GEOMETRIA PLANA - AULA 05 - QUADRILÁTEROS

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GEOMETRIA PLANA EEAr – AULA 05 
Prof. Wellington Nishio 
QUADRILÁTEROS 
Definição 
Sejam A, B, C e D quatro ponto de um mesmo plano, 
todos distintos e três não colineares. Se os segmentos 
AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas 
extremidades, a reunião desses quatro segmentos é 
um quadrilátero. 
 
Nosso objeto de estudo será o quadrilátero convexo. 
 
Elementos de um Quadrilátero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Soma dos Ângulos Internos e Externos 
Em um quadrilátero, a soma dos ângulos internos e 
externos é igual a 360º. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Na figura, o valor de x é 
a) 30°. 
b) 35°. 
c) 40°. 
d) 45°. 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis 
São os principais quadriláteros objetos de nosso 
estudo, pois possuem características específicas que 
os diferenciam dos demais. 
São eles: paralelogramo, retângulo, quadrado, losango 
e trapézio. 
 
Paralelogramo 
Quadrilátero convexo que possui os lados opostos 
paralelos. 
 
Propriedades do Paralelogramo 
• Os lados paralelos são iguais. 
• Os ângulos opostos são iguais. 
• A soma de dois ângulos consecutivos é igual a 180º. 
 
• As diagonais encontram-se no ponto médio delas. 
 
 
Observação: Maneiras de traçar a altura do 
paralelogramo. 
 
Exemplo: (EEAr) No paralelogramo ABCD, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ . 
A medida de DÊA é 
a) 50º 
b) 55º 
c) 60º 
d) 65º 
 
 
Exemplo: (EEAr) Seja o paralelogramo ABCD. 
Sabendo que AP e DP são bissetrizes dos ângulos 
internos e, respectivamente, o valor de x é 
a) 55º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 15º 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• �̂�, �̂�, �̂�, �̂� 
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• 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ são os lados. 
• �̂�, �̂�, �̂�, �̂� são os ângulos internos. 
• �̂�, 𝑓, 𝑔, ℎ̂ são os ângulos externos. 
• 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ são as diagonais. 
�̂� + �̂� + �̂� + �̂� = 360º(𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠) 
�̂� + 𝑓 + �̂� + ℎ̂ = 360º(𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠) 
 + β = º 
M é Ponto Médio 
 
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Retângulo 
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e 
somente se, possui os lados paralelos e quatro ângulos 
congruentes, ou seja, possui 4 ângulos retos. 
 
Propriedades do Retângulo 
• Todas do paralelogramo 
• As diagonais possuem o mesmo tamanho. 
 
Exemplo: No retângulo a seguir, o valor, em graus, de 
α + β é 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
Losango 
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e 
somente se, possui dois pares de lados paralelos e os 
quatro lados congruentes. 
 
Propriedades do Losango 
• Todas do paralelogramo. 
• As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos e 
perpendiculares entre si. 
 
Exemplo: (EEAr) Em um losango, uma diagonal forma 
um ângulo de 58º com um de seus lados. A medida do 
menor ângulo desse losango é 
a) 58º 
b) 64º 
c) 116º 
d) 122º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadrado 
Um quadrilátero convexo é um quadrado se, e somente 
se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro 
lados congruentes. 
 
 
Propriedades do Quadrado 
• Todas do paralelogramo. 
• As diagonais são iguais.(Propriedade do Retângulo) 
• As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos e 
perpendiculares entre si.(Propriedade do Losango) 
 
Exemplo: (EEAr) A figura ABCD é um quadrado, e 
ABE é um triângulo equilátero. Nessas condições, a 
medida do ângulo 𝐶�̂�𝐸 é 
a) 5°. 
b) 10°. 
c) 15°. 
d) 20°. 
 
Observação 
• Todo retângulo é um paralelogramo. 
• Todo losango é um paralelogramo. 
• Todo quadrado é um paralelogramo, retângulo e 
losango. 
 
Exemplo: É correto afirmar que 
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um 
quadrado. 
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são 
suplementares. 
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer 
paralelogramo são perpendiculares entre si. 
d) nem todo quadrilátero com diagonais 
perpendiculares é um losango. 
 
Trapézio 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e 
somente se, possui dois lados paralelos. 
 
 
 
 
 
 
Em qualquer trapézio, temos o seguinte: 
• Os lados paralelos são as bases do trapézio. 
• �̂� + �̂� = �̂� + �̂� = 180º. 
 
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Classificação de um Trapézio quanto ao tamanho 
dos lados 
Trapézio Escaleno: Os lados não paralelos não são 
congruentes. 
Trapézio Isósceles: Os lados não paralelos são 
congruentes e os ângulos das bases são congruentes. 
 
Trapézio Retângulo: Um dos lados não paralelos é 
perpendicular às bases. 
 
Exemplo: (EEAr) Os ângulos da base maior de um 
trapézio são complementares, e a diferença entre suas 
medidas é 18º. O maior ângulo desse trapézio mede 
a) 100º 
b) 126º 
c) 144º 
d) 152º 
 
Base Média do Trapézio 
Chamamos de base média do trapézio ao segmento 
paralelo às bases, que une os pontos médios dos lados 
não paralelos do trapézio. 
Para calcular a base média, basta calcular a média 
entre as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: (EEAr) Se a base média de um trapézio 
mede 30 cm, e a base maior é 
3
2
 da base menor, então 
o módulo da diferença entre as medidas das bases, em 
cm, é 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana de Euler 
A Mediana de Euler é o segmento que une os pontos 
médios das diagonais de um trapézio e fica localizada 
sobre sua base média. 
Para calcular a Mediana de Euler, basta calcular a 
diferença entre as bases e dividir por 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Em um trapézio a base maior mede 12 cm e 
a diferença entre a base menor e a mediana de Euler 
mede 3 cm. A base média desse trapézio mede: 
a) 7cm 
b) 8cm 
c) 9cm 
d) 10cm 
 
 
 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑀é𝑑𝑖𝑎(𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅) =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ) =
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ − 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2