CBMERJ - Geometria - Módulo 04

Prévia do material em texto

GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
vídeos dentro da plataforma on-line do Perspectiva e bons estudos! 
Quadriláteros 
 
Trapézio 
Quadrilátero que possui somente dois lados paralelos, chamados de 
base. Os outros lados são de oblíquos. 
 
 
 
1. Classificação 
Ele pode ser classificado de três maneiras diferentes: 
− Escaleno: Todos os lados são diferentes. 
 
 
− Isósceles: Os lados oblíquos são iguais. 
 
 
OBS: Os ângulos das bases são congruentes, - (consequência do 
triângulo isósceles. 
 
− Retângulo: Possui um lado oblíquo formando 90° com as bases. 
 
 
2. Base Média 
Segmento de reta que liga os pontos médios dos lados oblíquos. 
 
 
 
m
AB+ CD
B =
2
 
OBS: A base média é paralela às bases. No caso de triângulo, a base 
média será só metade da base maior, pois nesse caso a base menor vale 
zero. 
 
3. Mediana de Euller 
Segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais. 
 
 
 
e
CD - AB
M =
2
 
 
OBS: A mediana de Euller é paralela às bases. 
 
Paralelogramo 
Quadrilátero que possui lados opostos paralelos. 
 
 
 
− Lados opostos paralelos e iguais; 
− Ângulos opostos iguais; 
− Ângulos adjacentes suplementares; 
− Diagonais cortam-se no ponto médio. 
 
Retângulo 
Paralelogramo equiângulo. 
 
 
− Possui todas as propriedades de paralelogramo; 
− Todos os ângulos iguais a 90°; 
− Diagonais do mesmo tamanho. 
 
OBS: A mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. 
 
 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
2 
Losango 
Paralelogramo equilátero. 
 
 
 
− Possui todas as propriedades de paralelogramo; 
− Todos os lados são iguais; 
− Diagonais são perpendiculares e bissetrizes. 
 
Quadrado 
Quadrilátero regular. 
 
 
 
− Possui todas as propriedades de paralelogramo; 
− Possui todas as propriedades de retângulo; 
− Possui todas as propriedades de losango. 
 
Diagrama de quadriláteros 
 
 
Exercícios 
 
1. Sejam A, B, C e D os vértices de um trapézio isósceles. Os ângulos A 
e B ambos agudos são os ângulos da base desse trapézio, enquanto 
que os ângulos C e D são ambos obtusos e medem cada um, o dobro 
da medida de cada ângulo agudo desse trapézio. Sabe-se ainda que a 
diagonal AC é perpendicular ao lado BC. Sendo a medida do lado AB 
igual a 10 cm o valor da medida do perímetro do trapézio ABCD, em 
centímetros, é: 
 
a) 21 c) 23 e) 25 
b) 22 d) 24 
 
2. Um terreno com perímetro de 176 m é subdividido em 5 retângulos 
congruentes, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
O perímetro de qualquer um dos 5 retângulos congruentes vale, em m, 
 
a) 80 c) 35,2 e) 86 
b) 76 d) 84 
 
3. A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com AD = BC = 
4 cm. M é o ponto médio de AD , e o ângulo ˆBMC é reto. 
 
 
O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a 
a) 8 c) 12 e) 15 
b) 10 d) 14 
 
4. Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus 
ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, 
pode-se usar como exemplo a figura denominada: 
a) losango 
b) trapézio 
c) retângulo 
d) quadrado 
 
5. Dadas as afirmações: 
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são 
suplementares. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são 
suplementares. 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e 
se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. 
 
Podemos garantir que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas II e III são verdadeiras. 
d) apenas II é verdadeira. 
e) apenas III é verdadeira. 
 
6. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes 
sentenças: 
( ) Todo retângulo é trapézio. 
( ) Nem todo quadrado é retângulo. 
( ) Todo paralelogramo é retângulo. 
( ) Todo losango é paralelogramo. 
( ) Nem todo trapézio é paralelogramo. 
 
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
3 
7. Assinale a afirmativa incorreta: 
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos 
agudos é menor do que a outra; 
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos 
consecutivos de um paralelogramo; 
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são 
paralelas. 
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica 
decomposto em quatro triângulos congruentes. 
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 
 
8. Considere as seguintes proposições: 
− todo quadrado é um losango; 
− todo quadrado é um retângulo; 
− todo retângulo é um paralelogramo; 
− todo triângulo equilátero é isóscele. 
 
Pode-se afirmar que: 
a) só uma é verdadeira. 
b) todas são verdadeiras. 
c) só uma é falsa. 
d) duas são verdadeiras e duas são falsas. 
e) todas são falsas. 
 
9. No paralelogramo ABCD, conforme mostra a figura, o segmento 
CE é a bissetriz do ângulo DCB. 
 
 
 
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro do 
paralelogramo ABCD é: 
a) 26 
b) 16 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
10. Sabendo-se que, em um trapézio, a soma da base média com a 
mediana de Euler é igual a 12 cm e que a razão entre as bases do trapézio 
é 2, a base menor desse trapézio mede: 
a) 5 cm c) 7 cm e) 9 cm 
b) 6 cm d) 8 cm 
 
11. Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse 
trapézio é: 
a) 13 c) 15 e) 17 
b) 14 d) 16 
 
 
12. Na figura a seguir tem-se representado o losango ABCD, cuja 
diagonal menor mede 4 cm. 
 
A medida do lado desse losango, em centímetros, é 
a) 6 3 c) 4 3 e) 2 3 
b) 6 d) 4 
 
13. Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 
15 cm e 27 cm. 
Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de 
divisão, foram traçados 3 segmentos paralelos às bases. A soma das 
medidas dos três segmentos traçados é, em centímetros, 
 
 
a) 52 c) 59 e) 63 
b) 58 d) 61 
 
14. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 
degraus, de maneira que o mais baixo e o mais alto tenham larguras 
respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo 
comprimento mínimo, em cm, deve ser: 
a) 144. c) 210 e) 240 
b) 180. d) 225 
 
15. No trapézio da figura a seguir, um dos lados não paralelos está 
dividido na proporção 1:2 pelo segmento de medida x, paralelo às bases. 
Calcule o valor de x. 
 
 
16. Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de 
mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais 
a e b. A terceira dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada 
um dos compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas, em cada 
um deles, como representado na Figura 1. A fim de aproveitar melhor o 
espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e 
está indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento 
do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de 
folgas. 
 
http://3.bp.blogspot.com/_j5kbeGgXcbo/SkjExu7yCjI/AAAAAAAABqw/20IAXssAHKE/s1600-h/escada+do+matematica+na+veia.jpg
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
4 
 
 
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? 
a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura 
do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um número 
maior de caixas. 
b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário 
praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do 
compartimento. 
c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada 
perfeitamente no compartimento de 20 cm de alturapor 27 cm de 
largura. 
d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o 
número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do 
compartimento. 
e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada 
perfeitamente 
 
17. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo 
são inversamente proporcionais a 5, 8, 10 e 40, então as medidas, em 
graus, dos ângulos são, respectivamente, iguais a 
a) 160°; 100°; 80° e 20°. 
b) 100°; 80°; 20° e 160°. 
c) 80°; 50°; 40° e 10°. 
d) 50°; 40°; 10º e 80°. 
e) 75°; 45°; 40° e 20°. 
 
18. Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos 
consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo 
mede 
a) 45º. c) 55º. e) 65º. 
b) 50º. d) 60º. 
 
19. Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência 
possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de 
converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm X 8 cm. 
Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro 
de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, 
exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo 
? 
a) retirar 16 cédulas 
b) retirar 40 cédulas 
c) acrescentar 5 cédulas 
d) acrescentar 20 cédulas 
e) acrescentar 40 cédulas 
 
20. Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado 
a seguir, um estudante pensou tratar-se de uma curva. 
 
 
Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de 
fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma 
quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. 
Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em cada uma das 
seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5. Se foi utilizada a mesma unidade 
de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse 
polígono é: 
a) 10 b) 13 c) 18 d) 20 
 
21. ABCD e um paralelogramo, M é o ponto médio do lado CD, e T é 
o ponto de intersecção de AM com BD. O valor da razão DT/BD é? 
 
22. A base maior de um trapézio isósceles mede 13 cm, e os lados 
não paralelos medem 4 cm. Qual dos conjuntos abaixo é o conjunto dos 
valores que a base menor pode assumir para que exista o trapézio? 
a) entre 5 e 21 
b) entre 0 e 21 
c) entre 0 e 13 
d) entre 5 e 13 
e) entre 13 e 21 
 
23. A afirmativa “ um quadrado foi subdividido em n quadrados 
congruentes” acarreta que: 
a) n não pode ser 12 
b) n não pode ser par 
c) n não pode ser impar 
d) n pode ser 36 
e) n pode ser 29 
 
24. Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD 
medem, respectivamente, 5cm e 6cm. Se R, S, T e U são os pontos médios 
dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU 
vale: 
a) 22 cm 
b) 5,5 cm 
c) 11 cm 
d) 8,5 cm 
 
25. Num paralelogramo ABCD com 60 cm de perímetro, o ângulo  
= 60º e a bissetriz do ângulo D passa pelo ponto médio M do lado AB. 
Calcule os lados desse paralelogramo e os ângulos do triângulo CMD. 
26. Num trapézio as bases medem respectivamente, 18 cm e 30cm. 
Calcule o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não 
paralelos, bem como o segmento de reta que liga os pontos médios das 
diagonais. 
 
27. Calcule o menor ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois 
ângulos consecutivos de um paralelogramo. 
 
28. As bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 112cm, 
respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, calcule a 
medida do lado PQ. 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
5 
29. Observe a figura. 
 
 
 
Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. 
O perímetro do quadrilátero PQRS é: 
a) 11 3 c) 11 2 
b) 22 3 d) 22 2 
 
30. Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é 
possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da seguinte 
forma: a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído 
acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior lado do 
retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
A figura IV destaca a linha poligonal 1 2 3 4 5 6P P P P P P , formada pelos lados 
dos retângulos, que são os elementos da sequência 
(a, b, a+b, a+2b, 2a+3b). 
Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento da linha 
poligonal 1 2 3 4 5 6 7P P P P P P P , de P1 até o vértice P7, é igual a: 
a) 5a+ 7b 
b) 8a+12b 
c) 13a+20b 
d) 21a+33b 
 
31. A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em 
quatro quadrados. 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
a) 
5
.
3
 
b) 
5
.
2
 
c) 
4
.
3
 
d) 
3
.
2
 
 
32. O perímetro de um losango é 40 cm e uma diagonal mede 16 cm. A 
outra diagonal mede: 
a) 10 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 8 cm. 
e) 5 cm. 
 
33. ABCD é um quadrado e ABE, um triângulo equilátero, conforme 
representado na figura. 
 
 
 
A medida do ângulo BDE, em graus, é 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 30 
 
34. ABCD é um trapézio de bases AB e CD . Se D é o dobro de A 
e C o triplo de B, calcule os ângulos do trapézio. 
 
 
 
35. Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com 
tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme 
a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca 
contém 48 metros de comprimento. 
 
 
 
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
6 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse 
terreno é 
a) 6. c) 8. e) 12. 
b) 7. d) 11. 
 
36. Considere as seguintes proposições: 
− todo quadrado é um losango; 
− todo quadrado é um retângulo; 
− todo retângulo é um paralelogramo; 
− todo triângulo equilátero é isóscele. 
 
Pode-se afirmar que: 
a) só uma é verdadeira. 
b) todas são verdadeiras. 
c) só uma é falsa. 
d) duas são verdadeiras e duas são falsas. 
e) todas são falsas. 
 
37. O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em 
quadrados. Qual o valor da razão 
a
b
? 
 
 
a) 
5
3
 c) 2 e) 
1
2
 
b) 
2
3
 d) 
3
2
 
 
38. Qual é o perímetro do quadrado em que a diagonal mede 3 6 m? 
a) 12 3 m d) 8 6 m 
b) 12 6 m e) 6 m 
c) 8 3 m 
 
39. No paralelogramo a seguir, calcule y. 
 
 
 
40. 
 
 
No cubo anterior, cada aresta mede 6cm. Os pontos x e y são pontos 
médios das arestas AB e GH. O polígono XCYE é um: 
a) quadrilátero, mas não é paralelogramo. 
b) paralelogramo, mas não é losango. 
c) losango, mas não é quadrado. 
d) retângulo, mas não é quadrado. 
e) quadrado. 
 
41. Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse 
trapézio é: 
a) 13 c) 15 e) 17 
b) 14 d) 16 
 
42. A partir do quadrado ABCD, de lado 4, constrói-se uma 
sequência infinita de novos quadrados, cada um com vértices nos pontos 
médios dos lados do anterior, como mostrado abaixo: 
 
 
O comprimento da poligonal infinita destacada na figura por linhas mais 
grossas é igual a: 
a) 4 2 c) 8 + 2 e) 8 
b) 4 2 +1 d) 4 +2 2 
 
43. No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são 
respectivamente 3 m e 2 m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida 
do segmento VQ é igual a 1 m e U é o ponto médio do lado PS, então, a 
medida, em graus, do ângulo VÛR é 
a) 40 b) 35 c) 50 d) 45 
 
44. Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. 
O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero 
em que M é ponto médio do segmento RS. 
a) 
b 5
.
5
 b) 
b 5
.
3
 c) 
2b 5
.
3
 d) 
3b 5
.
5
 
 
45. Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo 
quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. 
 
GEOMETRIA MÓDULO 04 CBMERJ 
 
 
 
7 
As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha 
utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas,e o papel reveste a 
área total da pipa. 
Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos 
ˆABC e ˆADC são retos. 
Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, 
determine o comprimento total da linha, representada por 
AB BC CD DA.+ + + 
 
Gabaritos 
1. E 
2. A 
3. C 
4. A 
5. C 
6. V- F –F - V- V 
7. E 
8. B 
9. E 
10. B 
11. D 
12. E 
13. D 
14. D 
15. 12 
16. E 
17. A 
18. A 
19. A 
20. D 
21. 1/3 
22. D 
23. D 
24. C 
25. Lados: 10cm e 20 cm, ângulos :30°,60° e 90°. 
26. MN = 24 cm PQ=6 cm. 
27. 90° 
28. PQ = 70cm 
29. D 
30. B 
31. A 
32. C 
33. D 
34. A = 60°; B = 45°; C = 135° e D = 120° 
35. C 
36. B 
37. A 
38. A 
39. y = 210 
40. C 
41. D 
42. D 
43. D 
44. A 
45. AB+BC +CD+DA = 2×30+2×40 = 140cm.