Lista 1 do 2sem20 - Cálculo II

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1.1. TEOREMA DO VALOR MÉDIO ( TVM ) 
 
 
 
Nos exercícios 01 e 02, verifique que a função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio ( TVM ) no intervalo 
dado. Então, encontre os números c que satisfaçam a conclusão do TVM. 
 
01) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 ; [ −2, 2 ] 
 
02) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥 + 2
 ; ; [ 1, 4 ] 
 
 
Nos exercícios 03 e 04, encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio ( TVM ). Esboce 
o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades do intervalo, e a reta tangente em ( 𝑐 , 𝑓(𝑐)). A 
reta secante e a reta tangente são paralelas? 
 
03) 𝑓(𝑥) = √𝑥 ; [ 0, 4 ] 
 
04) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 ; [ 0, 2 ] 
 
 
05) Um caminhoneiro apresentou um bilhete na cabine do pedágio que mostrava que em 2 horas ele havia 
percorrido 159 milhas em uma estrada cujo limite de velocidade era de 65 milhas/hora. Ele foi multado por 
excesso de velocidade? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS − 2º SEMESTRE 2020 
 
MAC 120 
Cálculo − volume 1 − 8ª edição 
James Stewart − pág. 251 a 256 
 
1.2 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Passos na Resolução dos Problemas de Otimização 
 
1. Compreendendo o Problema. A primeira etapa consiste em ler cuidadosamente o problema até que ele seja 
entendido claramente. Pergunte-se: O que é desconhecido? Quais são as quantidades dadas? Quais são as 
condições dadas. 
 
2. Faça um Diagrama. Na maioria dos problemas, é útil fazer um diagrama/figura e marcar as quantidades dadas e 
pedidas no diagrama. 
 
3. Introduzindo uma Notação. Atribua um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou minimizada ( por 
ora vamos chama-la f ). Selecione também símbolos ( a, b, ... , x, y ) para outras quantidades desconhecidas e 
coloque esses símbolos na figura. O uso de iniciais como símbolos poderá ajudá-lo – por exemplo, A para área, h 
para altura e t para tempo. 
 
4. Expresse f em função de alguns dos outros símbolos da Etapa 3. 
 
5. Se f for expresso como uma função de mais de uma variável na Etapa 4, use a informação dada para encontrar as 
relações ( na forma de equações ) entre essas variáveis. Use então essas equações para eliminar todas menos uma 
das variáveis na expressão de f. Assim, f será expresso como uma função de uma variável x, digamos f = f(x). 
Escreva o domínio dessa função. 
 
6. Use os métodos estudados para encontrar os valores máximo ou mínimo absolutos de f. Em particular, se o 
domínio de f é um intervalo fechado, então o Método de Intervalo Fechado da seção 1,1 pode ser usado. 
 
 
 
06) Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja mínimo. 
 
 
 
07) Um fazendeiro quer cercar uma área de 216 𝑚2 em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma 
cerca paralela a um dos lados do retângulo. Quais são as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor 
quantidade total de cerca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 32 000 𝑐𝑚3. Encontre as dimensões da caixa 
que minimizam a quantidade de material usado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo −James Stewart − volume 1 
8ª edição − pág. 290 a 300 
x 
y 
x 
y 
x 
 
09) Você está preparando um pôster retangular que deverá conter 50 𝑝𝑜𝑙2 de material impresso, com margens 
superior e inferior de 4 polegadas cada uma e margens à esquerda e à direita de 2 pol. cada uma. Que dimensões do 
pôster minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um pôster deve ter uma área de 900 𝑐𝑚2 com uma margem de 3 cm na base e nos lados, e uma margem de 
 5 cm em cima. Que dimensões darão a maior área impressa? 
 
 
 
 
11) Um triângulo retângulo de hipotenusa √3 𝑚 gira em torno de um de seus catetos gerando um cone circular reto. 
Determine o raio do cone de maior volume que pode ser gerado dessa maneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de 
comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados 
resultantes. Qual a medida do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
4 
4 
4 
y 
4 
4 
2 x 2 
h 
r 
√𝟑 
52 
52 2x 
40 40 2x 
x x 
x 
x 
40 2x 
52 2x 
x 
13) O serviço postal norte-americano aceita caixas para entrega doméstica somente quando a soma de seu 
comprimento e cintura (comprimento ao redor) não exceder 108 polegadas. Que dimensões terá uma caixa com 
base quadrada para ter o maior volume possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Uma cerca de 3 m de altura está situada a uma distância de 3 m da parede lateral de um galpão. Qual o 
comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Um cano de metal AB está sendo carregado através de um corredor com a = 3 m de largura. No fim do corredor 
há uma curva em ângulo reto, passando-se para um corredor com b = 2 m de largura. Qual é o comprimento do cano 
mais longo que pode ser carregado horizontalmente em torno do canto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
base quadrada 
cintura = comprimento ao redor 
x 
y 
θ 
escada 
3 m 
3 m x 
y 
G
al
p
ão
 
a 
b 
A 
𝛉 
𝛉 
B 
a.secθ 
b.cscθ 
1.3. TAXAS RELACIONADAS ou TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Estratégia de Solução de Problemas. É útil lembrar-se de alguns Princípios de Resolução de Problemas vistos no 
Capítulo 1 e adaptá-los para as taxas relacionadas. Os problemas de taxas relacionadas são exercícios nos quais as 
variáveis são funções do tempo t. 
 
1. Leia cuidadosamente o problema. 
2. Se possível, faça uma figura/ diagrama. 
3. Introduza uma notação. Atribua símbolos para todas as grandezas que são funções do tempo. 
4. Expresse a informação dada e a taxa pedida em termos das derivadas. 
5. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use a geometria da 
situação para eliminar uma das variáveis por substituição. 
6. Use a Regra da Cadeia para derivar ambos lados da equação em relação a t. 
7. Substitua a informação numérica dada na equação resultante e resolva-a para determinar a taxa 
desconhecida. 
 
ATENÇÃO. Um erro comum é substituir a informação numérica dada (para grandezas que variam com o tempo) 
 cedo demais. Isso deve ser feito somente após a derivação ( o Passo 7 segue o Passo 6 ). 
 
 
 
 
16) Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy = 8. Quando atinge o ponto ( 4, 2 ), a 
coordenada y está crescendo a uma taxa de 3
𝑐𝑚
𝑠
 . Quão rápido a coordenada x do ponto está variando nesse 
momento? 
 
 
 
 
17) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do quadrado está 
aumentando quando a área do quadrado for 16 𝑐𝑚2? 
 
 
 
 
18) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1 𝑐𝑚2/𝑚𝑖𝑛, encontre 
a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm. 
( A área da superfície esférica é A = 4π𝑟2 , sendo r o raio da esfera e diâmetro = 2r ) 
 
 
 
 
19) Suponha que petróleo vaze por uma ruptura de um petroleiro e espalhe-se em um padrão circular. Se o raio do 
petróleo derramado crescer a uma taxa constante de 1
𝑚
𝑠
 , quão rápido a área do vazamento está crescendo quando 
o raio é igual a 30 m? 
 
 
Cálculo −James Stewart − volume 1 
8ª edição − pág. 214 a 219 
 
20) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de 
radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km da 
estação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Um holofote sobre o solo ilumina uma parede a 12 m de distância. Se um homem de 2 m de altura anda do 
holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6 m/s, quãorápido o comprimento de sua sombra diminui sobre 
a parede quando ele está a 4 m dela? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Água escoa de um reservatório de concreto cônico ( vértice para baixo ), com raio da base de 2 m e altura de 
4 m, a uma taxa de 0,25 𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Quão rápido o nível da água diminui quando a profundidade da água for de 3 
m ? 
 
 
 
 
 
 
 
parede 
y 
x 
12 m 
 
● 
● 
x 
2 km 
Estação de Radar 
y 
 
23) Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada verticalmente em uma casa quando sua base começa a 
escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, o topo da escada escorrega 
para baixo na parede a uma taxa de 16 pés/s. A que velocidade a base da escada escorrega afastando-se da parede? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Dois lados de um triângulo têm comprimento de 12 m e 15 m. O ângulo entre eles está aumentando a uma 
taxa de 
𝜋
90
 𝑟𝑎𝑑/min. A que taxa o comprimento de um terceiro lado está aumentando quando o ângulo entre os 
lados de comprimento fixo for 
𝜋
3
 rad? ( Use a lei dos cossenos ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Um trem A deixa uma estação, num certo instante, e vai para o norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem B 
deixa a mesma estação 2 horas depois e vai para o leste à razão de 100 km/h. Calcular a taxa na qual estão se 
separando os dois trens 3h depois do segundo trem deixar a estação. 
 
 
(a) 2h depois do segundo trem B deixar a estação, ele estará a x = .......... km da estação. 
(b) 5h depois do primeiro trem A deixar a estação, ele estará a y = ........... km da estação. 
(c) a taxa na qual os trens estão se afastando 3h depois do segundo trem deixar a estação é 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 = ........... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
𝛉 
15 
12 
TOPO 
BASE 
13 pés 
y 
x 
A 
B E 
y 
z 
x 
Respostas: 
 
01) c = ±
2
√3
 02) c = −2 + 3√2 
 
 
03) c = 1 ; Sim, as retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular. 
 
 
04) c = −ln (
1−𝑒−2
2
) ; Sim, as retas são paralelas porque têm o mesmo coeficiente angular. 
 
 
05) Sim, foi multado porque o TVM garante a existência de um instante c no intervalo [ 0, 2 ], no qual a velocidade 
 do caminhão era 79,5 milhas/h. 
 
 
06) 50 e −50 
 
 
07) A quantidade total de cerca será mínima quando o retângulo externo medir 12m por 18 m. 
 
 
08) A quantidade de material usado na confecção da caixa será mínima quando as medidas das arestas forem 
 40 cm, 40 cm e 20 cm. 
 
 
09) 9 pol x 18 pol. 10) 15√3 𝑐𝑚 por 20√3 𝑐𝑚. 
 
 
11) √2 cm 12) 7,47 cm 
 
 
13) 18 pol x 18 pol x 36 pol 14) 6√2 m 
 
 
15) L = (√3
2
3⁄ + 2
2
3⁄ )
3
≅ 7 m 16) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −6 𝑐𝑚/𝑠 
 
 
17) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=48 𝑐𝑚2/𝑠 18) 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
−1
20𝜋
 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
 
19) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 60𝜋
𝑚2
𝑠
 20) 
800
3
√5 𝑘𝑚/ℎ 
 
 
21) 
−3
 5
 𝑚/𝑠 22) 
dh
dt
=
−1
9𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
 
23) 6,67 pés/𝑠 24) 
da
dt
 = 0,396 m/min 
 
 
25) a) 300 km b) 400 km c) 
dz
dt
 = 124 km/h