08 - Escoamentos Variáveis sob pressão

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HIDRÁULICA I – CAPÍTULO VIII Escoamentos Variáveis sob Pressão 
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 8-1
8 ESCOAMENTOS VARIÁVEIS SOB PRESSÃO 
 
8.1 TIPOS DE ESCOAMENTO. PROBLEMAS E APROXIMAÇÕES 
 
No escoamento variável, os parâmetros caudal, velocidade e mesmo a pressão variam com o 
tempo: 
 
Q = Q ( t ), 
U = U ( t ) ; 
p = p ( t ) ; 
 
A ocorrência do escoamento variável sob pressão, tem como causas principais: 
 manobras de válvulas (abertura e fecho), 
 variação do consumo de água ao longo da conduta; 
 variação do regime de funcionamento das bombas ou turbinas; 
 variação do nível do reservatório de alimentação; 
 outras causas particulares 
 
O escoamento transitório corresponde ao escoamento variável na passagem dum regime 
permanente para outro regime permanente; 
 
Podem encontrar-se diferentes tipos de escoamento variável sob pressão: 
 
Golpe de Ariete – entra-se em linha de conta com a compressibilidade da água e a 
deformabilidade da conduta; 
 
Oscilação em Massa – para a análise deste fenómeno, despreza-se a compressibilidade da 
água e deformabilidade da conduta; 
 
Escoamento quase permanente; 
 
 
8.2 GOLPE DE ARIETE. ANÁLISE QUALITATIVA 
8.2.1 Fecho total e instantâneo do obturador 
 
 
Reservatório de grandes dimensões 
 
γγ ⋅≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅= 0
2
00 yg2
Uyp 
fig. 1 – Esquema reservatório obturador no regime permanente 
 
Situação inicial: 
Obturador aberto 
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No t=0 temos o fecho instantâneo do obturador. Caso se considerasse o líquido 
incompressível e a conduta indeformável, todo o líquido ficaria na altura do fecho, 
instantaneamente imobilizado e a aceleração seria negativa e infinita. Tal situação não é 
fisicamente possível. 
No entanto, para a análise deste fenómeno, considera-se como simplificação, a 
deformabilidade da conduta como sendo desprezável. 
 
Como o líquido real é compressível, então: 
 este continua a mover-se no instante do fecho, para o obturador; 
 Só uma camada muito próxima do obturador se imobiliza e fica comprimida.; 
 A camada próximo do obturador sofre uma sobrepressão Δp 
 
 
ppp 01 Δ+= 
Fig.2 – propagação da onda do reservatório para o obturador 
 
 
O limite da zona imobilizada, funciona como o obturador fechado, produzindo-se uma onda 
que se propaga no sentido do obturador-reservatório. Assim, distingue-se duas zonas bem 
distintas: 
 
 Zona já atingida pela onda, onde U1 = 0, p1 = p0 + Δp 
 Zona ainda não atingida, onde U = U0 e p = p0 ; 
 
A onda propaga-se a uma velocidade que é chamada de celeridade. Esta chega ao reservatório 
ao fim do tempo t = L/C : 
 
Neste momento: 
 Toda a água na conduta está parada (fig. 2); 
 Todo o líquido contido na conduta está sujeito à sobrepressão Δp; 
 Há um desequilíbrio de pressões na secção que liga a conduta ao reservatório, sendo 
p1 > p0; 
 
 
 
Como p1 > p0 o escoamento dá-se da conduta para o reservatório com uma velocidade U0. 
(escoamento dá-se no sentido enquanto que a onda se propaga no sentido inverso
 ). 
 
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A pressão na zona descomprimida reduz-se a p0 : 
 
 
 
O limite da zona descomprimida funciona como anteriormente a secção de ligação conduta-
reservatório. Há uma onda que se propaga com celeridade C do reservatório para o obturador: 
 
 Zona já atingida pela onda, onde U2 = - U0, p2 = p0 
 Zona ainda não atingida, onde U1 = 0 e p1 = p0 + Δp; 
 
A onda atinge o obturador no instante t = 2L/C. 
Toda a conduta tem líquido com velocidade U2 = - U0, e também p2 = p0 ; 
O líquido continua a escoar-se da conduta para o reservatório, até que a camada junto ao 
obturador fica imóvel e a água nessa camada sofre uma descompressão: 
 
 
 
Fig.5 – Líquido da junto ao obturador com velocidade nula 
 
O limite da zona descomprimida funciona como anteriormente o obturador. 
Há uma onda que se propaga com celeridade C para o reservatório: 
 
 Zona já atingida pela onda, onde U3 = 0, p3 = p0 - Δp 
 Zona ainda não atingida, onde U2 = - U0 e p2 = p0; 
 
A onda atinge o obturador no instante t = 3L/C 
Toda a conduta tem líquido em repouso e com pressão p3 = p0 - Δp; 
 
Há um desequilíbrio de pressões na secção de ligação 
conduta – reservatório e devido a essa diferença vai 
haver escoamento de água do reservatório para a 
conduta. 
 
Na camada junto ao reservatório, a velocidade passa a ser igual a U0 e a pressão p0. 
 
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Fig. 6 – Situação em que a onda atinge o obturador no instante t = 4L/C 
 
A nova onda atinge o obturador no instante t = 4L/C 
 
As condições do sistema nos instantes t = 0 e t = 4L/C são as mesmas. Por isso o ciclo repete-
se! 
 
Podem ser traçados os diagramas de pressões e velocidades em qualquer secção da conduta. 
 
 
 
 
Fig. 7 – Exemplo da secção do obturador 
 
Se o tempo de fecho Tf < 2L/C estamos perante uma manobra rápida. 
 
 
8.2.2 Fecho não instantâneo do Obturador 
 
Neste caso, o obturador é fechado dentro de um determinado período de tempo T e considera-
se a manobra de fecho total como sendo uma sucessão de manobras de fechos parcelares. 
 
Cada manobra parcelar é instantânea e origina uma redução da velocidade e uma 
sobrepressão junto do obturador, originando uma onda que se propaga para o reservatório. 
 
Como as manobras parcelares se sucedem no tempo, as ondas que originam estão desfasadas. 
 
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Assim, considerando uma manobra rápida (Tf < 2 L/C): 
 
 A depressão (-Δp) provocada pela primeira manobra parcelar, só chega ao obturador 
ao fim do tempo T1 = 2L/C > Tf; 
 Todas as sobrepressões provocadas pelas manobras parcelares, somam-se; 
 a sobrepressão máxima junto do obturador é igual à da situação do fecho instantâneo. 
 
Considerando uma manobra lenta (Tf > 2 L/C): 
 
 A depressão (-Δp) provocada pela primeira manobra parcelar, só chega ao obturador 
ao fim do tempo T2 = 2L/C < Tf; 
 As sobrepressões provocadas pelas últimas manobras parcelares, sobrepõem-se às 
depressões das primeiras manobras parcelares; 
 a sobrepressão máxima junto do obturador será menor do que no caso da manobra 
instantânea e tanto menor quanto maior for < Tf /(2L/C); 
 Só parte da conduta fica sujeita a uma sobrepressão máxima igual à sobrepressão 
máxima no obturador para o caso de manobra rápida; 
 
 
 
 Tf + (x/c) = (2L – x) / c x = L – (Tf .c/ 2) 
 
Admite-se que a sobrepressão máxima se reduz linearmente desde a secção x até ao 
reservatório, onde se anula. 
 
 
Fig. 8 – Modo como se distribui o Tf no fecho instantâneo do obturador 
 
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No caso da manobra lenta, a redução dá-se desde o obturador. 
 
8.2.3 Medidas a adoptar em condutas a montante deturbinas 
O golpe de ariete pode ocorrer a montante de turbinas em situações tais como: 
 a diminuição da demanda de energia; 
 redução do caudal nas turbinas; 
 fecho total ou parcial da admissão de água na conduta, entre outras. 
 
O objectivo das medidas a adoptar para evitar este fenómeno, é fazer reduzir as sobrepressões 
máximas que ocorre nas condutas a montante das turbinas. 
 
Procura-se assim aumentar o valor do parâmetro Tf / (2L/c). Assim, algumas medidas 
poderão ser tomadas, tais como: 
 
 intercalar na conduta uma chaminé de equilíbrio, reduzindo-se desta maneira o valor 
de L; 
 aumentar o Tf, condicionado pela velocidade de rotação máxima admissível para as 
turbinas; 
 Instalar válvulas de descarga automática. São dispositivos que abrem quando as 
admissões para as turbinas fecham; por outro lado, fecham lentamente sem provocar 
grandes sobrepressões; 
 
8.2.4 Golpe de Ariete a jusante de uma bomba 
 
O corte de alimentação de energia a uma bomba, pode ser provocado quer por uma manobra 
comandada pelo operador, por uma manobra com comando automático ou ainda por uma 
avaria. 
 
Como consequência desta corte, a velocidade de rotação da bomba diminui até parar e como 
consequência o caudal bombado também. 
 
A colocação de uma válvula de retenção junto à bomba é muito importante pois impede a 
inversão do caudal através desta. 
 
Na altura do arranque de uma bomba há que ter em consideração o tempo para se atingir o 
regime permanente. Na altura de paragem de uma bomba o tempo Ta corresponde ao tempo 
de anulação do caudal. 
 
Com a paragem da bomba, gera-se uma situação simétrica à do fecho do obturador, gerando-
se inicialmente depressões a jusante da bomba: 
 
 
Fig. 9 – distribuição das depressões quando paragem da bomba 
 
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8.2.5 Rotura da veia líquida 
 
Se (p0 – Δp) baixar mais do que a tensão de saturação do vapor ocorrem os seguintes 
fenómenos: 
 
 dá-se o que se chama de rotura da veia líquida; 
 há a formação de cavidades com vapor de água. 
 
 
 
As consequências possíveis ao ocorrer estes fenómenos são: 
 
 dá-se o colapso da conduta por pressões internas (altas pressões na reposição 
da veia); 
 colapso da conduta por pressões externas (excesso de pressões exteriores 
durante a rotura da veia); 
 
A rotura da veia pode não ocorrer junto à bomba e surgir num ponto alto da conduta, 
dependendo do traçado altimétrico da conduta. 
 
As condutas elevatórias (chamadas normalmente de condutas de adução) precisam de ser 
protegidas contra os efeitos do golpe de ariete (sobrepressões e depressões). 
 
 
8.3 GOLPE DE ARIETE. ANÁLISE QUANTITATIVA SIMPLIFICADA 
 
A análise rigorosa do Golpe de Ariete, é feita por um modelo matemático que entra em 
consideração com a compressibilidade do líquido e a deformabilidade da conduta. As 
equações diferenciais do modelo são: 
 
 Equação da continuidade; 
 Equação do movimento; 
 Condições iniciais, 
 Condições de fronteira. 
 
Normalmente, a resolução é feita por métodos numéricos. 
 
8.3.1 Sistema rerservatório-conduta-obturador 
 
Neste caso desprezam-se as perdas de carga e a energia cinética 
 
a) – Manobra rápida: (T< 2L/C) 
∆p = ( y1 – yo) . γ 
 
Equação de Allievi-Joukowski: 
y1 – yo = c/g (U0 – U1) 
 
Equação da Continuidade: 
U1 . A = S1 . (2.g.y1) ½ 
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Em que: 
U1 = secção da conduta; 
S1 = secção aberta do obturador 
 
Quando temos um fecho total rápido, U1 = S1 = 0, então: 
 
y1 – yo = (c/g) . U0 
 
A celeridade c, depende das características elásticas da conduta e do líquido e define-se como 
sendo: 
ψε
ρ
ε
⋅+
=
E
1
C 
 
ε - módulo de elasticidade volumétrica do líquido; 
 
E - módulo de elasticidade da conduta 
 
ψ - coeficiente adimensional que depende das características de deformação da 
conduta e do meio envolvente. 
 
Para água e condutas metálicas ou de betão, C ≈ 900 – 1300 m/s; 
 
Fórmula de MICHAUD (para utilizar em estudos preliminares): 
 
ymáx – y0 = (2L/T) . ( U0/g) para T > 2L/C 
 
8.3.2 Conduta a jusante duma Bomba 
 
Fórmula de ROSISH ( 1970): 
Ta = C + ( K.L.U0 / g. Ht) 
 
Para U0 > 0,5 m/s 
Ta = tempo de anulação do caudal [s]; 
L = comprimento da conduta elevatória [m] 
Ht = altura total de elevação [m] 
U0 = velocidade no regime permanente [m/s] 
C = parâmetro que depende do declive da conduta no sentido do escoamento, isto é, (Ht/L). 
Toma o valor de 1s quando declive < 20% e anula-se para declive > 40%; 
K = coeficiente adimensional, dependente de L: 
 
 K = 2 para L < 500; 
 K = 1 para L > 1 500, 
 K ≈ 2,5 – (L / 1000) para 500 < L < 1500 
 
 
 
 
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8.4 PROTECÇÃO DE CONDUTAS ELEVATÓRIAS CONTRA O 
GOLPE DE ARIETE 
 
Os objectivos da protecção das condutas é o de: 
 
 evitar a rotura da veia líquida; 
 reduzir a sobrepressão máxima. 
 
São usados normalmente os seguintes dispositivos: 
 
Volantes de inércia: 
 aumentam o tempo de paragem das bombas; 
 fazem melhor efeito em condutas curtas. 
 
Chaminé de Equilíbrio: 
 reduz o comprimento da conduta sujeita ao golpe de ariete; 
 ocupa no entanto muito espaço. É muito usado em condutas para turbinas; 
 
Reservatórios Hidropneumáticos: 
 
 
 
 
Reservatórios Unidireccionais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chamados também de 
hidropressores 
– fica no seu interior gás sob 
pressão; 
 Alimentam as condutas 
(sobretudo em pontos altos) 
quando as cotas piezométricas 
nesses pontos se tornam 
inferiores ao nível dos 
reservatórios. 
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Condutas de Curto-circuito (By-pass): 
 
 
 Condutas que estão ligadas ao reservatório de alimentação da bomba; 
 Alimenta a conduta principal quando a cota piezométrica na conduta cai abaixo do 
nível do reservatório; 
 Trechos munidos de válvula de retenção ou outra especial; 
 
 
8.5 OSCILAÇÃO EM MASSA 
 
Admite-se nestes casos, que: 
 
 Líquido é incompressível; 
 Conduta indeformável. 
 
O modelo rígido só é válido para sistemas ALBUFEIRA – GALERIA – CHAMINÉ DE 
EQUILÍBRIO 
 
 
 
A situação inicial, U = U0 na galeria. O tempo T = 0 é o tempo do fecho instantâneo da 
admissão às turbinas. Na hipótese simplificativa desprezam-se tanto as perdas de carga como 
a carga cinética na galeria. 
 
Os níveis na chaminé e na albufeira são iguais antes da paragem das turbinas. 
 
 Quando há paragem do líquido na conduta forçada, o escoamento na galeria 
continua e a água penetra na chaminé; 
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 A subida de nível na chaminé, aumenta a pressão na secção de ligação com a 
galeria, originando uma desaceleração do escoamento na galeria até à sua 
paragem; 
 
 Quando o escoamento na galeria pára, o nível na chaminé atingiu o máximo e 
é superior ao nível na albufeira. Passa então a haver escoamento da chaminé 
para a albufeira, com velocidade inicial U = - U0. 
 
 O escoamento para a albufeira faz baixar o nível na chaminé. Há aceleração no 
escoamentodentro da galeria enquanto o nível na chaminé é superior ao da 
albufeira; 
 
 A aceleração decresce com a diminuição da diferença de nível. Quando os 
níveis são iguais, a aceleração é nula; 
 
 O escoamento torna-se desacelerado quando o nível na chaminé se torna 
inferior ao da albufeira. Quando o escoamento na galeria se anula, o nível na 
chaminé é o mínimo; 
 
 O CICLO REPETE-SE!! 
 
A energia potencial correspondente à máxima diferença de nível de água (positiva ou 
negativa) entre a chaminé e a albufeira é igual à energia cinética do escoamento com 
velocidade inicial U0. 
 
 
8.6 ESCOAMENTOS QUASE PERMANENTES 
 
Os escoamentos quase permanentes são escoamentos variáveis em que a aceleração é muito 
reduzida, sendo por isso estudados como se tratassem, em cada instante, de escoamentos 
permanentes. 
 
É o caso vertente do esvaziamento de um reservatório por um orifício no extremo de uma 
conduta. 
 
 
 
 
Num dado instante t, com o nível à cota z, tem-se, considerando o 
movimento como permanente: 
 
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Em que: 
V = velocidade de saída do jacto de água; 
ΔH = perda de carga total. 
 
Tratando-se de um escoamento puramente turbulento: 
 
 Z = β . Q2 
 
O valor de β pode ser determinado a partir das características do orifício e da conduta. 
A variação da cota da superfície no intervalo de tempo elementar dt, é: 
 
- Az . dz = Q . dt 
ou, 
12
2
1z tt
Z
dzA2 −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅ β 
 
sendo Az a área da superfície livre do reservatório à cota z. 
 
Assim, se Az for constante (Az = A), as cotas da superfície livre Z1 e Z2 em instantes t1 e t2 
são tais que: 
12
21
2
21
1 tt)ZZ(A2 −=−⋅⋅⋅ β 
 
As perdas de carga na galeria e na chaminé, conduzem a um amortecimento do movimento 
sinusoidal.