x = 2.041 kN.cm M1d,A,y = - M1d,B,y = 1.726 kN.cm
seção transversal 20 x 50 (Ac = 1000 cm2)
comprimento de flambagem:
lex = ley = 280 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
Concreto C20;
PILAR – EXEMPLO 6
CONCRETO ARMADO II
34
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Nk = 1520 kN
M1d,A,x = - M1d,B,x = 1.423 kN.cm M1d,A,y = - M1d,B,y = 1.509 kN.cm
seção transversal 20 x 50 (Ac = 1000 cm2)
comprimento de flambagem:
lex = ley = 460 cm
coeficientes de ponderação:
γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15
Concreto C25;
PILAR – EXEMPLO 7
CONCRETO ARMADO II
35
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Concreto C20;
CA-50;
d' = 5 cm;
PILAR – EXEMPLO 8
CONCRETO ARMADO II
36
Dimensionar o pilar a seguir considerando as seguintes informações:
Concreto C20;
CA-50;
d‘/h = 0,10 (nas duas direções);
Nd = 2053 kN
PILAR – EXEMPLO 9
CONCRETO ARMADO II
37
Determinar as armaduras necessárias para os pilares AB e DC do pórtico indicado na
figura.
Considerar:
− concreto: C20; − aço: CA-50;
− d’ = 0,10 h (nas duas direções)
− estrutura de nós fixos; −
carregamento atuante com
valores de cálculo para a carga
permanente e para a carga
acidental; e diagramas Md e Nd
(valores de cálculo) indicados
nas figuras.
PILAR – EXEMPLO 10
CONCRETO ARMADO II
38
Determinar as armaduras necessárias para o pilar de canto a seguir e apresentar o
detalhamento do mesmo.
Considerar:
− concreto: C20;
− aço: CA-50;
− d’ = 0,15 h (na direção x);
− d’ = 0,20 h (na direção y);
− Nk = 800 kN.
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