Teorema de Pitágoras

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Prof. André da Costa 
 
1 costa.andrecs@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo 
interno reto (90°). 
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes 
especiais. Estes nomes são dados de acordo com a 
posição em relação ao ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
◾ Catetos: são os dois lados que formam o ângulo 
reto. 
◾ Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pitágoras foi um filósofo grego e 
matemático que nasceu cerca de 
569 anos a.C., em Samos, uma 
ilha grega na costa marítma que 
hoje é Turquia. Basicamente é 
reconhecido como um matemático 
e geómetra, especialmente por ser 
a ele atribuído um dos mais 
clássicos teoremas da geometria. 
 
A matemática da Grécia Antiga se desenvolveu em 
diversas escolas que sucederam umas às outras. A 
Escola Jônica, de Tales de Mileto, perdeu 
gradativamente sua importância e foi suplantada 
pela Escola Pitagórica, cujo fundador foi Pitágoras. 
Nascido na ilha de Samos, também na Jônia e 
próxima a Mileto. 
 
Pitágoras, que teria sido aluno de Tales, realizou 
viagens em um sua juventude e terminou por 
estabelecer-se na cidade de Crotona, na costa 
sudeste da Itália. 
Em Crotona, formou-se em torno de Pitágoras uma 
irmandade religiosa, filosófica e científica, uma 
escola de pensamento onde o “racionalismo grego 
convivia com elementos de misticismo.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO(A): ________________________________ 
SÉRIE: ___________ DATA:___/___/_____ 
PROFESSOR(A): ____________________________ 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Observe que a hipotenusa 
sempre está oposto ao ângulo 
reto (90°) e os outros dois 
lados são os catetos. 
UM POUCO DE HISTÓRIA 
569 a.C. - 475 a.C. 
9° ano 
André da Costa de Souza 
 
 
 
Prof. André da Costa 
 
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A Escola pitagórica, foi uma das principais escolas 
da filosofia grega pré-socrática, foi fundada na 
peninsula itálica, na cidade de Crotona por 
Pitágoras. 
O pentagrama (estrela de 5 pontas) era o símbolo da 
escola e o seu lema era “Tudo é número”, ou seja, 
para eles tudo no Universo era regido pelos números 
(padrões) e suas relações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
» Exemplo: 
 
Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e 
catetos b e c 
 
 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras vale 
 
a2 = b2 + c2 
 
 
 
 
 
 
 
» Demonstrações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‘Escola de Atenas’, de Rafael, Palácio Apostólico no Vaticano. 
Estão representados: Pitágoras (em primeiro plano, no canto 
inferior esquerdo com um livro na mão e com uma túnica 
branca sobre as pernas), Zenão, Epicuro, Rafael, Anaximandro, 
Averroes, Alcibíades, Antístenes, Hipatia, Xenofonte, 
Parménides, Sócrates, Heráclito, Platão, Aristóteles, 
Diógenes, Plotino, Euclides, Zoroastro, Ptolomeu e Protógenes. 
Indicações de vídeos para saber mais... 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
Teorema: "Em qualquer triângulo retângulo o 
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos: 
 
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 
 Este é um teorema específico 
para o triângulo retângulo!!! 
52 
42 
32 
25 16 9 
 
 
 
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01) Calcule o valor de x, em cada item: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
Indicações de vídeos para saber mais... 
52 = 42 + 32 
102 = 82 + 62 
x2 = 52 + 122 
x2 = 25 + 144 
x2 = 169 
x = √𝟏𝟔𝟗 
x = 13 
42 = x2 + 32 
16 = x2 + 9 
16 − 9 = x2 
x2 = 7 
x = √𝟕 
(5√𝟐)2 = x2 + 52 
52·(√𝟐)2 = x2 + 25 
25·√𝟒 = x2 + 25 
25·2 = x2 + 25 
50 = x2 + 25 
50 − 25 = x2 
x2 = 25 
x = √𝟐𝟓 
x = 5 
 
 
 
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01) Use o Teorema de Pitágoras e determine o valor 
de x em cada triângulo retângulo. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aprendizagem 
 
 
 
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i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
28 
21 
x 
√10 
√10 
x 
5 
√29 
x 
5 
11 
32 
24 
x 
7,5 
4,5 
x 
3√11 
 
3√2 
 
x 
 
 
 
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02) Determine a medida da diagonal de um retângulo 
que tem 10 cm de largura e 24 cm de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Use a relação de Pitágoras e determine o valor 
de x em cada item. Simplifique o radical obtido. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Uma escada de 17 m de comprimento está 
apoiada em uma parede a 15 m do chão. Qual é a 
medida, no nível do chão, da escada até a parede? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 cm 
24 cm 
x 
● 
● 
 
 
 
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05) Uma escada de 2,5 m de comprimento está 
apoiada em uma parede e seu pé dista 1,5 m da 
parede. Determine a altura da sombra da escada na 
parede, nessas condições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Determine x nos casos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Determine o valor da altura h, em cada caso. 
 
a) triângulo isósceles b) triângulo equilátero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) O portão de entrada de uma casa tem 4 m de 
comprimento e 3 m de altura. Que comprimento teria 
uma trave de madeira que se estendesse do ponto A 
até o ponto C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Durante um incêndio em um edifício de 
apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada 
Magirus de 40 m para atingir a janela do apartamento 
sinistrado. A escada estava colocada a 1 m do chão, 
sobre um caminhão que se encontrava afastado 24 m 
do edifício. Qual é a altura do apartamento 
sinistrado em relação ao chão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Quantos metros de fio são necessários para 
“puxar luz” de um poste de 6 m de altura até a caixa 
de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do 
poste? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Carla ao procurar seu gatinho o avistou em cima 
de uma árvore. Ela então pediu ajuda a sua mãe e 
colocaram uma escada junto à árvore para ajudar o 
gato a descer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o gato estava a 8 metros do chão e a 
base da escada estava posicionada a 6 metros da 
árvore, qual o comprimento da escada utilizada para 
salvar o gatinho?a) 8 metros. 
b) 10 metros. 
c) 12 metros. 
d) 14 metros. 
 
 
 
 
 
12) (IFRS - 2016) Na figura abaixo, o valor de x e y, 
respectivamente, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 4√2 e √97 
b) 2√2 e 97 
c) 2√2 e 2√27 
d) 4√2 e 2√27 
e) 4√2 e 97 
 
13) Uma escada de 12 metros de comprimento está 
apoiada sob uma casa. A base da escada está 
distante da casa cerca de 8 metros conform e a 
figura abaixo. Determinarem a altura da parede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Em seu quintal, Sara decidiu criar um jardim no 
formato de um triângulo retângulo. Para isso é 
importante que ela saiba as dimensões dos lados 
desse triângulo. Analisando a imagem, podemos 
afirmar que o valor da hipotenusa é: (Use √13 = 3,6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) 10 cm 
b) 13,4 cm 
c) 15,2 cm 
d) 16 cm 
e) 14,4 cm 
 
15) Ao encerrar o expediente de trabalho, Talita 
chamou um táxi para retornar à sua casa. No 
caminho, o semáforo sinalizou a cor amarela, mas o 
motorista ainda estava muito distante. Em seguida, 
foi sinalizado vermelho, e o motorista parou a uma 
distância horizontal de 3 m de um semáforo que 
possui 4 m de altura. Analisando a imagem, qual é o 
comprimento representado por x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 2 m 
b) 3 m 
c) 4 m 
d) 5 m 
e) 6 m 
 
16) Imagine que você está no ponto vermelho 
indicado na figura a seguir e pretende chegar ao 
outro ponto sinalizado com “i”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que o ângulo formado pelas ruas destacadas 
seja de 90°, se você não seguisse o caminho 
tracejado e fosse possível chegar ao seu destino 
através de uma linha reta, quantos quilômetros você 
percorreria? 
 
 
17) Sabendo que a distância entre os pontos A e C é 
de 60 metros e dos pontos B e C é de 80 metros, 
sabendo que a distâncias AC e BC são 
perpendiculares (formam um ângulo reto), qual a 
distância entre os pontos A e B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Uma antena de TV é sustentada por três cabos, 
como mostra a figura. A antena tem 8 m de altura e 
cada cabo deve ser preso no solo a um ponto distante 
a 6 m da base da antena. Quantos metros de cabo 
serão utilizados para sustentar a antena? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19) O teorema de Pitágoras é um dos mais 
importantes de toda a Geometria. O seu 
conhecimento é a chave da resolução desta questão. 
Determine as medidas x, y, z e w indicadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do 
tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o 
solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 
m, e sabendo que a ponta da parte quebrada está a 3 
m da base da árvore, qual a altura do tronco da 
árvore que restou em pé? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Qual é a distância percorrida pela bolinha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) (Enem) Construir figuras de diversos tipos, 
apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem 
tesoura, é a arte do origami (ori =dobrar; kami = 
papel), que tem um significado altamente simbólico 
no Japão. A base do origami é o conhecimento do 
mundo por base do tato. Uma jovem resolveu 
construir um cisne usando a técnica do origami, 
utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. 
Assim, começou por dobrar a folha conforme a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento 
AE é 
 
a) 2√22 cm. 
b) 6√3 cm. 
c) 12 cm. 
d) 6√5 cm. 
e) 12√2 cm. 
 
 
23) A que altura a escada está do solo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24) No triângulo a seguir, calcule o valor de x em 
centímetros. 
 
 
 
 
 
 
25) Qual deve ser o comprimento da peça de ligação 
do telhado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) A Torre Eiffel é uma torre treliça de ferro do 
século XIX localizada no Champ de Mars, em Paris, 
que se tornou um ícone mundial da França e uma das 
estruturas mais reconhecidas no mundo. Nomeada 
em homenagem ao seu projetista, o engenheiro 
Gustave Eiffel, foi construída como o arco de 
entrada da Exposição Universal de 1889. A torre 
possui 324 metros de altura. Uma pomba voou em 
linha reta do seu topo até o ponto M. A distância do 
centro da base do monumento até o ponto M é igual 
a 15 m, como mostra a ilustração abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual foi a distância, em metros, percorrida por essa 
pomba? 
 
 
27) Numa chácara, deseja-se construir uma ponte. 
Para tanto, o proprietário fez um desenho com as 
medições do local. Observando o desenho, qual será 
aproximadamente o comprimento dessa ponte? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) No topo de um prédio, foi colocada uma escada 
com 17 m de altura. Sabendo que essa escada está a 
uma distância de 8 m do prédio, calcule a altura do 
mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Qual a distância percorrida em linha reta, por um 
avião do ponto A até o ponto B, quando ele alcança a 
altura indicada na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30) Aplicando o teorema de Pitágoras, calcule o valor 
de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Utilizando o teorema de Pitágoras, determine as 
medidas indicadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Três cidades, A, B e C, são interligadas por 
estradas, conforme a figura abaixo. As estradas AB 
e BC já são asfaltadas, e AC deverá ser asfaltada em 
breve. Sabendo que AB tem 30 km e BC tem 17 km, 
quantos quilômetros precisarão ser asfaltados para 
asfaltar toda a estrada AC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) Na figura estão apresentadas três cidades, 
deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade 
A a cidade B, com o menor comprimento possível. 
Qual deverá ser o comprimento dessa estrada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) Pedro e João estão brincando de gangorra, como 
indica a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é o comprimento da gangorra? 
 
 
 
 
 
 
 
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35) Na figura abaixo tem-se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . Nessas 
condições, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) a medida do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
b) a medida do lado 𝐴𝐷. 
 
 
36) Na figura abaixo tem-se que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐹 é o 
ponto médio do lado 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ do retângulo BCDE. Nessas 
condições, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) a medida x indicada na figura. 
b) a área do retângulo BCDE. 
 
 
37) Na figura abaixo, o triângulo BCD é equilátero. 
Nessas condições, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) o perímetro do triângulo BCD. 
b) o perímetro do quadrilátero ABCD. 
 
38) O acesso a uma garagem situada no subsolo de 
uma casa é feito por rampa, conforme nos mostra o 
desenho: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que a rampa AC tem 10,25 metros de 
comprimento, e a altura BC da garagem é 2,25 
metros. A distância AB entre o portão e a entrada da 
casa é de quantos metros? 
 
39) Observe o desenho abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dados apresentados nesse 
desenho, a altura do mastro da bandeira é igual a 
 
a) 2 m 
b) 10 m 
c) 35 m 
d) 50 m 
 
 
 
 
 
 
 
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40) Paulo está soltando pipa. No momento em que ela 
está voando sobre uma casa que está a uma distância 
de 32 metros de Paulo, o comprimento da corda da 
pipa mede exatamente 68 metros, conforme mostra 
a figuraabaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse momento, a que altura a pipa se encontra em 
relação ao solo? 
 
a) 36 metros 
b) 60 metros 
c) 75 metros 
d) 100 metros 
 
41) Um eletricista está fazendo manutenção na rede 
elétrica. Ele apoiou uma escada no topo do poste de 
luz, para executar seu serviço. O poste tem 12 m de 
altura e a escada se encontra a 5 m da base do poste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é o comprimento da escada? 
 
a) 7 m 
b) 13 m 
c) 15 m 
d) 17 m 
42) Uma quadra de futebol está representada na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa quadra retangular tem 20 m de comprimento e 
15 de largura. Duas pessoas estão colocadas nos 
vértices P e Q. 
A distância entre as duas pessoas é 
 
a) 25 m 
b) 35 m 
c) 70 m 
d) 300 m 
 
43) A ilustração abaixo representa um mapa de uma 
pequena região central de uma cidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que o comprimento do percurso para ir do 
ponto A ao ponto C, passando por B, é 350 m. Se o 
comprimento do trajeto de B até C é de 150 m, qual 
é a distância do percurso de A até C em linha reta? 
 
a) 200 m 
b) 250 m 
c) 350 m 
d) 500 m 
e) 625 m