EC-2 - Aula 10 - VR - 2018 2S

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E
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D
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 C
O
N
C
R
E
T
O
 
2
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO SÃO PAULO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
PROF. ALEXANDRE AUGUSTO MARTINS
8º PERÍODO
2018 / 2S
AULA 10:
03.NOVEMBRO.2018
P I L A R E S
2
S I T U A Ç Õ E S B Á S I C A S D E P R O J E T O
CONSTRUÇÃO
PLANTA
ND
Y
X
SITUAÇÃO DE PROJETO (SP)
3
1. PILAR INTERMEDIÁRIO (OU INTERNO)
▪ NOS PILARES INTERMEDIÁRIOS (OU INTERNOS), CONSIDERA-SE A COMPRESSÃO CENTRADA
NA SITUAÇÃO DE PROJETO, POIS COMO AS LAJES E AS VIGAS SÃO CONTÍNUAS SOBRE O PILAR,
PODE-SE ADMITIR QUE OS MOMENTOS FLETORES TRANSMITIDOS A ELE SEJAM PEQUENOS E
DESPREZÍVEIS
▪ NÃO EXISTEM, PORTANTO, OS MOMENTOS FLETORES MA E MB DE PRIMEIRA ORDEM NAS
EXTREMIDADES DESSE ELEMENTO ESTRUTURAL VERTICAL (TOPO E BASE)
ND
Y
X
Y
X
ND
e1X,MÍN e2X
eX
Y
X
e1Y,MÍN
e2Y
eY
ND
SITUAÇÃO
DE PROJETO (SP)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 1 (SC.1)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 2 (SC.2)
4
1. PILAR INTERMEDIÁRIO (OU INTERNO)
▪ A FIGURA ANTERIOR MOSTRA A SITUAÇÃO DE PROJETO (SP) E AS SITUAÇÕES DE CÁLCULO 1 E 2
(SC.1 E SC.2) DOS PILARES INTERMEDIÁRIOS COM MÁX  90,0. NA SC.1 ESTÃO INDICADAS AS
EXCENTRICIDADES QUE OCORREM NA DIREÇÃO X, E NA SC.2, AS AQUELAS VERIFICADAS NA
DIREÇÃO Y
▪ COMO NÃO SE CONSIDERA A EXISTÊNCIA DE MOMENTOS FLETORES DE PRIMEIRA ORDEM, A
SITUAÇÃO DE PROJETO É DE COMPRESSÃO SIMPLES (OU UNIFORME)
▪ SE O PILAR TIVER   1 NAS DUAS DIREÇÕES, TEM-SE QUE e2X = 0 E e2Y = 0, E AS
EXCENTRICIDADES DE SEGUNDA ORDEM MOSTRADAS NA MESMA FIGURA, NÃO EXISTIRÃO.
NESTE CASO BASTA CONSIDERAR A EXCENTRICIDADE MÍNIMA EM CADA DIREÇÃO
E X E R C Í C I O 1
5
▪ ALGUMAS INFORMAÇÕES PRÉVIAS ...
▪ OS EXEMPLOS NUMÉRICOS A SEGUIR SÃO DE PILARES INTERMEDIÁRIOS, BIAPOIADOS NA
BASE E NO TOPO, DE NÓS FIXOS (CONTRAVENTADOS) E SEM FORÇAS TRANSVERSAIS
ATUANTES (AÇÕES DOS VENTOS)
▪ OS CÁLCULOS SERÃO FEITOS EM FUNÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES E, A
TÍTULO DE EXEMPLO, SERÃO FEITOS TAMBÉM EM FUNÇÃO DAS EXCENTRICIDADES, SEGUNDO
AS SEÇÕES DE EXTREMIDADE E INTERMEDIÁRIA
EXEMPLO 1
DIMENSIONAR A ARMADURA LONGITUDINAL VERTICAL DO PILAR EM DESTAQUE
6
EXEMPLO 1
DIMENSIONAR A ARMADURA LONGITUDINAL VERTICAL DO PILAR EM DESTAQUE
▪ DADOS DO PROBLEMA:
▪ COEFICIENTES DE SEGURANÇA (OU DE MAJORAÇÃO):
▪ CONCRETO: c =1,4
▪ AÇO: s =1,15
▪ F = COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES NO ELU (ESTADO LIMITE ÚLTIMO) = 1,4
▪ CONCRETO: CA.20 (fck = 20 MPa, GRUPO 1)
▪ AÇO: CA.50
▪ CONCRETO PREPARADO APENAS COM BRITA 1 (MÁX = 19,0mm)
▪ FORÇA NORMAL CARACTERÍSTICA NO PILAR: NK = 785,7kN
▪ CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA):
▪ AGRESSIVIDADE: FORTE
▪ RISCO DE DETERIORAÇÃO DA ESTRUTURA: GRANDE
7
LE =
280,0 cm
LE = COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE FLAMBAGEM
PLANTA
HX = 50,0 cm
HY =
20,0 cm
ND
Y
X
▪ IMPORTANTE
▪ EMBORA A ARMADURA LONGITUDINAL RESULTE DO CÁLCULO SEGUNDO A DIREÇÃO DE
MENOR RIGIDEZ DO PILAR (DIREÇÃO Y), A TÍTULO DE EXEMPLO SERÁ DEMONSTRADO
TAMBÉM O CÁLCULO SEGUNDO A DIREÇÃO X
▪ COMO JÁ INFORMADO, TRATANDO-SE DE UM PILAR INTERMEDIÁRIO, NÃO EXISTEM
MOMENTOS FLETORES E EXCENTRICIDADES DE PRIMEIRA ORDEM EM AMBAS AS DIREÇÕES DO
PILAR
8
1 . E S F O R Ç O S S O L I C I T A N T E S
A . F O R Ç A N O R M A L D E C Á L C U L O ( N D )
9
▪ A FORÇA NORMAL DE CÁLCULO PODE SER DETERMINADA COMO:
ND = N . F . NK
ONDE:
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO
▪ N = COEFICIENTE DE MAJORAÇÃO DA FORÇA NORMAL (TABELA A SEGUIR)
▪ F = COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES NO ELU (ESTADO LIMITE ÚLTIMO) = 1,4
▪ NK = FORÇA NORMAL CARACTERÍTICA DO PILAR = 785,7kN
COEFICIENTE DE MAJORAÇÃO DA FORÇA NORMAL (N), EM FUNÇÃO DE BW (NBR 6118)
BW [cm]  19,0 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0 13,0 12,0
N 1,0 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
10
COEFICIENTE DE MAJORAÇÃO DA FORÇA NORMAL (N), EM FUNÇÃO DE BW (NBR 6118)
BW [cm]  19,0 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0 13,0 12,0
N 1,0 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
LOGO,
ND = 1.100,0kN
ND = N . F . NK
ND = 1,0 . 1,4 . 785,7
11
B . Í N D I C E D E E S B E L T E Z (  )
▪ O ÍNDICE DE ESBELTEZ, PARA PILARES COM SEÇÕES TRANSVERSAIS RETANGULARES, É DEFINIDO
PELA RELAÇÃO:
ONDE:
▪  = ÍNDICE DE ESBELTEZ
▪ LE = COMPRIMENTO EQUIVALENTE DO PILAR (OU COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM) = 280,0cm
▪ H = ALTURA DA SEÇÃO TRANSVERSAL, NA DIREÇÃO ANALISADA
  =
3,46 . LE
H
12
▪ IMPORTANTE
▪ O ÍNDICE DE ESBELTEZ DEVE SER CALCULADO PARA AS DIREÇÕES X E Y, CONFORME OS EIXOS
DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR EM DIMENSIONAMENTO
▪ A FIM DE PADRONIZAR E SIMPLIFICAR A NOTAÇÃO, AQUI CONSIDERA-SE A DIREÇÃO, E NÃO O
EIXO DO PILAR (O QUE PODE SER DIFERENTE DE CONSIDERAÇÕES ADOTADAS EM OUTRAS
DISCIPLINAS)
HX = 50,0 cm
HY =
20,0 cm
ND
Y
X
PORTANTO, PARA AS DIREÇÕES X E Y, SEPARADAMENTE, TEM-SE:
 X =
3,46 . 280,0
50,0
 X = 19,38
 X =
3,46 . LEX
HX
 Y =
3,46 . LEY
HY
 Y =
3,46 . 280,0
20,0
 Y = 48,44
13
C . M O M E N T O F L E T O R M Í N I M O D E P R I M E I R A O R D E M ( M 1 D , M Í N )
▪ SEGUNDO A NBR 6118, O EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES LOCAIS NOS PILARES PODE SER SUBSTITUÍDO,
EM ESTRUTURAS RETICULADAS, PELA CONSIDERAÇÃO DO MOMENTO MÍNIMO DE PRIMEIRA
ORDEM, OBTIDO PELA SEGUINTE EQUAÇÃO:
M1D,MÍN = ND . (1,5 + 0,03 . H)
ONDE:
▪ M1D,MÍN = MOMENTO MÍNIMO DE PRIMEIRA ORDEM, NA DIREÇÃO ANALISADA [kN.cm]
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100,0k
▪ H = ALTURA TOTAL DA SEÇÃO TRANSVERSAL NA DIREÇÃO CONSIDERADA [cm]
14
ASSIM SENDO, PARA A DIREÇÃO X DO PILAR ...
M1D,MÍN.X = ND . (1,5 + 0,03 . HX)
M1D,MÍN.X = 1.100,0 . (1,5 + 0,03 . 50,0)
M1D,MÍN.X = 3.300,0 kN.cm
M1D,MÍN.Y = ND . (1,5 + 0,03 . HY)
M1D,MÍN.Y = 1.100,0 . (1,5 + 0,03 . 20,0)
M1D,MÍN.Y = 2.310,0 kN.cm
DA MESMA MANEIRA, PARA A DIREÇÃO Y DO PILAR ...
15
D . E S B E L T E Z L I M I T E (  1 )
▪ O CONCEITO DE ESBELTEZ LIMITE SURGIU A PARTIR DE ANÁLISES TEÓRICAS DE PILARES,
CONSIDERANDO MATERIAL ELÁSTICO-LINEAR
▪ CORRESPONDE AO VALOR DA ESBELTEZ A PARTIR DO QUAL OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
COMEÇAM A PROVOCAR UMA REDUÇÃO DA CAPACIDADE RESISTENTE DO PILAR
▪ EM ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS, DIFICILMENTE UM PILAR DE PÓRTICO NÃO MUITO ESBELTO, TERÁ
SEU DIMENSIONAMENTO AFETADO PELOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM, POIS O MOMENTO
FLETOR TOTAL MÁXIMO PROVAVELMENTE SERÁ APENAS O DE PRIMEIRA ORDEM, EM UM DE SEUS
EXTREMOS
16
▪ PARA A NBR 6118, OS ESFORÇOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM EM ELEMENTOS ISOLADOS PODEM
SER DESPREZADOS QUANDO O ÍNDICE DE ESBELTEZ “” FOR MENOR OU IGUAL AO VALOR LIMITE
“1”, O QUAL PODE SER CALCULADO PELA EXPRESSÃO:
1 =
[25 + 12,5 . (e1 / H)]
B
ONDE:
▪ 35  1  90
▪ B = PARÂMETRO ADOTADO PARA OS CASOS DE PILARES BIAPOIADOS OU EM BALANÇO
COM MOMENTOS FLETORES MENORES QUE O MOMENTO MÍNIMO = 1,0
▪ EXCENTRICIDADES MÍNIMAS, NAS DIREÇÕES X E Y
▪ A EXCENTRICIDADE MÍNIMA, CALCULADA PARA PILARES INTERMEDIÁRIOS COM MÁX  90 É
ENCONTRADA POR MEIO DA SEGUINTE FÓRMULA:
e1.MÍN =
M1D,MÍN
ND
ONDE:
▪ e1.MÍN = EXCENTRICIDADE MÍNIMA DO PILAR, NA DIREÇÃO CONSIDERADA [cm]
▪ M1D,MÍN = MOMENTO MÍNIMO DE PRIMEIRA ORDEM, NA DIREÇÃO ANALISADA [kN.cm]
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100,0kN
17
▪ IMPORTANTE
▪ A NBR 6118 NÃO DEIXA CLARO COMO SE ADOTA O VALOR DA EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA
ORDEM (“e1”)
▪ NA DÚVIDA, PODE-SE ADMITIR, NO CÁLCULO DE 1, e1 IGUAL AO MENOR VALOR DA
EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM, NO TRECHO CONSIDERADO
▪ PARA PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS, VINCULADOS NAS DUAS EXTREMIDADES, NA FALTA DE
UM CRITÉRIO MAIS ESPECÍFICO, É RAZOÁVEL CONSIDERAR e1 = 0
▪ CALCULAM-SE, ENTÃO, AS EXCENTRICIDADES MÍNIMAS NAS DIREÇÕES X E Y,
SEPARADAMENTE
ASSIM SENDO,
e1.X.MÍN = 3,0 cm
e1.X.MÍN =
M1D,MÍN.X
ND
e1.X.MÍN =
3.300,0
1.100,0
18
ANALOGAMENTE ...
e1.Y.MÍN = 2,1 cm
e1.Y.MÍN =
M1D,MÍN.Y
ND
e1.Y.MÍN =
2.310,0
1.100,0
COM ISSO, NO CÁLCULO DA ESBELTEZ LIMITE (1) PARA A DIREÇÃO X, TEM-SE:
1.X =
[25 + 12,5 . (e1.X.MÍN / HX)]
b
1.X =
[25 + 12,5 . (3,0 / 50,0)]
1,0
1.X = 25,75 35  1  90 1.X = 35
HX = 50,0 cm
HY =
20,0 cm
ND
Y
X
19
1.Y =
[25 + 12,5. (e1.Y.MÍN / HY)]
b
1.Y =
[25 + 12,5 . (2,1 / 20,0)]
1,0
1.Y = 26,31 35  1  90 1.Y = 35
HX = 50,0 cm
HY =
20,0 cm
ND
Y
X
DA MESMA FORMA, NO CÁLCULO DA ESBELTEZ LIMITE (1) PARA A DIREÇÃO Y, FICA-SE COM:
COMPARANDO OS RESULTADOS ENTRE: ÍNDICE DE ESBELTEZ () E ÍNDICE DE ESBELTEZ LIMITE (1), ... 
 X = 19,38  1.X = 35
NÃO SÃO CONSIDERADOS OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM NA DIREÇÃO X
 Y = 48,44  1.Y = 35
SÃO CONSIDERADOS OS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM NA DIREÇÃO Y
20
▪ IMPORTANTE
▪ EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM:
▪ A FORÇA NORMAL ATUANTE NO PILAR, SOB AS EXCENTRICIDADES DE PRIMEIRA ORDEM
(EXCENTRICIDADES INICIAIS), PROVOCA DEFORMAÇÕES QUE DÃO ORIGEM A UMA NOVA
EXCENTRICIDADE, DENOMINADA EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM
▪ A DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM, DE ACORDO COM A NBR
6118, EM BARRAS SUBMETIDAS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL, PODE SER FEITA PELO
MÉTODO GERAL OU POR MÉTODOS APROXIMADOS
E . M O M E N T O F L E T O R T O T A L M Á X I M O D E S E G U N D A O R D E M ( M D , T O T )
21
▪ MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA:
▪ CONFORME A NBR 6118 (ITEM 15.8.3.3.2), ESTE MÉTODO PODE SER EMPREGADO APENAS NO
CÁLCULO DE PILARES COM   90, COM SEÇÃO CONSTANTE E ARMADURA SIMÉTRICA E NÃO
VARIÁVEL AO LONGO DE SEU EIXO
▪ A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA É CONSIDERADA DE FORMA APROXIMADA, SUPONDO-SE
QUE A DEFORMAÇÃO DA BARRA SEJA SENOIDAL
▪ A NÃO LINEARIDADE FÍSICA É CONSIDERADA ATRAVÉS DE UMA EXPRESSÃO APROXIMADA DA
CURVATURA NA SEÇÃO CRÍTICA
▪ O MOMENTO FLETOR TOTAL MÁXIMO NO PILAR É CALCULADO COM A EXPRESSÃO:
MD,TOT = B . M1D,MÍN + ND . 
LE²
10
1
r
.
ONDE:
▪ MD,TOT.Y = MOMENTO FLETOR TOTAL MÁXIMO DE SEGUNDA ORDEM, NA DIREÇÃO
CONSIDERADA
▪ B = PARÂMETRO ADOTADO PARA OS CASOS DE PILARES BIAPOIADOS OU EM BALANÇO
COM MOMENTOS FLETORES MENORES QUE O MOMENTO MÍNIMO = 1,0
▪ M1D,MÍN = MOMENTO MÍNIMO DE PRIMEIRA ORDEM, NA DIREÇÃO EM ANÁLISE = M1D,MÍN.Y =
2.310,0 kN.cm
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100,0kN
▪ LE = COMPRIMENTO EQUIVALENTE DO PILAR (OU COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM) = 280,0cm
▪ 1/r = CURVATURA NA SEÇÃO CRÍTICA (OBTIDA PELA EQUAÇÃO DO SLIDE SEGUINTE)
22
▪ CURVATURA NA SEÇÃO CRÍTICA:
1
r
=
0,005
H . ( + 0,5)

0,005
H
ONDE:
▪ 1/r = CURVATURA NA SEÇÃO CRÍTICA
▪ H = ALTURA DA SEÇÃO TRANSVERSAL, NA DIREÇÃO Y, PELA NECESSIDADE DE CONSIDERAR OS
EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM = 20,0cm
▪  (NI) = FORÇA NORMAL ADMENSIONAL (DADA PELA EQUAÇÃO DO SLIDE SEGUINTE)
▪ FORÇA NORMAL ADMENSIONAL:
 =
ND
AC . fcd
ONDE:
▪  (NI) = FORÇA NORMAL ADMENSIONAL
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100,0kN
▪ AC = ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 1.000,0cm² (20,0 . 50,0)
▪ fcd = RESISTÊNCIA DE CÁLCULO À COMPRESSÃO DO CONCRETO = fck / C = 2,0 / 1,4 = 1,429
23
ENTÃO,
 =
ND
AC . fcd
 =
1.100,0
1.000,0 . 1,429
 = 0,77
SUBSTITUINDO “” NA EQUAÇÃO DA “CURVATURA DA SEÇÃO CRÍTICA”, TEM-SE PARA A DIREÇÃO Y:
1
r
=
0,005
HY . ( + 0,5)

0,005
HY
1
r
=
0,005
20,0 . (0,77 + 0,5)

0,005
20,0
1
r
= 1,9685 . 10−4  2,5 . 10−4 OK !
24
MD,TOT.Y = 1,0 . 2.310,0 + 1.100,0 . 
280,0²
10
. 1,9685 . 10−4
MD,TOT.Y = 4.007,63 kN.cm
MD,TOT.Y = B . M1D,MÍN.Y + ND . 
LE²
10
1
r
.
SUBSTITUINDO “1/r” NA EQUAÇÃO DO “MOMENTO FLETOR TOTAL MÁXIMO NO PILAR”, RESULTA:
MD,TOT.Y = 4.007,63 kN.cm
M1D,MÍN.Y = 2.310,0 kN.cm
X
PORTANTO, MD,TOT.Y OK !
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DOS MOMENTOS, QUE NA DIREÇÃO Y ....
25
F . E X C E N T R I C I D A D E M Á X I M A D E S E G U N D A O R D E M ( e 2 )
ONDE:
▪ e2 = EXCENTRICIDADE MÁXIMA DE SEGUNDA ORDEM, NA DIREÇÃO CONSIDERADA [cm]
▪ LE = COMPRIMENTO EQUIVALENTE DO PILAR (OU COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM) = 280,0cm
▪ 1/r = CURVATURA NA SEÇÃO CRÍTICA (JÁ CALCULADA ANTERIORMENTE)
e2 = 
LE²
10
1
r
.
26
ASSIM SENDO, PARA A DIREÇÃO Y, ...
e2,Y = 
LE²
10
1
r
.
e2,Y = 
280,0²
10
. 1,9685 . 10−4
e2,Y = 1,54cm
G . D I S P O S I Ç Õ E S C O N S T R U T I V A S
27
▪ SEGUNDO A NBR 6118 (ITEM 18.2.1), O ARRANJO DAS ARMADURAS DEVE ATENDER NÃO SÓ À SUA
FUNÇÃO ESTRUTURAL, COMO TAMBÉM ÀS CONDIÇÕES ADEQUADAS DE EXECUÇÃO,
PARTICULARMENTE COM RELAÇÃO AO LANÇAMENTO E AO ADENSAMENTO DO CONCRETO. OS
ESPAÇOS DEVEM SER PROJETADOS PARA A INTRODUÇÃO DO VIBRADOR E DE MODO A IMPEDIR A
SEGREGAÇÃO DOS AGREGADOS E A OCORRÊNCIA DE VAZIOS NO INTERIOR DO ELEMENTO
ESTRUTURAL
▪ COMO SE SABE, ESSAS RECOMENDAÇÕES DA NORMA SÃO GERAIS, VÁLIDAS PARA TODOS OS
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
▪ NO CASO ESPECÍFICO DOS PILARES, RECOMENDA-SE DEDICAR ATENÇÃO ESPECIAL À REGIÃO DE
LIGAÇÃO COM AS VIGAS, ONDE PODE EXISTIR GRANDE QUANTIDADE DE BARRAS (VERTICAIS NOS
PILARES E HORIZONTAIS NAS VIGAS), ALÉM DOS ESTRIBOS
▪ DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
▪ O CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DO PILAR PODE SEGUIR
APÓS DETERMINADOS OS MOMENTOS FLETORES TOTAIS
▪ NO ENTANTO, A TÍTULO DE EXEMPLO E DE REFORÇO DO CONCEITO, SÃO MOSTRADAS
TAMBÉM AS EXCENTRICIDADES, CALCULADAS ANTERIORMENTE, EM FUNÇÃO DOS
MOMENTOS FLETORES
28
ND
Y
X
Y
X
ND
e1X,MÍN e2X
eX
Y
X
e1Y,MÍN
e2Y
eY
ND
SITUAÇÃO
DE PROJETO (SP)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 1 (SC.1)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 2 (SC.2)
ND
Y
X
Y
X
3,0cm
Y
X
2,1cm
1,54cm
eY = 3,64cm
ND
SITUAÇÃO
DE PROJETO (SP)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 1 (SC.1)
SITUAÇÃO DE 
CÁLCULO 2 (SC.2)
29
LE =
280,0 cm
M1D,MÍN.X
3.300,0kN.cm
3.300,0kN.cm
M1D,MÍN.Y
2.310,0kN.cm
2.310,0kN.cm
MMÁX
MMÁX = 
1.697,63kN.cm
MMÁX = MD,TOT.Y – MD,MÍN.Y
MMÁX = 4.007,63 – 2.310,00
▪ IMPORTANTE
▪ A ANÁLISE DOS MOMENTOS FLETORES TOTAIS E DAS EXCENTRICIDADES PERMITE OBSERVAR
QUE A DIREÇÃO CRÍTICA DO PILAR É A DIREÇÃO Y, JÁ QUE ESTÁ ALI O MAIOR MOMENTO
FLETOR TOTAL (MD,TOT.Y = 4.007,63kN.cm), RELATIVO À MENOR DIMENSÃO DO PILAR (HY =
20,0cm)
▪ A SITUAÇÃO DE CÁLCULO 2 (SC.2), COM A MAIOR EXCENTRICIDADE TOTAL, NA DIREÇÃO DA
LARGURA DO PILAR, TAMBÉM MOSTRA O FATO, SUBLINHADO PELO CÁLCULO FUTURO DA
ARMADURA LONGITUDINAL
▪ ASSIM SENDO, A ARMADURA PODERIA SER DIMENSIONADA APENAS PARA A DIREÇÃO CRÍTICA
Y, PORÉM, COM O OBJETIVO DE ILUSTRAR OS CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS, ELA É
DETERMINADA, NESTE EXERCÍCIO, PARA AS DUAS DIREÇÕES PRINCIPAIS DO PILAR
30
▪ DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL, PARA CADA DIREÇÃO
▪ A DETERMINAÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL É INICIADA PELO CÁLCULO DOS ESFORÇOS
ADIMENSIONAIS  (NI) E  (MI)
▪ O VALOR ADMENSIONAL “” – JÁ VISTO ANTERIORMENTE – É DETERMINADO PELA EQUAÇÃO:
 =
ND
AC . fcd
ONDE:
▪  (NI) = FORÇA NORMAL ADMENSIONAL
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100,0kN
▪ AC = ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 1.000,0cm² (20,0 . 50,0)
▪ fcd = RESISTÊNCIA DE CÁLCULO À COMPRESSÃO DO CONCRETO = fck / C = 2,0 / 1,4 = 1,429
ENTÃO (E COMO JÁ CALCULADO EM ETAPA ANTERIOR DO EXERCÍCIO),
 =
ND
AC . fcd
 =
1.100,0
1.000,0 . 1,429
 = 0,77
31
▪ POR SUA VEZ, O VALOR ADMENSIONAL “” PODE SER ENCONTRADO EM FUNÇÃO DO MOMENTO
FLETOR OU DA EXCENTRICIDADE:
 =
MD,TOT
H . AC . fcd
OU  =  . e
H
ONDE:
▪ MD,TOT.Y = MOMENTO FLETOR TOTAL MÁXIMO, NA DIREÇÃO ANALISADA [kN.cm]
▪ H = DIMENSÃO DO PILAR, NA DIREÇÃO ANALISADA [cm]
▪ AC = ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 1.000,0cm² (20,0 . 50,0)
▪ fcd = RESISTÊNCIA DE CÁLCULO À COMPRESSÃO DO CONCRETO = fck / C = 2,0 / 1,4 = 1,429
▪ e = EXCENTRICIDADE, NA DIREÇÃO DE INTERESSE
▪  (NI) = FORÇA NORMAL ADMENSIONAL
LOGO, PARA A DIREÇÃO X, TEM-SE:
X =
MD,TOT.X
HX . AC . fcd
OU X =  .
e1.X.MÍN
HX
X =
3.300,0
50,0 . 1.000,0 . 1,429
OU X = 0,77 .
3,0
50,0
X = 0,0462 X = 0,0462
32
▪ RELAÇÃO “RECOBRIMENTO DE CONCRETO” X “DIMENSÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL”, PARA A
DIREÇÃO X DO PILAR
CNOM
HX
ONDE:
▪ H = DIMENSÃO DO PILAR, NA DIREÇÃO X CONSIDERADA = 50,0cm
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA (FUNÇÃO DA CLASSE DE AGRESSIVIDADE)
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃODA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
33
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE (OU 
ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
34
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE (OU 
ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
LOGO,
CNOM
HX
4,0
50,0
= 0,08cm
CNOM
HX
35
▪ DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL , PARA A DIREÇÃO X DO PILAR
▪ PARA O CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL DO PILAR, UTILIZA-SE O ÁBACO DE CÁLCULO
DE FLEXÃO RETA COM BASE NOS PARÂMETROS JÁ ENCONTRADOS E/OU FORNECIDOS NO
ENUNCIADO DO EXERCÍCIO, PARA DETERMINAR A TAXA MECÂNICA “X”:
X = 0,0462
= 0,08cm
CNOM
HX
AÇO CA.50 S = 1,15
 = 0,77
▪ IMPORTANTE
▪ NO DIMENSIONAMENTO DOS PILARES FEITO MANUALMENTE, OS ÁBACOS SÃO
IMPRESCINDÍVEIS, PORQUE PERMITEM A RÁPIDA DETERMINAÇÃO DA TAXA DE ARMADURA,
SEM NECESSIDADE DE APLICAR AS EQUAÇÕES TEÓRICAS DA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL OU
OBLÍQUA
▪ ALÉM DISSO, ELES PROPORCIONAM A FÁCIL ESCOLHA DE DIFERENTES ARRANJOS DE
ARMADURA NA SEÇÃO TRANSVERSAL
▪ OS ÁBACOS ADOTADOS NESTE CURSO DE “ESTRUTURAS DE CONCRETO 2” DEVEM SER
APLICADOS APENAS NO DIMENSIONAMENTO DE PILARES COM CONCRETOS DO GRUPO 1 DE
RESISTÊNCIA (fck  50,0MPa), PORQUE ELES FORAM DESENVOLVIDOS COM ALGUNS
PARÂMETROS NUMÉRICOS QUE NÃO SE APLICAM AOS CONCRETOS DO GRUPO 2
36
C
O
M
P
R
E
S
S
Ã
O
T
R
A
Ç
Ã
O
 = 0,77
 = 0,0462
X = 0,05
37
▪ IMPORTANTE
▪ OUTROS ÁBACOS DIFERENTES DO A-25 PODERIAM TER SIDO UTILIZADOS, NO ENTANTO, ESTE
ESCOLHIDO É INTERESSANTE PORQUE NÃO FIXA O NÚMERO DE BARRAS A SEREM DISPOSTAS
NA SEÇÃO TRANSVERSAL: MARCA APENAS AS FACES DO PILAR QUE DEVEM ALOJAR AS
BARRAS
▪ NESTE CASO, O ÁBACO A-25 PROPORCIONA QUE AS BARRAS SEJAM DISTRIBUÍDAS NO LADO
MAIOR DO PILAR
▪ OBSERVAR QUE O ÁBACO A-25 TEM A ARMADURA POSICIONADA NA DIREÇÃO PARALELA À
EXCENTRICIDADE “e” DA FORÇA NORMAL ND, PORTANTO, NA DIREÇÃO HORIZONTAL
PARALELA À EXCENTRICIDADE e1X.MÍN DA SITUAÇÃO DE CÁLCULO 1 (SC.1), COINCIDENTE COM O
LADO MAIOR DO PILAR
SEGUINDO O MESMO PROCESSO, PARA A DIREÇÃO Y, TEM-SE:
Y =
MD,TOT.Y
HY . AC . fcd
OU Y =  .
eY
HY
Y =
4.007,63
20,0 . 1.000,0 . 1,429
OU X = 0,77 .
3,64
20,0
X = 0,1402 X = 0,1402
38
CNOM
HY
ONDE:
▪ H = DIMENSÃO DO PILAR, NA DIREÇÃO Y CONSIDERADA = 20,0cm
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA (FUNÇÃO DA CLASSE DE AGRESSIVIDADE)
▪ RELAÇÃO “RECOBRIMENTO DE CONCRETO” X “DIMENSÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL”, PARA A
DIREÇÃO Y DO PILAR
LOGO,
CNOM
HY
4,0
20,0
= 0,2cm
CNOM
HY
39
Y = 0,1402
= 0,2cm
CNOM
HY
AÇO CA.50 S = 1,15
 = 0,77
▪ DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL , PARA A DIREÇÃO Y DO PILAR
▪ PARA O CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL DO PILAR, UTILIZA-SE O ÁBACO DE CÁLCULO
DE FLEXÃO RETA COM BASE NOS PARÂMETROS JÁ ENCONTRADOS E/OU FORNECIDOS NO
ENUNCIADO DO EXERCÍCIO, PARA DETERMINAR A TAXA MECÂNICA “Y”:
40
C
O
M
P
R
E
S
S
Ã
O
T
R
A
Ç
Ã
O
 = 0,77
Y = 0,38
 = 0,1402
▪ IMPORTANTE
▪ PARA A SOLICITAÇÃO NA DIREÇÃO Y, O ÁBACO A-4 É COMPATÍVEL COM O ÁBACO A-25 DA
DIREÇÃO X, POIS PROPORCIONA O MESMO ARRANJO DE BARRAS NA SEÇÃO TRANSVERSAL,
OU SEJA, AS BARRAS DISTRIBUÍDAS, AGORA, AO LONGO DO LADO MENOR DO PILAR
▪ ISSO É MOSTRADO NA FIGURA DO ÁBACO A-4, NA QUAL A ARMADURA É POSICIONADA NA
DIREÇÃO PERPENDICULAR À EXCENTRICIDADE DA FORÇA NORMAL ND, PORTANTO, NA
DIREÇÃO HORIZONTAL PERPENDICULAR À EXCENTRICIDADE TOTAL DA SITUAÇÃO DE CÁLCULO
2 (SC.2), E COINCIDENTE COM O LADO MENOR DO PILAR
▪ A MAIOR ARMADURA RESULTA DO MAIOR VALOR DE  (Y = 0,38), REFERENTE À SC.2, E A
PARTIR DAQUI, A ARMARDURA PRINCIPAL AS,PRINC PODE SER DETERMINADA!
41
▪ ARMADURA PRINCIPAL DO PILAR, NA DIREÇÃO Y
AS,PRINC =
Y . AC . fcd
fyd
ONDE:
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL DO PILAR [cm²]
▪ Y = TAXA MECÂNICA, NA DIREÇÃO Y = 0,38
▪ AC = ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 1.000,0cm² (20,0 . 50,0)
▪ fcd = RESISTÊNCIA DE CÁLCULO À COMPRESSÃO DO CONCRETO = fck / C = 2,0 / 1,4 = 1,429
▪ fyd = TENSÃO DE ESCOAMENTO DE DIMENSIONAMENTO DO AÇO = fy / S = 50,0 / 1,15 = 43,48
ASSIM SENDO ...
AS,PRINC =
Y . AC . fcd
fyd
AS,PRINC =
0,38 . 1.000,0 . 1,429
43,48
AS,PRINC = 12,5cm²
42
▪ ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA DO PILAR
ONDE:
▪ AS,MÍN = ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA DO PILAR [cm²]
▪ ND = FORÇA NORMAL DE CÁLCULO = 1.100kN
▪ fyd = TENSÃO DE ESCOAMENTO DE DIMENSIONAMENTO DO AÇO = fy / S = 50,0 / 1,15 = 43,48
▪ AC = ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 1.000,0cm² (20,0 . 50,0)
AS,MÍN = 0,15 .
ND
fyd
 0,004 . AC
AS,MÍN = 0,15 .
1.100,0
43,48
 0,004 . 1.000,0
LOGO,
AS,MÍN = 3,79 cm²  4,0 cm²
AS,MÍN = 4,0 cm²
43
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DAS ARMADURAS, QUE ....
AS,PRINC = 12,5 cm²
AS,MÍN = 4,0 cm²
X
PORTANTO, AS,PRINC OK !
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL 
(F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL
3,2 0,080425
4,0 0,125664
5,0 0,196350
6,3 0,3117250
8,0 0,502655
10,0 0,785398
12,5 1,2271850
44
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL 
(F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL
3,2 0,080425 12,5 155,42 156,00 
4,0 0,125664 12,5 99,47 100,00 
5,0 0,196350 12,5 63,66 64,00 
6,3 0,3117250 12,5 40,10 41,00 
8,0 0,502655 12,5 24,87 25,00 
10,0 0,785398 12,5 15,92 16,00 
12,5 1,2271850 12,5 10,19 11,00 
9. DIÂMETRO MÍNIMO
▪ O DIÂMETRO (L) DAS BARRAS LONGITUDINAIS (DA ARMADURA PRINCIPAL AS,PRINC), É ...
L
 10,0mm
 B / 8
ONDE:
▪ L = DIÂMETRO ESCOLHIDO DA BARRA LONGITUDINAL PRINCIPAL
▪ B = MENOR DIMENSÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 20,0cm
45
ENTÃO ...
10,0mm  L  25,0mm
L
 10,0mm
 B / 8
L
 10,0mm
 B / 8 = 200,0 / 8 = 25,0mm
AS,PRINC = 16  10,0
ASSIM, A ARMADURA LONGITUDINAL PRINCIPAL DO PILAR – A PARTIR DA TABELA ANTERIOR E
DENTRO DO INTERVALO CONSIDERADO – PODE SER ATENDIDA POR QUAISQUER DAS SEGUINTES
2 OPÇÕES:
AS,PRINC = 11,0  12,5
▪ ARMADURA LONGITUDINAL PRINCIPAL DO PILAR
46
▪ DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL – ESPAÇAMENTO MÍNIMO LIVRE
▪ DE ACORDO COM A NBR 6118 (ITEM 18.4.2.2), AS ARMADURAS LONGITUDINAIS DEVEM SER
DISPOSTAS NA SEÇÃO TRANSVERSAL, DE FORMA A GARANTIR A RESISTÊNCIA ADEQUADA DO
ELEMENTO ESTRUTURAL. EM SEÇÕES POLIGONAIS, DEVE EXISTIR PELO MENOS UMA BARRA EM
CADA VÉRTICE; EM SEÇÕES CIRCULARES, NO MÍNIMO SEIS BARRAS DISTRIBUÍDAS AO LONGO DO
PERÍMETRO. O ESPAÇAMENTO MÍNIMO LIVRE ENTRE AS FACES DAS BARRAS LONGITUDINAIS,
MEDIDO NO PLANO DA SEÇÃO TRANSVERSAL, FORA DA REGIÃO DE EMENDAS, DEVE SER IGUAL OU
SUPERIOR AO MAIOR DOS SEGUINTES VALORES:
▪ DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL – ESPAÇAMENTO MÍNIMO LIVRE
EMÍN,LIVRE 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR
L
ONDE:
▪ EMÍN,LIVRE= ESPAÇAMENTO LIVRE MÍNIMO ENTRE AS FACES DE DUAS BARRAS DA MESMA
CAMADA
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA ESCOLHIDA = 12,5mm = 1,25cm
▪ MÁX AGR = DIMENSÃO MÁXIMA CARACTERÍSTICA DO AGREGADO GRAÚDO UTILIZADO NO
CONCRETO = 19,0mm = 1,9cm (DADO DO EXERCÍCIO)
47
EMÍN,LIVRE 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR
L
COM ISSO,
EMÍN,LIVRE 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR = 1,2 . 1,9 = 2,28cm
L = 1,25cm
EMÍN,LIVRE  2,28cm
10. DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL – ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE EIXOS DAS BARRAS
▪ AINDA SEGUNDO A NBR 6118, ESSES VALORES SE APLICAM TAMBÉM ÀS REGIÕES DE EMENDAS
POR TRASPASSE DAS BARRAS. QUANDO ESTIVER PREVISTO NO PLANO DE CONCRETAGEM O
ADENSAMENTO ATRAVÉS DE ABERTURA LATERAL NA FACE DA FORMA, O ESPAÇAMENTO DAS
ARMADURAS DEVE SER SUFICIENTE PARA PERMITIR A PASSAGEM DO VIBRADOR. O
ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE EIXOS DAS BARRAS, OU DE CENTROS DE FEIXES DE BARRAS, DEVE
SER:
48
9. DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL – ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE EIXOS DAS BARRAS
ONDE:
▪ B = MENOR DIMENSÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR = 20,0cm
2 . B
40,0cm
EMÁX,EIXOS 
2 . B
40,0cm
EMÁX,EIXOS 
COM ISSO,
2 . B = 2 . 20,0cm = 40,0cm
40,0cm
EMÁX,EIXOS 
EMÁX,EIXOS  40,0cm
49
“ L I Ç Ã O D E C A S A ”
EXEMPLO 3
PARA A VIGA EM BALANÇO INDICADA, CALCULAR A ARMADURA PRINCIPAL DE TRAÇÃO 
LONGITUDINAL AS,PRINC, SUPONDO QUE ELA ESTEJA SUBMETIDA À FLEXÃO SIMPLES
50
▪ DADOS DO PROBLEMA:
▪ MK.MÁX = − 15.000,0 kN.cm (MOMENTO FLETOR NEGATIVO, NO APOIO DA VIGA)
▪ COEFICIENTES DE SEGURANÇA (OU DE MAJORAÇÃO):
▪ CONCRETO: c =1,4
▪ AÇO: s =1,15
▪ CONCRETO: CA.25 (fck = 25,0 MPa, GRUPO 1)
▪ AÇO: CA.50
▪ DIÂMETRO DO ESTRIBO: T 6,3mm
▪ CONCRETO PREPARADO APENAS COM BRITA 1 (MÁX = 19,0mm)
▪ CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA):
▪ AGRESSIVIDADE: FORTE
▪ RISCO DE DETERIORAÇÃO DA ESTRUTURA: GRANDE
51
QTOT.VIGA = CARGA TOTAL (kN/m)
A B
MK.MÁX
H = 
60,0cm
BW =
22,0 cm
d = ?
[cm]
▪ ALGUMAS INFORMAÇÕES PRÉVIAS ...
▪ O PROBLEMA É DE DIMENSIONAMENTO, AQUELE QUE MAIS OCORRE NO DIA A DIA DO
ENGENHEIRO RESPONSÁVEL PELO CÁLCULO ESTRUTURAL
▪ A INCÓGNITA PRINCIPAL É A ÁREA DE ARMADURA TRACIONADA (AS), ALÉM DA POSIÇÃO DA
LINHA NEUTRA, DADA PELA VARIÁVEL “X”, QUE DEVE SER DETERMINADA PRIMEIRAMENTE
▪ A TÍTULO DE INFORMAÇÃO, AA RESOLUÇÃO SERÁ FEITA SEGUNDO AS EQUAÇÕES TEÓRICAS
DEDUZIDAS DO EQUILÍBRIO DA SEÇÃO E, LOGO A SEGUIR, TAMBÉM COM A APLICAÇÃO DAS
EQUAÇÕES COM COEFICIENTES K TABELADOS (SISTEMA ESTE MUITO SIMILAR, EM ALGUNS
MOMENTOS, COM O DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE CONCRETO VISTO EM “ESTRUTURAS DE
CONCRETO 1”)
52
O P Ç Ã O D E R E S O L U Ç Ã O 1 : E Q U A Ç Õ E S T E Ó R I C A S
1. MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO
ONDE:
▪ Md = MOMENTO INTERNO RESISTENTE PROPORCIONADO PELO CONCRETO COMPRIMIDO.
DEVE SER CONSIDERADO COMO VALOR ABSOLUTO NESTA EQUAÇÃO. TAMBÉM
CONHECIDO POR MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO (OU ESFORÇO DE DIMENSIONAMENTO)
▪ C = COEFICIENTE DE SEGURANÇA (OU DE PONDERAÇÃO), QUE MAJORA OS ESFORÇOS
SOLICITANTES NO CONCRETO = 1,4
▪ MK.MÁX = MOMENTO FLETOR MÁXIMO DE SERVIÇO. AQUELE QUE ESTÁ EFETIVAMENTE
ATUANDO E QUE FOI ENCONTRADO NO CÁLCULO ESTÁTICO = − 15.000,0kN.cm
Md = C . MK.MÁX
53
1. MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO
Md = C . MK.MÁX
Md = 1,4 . − 15.000,0
Md = − 21.000,0 kN.cm
AINDA QUE NEGATIVO, O SINAL DO MOMENTO FLETOR 
NÃO É CONSIDERADO NOS CÁLCULOS DIMENSIONAIS 
di = H – CNOM – (L / 2)
ONDE:
▪ H = ALTURA DA VIGA = 60,0cm
▪ BW = BASE DA VIGA = 22,0cm
▪ di = ALTURA ÚTIL INICIAL DA VIGA [cm]
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE (VALOR ADOTADO: 5,0mm = 0,5cm)
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA (FUNÇÃO DA CLASSE DE AGRESSIVIDADE)
2. DOMÍNIOS PARA CONCRETO ARMADO DO TIPO 1 E AÇO CA.50
ALTURA ÚTIL INICIAL “di”:
H
CNOM
L
d
BW
54
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
NBR 6118, TABELA 6.1: CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
CLASSIFICAÇÃO GERAL 
DO TIPO DE AMBIENTE 
PARA EFEITO DE 
PROJETO’
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA
I FRACA
RURAL
INSIGNIFICANTE
SUBMERSA
II MODERADA URBANA PEQUENO
III FORTE
MARINHA
GRANDE
INDUSTRIAL
IV MUITO FORTE
INDUSTRIAL
ELEVADO
RESPINGOS DE MARÉ
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 1/2]
55
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE (OU 
ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
NBR 6118, TABELA 7.2:
CORRESPONDÊNCIA ENTRE CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E COBRIMENTO NOMINAL PARA ΔC = 10,0mm
TIPO DE 
ESTRUTURA
COMPONENTE (OU 
ELEMENTO)
CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA)
I II III IV(2)
COBRIMENTO NOMINAL (mm)
CONCRETO 
ARMADO
LAJE 20,0 25,0 35,0 45,0
VIGA / PILAR 25,0 30,0 40,0 50,0
ELEMENTOS 
ESTRUTURAIS 
EM CONTATO 
COM O SOLO
30,0 40,0 50,0
▪ COBRIMENTO NOMINAL [PASSO 2/2]
56
LOGO,
di = H – CNOM – (L / 2)
di = 60,0 – 4,0 – (0,5 / 2)
di = 55,75cm
2. DOMÍNIOS PARA CONCRETO ARMADO DO TIPO 1 E AÇO CA.50: X2.LIM
X2.LIM = 0,26 . d
ONDE:
▪ X2.LIM = ÍNDICE QUE DELIMITA OS DOMÍNIOS 2 E 3. PARA OS CONCRETOS DO GRUPO 1 DE
RESISTÊNCIA (fck  50 Ma) É FIXO E IGUAL A 0,26 . d
▪ d = ALTURA ÚTIL DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA CONSIDERADA = 55,75cm
57
X2.LIM = 0,26 . d
PORTANTO, ...
X2.LIM = 0,26 . 55,75
X2.LIM = 14,5 cm
2. DOMÍNIOS PARA CONCRETO ARMADO DO TIPO 1 E AÇO CA.50 : X3.LIM
X3.LIM = 0,63 . d
ONDE:
▪ X2.LIM = ÍNDICE QUE DELIMITA OS DOMÍNIOS 3 E 4. PARA OS CONCRETOS DO GRUPO 1 DE
RESISTÊNCIA (fck  50 Ma) É FIXO E IGUAL A 0,63 . d
▪ d = ALTURA ÚTIL DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA CONSIDERADA = 55,75cm
58
X3.LIM = 0,63 . d
PORTANTO, ...
X3.LIM = 0,63 . 55,75
X3.LIM = 35,12 cm
3. POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA PARA A SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA
Md = 0,68 . BW . X . fcd . (d – 0,4 . X)
ONDE:
▪ Md = MOMENTO INTERNO RESISTENTE PROPORCIONADO PELO CONCRETO COMPRIMIDO.
DEVE SER CONSIDERADO COMO VALOR ABSOLUTO NESTA EQUAÇÃO. É TAMBÉM CONHECIDO
POR MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO (OU ESFORÇO DE DIMENSIONAMENTO) = 21.000,0kN.cm
▪ BW = LARGURA DA SEÇÃO DA VIGA CONSIDERADA = 22,0cm
▪ X = POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA [cm]
▪ fcd = RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DO CONCRETO À COMPRESSÃO
= fck / 1,4 = 25,0 / 1,4 = 17,86 Mpa = 1,786kN/cm²
▪ d = ALTURA ÚTIL DA VIGA [cm] = 55,75cm
59
Md = 0,68 . BW . X . fcd . (d – 0,4 . X)
COM ISSO, ...
21.000,0 = 0,68 . 22,0 . X . 1,786 . (55,75 – 0,4 . X)
26,72 . X . (55,75 – 0,4 . X) = 21.000,0
1.489,64 . X – 10,69 . X² = 21.000,0
0,68 . 22,0 . X . 1,786 . (55,75 – 0,4 . X) = 21.000,0
1.489,64 . X – 10,69 . X² = 21.000,0
– 10,69 X² + 1.489,64 X – 21.000,0 = 0
X² − 139,35 X + 1.964,45 = 0
60
  = b² – 4 . a . c
  = (−139,35)² – 4 . (1,0) . (1.964,45)
  = 19.418,42 – 7.857,80
  = 11.560,62
X² − 139,35 X + 1.964,45 = 0
LOGO, ...
X =
– b   
2 . a
X =
– (−139,35)   11.560,62
2 . (1,0)
X1 = 123,44cm X2 = 15,91cm
61
▪ IMPORTANTE
▪ DO RESULTADO, VERIFICA-SE QUE A PRIMEIRA RAIZ (X1) NÃO INTERESSA, POIS 123,44cm  H =
60,0cm (ALTURA DA VIGA)
▪ PORTANTO, X = 15,91cm
▪ OBSERVAR QUE AS UNIDADES ADOTADAS PARA AS VARIÁVEIS DAS EQUAÇÕES ANTERIORES
FORAM “kN” E “cm”. CASO OUTRAS UNIDADES DIFERENTES FOSSEM UTILIZADAS, SERIA
PRECISO TOMAR CUIDADO EM MANTÊ-LAS UNIFORMES EM TODAS AS VARIÁVEIS
4. DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A VIGA SE ENCONTRA
▪ COMPARANDO A POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA (X) COM OS LIMITES X2LIM E X3LIM CHEGA-SE AO
DOMÍNIO EM QUE A VIGA ESTÁ:
X2.LIM = 14,5cm  15,91cm  X3.LIM= 35,12cm
▪ ASSIM SENDO, COMO A LINHA NEUTRA ESTÁ NO INTERVALO ENTRE X2LIM E X3LIM, VERIFICA-SE
QUE A VIGA ESTÁ NO DOMÍNIO 3
62
4. DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A VIGA SE ENCONTRA
▪ DE ACORDO COM OS LIMITES ESTABELECIDOS ANTERIORMENTE – E CONSIDERANDO O
CONCRETO CA.20 (fck =20,0 MPa), TEM-SE:
X =
X
d
X =
15,91
55,75
X = 0,2853 OK !
 0,45
LIMITE IMPOSTO PELA NBR 6118
(AULA 8)
▪ IMPORTANTE
▪ COMO O LIMITE FOI ATENDIDO, NENHUMA ALTERAÇÃO É NECESSÁRIA E A VIGA PODE TER A
ARMADURA DETERMINADA
5. ARMADURA TRACIONADA PRINCIPAL DA VIGA
▪ COMO VISTO NA AULA 8, NO DOMÍNIO 3 A DEFORMAÇÃO NA ARMADURA VARIA DE yd (INÍCIO
DE ESCOAMENTO DO AÇO) A 10,0 ‰
▪ SEGUNDO O DIAGRAMA TENSÃO () X DEFORMAÇÃO () DO AÇO, A TENSÃO NESTA FAIXA DE
DEFORMAÇÃO É SD = fyd = fyk / S (PARA O AÇO CA.50, fyk = 50,0kN/cm² = 500,0MPa E S = 1,15)
▪ LOGO,
SD =
fyk
S
SD =
50,0
1,15
SD = 43,48 kN/cm²
63
5. ARMADURA TRACIONADA PRINCIPAL DA VIGA
ONDE:
▪ AS,PRINC = ARMADURA PRINCIPAL PARA CONTROLE DA TRAÇÃO EM PEÇAS FLEXIONADAS
▪ Md = MOMENTO INTERNO RESISTENTE PROPORCIONADO PELO CONCRETO COMPRIMIDO.
DEVE SER CONSIDERADO COMO VALOR ABSOLUTO NESTA EQUAÇÃO. É TAMBÉM
CONHECIDO POR MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO (OU ESFORÇO DE DIMENSIONAMENTO)
= − 21.000,0 kN/cm²
▪ SD = TENSÃO DE CÁLCULO, NA ARMADURA TRACIONADA = 43,48 kN/cm²
▪ d = ALTURA ÚTIL DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA VIGA = 55,75cm
▪ X = POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA = 15,91cm
AS,PRINC =
Md
SD . (d – 0,4 . X)
5. ARMADURA TRACIONADA DA VIGA
AS,PRINC =
Md
SD . (d – 0,4 . X)
AS,PRINC =
21.000,0
43,48 . (55,75 – 0,4 . 15,91)
AS,PRINC = 9,8cm²
64
AS,MÍN = S,MÍN . BW . H [cm² / m]
ONDE:
▪ AS,MÍN = ARMADURA MÍNIMA PARA CONTROLE DA FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÕES
RETANGULARES [cm² / kN]
▪ S,MÍN = TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO [%]
▪ BW = SEÇÃO RETANGULAR ADOTADA, PARA CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO = 100,0cm
▪ H = ALTURA DA VIGA = 60,0cm (DADO DO EXERCÍCIO)
6. ARMADURA MÍNIMA TRACIONADA DA VIGA
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
6. ARMADURA MÍNIMA TRACIONADA DA VIGA
65
TAXAS MÍNIMAS DE ARMADURAS DE FLEXÃO
FORMA DA SEÇÃO
VALORES DE S,MÍN [% = VALORES ABAIXO DEVEM SER DIVIDIDOS POR 100]
fck 20 fck 25 fck 30 fck 35 fck 40 fck 45 fck 50
RETANGULAR 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
6. ARMADURA MÍNIMA TRACIONADA DA VIGA
ASSIM,
AS,MÍN = (0,150/100) . 100 . 60,0
AS,MÍN = s,mín . BW . H
AS,MÍN = 9,0 cm² / m
66
CONCLUI-SE ENTÃO, PELOS CÁLCULOS DAS ARMADURAS, QUE ....
AS,PRINC = 9,8 cm² / m
AS,MÍN = 9,0 cm² / m
X
PORTANTO, AS,PRINC OK !
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 100,0
4,0 0,125664 100,0
5,0 0,196350 100,0
6,3 0,3117250 100,0
8,0 0,502655 100,0
10,0 0,785398 100,0
12,5 1,2271850 100,0
67
ARMADURA PRINCIPAL [AS,PRINC]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
AS,PRINC
[cm² / m]
QF
(AS,PRINC / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 9,8 121,60 122,00 100,0 0,82 1,00 
4,0 0,125664 9,8 77,83 78,00 100,0 1,28 2,00 
5,0 0,196350 9,8 49,81 50,00 100,0 2,00 2,00 
6,3 0,3117250 9,8 31,37 32,00 100,0 3,13 4,00 
8,0 0,502655 9,8 19,46 20,00 100,0 5,00 5,00 
10,0 0,785398 9,8 12,45 13,00 100,0 7,69 8,00 
12,5 1,2271850 9,8 7,97 8,00 100,0 12,50 13,00 
AS,PRINC = 20  8,0 c/ 5,0cm
AS ,PRINC = 13  10,0 c/ 8,0cm
ASSIM, A ARMADURA TRACIONADA PRINCIPAL DA VIGA PODE SER ATENDIDA POR QUAISQUER
DAS SEGUINTES 3 OPÕES:
AS ,PRINC = 8,0  12,5 c/ 13,0cm
7. ARMADURA TRACIONADA PRINCIPAL DA VIGA FINAL
68
8. ESPAÇAMENTOS LIVRES ENTRE AS FACES DAS BARRAS: SENTIDO HORIZONTAL
ONDE:
▪ AH,MÍN = ESPAÇAMENTO LIVRE HORIZONTAL MÍNIMO ENTRE AS FACES DE DUAS BARRAS DA
MESMA CAMADA
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA = 12,5mm = 1,25cm
▪ MÁX AGR = DIMENSÃO MÁXIMA CARACTERÍSTICA DO AGREGADO GRAÚDO UTILIZADO NO
CONCRETO = 19,0mm = 1,9cm (DADO DO EXERCÍCIO)
AH,MÍN 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR
L
AH,MÍN 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR
L
AH,MÍN 
2,0 cm
1,2 . MÁX AGR
L = 1,25 cm
= 1,2 . 1,9 = 2,28cm
AH,MÍN  2,28cm
69
9. ESPAÇAMENTOS LIVRES ENTRE AS FACES DAS BARRAS: SENTIDO VERTICAL
ONDE:
▪ AV,MÍN = ESPAÇAMENTO LIVRE VERTICAL MÍNIMO ENTRE AS FACES DE DUAS BARRAS DE
CAMADAS ADJACENTES
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA = 12,5mm = 1,25cm
▪ MÁX AGR = DIMENSÃO MÁXIMA CARACTERÍSTICA DO AGREGADO GRAÚDO UTILIZADO NO
CONCRETO = 19,0mm = 1,9cm (DADO DO EXERCÍCIO)
AV,MÍN 
2,0 cm
0,5 . MÁX AGR
L
AH,MÍN 
2,0 cm
0,5 . MÁX AGR
L
AH,MÍN 
2,0 cm
0,5 . MÁX AGR
L = 1,25 cm
= 0,5 . 1,9 = 0,95cm
AH,MÍN  2,0cm
70
dF = H – CNOM – (L / 2)
ONDE:
▪ H = ALTURA DA VIGA = 60,0cm
▪ BW = BASE DA VIGA = 22,0cm
▪ dF = ALTURA ÚTIL FINAL DA VIGA [cm]
▪ L = DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL DA LAJE 12,5mm = 1,25cm
▪ CNOM = COBRIMENTO NOMINAL DA ARMADURA = 4,0cm
10. ALTURA ÚTIL FINAL dF DA VIGA
H
CNOM
L
d
BW
LOGO,
dF = H – CNOM – (L / 2)
dF = 60,0 – 4,0 – (1,25 / 2)
dF = 55,38cm
71
ONDE:
▪ ASP,FACE = ARMADURA DE PELE, POR FACE, PARA VIGAS COM H  50,0cm
▪ BW = BASE DA VIGA = 22,0cm
▪ H = ALTURA DA VIGA = 60,0cm
11. ARMADURA DE PELE, POR FACE DA SEÇÃO TRANSVERSAL
H  60,0cm
ESP,FACE
BW
ASP,FACE = 0,05% . BW . H
ASSIM,
ASP,FACE = 0,66cm²
ASP,FACE = 0,05% . BW . H
ASP,FACE = 0,05 / 100 . 22,0 . 60,0
72
ARMADURA DE FACE [ASP,FACE]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
ASP,FACE
[cm² / m]
QF
(ASP,FACE / ABITOLA)
SEÇÃO 
PADRÃO
[cm]
SF
(SEÇÃO PADRÃO / QF REAL) 
[cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 50,0
4,0 0,125664 50,0
5,0 0,196350 50,0
6,3 0,3117250 50,0
8,0 0,502655 50,0
10,0 0,785398 50,0
12,5 1,2271850 50,0
ARMADURA DE FACE [ASP,FACE]
QUANTIDADE DE BARRAS FINAL (QF) + ESPAÇAMENTO FINAL (SF) + BITOLA FINAL (F)
BITOLA
ASP,FACE
[cm² / m]
QF
(ASP,FACE / ABITOLA)
ALTURA 
DA SEÇÃO
[cm]
SF
(ALTURA DA SEÇÃO / 
QF REAL) [cm]
 [mm] ÁREA [cm²] CALCULADO REAL CALCULADO REAL
3,2 0,080425 0,66 8,21 9,00 60,0 6,67 7,00 
4,0 0,125664 0,66 5,25 6,00 60,0 10,00 10,00 
5,0 0,196350 0,66 3,36 4,00 60,0 15,00 15,00 
6,3 0,3117250 0,66 2,12 3,00 60,0 20,00 20,00 
8,0 0,502655 0,66 1,31 2,00 60,0 30,00 30,00 
10,0 0,785398 0,66 0,84 1,00 60,0 60,00 60,00 
12,5 1,2271850 0,66 0,54 1,00 60,0 60,00 60,00 
73
P A R A E N T R E G A E M 1 0 . N O V . 2 0 1 8 ( 1 , 0 P O N T O )
PILAR INTERMEDIÁRIO
DIMENSIONAR A ARMADURA LONGITUDINAL VERTICAL DO PILAR EM DESTAQUE
74
PILAR INTERMEDIÁRIO
DIMENSIONAR A ARMADURA LONGITUDINAL VERTICAL DO PILAR EM DESTAQUE
▪ DADOS DO PROBLEMA:
▪ COEFICIENTES DE SEGURANÇA (OU DE MAJORAÇÃO):
▪ CONCRETO: c =1,4
▪ AÇO: s =1,15
▪ F = COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES NO ELU (ESTADO LIMITE ÚLTIMO) = 1,4
▪ CONCRETO: CA.20 (fck = 20 MPa, GRUPO 1)
▪ AÇO: CA.50
▪ CONCRETO PREPARADO APENAS COM BRITA 1 (MÁX = 19,0mm)
▪ FORÇA NORMAL CARACTERÍSTICA NO PILAR: NK = 1.071,0kN
▪ CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL (CAA):
▪ AGRESSIVIDADE: ELEVADO
▪ RISCO DE DETERIORAÇÃO DA ESTRUTURA: MUITO FORTE
75
LE =
320,0 cm
LE = COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE FLAMBAGEM
PLANTA
HX = 60,0 cm
HY =
30,0 cm
ND
Y
X
C O N T I N U A . . .