SLIDE DE AULA - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

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Operações com 
Conjuntos
Prof. Aruã Dias
1. Classificação dos Conjuntos
➢ Conjuntos Finitos:
𝐕 = 𝐚, 𝐞, 𝐢, 𝐨, 𝐮
𝐒 ={ domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado }
𝐀 = {𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗}
➢ Conjunto Infinitos:
𝐍 = {𝟐, 𝟏𝟐, 𝟐𝟐, 𝟑𝟐, 𝟒𝟐,… }
𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗,… }
1. Classificação dos Conjuntos
➢ Conjunto Unitário – É o conjunto que possui apenas um elemento.
✓ Exemplo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝐱 é 𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐨} = {𝟐}
➢ Conjunto Vazio – É o conjunto que não possui elemento.
✓ Exemplo:
𝐁 = 𝐱 ∈ ℝ 𝐱𝟐 = −𝟏} = ∅
❖ Observação:
• O conjunto vazio possui as notações: ∅ 𝐨𝐮 { }.
• A representação ∅ não indica conjunto vazio. É um conjunto unitário.
➢ Tabular:
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
➢ Na forma de uma propriedade:
𝐀 = 𝐱 𝐱 é 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥 𝐦𝐚𝐢𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟐 𝐞𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝟖
➢ Na forma de intervalo:
𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝟐 < 𝐱 < 𝟖}
2. Representação dos Conjuntos
➢ Diagrama de Venn:
𝐀 = 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕
4
5
3
6
7
𝐀
2. Representação dos Conjuntos
➢ Número de Elementos de um 
Conjunto:
𝐧 𝐀 = 𝟓
❖ Observação:
Elementos repetidos não são 
considerados na contagem.
✓ Exemplo:
Para o conjunto
E = {2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7},
temos:
𝐧 𝐄 = 𝟔.
3. Operações com Conjuntos
➢ União:
Dados dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐨𝐮 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 1: 
Sejam os conjuntos 𝐀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} e 𝐁 = {𝟑, 𝟒, 𝟓}, determine 𝐀 ∪ 𝐁.
𝐀 ∪ 𝐁 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
U
Diagrama de Venn:
3. Operações com Conjuntos
➢ União:
Dados dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐨𝐮 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 2: 
Sejam os conjuntos 𝐂 = {𝐝, 𝐞} e 𝐃 = {𝟓, 𝟕, 𝟖}, determine 𝐂 ∪ 𝐃. 
Os conjuntos C e D são 
disjuntos, uma vez que 
não possuem 
elementos em comum.
𝐂 ∪ 𝐃 = {𝐝, 𝐞, 𝟓, 𝟕, 𝟖}
U
Diagrama de Venn:
3. Operações com Conjuntos
➢ União:
Dados dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐨𝐮 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 3: 
Sejam os conjuntos 𝐄 = {𝐟, 𝐠, 𝟕} e 𝐅 = {𝟕, 𝐟, 𝐠, 𝐡, 𝟏𝟎}, determine 𝐄 ∪ 𝐅. 
𝐄 ∪ 𝐅 = {𝟕, 𝐟, 𝐠, 𝐡, 𝟏𝟎}
U
Diagrama de Venn:
= 𝐅
3. Operações com Conjuntos
➢ Interseção:
Para dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 1: 
Sejam os conjuntos 𝐀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} e 𝐁 = {𝟑, 𝟒, 𝟓}, determine 𝐀 ∩ 𝐁. 
𝐀 ∩ 𝐁 = {𝟑}
U
Diagrama de Venn:
3. Operações com Conjuntos
➢ Interseção:
Para dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 2: 
Sejam os conjuntos 𝐌 = {𝐚, 𝐛, 𝐜} e 𝐐 = {𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟖}, determine 𝐌∩𝐐. 
Os conjuntos M e Q
são disjuntos
𝐌∩𝐐 = ∅
Diagrama de Venn:
3. Operações com Conjuntos
➢ Interseção:
Para dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∈ 𝐁
✓ Exemplo 3: 
Sejam os conjuntos 𝐒 = {𝐚, 𝟕, 𝐜} e 𝐑 = {𝐛, 𝟕, 𝐜, 𝐝, 𝐚}, determine 𝐒 ∩ 𝐑. 
𝐒 ∩ 𝐑 = {𝐚, 𝟕, 𝐜}
U
Diagrama de Venn:
= 𝐒
3. Operações com Conjuntos
➢ Diferença:
Para dois conjuntos A e B, temos:
𝐀 − 𝐁 = 𝐱 | 𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐱 ∉ 𝐁
✓ Exemplo 1: 
Sejam os conjuntos 𝐀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} e
𝐁 = {𝟑, 𝟒, 𝟓} , determine 𝐀 − 𝐁.
𝐁 − 𝐀 = {𝟒, 𝟓}
❖ Observação:
𝐀 – 𝐁 ≠ 𝐁 – 𝐀
Na operação diferença entre 
conjuntos não se pode aplicar a 
propriedade comutativa.
U
𝐀 − 𝐁 = {𝟏, 𝟐}
Dados dois conjuntos A e B,
𝐒𝐞 𝐁 ⊂ 𝐀, então 𝐀 − 𝐁 = 𝐂𝐀
𝐁
Exemplo: 
Sejam os conjuntos 𝐀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}
e 𝐁 = {𝟐, 𝟑}, 𝐂𝐀
𝐁 = ?
* Conjunto Complementar
✓ Observação:
𝐒𝐞 𝐀 ⊂ 𝐔, então 𝐀𝐂 = 𝐔− 𝐀
* 𝐀𝐂 = 𝐂𝐔
𝐀 = 𝐀
Dados dois conjuntos A e B,
𝐒𝐞 𝐁 ⊂ 𝐀, então 𝐀 − 𝐁 = 𝐂𝐀
𝐁
Exemplo: 
Sejam os conjuntos 𝐀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}
e 𝐁 = 𝟐, 𝟑 , 𝐂𝐀
𝐁 = ?
* Conjunto Complementar
✓ Observação:
𝐒𝐞 𝐀 ⊂ 𝐔, então 𝐀𝐂 = 𝐔− 𝐀
* 𝐀𝐂 = 𝐂𝐔
𝐀 = 𝐀
* Número de Elementos da União de dois Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, temos:
𝐧 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐧 𝐀 + 𝐧 𝐁 − 𝐧(𝐀 ∩ 𝐁)
✓ Exemplo: dados os conjuntos 𝐀 = {𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐭, 𝟕} e 𝐁 = 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝐭, 𝟐, 𝟒 , 
determine 𝐧 𝐀 ∪ 𝐁 .
𝐀 ∩ 𝐁 = {𝐭, 𝟕}
𝐧 𝐀 = 𝟓
𝐧 𝐁 = 𝟔
Portanto:
𝐧 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝟓 + 𝟔 − 𝟐 = 𝟗
⇒ 𝐧 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝟐
* Leis de De Morgan
▪ 𝐀 ∪ 𝐁 𝐂 = 𝐀𝐂 ∩ 𝑩𝑪
▪ 𝐀 ∩ 𝐁 𝐂 = 𝐀𝐂 ∪ 𝑩𝑪
* Propriedades da União
▪ 𝐀 ∪ 𝐀 = 𝐀
▪ 𝐀 ∪ ∅ = 𝐀
▪ 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁, 𝐬𝐞 𝐀 ⊂ 𝐁
▪ Propriedade Comutativa:
𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∪ 𝐀
* Propriedades da Interseção
▪ 𝐀 ∩ 𝐀 = 𝐀
▪ 𝐀 ∩ ∅ = ∅
▪ 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐀, 𝐬𝐞 𝐀 ⊂ 𝐁
▪ Propriedade Comutativa:
𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐁 ∩ 𝐀
▪ Propriedade Distributiva da Interseção em Relação à União:
𝐀 ∩ 𝐁 ∪ 𝐂 = (𝐀 ∩ 𝐁) ∪ (𝐀 ∩ 𝐂)
▪ Propriedade Distributiva da União em Relação à Interseção :
𝐀 ∪ 𝐁 ∩ 𝐂 = (𝐀 ∪ 𝐁) ∩ (𝐀 ∪ 𝐂)
* Número de Elementos de A × B
O conjunto 𝐀 × 𝐁 (lê-se A cartesiano B), também conhecido 
como produto cartesiano de A com B, é o conjunto formado por 
todos os pares ordenados, de tal forma que a abscissa de cada par 
seja um elemento do conjunto A e a ordenada de cada par seja um 
elemento do conjunto B.
Exemplo:
Dados os conjuntos 𝐀 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 𝐞 𝐁 = 𝟏, 𝟑 , qual o número de 
elementos de 𝐀 × 𝐁 ?
𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
* Número de Elementos de A × B
O conjunto 𝐀 × 𝐁 (lê-se A cartesiano B), também conhecido 
como produto cartesiano de A com B, é o conjunto formado por 
todos os pares ordenados, de tal forma que a abscissa de cada par 
seja um elemento do conjunto A e a ordenada de cada par seja um 
elemento do conjunto B.
Exemplo:
Dados os conjuntos 𝐀 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 𝐞 𝐁 = 𝟏, 𝟑 , qual o número de 
elementos de 𝐀 × 𝐁
𝐧 𝐀 × 𝐁 = 𝐧 𝐀 ∙ 𝐧(𝐁)
Exercício – Operações com Conjuntos:
Com relação aos conjuntos 𝐀 = 𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 ,
𝐁 = 𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 > 𝟑} 𝐞 𝐂 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 , obtenha:
a) A ∪ C
b) A ∩ C
c) B ∩ C
d) A - B
e) C - B
f) 𝐂𝐀
𝐁
g) n(P(B))
Exercício – Operações com Conjuntos:
Com relação aos conjuntos 𝐀 = 𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 ,
𝐁 = 𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 > 𝟑} 𝐞 𝐂 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 , obtenha:
a) A ∪ C
b) A ∩ C
c) B ∩ C
d) A - B
e) C - B
f) 𝐂𝐀
𝐁
g) n(P(B))
Resp.: a) {1, 3, 4, 5, 6, 7} b) {1, 3, 5} c) {5} d) {1, 3} e) {1, 3, 7} f) {1, 3} g) 8 
4. Problemas Envolvendo Conjuntos
Q. 1 - Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% 
leem a revista B e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas 
revistas. Qual o percentual de funcionários que leem ambas as 
revistas?
Resp.: 40 %
4. Problemas Envolvendo Conjuntos
Q. 1 - Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% 
leem a revista B e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas 
revistas. Qual o percentual de funcionários que leem ambas as 
revistas?
Resp.: 40 %
Q. 2 - (ENEM/2020) 
Resp.: c
Q. 2 - (ENEM/2020) 
Resp.: c
Q.3 - As marcas de refrigerante mais consumidas em uma lanchonete, certo dia, 
foram A, B e C. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela abaixo:
a) Quantos beberam refrigerante na 
lanchonete nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e C, 
quantos beberam apenas duas dessas 
marcas?
c) Quantos beberam apenas uma marca? 
(Considerando apenas os consumidores 
das marcas A, B e C).
Marcas 
Consumidas
Número de 
Consumidores
A 150
B 120
C 81
A e B 60
B e C 40
A e C 20
A, B e C 15
Outras 70
Resp.: a) 316 b) 75 c) 156 
Q.3 - As marcas de refrigerante mais consumidas em uma lanchonete, certo dia, 
foram A, B e C. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela abaixo:
Resp.: a) 316 b) 75 c) 156 
Q. 4 - (ENEM) 
Resp.: c
Q. 4 - (ENEM) 
Resp.: c
Q.4 - (ENEM) 
Q. 5 - (ENEM) 
Resp.: c
Q. 5 - (ENEM)Resp.: c
Q. 5 - (ENEM) 
Q. 8 - BAHIANA DE MEDICINA - 2016.1
Resp.: 2
Q. 8 - BAHIANA DE MEDICINA - 2016.1
Q. 6 - BAHIANA DE MEDICINA - 2018.1
Resp.: A
Q. 6 - BAHIANA DE MEDICINA - 2018.1
Q. 7 - BAHIANA DE MEDICINA - 2019.1
RACIOCÍNIO LÓGICO/CONJUNTOS – DIF F – GAB D
Q. 7 - BAHIANA DE MEDICINA - 2019.1
Q. 9 -
Resp.: e
Q. 9 -
Q. 10 - Espcex (Aman)
Resp.: b
Q. 10 - Espcex (Aman)
Resp.: b
Q. 10 - Espcex (Aman) - 2014
Q.11 - Epcar (Afa) - 2020
Resp.: b
Q.12 - Epcar (Afa) - 2020
Q. 13 - Um conjunto A é formado pelas letras da palavra PROFESSOR, um
conjunto B é formado pelas letras da palavra SALÁRIO. O número de letras
do conjunto formado pela união desses dois conjuntos, é igual a:
a)9
b)12
c) 14
d)15
e)16
Resp.: a
Q. 13 - Um conjunto A é formado pelas letras da palavra PROFESSOR, um
conjunto B é formado pelas letras da palavra SALÁRIO. O número de letras
do conjunto formado pela união desses dois conjuntos, é igual a:
a)9
b)12
c) 14
d)15
e)16
Resp.: a
* Q. 14 - Considere as afirmações sobre dois conjuntos A e B quaisquer:
I. 𝐀 ∩ 𝐁 ⊃ 𝐁
II. 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∩ 𝐀
III. 𝐀 ⊂ 𝐀 ∪ 𝐁
IV. 𝐀 ∩ 𝐀 = ∅
V. 𝐁 ∪ 𝐁 = 𝐁
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente I e III são verdadeiras
b) Somente I e IV são verdadeiras
c) Somente II e V são verdadeiras
d) Somente III e V são verdadeiras
e) Somente I e IV são verdadeiras
Resp.: d
* Q. 14 - Considere as afirmações sobre dois conjuntos A e B quaisquer:
I. 𝐀 ∩ 𝐁 ⊃ 𝐁
II. 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∩ 𝐀
III. 𝐀 ⊂ 𝐀 ∪ 𝐁
IV. 𝐀 ∩ 𝐀 = ∅
V. 𝐁 ∪ 𝐁 = 𝐁
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente I e III são verdadeiras
b) Somente I e IV são verdadeiras
c) Somente II e V são verdadeiras
d) Somente III e V são verdadeiras
e) Somente I e IV são verdadeiras
Resp.: d
* Q. 15 - Se 𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝐱 é 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝟔𝟎} 𝐞 𝐁 = 𝐱 ∈ ℕ 𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟓}, 
então o número de elementos do conjunto das partes de 𝐀 ∩ 𝐁 é um 
número:
a) Múltiplo de 4, menor que 48.
b) Primo, entre 27 e 33.
c) Divisor de 16.
d) Par, múltiplo de 6.
e) Pertence ao conjunto 
𝐱 ∈ ℝ 𝟑𝟐 < 𝐱 ≤ 𝟒𝟎}.
Resp.: a
* Q. 15 - Se 𝐀 = 𝐱 ∈ ℕ 𝐱 é 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝟔𝟎} 𝐞 𝐁 = 𝐱 ∈ ℕ 𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟓}, 
então o número de elementos do conjunto das partes de 𝐀 ∩ 𝐁 é um 
número:
a) Múltiplo de 4, menor que 48.
b) Primo, entre 27 e 33.
c) Divisor de 16.
d) Par, múltiplo de 6.
e) Pertence ao conjunto 
𝐱 ∈ ℝ 𝟑𝟐 < 𝐱 ≤ 𝟒𝟎}.
Resp.: a