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 CÁLCULO I 
 
Material de Apoio: FUNÇÕES 
 
Função de uma variável real 
 
 
1) DEFINIÇÃO, DOMÍNIO E IMAGEM 
 
Sejam D e C conjuntos não vazios. Chama-se função de D em C e indica-se por 
CDf :
, qualquer 
correspondência que associa a cada elemento 
Dx
 (domínio), um único 
Cy
 (contradomínio). 
A variável 
x
 que assume valores do conjunto 
D
 da função chama-se variável independente e a variável 
y
que assume valores do conjunto 
C
chama-se variável dependente. Para indicar que os valores de 
y
estão associados 
aos valores de 
x
 através da função 
f
, sempre que possível, utilizamos uma fórmula do tipo 
)(xfy 
. 
 
 Exemplo: Seja y = f(x) dada pelo diagrama ao lado: 
 D(x) 1 1 C(y) 
 2 2 a) f(1) = 4, pois o valor de y = f(x) quando x = 1 vale 4. 
 3 6 
 4 4 b) f(2) = f(3) = 1, pois para x = 2 ou x = 3 temos y = f(x) = 1. 
 5 5 
 8 c) f(4) + f(5) = 2 + 5 = 7 (verifique!) 
 y=f(x) 
 
Há diversas maneiras de se estabelecer a correspondência entre os elementos do Domínio e do 
Contradomínio. Às vezes se utiliza uma expressão algébrica ou fórmula que envolve as variáveis x e y. Às vezes um 
diagrama arbitrário, como no exemplo anterior. Outras vezes uma tabela de valores obtida numa experiência, etc. 
 
Exemplo: Seja D o conjunto dos números inteiros D=Z e seja C o conjunto dos reais C=R e a função y=g(x) dada 
pela fórmula 
1)( 2  xxgy
. Atribuindo-se a cada número inteiro 
Zx
, o seu quadrado mais um para achar 
o seu correspondente 
Ry
, obtemos uma função que tem alguns de seus pares indicados abaixo. 
 
 D=Z ... ... 0 C=R Se x = -2, temos 
51)2()2( 2 g
, logo
g )5;2(
. 
 -2 5 
 -1 -10 Se x = 3, temos 
101)3()3( 2 g
, logo 
g)10;3(
. 
 0 2 
 1 
2
 Se x = 4, temos 
171)4()4( 2 g
, logo 
g)17;4(
. 
 2 1 
 ... y = g(x) ... 

 De modo análogo, podemos obter inúmeros outros pares. 
 
 
 Observe que, em uma função, cada elemento do Domínio tem exatamente um correspondente no 
Contradomínio. Por outro lado, um elemento do Contradomínio pode estar associado a vários elementos distintos 
do Domínio, assim como pode não estar associado a nenhum elemento do Domínio. O conjunto dos elementos do 
Contradomínio que estão associados a algum elemento do Domínio (conjunto indicado com linha tracejada nos 
exemplos acima), chama-se Imagem da função e indica-se por I. Nos exemplos acima, temos 
 5,4,2,1)( fI
 e 
 ,...17,10,5,2,1)( gI
. 
 
2 
 
2) GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
Uma vez estabelecidos o Domínio, o Contradomínio e a correspondência entre seus elementos, o conjunto dos pares 
(x, y) obtidos pela fórmula podem ser tabelados e associados a pontos do Plano Cartesiano Oxy, com origem O. Cada 
ponto do gráfico é obtido pela intersecção de uma reta vertical traçada a partir de um valor de x (abscissa) com uma 
reta horizontal traçada a partir de um valore de y (ordenada). A figura geométrica assim obtida é o gráfico da função. 
 
Exemplo: As figuras abaixo são os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x) . 
 
x y 
1 4 
2 1 
3 1 
4 2 
5 8 
 
x y 
... ... 
-3 10 
-2 5 
-1 2 
0 1 
1 2 
2 5 
3 10 
... ... 
 
 
 
 
3) FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL 
 
As funções que tem como Domínio e Contradomínio o conjunto dos números reais ou parte dele, ou seja, 
Intervalos Reais, são chamadas de função de variável real. Muitas funções deste tipo são dadas somente por uma 
fórmula, sem nenhuma referência ao Domínio ou Contradomínio. Neste caso, adotamos para Domínio, o mais amplo 
conjunto de números reais, para os quais as operações indicadas na fórmula são possíveis e para Contradomínio o 
conjunto dos reais. Alguns valores convenientes da variável x podem ser escolhidos para montar uma tabela e os 
pontos do gráfico podem ser ligados por uma linha suave. 
Analisando a fórmula, podemos determinar o Domínio e em muitos casos também o conjunto Imagem da 
função. A partir do gráfico, podemos visualizar o Domínio como sendo a projeção do gráfico sobre o eixo x e o 
conjunto Imagem como sendo a projeção do gráfico sobre o eixo y. 
 
3 
 
Exemplo: Dada a função (de variável real) 
2)(  xxhy
, determinar: 
a) Domínio b) Imagem c) Gráfico 
 
 a) Domínio c) Gráfico 
 
202  xx
. Logo, 
 
 2/  xRxD
 ou 
[;2[ D
 
 
 b) Imagem 
 
.022  xx
 Logo, 
 
 0/)(  yRyhI
 ou 
[;0[)( hI
 
 
 
 
 
 
 
4) FUNÇÕES RELACIONADAS COM PROBLEMAS PRÁTICOS 
 
Inúmeros problemas práticos podem ser resolvidos e interpretados utilizando-se o conceito de função. 
Frequentemente as funções são utilizadas como modelos matemáticos, ou seja, utilizadas como aproximação 
aceitável de um fenômeno real, com a finalidade de entendê-lo, e se possível fazer previsões sobre o seu 
comportamento. 
 
Exemplo: Um fazendeiro dispõe de 40m de tela e deseja cercar uma área retangular utilizando um muro como um 
dos lados, para fazer um jardim. Determine: a) a função A(x), onde x (comprimento de um dos lados) é a variável 
independente em metros e A (área do retângulo) é a variável dependente em metros quadrados. b) A partir do gráfico 
da função, estime o valor de x para que a área do jardim seja máxima. 
 
 muro a) Função A(x) 
 Sejam x e y as medidas dos lados do retângulo e A, a sua área. 
 Sabemos que 
xyyx 240402 
 (I) 
 A x Como 
yxA .
(II), substituindo (I) em (II), temos: 
 
240)()240.()( xxxAxxxA 
 
 
 y 
 
 A(x) b) Valor estimado para x 
 
 200 Atribuindo-se alguns valores à variável x, obtemos a ta- 
 x A bela e o gráfico ao lado, onde verificamos por exemplo 
 0 0 150 que para x = 5ou x = 15, o valor da área é A = 150. O fato 
 5 150do gráfico possuir um ponto máximo, indica que há um 
 10 200 100 valor estimado em x = 10 metros, a ser utilizado pelo jar- 
 15 150 dineiro para obter uma área máxima estimada em A=200 
 20 0 50 metros quadrados. 
 
 0 
 5 10 15 20 x 
 
Observe que o gráfico não foi prolongado abaixo do nível A=0, pois, não tem sentido considerar valores 
negativos para a área. Portanto, nesta função, temos 
 200/  xRxD
e 
 2000/)(  ARAAI
. 
Nas aulas posteriores, veremos que o Cálculo Diferencial e Integral dispõe de técnicas mais eficientes para 
construir e investigar gráficos. Entretanto, inicialmente vamos utilizar estimativas em gráficos obtidos a partir de 
tabelas ou de calculadoras científicas que possuem este recurso. 
 
DOMÍNIO 
IM
A
G
EM
 
4 
 
Exercícios: 
 
1) Dadas as funções, calcule, se possível os valores solicitados. 
a) 
132)( 2  xxxf
 b) 
x
xxg
1
)( 
 c) 
23)( 2  uuuh
 
)0(f
 
)0(g
 
)0(h
 
)1(f
 
)2(g
 
)1(h
 
)(
2
1f
 
 )1(g
 
)3(h
 
)(af
 
)(bg
 
 )1(ah
 
 
2) Com o auxílio de uma tabela, esboce o gráfico das funções reais: 
a) 
3.2)(  xxf
 b) 
x
xg
1
)( 
 c) 
)1).(2()(  xxxh
 
 
3) Um objeto solto do alto de uma torre, tem sua altura h(t) em metros, após t segundos 
dada por 
644)( 2  tth
. 
a) Qual a distância do objeto até o solo após 2 segundos? R. 48m 
b) Que distância o objeto percorreu após 3 segundos? R. 28m 
c) Em que instante o objeto atingiu o solo? R. 4s 
d) Qual é a altura da torre? R. 64m 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A população P de uma cidade daqui a t anos é estimada através da fórmula 
t
tP 430)( 
 milhares de pessoas. 
a) Qual é a população estimada para daqui a 5 anos? R: 
29200
 pessoas 
b) Qual é o crescimento estimado da população durante o 5º ano? R: 
200
 pessoas 
 
5) Para cada uma das funções abaixo, calcule 
)( af 
, 
)( 1af
, 
)( af
 e 
)( 2af
. 
a) 
x
xf
1
)( 
 R: 
a
1
; 
a
; 
a
1
; 
2
1
a
 b) 
5
1
)(
2 

x
xf
 R: 
5
1
2a
; 
2
2
51 a
a

; 
5
1
a
; 
5
1
4a
 
 
6) Um cientista faz uma experiência na qual o tempo T estimado para um rato percorrer um labirinto na n-ésima 
tentativa é dado por 
n
nT 123)( 
 minutos. 
a) Quanto tempo ele demora na 3ª tentativa ? R: 
7T
min. 
b) Quanto tempo ele demora na 6ª tentativa ? R: 
5T
min. 
c) Esboce o gráfico. 
d) Que tendência ele observa quando n “aumenta muito”? 
 
 
 
 
 
 
h(t) 
5 
 
5) Características das funções 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
A análise matemática das características das funções permite uma compreensão do comportamento 
das grandezas representadas pelas mesmas. Por exemplo, para uma chaleira com água no fogo por um 
determinado período de tempo, podemos determinar uma função que relaciona a temperatura da água e o 
tempo, de maneira que podemos realizar análises sobre o comportamento da temperatura. No caso podemos 
afirmar, com base na experiência empírica do dia a dia, que a temperatura aumentará com o passar do 
tempo. 
Para um experimento onde se coloca um recipiente com água a 25ºC em um congelador temos que, 
com o passar do tempo, a temperatura da água diminuirá até 0ºC, a água mudará do estado líquido para o 
sólido, e depois a temperatura continuará diminuindo até -5ºC (temperatura mínima média para um 
congelador residencial). 
Desta maneira as características de uma função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥)}, são 
determinadas pela análise dos valores de y para um dado valor 𝑥. 
 
5.1) Intervalo para função crescente e decrescente 
Considerando que para cada valor de 𝑥 tem-se um valor correspondente para 𝑦, definido por 𝑦 =
𝑓(𝑥). Adotando-se uma variação crescente de 𝑥 em um dado intervalo (𝑥1, 𝑥2), temos a noção intuitiva de 
que a função é: 
 crescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2), se os valores de y também são crescentes no dado intervalo; 
 decrescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2) se os valores de y decrescem no dado intervalo. 
 
Definição : 
 para 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑓 é crescente quando 
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) no intervalo [𝑥1, 𝑥2] para 𝑥1 𝑒 𝑥2 ∈ 𝐴 tal que 𝑥1 < 𝑥2. 
 para 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑓 é decrescente quando 
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) no intervalo [𝑥1, 𝑥2] para 𝑥1 𝑒 𝑥2 ∈ 𝐴 tal que 𝑥1 < 𝑥2. 
 
Exemplo: Dada a função 𝑓(𝑥) representada no gráfico da a seguir, temos que a função é crescente no 
intervalo {𝑥 ∈ ℝ| − 2 < 𝑥 < 3} e decrescente no intervalo {𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 < 6}. 
 
 
 
 
       








x
y
6 
 
5.2) Raiz da função 
 
Denomina-se raiz ou zero da função, todo número 𝑥 para o qual 𝑓(𝑥) = 0, ou seja, o conjunto de 
valores de 𝑥 para 𝑦 = 0. 
Para a função exemplo dada pelo gráfico anterior, os pontos (1, 0) e (5, 0) que estão sobre o eixo 
das abscissas, temos os valores de 𝑦 = 0, logo as raízes da função são dadas pelo conjunto solução, ou 
conjunto verdade, 𝑉 = {1, 5}. 
Algebricamente o(s) valor(es) da(s) raiz(es), são determinados pela solução da equação 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Exemplos: 
 Para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 a raiz é determinada pela solução de 𝑓(𝑥) = 0, ou seja, 
2𝑥 − 1 = 0  2𝑥 = 1  𝑥 =
1
2
 
Logo o conjunto verdade é 𝑉 = { 
1
2
 } 
 Para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 a raiz é determinada pela solução de 𝑓(𝑥) = 0, ou seja, usando 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 ⇒ 
{
𝑥1 = 1
𝑥2 = 2
 
 
o método de Bháskara para solucionar uma equação de 2º grau igual 
a zero, temos 𝑥1e 𝑥2. 
Logo o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = {1, 2}. 
 
5.3) Intervalo para função positiva e negativa (sinais da função) 
 
Considerando que para cada valor de 𝑥 tem-se um valor correspondente para 𝑦, definido por 𝑦 =
𝑓(𝑥), o estudo dos sinais da função significa determinar se 𝑓(𝑥) > 0 ou se 𝑓(𝑥) < 0 em um dado intervalo 
(𝑥1, 𝑥2). Logo temos que a função é: 
 Positiva (+) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), se 𝑓(𝑥) > 0, ou seja, 𝑦 > 0 para 𝑥 variando no intervalo 
(𝑥1, 𝑥2); 
 Negativa (-) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), se 𝑓(𝑥) < 0, ou seja, 𝑦 < 0 para 𝑥 variando no intervalo 
(𝑥1, 𝑥2); 
 
Exemplo: Dada a função 𝑓(𝑥) representada pelo gráfico, temos que a função é positiva para o intervalo 
{𝒙 ∈ ℝ|𝟏 < 𝒙 < 𝟓} (Verifique na função qual o valor de 𝑦 para 𝑥 = 2; 𝑥 = 3; 𝑥 = 4 e 𝑥 = 6) e negativa 
para o intervalo {𝒙 ∈ ℝ| − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎 𝒐𝒖 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟔} (Verifique na função qual o valor de 𝑦 para 𝑥 =
−2; 𝑥 = −1; 𝑥 = 0 e 𝑥 = 6). 
 
 
Algebricamente podemos determinar o intervalo no qual a função é positiva solucionando a 
inequação 𝑓(𝑥) > 0 e negativa solucionando a inequação 𝑓(𝑥) < 0. 
 
Exemplos: 
 Para𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 a função é positiva para 𝑓(𝑥) > 0, ou seja, 
2𝑥 − 1 > 0 ⇒ 2𝑥 > 1 ⇒ 𝑥 >
1
2
 
Logo o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 >
1
2
}. 
 Para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 a função é negativa para 𝑓(𝑥) < 0, ou seja, 
       








x
y
7 
 
2𝑥 − 1 < 0 ⇒ 2𝑥 < 1 ⇒ 𝑥 <
1
2
 
Logo o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <
1
2
}. 
 
Exercício resolvido: 
 
Para a função dada pelo gráfico a seguir determine as características da função: 
OBS: Note que a função segue até a “borda” da imagem, isto denota a ideia de que a mesma continua para 
o infito, ou seja, a função continua para 𝑥 < −2 e para 𝑥 > 4. 
 
 Raízes - para 𝑓(𝑥) = 0, 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 3, logo 𝑉 = {−1,3} 
 crescente no intervalo - 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1} 
 decrescente no intervalo - 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 1} 
 positivo no intervalo - para 𝑓(𝑥) > 0, 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 1 ou 𝑥 > 3} 
 negativo no intervalo - para 𝑓(𝑥) < 0, 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 < 3} 
 crescente e positivo no intervalo - determinado pela intersecção do intervalo no qual a 
função é crescente e do intervalo no qual a função é positiva, 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3}. 
𝑥 > 1 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 3 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
𝑥 > 3 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
 crescente e negativa no intervalo - é determinado pela intersecção do intervalo no qual a 
função é crescente e do intervalo no qual a função é negativa, 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 3}. 
𝑥 > 1 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
−1 < 𝑥 < 3 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
1 < 𝑥 < 3 
 
−2 − 1 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
        








x
y
8 
 
Exercícios: 
 
1. Classifique a relações dadas como (V) para funções ou (F) para não funções: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
2. Para as funções dadas, determine: 
a raiz e o intervalo para 𝑓(𝑥) crescente 
 
intervalo para 𝑓(𝑥) < 0 
 
intervalo para 𝑓(𝑥) > 0 e o 
intervalo para 𝑓(𝑥) decrescente 
 
as raízes e o intervalo para 
𝑓(𝑥) > 0 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
3. Se 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−3
, calcule 𝑓(−2), 𝑓(0) e 𝑓(3,01). 
 
x
y
x
y
x
y
x
y
     







x
y
      






x
y
      






x
y
      






x
y
9 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
A função 𝑓, definida no conjunto dos Reais, tal que para todo e qualquer 𝑥 se tem associado um, e 
somente um, número Real constante 𝑐, ou seja, para ∀𝑥 ∈ ℝ com 𝑓(𝑥) = 𝑐 temos que 𝑦 = 𝑐, é 
denominada como função constante. 
Como exemplo temos a função 𝑤(𝑥) = 3 onde, pela regra de relação, verifica-se que para 𝑥 =
−4, 𝑤(−4) = 3; 𝑥 = 0, 𝑤(0) = 3; 𝑥 = 2, 𝑤(2) = 3, logo para qualquer valor de 𝑥 temos que 𝑦 = 3. 
Analisando as características da função exemplo 𝑤(𝑥) = 3 para 𝐷 = ℝ (domínio dos Reais): 
 para qualquer valor de 𝑥 temos que 𝑦 = 3, logo 𝐼𝑚 = {3} 
 raízes - como não se tem um ponto no qual 𝑤(𝑥) = 0, temos que o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
 crescente no intervalo - para qualquer intervalo de 𝑥, 𝑤(𝑥) não tem variação crescente, 
então não existe intervalo onde a função seja crescente, logo o conjunto verdade é vazio, 𝑉 =
∅; 
 decrescente; para qualquer intervalo de 𝑥, 𝑤(𝑥) não tem variação decrescente, então não 
existe intervalo onde a função seja decrescente, logo o conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
 𝑤(𝑥) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva; para qualquer valor de 𝑥 temos 𝑦 = 3, 
logo 𝑤(𝑥) > 0 , ou seja, o conjunto verdade é o domínio da função, 𝑉 = ℝ; 
 𝑤(𝑥) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer valor de 𝑥 temos 𝑦 = 3, 
logo para 𝑤(𝑥) < 0 o conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
𝑤(𝑥) = 3 
 
𝑡(𝑥) = −1 
 
 
Analisando as características da função exemplo, 𝑡(𝑥) para 𝐷 = ℝ (domínio dos Reais): 
 para qualquer valor de 𝑥 temos que 𝑦 = −1, logo 𝐼𝑚 = {−1} 
 raízes - como não se tem um ponto no qual 𝑡(𝑥) = 0, temos que o conjunto solução, ou 
conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
 crescente no intervalo - para qualquer intervalo de 𝑥, 𝑡(𝑥) não tem variação crescente, então 
não existe intervalo onde a função seja crescente, logo o conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
 decrescente no intervalo - para qualquer intervalo de 𝑥, 𝑡(𝑥) não tem variação decrescente, 
então não existe intervalo onde a função seja decrescente, logo o conjunto verdade é vazio, 
𝑉 = ∅; 
 𝑡(𝑥) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva; para qualquer valor de 𝑥 temos 𝑦 = −1, 
logo 𝑡(𝑥) > 0 , ou seja, o conjunto verdade é vazio, 𝑉 = ∅; 
 𝑡(𝑥) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa; para qualquer valor de 𝑥 temos 𝑦 = −1, 
logo 𝑡(𝑥) < 0 , ou seja, o conjunto verdade é o domínio da função, 𝑉 = ℝ. 
 
 
        




x
y
        




x
y
10 
 
FUNÇÃO DE 1° GRAU 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
As funções na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 são denominadas 
funções polinomiais de grau 𝑛. 
Para 𝑛 = 1, temos 𝑓: ℝ → ℝ, com 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 e denominada como função polinomial do 1º 
grau. 
 
Função identidade 
 
A função polinomial de 1° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , para 𝑎1 = 1 𝑒 𝑎0 = 0 é denominada como 
função identidade. 
A função identidade 𝑓 de ℝ em ℝ, tal que para todo e qualquer 𝑥 se tem associado o próprio 𝑥, ou 
seja, para ∀𝑥 ∈ ℝ com 𝑓(𝑥) = 𝑥 temos 𝑦 = 𝑥, representando graficamente a função, 𝑓(𝑥) = 𝑥, verifica-
se que para 𝑥 = −2, 𝑓(−2) = −2; 𝑥 = 0, 𝑓(0) = 0; 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2, logo para qualquer valor de 𝑥 temos 
que 𝑦 = 𝑥. 
Analisando as características da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 para 𝐷 = ℝ (domínio dos Reais): 
 
 para qualquer valor de 𝑥 temos que 𝑦 = 𝑥, logo 𝐼𝑚 = 𝐷, ou seja, 𝐼𝑚 = ℝ 
 raízes - para as raízes determinadas quando 𝑓(𝑥) = 0 e para 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝒙 = 𝟎, logo temos 
que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = {0}; 
 crescente no intervalo; pela definição, se 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 𝑥1, 𝑥2 ∈ D 
e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é crescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Como a função é crescente 
em todo o Domínio, o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = ℝ; 
 decrescente no intervalo - pela definição, se 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 𝑥1, 𝑥2 ∈
D e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é decrescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Como a função não 
diminui em nenhum intervalo, o conjunto verdade é vazio, V=∅; 
 𝑓(𝑥) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela solução da inequação 
𝑓(𝑥) > 0, para 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝒙 > 0 logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}; 
 𝑓(𝑥) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela solução da 
inequação 𝑓(𝑥) < 0, para 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝒙 < 0 logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0}. 
 
 
Função linear 
 
A função polinomial de 1° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0, para 𝑎1 ≠ 0 𝑒 𝑎0 = 0 é denominada como função 
linear. 
Função afim 
 
     





x
y
11 
 
A função polinomial de 1° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0, para 𝑎1 ≠ 0 𝑒 𝑎0 ≠ 0 é denominada como 
função afim. 
Por convenção adotamos 𝑎1 = 𝑎 e 𝑎0 = 𝑏, então 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Denomina-se𝑎 como coeficiente 
angular da função e 𝑏 como coeficiente linear da função. 
Seja 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2) dois pontos da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 temos que: 
𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏 
𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 
subtraindo membro a membro temos que: 
𝑦2 − 𝑦1 = (𝑎𝑥2 + 𝑏) − (𝑎𝑥1 + 𝑏) 
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 − 𝑎𝑥1 − 𝑏 
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥1 
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥2 − 𝑥1) 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= 𝑎 
Desse modo para 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥1 > 0 , se: 
 𝑦1 < 𝑦2 ⇒ 𝑦2 − 𝑦1 > 0 então 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
> 0 ⇒ 𝑎 > 0 para a função crescente; 
 𝑦1 > 𝑦2 ⇒ 𝑦2 − 𝑦1 < 0 então 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
< 0 ⇒ 𝑎 < 0 para a função decrescente. 
Graficamente a função de 1º grau em ℝ é representada por uma reta que intercepta o eixo da 
ordenadas no ponto 𝑦 = 𝑏, ou seja, para 𝑥 = 0, 
𝑓(0) = 𝑎. 0 + 𝑏 
𝑓(0) = 𝑏 
𝑦 = 𝑏 
Para 𝑓(𝑥) de ℝ em ℝ, ou seja, com 𝐷 = ℝ tem-se como Imagem o conjunto dos números Reais, 
𝐼𝑚 = ℝ, de modo que qualquer número Real 𝑥 , no eixo das abscissas, tem um número Real y 
correspondente no eixo das ordenadas. 
 
Exemplos: 
Analisando as características da função 𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 para qualquer valor de 𝑥 temos um 𝑦 correspondente tal que 𝑦 = 2𝑥 + 1, logo 𝐼𝑚 = 𝐷, ou 
seja, 𝐼𝑚 = ℝ; 
raízes - para as raízes determinadas quando 𝑐(𝑥) = 0, com 𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
2𝑥 + 1 = 0 
2𝑥 = −1 
𝒙 = −
𝟏
𝟐
 
logo temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = {−
1
2
}. 
 crescente no intervalo - pela definição, se 𝑐(𝑥1) < 𝑐(𝑥2) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 𝑥1, 𝑥2 ∈
D e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é crescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Para 𝑎 = 2, 𝑎 > 0, logo a 
função é crescente em todo o Domínio, então o conjunto solução, ou conjunto verdade é o 
Domínio, 𝑉 = ℝ; 
 decrescente no intervalo - pela definição, se 𝑐(𝑥1) > 𝑐(𝑥2) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 
𝑥1, 𝑥2 ∈ D e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é decrescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Como a função 
é crescente em todo o Domínio, então o conjunto verdade é vazio, V=∅; 
 𝑐(𝑥) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela solução da inequação 
𝑐(𝑥) > 0, com 𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
2𝑥 + 1 > 0 ⇒ 2𝑥 > −1 ⇒ 𝒙 > −
𝟏
𝟐
 
logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > −
1
2
}. 
 𝑐(𝑥) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela solução da 
inequação 𝑐(𝑥) < 0, para 𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
12 
 
2𝑥 + 1 < 0 ⇒ 2𝑥 < −1 ⇒ 𝒙 < −
𝟏
𝟐
 
logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −
1
2
}. 
 
𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
𝑐(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 
𝑑(𝑥) = −2𝑥 + 3 
 
 
 
Analisando as características da função 𝑑(𝑥) = −2𝑥 + 3 
 para qualquer valor de 𝑥 temos um 𝑦 correspondente tal que 𝑦 = −2𝑥 + 3, logo 𝐼𝑚 = 𝐷, ou 
seja, 𝐼𝑚 = ℝ; 
 raízes - para as raízes determinadas quando 𝑑(𝑥) = 0, para d(𝑥) = −2𝑥 + 3 
−2𝑥 + 3 = 0  3 = 2𝑥 ⇒
𝟑
𝟐
= 𝒙 
 logo temos que o conjunto solução, ou conjunto verdade é 𝑉 = {
3
2
} ; 
 decrescente no intervalo - pela definição, se 𝑑(𝑥1) > 𝑑(𝑥2) no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 
𝑥1, 𝑥2 ∈ D e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é decrescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Para 𝑎 = −2, 
𝑎 < 0, logo a função é decrescente em todo o Domínio, então o conjunto solução, ou conjunto 
verdade é o Domínio, 𝑉 = ℝ; 
 crescente no intervalo - pela definição, se 𝑑(𝑥1) < 𝑑(𝑥2) aumenta no intervalo (𝑥1, 𝑥2), com 
𝑥1, 𝑥2 ∈ D e 𝑥1 < 𝑥2, temos que a função é crescente no intervalo (𝑥1, 𝑥2). Como a função é 
decrescente em todo o Domínio, o conjunto verdade é vazio, V=∅; 
 𝑑(𝑥) > 0 ou o intervalo no qual a função é positiva, é determinado pela solução da inequação 
𝑑(𝑥) > 0, com 𝑑(𝑥) = −2𝑥 + 3 
−2𝑥 + 3 > 0 
3 > 2𝑥 
3
2
> 𝑥 ⇒ 𝒙 <
𝟑
𝟐
 
logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <
3
2
}; 
 𝑑(𝑥) < 0 ou o intervalo no qual a função é negativa, é determinado pela solução da 
inequação 𝑑(𝑥) < 0, com 𝑑(𝑥) = −2𝑥 + 3 
−2𝑥 + 3 < 0 
3 < 2𝑥 
3
2
< 𝑥 ⇒ 𝒙 >
𝟑
𝟐
 
logo, o conjunto verdade é 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 >
3
2
}. 
 
 
 
     






x
y
        








x
y
13 
 
Exercícios: 
 
1. Dada a função y = 2x – 6, determine: 
a) O ponto onde o gráfico intercepta o eixo y; 
b) A raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x); 
c) O gráfico da função; 
d) O sinal da função; 
e) A função é crescente ou decrescente. 
 
2. Dada a função y = 3x – 2, determine: 
 a) o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y. 
 b) a raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x). 
 c) o gráfico da função. 
 d) o sinal da função. 
 e) se a função é crescente ou decrescente. 
 
3. Dada a função f(x) = 2x +1, dê as equações das seguintes funções: 
a) g(x) cujo gráfico é paralelo ao gráfico de f(x) intercepta o eixo y duas unidades acima de f(x). 
b) h(x) cujo gráfico é paralelo ao gráfico de f(x) intercepta o eixo y quatro unidades abaixo de f(x). 
 
4. Dada a função y = 3x + 4, determine: 
a) o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y. 
b) a raiz da função (o ponto de intersecção com o eixo x). 
c) o gráfico da função. 
d) o sinal da função. 
e) se a função é crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
14 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
 
Para a função polinomial 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, para 𝑛 =
2 , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 ∈ ℝ e 𝑎2 ≠ 0 temos que 𝑓(𝑥) = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 é uma função polinomial do 2º grau. Por 
convenção adota-se 𝑎2 = 𝑎, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, então 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0. 
Graficamente a função de 2º grau em ℝ é representada por uma curva denominada de parábola. 
 Para 𝑎 > 0 a concavidade de parábola é voltada para cima com vértice dado pelo ponto 
mínimo (𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒) temos que 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒} 
 Para 𝑎 < 0 a concavidade de parábola é voltada para baixo com vértice dado pelo ponto 
máximo (𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒) temos que 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒} 
 
Exemplos: 
Para 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 temos 𝑓: ℝ → ℝ, 
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 cujo gráfico é dado pela curva 
 
𝐷 = ℝ 
(𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ) = (0, 𝟎) 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ 0} 
Para𝑎 = −2, 𝑏 = 0, 𝑐 = 2 temos 𝑓: ℝ → ℝ, 
 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2 cujo gráfico é dado pela curva 
 
𝐷 = ℝ 
(𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 ) = (0, 𝟐) 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ 2} 
 
Raízes da função quadrática 
 
Dado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0 temos que ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 Se ∆> 0, a função tem duas raízes reais e distintas 
 
 Se ∆= 0, a função tem duas raízes reais e iguais 
 
 
 Se ∆< 0, a função não tem raízes reais 
 
As raízes da função quadrática são determinadas em ℝ para 𝑓(𝑥) = 0 e quando ∆> 0 e ∆= 0. Logo 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Exemplos: 
         









x
y
         









x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
15 
 
 
 Determine as raízes da função 𝑓: ℝ → ℝ/ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. 
𝑓(𝑥) = 0 
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 1 
𝑥 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(1)
2(1)
⇒ 𝑥 =
2 ± √4 − 4
2
⇒ 𝑥 =
2 ± 0
2
⇒ 𝑥 = 1 
𝑉 = {1} 
Logo a raiz da função é dada para 𝑥 = 1, isso significa que a parábola tangencia o eixo x no ponto (1,0). 
 
 Determine as raízes da função 𝑓: ℝ → ℝ/𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑓(𝑥) = 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 3= 0 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = 3 
𝑥 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−3)
2(1)
⇒ 𝑥 =
2 ± √4 + 12
2
⇒ 𝑥 =
2 ± 4
2
⇒ {
𝑥 = 3
𝑥 = −1
 
𝑉 = {−1, 3} 
Logo as raízes da função são 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3, isso significa que a parábola corta o eixo x nos pontos (-1,0) 
e (3,0). 
 
Vértice da parábola 
 
Sendo o vértice representado pela intersecção do eixo de simetria com a própria parábola, temos: 
𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = −
𝑏
2𝑎
 e 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = −
Δ
4𝑎
 
logo o vértice é dado pelo ponto 
(−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
) 
 
Pelos gráficos identifica-se que no vértice da parábola há a mudança de comportamento da curva da 
função, entre decrescente e crescente, logo pela concavidade da parábola e o vértice da função temos que 
as características de crescente ou decrescente e Imagem são dadas para: 
 𝑎 > 0 , a concavidade da função é voltada para cima, sendo o vértice o ponto de mínimo da 
função, logo a função é decrescente para 𝑥 < 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 e crescente para 𝑥 > 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , com 𝐼𝑚 =
{𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒}; 
 𝑎 < 0 , a concavidade da função é voltada para baixo, sendo o vértice o ponto de máximo da 
função, logo a função é crescente para 𝑥 < 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 e decrescente para 𝑥 > 𝑥𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 , com 𝐼𝑚 =
{𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ 𝑦𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒}. 
 
Sinal da função 
 
Positivo ⇒ 𝑓(𝑥) > 0 
 se 𝑎 > 0 𝑒 𝛥 > 0, então 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥′𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥′′, para 𝑥′ 𝑒 𝑥′′as raízes da função; 
 se 𝑎 < 0 𝑒 𝛥 > 0, então 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥′ < 𝑥 < 𝑥′′, para 𝑥′ 𝑒 𝑥′′as raízes da função; 
 se 𝑎 > 0 𝑒 𝛥 < 0, então 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 
 
Negativo ⇒ 𝑓(𝑥) < 0 
 se 𝑎 > 0 𝑒 𝛥 > 0, então 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥′ < 𝑥 < 𝑥′′, para 𝑥′ 𝑒 𝑥′′as raízes da função; 
 se 𝑎 < 0 𝑒 𝛥 > 0, então 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥′𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥′′, para 𝑥′ 𝑒 𝑥′′as raízes da função; 
 se 𝑎 < 0 𝑒 𝛥 < 0, então 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 
Simetria da parábola, o eixo de simetria da parábola é a reta paralela ao eixo y (eixo das ordenadas) 
que passa pelo vértice, logo para todo ponto (𝑥1, 𝑦1), tal que a variação da função 
16 
 
(Δ𝑥 = (𝑥𝑣 − 𝑥1)), tem-se um ponto (𝑥2, 𝑦2) tal que 𝑥2 = 𝑥𝑣 + Δ𝑥 e 𝑦2 = 𝑦1, ou seja, para 𝑓: ℝ →
ℝ, ∀(𝑥1, 𝑦1) ∈ 𝑓(𝑥), ∃(𝑥2, 𝑦2)|(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥𝑣 + Δ𝑥 , 𝑦1) ∧ Δ𝑥 = (𝑥𝑣 − 𝑥1). 
 
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (1, 0) 
 Para (𝑥1, 𝑦1) = (−1, 𝟒) 
Δ𝑥 = 𝑥𝑣 − 𝑥1 = 1 − (−1) = 2 
𝑥2 = 𝑥𝑣 + Δ𝑥 = 1 + 2 = 3, 𝑦2 = 𝟒 
(𝑥2, 𝑦2) = (3, 𝟒) 
O ponto (3,4) é simétrico ao ponto (-1,4) 
 Para (𝑥1, 𝑦1) = (2, 𝟏) 
Δ𝑥 = 𝑥𝑣 − 𝑥1 = 1 − 2 = −1 
𝑥2 = 𝑥𝑣 + Δ𝑥 = 1 − 1 = 0, 𝑦2 = 𝟏 
(𝑥2, 𝑦2) = (0, 𝟏) 
O ponto (0,1) é simétrico ao ponto (2,1) 
 
Analisando as características da função 𝑤(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 para 𝐷 = ℝ 
 Vértice da parábola para Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ Δ = 22 − 4(−1)(3) = 16 
𝑥𝑣 = −
2
2(−1)
= 1, 𝑦𝑣 = −
16
4(−1)
= 4 
 Imagem - para 𝑦𝑣 = 4, 𝑎 < 0, 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ 4}; 
 Raízes - para 𝑤(𝑥) = 0, com 𝑤(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3, 𝑎 = −1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 3 
 Para Δ > 0, logo a função tem duas raízes, resolvendo a equação 
 −𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0, temos que: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2(−1)
⇒ 𝑥 =
−2 ± √22 − 4(−1)(3)
2(−1)
⇒ 
⇒ 𝑥 =
−2 ± √4 + 12
−2
⇒ 𝑥 =
−2 ± 4
−2
⇒ {
𝑥 =
−2 + 4
−2
= −1
𝑥 =
−2 − 4
−2
= 3
 𝑉 = {−1, 3} 
 crescente no intervalo - para 𝑎 < 0 , 𝑥 < 𝑥𝑣, logo temos que o intervalo para função 
crescente é dada por 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 1} 
 decrescente no intervalo - para 𝑎 < 0 , 𝑥 > 𝑥𝑣, logo temos que o intervalo para função 
decrescente é dada por 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1} 
 como Δ > 0 então 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥′ < 𝑥 < 𝑥′′, logo temos a solução para função positiva no 
intervalo 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|−1 < 𝑥 < 3} 
 como Δ > 0 então 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 < 𝑥′𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥′′,logo temos a solução para função 
negativa no intervalo 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 
Analisando as características da função exemplo 𝑐(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3 para 𝐷 = ℝ 
 Vértice da parábola: 𝑥𝑣 = −
3
2(1)
= −1,5, 𝑦𝑣 = −
−3
4(1)
=
3
4
 
 Imagem – para 𝑦𝑣 =
3
4
, 𝑎 > 0, 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥
3
4
} 
 raízes; para 𝑐(𝑥) = 0, com 𝑐(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3, 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 3 para Δ < 0 a função não 
tem raízes em ℝ, logo temos que 𝑉 = ∅ 
 crescente no intervalo - para 𝑎 > 0 , 𝑥 > 𝑥𝑣, logo temos que o intervalo para função 
crescente é dada por 𝑉 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > −1,5} e decrescente no intervalo 𝑥 < 𝑥𝑣, dado por 𝑉 =
{𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1,5} 
 para Δ < 0 e 𝑎 > 0 então 𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐷, logo temos que o intervalo para função 
positiva é dada por 𝑉 = ℝ e o intervalo para função negativa é dado por 𝑉 = ∅. 
     





x
y
17 
 
 
Exercícios: 
 
1. Dada função f(x) = x² - x – 6, determine: 
a) o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. 
b) a concavidade. 
c) quantas raízes reais ela possui. 
d) as coordenadas do vértice. 
e) o gráfico. 
f) os intervalos onde ela está crescendo e onde está decrescendo. 
g) o sinal da função. 
h) o conjunto imagem. 
i) se os pontos P(1, -6) e Q(0, 5) pertencem a função. 
 
2. Considerando o gráfico da função f(x) = x², utilize a ideia de translação e reflexão para esboçar os 
gráficos das funções de o domínio e a imagem de cada uma: 
a) f(x) = x²+2 b) f(x) = x²-1 c) f(x) = - x² d) f(x) = - x²+2 
e) f(x) = -x²–3 f) f(x) = (x-2)² g) g(x) = (x+1)² 
 
3. Dada função f(x) = x² - 2x – 3, determine: 
a) o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. 
b) a concavidade. 
c) quantas raízes reais ela possui. 
d) as coordenadas do vértice. 
e) o gráfico. 
f) os intervalos onde ela está crescendo e onde está decrescendo. 
g) o sinal da função. 
 
4. A trajetória de uma bola, num chute a gol, pode ser descrita por uma função quadrática. Supondo que sua 
altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 4𝑡, determine a altura máxima 
atingida pela bola e represente graficamente a função. 
 
5. Determine as características das funções quadráticas: 
 
a) f: ℝ → ℝ , f(x) = 𝑥2 − 1 
b) f: ℝ → ℝ , f(x) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
c) f: ℝ → ℝ , f(x) = −𝑥2 + 2 
d) f: ℝ → ℝ , f(x) = (𝑥 + 3)2 
e) f: ℝ → ℝ , f(x) = −(x + 2)2 + 4 
 
 
 
 
18 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
 
Para a função 𝑓: ℝ → ℝ, na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, para 𝑎=base tal que 𝑎 𝜖 ℝ | 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, denomina-
se a 𝑓(𝑥) como uma função exponencial. 
 
Exemplos: 𝑓(𝑥) = 2𝑥; 𝑓(𝑥) = (
2
3
)
𝑥
; 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2 
 
Graficamente a função exponencial, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 em ℝ tem a forma 
 
para 𝑎 > 1 
 
𝐷 = ℝ 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 > 0} 
para 0 < 𝑎 < 1 
 
𝐷 = ℝ 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 < 0} 
 
As características da função exponencial 
 Raízes: a função exponencial na sua forma geral, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , não tem raiz. 
 Imagem: na sua forma geral, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝐼𝑚 = {𝑦𝜖ℝ|𝑦 > 0}; 
 Crescente no intervalo: para 𝑎 > 1 a função é crescente para todo o Domínio; 
 Decrescente no intervalo: para 0 < 𝑎 < 1 a função é decrescente para todo o Domínio; 
 𝑓(𝑥) > 0, na sua forma geral, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑓(𝑥) > 0 para todo o Domínio; 
 𝑓(𝑥) < 0, na sua forma geral, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , ∄𝑥𝜖ℝ| 𝑓(𝑥) < 0, logo 𝑉 = ∅. 
 
As características da função exponencial na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏 , 
 Raízes - função exponencial tem raiz em 𝑓(𝑥) = 0 
Ex.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4, logo para 𝑓(𝑥) = 0, 2𝑥 − 4 = 0 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2, ou seja, 𝑉 = {2}; 
 Crescente no intervalo: para 𝑎 > 1 a função é crescente para todo o Domínio; 
 Decrescente no intervalo: para 0 < 𝑎 < 1 a função é decrescente para todo o Domínio; 
 Positivano intervalo – para: 
o 𝑎 > 1, 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧}; 
o 0 < 𝑎 < 1, 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧}. 
 Negativa no intervalo – para: 
o 𝑎 > 1, 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧}; 
o 0 < 𝑎 < 1, 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧}. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏, 𝑎 > 1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏, 0 < 𝑎 < 1 
 
 
Exercício: Esboce os gráficos e analise as características das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = (
1
5
)
𝑥
 c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 3 
x
y
x
y
x
y
x
y
19 
 
LOGARITMO 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
Denomina-se logaritmo de um número 𝑎, para 𝑎𝜖ℝ| 𝑎 > 0, em uma base 𝑏, 𝑏𝜖ℝ| 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 o 
número 𝑐, para 𝑐𝜖ℝ, tal que 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐, se, e somente se, 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏
𝑐 , para 
𝑎 = logaritmando ou antilogaritmo 
𝑏 = base ou sistema 
𝑐 = é o logaritmo. 
 
OBS: quando a base não é especificada, 𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑐, temos que 𝑏 = 10, logo 𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 10𝑐. 
Para uma base 𝑏 = 𝑒, onde 𝑒 = 2,71828182846 …, denominado como número de Euler, temos que 
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑎 = 𝑐 ⇔ ln 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑒
𝑐 
 
Exemplos: 
 𝑙𝑜𝑔2 16 = 4 ⇔ 2
4 = 16, logo 4 é logaritmo de 16 na base 2; 
 𝑙𝑜𝑔7
1
49
= −2 ⇔ 7−2 =
1
49
⇔
1
72
=
1
49
⇔
1
49
=
1
49
 logo -2 é logaritmo de 
1
49
 na base 7; 
 𝑙𝑜𝑔9 √27 =
3
4
⇔ 9
3
4 = √27 ⇔ 9
3
4 = 27
1
2 ⇔ 32.
3
4 = 33
1
2 ⇔ 3
3
2 = 3
3
2 logo 
3
4
 é logaritmo de √27 na 
base 9. 
 
Propriedade dos logaritmos 
 log𝑏 𝑏 = 1 ⇔ 𝑏 = 𝑏
1 
 log𝑏 1 = 0 ⇔ 1 = 𝑏
0 
 log𝑏 𝑎
𝑦 = 𝑦 log𝑏 𝑎 
 log𝑏 𝑏
𝑦 = 𝑦 log𝑏 𝑏 = 𝑦. 1 
 𝑏log𝑏 𝑎 = 𝑎 
 log𝑏(𝑎. 𝑐) = log𝑏 𝑎 + log𝑏 𝑐 
 log𝑏 (
𝑎
𝑐
) = log𝑏 𝑎 − log𝑏 𝑐 
 log𝑏 𝑎 =
log𝑘 𝑎
log𝑘 𝑏
 
 
Aplicando as propriedades 
 Para log𝑏 𝑔 = 2 e log𝑏 ℎ = 3 
𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑔. ℎ) = log𝑏 𝑔 + log𝑏 ℎ = 2 + 3 = 5 
 Para 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30103 e 𝑙𝑜𝑔 6 = 0,77815 
𝑙𝑜𝑔(12) = 𝑙𝑜𝑔(2.6) = 𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔6 = 0,30103 + 0,77815 = 1,07918 
𝑙𝑜𝑔(36) = 𝑙𝑜𝑔(62) = 2𝑙𝑜𝑔6 = 2( 0,778150) = 1,5563 
 
 
 
20 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
Para a função 𝑓: ℝ → ℝ, na forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑥, para 𝑏=base tal que 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 
denomina-se a 𝑓(𝑥) como uma função logarítmica de base 𝑏. 
Ex: 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 2𝑥 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
Graficamente a função logarítmica, 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥) em ℝ tem a forma 
para 𝑏 > 1 
 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0} 
𝐼𝑚 = ℝ 
para 0 < 𝑏 < 1 
 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0} 
𝐼𝑚 = ℝ 
 
As características da função logarítmica, 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 
 Pela condição de existência 𝑏𝑎𝑠𝑒 > 0, 𝑏𝑎𝑠𝑒 ≠ 1, logaritmando > 0, 𝑥 > 0 logo 𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 >
0}; 
 𝐼𝑚 = ℝ 
 Raiz, a função logarítmica tem uma raiz para 𝑓(𝑥) = 0; 
 Imagem para qualquer 𝑥 no Domínio existe um y correspondente nos Reais, logo 𝐼𝑚 = ℝ; 
 Crescente; para 𝑏 > 1 a função é crescente para todo o Domínio, ou seja, 𝑉 = ℝ; 
 Decrescente; para 0 < 𝑏 < 1 a função é decrescente para todo o Domínio, ou seja, 𝑉 = ℝ; 
 𝑓(𝑥) > 0, para 
o 𝑏 > 1 a função é crescente, logo a função é positiva para 𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧; 
o 0 < 𝑏 < 1 a função é decrescente, logo a função é positiva para 𝑥𝜖ℝ|𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧; 
 𝑓(𝑥) < 0, para 
o 𝑏 > 1 a função é crescente, logo a função é negativa para 𝑥𝜖ℝ|𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧; 
o 0 < 𝑏 < 1 a função é decrescente, logo a função é negativa para 𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
 
Analisando a característica da função 𝑤(𝑥) = log3(𝑥 − 1) 
 Pela condição de existência 𝑏𝑎𝑠𝑒 > 0, 𝑏𝑎𝑠𝑒 ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 > 0, 𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1, 
logo 𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 1}; 
 𝐼𝑚 = ℝ; 
 Raiz; 𝑤(𝑥) = 0 ⇒ log3(𝑥 − 1) = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 3
0 ⇒ 𝑥 − 1 = 1 ⇒ 𝑥 = 2, logo 𝑉 = {2} 
 Para 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 3 ⇒ 𝑏𝑎𝑠𝑒 > 0 , logo a função é crescente para todo o Domínio, então 𝑉 =
{𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 1}; e não é decrescente para nenhum intervalo de 𝑥 
 Como a função é crescente é positiva, 𝑓(𝑥) > 0, para 𝑥 > 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo 𝑉={𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 2}; e 
negativa, para 𝑥 < 𝑟𝑎𝑖𝑧, logo considerando o domínio 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|1 < 𝑥 < 2}; 
 
Exercício: Analise as características das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(5𝑥) b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔0,8(3 − 𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(3𝑥 − 8) 
 
x
y
x
y
21 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Prof. Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 
 
Circunferência orientada - é qualquer circunferência na qual se adota um sentido de percurso para os 
arcos, a partir de um ponto de referência, denominado origem dos arcos. 
 
OBS: Na Matemática adotou-se o sentido anti-horário como positivo. 
 
Ciclo trigonométrico - é uma circunferência orientada, de raio unitário. Para o centro da circunferência 
coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal, são obtidas quatro regiões denominadas 
quadrantes. 
 
Relações trigonométricas - são as relações definidas no ciclo trigonométrico para um arco x. 
 
 
Relações trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2 𝑥 = 1 
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
sec2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
1
𝑡𝑔 𝑥
=
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
x
y
+
-
Ori
x
y
I II 
III IV 
22 
 
Função seno 
 
É a função real que associa a cada 𝑥𝜖ℝ o valor de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓: ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝐷 = ℝ 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1} ou o intervalo [−1, 1] 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋 
 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 Raízes – 𝑓(𝑥) = 0 em 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋, 𝑥 = 2𝜋, considerando a peridiocidade em 
𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo crescente – no intervalo −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 −
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo decrescente – no intervalo 
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 +
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo positivo – no intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋 considerando a peridiocidade em 2𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 < 𝑥 < (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|(2𝑘 − 1)𝜋 < 𝑥 < 2𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}. 
 
Função cosseno 
 
É a função real que associa a cada 𝑥𝜖ℝ o valor de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑓: ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝐷 = ℝ 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1} ou o intervalo [−1, 1] 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋 
 
 
 
               


x
y
               


x
y
23 
 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 Raízes – 𝑓(𝑥) = 0 em 𝑥 = −
𝜋
2
, 𝑥 =
𝜋
2
, 𝑥 =
3𝜋
2
, considerando a peridiocidade em 
𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 = 𝑘𝜋 +
𝜋
2
 , 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo crescente – no intervalo 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|(2𝑘 − 1)𝜋 < 𝑥 < 2𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo decrescente – no intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 < 𝑥 < (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo positivo – no intervalo –
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 2𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 −
𝜋
2
 < 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo 
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 2𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 +
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}.Função tangente 
 
 
É a função real que associa a cada 𝑥𝜖ℝ e 
 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ , o valor de 𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓: {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
𝐷 = ℝ − {𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} 
ou 
𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} 
𝐼𝑚 = ℝ 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝜋 
 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
 Raízes – 𝑓(𝑥) = 0 em 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋, 𝑥 = 2𝜋, considerando a peridiocidade em 
𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo crescente – em todo o domínio, logo 𝑉 = ℝ − {𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} ou 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠
𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo decrescente – a função tangente não é decrescente para o Domínio logo 𝑉 = ∅; 
 Intervalo positivo – no intervalo 0 < 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 𝜋, 𝑡emos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo −
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋 considerando a peridiocidade em 𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑘𝜋 −
𝜋
2
< 𝑥 < 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}. 
 
 
   



















24 
 
Função secante 
 
 
É a função real que associa a cada 𝑥𝜖ℝ e 
𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ o valor de 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝑓: {𝑥𝜖ℝ𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ } → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} 
ou 
𝐷 = ℝ − {𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} 
𝐼𝑚 = {𝑦𝜖ℝ|𝑦 ≤ 1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
 Raízes – não tem raízes 
 Intervalo crescente – no intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋, considerando a peridiocidade em 
2𝜋, 𝑡emos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
|2𝑘𝜋 < 𝑥 < (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo decrescente – no intervalo 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋, considerando a peridiocidade em 
2𝜋, 𝑡emos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
𝜋
2
|(2𝑘 − 1)𝜋 < 𝑥 < 2𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo positivo – no intervalo −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, 𝑡emos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 −
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
 , 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo 
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 2𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘𝜋 +
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}. 
 
Função cossecante 
 
É a função real que associa a cada 𝑥𝜖ℝ e 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ , 
o valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝑓: {𝑥𝜖ℝ𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ } → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ} 
ou 
𝐷 = ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ} 
𝐼𝑚 = {𝑦𝜖ℝ|𝑦 ≤ 1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1} 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋 
 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
 Raízes – não tem raízes 
 Intervalo crescente – no intervalo 
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 2𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋|2𝑘𝜋 +
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} 
    



















    



















25 
 
 Intervalo decrescente – no intervalo −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 
2𝜋, 𝑡emos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋|2𝑘𝜋 −
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
 , 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo positivo – no intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋, considerando a peridiocidade em 2𝜋, 𝑡emos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ |2𝑘𝜋 < 𝑥 < (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋, considerando a peridiocidade em 2𝜋, 𝑡emos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ |(2𝑘 − 1)𝜋 < 𝑥 < 2𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}. 
 
Função cotangente 
 
 
É a função real que associa a cada 𝑐𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ , o valor de 
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓: {𝑥𝜖ℝ𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ } → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
𝐷 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ} 
ou 
𝐷 = ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ} 
𝐼𝑚 = ℝ 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 𝜋 
 
 
Características da 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
 Raízes – 𝑓(𝑥) = 0 em 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋, 𝑥 = 2𝜋, considerando a peridiocidade em 
𝜋, temos 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo crescente – a função cotangente não é crescente para o Domínio logo 𝑉 = ∅; 
 Intervalo decrescente – em todo o domínio, logo 𝑉 = ℝ − {𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ} ou 𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≠
𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo positivo – no intervalo 
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋 considerando a peridiocidade em 𝜋, temos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑘 −
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝑘, 𝑘𝜖ℤ}; 
 Intervalo negativo – no intervalo 0 < 𝑥 <
𝜋
2
 considerando a peridiocidade em 𝜋, 𝑡emos 
𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝑘𝜋 +
𝜋
2
, 𝑘𝜖ℤ}. 
 
 

















26 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 − 3𝑥, calcule 𝑓(4), 𝑓(8) e 𝑓(13). 
 
2) Esboce o gráfico de f. 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
−𝑥2, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 1
−𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥2, 𝑥 ≤ 1
𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 > 1
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
𝑥3, 𝑠𝑒 |𝑥| < 1
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
e) 𝑓(𝑥) = 2 cos(𝑥 + 𝜋) 
 
f) 𝑓(𝑥) = −3. cos 𝑥
 
3) A figura Ao lado mostra o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) com domínio 
[0,2] e imagem [-1,1]. Encontre os domínios e as imagens das funções 
a seguir e esboce os gráficos correspondentes. 
a) 𝑓(𝑥) + 2 
b) 𝑓(𝑥) − 1 
c) 2. 𝑓(𝑥) 
d) – 𝑓(𝑥) 
e) 𝑓(𝑥 + 2) 
 
 
 
4) Iniciando com o gráfico de 𝑦 = log (𝑥), determine uma equação para o gráfico que resulte de: 
a) translação de 3 unidades para baixo. 
b) translação de uma unidade para a direita. 
c) translação de 1 unidade para a esquerda e 3 para cima. 
d) reflexão em torno do eixo y. 
e) reflexão em torno do reta 𝑦 = 𝑥. 
 
 
 
 


 
 
 
CÁLCULO I 
Material de Apoio - LIMITES 
 
O conceito de limite de funções tem grande utilidade na determinação do comportamento de 
funções nas vizinhanças de um determinado ponto analisado, no comportamento de funções quando x 
aumenta muito (tende para infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Além disso, o conceito 
de limites é utilizado em derivadas. 
 
Noção intuitiva de limite 
 
Exemplo 1- Sendo a função f(x)= 2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
 
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 
1(x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:lim
𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3. Observamos que quando x tende para 1, y 
tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x 
assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora 
possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. 
 
Exemplo 2-Sendo a função y = f(x) abaixo: 
 
 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥)= 
b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥)= 
c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)= 
d) Em x = 2, f(x) = 
 
Exemplo 3- Sendo a função y = 1 - 
x
1
, representado no gráfico abaixo: 
 
a) lim
𝑥→∞−
𝑓(𝑥)= 
b) lim
𝑥→∞+
𝑓(𝑥)= 
c) lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)= 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES LATERAIS 
 
Caso 1: quando os limites laterais são iguais, existe o limite no ponto analisado e o ponto está definido 
no domínio da função (existe o ponto); a função é contínua no ponto analisado. 
 
a) y = x – 1 b) y = x2– 4x








)(lim)
)(lim)
)(lim)
)4()
4
4
4
xfd
xfc
xfb
fa
x
x
x 
 
Caso 2: quando os limites laterais são iguais, existe o limite, mas o ponto analisado não está definido 
no domínio da função; a função é descontínua no ponto analisado. 









)(lim)
)(lim)
)(lim)
)2()
2
2
2
xfd
xfc
xfb
fa
x
x
x
 
 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥²−4
𝑥−2
 
 
 
 
 
Caso 3: quando os limites laterais são diferentes, não existe o limite da função no ponto analisado, 
mas o ponto está definido no domínio da função; a função é descontínua no ponto analisado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 









)(limd)
)(limc)
)(limb)
)2(a)
2
2
2
xf
xf
xf
f
x
x
x
 









)(lim)
)(lim)
)(lim)
)2()
2
2
2
xfd
xfc
xfb
fa
x
x
x 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule os limites das funções abaixo: 
 
2) Seja uma função f, tal que lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 0 e lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 2. Podemos afirmar que lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) existe? 
Justifique. 
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES (ver capítulo 3 do Livro de Cálculo I do EAD – 
disponível na NetAula) 
 
 
 
 
 
2
1
lim l) 
2
k)lim 
1
3
lim ) j 
 
1
16
lim i) 
2
1
lim h) 
9
3
lim g)
)13(lim f) 50lim e) 102lim d)
 lim c) 303lim b) 1000lim a)
0x 1x20 x
2
-4x1 x23x
2
0x2x0x
2
-10x10 x2x





















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
xx









)(limd)
)(limc)
)(limb)
)0(a)
0
0
0
xf
xf
xf
f
x
x
x
 
Função Contínua (ver capítulo 4 do Livro de Cálculo I do EAD – disponível na 
NetAula) 
 
Dizemos que f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas: 
 
i) f(a) é definido 
ii) 
)(lim xfax
existe 
iii) 
)(lim xfax
 = f(a) 
 
 
Exercícios: 
 
1) A função f definida por f(x) = x2 –1 é contínua em x = 0? 
 
 
 
2) Sendo a função 









2,6
22,2²
2,4
)(
x
xx
xx
xf , verifique se f(x) é contínua em x = - 2 e x = 2. 
 
3) Determine a constante a de modo que f seja contínua em x = 1, sendo:
  
1 ,2
1 ,23 2







xx
xax
xf
. 
 
 
Indeterminação 
Se
0)(lim 0  xfx
e 
0)(lim 0  xgx
, então em 
)(
)(
xg
xf
a indeterminação
0
0
. 
Evitamos a indeterminação 
0
0
, transformando a expressão através de técnica conveniente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos resolver: 
 
 s 
 
 
, se 
 
 
 
Exercício: Encontre os limites: 
 
Limites Fundamentais ou Limites Notáveis 
 
Limite do seno - Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque 
quando o ângulo (ou arco) 

 tende a diminuir, o valor do 
 asen
 tende a ficar 
igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 
1
, 
e o limite notável no caso é  
1
sen
lim
0

 


. 
 
Limite que define o número “e”- O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela 
expressão abaixo. 
e
x
y
x
x








1
1lim
 
x
 
y
 
1 2 
10 
5937,2
 
100 
7048,2
 
1000 
7169,2
 
10000 
7181,2
 
x
 
7182818,2e
 
 
 
 
9
3
lim d)
 
x
10x
lim c)
 
12x
82x
lim b)
 
100
lim a)
23x
3
0x
24 -x
0x












x
x
x
x
x
x
 
1
12
lim f)
 
123
322
lim e)
 
182
3
lim d)
 
3x
159x
lim c)
 
2x
610x
lim b)
 
50
100
lim a)
2
1 x
2
4 - x
23 x
2
23
0x
3
0x
0x



















x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x


















2
1
2
2
0
1 x
1 x
2
23
1 - x
lim l)
53lim k)
)510(lim )
1
21
lim i)
1
1
lim h)
 
12
133
lim g)
x
x
xxj
x
x
x
x
xx
xxx
x
x
x
 
1
12
lim g)
 
153
502
lim f)
 
4
16
lim e)
2
1 - x
2
5 x
2
4 - x












x
xx
x
x
x
x
 
Limites Envolvendo Infinito 
 
1) Uma extensão conveniente é sugerida pelo comportamento da função f definida por 
2
1
)(
x
xf 
, 
perto de x = 0 (obviamente f não é definida em 0). 
 
Podemos expressar simbolicamente como
 )(lim 0 xfx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere a função f definida por 
x
xf
1
)( 
, perto de x = 0 
(obviamente f não é definida em 0). 
 
 
 
Exercício: Calcule os limites a seguir: 
 
a) 
 
10
210
lim
4
 x 



x
x
 
b) 
 x)-(10lim - x 
 
c) 
 
3-x
lim 3x
x
 
d) 
 
18
100
lim x 


x
 
e) 
 lim x  x
 
f) 




3
96
lim
2
3 x
x
xx
 
a) Cada vez que x cresce ilimitadamente, o valor da 
função f(x) se aproxima de__________________. 
 
 )(lim xfx
 
 
 
b) Cada vez que x decresce ilimitadamente, o valor da 
função f(x) se aproxima de__________________. 
 
 )(lim xfx
 
 
g) 
 
12
2
lim
3
1 - x 


x
x
 
h) 




4
2
lim 4 x
x
x 
i) 
 
3005
104
lim 
2
2
x 



x
x
 
j) 
 
400
100
lim
2
3
x 



x
x
 
 
 
Lista de exercícios complementares: 
 
1) Calcule os limites: 
2 ) 
5
39
 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46
232
 lim) 
34
353
 lim) 
45
332
 lim)
43
523
 lim) 
35
32
 lim))574( lim)
3
2
2 
3
23
2 
2
1 
3
2
2
2 
2
3 
2
1 




















fedcba
x
xx
f
x
xxx
e
x
xx
d
xx
xx
c
x
xx
bxxa
xxx
xxx
 
 
2) Calcule os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58x4xx
46x3xx
 lim f) 
x4
x8
 lim e) 
1x
1x
 lim d)
25x2x
35x2x
 limc)
x2
x4
 limb) 
1x
1x
 lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
2
1 x
2
2 x
2
1 x














1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba 














 ) ) ) ))))):.Resp
1
1
 lim) 
1
1
 lim) 
3
21
 lim) 
2
4
 lim) 
253
 lim) 
)1(
31
 lim) 
)1(
32
 lim ) 
)2(
43
 lim)
1 1 
3 2 2
2
0 
21 21 22 
hgfedcba
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
xx
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
xx
xxx
xxx
 
4) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 








 12
211
)
3lim x
x
c
x








 1032
74
)
2
3
lim xx
xx
b
x
 253) 2lim 

xxa
x








 12
13
)
2
3
lim xx
xx
d
x








 124
121
)
2
3
lim
x
x
e
x








 84
63
)
2
lim x
xx
f
x








 xxx
xx
g
x 533
322
)
23
3
lim
3/2 ) ) )
 ) 0 ) ) ):.Resp


gfe
dcba





) ) ) ) ):.Resp
)43(lim) )4(lim)
)345(lim) )54(lim) )32(lim)
3
 
2
 
2
 
edcba
xexd
xxcxbxa
xx
xxx
 
Cálculo I - Exercícios de revisão 
 
1) Construa o gráfico de cada função a seguir e escreva o seu domínio e a sua imagem: 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 4, 𝑠𝑒𝑥 > 0
−𝑥², 𝑠𝑒𝑥 ≤ 0
 b) g(x)= 𝑓(𝑥) = {
3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 𝜋
− cos 𝑥 , 𝑠𝑒 𝜋 < 𝑥 < 2𝜋
−2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2𝜋
 
Indique: 
a) 
)( lim
0
xf
x 
 = b) 
)( lim
0
xf
x 
 = c) 
)( lim
0
xf
x
 = d) f(0)= 
 
e) 
)( lim
0
xg
x 
 = f) 
)( lim
0
xg
x 
 = g) 
)( lim
0
xg
x
 = h) g(0)= 
 
i) 
)( lim xg
x 
 = j) 
)( lim xg
x 
 = k) 
)( lim xg
x 
 = l) g()= 
 
m) 
)( lim
0
xg
x 
 = n) 
)( lim
0
xg
x 
 = o) 
)( lim
0
xg
x
 = p) g(0)= 
 
(Nas questões a seguir, verificar continuidade) 
q) Em x=0, a função f(x) é __________________________________________. 
r) Em x=0, a função g(x) é __________________________________________. 
s) Em x=, a função g(x) é __________________________________________. 
 
2) Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40m/s, do alto de um edifício 
de 100 metros de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função 
do tempo (t), é dada pela expressão h(t) = -5t² + 40t + 100. Em que instante t a pedra 
atinge a altura máxima? Qual é esta altura? 
 
3) Newton tinha um saldo bancário positivo de R$ 1000,00. Ao chegar no banco ele 
percebe em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem cédulas de R$ 50,00. Escreva 
uma expressão matemática (função) que relacione o novo saldo de Newton em função da 
retirada de cédulas. 
 
4) Obtenha os limites: 
a) 
)²3(
9
lim
2
3 

 x
x
x
 
b) 
xx
x
x  2
3
0 2
lim
 
c) 
1
2
lim
5
2
1 

 x
xx
x
 
d) 
2
33
lim
23
23
0 

 xx
xxx
x
 
e) 
x
xx
x
121
lim
2
0


 
f) 
232
4
lim
2
2 

 xx
x
x
 
g) 
 )1235(lim
23 xxxx
 
h) 
 )122(lim
245 xxxx
 
i) 
 )123(lim
24 xxx
 
j) 




1
12
lim
2
2
x
x
x
 
k) 



 24
23
7
54
lim
xx
xxx
x
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Ver capítulo 5 do Livro de Cálculo I do EAD – disponível na NetAula 
EXERCÍCIOS: 
1. Calcule a derivada das seguintes funções 
a) f(x) = -1 𝑓′(𝑥) = 0 
b) f(x) = 2x2 – 4x + 2 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4 
c) f(x) = 3x -  𝑓′(𝑥) = 3 
d) f(x) = - 5 + x 𝑓′(𝑥) = 1 
e)f(x) = -2x4 - 3x3 + 2x2 + 4x – 5 𝑓′(𝑥) = −8𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 4 
f) f(x) = (
4𝑥5
5
+ 2𝑥² − 5) : (5𝑥 + 2) 𝑓′(𝑥) =
16𝑥5+8𝑥4+20𝑥²+8𝑥+25
25𝑥²+20𝑥+4
 
g) f(x) = 
3
2 152
x
xx 
 𝑓′(𝑥) =
−2𝑥2+10𝑥−3
𝑥4
 
h) f(x) = 
xx
x
2
12
2 

 𝑓′(𝑥) =
4−4𝑥
𝑥³+2𝑥²
 
 
2. Sendo f(x) = 
1
1


x
x
 calcule A = f’(2) –f’(-1). −
3
2
 
 
3. Sendo g(x) = 
x
x


1
1
 determine B = g’(1/3) + g’(-2). 
13
2
 
 
4. Para f(x) = 2x4 - x3 + 2x2 - 5 , calcule C = f’(2) – f’(-1). 75 
 
5. Calcule as derivadas das funções a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎) 𝑓′(𝑥) = 0; 𝑏) 𝑓′(𝑥) = 6; 𝑐) 𝑓′(𝑥) = 0; 𝑑) − 1; 𝑒) 𝑓′(𝑥) = −10; 𝑓) 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 30; 𝑔) 𝑓′(𝑥) = 10; 
ℎ) 𝑓′(𝑥) = 60𝑥² − 6𝑥; 𝑖) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 10; 𝑗) 𝑓′(𝑥) = −10𝑥; 𝑘) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 10; 𝑙) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 500; 
𝑚) 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 1; 𝑛) 𝑓′(𝑥) = 21𝑥² − 10𝑥 + 4; 𝑜) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 + 2; 𝑝) 𝑓′(𝑥) = −9𝑥² + 10𝑥 
 
 
10053)
102)
3457)
13)
1500)
60010)
5100)
10010)
23
23
23
2
2
2
2
2








xx - yp
 xx xf(x)o
xxx f(x)n
 x- xf(x)m
x- x f(x)l
 xx f(x)k
x- f(x)j
 x-x f(x)i
10320)
60010)
5302)
10010)
4)
600)
56)
100)
23
2








x-x f(x)h
 x f(x)g
xxf(x)f
 x -f(x)e
xf(x)d
 f(x) c
x f(x)b
 f(x) a
 
DERIVADAS SUCESSIVAS 
 
 Seja a função y = f(x) e y’ = f’(x) a sua função derivada. 
Quando se deriva novamente a função y’ = f’(x), tem-se uma nova derivada, que é identificada 
como DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM da função f(x), ou simplesmente, derivada segunda, que é 
representada por y’’ ou f’’(x). 
Derivando-se novamente a derivada de segunda ordem, tem-se a derivada de terceira ordem ou 
y’’’ e, assim sucessivamente, até a derivada de ordem n, que se lê derivada n-ésima da função. 
 
Exemplo: Encontre a derivada de quarta ordem da função y = x5 + 2x4 – x3+ 4x² + 5x-1 
 Solução: y’ = 5x4 + 8x3 – 3x2 + 8x +5 
 y’’ = 20x3 + 24x2 – 6x + 8 
 y’’’ = 60x2 + 48x - 6 
 yiv = 120x + 48 
 
EXERCÍCIOS: 
 1f)
 e)
 ´´(-1) d)
 )
 ´(1) b)
 ´)
:determine10252 função a Sendo -2
10
:determine ,1000200 função a Sendo .1
23
3












) f ´´´(-
f ´´´(x)
f
f ´´(x)c
f
ya
,xxx f(x)
 )d) f ´´´(x
 )c) f ´´ (x
 b) f ´ (x)
 )a) f (
x x f(x)
 





(0)d)
 )(c)
 ´(0) b)
 )( a)
:determine ,276
3
 função a Sendo -3 2
3
 f ´´
x f ´´
f 
xf ´
xx
x
 y 
 
 
 
 
FORMULÁRIO DE DERIVADAS 
 
Regra geral da derivação: 
 
1) 𝑦 = 𝑐  𝑦′ = 0 
2) 𝑦 = 𝑥𝑛 𝑦′ = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
3) 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 ± ⋯  𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣′ ± 𝑤′ … 
4) 𝑦 = 𝑐. 𝑣  𝑦′ = 𝑐. 𝑓′(𝑣) 
5) 𝑦 = 𝑢𝑛  𝑦′ = 𝑛. 𝑢𝑛−1. 𝑢′ 
6) 𝑦 = 𝑢. 𝑣  𝑦′ = 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ 
7) 𝑦 =
𝑢
𝑣
  𝑦′ =
𝑢′.𝑣−𝑢.𝑣′
𝑣2
 
8) 𝑦 = ln 𝑢  𝑦′ = 
1
𝑢
. 𝑢′ 
9) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢  𝑦′ =
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑒
𝑢
. 𝑢′ 
10) 𝑦 = 𝑎𝑢  𝑦′ = 𝑎𝑢 . ln 𝑎. 𝑢′ 
11) 𝑦 = 𝑒𝑢  𝑦′ = 𝑒𝑢 . 𝑢′ 
12) 𝑦 = 𝑢𝑣  𝑦′ = 𝑣. 𝑢𝑣−1. 𝑢′ + ln 𝑢 . 𝑢𝑣 . 𝑣′ 
13) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑦′= cos 𝑢 . 𝑢′ 
14) 𝑦 = cos 𝑢  𝑦′ = − sen 𝑢 . 𝑢′ 
15) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢  𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2𝑢. 𝑢′ 
16) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑦′ = − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑢. 𝑢′ 
17) 𝑦 = sec 𝑢  𝑦′ = sec 𝑢 . tan 𝑢 . 𝑢′ 
18) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢  𝑦′ = − cossec 𝑢 . cotan 𝑢 . 𝑢′ 
19) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢  𝑦′ =
𝑢′
√1−𝑢²
 
20) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑢  𝑦′ =
−𝑢′
√1−𝑢²
 
21) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑢  𝑦′ = 
𝑢′
1+𝑢²
 
22) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cotan 𝑢  𝑦′ = 
−𝑢′
1+𝑢²
 
23) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑢 , |𝑢| ≥ 1  𝑦′ = 
𝑢′
|𝑢|.√𝑢²−1
, |𝑢| > 1 
24) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cossec 𝑢 , |𝑢| ≥ 1  𝑦′ = 
−𝑢′
|𝑢|.√𝑢2−1
, |𝑢| > 1 
 
 
a, c, n são constantes 
u,v,w são funções de x 
 
 
Cálculo I - Lista de Exercícios - Derivadas 
 
1. Determine a derivada das funções: 
 
23
32
)()
53)()
8)()
123)()
3
2
)()
3)()
1)()
2)()
12)()
3
2
3
2













x
x
xfi
xxfh
xxfg
xxxff
x
x
xfe
xxfd
xxfc
xxfb
xxfa
 
 
2. Derive as funções. 
 
34)()
23)()
23
12
)()
23
12
)()
62)()
)123()()
23
2
3
2
4
223
42






















xxxxff
xxxfe
xx
x
xfd
x
x
xfc
xxxxfb
xxxfa
 
   4
1
2
1
1.5)()
4.5)()
32)()
53
)2(
)()
3
7
)()
32
3 32
3 4
2
22









xxxfk
xxxfj
xxxfi
x
x
xfh
x
x
xfg
 
4
3
2
2
)3cot()
42)
cos)
sec)
sec4cos3)
xxyp
xxsenyo
xyn
xxym
xxyl





 
 
3. Determine as derivadas segundas das funções. 
x
x
yc
xxyb
xxxya
12
)
3212)
57)
2
23




 
)23()
)323()
)27).(35()
4
435
32
xxyf
xxye
xxxyd



 
2
3
2
2
2
2
)
13
3
)











xx
x
yh
x
xx
yg
 
 
4. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: 
x
yf
xxye
d
yc
yb
ya
xx
xsen
xx
x
1
log)
)2(log)
3.2 )
4)
10)
6)
3
2
45
2
2
3
2
2







 
2
)
2
)
)
)
)
log
)
32
3
5
2
xx
xx
xsen
xx
x
ee
yl
ee
yk
eyj
eyi
eyh
x
x
yg












 
2)
2cos)
cos)
)( )
ln)()
41ln)()
)1ln()()
2
2
3
2
2
tgys
sxyr
xyq
xsenyp
xxxfo
xxfn
xxfm







 
3
42
7
3
23
8
2
24
347
)()
238)()
1
)()
32)()
23)()
5
4
)()
)53(
2
1
)()
234)()












xfq
xxxfp
x
xxfo
xxxxfn
xxxfm
xx
xfl
xxxfk
xxxxfj
4
2
2
3
3
2
3
224
223
34
2523
34
)()
23
)()
8
8
)()
14
42
)()
)53).(132()()
)32).(53()()
)65).(12()()
)3(.)42()()
x
xx
xfz
xx
x
xfy
x
x
xfx
xx
x
xfw
xxxxfv
xxxxxxfu
xxxxft
xxxxxfs














 
O que as derivadas informam sobre o gráfico de uma função? 
 
Lembrando que a derivada primeira nos dá a taxa de variação, o que podemos dizer sobre a função 
sabendo que sua taxa de variação em determinado ponto é positiva? 
 
CONDIÇÃO DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: 
 
 Considere uma função f crescente no intervalo ]a, b[, ou seja, para quaisquer 𝑥1, 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[, 
tem-se 𝑥2 > 𝑥1 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) , como mostra o gráfico da Figura 1. 
 Ao analisar este gráfico, é possível observar que, para qualquer ponto 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, tem-se 𝑓′(𝑥) >
0, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x é um número 
positivo. 
 
 Considere, agora, uma função decrescente no intervalo ]a, b[, isto é, para quaisquer 𝑥1, 𝑥2 ∈
 ]𝑎, 𝑏[, tem-se 𝑥2 > 𝑥1 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) , como mostra o gráfico da Figura 2 
. No caso da função decrescente, é possível observar que, para qualquer ponto 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, tem-se 
𝑓′(𝑥) < 0, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x é um 
número negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
Logo, 
a) Se 𝑓′(𝑥) > 0sobre um intervalo, então f é crescente nele. 
b) Se 𝑓′(𝑥) < 0sobre um intervalo, então fé decrescente nele. 
 
Exemplo: Verificar em qual(is) intervalo(s) a função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥 + 4 é crescente e em qual(is) é 
decrescente. 
 
Resolução: 
Calculando a derivada da função, temos: 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 3. 
A função f(x) é crescente quando f ’(x)>0, então: 3𝑥2 − 3 > 0  
𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1. 
A função f(x) é decrescente quando f ’(x)<0, então: 3𝑥2 − 3 < 0  − 1<𝑥 <
1. 
 
 
 
 
PONTO DE INFLEXÃO: 
 
 
Um ponto I sobre a curva f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva 
mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em I . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS: 
 
Uma função tem um máximo absoluto (ou máximo global) em c se f (c) >f (x) para todo x em 
D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado de valor máximo de f em D. Analogamente, f 
tem um mínimo absoluto em c se f (c) <f (x) para todo x em D e o número f (c) é chamado de valor 
mínimo de f em D. Os valores máximos e mínimos de f são chamados de valores extremos de f. 
 
Dizemos que uma função tem um máximo local (ou máximo relativo) em c sef (c) >f (x) quando 
x estiver numa proximidade de c. [Isto significa que f (c) >f (x)para todo x em um intervalo aberto 
contendo c]. Analogamente f tem um mínimo local em c se f (c) <f (x) quando x estiver nas proximidades 
de c 
 
Observe o gráfico da função abaixo definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥², −1 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR EXTREMO: Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b] então f assume um 
valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em algum número c e d em [a,b]. 
x0 
Ponto de inflexão 
Concavidade 
para cima 
Concavidade 
para baixo 
x0 
Ponto de inflexão 
Concavidade 
para cima 
Concavidade 
para baixo 
Máximo 
local 
Máximo 
local 
Máximo 
local 
Mínimo 
local 
Mínimo 
local 
 
 
TEOREMA DE FERMAT: Se f tiver um ponto de máximo ou mínimo local em c ef '(c) existir, então 
f ' (c) = 0 . 
 
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um ponto crítico de f. 
 
 
DEFINIÇÃO: Um número crítico em uma função f é um número c no domínio de f onde ou f '(c) = 0 
ou f '(c) não existe. 
 
 
Exemplo: Encontre os pontos críticos das funções a seguir: 
a) 𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 7 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥3
3
+
𝑥2
2
− 2𝑥 + √2 
Resolução: Resolução: 
𝑦′ = 6𝑥 − 6 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 
𝑦′ = 0  6𝑥 − 6 = 0  𝑥 = 1 𝑓′(𝑥) = 0 𝑥² + 𝑥 − 2 = 0 𝑥1 = 2 𝑜𝑢 𝑥2 = 1 
Ponto crítico x = 1. Pontos críticos: x = -2 e x = 1. 
 
 
TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA: 
 
Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f . 
 
a) Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então tem um máximo local em c. 
 
b) Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então tem um mínimo local em c. 
 
c) Se f’ não mudar de sinal em c então não tem um máximo ou mínimo locaisem c. 
 
 
Exemplos: 
 
1) No exemplo anterior, encontramos, como pontos críticos x=-2 e x=1. Utilize a derivada da função 
para deduzir se os intervalos entre os pontos críticos são crescentes ou decrescentes (os intervalos são (-
,-2), (-2,1) e (1, )). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre os pontos críticos da função 𝑦 = 𝑥³e classifique os intervalos em crescente e decrescente, 
usando a derivada primeira da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrarmos os valores máximos e mínimos absolutos de uma função f em um intervalo 
fechado [a;b]: 
 
1- Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a; b); 
2- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo; 
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto. 
 
Exemplos: 
 
1) Usando o teste da derivada primeira, classifique os pontos de extremo da seguinte função: 𝑓(𝑥) = 𝑥², 
no intervalo [-3,3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 3, no intervalo [-2,3]. 
 
 
 
 
Como calcular o ponto de inflexão? Basta calcularmos a segunda derivada da função e igualarmos a 
zero, isto é f "(x) = 0. 
 
TESTE DA CONCAVIDADE: 
 
 
a) Se f "(x) > 0 para todo x em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para cima nesse intervalo. 
 
b) Se f "(x) < 0 para todo x em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para baixo nesse 
intervalo. 
 
 
Exemplo: Examine a curva 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥³ em relação à concavidade, pontos de inflexão. Use as 
informações para esboçar a curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veremos, abaixo, que existe outra maneira de classificarmos os pontos críticos em máximo e mínimo 
relativos. 
 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA: 
 
 Suponha que f "seja contínua na proximidade de c. 
 
 
a) Se f '(c) = 0 e f"(c) > 0, então f tem um mínimo local em c. 
b) Se f '(c) = 0 e f "(c) < 0, então f tem um máximo local em c. 
 
 
Exemplo: 
 
Examine as curvas abaixo em relação à concavidade, pontos de inflexão, mínimo e máximo local e 
intervalo crescente e decrescente. Use as informações para esboçar a curva. 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥³
3
− 4𝑥 + 2 b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3 + 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 2𝑥 + 1 verifique os intervalos para os quais a função é crescente 
e decrescente. Determine os pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo. Determine 
o ponto de inflexão, se houver. 
 
2) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos locais para 𝑦 = (𝑥2 − 1)³. 
 
3) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8, verifique os intervalos para os quais a função é crescente e 
decrescente. Determine os pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo. Determine o ponto 
de inflexão, se houver 
 
4) Determinar os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 6𝑥2 + 12𝑥 − 7 e classificá-los. 
 
5) Determinar os pontos críticos da função 𝑓(𝑥) =
𝑥³
3
+
𝑥2
2
− 2𝑥 e classificá-los. 
 
6) A função 𝑔(𝑥) = 𝑥² +
8𝑥
3
− 1 tem um ponto de mínimo local. Utilizando g’(x), determine-o. 
 
7) Encontre o valor de x em que a função 𝑓(𝑥) = −6𝑥2 + 7𝑥 − 2 deixa de ser crescente e passa a ser 
decrescente. 
 
8) Dada a função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)³, determine seu ponto de inflexão. 
 
9) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ − 2𝑥, no ponto x = 1. 
 
10) Considere a função 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
− 3𝑥3 +
23𝑥2
2
− 15𝑥. 
 a) Determine os pontos em que a reta tangente ao gráfico da função f é paralela ao eixo x. 
b) Verifique se cada um desses pontos críticos é um ponto de máximo local, de mínimo local ou 
de inflexão. 
c) Verifique em quais intervalos a função é crescente ou decrescente. 
 
11) Encontre um número real, tal que a diferença entre ele e seu cubo seja a menor possível. Para resolver 
este problema, responda aos itens a seguir: 
 a) Chamando o número real de x e o valor da diferença entre ele e seu cubo de f(x), escreva uma 
função que relacione x e f(x). 
 b) Para determinar uma diferença que seja a menor possível, é necessário encontrar um ponto 
de máximo local ou um ponto de mínimo local? 
 c) De acordo com a resposta ao item b, determine esse número real. 
 
 
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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
Aplicações de ponto crítico, ponto de máximo e ponto de mínimo 
 
Exemplo 1: Uma empresa estimou as funções de receita e custo, conforme as demonstrações de seus 
ativos, num período de tempo: R(x) = 300x + 1000 e C(x) = x2 – 1000x – 1500. Determine: 
a) a função lucro L(x). 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 300𝑥 + 1000 − (𝑥2 − 1000𝑥 − 1500) 
𝐿(𝑥) = 300𝑥 + 1000 − 𝑥2 + 1000𝑥 + 1500 
𝐿(𝑥) = −𝑥2 + 1300𝑥 + 2500 
 
b) a quantidade que torna o lucro máximo 
𝐿′(𝑥) = −2𝑥 + 1300 
𝐿′(𝑥) = 0 
−2𝑥 + 1300 = 0 
𝑥 = 650 
 
c) o lucro máximo 
𝐿(650) = −6502 + 1300.650 + 2500 
𝐿(650) = 425000 
 
 
Exemplo 2: Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 1000cm, cuja área seja a maior 
possível. 
 
A = x.y 
 
Como o perímetro (soma dos lados) do retângulo é 1000m, as variáveis x e y estão 
relacionadas pela equação: 2x + 2y = 1000 ou y = 500 – x. 
Então, A = x . (500 – x)  A = 500x – x2 
 
Derivando A  𝐴′(𝑥) = 500 − 2𝑥 
 
Igualando A’(x) = 0, temos x =250. Logo, 𝑦 = 500 − 250 = 250. 
Área máxima: A = 500x – x2  A = 500.(250)-(250)²  A= 62 500 cm². 
 
Exemplo 3: Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 20cm de 
largura e 10cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se 
perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite 
construir uma caixa de volume máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Para esta empresa, o ideal é “produzir” 650 
unidades no período de tempo analisado, 
para que alcance o lucro máximo de $ 425 
000. 
 
x 
y 
20 - 2x 
10 - 2x 
x 
Volume de um paralelepípedo: 
V = a.b.c 
𝑉(𝑥) = (20 − 2𝑥). (10 − 2𝑥). 𝑥 
𝑉′(𝑥) = 12𝑥² − 120𝑥 + 200 
𝑉′(𝑥) = 0 
12𝑥² − 120𝑥 + 200 = 0 
𝑥 = 7,89 𝑜𝑢 𝑥 = 2,11 
A medida de x deve ser 2,11cm, pois não temos como 
retirar dois quadrados de 7,89cm de um lado de 10cm. 
 
1) Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível. 
 
2) Uma caixa deve ser feita com folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais 
dos quatro cantos e dobrando-se os lados, conforme figura abaixo. Qual é o tamanho dos quadrados para se 
obter uma caixa com o maior volume? 
 
3) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de 
R$ 200,00 por unidade. O custo total de produção para x unidades é de C(x) = 500 000 + 80x + 0,003x². Qual 
a quantidade que maximiza o lucro? 
 
4) Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio 
reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
 
5) Se 1200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com base quadrada e sem tampa, 
encontre o maior volume possível da caixa. 
 
6) Para as funções custo e receita abaixo, encontre o nível de produçãoque maximizará o lucro 
a) 𝐶(𝑥) = 680 + 4𝑥 + 0,01𝑥3𝑒 𝑅(𝑥) = 12𝑥 
b) 𝐶(𝑥) = 1450 + 36𝑥 − 𝑥2 + 0,001𝑥3𝑒 𝑅(𝑥) = 60𝑥 − 0,01𝑥² 
 
7) Suponhamos que o custo de produção de uma empresa é dado pela função 𝐶(𝑥) = −𝑥2 + 400𝑥 + 700, 
onde x é a quantidade produzida. Qual a quantidade que maximiza o custo? 
 
8) Um cilindro circular reto tem 1000 
3cm
 de volume e raio da base r em cm. Escreva 
a área total A da superfície do cilindro como função de variável r . Esboce o gráfico e 
estime o valor de r para que a área da superfície seja mínima. 
 
 Fórmulas: 
 Volume do cilindro 
hrV 2.
 
Área total do cilindro 
2.2..2 rhrA   
 
9) Uma caixa em forma de paralelepípedo tem base quadrada com lado x, altura y e volume igual a 324 
3cm
. O 
material da base custa R$ 2,00 por 
2cm
 e o da tampa e dos demais lados custa R$ 1,00 por 
2cm
. 
a) Escreva a fórmula do custo total C da caixa em função de x. 
b) Esboce o gráfico. 
c) Estime o valor de x para que o custo total seja mínimo. 
d) Qual é o valor do custo mínimo? 
R:a) 
x
xC 129623 
, 
)0( x
 c) 
6x
 e d) 
00,324$RCmín 
 
 
 
 
h 
r 
 
Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo 
 
Compreendendo o Problema: Leia o problema atentamente. Identifique as informações necessárias para 
resolvê-lo. O que é desconhecido? O que é dado? O que é pedido? 
 
Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema: Desenhe figuras e indique as partes que são 
importantes para o problema. Introduza uma variável para representar a quantidade a ser maximizada ou 
minimizada. Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor extremo forneça a informação 
pedida. 
 
Determine o Domínio da Função: Determine quais valores da variável têm sentido no problema. Se 
possível, esboce o gráfico da função. 
 
Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades: Determine onde a derivada é zero ou não existe. 
Utilize aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma função e sobre a física do problema. Use 
a primeira e a segunda derivada para identificar e classificar pontos críticos (onde f ’ = 0 ou não existe). 
 
Resolva o Modelo Matemático: Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro método para 
embasar ou confirmar sua solução. 
 
Interprete a solução: Traduza seu resultado matemático de volta para a linguagem original do 
problema e decida se o resultado tem sentido. 
 
 
Cálculo I - Exercícios de revisão 
1) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 12𝑥 − 5, determine, se existirem, os pontos críticos, classificando-os. 
 
2) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥 + 3, determine seus pontos críticos, classificando-os e os intervalos 
onde a função é crescente e decrescente. 
 
3) Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥2 + 2. 
 
4) Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos locais da função 
𝑓(𝑥) = 4𝑥³ − 8𝑥². 
 
5) Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das funções: 
a. 𝑓(𝑥) = 7𝑥² − 6𝑥 + 3 b. 𝑔(𝑥) = 5 + (𝑥 − 2)
7
5 c. ℎ(𝑥) =
𝑥3+3𝑥²−9𝑥+9
3
 
 
6) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo, dadas as funções: 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 5𝑥2 − 6𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
𝑥+4
. 
 
7) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que seu volume seja de 
2500m³. O material da base vai custar R$ 1200,00 por m² e o material dos lados R$ 980,00 por m². 
Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. (15,983m por 9,785m) 
 
8) Uma folha de papel para um cartaz tem 2m2 de área. As margens no topo e na base são de 25cm e nas 
laterais 15cm. Quais as dimensões da folha para que a área limitada pelas margens seja máxima? 
(1,09mx1,83m) 
9) Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6 
280m3. Sabendo que o custo da chapa de aço é de R$50,00 o m2, determine o raio, a altura do reservatório 
de modo que o custo seja mínimo e o custo mínimo. (r10m e h20m e R$94 200,00) 
 
 
10) Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dada por N = 5000(25 + te-t/20). 
Encontre o maior número de bactérias durante o intervalo de tempo 0 

 t 

 100. (20) 
 
11) Seja 𝐶𝑇 = 1000 + 3𝑥 +
1
20
𝑥² a função custo associada à produção de um bem, e na qual x representa 
a quantidade produzida, determine: 
a) a função custo marginal. 
b) o custo marginal ao nível de 20 unidades. (5) 
c) Caso existam, os valores de x para os quais o custo marginal é zero. 
 
12) Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo. (50 e 50) 
 
13) Se a função receita de um produto for 𝑅(𝑥) = −2𝑥2 + 400𝑥, obtenha o valor de x que maximiza a 
receita. (x=100) 
 
14) Dada a função custo 𝐶(𝑥) = 50𝑥 + 1000, obtenha o custo marginal e interprete o resultado. 
 
15) Uma pista de atletismo com comprimento total de 400m consiste de 2 semicírculos e 
dois segmentos retos. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, 
demarcada na figura, seja máxima. (a=100m e r=100/m) 
16) Usando L’Hopital, calcule: 
a) 
34
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 b) 
senx
x
x
0
lim
 c) 
xx
x
ex
1
0
)(lim 

 
17) Determine a equação da reta tangente à curva y = - x2 + 4, no ponto de abscissa x = 0, utilizando 
limite para calcular o coeficiente angular. 
 
18) Determine a equação da reta tangente à curva y = 3x2 – 5x + 1, no ponto de abscissa x = 1, utilizando 
limite para encontrar o coeficiente angular. 
 
19) Determine a equação da reta tangente à curva y = 4 - x2 , no ponto de abscissa x = 3. Esboce o 
gráfico. 
 
20) Obtenha os limites: 
 
a) 
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
 (6) 
b) 
xx
x
x  2
3
0 2
lim
 (0) 
c) 
1
2
lim
5
2
1 

 x
xx
x
() 
d) 
2
33
lim
23
23
0 

 xx
xxx
x
(-3/2) 
e) 
x
xx
x
121
lim
2
0


 (-1) 
f) 
232
4
lim
2
2 

 xx
x
x
 (-8) 
g) 
)1235(lim 23  xxxx
 
h) 
)122(lim 245  xxxx
 
i) 
)123(lim 24  xxx
(-) 
j) 
1
12
lim
2
2



x
x
x
 (2) 
k) 
24
23
7
54
lim
xx
xxx
x



 (0)
 
 
a 
r