Aula 01 Vetores definição, propriedades e operações

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Cálculo Vetorial e Geometria
Analítica
Aula 1 - Vetores: de�nição, propriedades e
operações
INTRODUÇÃO
O estudo de vetores é uma das mais importantes atividades da Engenharia. Por meio dele, podemos calcular esforços
presentes no sistema, possibilitando com isso antever problemas ou mesmo simular situações que envolvam
otimizações de recursos. Para tal, faz-se necessário estudar vetores desde o primeiro período, de modo que você
possa evoluir em seus conhecimentos da Engenharia sem di�culdades.
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Os vetores têm caráter multidisciplinar nas engenharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, a Física, a
Mecânica geral, a resistência dos materiais etc.
Nesta aula, você irá de�nir vetor por três parâmetros: Módulo, Direção e Sentido. Características que in�uenciam
diretamente nas operações matemáticas entre vetores, diferentemente das operações com grandezas escalares, em
que apenas o seu valor contribui para o resultado �nal.
Você irá reconhecer, também, os conceitos e as características das operações com vetores, sendo inicialmente a soma
e a subtração entre dois vetores e, em seguida, a multiplicação de um vetor por um número escalar.
Bons estudos!
OBJETIVOS
De�nir vetores, comparando grandezas vetoriais X grandezas escalares;
Caracterizar os vetores nulos, colineares, coplanares etc.;
Reconhecer como realizar operações (somar e subtrair) com vetores;
Multiplicar um vetor por escalar;
Identi�car as propriedades das operações com vetores.
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DEFINIÇÃO DE VETORES
Fonte da Imagem: Tamiris6 / Shutterstock
Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido. Sendo que:
O módulo é o tamanho do vetor;
A direção é a mesma da reta suporte que o contém;
O sentido é para onde ele está apontado.
Atente-se para algumas observações sobre os vetores:
1. Uma mesma direção possui dois sentidos.
2. É muito interessante a comparação das grandezas vetoriais com as grandezas escalares (largamente estudadas ao
longo do ensino Fundamental e Médio).
3. As grandezas escalares carregam apenas a informação de magnitude da grandeza, ou seja, é possível apenas
avaliar o seu valor e nada mais. São exemplos dessas grandezas: tempo, massa, temperatura, população, distância.
4. As grandezas vetoriais apresentam a informação de orientação (direção e sentido), além da sua magnitude
(módulo), ou seja, para se reconhecer um vetor é necessário saber o seu módulo, a sua direção e o seu sentido. Como
exemplo desses tipos de grandezas temos: velocidade, força, aceleração, deslocamento.
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM VETOR
Um vetor é representado geometricamente por uma seta, que apresenta origem e extremidade. Observe:
Atenção
, Além disso, um vetor pode ser designado por uma letra, normalmente minúscula, com uma seta na parte superior, ou por duas
letras, normalmente indicativas da origem e extremidade, também com uma seta na sua parte superior, conforme ilustra a �gura
abaixo: 
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MÓDULO DE UM VETOR
O módulo de um vetor, que indica seu tamanho, é representado pela mesma designação do vetor, porém, com duas
barras verticais. Veja:
Com base nessas informações, podemos, agora, reconhecer os tipos de vetores. Veja, a seguir:
VETORES IGUAIS
Dois vetores e serão iguais se apresentarem mesmo módulo, mesma direção e sentido. A �gura, a seguir, apresenta um
exemplo de vetores iguais: 
VETORES OPOSTOS
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Dois vetores e são opostos quando apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários. Nesse caso, o vetor 
 também é representado por − . Veja um exemplo na �gura abaixo: 
VETOR UNITÁRIO
Um vetor é de�nido como unitário quando apresenta módulo igual a um. Veja um exemplo:
Se é unitário então λ = 1 ou | | = 1.
O vetor unitário também pode ser considerado versor, à medida que:
• Um versor, de um determinado vetor , não nulo, é um vetor unitário de mesma direção e sentido do vetor .
VETORES COLINEARES
Dois vetores e são colineares se apresentam a mesma direção. Para tal, podem estar sobre a mesma reta suporte ou em
retas paralelas. Veja um exemplo: 
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VETORES COPLANARES
Dois vetores são sempre coplanares, ou seja, estão no mesmo plano porque de�nem um plano, tendo em vista que são montados
sobre duas retas suporte, e duas retas sempre de�nem um plano. Você pode observar alguns exemplos nas �guras a seguir: 
Existem três vetores podendo ser coplanares ou não. Dessa forma, não serão coplanares aqueles vetores cuja reta suporte de um
dos vetores �zer um ângulo com o plano de�nido pelos outros dois. Veja o exemplo a seguir: 
OPERAÇÕES COM VETORES
Vamos, agora, realizar algumas operações com vetores. Observe:
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ADIÇÃO DE DOIS VETORES COM MESMA ORIGEM
Quando somamos dois vetores com mesma origem, devemos completar um paralelogramo com os vetores, traçando
pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor. O vetor soma ou resultante é aquele que sairá da origem
comum até o encontro das paralelas no vértice oposto ao da origem. Isso é conhecido como método do
paralelogramo. Veja um exemplo:
O módulo do vetor soma pode ser calculado por:
Aplicando esses conceitos a um problema, temos:
1) Dados os vetores abaixo, de módulos u = 2 e v = 5, determine geometricamente o vetor soma, bem como calcule seu
módulo.
Solução:
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ADIÇÃO DE DOIS VETORES COM A EXTREMIDADE DE UM VETOR
COINCIDINDO COM A ORIGEM DO OUTRO
Para somarmos dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo com a origem do outro vetor, basta que
completemos o triângulo tendo os dois vetores como dois lados do triângulo. O vetor soma ou resultante sairá da
origem do primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. Tal método é conhecido como método do triângulo. Veja
um exemplo:
O módulo do vetor soma pode ser calculado por:
ADIÇÃO DE VÁRIOS VETORES
Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los inicialmente com a extremidade de um vetor coincidindo
com a origem do outro vetor, formando uma unidade. O vetor soma ou resultante será aquele da origem do primeiro
vetor até a extremidade do último vetor. Isso é conhecido como método do polígono. Você pode visualizar um exemplo
na �gura abaixo:
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DIFERENÇA DE VETORES
Quando desejamos achar a diferença de dois vetores e , devemos primeiro achar o oposto do vetor , isto é, o
vetor - , para poder somá-lo ao vetor . Observe:
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
Ao multiplicarmos um vetor por um escalar k qualquer, obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo
multiplicado por esse escalar. O sentido do novo vetor dependerá do sinal do escalar k, ou seja, se for positivo, o
sentidopermanecerá o mesmo, se for negativo, haverá a inversão do sentido. Veja um exemplo, abaixo:
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ÂNGULO ENTRE VETORES
Sejam dois vetores não nulos e , o ângulo φ que eles fazem entre si é o ângulo das semirretas suporte dos
vetores, isto é, que as semirretas que contêm os vetores fazem entre si. Para veri�carmos o ângulo, os vetores devem
estar dispostos com suas origens coincidentes, caso contrário, devem ser deslocados dessa forma. Veja um exemplo
de ângulo entre vetores na �gura a seguir:
Atente-se para algumas observações sobre ângulo entre vetores:
1. Se o ângulo entre eles for 0º, os vetores e possuem a mesma direção e sentido. Nesse caso, chamam-se
colineares e são múltiplos entre si. Veja um exemplo: 
2. Se o ângulo entre eles for 90º, os vetores e são ditos ortogonais. Observe: 
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Nesse caso, o módulo do vetor resultante pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras, onde: S = u + v .
É importante observar que o módulo do vetor resultante obtido acima é um caso particular da fórmula de soma de
vetores, onde o ângulo vale 90º. Veja:
S = u + v + 2.u.v.cos φ
S = u + v + 2.u.v.cos 90º
S = u + v + 2.u.v.0
S = u + v
3. Se o ângulo entre eles for 180º, os vetores e possuem a mesma direção e sentidos contrários. Veja um
exemplo: 
4. Se os vetores e forem ortogonais, o vetor é ortogonal a qualquer vetor colinear ao vetor .
1 - Qual a característica de dois vetores colineares?
Módulos iguais
Direção e sentido iguais
Mesmo sentido
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
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Mesma direção
Justi�cativa
2 - Qual a característica de dois vetores coplanares?
Módulos iguais
Direção e sentido iguais
Mesmo plano
Mesma direção
Justi�cativa
3 - Qual a característica do versor de um vetor?
Módulo unitário, mesma direção e sentido do vetor
Direção e sentido iguais
Mesmo sentido
Mesma direção
Justi�cativa
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4 - Na �gura abaixo, o paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores e , sendo M e N os pontos médios dos
lados DC e AB, respectivamente. 
O vetor correspondente ao resultado da expressão tem como origem e como extremidade,
respectivamente, os pontos:
B e D
D e C
A e C
N e M
Justi�cativa
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Glossário