Controle_Processos_Industriais

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Controle de 
Processos 
Industriais
Prof: Marcelo Tavares
marcelo.t@estacio.br
Sumário
 Introdução
 Modelagem matemática de Sistemas Dinâmicos
 Análise da Resposta Transitória
 Ações de Controle Básicas e Controladores 
Automáticos Industriais
 Análise pelo Método do Lugar das Raízes
 Análise no Domínio da Frequência
 Diagramas de Bode
 Critério de Estabilidade de Nyquist
Conceitos
 Sistema: é uma combinação de
componentes que atuam em conjunto e
realizam um certo objetivo (não é limitado
apenas a algo físico).
 Planta: é um sistema a controlar.
 Processo: toda operação a ser controlada.
 Variável controlada: é a grandeza ou a
condição que é medida e controlada.
3
Conceitos
 Variável manipulada: é a grandeza ou
condição variada pelo controlador de
modo a afetar o valor da variável
controlada.
 Distúrbios: ou perturbação é caracterizado
por um sinal que tende a afetar de modo
adverso o valor da variável de saída.
 Controle com retroação: se refere a uma
operação que, em presença de distúrbios,
tende a reduzir a diferença entre o sinal
de saída e o sinal de referência.
4
Comparação entre Malha 
Aberta e Malha Fechada
 Do ponto de vista da estabilidade, o sistema
em malha aberta é mais fácil de ser
construído;
 Por outro lado, a estabilidade é um problema
importante nos sistemas de controle em malha
fechada;
 Sistemas em malha aberta possuem menos
componentes e portanto são mais simples e
baratos;
 Em geral, os sistemas em malha fechada só
serão viáveis quando o processo requerer
elevada precisão e robustez.
5
Comparação entre Malha 
Aberta e Malha Fechada
 Vantagens do sistema em malha aberta:
 São simples de serem construídos e têm fácil
manutenção;
 São menos dispendiosos que o sistema
correspondente em malha fechada;
 Não apresentam problema de estabilidade;
 São adequados quando existem dificuldades de
medição da saída ou quando a medição precisa
da saída não é economicamente possível.
6
Comparação entre Malha 
Aberta e Malha Fechada
 Desvantagens do sistema em malha
aberta:
 Distúrbios e mudanças na calibração
causam erros, e a saída pode apresentar
diferenças em relação ao padrão desejado;
 Para que a saída mantenha a qualidade
requerida, é necessária uma regulagem
periódica.
7
Projeto e compensação de 
sistemas de controle
 Procedimentos:
1. Estabelecer os objetivos de controle
2. Identificar as variáveis a serem controladas;
3. Escrever as especificações;
4. Estabelecer a configuração do sistema;
5. Obter um modelo do processo, do atuador e do 
sensor;
6. Descrever um controlador e selecionar parâmetros-
chave para serem ajustados;
7. Otimizar os parâmetros e analisar o desempenho.
8
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Para compreender e controlar sistemas
complexos, deve-se obter modelos
matemáticos quantitativos destes sistemas;
 Como tais sistemas são dinâmicos por
natureza, as equações que os descrevem são
usualmente equações diferenciais ordinárias
(EDO);
 O modelo matemático de um sistema dinâmico
é definido como um conjunto de equações que
representa a dinâmica do sistema com
precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem.
9
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Um mesmo sistema pode ser representado
de muitas maneiras diferentes e, portanto,
pode ter vários modelos matemáticos,
dependendo da perspectiva a ser
considerada;
 A dinâmica de muitos sistemas mecânicos,
elétricos, térmicos, econômicos,
biológicos ou outros pode ser descrita em
termos de equações diferenciais.
10
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Essas equações diferenciais são obtidas
pelas leis físicas que regem dado sistema,
como as leis de Newton para sistemas
mecânicos e as leis de Kirchhoff para os
sistemas elétricos;
 Devemos sempre ter em mente que
construir modelos matemáticos adequados
é a parte mais importante da análise de
sistemas de controle como um todo.
11
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Os modelos matemáticos podem assumir
diferentes formas;
 Dependendo do sistema considerado e das
circunstâncias particulares, um modelo
pode ser mais adequado que outros;
 Uma vez obtido o modelo matemático de
um sistema, podem ser utilizadas várias
ferramentas analíticas e de computação
para efeito de análise e síntese.
12
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Deve-se estabelecer uma conciliação entre
a simplicidade do modelo e a precisão dos
resultados da análise;
 Na obtenção de um modelo matemático
relativamente simplificado,
frequentemente torna-se necessário
ignorar certas propriedades físicas
inerentes ao sistema.
13
Modelos matemáticos de 
sistemas
 Em particular, se for desejável um modelo
matemático linear de parâmetros
concentrados, é sempre necessário ignorar
certas não linearidades e os parâmetros
distribuídos que podem estar presentes no
sistema físico;
 Se os efeitos que essas propriedades ignoradas
têm sobre a resposta forem pequenos, pode-se
obter boa aproximação entre os resultados da
análise de um modelo matemático e os
resultados do estudo experimental do sistema
físico.
14
Classificação dos sistemas
 Os sistemas podem ser classificados em
sistemas lineares e não lineares;
 Um sistema é dito linear se o princípio da
superposição for aplicável;
 Na pesquisa experimental de um sistema
dinâmico, se causa e efeito forem
proporcionais (é válido o princípio da
superposição), o sistema é considerado linear;
 Além disso, é possível que o sistema seja
linear apenas em uma determinada faixa de
operação.
15
Classificação dos sistemas
16
𝑥 𝑡 - Entrada
𝑦(𝑡) – Saída
 𝑥1 𝑡 → 𝑦1 𝑡
 𝑥2 𝑡 → 𝑦2 𝑡
 Superposição:
 𝒙𝟏 𝒕 + 𝒙𝟐 𝒕 → 𝒚𝟏 𝒕 + 𝒚𝟐 𝒕
 𝒚 𝒕 = 𝒇𝒕 𝒕 . 𝒙(𝒕)
Classificação dos sistemas
 Sistemas lineares invariantes no tempo:
são sistemas descritos por equações
diferenciais lineares de coeficientes
constantes;
 Sistemas não lineares e variantes no
tempo: são sistemas descritos por
equações diferenciais cujos coeficientes
são funções do tempo.
17
Transformada de Laplace
 O método da transformada de Laplace
substitui a solução mais difícil de equações
diferenciais pela solução mais fácil de
equações algébricas;
 Só pode ser aplicada a sistemas lineares
invariantes no tempo.
18
Transformada de Laplace
 A transformação de Laplace para uma função
do tempo, 𝑓(𝑡), é:
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝑓 𝑡 ⟹ função de tempo em que 𝑓 𝑡 = 0 para
𝑡 < 0;
𝑠 ⟹ uma variável complexa, 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔;
ℒ ⟹ símbolo operacional que indica que a
grandeza que ele antecede vai ser transformada
por meio da integral de Laplace;
𝐹 𝑠 ⟹ transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 .
19
Transformada de Laplace
 A transformada de Laplace existe para
equações diferenciais lineares para as
quais a integral de transformação
converge;
 Sinais que sejam fisicamente realizáveis
sempre possuem a transformada de
Laplace.
20
Transformada de Laplace
 A transformação de Laplace inversa é
descrita como:
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡
=
1
2𝜋𝑗
 
𝑐−𝑗∞
𝑐+𝑗∞
𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0
𝑐 ⟹ abcissa de convergência, é uma
constante real e é escolhida com valor
superior à parte real de todos os pontos
singulares de 𝐹 𝑠 .
21
Transformada de Laplace
 As integrais de transformação têm sido
usadas para deduzir tabelas de
transformadas de Laplace que são usadas
comumente para a grande maioria de
problemas. Exemplo:
22
Transformada de Laplace
23
Transformada de Laplace
 Alternativamente, a variável 𝑠 de Laplace
pode ser considerada o operador
diferencial, tal que 𝑠 = 𝑑 𝑑𝑡;
 Além disto, pode-se ter o operador
integral, tal que 1 𝑠 = 0
𝑡
𝑑𝑡.
24
Transformada de Laplace
1. Encontrar a resposta no tempo do sistema
representado pelo circuito ao lado através
da transformada de Laplace:
a) para 𝑣 𝑡 igual a um impulso unitário;
b) para 𝑣 𝑡 igual a um degrau de amplitude E.
25
−𝑣 𝑡 + 𝑣𝑅 𝑡 + 𝑣𝐿 𝑡= 0 (Lei de Kirchhoff p/ tensões)
𝑣𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡) (R)
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿.
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
(L)
−𝑣 𝑡 + 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿.
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
= 0
Transformada de Laplace
−𝑉 𝑠 + 𝑅. 𝐼 𝑠 + 𝐿. (𝑠. 𝐼 𝑠 + 𝐼 0 ) = 0
(𝑅.+𝐿. 𝑠). 𝐼(𝑠) = 𝑉 𝑠
𝐼(𝑠) =
1
(𝑅. +𝐿. 𝑠)
𝑉 𝑠
Transformada de Laplace
26
Transformada de Laplace
−𝑉 𝑠 + 𝑅. 𝐼 𝑠 + 𝐿. 𝑠. 𝐼(𝑠) = 0
(𝑅 + 𝐿. 𝑠). 𝐼(𝑠) = 𝑉 𝑠
𝐼(𝑠) =
1
(𝑅 + 𝐿. 𝑠)
𝑉 𝑠
Para tensão de entrada igual ao impulso unitário:
𝑉 𝑠 = 1
𝐼(𝑠) =
1
(𝑅 + 𝐿. 𝑠)
𝐼(𝑠) =
 1 𝐿
( 𝑅 𝐿 + 𝑠)
Transformada de Laplace
27
Para tensão de entrada igual ao impulso unitário:
𝑉 𝑠 = 1
𝐼(𝑠) =
1
(𝑅 + 𝐿. 𝑠)
𝐼(𝑠) =
 1 𝐿
( 𝑅 𝐿 + 𝑠)
Transformada inversa:
𝑖 𝑡 =
1
𝐿
𝑒−𝑡𝑅/𝐿
Transformada de Laplace
28
Transformada de Laplace
2. Encontrar a resposta no tempo do sistema
representado pelo circuito abaixo através
da transformada de Laplace para 𝑖 𝑡 igual
a um degrau unitário.
29
Expansão em Frações Parciais:
Polos distintos
 Seja a função em Laplace 𝐹 𝑠 dada por:
𝐹 𝑠 =
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
=
𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 ⋯ 𝑠 + 𝑧𝑚
𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 ⋯ 𝑠 + 𝑝𝑛
,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 < 𝑛
 Se 𝐹 𝑠 só possui polos distintos, então 𝐹 𝑠
pode ser expandida em uma soma de frações
parciais simples:
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
=
𝑎1
𝑠 + 𝑝1
+
𝑎2
𝑠 + 𝑝2
+⋯+
𝑎𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
 Em que os termos 𝑎𝑘, chamados resíduos, são
calculados por:
𝑎𝑘 =
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
𝑠 + 𝑝𝑘 
𝑠 = −𝑝𝑘
30
Exercícios
 Encontre a transformada inversa de
Laplace para:
a) 𝐹 𝑠 =
𝑠+3
𝑠+1 𝑠+2
b) 𝐹 𝑠 =
𝑠3+5𝑠2+9𝑠+7
𝑠+1 𝑠+2
c) 𝐹 𝑠 =
2𝑠+12
𝑠2+2𝑠+5
31
Expansão em Frações Parciais:
Polos múltiplos
 Seja a função em Laplace 𝐹 𝑠 dada por:
𝐹 𝑠 =
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
=
𝐵 𝑠
𝑠 + 𝑝 𝑛
 𝐹 𝑠 pode ser expandida em uma soma de
frações parciais:
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
=
𝑏1
𝑠 + 𝑝
+
𝑏2
𝑠 + 𝑝 2
+⋯+
𝑏𝑛
𝑠 + 𝑝 𝑛
 Em que os termos 𝑏𝑘 são calculados por:
𝑏𝑛 =
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
𝑠 + 𝑝 𝑛 
𝑠 = −𝑝
𝑏𝑘 =
1
𝑛 − 𝑘 !
𝑑 𝑛−𝑘
𝑑𝑠 𝑛−𝑘
𝑠 + 𝑝 𝑛
𝐵 𝑠
𝐴 𝑠
 
𝑠 = −𝑝
32
Exercícios
 Encontre a transformada inversa de
Laplace para 𝐹 𝑠 =
𝑠2+2𝑠+3
𝑠+1 3
33
Teorema do Valor Final
 A aplicação do teorema do valor final é
bastante útil para determinar o estado
estacionário ou valor final da resposta 𝑦 𝑡 ;
 O teorema do valor final estabelece que:
lim
𝑡→∞
𝑦 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝐹 𝑠
 Restrições:
 𝐹 𝑠 não pode ter polos múltiplos na origem;
 𝐹 𝑠 não pode ter polos sobre o eixo
imaginário;
 𝐹 𝑠 não pode ter polos no semiplano direito.
34
Teorema do Valor Final:
Exemplos e exercícios
1. Encontrar o valor final da corrente do circuito
abaixo para 𝑢 𝑡 igual a um degrau de
amplitude 𝐸 = 10𝑉.
2. Encontrar o valor final da tensão no capacitor
do circuito abaixo:
a) Para 𝑖 𝑡 igual a um degrau unitário;
b) Para 𝑖 𝑡 = sin 𝜔𝑡 , em que 𝜔 = 1 𝐿𝐶.
35
Função de Transferência
 As funções de transferência são utilizadas para
caracterizar as relações de entrada e de saída
de componentes ou de sistemas;
 Ela representa a dinâmica do sistema (ou de
um componente);
 A função de transferência de um sistema,
representado por uma equação diferencial
linear invariante no tempo, é definida como a
relação da transformada de Laplace da saída e
a transformada de Laplace da entrada,
admitindo-se todas as condições iniciais nulas.
36
Função de Transferência
 A FT de um sistema é um modelo matemático
que constitui um método operacional de
expressar a equação diferencial que relaciona
a variável de saída à variável de entrada;
 A FT é uma propriedade inerente do sistema,
independentemente da magnitude e da
natureza da função de entrada;
 A FT inclui as unidades necessárias para
relacionar a saída à entrada, porém não
fornece nenhuma informação relativa à
estrutura física do sistema.
37
Função de Transferência
 Se a FT de um sistema for conhecida, a
resposta (saída) pode ser estudada para
vários tipos de entrada, visando o
entendimento da natureza do sistema;
 Se a FT de um sistema não for conhecida,
ela pode ser determinada
experimentalmente aplicando-se sinais de
entrada conhecidos e verificando as
respectivas saídas.
38
Diagrama de Blocos
 Um diagrama de blocos de um sistema é
uma representação gráfica das funções
desempenhadas por cada componente e do
fluxo de sinais entre eles;
 Diferindo da representação matemática
abstrata pura, um diagrama de blocos tem
a vantagem de indicar mais
realisticamente o fluxo de sinais do
sistema real.
39
Diagrama de Blocos
 As setas são designadas como sinais e
indicam a direção do fluxo de sinais;
 O sinal pode passar somente no sentido
indicado pelas setas.
40
Diagrama de Blocos
 Vantagens:
 Fica fácil construir um diagrama de blocos
para todo o sistema pela simples
interligação dos blocos componentes, de
acordo com o fluxo de sinais;
 Possibilidade de avaliar a contribuição de
cada componente para o desempenho
global do sistema;
 A operação funcional do sistema pode ser
visualizada mais facilmente pelo exame do
diagrama de blocos do que pelo exame do
próprio sistema físico. 41
Diagrama de Blocos
 Elementos de um diagrama de blocos:
 Somador: soma (ou subtrai) dois ou mais
sinais. É importante que os sinais tenham
as mesmas dimensões e unidades.
 Ponto de ramificação: é o ponto do qual o
sinal que vem de um bloco avança
simultaneamente em direção a outros
blocos ou somadores.
 Todo sistema de controle linear pode ser
representado por diagramas de blocos
constituídos por blocos, somadores e
pontos de ramificação.
42
Diagrama de Blocos
 A representação em um diagrama de blocos de
um dado sistema pode, muitas vezes, ser
reduzida a um diagrama com um número
menor de blocos que o diagrama original por
meio de técnicas de redução;
 Como as funções de transferência representam
sistemas lineares e invariantes no tempo, a
multiplicação é comutativa:
43
Diagrama de Blocos
 Para obter 𝑌2 𝑠 = 𝐺2 𝑠 𝐺1 𝑠 𝑋1 𝑠 , pressupõe-se
que, ao conectar o primeiro bloco no segundo, o
efeito de carga deste sobre o primeiro bloco é
desprezível;
 Se houver interação entre os dispositivos
interconectados, deve-se considerar esta mudança
na função de transferência e utilizar a função de
transferência corrigida.
44
Diagrama de Blocos
45
Diagrama de Blocos
46
Diagrama de Blocos
 Procedimento para construir um diagrama
de blocos:
 Escrever as equações dinâmicas de cada
componente;
 Obter a transformada de Laplace dessas
equações para condições iniciais nulas;
 Representar individualmente, em forma de
bloco, a transformada de Laplace de cada
equação;
 Agrupar os elementos em um diagrama de
blocos completo.
47
Diagrama de Blocos
 Exemplo 1:
 Exemplo 2:
48
Diagrama de Blocos
Redução do diagrama de blocos
 Um diagrama de blocos complexo, que envolve
muitas malhas de realimentação, pode ser
simplificado por meio de uma reorganização
por etapas;
 Isso reduz o trabalho necessário para a análise
matemática subsequente;
 A medida que o diagrama de blocos é
simplificado, as funções de transferência nos
novos blocos tornam-se mais complexas.
49
Diagrama de Blocos
50
Diagrama de Blocos
 Exemplo:
51
Diagrama de Blocos
 Exemplo:
52
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Introdução
 O diagrama de fluxo de sinal é uma
ferramenta visual para representar a
relação causal entre componentes do
sistema;
 O diagrama de fluxo de sinal, além do uso
para obtenção de uma função de
transferência equivalente de um sistema,
pode ser usado para explicar vários
conceitos de controle moderno.
53
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Nós: sinais internos como a entrada
comum para vários blocos ou a saída de
um somador. São usados para representar
variáveis.
54
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Caminho: é a sequência de nós
conectados, a rota passando de uma
variável a outra, nadireção do fluxo, sem
incluir nenhuma variável mais de uma vez.
55
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Caminho direto: caminho da entrada para
a saída, sem incluir nenhum nó mais de
uma vez.
56
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Malha: caminho que se origina e termina
no mesmo nó.
57
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Ganho do caminho: produto dos ganhos
dos ramos que formam um caminho.
58
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Ganho de malha: é o ganho do caminho
associado com uma malha.
59
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Nó de entrada: é um nó que possui
somente ramos que se afastam dele.
60
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Nó de saída: é um nó que possui somente
ramos que se dirigem a ele.
61
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Elementos e Definições
 Caminhos que não se tocam: caminhos
não se tocam se não existem nós comuns
entre eles.
62
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Álgebra
1. O valor da variável representada por um
nó é igual a soma de todos os sinais que
entram no nó;
2. O valor da variável representada por um
nó é transmitido por todos os ramos que
deixam o nó;
3. Ramos paralelos na mesma direção
conectando dois nós podem ser
substituídos por um único ramo com
ganho igual à soma dos ganhos dos ramos
em paralelo.
63
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Álgebra
4. Uma conexão em série de ramos
unidirecionais pode ser substituído por
um único ramo com ganho igual ao
produto dos ganhos dos ramos;
5. Uma malha com realimentação pode ser
substituída por um equivalente.
64
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Construção
 O diagrama de fluxo de sinal pode ser
construído facilmente a partir do diagrama
de blocos do sistema.
65
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Regra de Mason
 A função de transferência de um sistema
pode ser determinada a partir do diagrama
de fluxo de sinal através da regra de
Mason.
 Esta regra é útil em casos onde é muito
difícil determinar a função de
transferência equivalente de um diagrama
de blocos usando a álgebra de blocos.
66
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Regra de Mason
 A regra de Mason é dada por:
67
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Exercícios
 Encontre a função de transferência do
sistema acima.
68
Diagrama de Fluxo de Sinais:
Exercícios
 Encontre o diagrama de fluxo de sinais e a
função de transferência do sistema acima.
69
Espaço de Estado:
Introdução
Teoria de controle moderno:
 Surgiu da necessidade de controlar
sistemas complexos que podem ter
entradas e saídas múltiplas, ser linear ou
não, variante ou invariante no tempo;
 É essencialmente uma abordagem no
domínio do tempo;
 O modelo obtido presta-se prontamente
para solução e análise computacional.
70
Espaço de Estado:
Introdução
Modelagem do sistema em Espaço de
Estado:
 Considere um sistema físico representado
por uma EDO de ordem n (ou várias EDOs
de ordem maior que 2);
 Escolhe-se um conjunto de variáveis
(variáveis de estado), de forma a
representar este sistema por um conjunto
de EDO’s de primeira ordem.
71
Espaço de Estado:
Introdução
Modelagem do sistema em Espaço de Estado:
 A solução da formulação no domínio do tempo
de um problema de sistema de controle requer
o uso de computadores digitais (solução
numérica);
 O domínio do tempo é o domínio matemático
que incorpora a resposta e a descrição de um
sistema em função do tempo;
 A representação no domínio do tempo de
sistemas de controle é a base essencial para a
teoria de controle moderno e para a
otimização de sistemas.
72
Espaço de Estado:
Definições
Conceito de estado de um sistema dinâmico:
 O estado de um sistema é um conjunto de
variáveis cujos valores, em conjunto com os
sinais de entrada e as equações que descrevem
a dinâmica, irão fornecer o estado e a saída
futuros do sistema;
 Para um sistema dinâmico, o estado do
sistema é descrito em função de um conjunto
de valores das variáveis de estado
𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 ,⋯ , 𝑥𝑛 𝑡 .
73
Espaço de Estado:
Definições
Variáveis de estado:
 As variáveis de estado descrevem a
configuração presente de um sistema e
podem ser usadas para determinar a
resposta futura, dadas as excitações de
entrada e as equações que descrevem a
dinâmica.
74
Espaço de Estado:
Definições
Vetor de estado:
 Vetor formado pelas n variáveis de estado
necessárias para descrever completamente
o comportamento de um sistema:
𝒙 𝑡 =
𝑥1 𝑡
𝑥2 𝑡
⋮
𝑥𝑛 𝑡
 Determina univocamente o estado do
sistema 𝒙(𝑡) para qualquer instante 𝑡 ≥ 𝑡0.
75
Espaço de Estado:
Definições
Espaço de estado:
 Espaço n-dimensional, cujos eixos
coordenados são formados pelos eixos das
variáveis de estado 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 ;
 Qualquer estado pode ser representado
por um ponto no espaço de estado.
76
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 A análise no espaço de estados envolve três
tipos de variáveis que estão presentes na
modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis
de entrada, variáveis de saída e variáveis de
estado;
 A representação de um dado sistema no
espaço de estados não é única;
 No entanto, o número de variáveis de estado é
o mesmo para qualquer das diferentes
representações do sistema no espaço de
estado.
77
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Exercício: Obtenha o modelo em espaço de estado
do sistema acima usando como variáveis de estado
as tenções no capacitor e indutor
78
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Um sistema dinâmico deve conter elementos
que memorizem os valores de entrada;
 Em um sistema de controle em tempo
contínuo, os integradores servem como
dispositivo de memória;
 Portanto, as saídas destes integradores podem
ser consideradas variáveis que definem o
estado interno do sistema dinâmico;
 Então, as saídas dos integradores podem ser
escolhidas como variáveis de estado.
79
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 O número de variáveis de estado que
definem completamente o sistema
dinâmico é igual ao número de
integradores deste sistema;
 Na prática, é usual escolher um conjunto
de variáveis de estado que possam ser
facilmente medidas;
 Esse efeito de memória descrito está
associado à capacidade de armazenar
energia.
80
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Considere um sistema de múltiplas entradas e
saídas, sendo 𝑚 o número de entradas e 𝑛 o
número de integradores;
 A resposta deste sistema é descrita por um
sistema de equações diferenciais de primeira
ordem escritas em função das variáveis de
estado e das entradas:
 𝑥1 =
 𝑥2 =
⋮
 𝑥𝑛 =
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝑏11𝑢1 +⋯+ 𝑏1𝑚𝑢𝑚
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯𝑎2𝑛𝑥𝑛 + 𝑏21𝑢1 +⋯+ 𝑏2𝑚𝑢𝑚
⋮
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛1𝑢1 +⋯+ 𝑏𝑛𝑚𝑢𝑚
81
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Este sistema pode ser escrito na forma
matricial:
𝑑
𝑑𝑡
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
+
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑚
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑚1 ⋯ 𝑏𝑚𝑚
𝑢1
⋮
𝑢𝑚 82
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Em uma forma mais compacta, temos a
equação diferencial de estado:
 𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
 A equação diferencial de estado relaciona
a taxa de variação do estado do sistema
com o estado do sistema e os sinais de
entrada.
83
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Em geral, as saídas de um sistema linear
podem ser relacionadas com as variáveis
de estado e com os sinais de entrada pela
equação de saída:
𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖
84
Espaço de Estado:
Equações no espaço de estados
 Representação do sistema dinâmico em
espaço de estados:
 𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖
𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖
 Representação em diagrama de blocos:
85
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Método para obter a função de
transferência (FT) de um sistema de
entrada e de saída únicasa partir das
equações no espaço de estado:
 Transformada de Laplace das equações em
espaço de estado:
86
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 A FT é definida para condições iniciais
nulas:
87
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Exemplo
 Obtenha a função de transferência do
sistema mecânico, sabendo que seu modelo
em espaço de estado é:
88
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Solução:
Temos:
Logo:
89
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Solução:
90
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Em sistemas com múltiplas entradas e saídas,
o mesmo procedimento é válido:
𝑮 𝑠 = 𝑪 𝑠𝑰 − 𝑨 −1𝑩+𝑫
 Note que esta equação resulta em uma matriz
𝑮 𝑠 chamada Matriz de Transferência;
 A matriz de transferência relaciona a saída
𝒀 𝑠 com a entrada 𝑼(𝑠) :
𝒀 𝑠 = 𝑮 𝑠 𝑼(𝑠)
 Se a dimensão de 𝑼(𝑠) é 𝑟 e a dimensão de
𝒀 𝑠 é 𝑚, a matriz de transferência 𝑮 𝑠 tem
dimensão 𝑚 × 𝑟.
91
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Exemplo:
 Obtenha a matriz de transferência do
sistema definido por:
92
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Solução:
93
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
 Uma equação diferencial de ordem n pode
ser representada por uma equação
diferencial vetorial matricial de primeira
ordem;
 Representação no espaço de estado de
sistemas de equações diferenciais lineares
de ordem n cuja função de entrada NÃO
possui derivadas:
94
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
95
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
96
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
 Representação no espaço de estado de
sistemas de equações diferenciais lineares
de ordem n cuja função de entrada possui
derivadas:
97
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
98
Espaço de Estado:
Representação de sistemas de
EDOs escalares
99
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Exemplo:
 Obtenha as equações de estado e de saída
para o sistema definido por:
100
Espaço de Estado:
Correlação entre FTs e Equações no 
espaço de estados
 Solução:
101
Análise da resposta:
Introdução
 Depois de obtido o modelo matemático de um
sistema, é possível analisar seu desempenho
através de vários métodos disponíveis;
 Na prática, geralmente o sinal de entrada de
um sistema de controle não é conhecido
previamente, sendo de caráter aleatório;
 Na análise e no projeto de sistemas de
controle, devemos ter uma base de
comparação de desempenho de vários
sistemas de controle.
102
Análise da resposta:
Introdução
 Uma boa base de comparação é:
 Definir sinais de entrada de teste
específicos;
 Comparar a resposta dos vários sistemas a
estes sinais.
 Muitos critérios de projeto têm como base
as respostas a esses sinais;
 Sinais típicos de teste: degrau, rampa,
impulso, parábola de aceleração, sinal
senoidal, ruído branco.
103
Análise da resposta:
Introdução
 Com os sinais degrau, rampa e impulso,
tanto a análise experimental como a
análise matemática dos sistemas de
controle podem ser obtidas facilmente;
 O sinal de teste mais adequado é aquele
que mais se aproxima do comportamento
do sinal da entrada a que o sistema será
submetido com maior frequência sob
condições normais de operação.
104
Análise da resposta:
Introdução
 Exemplos:
 Sistema cujas entradas variam de forma
gradual com o tempo: rampa;
 Sistema sujeito a variações bruscas de
entrada: degrau;
 Sistema sujeito a entradas de impacto:
impulso.
105
Análise da resposta:
Definições
 A resposta temporal de um sistema de
controle consiste em duas partes:
 Resposta transitória: é aquela que vai do
estado inicial ao estado final;
 Resposta estacionária (ou de regime
permanente): comportamento do sinal de
saída do sistema na medida em que o
tempo tende ao infinito.
106
Análise da resposta:
Definições
 Estabilidade absoluta:
 Um sistema de controle linear e invariante
no tempo é estável se a saída sempre
retorna ao estado de equilíbrio quando o
sistema é submetido a uma condição
inicial;
 O sistema de controle será instável se a
saída divergir sem limites.
107
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
 Representação de um sistema de 1ª ordem:
 Fisicamente, este sistema pode representar
um circuito RC, um circuito térmico, etc.
 Qualquer sistema com esta mesma função de
transferência irá representar a mesma saída
em resposta a uma determinada entrada.
108
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
 Entrada do tipo degrau unitário:
 Resposta do sistema:
 Resposta no tempo:
109
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
110
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
 Entrada do tipo rampa unitária:
 Resposta do sistema:
 Resposta no tempo:
 Sinal de erro:
111
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
112
Análise da resposta:
Sistemas de 1ª Ordem
 Entrada do tipo impulso unitário:
 Resposta do sistema:
 Resposta no tempo:
113
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
 Considere o sistema de 2ª ordem abaixo, em
que se deseja controlar a posição de saída:
 Representação em diagrama de blocos deste
sistema:
114
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
 Função de transferência em malha fechada:
 Rescrevendo a FT em função dos polos:
115
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
 Na análise da resposta transitória é
conveniente definir:
116
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
 O comportamento dinâmico do sistema de 2ª
ordem pode ser descrito em termos dos
parâmetros ζ e 𝜔𝑛:
117
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
118
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
119
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
120
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
121
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
122
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
123
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
124
 Em muitos casos práticos, as
características de desempenho desejadas
de sistemas de controle são especificadas
em termos de grandezas no domínio do
tempo;
 Frequentemente, as características de
desempenho de um sistema de controle
são especificadas em termos da resposta
transitória a uma excitação em degrau
unitário, pois este sinal é fácil de ser
gerado e corresponde a uma solicitação
suficientemente severa.
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
125
 Na prática, a resposta transitória de um
sistema de controle frequentemente
apresenta oscilações amortecidas antes de
atingir o regime permanente.
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
126
 Ao especificar as características de
resposta transitória de um sistema de
controle a uma excitação em degrau
unitário, é comum especificar-se algumas
grandezas:
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
127
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
128
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
129
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
130
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
131
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
132
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
133
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
134
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
135
Análise da resposta:
Sistemas de 2ª Ordem
136
Ações de controle básicas
137
 Os controladores analógicos industriais
podem ser classificados, de acordo com a
ação de controle, como:
 Controladores de duas posições (on-off);
 Controladores proporcionais;
 Controladores do tipo integral;
 Controladores do tipo proporcional e integral;
 Controladores do tipo proporcional e
derivativo;
 Controladoresdo tipo proporcional, integral e
derivativo.
Ações de controle básicas
138
Ações de controle básicas
139
 Controladores auto-operados: são sistemas
mais simples em que os elementos de
medida e atuador são integrados em uma
única unidade.
Ação de controle de duas 
posições
140
 Em um sistema de duas posições, o
elemento atuante possui apenas duas
posições fixas que são, em muitos casos,
simplesmente “ligado” ou “desligado”.
 O controle de duas posição é
relativamente simples e barato e, por esta
razão, extremamente utilizado tanto em
sistemas de controle industriais como em
sistemas de controle domésticos.
Ação de controle de duas 
posições
141
Ação de controle de duas 
posições
142
Ação de controle proporcional
143
 Para um controlador com ação de controle
proporcional, a relação entre o sinal de
saída do controlador e o sinal de erro
atuante é:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)
em que 𝐾𝑝 é denominado ganho
proporcional.
Ação de controle proporcional
144
 Qualquer que seja o mecanismo real ou a
forma de energia usada na operação, o
controlador proporcional é essencialmente
um amplificador com ganho ajustável.
Ação de controle integral
145
 Para um controlador com ação de controle
integral, o valor da saída do controlador é
variado segundo uma taxa proporcional ao
sinal de erro atuante:
𝑑𝑢 𝑡
𝑑𝑡
= 𝐾𝑖𝑒(𝑡)
Ou
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑖 
0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑑𝑡
em que 𝐾𝑖 é uma constante ajustável.
Ação de controle integral
146
 Se o valor do erro for dobrado, a saída do
controlador varia duas vezes mais rápido;
 Para erro atuante nulo, o valor da saída do
controlador permanece estacionário;
 A ação de controle integral é muitas vezes
denominada controle de restabelecimento
(reset).
Ação de controle proporcional 
e integral
147
 A ação de controle de um controlador
proporcional e integral é definida por:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
 
0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑑𝑡
Ação de controle proporcional 
e derivativa
148
 A ação de controle de um controlador
proporcional e integral é definida por:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
Ação de controle proporcional 
e derivativa
149
 Enquanto a ação de controle derivativa
possui a vantagem de ser antecipatória,
apresenta as desvantagens de amplificar
os sinais de ruído e causar um efeito de
saturação no atuador.
 Note-se que a ação de controle derivativa
nunca pode ser usada sozinha porque esta
ação de controle somente é efetiva
durante os períodos transitórios.
Ação de controle proporcional, 
integral e derivativa
150
 A combinação da ação de controle
proporcional, integral e derivativa possui
as vantagens de cada uma das três ações
de controle individuais.
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
 
0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
Ação de controle proporcional, 
integral e derivativa
151
Efeitos do sensor no 
desempenho do sistema
152
 Uma vez que as características estática e
dinâmica do sensor afetam a indicação do
valor real da variável de saída, o sensor
representa um papel importante na
determinação do desempenho global do
sistema de controle.
Efeitos do sensor no 
desempenho do sistema
153
 O sensor normalmente determina a função
de transferência no ramo de
realimentação. Se as constantes de tempo
de um sensor são suficientemente
pequenas comparadas com outras
constantes de tempo no sistema de
controle, a função de transferência do
sensor simplesmente se torna uma
constante.
Efeitos do sensor no 
desempenho do sistema
154
Efeitos da ação de controle 
integral sobre o desempenho
155
 No controle proporcional de um processo
cuja função de transferência não possui
um integrador ( 1 𝑠 ), há um erro em
regime permanente (erro residual) na
resposta a uma excitação em degrau.
 Esse erro residual pode ser eliminado se
for incluída no controlador uma ação de
controle integral.
Efeitos da ação de controle 
integral sobre o desempenho
156
 No controle integral de um processo, o
sinal de controle, em qualquer instante, é
igual à área sob a curva do sinal de erro
atuante até aquele instante.
Efeitos da ação de controle 
integral sobre o desempenho
157
 A ação de controle integral, embora
remova o erro residual, pode resultar em
uma resposta oscilatória com amplitude
lentamente decrescente ou mesmo
amplitude crescente, ambas usualmente
indesejáveis.
Efeitos da ação de controle 
derivativa sobre o desempenho
158
 A ação de controle derivativa, quando
adicionada a um controlador proporcional,
propicia um meio de obter um controlador
com alta sensibilidade.
 Uma vantagem em se usar ação derivativa
é que ela responde à taxa de variação do
erro atuante e pode produzir uma
correção significativa antes de o valor do
erro atuante tornar-se demasiadamente
grande.
Efeitos da ação de controle 
derivativa sobre o desempenho
159
 Portanto, o controle derivativa antecipa o
erro atuante e inicia uma ação corretiva
mais cedo, tendendo a aumentar a
estabilidade do sistema.
Análise de estabilidade no 
plano complexo
160
 A estabilidade de um sistema linear a
malha fechada pode ser determinada pela
localização dos polos a malha fechada no
plano s.
 O fato de um sistema linear ser estável ou
instável é uma propriedade do sistema em
si e não depende do sinal de entrada do
sistema.
Critério de estabilidade de 
Routh
161
 O critério de estabilidade de Routh diz se
há ou não raízes instáveis de uma equação
polinomial sem ter que resolver a
equação.
 Este critério se aplica apenas a polinômios
com apenas um número finito de termos.
 Quando o critério é aplicado a um sistema
de controle, pode-se obter informação
sobre estabilidade absoluta diretamente
dos coeficientes da equação
característica.
Critério de estabilidade de 
Routh
162
Critério de estabilidade de 
Routh
163
Critério de estabilidade de 
Routh
164
Critério de estabilidade de 
Routh
165
Critério de estabilidade de 
Routh
166
 O arranjo completo de coeficientes é
triangular.
 O critério de estabilidade de Routh diz que
o número de raízes com partes reais
positivas é igual ao número de mudanças
de sinal dos coeficientes da primeira
coluna do arranjo tabular.
 Deve-se notar que os valores exatos dos
termos da primeira coluna não precisam
ser conhecidos; apenas os sinais são
necessários.
Critério de estabilidade de 
Routh
167
 A condição necessária e suficiente para
que todas as raízes fiquem no semiplano
esquerdo do plano s é que todos os
coeficientes sejam positivos e que todos os
termos da primeira coluna do arranjo
tabular tenham sinais positivos.
Método do lugar das raízes
168
 A ideia básica que fundamenta o método
do lugar das raízes é a de que os valores
de s que fazem a função de transferência
de malha ser igual a -1 devem satisfazer a
equação característica do sistema.
 O lugar das raízes da equação
característica do sistema a malha fechada,
quando o ganho varia de zero a infinito, dá
ao método seu nome. O gráfico mostra as
contribuições de cada polo ou cada zero a
malha abeta nas localizações dos polos a
malha fechada.
Método do lugar das raízes
169
Método do lugar das raízes
170
Método do lugar das raízes
171
Análise no domínio da 
frequência
172
 Faça um resumo do que são os Diagramas
de Bode e o Critério de Estabilidade de
Nyquist e explique a importância do uso
dessas ferramentas para análise de
estabilidade em um sistema de controle.
Plano de ensino:
Referências
 OGATA, K. Engenharia de Controle
Moderno. 4 ed. São Paulo: Prentice-Hall do
Brasil, 2003.
 NISE, Norman S. Engenharia de sistemas
de controle. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC.
2004.
 AGUIRRE, Luís Antonio et al. Enciclopédia
de Automática: Controle & Automação.
São Paulo: Editora Blücher. Vol 2.
173