Lista de matemática II

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Conjuntos Numéricos 
 
Conjuntos são agrupamentos de elementos semelhantes, que possuem alguma 
característica comum. 
 
Existem algumas formas de representar um conjunto: 
 
1. ​Extensão 
 
Quando a representação é feita por extensão utilizamos uma letra maiúscula com uma 
igualdade e usando chaves e separando os elementos com vírgula. Veja os exemplos 
abaixo: 
 
● Conjunto dos números pares menores que 10 
 
A = {0,2,4,6,8} 
 
● Conjunto das letras do alfabeto 
 
B = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z} 
 
● Conjunto dos números ímpares 
 
C= {1,3,5,7,9,11,...} 
 
2. ​Representação através do Diagrama de Venn 
 
O diagrama recebe este nome em homenagem ao lógico inglês John Venn (1834 - 1923), 
considerado o primeiro a empregar este recurso na representação de conjuntos, em 1876. 
 
● Conjunto dos números pares maiores 0 e menores que 12. 
 
 
 
● Conjunto dos Naturais positivos menores que 7 
 
 
 
3. ​Compreensão 
 
Quando a representação é feita por compreensão, utilizamos uma caracteristica do 
conjunto. Veja o exemplo abaixo: 
 
A = {x| x é um número par menor que 6} x ={0,2,4}⇒ 
 
Lê-se o conjunto da seguinte forma: “x tal que x é um número par menor que 6” 
 
B = {h| h } h={0,1,2,3,4,5,…}aos números naturais∈ ⇒ 
 
Lê-se: “h tal que h pertence aos números naturais” 
 
Exercícios 
 
1. Represente através da extensão, do diagrama de Venn, e por compreensão os 
seguintes conjuntos: 
 
a) Conjunto dos números ímpares menores que 20 
b) Conjunto dos números primos menores que 50 
c) Conjunto dos divisores de 48 
d) Conjunto das consoantes do alfabeto 
 
 
Tipos de Conjuntos 
 
Conjuntos iguais 
Dizemos que os conjuntos são iguais quando eles têm os mesmos elementos. 
 
A= {1,2,3,4,5} , B = {t|t é o conjunto dos números naturais maiores que 0 e menores que 6} , 
C= {1,2,3,4}. 
 
Note que A = B, mas A C .=/ 
 
Conjunto Universo 
 
Quando se faz referência de conjuntos em relação a um conjunto maior, este é chamado 
conjunto universo, simbolizado normalmente por U. 
Por exemplo: 
 
● Quando estudamos um fato, como por exemplo, idade superior a 12 anos, 
relacionado aos estudantes da escola, o conjunto universo será constituído por 
todos os alunos da escola. 
U = { alunos da Escola Bernardino do 8° e 9° ano} 
 A = {x | x tem 12 anos} ou A = {x ϵ U| x tem 12 anos} 
 
● Quando o fato está relacionado apenas aos alunos de uma das turmas da escola, o 
conjunto universo será constituído por todos os alunos dessa turma. 
U = { alunos da turma 9°A da Escola Bernardino} 
B ={x | x tem 12 anos} ou B = {x ϵ U| x tem 12 anos} 
 
Observe que os conjuntos A e B são diferentes, ou seja, A ≠ B porque o conjunto universo a 
que se referem são diferentes. 
 
Conjunto Unitário 
 
Dizemos que o conjunto é unitário quando têm apenas um elemento. 
 
Exemplo: 
 
● Conjunto dos números primos pares 
 
A = {2} 
A= {x|x é um número primo par} 
 
Conjunto Vazio 
 
 Quando o conjunto não possui nenhum elemento. 
 Por exemplo 
 
 L = {x|x é um número primo menor que 2} 
 L = { } ou L = ⊘ 
 
Outro exemplo: 
 K= {t|t são pessoas na turma do 9° A que nasceram antes de 1990} 
K={ } OU K = ⊘ 
 
OBSERVAÇÃO: Nunca use C = { } por que esse não é um conjunto vazio e sim um ⊘ 
conjunto que contém um conjunto vazio. Logo, não é vazio! 
 
Subconjunto 
 
Observe o diagrama de Venn dos conjuntos abaixo 
 
A={1,2,3,4,5} 
B={1,2,5} 
 
 
Todos os elementos de B estão dentro do conjunto A embora este tenha mais 2 elementos. 
Então, dizemos que B está contido em A ou B é um subconjunto de A. 
 Indicamos por B A⊂ 
Lê-se: “B está contido em A” 
 
Também pode ser descrito como: 
 
A B (A contém B)⊃ 
 
Exercícios 
 
Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário, considerando como conjunto universo 
o conjunto dos números naturais: 
 
a) A = { x|x é menor do que 1} 
 
b) B = { x|x é maior que 5 e menor que 6} 
 
c) C = { x|x é um número primo maior que 11 e menor que 16} 
 
d) D = { x|x é um número par maior que 30 e menor que 32} 
 
e) E = { x|x + 3 = 8} 
 
f) F = { x|5x = 30 } 
 
g) G = { x|x < 1} 
 
 h) H = { x|x <0} 
 
Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = { 1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, 
classifique em V ou F cada informação a seguir: 
a) A B verdadeiro⊂ 
 b) C D verdadeiro⊂ 
c) A D verdadeiro⊂ 
d) D A verdadeiro⊃ 
 e) B A verdadeiro⊃ 
f) C A falso⊃ 
g) A B verdadeiro∈ 
h) A D falso∈/ 
i) A⊘ ⊂ 
j) 2 D∈ 
k) 1 D⊂ 
 
Operações com Conjuntos 
 
União de Conjuntos 
 
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado por todos os elementos que 
pertencem a A ou pertencem a B. Observe o exemplo abaixo: 
 
Se A= {5,6,7,8,9,10} e B= {1,2,3,4,5,6,7}, então existe um conjunto C, tal que: 
 
= C= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. U BA 
 ​ ↜ ​Este “U” representa a união entre conjuntos. 
 
Intersecção de Conjuntos 
 
A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto C formado pelos elementos que 
pertencem a A e pertencem a B, ou seja, somente aqueles elementos que pertencem a A e 
também a B. 
 
Se A= {3,4,5} e B= {5,6,7}, então existe um conjunto C, tal que: 
 
A ​∩ B= C=​{5} 
 ↜ ​Este “​∩​” representa a interseção entre conjuntos. 
 
Diferença de Conjuntos 
 
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto C formado pelos elementos que pertencem 
a A, mas não pertencem a B. 
Se, A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8} então: 
 A - B = C = {1, 3, 5} 
 ↜ ​Este “​-​” representa a diferença entre conjuntos. 
 
Exercícios 
 
Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g} , B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n} determine: 
 a) A U B = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} 
 b) A ​∩​ C = {e,f} 
 c) A – B = {a,c,e,f} 
d) (A – B) U (B – A) ={a,c,e,f,h,i} 
 e) B – C = {b,d,g,h,i} 
f) B ​∩​ C 
g) B U C 
h) A U C 
i) C - A 
j) B- A 
 
Dados os conjuntos A = { 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3, 6, 9, 10) 
determine: 
 
 a) A U B 
 b) A ​∩​ B 
c) A U C 
d) A ​∩​ C 
e) B ​∩​ C 
 f) (A ​∩​ B) U C 
g) (A ​∩​ C) U B 
h) (A ​∩​ B) ​∩​ C 
 i) (A U B) ​∩​ C 
 j) (A U C) ​∩​ B 
k) A U (B ​∩​ C) 
 
Observe o diagrama abaixo e determine: 
 
a) A ​∩​ B 
b) A ​∩​ C 
c) B ​∩​ C 
d) A ​∩​ B ​∩​ C 
e) A U B 
f) B U C 
g) A U C 
h) C - (A ​∩ B​) 
i) C - A 
j) A - C 
k) B - A 
l) A - B 
 
Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete 
de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois 
sabores? 
 
Sabendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {6, 7, 8, 9} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, quais são os 
elementos do conjunto (A∩B)UC? 
 
O conjunto A∪B = {1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12}, A∩B = {7, 8, 10} e B–A = {1, 12}. 
Os elementos do conjunto A são: 
Se a figura, em que (2 ⊂ 4) ⊂ 1 e 3 ⊂ 1, representasse conjuntos numéricos, os triângulos 
1, 2, 3 e 4 seriam, nessa ordem, os conjuntos 
 
 
 
Temos os conjuntos A = {4,5,7,9}, B = {7,9,11,12,13} e C = {7, 10}. Sobre eles, marque a 
opção INCORRETA. 
 
a) A-B = {4,5,7,9} - {7,9,11,12,13} ​∴ A-B {4,5} 
b) B – A = {7,9,11,12,13} - {4,5,7,9} ∴ B – A = {11,12,13}. 
c) A ∩ C = {4,5,7,9} ∩ {7,10} = {7}. 
d) C ∪ A = {7,10} ∪ {4,5,7,9} = {4,5,9,10}. 
 
Temos os conjuntos A e B, sendo A = {2, 5, 7, 9} e B = {5, 9, 11}. Qual é o conjunto formado 
entre A – B? 
Os dados de uma pesquisa realizada com um grupo de assistentes sobre três filmes (A, R e 
T) foram tabelados a seguir: 
 
De acordo com os dados anteriores, o número de assistentes que não optaram pelos filmes 
R ou T é de? 
 
Observe a simbologia. Assinale a alternativa que indica a sequência correta. 
 
a) Está Contido, Contém, Intersecção. 
b) Contém, Intersecção, Não Pertence 
c) União, Intersecção, Portanto. 
d) Está Contido, Intersecção, Contém.. 
Dados os conjuntos A = {0, 1,2,3,4,5}, B = {0, 1, 2,6,7,8,10}e C = {2, 3,4,7,12,15,20}, 
determine (A U B) ∩ (B U C). 
Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas 
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. 
Quantas não comeram nenhuma ? 
 
Uma pesquisa foi realizada para conhecer o hábito de compra dos consumidores em 
relação a três produtos. A pesquisa obteve os seguintes resultados: 
● 40% compram o produto A. 
● 25% compram o produto B. 
● 33% compram o produto C. 
● 20% compram os produtos A e B. 
● 5% compram os produtos B e C. 
● 19% compram os produtos A e C. 
● 2% compram os três produtos. 
Com base nesses resultados, responda: 
a) Qual a porcentagem de entrevistados que não compram nenhum desses produtos? 
b) Qual a porcentagem de entrevistados que compram o produto A e B e não compram o 
produto C? 
c) Qual a porcentagem de entrevistados que compram pelo menos um dos produtos? 
Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, 
visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um 
catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os 
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 
45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 
10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em 
comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o 
fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de 
originais de impressão igual a: