UNIDADE 02 - Sistema de numeração digital

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Sistema de numeração digital
APRESENTAÇÃO
Os diversos sistemas numéricos têm suas particularidades e atribuições próprias, mas há regras e 
símbolos compartilhados entre eles. A matemática lida em sua maior parte com o sistema 
decimal, no entanto sistemas digitais seriam ainda mais complicados de se projetar se não 
possuíssem um sistema numérico adequado à sua realidade de operação.
O sistema binário representa diretamente o estado de cada unidade de informação em um 
circuito digital, mas podem ser usados sistemas similares que simplifiquem a representação 
numérica e que sejam facilmente traduzidos novamente para binário. São eles: o sistema octal e 
o sistema hexadecimal.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar os três tipos de sistema numérico mais 
comuns em sistemas digitais, as operações aritméticas convencionais atribuídas ao sistema 
binário e métodos de codificação para utilizar o sistema binário na representação de outros tipos 
de informação que não sejam numéricas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Converter sistemas de numeração.•
Resolver operações aritméticas com sistemas de numeração.•
Analisar códigos numéricos e alfanuméricos.•
DESAFIO
Um número pode representar algo que não seja necessariamente uma quantidade. Pode ser um 
índice de uma tabela ou apenas um conjunto de unidades de informação embaralhadas e 
codificadas para criptografar as informações de modo a evitar que terceiros sejam capazes de 
decifrá-las.
A codificação mais utilizada no dia a dia é a tabela ASCII, com sete bits representando algum 
caractere alfanumérico. Isso permite que um computador envie um texto para outro utilizando 
um código de sete bits que faça referência ao caractere desejado.
Imagine que na empresa em que você trabalha você foi convocado para decifrar o código 
abaixo.
01001111
01001001 
Considerando a tabela a seguir, você precisa dizer quais caracteres estão sendo enviados em 
uma mensagem que contenha a sequência de dois bytes.
Explique como foi o processo de conversão.
INFOGRÁFICO
A codificação representa não apenas a proteção da informação, mas em alguns casos também a 
própria informação. Codificadores e decodificadores são utilizados para converter padrões 
diferentes dentro do mesmo sistema numérico. 
O sistema binário possui dois símbolos: 0 e 1. Os codificadores irão utilizar os mesmos 
símbolos, mas, a partir de regras específicas, irão traduzir um número para outro equivalente 
pelo mecanismo de codificação.
Veja no Infográfico as três codificações mais utilizadas no desenvolvimento de sistemas 
digitais.
CONTEÚDO DO LIVRO
Nos sistemas digitais, dois estados são suficientes para representar o estado de uma unidade de 
informação. Assim, o sistema decimal não é capaz de traduzir adequadamente as operações 
resultantes dessa natureza, ou necessitaria de regras muito complexas para adequá-lo. Um novo 
numérico é utilizado para facilitar a manipulação e análise de sistemas dessa natureza. Nele cada 
unidade numérica possui apenas dois estados possíveis, assim como ocorre fisicamente no 
circuito. Porém muitos dos mecanismos de operações básicas, como soma, subtração, 
multiplicação e divisão, ainda são executados de forma similar ao que ocorria no sistema 
decimal.
No capítulo Sistema de numeração digital, da obra Eletrônica digital, você vai ver o principal 
sistema de numeração digital e a base de toda a eletrônica digital: o sistema binário. Você 
também vai conhecer os sistemas derivados do binário – octal e hexadecimal – e as formas de 
conversão entre todos eles e o sistema decimal. Por fim, você vai estudar as operações 
aritméticas básicas do ponto de vista do sistema binário, além de ter uma introdução às técnicas 
de codificação e seu uso de pequenas a grandes máquinas.
Boa leitura.
ELETRÔNICA 
DIGITAL
Maikon Lucian Lenz
Sistema de numeração 
digital
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Converter sistemas de numeração.
  Resolver operações aritméticas com sistemas de numeração.
  Analisar códigos numéricos e alfanuméricos.
Introdução
O sistema numérico utilizado pela matemática convencional é o sis-
tema decimal. Acredita-se que, por dispormos de 10 dedos nas mãos, 
esse método foi utilizado como base para o desenvolvimento de toda 
a matemática.
Na eletrônica digital, no entanto, apenas dois estados são possíveis 
para cada unidade de informação, diferentemente dos 10 dedos, como 
no caso da representação decimal. Assim como a operação numérica 
em uma base de 10 era mais viável para um sistema de informação que 
dispunha de 10 representações, como as nossas mãos, também o sistema 
digital é mais facilmente manipulado se, para tanto, utiliza-se um sistema 
numérico adequado à sua realidade. Os sistemas mais comuns possuem 
valor posicional, regras, formas e símbolos similares entre si e, portanto, 
de fácil conversão entre eles. Já os sistemas digitais utilizam o sistema 
binário também para a codificação de informações, e não apenas como 
uma quantidade definida, como é demonstrado pelo código ASCII, muito 
utilizado pelos computadores de um modo geral.
Neste capítulo, você vai estudar a conversão dos sistemas de nume-
ração. Você também vai resolver operações aritméticas com sistemas de 
numeração e analisar códigos numéricos e alfanuméricos.
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Conversão entre sistemas de numeração
Números são símbolos utilizados para representar uma quantidade de qualquer 
grandeza ou material. O conjunto de símbolos e as regras que estipulam as relações 
entre eles é denominado sistema numérico. Você deve estar habituado a utilizar 
o sistema decimal; talvez não faça menção a ele no dia a dia, mas certamente o 
utiliza para praticamente tudo. O sistema decimal especifi ca dez símbolos (0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e, por esse motivo, pode ser chamado também de sistema de 
base 10, afi nal, este é o número de símbolos, representações ou posições para uma 
unidade numérica desse sistema, conforme leciona Tokheim (2013).
É claro que um sistema numérico que represente apenas dez possibilidades é 
um sistema pouco útil. No entanto, e isso é válido para os demais sistemas que 
serão estudados, não apenas o símbolo utilizado é relevante para o resultado, mas 
também a quantidade de símbolos agrupados e a posição de cada um deles. Por 
exemplo, um único símbolo 1 é utilizado para expressar que existe um elemento 
de um determinado objeto; já dois símbolos agrupados como 11 possuem um 
significado totalmente diferente e, como pode-se perceber, há 10 elementos a mais 
no segundo caso em relação ao primeiro. O agrupamento desses símbolos, portanto, 
não representa uma soma — o que, nesse caso, significariam dois elementos —, 
mas há, de fato, outro peso dado a cada um dos símbolos 1 agrupados.
No sistema decimal, o primeiro símbolo (à direita) tem peso um, e cada 
posição adicional à esquerda aumenta em dez vezes o peso dado ao símbolo. 
Pode-se também analisar desta forma: se o símbolo 1 representa uma quanti-
dade, o 2 representa duas quantidades, e segue dessa forma até o símbolo 9, 
que representa nove quantidades; por isso, definimos o primeiro símbolo mais 
à direita de um número decimal como tendo peso um, já que cada símbolo 
representa diretamente a quantidade especificada. No entanto, o segundo 
símbolo à esquerda possui um peso X vezes maior do que o anterior, onde X 
é a base do sistema numérico em questão. Sendo a base do sistema decimal 
igual a 10, esse segundo símbolo terá um peso dez vezes maior do que o an-
terior — ou seja, o 1, nesse caso, é na verdade o equivalente a 10 vezes uma 
quantidade. A partir daí, é possível obter a quantidade que se está representado 
com o número 11: se o 1 mais à esquerda é 10 vezes uma quantidade e o 1 
mais à direita é apenas uma quantidade, o número expressa, nessecaso, 11 
quantidades. Em outras palavras, os símbolos não são somados diretamente, 
mas ponderados por um peso ou proporção determinado pela sua posição em 
relação aos demais, conforme leciona Tokheim (2013).
Mas, e se for adicionado um terceiro símbolo em um mesmo grupo? Como 
vimos, o terceiro símbolo (da direita para a esquerda) será 10 vezes maior do 
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que o imediatamente anterior; se o anterior já era 10 vezes maior do que o 
primeiro, significa que o símbolo em questão tem um peso de 10 vezes 10, ou 
seja, é cem vezes maior do que o primeiro símbolo.
Não há qualquer sentido em aplicar a multiplicação de cada símbolo por 
seu peso e somar as parciais, já que o resultado será o mesmo do número 
original. Isso porque você está utilizando o mesmo sistema numérico atribuído 
à matemática.
Pode-se resumir um sistema numérico comum como um conjunto de símbolos que, 
agrupados, devem ser ponderados pela sua posição em relação à sua base numérica.
Há ainda duas limitações fundamentais que podem ser contornadas de 
forma diferenciada por cada sistema numérico. A primeira delas é a possibi-
lidade de se representar quantidades negativas — utiliza-se o símbolo de “−” 
(menos) para tanto. A segunda é a possibilidade de se representar quantidades 
fracionárias, que são representadas com o auxílio do símbolo “,” (vírgula). 
Um número decimal que possua o símbolo “−” à sua esquerda representa uma 
quantidade negativa. Assim como um número pode ser subdividido em parte 
inteira e parte fracionária, os símbolos usados devem ser os mesmos, mas, a 
partir de uma determinada posição, são separados por uma vírgula, que indica 
que, à esquerda, o número deve ser lido como um inteiro, enquanto os símbolos 
deixados à direita da vírgula representam frações de uma unidade. Dessa 
forma, praticamente qualquer quantidade pode ser representada, conforme 
apontam Tocci, Widmer e Moss (2011).
O sistema decimal provavelmente é fruto da praticidade de se utilizar recursos próprios 
ao ser humano nas operações entre duas quantidades — já que possuímos 10 dedos 
nas mãos, é muito fácil lidar com um sistema numérico de base 10. A partir disso, todo 
o estudo da matemática e do cálculo utilizou como base o sistema numérico decimal, 
o que não quer dizer que não seja possível calcular ou realizar operações até mais 
complexas em outros sistemas numéricos.
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A matemática decimal pode ser tranquilamente utilizada para sistemas 
digitais. Porém, não é nada prático utilizar 10 símbolos para um universo em 
que, para cada unidade, existem apenas duas possibilidades: ligado e desligado. 
Utilizar o sistema decimal para representar as relações entre sistemas digitais 
seria demasiadamente complexo. Outros sistemas numéricos, no entanto, 
podem ser mais eficientes para esse caso.
Na eletrônica digital, são três os sistemas numéricos de maior importância: 
binário, octal e hexadecimal. O primeiro é a base para todo o sistema digital, 
enquanto os demais são múltiplos diretos do sistema binário, na maior parte 
das vezes com a simples finalidade de expressar a mesma coisa do que um 
binário, com uma quantidade menor de símbolos impressos.
Sistema binário
Ao contrário do sistema decimal, o sistema binário possui base dois, o que 
signifi ca que, utilizando apenas um símbolo, o sistema binário apresenta 
apenas duas possibilidades. Para evitar confusão e manter certa praticidade de 
conversão entre sistemas diferentes, os sistemas que possuem uma quantidade 
menor de símbolos do que o sistema decimal costumam repetir os símbolos, 
apenas eliminando o excesso deles.
O sistema binário possui dois símbolos — 0 e 1 — que aumentam de peso 
para cada símbolo adicional à esquerda. Com uma base dois, significa dizer 
que cada símbolo, chamado de bit (unidade binária), tem um peso duas vezes 
maior do que o símbolo imediatamente à sua direita, desde que pertencente 
ao mesmo número.
Tomando como exemplo o caso do número 11 novamente, se expresso em 
um sistema numérico do tipo decimal, seria traduzido para 11 quantidades; já 
no sistema binário, esse número representa a quantidade três. Assim como no 
sistema decimal, o primeiro símbolo (à direita) tem o peso um, mas o segundo 
(à esquerda) tem o peso duas vezes maior do que o primeiro. Se o primeiro 
tem peso um, o segundo terá peso dois, o terceiro quatro (duas vezes dois), o 
quarto oito (duas vezes quatro) e, assim, sucessivamente.
Perceba mais uma vez que, a cada símbolo adicionado à esquerda, o peso 
atual é o resultado da multiplicação do peso imediatamente anterior pela base. 
Trata-se, portanto, de uma progressão geométrica — em outras palavras, 
são N multiplicações por um mesmo valor, o que também representa uma 
exponenciação (repetição de sucessivas multiplicações), conforme lecionam 
Tocci, Widmer e Moss (2011).
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O peso de um símbolo em um sistema numérico pode ser calculado pela 
expressão a seguir:
 p[i] = bi–x (Equação 1)
onde:
  i — posição em que o símbolo se encontra da direita para a esquerda, 
considerando a primeira como sendo igual a zero;
  x — quantidade de posições fracionárias;
  b — base do sistema numérico;
  p[i] — peso atribuído ao símbolo na posição i.
Por meio da Equação 1, é possível obter o peso em uma determinada 
posição se conhecida a base do sistema numérico. No sistema decimal, por 
exemplo, o peso do 3° símbolo será de 10² = 100, enquanto, no sistema binário, 
será de 2² = 4. Logo, fica nítida a desvantagem do sistema binário em termos 
de tamanho, já que, com poucos decimais, pode-se representar um número 
gigantesco, o que exigiria inúmeros binários para fazer o mesmo. Entretanto, 
essa desvantagem é compensada pela relação direta do sistema binário com a 
realidade dos sistemas que representa, em que há apenas dois estados possíveis 
(0 e 1) e a álgebra especialmente utilizada para esse sistema numérico.
Sabendo o peso que cada posição possui, os símbolos devem ser multipli-
cados por seu respectivo peso, e a parcial de cada resultado deve ser somada 
para se obter o equivalente decimal desse sistema. Por exemplo, o número 
365 em decimal é:
3 · 10² + 6 · 10¹ + 5 · 100
3 · 100 + 6 · 10 + 5 · 1
300 + 60 + 5 = 365
Como citado anteriormente, não há qualquer sentido em ponderar os sím-
bolos de um sistema numérico decimal, já que ele é o próprio sistema utilizado 
na matemática convencional — o resultado final só poderia ser o mesmo.
Agora, considere o número binário 1101:
1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 20
1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
8 + 4 + 0 + 1 = 13
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O procedimento anterior realizou uma conversão de sistemas numéricos, 
utilizando a álgebra convencional, natural aos sistemas decimais, e especi-
ficando o peso do símbolo para cada posição no sistema numérico binário. 
Assim, pode-se obter o equivalente decimal de cada posição, sendo os equiva-
lentes, então, somados para se obter o total. Pode-se afirmar, portanto, que o 
número 1101 corresponde a 13 em sistemas decimais, ou seja 1101 em binário 
representa 13 quantidades.
A conversão pode ser resumida da seguinte forma:
 (Equação 2)
onde:
  i — índice da iteração atual;
  N — quantidade de posições totais, inteiras e fracionárias;
  v(i) — i-ésimo símbolo (da direita para a esquerda) de um número v;
  p(i) — peso atribuído à i-ésima posição (da direita para a esquerda) de v;
  x — quantidade de posições da parte fracionária, à direita da vírgula.
Ou, ainda, substituindo-se a Equação 1 na Equação 2:
 (Equação 3)
Na Figura 1, é possível comparar dez quantidades diferentes de moedas 
e suas representações em ambos os sistemas numéricos, decimal e binário.
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Figura 1. Quantidades de moedas representadas por dois 
sistemas numéricos diferentes.
Fonte: Tokheim (2013, p. 24).
Para evitar qualquer confusão na manipulação de sistemas numéricos 
diferentes, especialmente quando ambos possuem símbolos em comum e 
podem ser confundidos, dependendo da quantidade representada, e também 
para não restar dúvidas a respeito de qual sistema numérico se está utilizando, 
é empregado um número decimal subscrito do lado direito, contendo o valor 
de base do sistema numérico. Quando omitido, o número pode ser entendido 
como sendo do mesmo sistema numérico utilizado no restante do contexto; caso 
não exista qualquer referência, é assumido como sendo um número decimal, 
conforme lecionam Tocci, Widmer e Moss (2011).
nb
onde:
  n — um número qualquer do sistema numérico de base b;
  b — base do sistema numérico de n.
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A conversão de decimal para binário segue a lógica inversa: em vez de 
se multiplicar cada posição à frente por um peso duas vezes maior, o número 
decimal é inicialmente dividido por 2 e, caso o resultado da parte inteira seja 
maior do que zero, este será dividido por 2 e, assim, sucessivamente, até que 
a parte inteira do resultado seja 0. As divisões procedem apenas enquanto 
o quociente for inteiro, o resto é anotado; na sequência, é iniciada nova di-
visão por 2 a partir do quociente resultante, repetindo o processo até que o 
quociente seja 0. O número binário pode ser obtido agrupando-se os restos 
de cada divisão de trás para a frente; ou seja, o resto da última divisão (em 
que o dividendo resultou em 0) será a posição mais à esquerda do binário, e 
Considere os números a seguir com seus respectivos sistemas numéricos expressos 
pelo valor de base subscrito ao lado. Ambos os números estão representando a 
mesma quantidade. Repare no número subscrito à direita de ambos. Ele evidencia 
que o primeiro número pertence ao sistema decimal (base 10), enquanto o segundo 
é do sistema binário (base 2). Ou seja, se convertido o número binário para decimal, 
seriam obtidos os mesmos valores.
11,510 1011,12
O número binário 1011,12 é convertido para decimal seguindo a Equação 3, onde:
  b = 2, por se tratar de sistema binário;
  v = 1011,12, que é o próprio número a ser convertido;
  N = 5, que é a quantidade de posições totais, inteiras e fracionárias;
  x = 1, que é a quantidade de posições da parte fracionária, à direita da vírgula.
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o resto da primeira divisão será a posição menos significativa, mais à direita 
do binário. O procedimento pode ser visto no exemplo da Figura 2.
Figura 2. Conversão de sistema numérico de um número no sistema 
decimal para o sistema binário.
Fonte: Tokheim (2013, p. 26).
Os sistemas digitais não possuem nenhum meio de interpretar o sinal de um 
número binário, e, para que se possa sinalizar isso a um circuito ou microproces-
sador, é utilizada a representação por complemento de 2. O complemento de 2 
consiste em inverter todos os bits um a um e, ao final, somar 1 ao resultado. 
Assim, o bit mais significativo (à esquerda) será 1 para números negativos e 0 
para números positivos. Isso não reduz a quantidade de valores possíveis, mas 
desloca a metade das possibilidades àquelas em que o bit mais significativo 
é igual a 1, para valores abaixo de zero. A inversão de um número binário, 
ou seja, transformar tudo o que é 1 em 0 e tudo o que é 0 em 1, é chamada 
de complemento de 1. Já a inversão seguida da soma 1 é conhecida como 
complemento de 2 e é o formato utilizado para representar números negativos.
Sistema octal e hexadecimal
O sistema octal possui oito símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), sendo sua base um 
expoente inteiro da base do sistema binário — um octal corresponde a um 
grupo de três bits. Ou seja, a cada três bits, pode-se utilizar um único símbolo 
do sistema octal para representar a mesma quantidade.
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O sistema hexadecimal também é um expoente inteiro do sistema binário, mas, 
ao contrário do octal, que agrupa os bits de três em três, cada símbolo hexadecimal 
representa quatro bits. Esse sistema possui 16 símbolos, sendo os 10 primeiros os 
mesmos utilizados pelo sistema decimal, e os demais com os seguintes valores 
equivalentes em decimal: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
A forma mais prática de se converter um sistema binário em octal ou 
decimal é simplesmente agrupar os bits, enquanto o processo inverso requer 
que cada símbolo seja convertido para seu equivalente em decimal e este, por 
sua vez, em binário. Já para converter entre números octais ou hexadecimais 
para um equivalente em decimal, pode-se utilizar as equações de 1 a 3 já 
demonstradas para o sistema binário, e o sentido inverso demonstrado pela 
Figura 2. Apenas deve-se considerar a respectiva base em uso, sendo ela 8 
para o sistema octal e 16 para o hexadecimal.
A grande vantagem oferecida pelos sistemas octal e hexadecimal é o menor 
tamanho do número a ser impresso. No entanto, por características próprias 
dos sistemas microprocessados que separam o conjunto de informações em 
bytes (agrupamento de oito bits), o hexadecimal se revelou mais prático e, 
portanto, é o sistema mais utilizado, uma vez que são necessários apenas dois 
hexadecimais para representar um byte, enquanto o octal, por agrupar de três 
em três bits, dividiria partes do byte entre símbolos diferentes. Assim, para 
um código de sistema escrito em hexadecimal, é fácil de se associar endereços 
específicos de memória e converter cada byte para o binário equivalente, a 
fim de interpretar os comandos ou dados armazenados.
Os prefixos normalmente utilizados para o sistema decimal também são utilizados para 
bits e bytes. Mas há que se tomar cuidado ao utilizá-los, nesse caso, já que um byte é 
um grupo de oito bits, e, assim, 1 kilobit (1 Kb) é oito vezes menor do que 1 kilobyte (KB). 
Uma diferença sutil de representação, mas com significados bem distantes um do outro.
Operações aritméticas com sistemas 
de numeração
Os sistemas octal e hexadecimal podem facilitar a leitura e a interpretação dos 
dados no dia a dia de quem trabalha com informações do tipo digital, mas é 
demasiadamente complexo de se proceder qualquer operação aritmética entre 
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eles, sendo preferíveis as operações que envolvam apenas decimais ou binários. 
Esse último tem metodologias muito similares de resolução aritmética, se 
comparado ao sistema decimal e à matemática convencional.
Adição
A operação de adição de dois números decimais consiste em sobrepor ambos 
os números e somar cada posição individualmente. Deve-se obedecer a regra 
de que, caso o resultado seja um número maior do que o representável por um 
único símbolo, apenas o símbolo menos signifi cativo será considerado para 
o resultado daquela posição, enquanto o restante será adicionado à posição 
seguinte (à esquerda).
Esse procedimento também pode ser realizado com números binários, desde 
que obedecidas as limitações desse sistema. Uma vez que o maior número 
nesse sistema é 1, o resultado de 12 + 12 deve ser igual a 102. O restante ainda 
é o mesmo — apenas o bit menos significativo permanece naquela posição, 
enquanto os demais são adicionados à próxima posição.
Por exemplo, 0,1102 + 00102:
Subtração
O mesmo mecanismo ocorre para a subtração, porém, em vez de sobras, serão 
efetuados empréstimos de posições mais à esquerda. Entretanto, os sistemas digi-
tais costumam utilizar uma representação diferente para números negativos, que 
permite, inclusive, efetuar operações de subtração como se fossem uma adição, o 
que, obviamente, reduz a quantidade de portas lógicas em um microprocessador, 
já que duas funções,adição e subtração, podem ser executadas por um único 
circuito de adição. Para proceder dessa forma, basta que o bit mais signifi cativo 
em um tamanho predefi nido de variável seja considerado o bit de sinal e que 
números negativos estejam representados no formato de complemento de 2.
Para subtrair dois números positivos, basta tornar o minuendo negativo e 
proceder com a adição. A viabilidade dessa operação é facilmente compro-
vada, já que:
x − y = x + (− y)
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Multiplicação e divisão
Tanto a multiplicação quanto a divisão entre binários podem se tornar extensas, 
e, na maioria das vezes, será mais prático converter os números para decimal, 
efetuar a operação necessária e, então, converter o resultado novamente para 
binário. O procedimento para realizar qualquer uma dessas operações é o 
mesmo já adotado no sistema decimal.
A técnica distingue os elementos de uma multiplicação em multiplicando e 
multiplicador, que são os fatores, e o resultado é chamado de produto. A ordem 
dos fatores não altera o produto, mas é mais prático tanto para um número 
decimal quanto para um número binário que o multiplicando (parte superior 
da multiplicação) seja o número com maior quantidade de algarismos. Isso 
porque a multiplicação é feita por partes, em que cada algarismo do multi-
plicador (parte inferior da multiplicação) vai multiplicar todos os algarismos 
do multiplicando uma vez. Logo, quanto menor a quantidade de algarismos 
no multiplicador, menor a quantidade de somas a serem efetuadas ao final.
Em binário, somente a multiplicação de 1 × 1 resultará em um valor igual 
a 1; todos os outros casos serão zero. Vale lembrar que, assim como no sis-
tema decimal, cada vez que se avança um algarismo do multiplicador, deve 
ser iniciada uma nova linha abaixo do produto anterior, deslocada uma casa 
para a esquerda, já que o peso da multiplicação desse bit deve ser maior do 
que os anteriores.
Para o processo de divisão, os elementos são: dividendo, divisor e quociente. 
O dividendo é o número a ser dividido pelo divisor, e o quociente é o resultado. 
Sempre que o dividendo for maior do que o divisor, deve-se preencher o quo-
ciente com 1 e subtrair a parcela, da esquerda para a direita, imediatamente 
igual ou superior ao divisor por este. O resto receberá o próximo algarismo 
do dividendo não utilizado, se houver; se o novo resto for maior ou igual ao 
divisor, deve-se proceder novamente com a inserção de mais um algarismo 1 
no quociente e a subtração do novo resto pelo divisor.
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Sempre que o resto for menor do que o divisor, mas diferente de 0, deverá 
ser adicionado um algarismo 0 e acrescentado o próximo algarismo do divi-
dendo. Caso não existam mais algarismos a serem recebidos do dividendo, será 
adicionada uma vírgula ao quociente e um zero ao resto. Após adicionada a 
vírgula, o procedimento segue a rotina normal da divisão por inteiros. O pro-
cedimento termina quando o resto for igual a 0, e o resultado será o quociente. 
Entretanto, cabe lembrar que existem números, como dízimas periódicas, em 
que nunca será possível concluir a divisão, podendo-se interrompê-la quando 
essa situação for detectada, ou a partir do momento em que a precisão desejada 
para uma divisão for suficiente (quantidade de casas após a vírgula).
Caso os fatores da multiplicação ou divisão sejam números com vírgula, 
deve-se igualar a quantidade de casas depois da vírgula de ambos os fatores 
antes de iniciar o processo, adicionando-se algarismos 0 à direita. Também 
na divisão, deve-se tomar o cuidado de remover a vírgula de ambos os fatores 
após a quantidade de casas ter sido igualada, para facilitar a execução do 
procedimento, já que não haverá qualquer efeito sobre o resultado final.
Analisar códigos numéricos e alfanuméricos
O sistema binário não precisa ser necessariamente utilizado para representar 
alguma quantidade, mas pode ser utilizado como um conjunto de combina-
ções binárias que estabeleçam um código de referência para outros tipos de 
informação. Tome como exemplo o caso de um computador pessoal — todo o 
sistema faz uso da lógica digital, logo, de dados, no sistema numérico binário. 
Porém, não utilizamos apenas números quando manipulamos um computador; 
muito pelo contrário, a maior parte é composta por letras e outros símbolos. 
Como, então, o sistema compreende ou armazena esse tipo de informação?
Há uma codificação específica para quando é necessário representar outras 
informações que não sejam necessariamente numéricas ou que necessitem, 
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por exemplo, ser criptografadas ou traduzidas. O mais popular desses casos é 
o código alfanumérico de padrão americano para troca de informações, 
abreviado para ASCII (do inglês American Standard Code for Information 
Interchange).
Código ASCII
O código ASCII nada mais é do que um código de sete bits, em que cada 
combinação possível representa um caractere específi co dentro de uma tabela. 
Em suma, o computador não compreende o símbolo da letra K, por exem-
plo — é o teclado que utilizamos que está construído de forma a enviar um 
binário equivalente à letra K, com base na tabela ASCII, quando essa tecla 
for pressionada. O valor da letra K maiúscula é 75 em decimal, ou 01000101 
em binário. Quando pressionada a tecla K, é esse valor em binário que circula 
pelos barramentos de dados do computador e é armazenado na memória ou 
utilizado pela unidade de processamento. Da mesma forma, quando o com-
putador quiser mostrar esse valor na tela, será enviado o binário armazenado 
na posição de memória que se deseja visualizar para o circuito responsável 
por traduzi-lo em uma imagem. O padrão fornece a letra a que o binário se 
refere, e outra tabela utilizada pela fonte específi ca que se pretende exibir faz 
o mapeamento de cada pixel necessário para ligar na tela, fazendo o binário 
01000101 ser visualizado como uma letra K na tela.
Repare que o sistema binário pode ser utilizado de diferentes formas, 
e não necessariamente para representar uma quantidade. O efeito prático 
atribuído a uma determinada combinação de bits dependerá exclusivamente 
da interpretação dada pelo circuito ou sistema que o esteja operando. Assim, 
são inúmeras as codificações utilizadas.
Código BCD
Outro código frequentemente utilizado é o decimal codifi cado em binário 
(BCD, do inglês binary-coded decimal), que utiliza quatro bits para represen-
tar uma única unidade decimal. Enquanto um código binário puro é obtido 
convertendo-se o número decimal inteiro, para o código BCD, cada dígito é 
convertido para uma sequência fi xa de quatro bits, conforme lecionam Tocci, 
Widmer e Moss (2011).
Como os números decimais possuem apenas 10 símbolos, que vão de zero 
até nove, o BCD só possui valores válidos até o número em binário equivalente 
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ao nove (10012). Para representar o número quinze, por exemplo, um decimal 
requer dois dígitos, o que significa mais quatro bits para o código BCD. Enquanto 
o quinze em binário poderia ser representado por 11112, com os mesmos quatro 
bits do número nove, para o código BCD, serão formados os dois dígitos de 
forma independente: 00012 para representar o 1 e 01012 para representar o 5.
Código Gray
O sistema binário segue uma ordem natural de incremento, o que acarreta 
mudanças de valor em várias unidades binárias simultaneamente. Por exemplo, 
o número 1 em binário é representado por 00012, e o número 2 por 00102. 
Perceba que dois bits alteraram seu estado. Há situações ainda piores, como o 
número 00112 (número 7) que, ao ser incrementado, passa a ser 10002 (número 
8), situação em que os quatro bits sofreram alteração — os três primeiros de 
1 para 0 e o último de 0 para 1. 
Ossistemas digitais possuem atrasos de propagação, ou seja, as últimas 
portas lógicas de um circuito devem aguardar o ajuste à nova situação de todas 
as anteriores até que estejam atualizadas; além disso, os sistemas digitais cos-
tumam operar em frequências elevadas. Assim, pequenas diferenças no tempo 
de propagação de uma informação entre cada um dos bits que compõem um 
barramento podem, durante breves intervalos de tempo, criar valores falsos.
O código Gray apresenta uma sequência em que apenas um bit por vez é 
alterado a cada novo incremento. Com isso, enquanto em um sistema binário 
comum o número 2 seria representado por 00102, em Gray seria 00112; já o 
número 3, em binário, é 00112 e, em Gray, é 00102. Apesar de ser mais complexo 
de se compreender o valor real em código Gray, a sequência nesse formato 
garante que só haverá uma única transição de estado por vez: 00002 → 00012 → 
00112 → 00102 → 01102 → 01112 → 01012..., conforme leciona Tokheim (2013).
Um encoder de posição que utiliza uma máscara binária padrão, por exem-
plo, poderia informar posições erradas para um sistema digital, caso houvesse 
um pequeno desalinhamento entre cada um dos sensores. Utilizando um padrão 
binário comum, um encoder poderia girar a máscara binária da posição três 
para quatro sem que todos os sensores estivessem detectando a nova região 
da máscara, ocasionando erros. O problema do encoder pode ser resolvido 
com o código Gray, já que pequenos desalinhamentos causariam pequenas 
variações de comprimento nas transições, mas nunca saltariam posições 
aleatórias porque algum dos sensores ainda não detectou a nova região. Isso 
porque só um deles altera seu estado por vez, como é possível ver na Figura 3.
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Figura 3. Disco de um encoder utilizando um padrão binário em código Gray 
para evitar transições de dois sensores simultaneamente e reduzir os erros de 
posição informados.
Fonte: Tokheim (2013, p. 179).
Sistemas digitais costumam transmitir dados de forma serial. Isso significa que cada 
bit deve ser enviado individualmente, respeitando-se o tempo necessário para que o 
receptor identifique corretamente cada um deles. Porém, nem todos os bits podem 
ter algum significado para a aplicação em si. Muitos métodos de transmissão incluem 
cabeçalhos para informar meios intermediários de comunicação ou detectar erros, 
como é o caso do bit de paridade. Estes são bits adicionados à informação que se 
deseja transmitir e são utilizados como mecanismo de controle, para aumentar a 
eficiência ou a confiabilidade do sistema.
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TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas digitais: princípios e aplicações. 11. ed. 
Rio de Janeiro: Pearson, 2011.
TOKHEIM, R. Fundamentos de eletrônica digital: sistemas combinacionais. 7. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
Leituras recomendadas
CAPUANO, F. G.; IDOETA, I. V. Elementos de eletrônica digital. 41. ed. São Paulo: Érica, 1997.
FLOYD, T. L. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007.
SZAJNBERG, M. Eletrônica digital: teoria, componentes e aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2014.
TOKHEIM, R. Fundamentos de eletrônica digital: sistemas sequenciais. 7. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
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DICA DO PROFESSOR
A codificação é um dos maiores empecilhos enfrentados por sistemas analógicos que pretendam 
substituir os digitais.
Nesta Dica do professor, você vai entender a dificuldade de manipular com exatidão 
informações de maneira analógica. Além disso, vai entender como um sistema de numeração 
adequado interfere no projeto de circuitos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Quais são os três tipos de sistemas numéricos mais utilizados em sistemas digitais?
A) Binário, heptadecimal e decimal.
B) Decimal, binário e octal.
C) Octal, hexadecimal e decimal.
D) Binário, octal e hexadecimal.
E) Heptadecimal, octal e binário.
2) De que forma o número decimal 983 será representado no formato BCD? 
A) 0001 1000 01012.
B) 1001 1000 00112.
C) 1001 1000 112.
D) 0111 0110 00112.
E) 1001 1000 01002.
3) Qual é o produto da multiplicação dos binários 100102 e 10112?
A) 110001102.
B) 110001112.
C) 110011102.
D) 100001102.
E) 110001002.
4) Qual opção representa a correta conversão do número 1010112 para o sistema 
decimal?
A) 88.
B) 86.
C) 24.
D) 43.
E) 42.
5) Assinale a opção que apresenta as corretas conversões de sistema para o número 
hexadecimal F516.
A) 111101012 / 3658 / 24510.
B) 11111012 / 1758 / 12510.
C) 010111112 / 1378 / 9510. 
D) 1111012 / 758 / 6110.
E) 010001012 / 2458 / 58110.
NA PRÁTICA
A miniaturização dos circuitos digitais é um dos parâmetros mais importantes para se obterem 
melhores desempenhos. Isso se dá não por conta do tamanho em si, mas pela maior densidade 
de processamento embutida em um único chip, além da redução de consumo associado ao 
processador.
Para tanto, é importante que a integração de determinadas funções seja feita de maneira a 
reduzir a quantidade de circuitos lógicos necessários para atender a uma ampla variedade de 
funções de processamento.
Acompanhe Na Prática. 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Código de Gray
Veja neste vídeo como converter binário comum para o código de Gray.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Como funciona o sistema binário
Este vídeo compara os sistemas decimal e binário, traz os conceitos de dígitos mais e menos 
significativos e ainda apresenta a conversão de binário para decimal.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Bit de sinal e complemento de 2
Este vídeo discorre sobre o problema de apresentação do sinal para números negativos em 
circuitos digitais.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!