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<p>1</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E</p><p>INTEGRAL I</p><p>Bruno de Almeida Dias</p><p>Márcio Antônio Cometti</p><p>2</p><p>BRUNO DE ALMEIDA DIAS</p><p>Graduado em Licenciatura Matemática (2013) pela Universidade federal de Ouro Preto,</p><p>especialista em Educação Matemática (2016) pelo Instituto Federal de Minas Gerais</p><p>Campus Ouro Preto e mestre pelo programa de pós-graduação em Educação</p><p>Matemática da UFOP (2018). Possui experiência na área de Matemática, com ênfase em</p><p>Matemática e Educação Matemática.</p><p>MÁRCIO ANTÔNIO COMETTI</p><p>Possui graduação em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais</p><p>(2005), mestrado em Educação Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto</p><p>(2018). Atualmente é professor auxiliar - Faculdade Integradas Pitágoras e professor da</p><p>Escola Estadual Engenheiro Francisco Bicalho (SEE-MG). Trabalhos acadêmicos na área de</p><p>Ensino de Cálculo Diferencial e Integral e uso de Tecnologias da Informação e</p><p>Comunicação na Educação Matemática, especificamente na área de Calculo de Várias</p><p>Variáveis.</p><p>CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I</p><p>1ª edição</p><p>Ipatinga – MG</p><p>2024</p><p>3</p><p>FACULDADE ÚNICA EDITORIAL</p><p>Diretor Geral: Valdir Henrique Valério</p><p>Diretor Executivo: William José Ferreira</p><p>Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos</p><p>Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira</p><p>Revisão Gramatical e Ortográfica: Bruna Luiza Mendes Leite</p><p>Elislaine Patrícia dos Santos</p><p>Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes Leite</p><p>Lorena Oliveira Portugal da Silva</p><p>Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva</p><p>Élen Cristina Teixeira Oliveira</p><p>Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.</p><p>NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA</p><p>Rua Salermo, 299</p><p>Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG</p><p>Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300</p><p>www.faculdadeunica.com.br</p><p>© 2024, Faculdade Única.</p><p>Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização</p><p>escrita do Editor.</p><p>http://www.faculdadeunica.com.br/</p><p>4</p><p>Menu de Ícones</p><p>Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo</p><p>aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles</p><p>são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um</p><p>com uma função específica, mostradas a seguir:</p><p>São sugestões de links para vídeos, documentos</p><p>científicos (artigos, monografias, dissertações e teses),</p><p>sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca</p><p>e Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo</p><p>abordado.</p><p>Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações</p><p>importantes nas quais você deve ter um maior grau</p><p>de atenção!</p><p>São exercícios de fixação do conteúdo abordado</p><p>em cada unidade do livro.</p><p>São para o esclarecimento do significado de</p><p>determinados termos/palavras mostradas ao longo</p><p>do livro.</p><p>Este espaço é destinado para a reflexão sobre</p><p>questões citadas em cada unidade, associando-o a</p><p>suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu</p><p>cotidiano.</p><p>5</p><p>SUMÁRIO</p><p>FUNÇÕES ................................................................................................................ 8</p><p>1.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 8</p><p>1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ...................................................................................... 8</p><p>1.3 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU .......................................................................... 11</p><p>1.3.1 Gráficos .............................................................................................................. 12</p><p>1.3.2 Características .................................................................................................. 17</p><p>1.4 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ......................................................................... 18</p><p>1.4.1 Raiz de uma função do segundo grau ........................................................ 18</p><p>1.4.2 Vértice da parábola ........................................................................................ 19</p><p>1.4.3 Máximo e mínimo ............................................................................................. 20</p><p>1.4.4 Gráfico de uma função do segundo grau ................................................. 21</p><p>1.5 Função Exponencial ......................................................................................... 23</p><p>1.5.1 Gráfico de uma função exponencial .......................................................... 23</p><p>1.6 Função Logarítmica .......................................................................................... 24</p><p>1.6.1 Gráfico de uma função logarítmica ............................................................ 25</p><p>1.7 FUNÇÃO MODULAR ........................................................................................... 25</p><p>1.8 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA ............................................................................. 28</p><p>1.9 FUNÇÃO COMPOSTA ........................................................................................ 30</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 32</p><p>LIMITES ..................................................................................................... 35</p><p>2.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 35</p><p>2.2 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO ............................................................... 35</p><p>2.3 PROPRIEDADE DE LIMITE E CÁLCULOS .............................................................. 39</p><p>2.4 LIMITES LATERAIS ................................................................................................ 40</p><p>2.5 CONTINUIDADE .................................................................................................. 42</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 46</p><p>LIMITES NO INFINITO ............................................................................... 49</p><p>3.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 49</p><p>3.2 LIMITES INFINITOS ............................................................................................... 49</p><p>3.3 LIMITES NO INFINITO .......................................................................................... 52</p><p>3.4 PROPRIEDADE DE LIMITE E CÁLCULOS .............................................................. 54</p><p>3.5 ASSÍNTOTAS ........................................................................................................ 55</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 60</p><p>DERIVADAS .............................................................................................. 64</p><p>4.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 64</p><p>4.2 Taxa de variação .............................................................................................. 64</p><p>4.2.1 Reta Tangente .................................................................................................. 64</p><p>4.2.2 Derivada como velocidade e aceleração ................................................ 68</p><p>4.3 Definição de Derivada ..................................................................................... 69</p><p>4.4 Derivada</p><p>+ 1) = lim</p><p>𝑥2⟶1</p><p>2 ∙ (𝑥2 + 1) = 2 ∙ (𝑥1 + 1) = 2 ∙ (1 + 1) = 2 ∙ (2) = 4</p><p>Logo, temos que 𝑚𝑃𝑄 = 4, e como conhecemos as coordenadas do ponto 𝑃,</p><p>podemos determinar a equação da reta tangente, através da fórmula 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙</p><p>(𝑥 − 𝑥0), lembrando que 𝑥0 e 𝑦0 são as coordenadas do ponto conhecido.</p><p>𝑦 − 3 = 4 ∙ (𝑥 − 1) ⇔ 𝑦 = 4𝑥 − 4 + 3 ⇔ 𝑦 = 4𝑥 − 1.</p><p>Portanto a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 2𝑥2 + 1 que passa pelo</p><p>ponto 𝑃 = (1,3) tem equação 𝑦 = 4𝑥 − 1, representada na figura a seguir.</p><p>Figura 41: a reta tangente à curva 𝑦 = 2𝑥2 + 1</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>68</p><p>Esse tipo de limite, que serve para determinar a inclinação da reta tangente,</p><p>recebe o nome de Derivada de uma função.</p><p>4.2.2 Derivada como velocidade e aceleração</p><p>Os problemas que envolvem velocidade e aceleração são bem utilizados na</p><p>Física, nesse tópico abordaremos esses conceitos utilizando a ideia de limite e</p><p>consequentemente a ideia de derivada.</p><p>Um exemplo prático, seria pensarmos numa corrida de Fórmula 1. A distância</p><p>percorrida pelos carros pode ser medida em função de um certo intervalo de tempo.</p><p>A velocidade varia conforme cada piloto aciona o acelerador ou o freio, essa</p><p>velocidade pode ser calculada através dos limites.</p><p>Seja um carro se movendo em linha reta e a distância percorrida por ele seja</p><p>representado pela função 𝑆(𝑡), até o instante 𝑡. Para o um intervalo de tempo ∆𝑡,</p><p>temos que o tempo inicial será 𝑡 e o tempo final será 𝑡 + ∆𝑡, assim, o carro sofrerá um</p><p>deslocamento que é representado pela posição final subtraída da posição inicial:</p><p>∆𝑆 = 𝑆(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑆(𝑡).</p><p>Lembrando que a velocidade média é dada por: 𝑉𝑚 =</p><p>∆𝑆</p><p>∆𝑡</p><p>, em nosso exemplo,</p><p>teremos que a velocidade média no intervalo ∆𝑡 é dada por: 𝑉𝑚 =</p><p>𝑆(𝑡+∆𝑡)−𝑆(𝑡)</p><p>𝑡+∆𝑡−𝑡</p><p>=</p><p>𝑆(𝑡+∆𝑡)−𝑆(𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>. Essa velocidade média, não indica a velocidade em certo instante 𝑡, assim,</p><p>se quisermos determinar a velocidade instantânea 𝑉(𝑡) do carro no instante 𝑡,</p><p>devemos calcular a velocidade média em instantes de tempo ∆𝑡 cada vez menores.</p><p>Portanto, a velocidade instantânea pode ser dada por: 𝑉(𝑡) = lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>∆𝑆</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>𝑆(𝑡+∆𝑡)−𝑆(𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>Uma outra expressão para determinar reta tangente</p><p>Seja ℎ = 𝑥2 − 𝑥1 ⇔ 𝑥2 = ℎ + 𝑥1, considerando a inclinação da reta secante 𝑃𝑄,</p><p>𝑚𝑃𝑄 =</p><p>𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)</p><p>𝑥2 − 𝑥1</p><p>=</p><p>𝑓(ℎ + 𝑥1) − 𝑓(𝑥1)</p><p>(ℎ + 𝑥1) − 𝑥1</p><p>=</p><p>𝑓(ℎ + 𝑥1) − 𝑓(𝑥1)</p><p>ℎ</p><p>Quando 𝑥2 ⟶ 𝑥1, temos que ℎ ⟶ 0, assim a inclinação da reta tangente é dada por:</p><p>𝑚 = lim</p><p>ℎ⟶0</p><p>𝑓(ℎ + 𝑥1) − 𝑓(𝑥1)</p><p>ℎ</p><p>.</p><p>69</p><p>A ideia de aceleração, está ligada diretamente aos problemas de velocidade</p><p>instantânea. A aceleração média em um intervalo de tempo de 𝑡 até ∆𝑡, é dada por:</p><p>𝑎𝑚 =</p><p>𝑉(𝑡+∆𝑡)−𝑉(𝑡)</p><p>𝑡+∆𝑡−𝑡</p><p>=</p><p>𝑉(𝑡+∆𝑡)−𝑉(𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>. Para encontrarmos a aceleração instantânea 𝑎(𝑡) do</p><p>carro no instante 𝑡, devemos calcular a aceleração média em instantes de tempo ∆𝑡</p><p>cada vez menores, logo a aceleração instantânea é: 𝑎(𝑡) = lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>𝑉(𝑡+∆𝑡)−𝑉(𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>.</p><p>Exemplo:</p><p>A posição de um corpo num instante 𝑡 é dada por 𝑆(𝑡) = 20𝑡 − 𝑡2, o corpo</p><p>começa a se movimentar no instante 𝑡 = 0.</p><p>I) Determine a velocidade do corpo no instante 𝑡 = 3.</p><p>II) Determine a aceleração nesse mesmo instante.</p><p>a) A velocidade média é dada por: 𝑉𝑚 =</p><p>∆𝑆</p><p>∆𝑡</p><p>, nesse caso:</p><p>𝑉(𝑡) = lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>∆𝑆</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20(𝑡 + ∆𝑡) − (𝑡 + ∆𝑡)2 − [20𝑡 − 𝑡2]</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20𝑡 + 20∆𝑡 − 𝑡2 − 2𝑡∆𝑡 − ∆𝑡2 − 20𝑡 + 𝑡2</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20∆𝑡 − 2𝑡∆𝑡 − ∆𝑡2</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>∆𝑡(20 − 2𝑡 − ∆𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20 − 2𝑡 − ∆𝑡 = 20 − 𝑡</p><p>Aplicando 𝑡 = 3, temos 20 − 3 = 17 𝑢. 𝑣.</p><p>b) A aceleração média é dada por: 𝑎𝑚 =</p><p>𝑉(𝑡+∆𝑡)−𝑉(𝑡)</p><p>∆𝑡</p><p>, nesse caso</p><p>𝑎(𝑡) = lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20 − (𝑡 + ∆𝑡) − [20 − 𝑡]</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>20 − 𝑡 − ∆𝑡 − 20 + 𝑡</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>−∆𝑡</p><p>∆𝑡</p><p>= lim</p><p>∆𝑡→0</p><p>−1 = −1</p><p>O valor negativo para uma aceleração, representa um movimento de</p><p>desaceleração, ou seja, o carro está reduzindo sua velocidade nesse caso, no</p><p>instante 𝑡 = 3.</p><p>4.3 DEFINIÇÃO DE DERIVADA</p><p>Considere a função 𝑓(𝑥) contínua no intervalo [𝑥1, 𝑥2] e um número 𝑎</p><p>pertencente a esse intervalo, chamamos de derivada de 𝑓(𝑥) em 𝑎 o seguinte limite:</p><p>𝑓′(𝑎) = lim</p><p>ℎ⟶0</p><p>𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)</p><p>ℎ</p><p>Podemos utilizar as seguintes notações para derivada:</p><p>70</p><p>𝑦′ = 𝑓´(𝑥);</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>; 𝐷𝑥𝑓(𝑥) ou 𝐷𝑥𝑦</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 4𝑥 − 10 em um número 𝑎.</p><p>Em primeiro lugar vamos definir 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑎 + ℎ):</p><p>𝑓(𝑎) = 5𝑎2 + 4𝑎 − 10 e</p><p>𝑓(𝑎 + ℎ) = 5(𝑎 + ℎ)2 + 4(𝑎 + ℎ) − 10, desenvolvendo temos:</p><p>𝑓(𝑎 + ℎ) = 5𝑎2 + 10𝑎ℎ + 5ℎ2 + 4𝑎 + 4ℎ − 10;</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)</p><p>ℎ</p><p>[5𝑎2 + 10𝑎ℎ + 5ℎ2 + 4𝑎 + 4ℎ − 10] − [5𝑎2 + 4𝑎 − 10]</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>5𝑎2 + 10𝑎ℎ + 5ℎ2 + 4𝑎 + 4ℎ − 10 − 5𝑎2 − 4𝑎 + 10</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>10𝑎ℎ + ℎ2 + 4ℎ</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>ℎ(10𝑎 + ℎ + 4)</p><p>ℎ</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>ℎ⟶0</p><p>(10𝑎 + ℎ + 4) = 10𝑎 + 4</p><p>Se 𝑓 for uma função derivável num ponto 𝑎, então 𝑓 é contínua nesse ponto.</p><p>2) Seja a função 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 , determine 𝑓′(0).</p><p>Na unidade anterior vimos que para uma função ser contínua temos:</p><p>𝑓(0) existe</p><p>𝑓(𝑥) , existe</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑓(0)</p><p>Para a função 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 , temos que 𝑓(0) = −1, logo</p><p>𝑓(0) existe.</p><p>Voltando ao problema da reta tangente, podemos determinar a inclinação dessa reta a</p><p>uma curva no ponto utilizando a derivada.</p><p>Verifique as condições de diferenciabilidade na página 135, do livro Cálculo – Volume I,</p><p>8ª edição, James Stewart, disponível em: https://tinyurl.com/59hx2bzk. Acesso em 31 maio</p><p>2024.</p><p>https://tinyurl.com/59hx2bzk</p><p>71</p><p>Para determinar 𝑓(𝑥) , precisamos calcular os limites laterais de 𝑓(𝑥), pela figura</p><p>fica mais fácil de observarmos os valores dos limites laterais.</p><p>Figura 42: Função definida por partes</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>𝑓(𝑥) = 0; 𝑓(𝑥) = 1</p><p>Portanto podemos concluir que a função 𝑓(𝑥) não é contínua, logo, ela não é</p><p>diferenciável. Assim, não será possível determinar o valor de 𝑓′(0).</p><p>4.4 DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO</p><p>No tópico anterior consideramos a derivada de uma função em um número 𝑎,</p><p>porém, consideramos que esse número 𝑎 irá variar. Substituindo 𝑎 por 𝑥 temos:</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)</p><p>ℎ</p><p>Dessa forma podemos considerar 𝑓′(𝑥) como uma nova função denominada</p><p>derivada de 𝑓(𝑥).</p><p>72</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 2.</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>(𝑥 + ℎ)2 − 6(𝑥 + ℎ) + 2 − [𝑥2 − 6𝑥 + 2]</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 6𝑥 − 6ℎ + 2 − 𝑥2 + 6𝑥 − 2</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>2𝑥ℎ + ℎ2 − 6ℎ</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>ℎ(2𝑥 + ℎ − 6)</p><p>ℎ</p><p>= (2𝑥 + ℎ − 6) = 2𝑥 − 6</p><p>2) Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = √𝑥.</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>√𝑥 + ℎ − √𝑥</p><p>ℎ</p><p>Observe que no numerador não teremos uma saída imediata calcular o limite.</p><p>Nesse caso, é necessário fazer uma racionalização, multiplicando o numerador e o</p><p>denominador por .</p><p>Observação: repare que o quociente é igual a 1, portanto fazendo , não alteramos o</p><p>valor de</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>√𝑥 + ℎ − √𝑥</p><p>ℎ</p><p>∙</p><p>√𝑥 + ℎ + √𝑥</p><p>√𝑥 + ℎ + √𝑥</p><p>=</p><p>(𝑥 + ℎ) + √𝑥 ∙ √𝑥 + ℎ − √𝑥 ∙ √𝑥 + ℎ − 𝑥</p><p>ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥)</p><p>=</p><p>𝑥 + ℎ − 𝑥</p><p>ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥)</p><p>=</p><p>ℎ</p><p>ℎ ∙ (√𝑥 + ℎ + √𝑥)</p><p>=</p><p>1</p><p>(√𝑥 + ℎ + √𝑥)</p><p>=</p><p>1</p><p>√𝑥 + √𝑥</p><p>=</p><p>1</p><p>2√𝑥</p><p>Observe que 𝑓′(𝑥) existe se 𝑥 > 0.</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>73</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Utilizando a definição de derivadas, calcule 𝑓′(𝑥) da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4</p><p>a) 𝑓′(𝑥) = 𝑥 + 1</p><p>b) 𝑓′(𝑥) =</p><p>2𝑥 + 1</p><p>c) 𝑓′(𝑥) = 4</p><p>d) 𝑓′(𝑥) = 𝑥</p><p>e) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥</p><p>2. Determine a equação da reta tangente à função 𝑓(𝑥) = 𝑥4, no ponto (1, 1).</p><p>a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥</p><p>b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3</p><p>c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4</p><p>d) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 3</p><p>e) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 − 3</p><p>3. Considerando a função 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥, determine 𝑓′(𝑥).</p><p>a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 + 9𝑥2 − 10𝑥 + 2</p><p>b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥4 + 6𝑥2 − 7𝑥 + 2</p><p>c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 + 𝑥2 − 7𝑥</p><p>d) 𝑓(𝑥) = −5𝑥4 + 𝑥2 − 7𝑥</p><p>e) 𝑓(𝑥) = −4𝑥4 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 2</p><p>4. Considerando a função 𝑔(𝑡) = 4𝑡 − 2𝑡2, determine 𝑔′(3).</p><p>a) 𝑔′(3) = 8</p><p>b) 𝑔′(3) = −8</p><p>c) 𝑔′(3) = 4</p><p>d) 𝑔′(3) = −4</p><p>e) 𝑔′(3) = 12</p><p>5. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 9.</p><p>a) 𝑓′(𝑥) = 6𝑥</p><p>b) 𝑓′(𝑥) = −6𝑥</p><p>c) 𝑓′(𝑥) = −9𝑥</p><p>74</p><p>d) 𝑓′(𝑥) = 9𝑥</p><p>e) 𝑓′(𝑥) = 9𝑥 + 1</p><p>6. Determine 𝑓′(−3), sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3.</p><p>a) 𝑓′(−3) = 4</p><p>b) 𝑓′(−3) = −4</p><p>c) 𝑓′(−3) = −12</p><p>d) 𝑓′(−3) = 12</p><p>e) 𝑓′(−3) = −8</p><p>7. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = √5𝑥.</p><p>a) 𝑓′(𝑥) =</p><p>√5</p><p>2√𝑥</p><p>b) 𝑓′(𝑥) =</p><p>1</p><p>2√𝑥</p><p>c) 𝑓′(𝑥) =</p><p>√5</p><p>𝑥</p><p>d) 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>2√5</p><p>e) 𝑓′(𝑥) = 𝑥</p><p>8. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>.</p><p>a) 𝑓′(𝑥) = −</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>b) 𝑓′(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>c) 𝑓′(𝑥) = 𝑥2</p><p>d) 𝑓′(𝑥) = −𝑥2</p><p>e) 𝑓′(𝑥) = −</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>75</p><p>TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO</p><p>5.1 INTRODUÇÃO</p><p>Nessa unidade vamos estudar algumas regras de derivação, tais regras nos</p><p>ajudam a fazer cálculos mais rápidos sem a necessidade de utilizar a definição de</p><p>derivadas e operar com limites.</p><p>5.2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES</p><p>5.2.1 Função constante</p><p>A função mais simples que temos é a função constante 𝑓(𝑥) = 𝑐. Essa função</p><p>é representada graficamente por uma reta horizontal (possui inclinação 0), dessa</p><p>forma sua derivada será sempre igual a zero.</p><p>𝑓′(𝑥) = 0 ou</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥) = 0</p><p>Podemos observar que o resultado dessa derivada, será sempre válido pela</p><p>seguinte definição: 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑎)</p><p>ℎ</p><p>.</p><p>Como a função é constante, fica natural substituir o valor de 𝑥 pelo 𝑐:</p><p>𝑓′(𝑐) =</p><p>𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑐 − 𝑐</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>0</p><p>ℎ</p><p>= 0 = 0</p><p>5.2.2 Função potência</p><p>A função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, sendo 𝑛 um número inteiro positivo, representa de forma</p><p>geral uma função potência, a derivada será dada por:</p><p>𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 ou</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1</p><p>Exemplo: Determine a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥.</p><p>Utilizando 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 = 1 ∙ 𝑥1−1 = 1 ∙ 𝑥0 = 1 ∙ 1 = 1</p><p>UNIDADE</p><p>05</p><p>76</p><p>5.2.3 Regra da multiplicação por constante</p><p>A derivada do produto de uma constante por uma função, é a constante</p><p>multiplicada pela derivada da função. Considere 𝑐 uma constante e 𝑓(𝑥) uma</p><p>função derivável, teremos:</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑐 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑓(𝑥)]</p><p>5.2.4 Regra da soma e da subtração</p><p>A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções.</p><p>Podemos considerar duas funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) deriváveis, temos para soma:</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑓(𝑥)] +</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑔(𝑥)] e para subtração:</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑓(𝑥)] −</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑔(𝑥)]</p><p>Exemplos</p><p>1) Determine a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3</p><p>Nesse caso podemos fazer a derivada de cada termo de forma separada.</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑓(𝑥) ) =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥2 − 2𝑥 + 3 ) =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥2) − 2</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥) +</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(3) = 2𝑥 − 2 + 0 = 2𝑥 − 2</p><p>2) Determine a derivada de 𝑔(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥3</p><p>Nesse exemplo podemos reescrever a função 𝑔(𝑥) como 𝑔(𝑥) = 𝑥−3, daí fica</p><p>natural utilizarmos a definição 𝑔′(𝑥) = −3 ∙ 𝑥−3−1 = −3 ∙ 𝑥−4 = −</p><p>3</p><p>𝑥4</p><p>3) Determine a derivada de 𝑔(𝑡) = √𝑡53</p><p>Aqui também podemos reescrever a função 𝑔(𝑡) como 𝑔(𝑡) = 𝑡</p><p>5</p><p>3, assim</p><p>podemos utilizar a definição 𝑔′(𝑡) =</p><p>5</p><p>3</p><p>∙ 𝑡</p><p>5</p><p>3</p><p>−1 =</p><p>5</p><p>3</p><p>∙ 𝑡</p><p>5−3</p><p>3 =</p><p>5</p><p>3</p><p>∙ 𝑡</p><p>2</p><p>3 =</p><p>5</p><p>3</p><p>∙ √𝑡23</p><p>.</p><p>5.3 REGRA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE</p><p>Existe uma regra específica para derivar funções que envolvem multiplicações</p><p>e divisões, para isso estudaremos agora, as regras do produto e do quociente.</p><p>5.3.1 Regra do produto</p><p>Seja 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) duas funções deriváveis, a regra do produto é definida da</p><p>seguinte maneira: 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥).</p><p>77</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a derivada de ℎ(𝑥) = (4𝑥2 − 2)(𝑥3 + 𝑥).</p><p>Observe que a função ℎ(𝑥) é formada pelo produto de outras duas funções,</p><p>nesse caso, podemos considerar 𝑓(𝑥) = (4𝑥2 − 2) e 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥), assim podemos</p><p>utilizar a regra do produto para determinar a derivada de ℎ(𝑥).</p><p>ℎ′(𝑥) = (4𝑥2 − 2) ∙ (𝑥3 + 𝑥)′ + (4𝑥2 − 2)′ ∙ (𝑥3 + 𝑥) =</p><p>(4𝑥2 − 2) ∙ (3𝑥2 + 1) + (8𝑥 − 0) ∙ (𝑥3 + 𝑥) = 12𝑥4 + 4𝑥2 − 6𝑥2 − 2 + 8𝑥4 + 8𝑥2 =</p><p>20𝑥4 + 6𝑥2 − 2</p><p>2) Derive a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1)</p><p>Considerando 𝑓(𝑥) como produto de outras duas funções, podemos utilizar a</p><p>regra do produto.</p><p>𝑓′(𝑥) = √𝑥 ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1)′ + (√𝑥)</p><p>′</p><p>∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) =</p><p>√𝑥 ∙ (2𝑥 + 3) + [(𝑥)</p><p>1</p><p>2]</p><p>′</p><p>∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) =</p><p>2𝑥</p><p>1</p><p>2 ∙ 𝑥 + 3√𝑥 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥−</p><p>1</p><p>2 ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) =</p><p>2𝑥</p><p>3</p><p>2 + 3√𝑥 +</p><p>1</p><p>2√𝑥</p><p>∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) =</p><p>2√𝑥3 + 3√𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2√𝑥</p><p>+</p><p>3𝑥</p><p>2√𝑥</p><p>−</p><p>1</p><p>2√𝑥</p><p>3) Considerando a função ℎ(𝑡) = (𝑡3 + 3𝑡2 − 2𝑡 − 5) ∙ √𝑡. Determine ℎ′(4).</p><p>ℎ′(𝑡) = (𝑡3 + 3𝑡2 − 2𝑡 − 5) ∙ (√𝑡)</p><p>′</p><p>+ (𝑡3 + 3𝑡2 − 2𝑡 − 5)′ ∙ √𝑡 =</p><p>(𝑡3 + 3𝑡2 − 2𝑡 − 5) ∙</p><p>1</p><p>2√𝑡</p><p>+ (3𝑡2 + 6𝑡 − 2) ∙ √𝑡 =</p><p>Para determinar o valor de ℎ′(4), basta substituir o valor na equação de ℎ′(𝑡)</p><p>que acabamos de determinar.</p><p>ℎ′(4) = (43 + 3 ∙ 42 − 2 ∙ 4 − 5) ∙</p><p>1</p><p>2√4</p><p>+ (3 ∙ 42 + 6 ∙ 4 − 2) ∙ √4</p><p>= (63 + 48 − 8 − 5) ∙</p><p>1</p><p>4</p><p>+ (48 + 24 − 2) ∙ 2</p><p>=</p><p>98</p><p>4</p><p>+ 140 =</p><p>98 + 560</p><p>4</p><p>=</p><p>658</p><p>4</p><p>=</p><p>329</p><p>2</p><p>5.3.2 Regra do quociente</p><p>Seja 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) duas funções deriváveis, a regra do quociente é definida da</p><p>78</p><p>seguinte maneira:</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>=</p><p>𝑓′(𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)</p><p>[𝑔(𝑥)]2</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a derivada de ℎ(𝑥) =</p><p>4𝑥2−2</p><p>𝑥3+𝑥</p><p>.</p><p>Observe que a função ℎ(𝑥) é formada pelo quociente entre outras duas</p><p>funções, nesse caso, podemos considerar 𝑓(𝑥) = (4𝑥2 − 2) e 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥), assim</p><p>podemos utilizar a regra do quociente para determinar a derivada de ℎ(𝑥).</p><p>ℎ′(𝑥) =</p><p>(4𝑥2 − 2)′ ∙ (𝑥3 + 𝑥) − (4𝑥2 − 2) ∙ (𝑥3 + 𝑥)′</p><p>[𝑥3 + 𝑥]2</p><p>=</p><p>=</p><p>(8𝑥) ∙ (𝑥3 + 𝑥) − (4𝑥2 − 2) ∙ (3𝑥2 + 1)</p><p>(𝑥3 + 𝑥) ∙ (𝑥3 + 𝑥)</p><p>=</p><p>8𝑥4 + 8𝑥2 − (12𝑥4 + 4𝑥2 − 6𝑥2 − 2)</p><p>𝑥6 + 2𝑥4 + 𝑥2</p><p>=</p><p>8𝑥4 + 8𝑥2 − 12𝑥4 − 4𝑥2 + 6𝑥2 + 2</p><p>𝑥6 + 2𝑥4 + 𝑥2</p><p>=</p><p>−4𝑥4 + 10𝑥2 + 2</p><p>𝑥6 + 2𝑥4 + 𝑥2</p><p>2) Derive a função 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>𝑥2+3𝑥−1</p><p>Considerando 𝑓(𝑥) como quociente entre outras duas funções, podemos</p><p>utilizar a regra do quociente.</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>(𝑥)′ ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) − 𝑥 ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1)′</p><p>[𝑥2 + 3𝑥 − 1]2</p><p>=</p><p>1 ∙ (𝑥2 + 3𝑥 − 1) − 𝑥 ∙ (2𝑥 + 3)</p><p>[𝑥2 + 3𝑥 − 1]2</p><p>=</p><p>𝑥2 + 3𝑥 − 1 − 2𝑥2 − 3𝑥</p><p>[𝑥2 + 3𝑥 − 1]2</p><p>=</p><p>−𝑥2 − 1</p><p>[𝑥2 + 3𝑥 − 1]2</p><p>3) Considerando a função ℎ(𝑡) =</p><p>𝑥2+2𝑥+1</p><p>𝑥2−2𝑥+1</p><p>. Determine ℎ′(2).</p><p>ℎ′(𝑡) =</p><p>[𝑥2 + 2𝑥 + 1]′ ∙ (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − (𝑥2 − 2𝑥 + 1) ∙ [𝑥2 − 2𝑥 + 1]′</p><p>[𝑥2 − 2𝑥 + 1]2</p><p>=</p><p>(2𝑥 + 2) ∙ (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − (𝑥2 + 2𝑥 + 1) ∙ (2𝑥 − 2)</p><p>[ (𝑥 − 1)2]2</p><p>=</p><p>2𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 2 − (2𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑥 − 2)</p><p>(𝑥 − 1)4</p><p>=</p><p>2𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 2 − 2𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑥 + 2</p><p>(𝑥 − 1)4</p><p>=</p><p>−4𝑥2 + 4</p><p>(𝑥 − 1)4</p><p>=</p><p>−4 ∙ (𝑥2 − 1)</p><p>(𝑥 − 1)4</p><p>=</p><p>−4 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)</p><p>(𝑥 − 1)4</p><p>=</p><p>−4 ∙ (𝑥 + 1)</p><p>(𝑥 − 1)3</p><p>Para determinar o valor de ℎ′(2), basta substituir o valor na equação de ℎ′(𝑡)</p><p>que acabamos de determinar.</p><p>79</p><p>ℎ′(2) =</p><p>−4 ∙ (2 + 1)</p><p>(2 − 1)3</p><p>=</p><p>−4 ∙ 3</p><p>13</p><p>=</p><p>−12</p><p>1</p><p>= −12</p><p>5.4 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>Definimos funções trigonométricas como as funções do tipo 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑐𝑜𝑠(𝑥),</p><p>𝑡𝑔(𝑥), 𝑠𝑒𝑐(𝑥), 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) e 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥),</p><p>nesse tópico veremos que podemos utilizar a</p><p>definição de derivada nessas funções.</p><p>É interessante que você estudante, faça uma revisão dos temas trigonometria</p><p>e funções trigonométricas para dar continuidade nos estudos sobre derivadas dessas</p><p>funções.</p><p>Seja 𝑓 a função seno, de modo que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) para determinarmos 𝑓′(𝑥)</p><p>vamos utilizar a definição de derivadas 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑎)</p><p>ℎ</p><p>.</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ℎ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>ℎ</p><p>Utilizando a identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑏) +</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑎) 𝑠𝑒𝑛(𝑏) temos que 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ℎ) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (ℎ) +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(ℎ).</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ℎ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (ℎ) +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(ℎ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>ℎ</p><p>= [𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ (</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (ℎ) − 1</p><p>ℎ</p><p>) +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∙ (</p><p>𝑠𝑒𝑛(ℎ)</p><p>ℎ</p><p>)]</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>ℎ⟶0</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚</p><p>ℎ⟶0</p><p>(</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (ℎ) − 1</p><p>ℎ</p><p>) + 𝑙𝑖𝑚</p><p>ℎ⟶0</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚</p><p>ℎ⟶0</p><p>(</p><p>𝑠𝑒𝑛(ℎ)</p><p>ℎ</p><p>)</p><p>= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ 0 +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∙ 1 = 0 +𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>Logo, temos que se 𝑓(𝑥) = então 𝑓′(𝑥) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) .</p><p>Verifique a demonstração da regra do produto na página 159 e da regra do quociente</p><p>na página 161 do livro Cálculo – Volume I, 8ª edição, James Stewart, disponível em:</p><p>https://tinyurl.com/tyb2rdyy. Acesso em 31 maio 2024.</p><p>https://tinyurl.com/tyb2rdyy</p><p>80</p><p>De maneira semelhante, podemos definir as derivadas das seguintes funções</p><p>trigonométricas:</p><p>𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) −𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>𝑡𝑔(𝑥) (𝑥)</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)</p><p>𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥)</p><p>Podemos utilizar as regras do produto e quociente para determinar algumas</p><p>derivadas.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Se 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) para determinarmos 𝑔′(𝑥) devemos considerar 𝑡𝑔(𝑥) =</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>, assim:</p><p>𝑔′(𝑥) =</p><p>[𝑠𝑒𝑛(𝑥)]′ ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ [𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ]′</p><p>[𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ]2</p><p>=</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∙ [−𝑠𝑒𝑛(𝑥)]</p><p>(𝑥)</p><p>=</p><p>(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)</p><p>(𝑥)</p><p>=</p><p>1</p><p>(𝑥)</p><p>= (𝑥)</p><p>2) Se 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) , para determinarmos a derivada dessa função,</p><p>precisamos utilizar a regra do produto.</p><p>𝑓′(𝑥) = 5𝑥3 ∙ [𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ]′ + [5𝑥3]′ ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>= 5𝑥3 ∙ [−𝑠𝑒𝑛(𝑥)] + 15𝑥2 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = −5𝑥3 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 15𝑥2 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>= 5[3𝑥2 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) − 𝑥3 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]</p><p>3) Considerando 𝑔(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 (𝑥), determine a 𝑔′(𝑥) e 𝑔′ (</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>).</p><p>𝑔′(𝑥) = −(𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) )′ = −(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥);</p><p>𝑔′ (</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>) = 1.</p><p>Em algumas funções trigonométricas, utilizar apenas a regra do produto ou</p><p>quociente, não são suficientes para determinarmos as derivadas de algumas</p><p>funções, para isso precisamos utilizar uma nova regra.</p><p>Na demonstração acima temos que , verifique essa igualdade nas páginas 165-167 do livro</p><p>Cálculo – Volume I, 8ª edição, James Stewart, disponível em https://tinyurl.com/muvu4zjs.</p><p>Acesso em 31 maio 2024.</p><p>https://tinyurl.com/muvu4zjs</p><p>81</p><p>5.5 REGRA DA CADEIA</p><p>Para calcularmos a derivada da função 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) precisamos utilizar uma</p><p>nova, chamada regra da cadeia, já que essa função é uma função composta. Note</p><p>que podemos nomear a função 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) sendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑔(𝑥) = 2𝑥.</p><p>Podemos utilizar a regra da cadeia se 𝑔 for derivável em 𝑥 e 𝑓 for derivável em</p><p>𝑔(𝑥), assim a função composta 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é derivável em 𝑥 e 𝐹′ é dada por:</p><p>𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)</p><p>também podemos utilizar a notação de Leibniz para representar a regra da</p><p>cadeia acima, daí como 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = (𝑔(𝑥)), temos:</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑢</p><p>∙</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>Exemplos:</p><p>1) Voltando ao exemplo inicial deste tópico, vamos determinar a derivada da</p><p>função 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) utilizando a regra da cadeia.</p><p>Considerando 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑔(𝑥) = 2𝑥, temos que:</p><p>𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛(𝑔(𝑥))]</p><p>′</p><p>∙ [2𝑥]′ =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∙ 2 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)</p><p>2) Faça a derivada da função 𝐺(𝑥) = √𝑥2 − 3.</p><p>Para resolver essa derivada, devemos considerar 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3,</p><p>temos que:</p><p>𝐺′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) = [√𝑔(𝑥)]</p><p>′</p><p>∙ [𝑥2 − 3]′ =</p><p>1</p><p>2√𝑥2 − 3</p><p>∙ 2𝑥 =</p><p>𝑥</p><p>√𝑥2 − 3</p><p>3) Faça a derivada da função (3𝑥4 + 10𝑥2 + 2)3.</p><p>Considerando 𝐹(𝑥) = (3𝑥4 + 10𝑥2 + 2)3 e 𝑓(𝑥) = 𝑥3 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥4 + 10𝑥2 + 2,</p><p>temos que:</p><p>𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) = [(𝑔(𝑥))</p><p>3</p><p>]</p><p>′</p><p>∙ [3𝑥4 + 10𝑥2 + 2]′ =</p><p>3(3𝑥4 + 10𝑥2 + 2)2 ∙ (12𝑥3 + 20𝑥)</p><p>5.6 DERIVADAS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS</p><p>A derivada da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0), é obtida utilizando a</p><p>regra da cadeia, para isso, devemos utilizar a propriedade de logaritmo 𝑎 = 𝑒𝑙𝑛𝑙𝑛 (𝑎) ,</p><p>assim:</p><p>𝑓′(𝑥) = (𝑎𝑥)′ = [(𝑒𝑙𝑛𝑙𝑛 (𝑎) )</p><p>𝑥</p><p>]</p><p>′</p><p>= [𝑒𝑙𝑛(𝑎)∙𝑥]</p><p>′</p><p>= 𝑒𝑙𝑛(𝑎)∙𝑥 ∙ (𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑎) ∙ 𝑥) = 𝑎𝑥 ∙𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑎)</p><p>82</p><p>Um caso particular da derivada de uma função exponencial, é o da função</p><p>𝑒𝑥, para isso podemos resolver pela definição de limite, assim:</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑒𝑥+ℎ − 𝑒𝑥</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑒𝑥 ∙ 𝑒ℎ − 𝑒𝑥</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑒𝑥(𝑒ℎ − 1)</p><p>ℎ</p><p>=</p><p>𝑒𝑥(𝑒ℎ − 1)</p><p>ℎ</p><p>= 𝑒𝑥 ∙</p><p>(𝑒ℎ − 1)</p><p>ℎ</p><p>= 𝑒𝑥 ∙ 1 = 𝑒𝑥</p><p>5.7 DERIVADAS SUCESSIVAS</p><p>Considerando 𝑓(𝑥) uma função derivável em um certo intervalo, termos a</p><p>função derivada 𝑓′(𝑥) e caso 𝑓′(𝑥) seja derivável nesse mesmo intervalo, podemos</p><p>derivar essa função novamente, e assim obter 𝑓′′(𝑥) e assim por diante.</p><p>Chamamos assim, 𝑓′(𝑥) a derivada de primeira ordem da função 𝑓(𝑥); 𝑓′′(𝑥) a</p><p>derivada de segunda ordem da função 𝑓(𝑥), 𝑓′′′(𝑥) a derivada de terceira ordem da</p><p>função 𝑓(𝑥) e a partir da derivada de ordem 4, utilizamos a seguinte notação 𝑓(4)(𝑥).</p><p>Esse conceito é bastante importante e será utilizado na próxima unidade.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine 𝑓′′(𝑥) da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥2 + 5.</p><p>Fazendo a derivada de primeira ordem, temos: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 4𝑥</p><p>Para encontramos a derivada de segunda ordem, basta derivar a função</p><p>𝑓′(𝑥), assim temos que 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 + 4</p><p>2) Determine a derivada de ordem quatro da função 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 1.</p><p>Vamos encontrar a derivada de ordem 4, para isso basta determinarmos as</p><p>derivadas de ordem um, dois e três.</p><p>𝑔′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 + 2;</p><p>𝑔′′(𝑥) = 6𝑥 + 6;</p><p>𝑔′′′(𝑥) = 6;</p><p>𝑔(4)(𝑥) = 0;</p><p>Observe que a partir da derivada de ordem quatro, todas as outras derivadas</p><p>também serão iguais a zero.</p><p>Verifique a igualdade , nas páginas 154-156 do livro Cálculo – Volume I, 8ª edição, James</p><p>Stewart, disponível em: https://tinyurl.com/322byj72. Acesso em 31 maio 2024.</p><p>https://tinyurl.com/322byj72</p><p>83</p><p>3) Determine a derivada de ordem três da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥).</p><p>Veja que nesse exemplo temos uma função composta.</p><p>𝑓′(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛(2𝑥))</p><p>′</p><p>∙ (2𝑥)′ =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) ∙ 2 = 2 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) ;</p><p>𝑓′′(𝑥) = 2 ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) )′ ∙ (2𝑥)′ = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ∙ 2) = −4 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥);</p><p>𝑓′′′(𝑥) = −4 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = −4 ∙ (𝑠𝑒𝑛(2𝑥))</p><p>′</p><p>∙ (2𝑥)′ = −8 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) .</p><p>Portanto, temos que 𝑓′′′(𝑥) = −8 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) .</p><p>5.8 DERIVADAS IMPLÍCITAS</p><p>Até agora trabalhamos com funções onde suas variáveis podem ser expressas</p><p>explicitamente uma em função da outra, como por exemplo 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥 ou 𝑦 =</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥).</p><p>Existem funções que suas variáveis são definidas implicitamente, por uma</p><p>relação entre 𝑥 e 𝑦, como por exemplo 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ou 2𝑥2 + 𝑦3 = 𝑥𝑦2.</p><p>Na função 𝑥2 + 𝑦2 = 4 é possível isolar 𝑦 como uma função explicita de 𝑥, assim</p><p>temos que 𝑦 = √4 − 𝑥2 e 𝑦 = −√4 − 𝑥2.</p><p>Já na função 2𝑥2 + 𝑦3 = 𝑥𝑦2 não conseguimos</p><p>escrever 𝑦 explicitamente como</p><p>uma função de 𝑥, nesse caso podemos determinar a derivada a derivada sem</p><p>escrever explicitamente 𝑦 em função de 𝑥.</p><p>Exemplos:</p><p>1) A derivada de 𝑥2 + 𝑦2 = 4 em relação a 𝑥 (</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>) é dada por:</p><p>Derivando ambos os lados da equação, obtemos:</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥2 + 𝑦2) =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(4) ⟹</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥2) +</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑦2) = 0 ⟹ 2𝑥 + 2 ∙ 𝑦 ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 0 ⟹</p><p>2𝑥 + 2 ∙ 𝑦 ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 0 ⟹ 2 ∙ 𝑦 ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −2𝑥 ⟹</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>2𝑥</p><p>2𝑦</p><p>⟹</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= −</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>Observe que para definir</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑦2), utilizamos a regra da cadeia pela notação</p><p>Repare que a função pode ser escrita explicitamente como a equação ode uma</p><p>circunferência, e assim podemos dividir essa circunferência em duas partes, sendo a parte</p><p>que fica acima do eixo- (semicircunferência superior) e a parte que fica abaixo do eixo-</p><p>(semicircunferência inferior).</p><p>84</p><p>de Leibniz.</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑢</p><p>∙</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>⟹</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑦2) =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑦2) ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>⟹</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑦2) = 2𝑦 ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>2) Para definir a derivada da função 2𝑥2 + 𝑦3 = 𝑥𝑦2 em relação a 𝑥, podemos</p><p>aplicar a derivada em ambos os lados da equação. Podemos utilizar a seguinte</p><p>notação:</p><p>(2𝑥2 + 𝑦3)′ = (𝑥𝑦2)′ ⟹ 4𝑥 + 3𝑦2 ∙ 𝑦′ = 𝑦2 + 𝑥 ∙ 2𝑦 ∙ 𝑦′ ⟹</p><p>3𝑦2 ∙ 𝑦′ − 𝑥 ∙ 2𝑦 ∙ 𝑦′ = −4𝑥 + 1 ∙ 𝑦2 ⟹ 𝑦′ ∙ (3𝑦2 − 2𝑥𝑦) = −4𝑥 + 𝑦2,</p><p>portanto temos que a derivada implícita é dada por: 𝑦′ =</p><p>−4𝑥+𝑦2</p><p>3𝑦2−2𝑥𝑦</p><p>.</p><p>Observação: Para determinar a derivada de 𝑦3 e 𝑥𝑦2 foi utilizado a regra da</p><p>cadeia, assim temos que:</p><p>(𝑦3 )′ = (𝑦3)′ ∙ 𝑦′ ⟹ (𝑦3 )′ = 3𝑦2 ∙ 𝑦′ e</p><p>(𝑥𝑦2 )′ = (𝑥)′ ∙ (𝑦2) + (𝑥) ∙ (𝑦2)′ ⟹ (𝑥𝑦2 )′ = 1 ∙ 𝑦2 + 𝑥 ∙ (2𝑦 ∙ 𝑦′) ⟹</p><p>(𝑥𝑦2 )′ = 𝑦2 + 𝑥 ∙ 2𝑦 ∙ 𝑦′</p><p>3) Para determinar a derivada da função 𝑓(𝑥) =𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑥) devemos utilizar os</p><p>conceitos sobre derivada implícita em relação a 𝑥. Sabendo que 𝑦 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑦 = 𝑥.</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑎𝑦) =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>(𝑥) ⟺ 𝑎𝑦 ∙𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑎) ∙</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 1 ⟺</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎𝑦 ∙𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑎)</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>85</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) .</p><p>a) 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>2√𝑥</p><p>− √𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>b) 𝑓′(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) −</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>2√𝑥</p><p>c) 𝑓′(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>d) 𝑓′(𝑥) = −√𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>e) 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>2√𝑥</p><p>2. Determine a derivada da função 𝑔(𝑡) =</p><p>1</p><p>2</p><p>∙ (𝑡2 + 5)(𝑡6 + 4𝑡).</p><p>a) 𝑔′(𝑡) = 4𝑡7 − 15𝑡5 − 6𝑡2 + 10</p><p>b) 𝑔′(𝑡) = 4𝑡7 + 15𝑡5 + 6𝑡2 + 10</p><p>c) 𝑔′(𝑡) = 15𝑡5 + 6𝑡2 + 10</p><p>d) 𝑔′(𝑡) = 4𝑡7 − 6𝑡2 − 10</p><p>e) 𝑔′(𝑡) = −15𝑡5 − 6𝑡2 + 10</p><p>3. Determine a derivada da função ℎ(𝑥) =𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) .</p><p>a) ℎ′(𝑥) = (𝑥)</p><p>b) ℎ′(𝑥) =𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>c) ℎ′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>d) ℎ′(𝑥) =𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>e) ℎ′(𝑥) = (𝑥) ∙ 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>4. Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥).</p><p>a) 𝑓′(𝑥) =𝑠𝑒𝑐 𝑠𝑒𝑐 (𝑥)</p><p>b) 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)</p><p>c) 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥)</p><p>d) 𝑓′(𝑥) = −1 + 𝑡𝑔2(𝑥)</p><p>e) 𝑓′(𝑥) = (𝑥)</p><p>5. Determine a derivada da função 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥)3.</p><p>a) 𝑔′(𝑥) = 6(3𝑥2 + 2)</p><p>b) 𝑔′(𝑥) = 9(3𝑥2 + 2)</p><p>86</p><p>c) 𝑔′(𝑥) = 3(𝑥3 + 2𝑥)2 ∙ (3𝑥2 + 2)</p><p>d) 𝑔′(𝑥) = 6(3𝑥2 + 2) ∙ (3𝑥2 + 2)</p><p>e) 𝑔′(𝑥) = 9(3𝑥2 + 2) ∙ (3𝑥2 + 2)</p><p>6. Determine a derivada da função ℎ(𝑥) = 𝑒2𝑥.</p><p>a) ℎ′(𝑥) = 2𝑒𝑥</p><p>b) ℎ′(𝑥) = 2𝑒−𝑥</p><p>c) ℎ′(𝑥) = 2𝑒2𝑥</p><p>d) ℎ′(𝑥) = 2𝑒−2𝑥</p><p>e) ℎ′(𝑥) = 𝑒2𝑥</p><p>7. Determine a derivada terceira da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).</p><p>a) 𝑓′′′(𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>b) 𝑓′′′(𝑥) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>c) 𝑓′′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>d) 𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)</p><p>e) 𝑓′′′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>8. Determine a derivada em relação a 𝑥 da função 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑦2 = 7.</p><p>a)</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑥−5𝑦</p><p>−3𝑦−𝑥</p><p>b)</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑥−5𝑦</p><p>3𝑦+𝑥</p><p>c)</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−𝑥−5𝑦</p><p>3𝑦−𝑥</p><p>d)</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>−2𝑥+5𝑦</p><p>6𝑦−5𝑥</p><p>e)</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>2𝑥−5𝑦</p><p>6𝑦+5𝑥</p><p>87</p><p>APLICAÇÕES DA DERIVADA</p><p>6.1 INTRODUÇÃO</p><p>Nesta unidade utilizaremos todos os conceitos sobre derivada utilizados nas</p><p>unidades anteriores. A utilização desses conceitos nos permite resolver diversos tipos</p><p>de problemas, que veremos a seguir.</p><p>6.2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES</p><p>A derivada de uma função nos permite analisar em quais intervalos a função</p><p>é crescente ou decrescente. Para isso, basta verificar as seguintes condições:</p><p> Se 𝑓′(𝑥) < 0, então a função é decrescente.</p><p> Se 𝑓′(𝑥) > 0, então a função é crescente.</p><p>As desigualdades acima nos mostram os intervalos em que uma função é</p><p>crescente ou decrescente, para analisar esses intervalos, em primeiro lugar</p><p>determinamos 𝑓′(𝑥) = 0, que é chamado de ponto crítico.</p><p>O ponto crítico, é quando a reta tangente nesse ponto tem inclinação igual a</p><p>zero, além disso, uma função pode ser crescente ou decrescente nos intervalos</p><p>limitados pelos pontos críticos.</p><p>Dessa forma, para definirmos se uma função é crescente ou decrescente em</p><p>um certo intervalo, seguiremos os seguintes passos: Considere uma função contínua</p><p>𝑓(𝑥), com domínio pertencente aos números reais.</p><p>1. Fazer 𝑓′(𝑥);</p><p>2. Encontrar os pontos críticos 𝑓′(𝑥) = 0, na figura abaixo consideramos 𝑎 e 𝑏</p><p>como pontos críticos;</p><p>Figura 43: Pontos Críticos</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>UNIDADE</p><p>06</p><p>88</p><p>3. Definir os intervalos: 𝑥 < 𝑎; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏; 𝑥 > 𝑏;</p><p>4. Escolher um valor qualquer para 𝑥 pertencente a cada intervalo</p><p>selecionado.</p><p>5. Substituir o valor de 𝑥 escolhido na função 𝑓′(𝑥).</p><p>6. Verificar se os valores são positivos (função crescente) ou negativos (função</p><p>decrescente).</p><p>Exemplos:</p><p>1) Verifique em que intervalos função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 15𝑥2 + 36𝑥 + 3 é crescente</p><p>ou decrescente.</p><p>Para determinarmos esses intervalos, seguiremos os passos apresentados</p><p>anteriormente.</p><p>1. 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 30𝑥 + 36</p><p>2. 𝑓′(𝑥) = 0 ⟹ 6𝑥2 + 30𝑥 + 36 = 0 ⟹ 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0</p><p>𝛥 = (−5)2 − 4(1)(6) ⟹ 𝛥 = 1</p><p>𝑥 =</p><p>−(5) ± √1</p><p>2</p><p>⟹ 𝑥1 =</p><p>−5 − 1</p><p>2</p><p>𝑥2 =</p><p>−5 + 1</p><p>2</p><p>⟹ 𝑥1 =</p><p>−6</p><p>2</p><p>𝑥2 =</p><p>−4</p><p>2</p><p>⟹ 𝑥1</p><p>= −3 𝑥2 = −2</p><p>3. Intervalos selecionados: 𝑥 < −3 ; −3 < 𝑥 < −2; 𝑥 > −2</p><p>4. Para 𝑥 < −3: podemos escolher 𝑥 = −4;</p><p>Para −3 < 𝑥 < −2: podemos escolher 𝑥 = −</p><p>3</p><p>2</p><p>;</p><p>Para 𝑥 > −2: podemos escolher 𝑥 = 1.</p><p>5. 𝑓′(−4) = 6(−4)2 + 30(−4) + 36 ⟹ 𝑓′(−4) = 12 (+)</p><p>𝑓′ (−</p><p>5</p><p>2</p><p>) = 6 (−</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+ 30 (−</p><p>5</p><p>2</p><p>) + 36 ⟹ 𝑓′ (−</p><p>5</p><p>2</p><p>) = −</p><p>3</p><p>2</p><p>(−)</p><p>𝑓′(1) = 6(1)2 + 30(1) + 36 ⟹ 𝑓′(1) = 72 (+)</p><p>6. No intervalo 𝑥 < −3, a função assume valores positivos, logo a função é</p><p>crescente.</p><p>Em −3 < 𝑥 < −2, a função assume valores negativos, logo a função é</p><p>decrescente.</p><p>Em 𝑥 > −2, a função assume valores positivos, logo a função é crescente.</p><p>89</p><p>6.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS</p><p>Os problemas de otimização necessitam dos valores máximos e mínimos de</p><p>uma função, conhecendo esses valores, é possível fazer análises para responder esses</p><p>problemas.</p><p>Dessa forma, podemos utilizar essa noção intuitiva para fazer a definição</p><p>utilizando derivadas de máximos e mínimos.</p><p>Dada uma função 𝑓(𝑥) com domínio 𝐷 e 𝑎 ∈ 𝐷. Se 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) para todo o</p><p>domínio, então 𝑓(𝑎) é valor máximo absoluto (ou global). De forma análoga, se 𝑓(𝑎) ≤</p><p>𝑓(𝑥) para todo o domínio, então 𝑓(𝑎) é valor mínimo absoluto (ou global).</p><p>Figura 44: Ponto de Máximo e Mínimo</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Para trabalhar com esses conceitos, precisamos ter</p><p>a noção básica do que é Máximos e</p><p>Mínimos de uma função, estudados na primeira unidade.</p><p>Vale ressaltar que máximos e mínimos são encontrados apenas para funções acima de</p><p>grau 2. Tendo em vista, que uma função de grau 1 é representada por uma reta e assim</p><p>não temos um único valor máximo ou mínimo.</p><p>90</p><p>Repare que no gráfico existem outros pontos a serem observados, esses valores</p><p>podem ser chamados de máximos ou mínimos locais, pois são extremos apenas em</p><p>um intervalo da função.</p><p>Vimos o que são os pontos de Máximos e mínimos, porém precisamos</p><p>identificar quais são esses pontos, para isso utilizamos o conceito de derivada.</p><p>No gráfico a seguir, observe que temos um máximo local e um mínimo local,</p><p>as retas tangentes a essa curva nos pontos de máximo e mínimo são paralelas ao</p><p>eixo-𝑥 portando essas retas possuem inclinação iguais a zero.</p><p>Figura 45: Máximo e Mínimo Local</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Como já estudamos que a derivada é a inclinação da reta tangente,</p><p>podemos afirmar que a derivada nos pontos de máximos ou mínimos será sempre</p><p>Se para um certo intervalo do domínio (quando está próximo de ), então é valor de</p><p>máximo local. De forma análoga, se para um certo intervalo do domínio (quando está</p><p>próximo de ), então nesse caso, é valor de mínimo local.</p><p>91</p><p>igual a 0.</p><p>Antes de classificar um certo ponto, como ponto máximo ou ponto de mínimo,</p><p>encontra-se o(s) ponto(s) em que a derivada vale zero, esse(s) pontos são chamados</p><p>de pontos críticos. Então, para definir se um ponto é de máximo ou mínimo, em</p><p>primeiro lugar precisamos encontrar todos os pontos críticos da função, para isso</p><p>fazemos: 𝑓′(𝑥) = 0, depois analisamos os valores de 𝑓(𝑥) nos intervalos próximos a esse</p><p>ponto.</p><p>Exemplo: determine os máximos e mínimos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥.</p><p>Para determinar os pontos de máximo(s) e/ou mínimo(s), primeiro devemos</p><p>encontrar os pontos críticos, para isso, precisamos de 𝑓′(𝑥).</p><p>Portanto, temos que 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1, e como em todo ponto de máximo</p><p>ou mínimo vale 𝑓′(𝑥) = 0, então resolveremos a seguinte igualdade 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0.</p><p>𝛥 = (2)2 − 4 ∙ (3) ∙ (−1) ⟹ 𝛥 = 4 + 12 ⟹ 𝛥 = 16</p><p>𝑥 =</p><p>−2 ± √16</p><p>2 ∙ 3</p><p>⟹ 𝑥1 =</p><p>−2 − 4</p><p>6</p><p>𝑥2 =</p><p>−2 + 4</p><p>6</p><p>⟹ 𝑥1 =</p><p>−6</p><p>6</p><p>𝑥2 =</p><p>2</p><p>6</p><p>⟹ 𝑥1 = −1 𝑥2</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>Assim, temos que os pontos −1 e</p><p>1</p><p>3</p><p>são pontos críticos, agora basta analisar se</p><p>esses pontos são de máximo ou mínimo.</p><p>Para determinar se é de máximo ou mínimo, precisamos colocar esses pontos</p><p>em ordem crescente num segmento de reta.</p><p>Figura 46: Os pontos críticos −1 e</p><p>1</p><p>3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Agora, iremos verificar se a função é crescente ou decrescente nos intervalos</p><p>𝑥 < −1; −1 < 𝑥 <</p><p>1</p><p>3</p><p>e 𝑥 ></p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p> Para 𝑥 < −1, utilizaremos 𝑥 = −2. Portanto, 𝑓′(−2) = 3(−2)2 + 2(−2) − 1, logo</p><p>𝑓′(−2) = 7, então a função é crescente nesse intervalo.</p><p> Para −1 < 𝑥 <</p><p>1</p><p>3</p><p>, utilizaremos 𝑥 = 0. Portanto, 𝑓′(0) = 3(0)2 + 2(0) − 1, logo</p><p>92</p><p>𝑓′(0) = −1, então a função é decrescente nesse intervalo.</p><p> Para 𝑥 ></p><p>1</p><p>3</p><p>, utilizaremos 𝑥 = 1. Portanto, 𝑓′(1) = 3(1)2 + 2(1) − 1, logo 𝑓′(1) = 4,</p><p>então a função é crescente nesse intervalo.</p><p>Assim temos:</p><p>Figura 47: Os pontos de máximo −1 e mínimo</p><p>1</p><p>3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Para determinarmos as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo</p><p>devemos voltar na função 𝑓(𝑥).</p><p>𝑓(1) = (−1)3 + (−1)2 − (−1) = 1 e 𝑓 (</p><p>1</p><p>3</p><p>) = (</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>+ (</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− (</p><p>1</p><p>3</p><p>) = −</p><p>5</p><p>27</p><p>Logo o ponto (−1, 1) é ponto de máximo e (</p><p>1</p><p>3</p><p>, −</p><p>5</p><p>27</p><p>) é ponto de mínimo.</p><p>6.4 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO</p><p>A derivada segunda, nos permite analisar em quais intervalos a função possui</p><p>curvas côncavas para cima ou para baixo. Para determinar a concavidade da curva</p><p>é deve-se verificar as seguintes condições:</p><p> Se 𝑓′′(𝑥) > 0, então a curva possui concavidade para cima.</p><p> Se 𝑓′′(𝑥) < 0, então a curva possui concavidade para baixo.</p><p>Para analisar as concavidades em certos intervalos, em primeiro lugar</p><p>determinamos 𝑓′′(𝑥) = 0, que é chamado de ponto de inflexão, no qual a função</p><p>não possui concavidade.</p><p>Dessa forma, para definirmos o sentido da concavidade de uma função,</p><p>seguiremos os seguintes passos:</p><p>93</p><p>Considere uma função contínua 𝑓(𝑥), com domínio pertencente aos números</p><p>reais.</p><p>1. Fazer 𝑓′′(𝑥);</p><p>2. Encontrar os pontos críticos 𝑓′(𝑥) = 0, na figura abaixo consideramos 𝑎 e 𝑏</p><p>como pontos de inflexão;</p><p>Figura 48: Os pontos de inflexão</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>3. Definir os intervalos: 𝑥 < 𝑎; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏; 𝑥 > 𝑏;</p><p>4. Escolher um valor qualquer para 𝑥 pertencente a cada intervalo</p><p>selecionado.</p><p>5. Substituir o valor de 𝑥 escolhido na função 𝑓′′(𝑥).</p><p>6. Verificar se os valores são positivos (concavidade para cima) ou negativos</p><p>(concavidade para baixo).</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine os máximos e mínimos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥.</p><p>Para determinar os pontos de inflexão, precisamos de 𝑓′′(𝑥) = 0.</p><p>Portanto, temos que 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 2, e para determinar os pontos de inflexão é</p><p>necessário resolver a seguinte igualdade 6𝑥 + 2 = 0.</p><p>6𝑥 + 2 = 0 ⟹ 6𝑥 = −2 ⟹ 𝑥 = −</p><p>1</p><p>3</p><p>Assim, temos que a função 𝑓(𝑥) possui apenas um ponto de inflexão de</p><p>abscissa igual a −</p><p>1</p><p>3</p><p>. Agora, basta analisar os intervalos formados por esse ponto.</p><p>Figura 49: O ponto de inflexão −</p><p>1</p><p>3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>94</p><p>Para verificar as concavidades, devemos verificar alguns valores nos intervalos</p><p>𝑥 < −</p><p>1</p><p>3</p><p>e 𝑥 > −</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>Para 𝑥 < −</p><p>1</p><p>3</p><p>, utilizaremos 𝑥 = −2. Portanto, 𝑓′′(−2) = 6(−2) + 2, logo 𝑓′(−2) =</p><p>−10, então a função possui concavidade para baixo nesse intervalo.</p><p>Para 𝑥 > −</p><p>1</p><p>3</p><p>, utilizaremos 𝑥 = 1. Portanto, 𝑓′′(1) = 6(1) + 2, logo 𝑓′′(1) = 8, então</p><p>a função possui concavidade para cima nesse intervalo.</p><p>Assim temos:</p><p>Figura 50: As concavidades</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Para determinar a coordenada do ponto de inflexão devemos voltar na</p><p>função 𝑓(𝑥) e calcular 𝑓 (−</p><p>1</p><p>3</p><p>) = (−</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>+ (−</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− (−</p><p>1</p><p>3</p><p>) =</p><p>11</p><p>27</p><p>Logo o ponto de inflexão possui coordenadas (−</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>11</p><p>27</p><p>).</p><p>6.5 TAXAS RELACIONADAS</p><p>Os problemas que envolvem taxas relacionadas envolvem estudar a taxa de</p><p>variação de uma grandeza em função da taxa de variação de uma outra grandeza,</p><p>geralmente uma grandeza que podemos medir com maior facilidade. Por exemplo,</p><p>quando enchemos um tanque de forma circular de água, observamos que tanto o</p><p>volume quando o nível de água cresce e suas taxas de crescimento estão</p><p>relacionadas. Quando maior a altura (nível de água) maior será o volume.</p><p>Para isso, necessitamos encontrar uma equação que relacione as duas</p><p>grandezas envolvidas e usar a regra da cadeia para derivar os dois lados da</p><p>equação em função da variável independente, geralmente o tempo 𝑡.</p><p>95</p><p>Exemplos</p><p>1) Seja um balão esférico, ar está sendo bombeado para esse balão modo</p><p>que seu volume aumenta a uma taxa de 50𝑐𝑚3/𝑠. Qual a rapidez que o raio do balão</p><p>está aumentando quando o diâmetro for 30 cm?</p><p>Primeiro vamos identificar que foi dado no problema: o volume do balão</p><p>cresce a taxa de 50𝑐𝑚3/𝑠. O que queremos determinar: a taxa de crescimento do</p><p>raio quando o diâmetro for 30 cm.</p><p>Faremos 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 e 𝑟 = 𝑟𝑎𝑖𝑜. Nesse tipo de problema devemos lembrar que</p><p>as taxas de variação são derivadas e que o volume e raio são funções em relação</p><p>ao 𝑡. A taxa de crescimento do volume em função do tempo é a derivada</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑇</p><p>e a</p><p>taxa de crescimento do raio é dada por</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>.</p><p>Logo temos que</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 50 𝑐𝑚3 ∕ 𝑠, e devemos determinar</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>, sendo 𝑟 = 30 𝑐𝑚.</p><p>Vale ressaltar que o volume do balão é dado por 𝑉 =</p><p>4</p><p>3</p><p>𝜋𝑟3. Essa fórmula</p><p>envolve as variáveis 𝑉 e 𝑟. Derivamos cada lado dessa equação em relação a 𝑡 (usar</p><p>regra da cadeia):</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑟</p><p>∙</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>⇒</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 4𝜋𝑟2</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>Isolando</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>, temos:</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>1</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>∙</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>(𝐼)</p><p>Sabemos que</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 100 e 𝑟 = 25 𝑐𝑚. Substituindo na equação (I):</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>1</p><p>4𝜋(30)2</p><p>∙ 50 ⇒</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>50</p><p>4𝜋 ∙ 900</p><p>⇒</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>1</p><p>72𝜋</p><p>Podemos dizer que o raio está crescendo, ou seja sua taxa de crescimento em</p><p>função do tempo é de aproximadamente 0,0044 𝑐𝑚 ∕ 𝑠.</p><p>2) Para armazenar água usa-se um tanque em forma de cone circular</p><p>É sempre importante usar estratégias para resolver problemas. Para os problemas</p><p>envolvendo taxas relacionadas não é diferente. No livro: Cálculo – Volume 1, na página</p><p>249 o autor apresenta um passo a passo importante para resolução de problemas voltado</p><p>para taxas relacionadas.</p><p>96</p><p>invertido, cuja base possui raio igual a 1 m e altura igual a 3 m. Considere que a água</p><p>está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 1,5 𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Determine a taxa</p><p>na qual o nível de água está aumentando quando a água estiver a 2 m de</p><p>profundidade.</p><p>Sejam 𝑉 o volume de água, 𝑟 o raio da base do cone circular e ℎ a altura da</p><p>água no cone no instante 𝑡 (em minutos).</p><p>Temos</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 1,5</p><p>𝑚3</p><p>𝑠</p><p>e devemos encontrar (determinar)</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>com ℎ = 2 𝑚. A</p><p>equação 𝑉 =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝜋𝑟2ℎ relaciona as grandezas 𝑉, ℎ 𝑒 𝑟. Porém, seria mais fácil escrever 𝑟</p><p>em função de ℎ. Dessa forma, teríamos 𝑉 em função de ℎ. Para isso, por semelhança</p><p>de triângulos temos:</p><p>Figura 51: 𝑟 em função de ℎ</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Assim a expressão fica: 𝑉 =</p><p>1</p><p>3</p><p>𝜋 (</p><p>ℎ</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>ℎ ⇒ 𝑉 =</p><p>𝜋ℎ3</p><p>27</p><p>Derivando os dois lados da igualdade:</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑ℎ</p><p>∙</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>⇒</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝜋ℎ2</p><p>9</p><p>∙</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>9</p><p>𝜋ℎ2</p><p>∙</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>97</p><p>Como</p><p>𝑑𝑉</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 1,5 𝑚3 ∕ 𝑠 e ℎ = 2 𝑚:</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>9</p><p>𝜋(4)2</p><p>∙ 1,5 ⇒</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>13,5</p><p>16𝜋</p><p>⇒</p><p>𝑑ℎ</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 0,84 𝑚/𝑚𝑖𝑚</p><p>6.6 REGRA DE L’HÔSPITAL</p><p>A Regra L’Hôspital nos permite analisar o comportamento das funções caso</p><p>tenham indeterminações do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>ou</p><p>(±)∞</p><p>(±)∞</p><p>.</p><p>Se 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são duas funções deriváveis e contínuas, podemos utilizar a regra</p><p>de L’Hôspital quando nos deparamos com as indeterminações citadas acima, para</p><p>isso, basta resolver o seguinte limite</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>=</p><p>𝑓′(𝑥)</p><p>𝑔′(𝑥)</p><p>, quando 𝑔(𝑥) ≠ 0.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Calcule o limite da função</p><p>𝑙𝑛𝑙𝑛 (𝑥)</p><p>2𝑥−2</p><p>.</p><p>Seja 𝑓(𝑥) =𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑥) e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 2, então temos que 𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑥) =𝑙𝑛 𝑙𝑛 (1) = 0 e</p><p>2𝑥 − 2 = 2(1) − 2 = 0, logo temos uma indeterminação do tipo</p><p>0</p><p>0</p><p>.</p><p>Porém, ao aplicarmos a regra de L’Hôspital o cálculo desse limite fica mais</p><p>simples e direto, basta fazer</p><p>𝑓′(𝑥)</p><p>𝑔′(𝑥)</p><p>.</p><p>Assim, temos que:</p><p>(𝑥)]</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[2𝑥−2]</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>2) Calcule o limite da função 𝑥3 ∙ 𝑒−𝑥 .</p><p>Repare que 𝑥3 ∙ 𝑒−𝑥 =</p><p>𝑥3</p><p>𝑒𝑥 e se fizemos 𝑥3 = ∞ e 𝑒𝑥 = ∞, logo temos uma</p><p>indeterminação do tipo</p><p>∞</p><p>∞</p><p>.</p><p>Ao aplicarmos a regra de L’Hôspital obtemos:</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑥3]</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑒𝑥]</p><p>=</p><p>3𝑥2</p><p>𝑒𝑥 . Observe que a</p><p>Quando usamos a regra de L’Hôspital derivamos o numerador e o denominador</p><p>separadamente, não usamos a regra do quociente.</p><p>Também podemos derivar sucessivamente o numerador e o denominador até que deixe</p><p>de existir a indeterminação.</p><p>98</p><p>indeterminação</p><p>∞</p><p>∞</p><p>se mantém, e assim é possível aplicar a regra novamente.</p><p>3𝑥2</p><p>𝑒𝑥</p><p>=</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[3𝑥2]</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>[𝑒𝑥]</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶∞</p><p>3(2𝑥)</p><p>𝑒𝑥</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶∞</p><p>3 ∙ 2 ∙ 1</p><p>𝑒𝑥</p><p>=</p><p>6</p><p>∞</p><p>= 0</p><p>6.7 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS</p><p>Nesse tópico, vamos utilizar vários conceitos sobre limite e derivadas para</p><p>construir gráficos de várias funções.</p><p>Atualmente é muito usual utilizar computadores, aplicativos ou calculadoras</p><p>gráficas para a construção de gráficos de funções. Porém, é possível fazer a</p><p>construção desses gráficos utilizando os conceitos de função crescente e</p><p>decrescente, máximos e mínimos, pontos de inflexão e assíntotas.</p><p>Para isso, vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥).</p><p>1. Determinar o domínio da função.</p><p>2. Interseções com o eixo-𝑦 e o eixo-𝑥 (Quando possível)</p><p>Interseções com o eixo-𝑦: fazer 𝑥 = 0.</p><p>Interseções com o eixo-𝑥: fazer 𝑦 = 0.</p><p>3. Determinar Assíntota Horizontal</p><p>Quando𝑓(𝑥) = 𝐿 ou 𝑓(𝑥) = 𝐿, temos que 𝑦 = 𝐿 é uma assíntota horizontal da</p><p>curva que queremos esboçar.</p><p>4. Determinar Assíntota Vertical</p><p>Para determinar as assíntotas verticais, precisamos verificar se um dos limites a</p><p>seguir é verdadeiro.</p><p>I.𝑓(𝑥) = +∞ II. 𝑓(𝑥) = −∞</p><p>III.𝑓(𝑥) = +∞ IV.𝑓(𝑥) = −∞</p><p>Então, 𝑥 = 𝑎 será uma assíntota vertical.</p><p>Se o gráfico que queremos esboçar é uma função racional, podemos localizar</p><p>as assíntotas verticais igualando o denominador a zero, após realizar todas as</p><p>simplificações algébricas possíveis.</p><p>5. Determinar o(s) ponto(s) crítico(s)</p><p>Fazer o estudo de sinal dos intervalos separados pelo(s) ponto(s) crítico(s).</p><p>6. Determinar o(s) ponto(s) de inflexão.</p><p>Fazer o estudo de sinal dos intervalos separados pelo(s) ponto(s) de inflexão.</p><p>7. Juntar as informações.</p><p>99</p><p>Exemplos:</p><p>1) Faça o esboço do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 8𝑥2 − 𝑥4</p><p>Utilizando o roteiro temos:</p><p>1. Domínio:</p><p>Como é uma função polinomial, o domínio será 𝑅.</p><p>2. Interseção com o eixo-𝑦 e eixo-𝑥:</p><p>Eixo-𝑦: Fazendo 𝑥 = 0, temos 𝑓(0) = 8(0)2 − (0)4 ⇒ 𝑓(0) = 0, logo temos o</p><p>ponto (0, 0).</p><p>Eixo-𝑥: Fazendo 𝑦 = 0, temos 8𝑥2 − 𝑥4 = 0 ⇒ 𝑥2(8 − 𝑥2) = 0 ⇒</p><p>𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ou 8 − 𝑥2 ⇒ 𝑥 = ±2√2. , logo temos os pontos</p><p>(−2√2, 0) e. (2√2, 0)</p><p>3. Assíntota Horizontal:</p><p>8𝑥2 − 𝑥4 = +∞ e 8𝑥2 − 𝑥4 = −∞</p><p>4. Assíntota Vertical:</p><p>Como o domínio é o domínio é o conjunto 𝑅, então não temos assíntotas</p><p>verticais.</p><p>5. Ponto(s) Crítico(s):</p><p>𝑓′(𝑥) = 16𝑥 − 4𝑥3</p><p>Igualando a zero, temos a seguinte igualdade 16𝑥 − 4𝑥3 = 0 ⇒</p><p>𝑥(4𝑥2 − 16) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ou 4𝑥2 − 16 = 0 ⇒ 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2.</p><p>Os pontos críticos serão:</p><p>𝑓(0) = 0, logo um dos pontos críticos é (0, 0);</p><p>𝑓(−2) = 16, outro ponto crítico é (−2, 16);</p><p>𝑓(2) = 16, outro ponto crítico é (2, 16);</p><p>Fazendo o estudo de sinal, temos:</p><p>𝑓′(−3) = 60 crescente; 𝑓′(−1) = −12 decrescente;</p><p>𝑓′(1) = 12 crescente; 𝑓′(3) = −60 decrescente;</p><p>100</p><p>Figura 52: Máximos e mínimo da função 𝑓(𝑥)</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>6. Ponto(s) de inflexão:</p><p>𝑓′′(𝑥) = 16 − 12𝑥2</p><p>Igualando a zero, temos a seguinte igualdade 16 − 12𝑥2 = 0 ⇒</p><p>16 − 12𝑥2 = 0 ⇒ 12𝑥2 = 16 ⇒ 𝑥2 =</p><p>4</p><p>3</p><p>⇒ 𝑥 = ±</p><p>2√3</p><p>3</p><p>.</p><p>Os pontos de inflexão serão:</p><p>𝑓 (</p><p>2√3</p><p>3</p><p>) =</p><p>80</p><p>9</p><p>, logo um dos pontos críticos é (</p><p>2√3</p><p>3</p><p>,</p><p>80</p><p>9</p><p>);</p><p>𝑓 (−</p><p>2√3</p><p>3</p><p>) =</p><p>80</p><p>9</p><p>, outro ponto crítico é (−</p><p>2√3</p><p>3</p><p>,</p><p>80</p><p>9</p><p>);</p><p>Fazendo o estudo de sinal, temos:</p><p>𝑓′(−2) = −32 concavidade para baixo;</p><p>𝑓′(−1) = 4 concavidade para cima;</p><p>𝑓′(2) = −32 concavidade para baixo;</p><p>Figura 53: Concavidades da função 𝑓(𝑥)</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>101</p><p>7. Juntando as informações:</p><p>Ao reunir todas as informações, obtemos o seguinte gráfico</p><p>Figura 54: Gráfico da função 𝑓(𝑥)</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Fonte dos autores</p><p>2) Faça o esboço do gráfico da função 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>.</p><p>Utilizando</p><p>o roteiro temos:</p><p>1. Domínio:</p><p>𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1</p><p>2. Interseção com o eixo-𝑦:</p><p>Fazendo 𝑥 = 0, temos 𝑓(0) =</p><p>0</p><p>0+1</p><p>⇒ 𝑓(0) = 0.</p><p>3. Assíntota Horizontal:</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>, para essa função podemos usar a regra L’Hôspital já que temos uma</p><p>indeterminação do tipo</p><p>∞</p><p>∞</p><p>.</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>= 1 e</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>= 1.</p><p>102</p><p>Logo, 𝑦 = 1 é uma assíntota horizontal.</p><p>4. Assíntota Vertical:</p><p>Para determinar as assíntotas verticais, precisamos verificar se um dos limites a</p><p>seguir é verdadeiro, utilizaremos 𝑎 = −1, por ser o ponto fora do domínio encontrado</p><p>no primeiro passo.</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>= −∞ e</p><p>𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>= +∞</p><p>Logo, 𝑥 = −1 é uma assíntota vertical.</p><p>5. Ponto(s) Crítico(s):</p><p>𝑓′(𝑥) =</p><p>(𝑥)′ ∙ (𝑥 + 1) − (𝑥) ∙ (𝑥 + 1)′</p><p>(𝑥 + 1)2</p><p>⇒ 𝑓′(𝑥) =</p><p>𝑥 + 1 − 𝑥</p><p>(𝑥 + 1)2</p><p>⇒ 𝑓′(𝑥) =</p><p>1</p><p>(𝑥 + 1)2</p><p>Igualando a zero, temos a seguinte igualdade</p><p>1</p><p>(𝑥+1)2 = 0, observe que essa</p><p>igualdade não possui solução, logo 𝑓(𝑥) não possui pontos críticos.</p><p>6. Ponto(s) de inflexão:</p><p>𝑓′′(𝑥) =</p><p>(1)′ ∙ (𝑥 + 1)2 − 1 ∙ [(𝑥 + 1)2]′</p><p>[(𝑥 + 1)2]2</p><p>⇒ 𝑓′′(𝑥) =</p><p>0 ∙ (𝑥 + 1)2 − 1 ∙ [2(𝑥 + 1)]</p><p>(𝑥 + 1)4</p><p>⇒</p><p>𝑓′′(𝑥) =</p><p>−2 ∙ (𝑥 + 1)</p><p>(𝑥 + 1)4</p><p>⇒ 𝑓′′(𝑥) =</p><p>−2</p><p>(𝑥 + 1)3</p><p>Igualando a zero, temos a seguinte igualdade</p><p>−2</p><p>(𝑥+1)3 = 0, observe que essa</p><p>igualdade não possui solução, logo 𝑓(𝑥) também não possui ponto de inflexão.</p><p>7. Juntando as informações:</p><p>Observe que para fazer o esboço desse gráfico, temos apenas o domínio. A</p><p>interseção com o eixo-𝑦 e as assíntotas.</p><p>103</p><p>Figura 55: Gráfico da função 𝑓(𝑥)</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>104</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Em relação aos intervalos de crescimento e decrescimento da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 −</p><p>4𝑥3 − 12𝑥2 + 5, podemos afirmar que:</p><p>a) decrescente para (−∞, 2)</p><p>b) crescente para (−1,0)</p><p>c) crescente para (−1, ∞)</p><p>d) decrescente para (−1,0)</p><p>e) decrescente para (−1,2)</p><p>2. Em relação a função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 8𝑥2 e sua representação gráfica em um</p><p>intervalo [𝑎, 𝑏].</p><p>Analise as afirmações:</p><p>I. O ponto C é um mínimo local.</p><p>II. O Ponto A é uma mínimo local tanto quanto absoluto.</p><p>III. A função não possui um máximo absoluto nesse intervalo.</p><p>a) apenas a afirmativa i está correta .</p><p>b) apenas a afirmativa ii está correta</p><p>c) apenas a afirmativa iii está correta</p><p>d) apenas as afirmativas i e ii estão corretas</p><p>e) todas as afirmativas estão corretas</p><p>105</p><p>3. Para qual (is) valor (es) a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 possui ponto de mímimo?</p><p>A) 𝑥 = 2</p><p>B) 𝑥 = −2</p><p>C) 𝑥 = 4</p><p>D) 𝑥 = −3</p><p>E) 𝑥 = 17</p><p>4. Dada a representação gráfica de uma função f(x), determine a sua lei de</p><p>formação:</p><p>a) 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>c) 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥+2</p><p>e) 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥−2</p><p>b) 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥+1</p><p>d) 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥−1</p><p>106</p><p>5) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 qual dos gráficos abaixo é sua representação?</p><p>a) c) e)</p><p>b) d)</p><p>6. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se</p><p>a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, qual a</p><p>velocidade do topo da escada escorrega para baixo na parede quando a base da</p><p>escada está a 3 m da parede?</p><p>a) −</p><p>√40</p><p>40</p><p>𝑚/𝑠</p><p>b) −</p><p>3√40</p><p>40</p><p>𝑚/𝑠</p><p>c)</p><p>3√40</p><p>40</p><p>𝑚/𝑠</p><p>d) −</p><p>7√40</p><p>40</p><p>𝑚/𝑠</p><p>e)</p><p>7√40</p><p>40</p><p>𝑚/𝑠</p><p>7. Use a regra de Regra de L’Hôspital, determine o limite</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥+1</p><p>:</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) −1</p><p>d) 0</p><p>e) −2</p><p>107</p><p>8. Use a regra de Regra de L’Hôspital, determine o limite</p><p>6𝑥2+5𝑥−4</p><p>4𝑥2+16𝑥−9</p><p>:</p><p>a)</p><p>11</p><p>10</p><p>b)</p><p>13</p><p>20</p><p>c)</p><p>11</p><p>20</p><p>d)</p><p>9</p><p>20</p><p>e)</p><p>11</p><p>19</p><p>108</p><p>RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>UNIDADE 01</p><p>UNIDADE 02</p><p>QUESTÃO 1 B QUESTÃO 1 B</p><p>QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 A</p><p>QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 C</p><p>QUESTÃO 4 C QUESTÃO 4 B</p><p>QUESTÃO 5 E QUESTÃO 5 E</p><p>QUESTÃO 6 E QUESTÃO 6 C</p><p>QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 B</p><p>QUESTÃO 8 A QUESTÃO 8 D</p><p>UNIDADE 03</p><p>UNIDADE 04</p><p>QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 E</p><p>QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 B</p><p>QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 A</p><p>QUESTÃO 4 D QUESTÃO 4 B</p><p>QUESTÃO 5 D QUESTÃO 5 D</p><p>QUESTÃO 6 A QUESTÃO 6 C</p><p>QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 A</p><p>QUESTÃO 8 C QUESTÃO 8 A</p><p>UNIDADE 05</p><p>UNIDADE 06</p><p>QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 C</p><p>QUESTÃO 2 B QUESTÃO 2 C</p><p>QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 D</p><p>QUESTÃO 4 E QUESTÃO 4 E</p><p>QUESTÃO 5 C QUESTÃO 5 A</p><p>QUESTÃO 6 C QUESTÃO 6 B</p><p>QUESTÃO 7 A QUESTÃO 7 A</p><p>QUESTÃO 8 D QUESTÃO 8 D</p><p>109</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol.1 – 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC,</p><p>2013.</p><p>HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol.1 – 10ª edição. Porto Alegre:</p><p>Bookman, 2014. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em:</p><p>2021 ago. 13.</p><p>LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol.1 - 3ª edição. São Paulo:</p><p>Harbra, 1994.</p><p>STEWART, J. Cálculo. Vol. 1, 7ª edição. São Paulo: Learning, 2013.</p><p>STEWART, J. Cálculo. Vol. 1, 8ª edição. São Paulo: Learning, 2017.</p><p>SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com Geometria Analítica. – Vol.1 – 2ª edição. São</p><p>Paulo: Makron Books, 1994.</p><p>como uma função ........................................................................... 71</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO ............................................................................................... 73</p><p>UNIDADE</p><p>01</p><p>UNIDADE</p><p>02</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>UNIDADE</p><p>04</p><p>6</p><p>TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO ..................................................................... 75</p><p>5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 75</p><p>5.2 Derivadas das funções elementares .............................................................. 75</p><p>5.2.1 Função constante ............................................................................................ 75</p><p>5.2.2 Função potência ............................................................................................. 75</p><p>5.2.3 Regra da multiplicação por constante ....................................................... 76</p><p>5.2.4 Regra da soma e da subtração.................................................................... 76</p><p>5.3 REGRA DO PRODUTO E DO QUOCIENTE .......................................................... 76</p><p>5.3.1 Regra do produto ............................................................................................ 76</p><p>5.3.2 Regra do quociente ........................................................................................ 77</p><p>5.4 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................ 79</p><p>5.5 REGRA DA CADEIA ............................................................................................ 81</p><p>5.6 DERIVADAS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS ......................... 81</p><p>5.7 DERIVADAS SUCESSIVAS ................................................................................... 82</p><p>5.8 DERIVADAS IMPLÍCITAS ..................................................................................... 83</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO .............................................................................................. 85</p><p>APLICAÇÕES DA DERIVADA ................................................................... 87</p><p>6.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 87</p><p>6.2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES ......................................................... 87</p><p>6.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS ....................................................................................... 89</p><p>6.4 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO ........................................................ 92</p><p>6.5 TAXAS RELACIONADAS ..................................................................................... 94</p><p>6.6 REGRA DE L’HÔSPITAL ........................................................................................ 97</p><p>6.7 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS ........................................................................... 98</p><p>RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ................................................................... 108</p><p>REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 109</p><p>UNIDADE</p><p>05</p><p>UNIDADE</p><p>06</p><p>7</p><p>CONFIRA NO LIVRO</p><p>Nesta unidade será feita uma revisão sobre funções, do primeiro e</p><p>segundo grau, exponencial, logarítmica, modular, trigonométrica e</p><p>composta.</p><p>Iniciaremos o estudo sobre limites nessa unidade, começando com</p><p>noção intuitiva do limite de uma função, propriedades e cálculos</p><p>de limites, também faremos um estudo sobre a continuidade de</p><p>funções.</p><p>Nessa unidade daremos continuação no estudo de limite, vendo</p><p>os casos de limites infinitos e limites no infinito, veremos outras</p><p>propriedades e cálculos de limites, por fim, fechamos essa unidade</p><p>com o estudo sobre assíntotas.</p><p>Nessa unidade, daremos início no estudo das derivadas. Veremos a</p><p>derivada como limite, interpretaremos a derivada</p><p>geometricamente e como velocidade e aceleração.</p><p>Essa unidade aborda as técnicas de derivação, faremos o estudo</p><p>da derivada das funções apresentadas na unidade 1, além disso</p><p>veremos regras de derivação como as regras do produto,</p><p>quociente e cadeia, como também as derivadas implícitas.</p><p>A última unidade deste livro trabalhará as aplicações da derivada,</p><p>como por exemplo, descobrir intervalos de crescimento e</p><p>decrescimento de uma função, máximos e mínimos, concavidade,</p><p>taxas relacionadas e construção de gráficos.</p><p>8</p><p>FUNÇÕES</p><p>1.1 INTRODUÇÃO</p><p>Nesse livro iniciaremos o estudo do cálculo diferencial, os principais conceitos</p><p>serão apresentados. Nessa unidade faremos uma pequena revisão sobre funções</p><p>para o progresso dessa disciplina.</p><p>1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO</p><p>Para falarmos de função, vamos pensar na seguinte situação: Vanessa é uma</p><p>estudante do Ensino Médio que está indo ao supermercado com sua mãe Ana Maria</p><p>para fazer a compra do mês. Ao caminhar pelos corredores, Vanessa percebe que</p><p>a caixa de bombom está com dois preços diferentes e no mesmo corredor observou</p><p>que o pacote de biscoito recheado estava sem o preço correspondente.</p><p>Imediatamente ela procura o responsável do setor para averiguar os erros.</p><p>Nesse exemplo, sabemos que em um supermercado cada produto deverá ter</p><p>apenas um preço. Também, podemos encontrar produtos diferentes que possuem o</p><p>mesmo valor. Mas um único produto com dois preços diferentes e um produto sem</p><p>preço, é sinal de que o supermercado cometeu um erro.</p><p>Trazendo essa situação para o universo da matemática, podemos fazer uma</p><p>analogia para definirmos o que é uma função. Para isso, repare que existe uma</p><p>relação entre cada produto e um preço.</p><p>Podemos representar essa situação da seguinte maneira, considere o conjunto</p><p>𝐴, formado pelos produtos disponíveis nas prateleiras do supermercado e o conjunto</p><p>𝐵, pelos preços correspondentes aos produtos. Assim, temos as seguintes</p><p>possibilidades:</p><p>UNIDADE</p><p>01</p><p>9</p><p>Figura 1: Funções representadas através de conjuntos</p><p>Fonte: Faculdade Única de Ipatinga (2024)</p><p>Definição: Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵 não vazios, uma função será a relação 𝑓</p><p>de 𝐴 em 𝐵, quando associa-se cada elemento do conjunto 𝐴 um único elemento do</p><p>conjunto 𝐵.</p><p>Nas situações apresentadas na Figura 1, observamos que as situações 1 e 2</p><p>são consideradas funções pela definição apresentada. Observe que na situação 1 e</p><p>2, cada produto do conjunto 𝐴 está relacionado a um preço do conjunto 𝐵. Já na</p><p>situação 3 e 4 temos um exemplo que não é considerado como função, na situação</p><p>3 temos um produto com dois preços distintos e na situação 4, temos um produto sem</p><p>preço.</p><p>Geralmente indicamos a função 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 através da notação: 𝑓: 𝐴 → 𝐵. O</p><p>conjunto 𝐴, é chamado de domínio de 𝑓(𝐷(𝑓))Se formos analisar o exemplo do</p><p>supermercado, podemos dizer que o domínio será o conjunto de todos os produtos</p><p>do supermercado. O conjunto 𝐵, é chamado de contradomínio de 𝑓(𝐶𝐷(𝑓)), para o</p><p>exemplo, será o conjunto de todos os preços possíveis dos produtos. Os elementos do</p><p>10</p><p>conjunto 𝐵 que são associados aos elementos do conjunto 𝐴 são chamados de</p><p>imagem de 𝑓(𝐼𝑚(𝑓)), são os preços dos produtos disponíveis no supermercado.</p><p>Toda função possui uma lei de formação, usualmente essas funções são</p><p>apresentadas apenas por essas leis, mas sem destacar o domínio e o contradomínio.</p><p>Comumente o estudo de uma função, é feito dentro do conjunto dos números reais</p><p>(𝑅), sendo necessário analisar o domínio dessas funções.</p><p>Quando pensamos em determinar o conjunto domínio de uma certa função,</p><p>estamos pensando em encontrar os valores que fazem com que a função exista. Vale</p><p>ressaltar, que na matemática existem situações que geram indeterminações, neste</p><p>tópico, trabalharemos como as seguintes</p><p>indeterminações: divisão por zero e raiz de</p><p>índice par com um número negativo. Nos próximos tópicos estudaremos diversas</p><p>funções e veremos outras indeterminações ao fazermos o estudo do domínio.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Vamos determinar o conjunto domínio das funções a seguir:</p><p>a) 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥−2</p><p>Nesse caso, a função só irá existir se o denominador (𝑥 − 2) assumir valores</p><p>diferentes de zero.</p><p>Portanto: 𝑥 − 2 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 2. Logo, o conjunto domínio será o conjunto dos</p><p>números reais diferentes de 2, isso quer dizer que, para a função 𝑓 existir, 𝑥 pode</p><p>assumir qualquer valor real desde que não seja o 2. Em símbolos temos: 𝐷(𝑓) =</p><p>{𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 2}.</p><p>b) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 9</p><p>Para esse caso, a função só irá existir se o radical (𝑥2 − 9) assumir valores</p><p>maiores ou iguais a zero.</p><p>Portanto: 𝑥 − 9 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 9. Logo, o conjunto domínio será o conjunto dos</p><p>números reais maiores ou iguais a 9, isso quer dizer que, para a função 𝑔 existir, 𝑥 pode</p><p>assumir qualquer valor real positivo desde que seja maior ou igual a 9. Em símbolos</p><p>temos: 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 9}.</p><p>c) ℎ(𝑥) =</p><p>1</p><p>√(𝑥−3)</p><p>Já nesse exemplo, a função só irá existir se o radical √(𝑥 − 3) assumir valores</p><p>maiores do que zero.</p><p>Portanto: 𝑥 − 3 > 0 ⇒ 𝑥 > 3. Logo, o conjunto domínio será o conjunto dos</p><p>números reais maiores que 3, isso quer dizer que, para a função ℎ existir, 𝑥 pode</p><p>11</p><p>assumir qualquer valor real positivo maior que 3. Em símbolos temos: 𝐷(𝑓) =</p><p>{𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 > 3}.</p><p>2) Determine o conjunto imagem da função 𝑓 =</p><p>𝑥+1</p><p>𝑥−4</p><p>de 5 valores quaisquer.</p><p>Para 𝑥 = 0 temos:</p><p>0+1</p><p>0−4</p><p>=</p><p>1</p><p>−4</p><p>= −</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑥 = 1 temos:</p><p>1+1</p><p>1−4</p><p>=</p><p>2</p><p>−3</p><p>= −</p><p>2</p><p>3</p><p>𝑥 = 2 temos:</p><p>2+1</p><p>2−4</p><p>=</p><p>3</p><p>−2</p><p>= −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑥 = 3 temos:</p><p>3+1</p><p>3−4</p><p>=</p><p>4</p><p>−1</p><p>= −4</p><p>𝑥 = 4 temos:</p><p>4+1</p><p>4−4</p><p>=</p><p>4</p><p>0</p><p>= indeterminação, note que 4 não faz parte do 𝐷(𝑓).</p><p>𝑥 = 5 temos:</p><p>5+1</p><p>5−4</p><p>=</p><p>6</p><p>1</p><p>= 6</p><p>A conjunto imagem dos números {0, 1, 2, 3, 5} é dado por 𝐼𝑚(𝑓) =</p><p>{−</p><p>1</p><p>4</p><p>, −</p><p>2</p><p>3</p><p>, −</p><p>3</p><p>2</p><p>, −4, 6 }</p><p>1.3 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU</p><p>Após fazerem as compras no supermercado, Vanessa e sua mãe Ana Maria</p><p>pegaram um táxi de volta para a casa. Sabendo que a bandeirada do táxi é R$ 3,00</p><p>e que é cobrado R$2,00 por quilômetro rodado. Como Vanessa estava estudando</p><p>funções no colégio, ao entrar no táxi ela imaginava o valor a ser pago no final da</p><p>corrida. Chegando em casa, Ana Maria pagou R$13,00 pela corrida, que era o valor</p><p>imaginado por Vanessa.</p><p>Como a casa de Vanessa estava a 5 quilômetros de distância do</p><p>supermercado, o cálculo imaginado por Vanessa era basicamente o valor do</p><p>quilômetro rodado multiplicado por 5, somado ao preço da bandeirada.</p><p>Matematicamente, podemos representar esse exemplo por 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 3,</p><p>onde 𝑃 é o preço a pagar pela corrida, 2 é o preço de cada quilômetro rodado, 𝑥 é</p><p>a quantidade de quilômetros rodados e 3 é o preço para iniciar a corrida. Esse é um</p><p>exemplo de função do primeiro grau, também conhecido como função afim. Dessa</p><p>forma, podemos definir uma função do primeiro grau como:</p><p>Definição: uma função é denominada função afim quando todo número 𝑥 ∈</p><p>𝑅, é associado a um número 𝑎𝑥 + 𝑏, sendo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. De outra forma, temos:</p><p>{𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 .</p><p>Na lei de formação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ou 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, dizemos que o número real</p><p>12</p><p>representado por 𝑎 é chamado de coeficiente angular e o número real que é</p><p>representado por 𝑏 É chamado de coeficiente linear (ou termo independente).</p><p>Exemplos: Podemos determinar os coeficientes nas seguintes funções:</p><p>𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1; o coeficiente angular vale 2 (𝑎 = 2); e o coeficiente linear vale</p><p>−1 (𝑏 = −1).</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2; o coeficiente angular vale 1 (𝑎 = 1); e o coeficiente linear vale 2</p><p>(𝑏 = 2).</p><p>𝑦 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 +</p><p>3</p><p>5</p><p>; o coeficiente angular vale −</p><p>1</p><p>2</p><p>(𝑎 = −</p><p>1</p><p>2</p><p>); e o coeficiente linear vale</p><p>3</p><p>5</p><p>(𝑏 =</p><p>3</p><p>5</p><p>).</p><p>A função afim que possui o coeficiente linear igual zero (𝑏 = 0), terá a lei de</p><p>formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥. Esse caso particular é chamado de Função</p><p>Linear.</p><p>𝑓(𝑥) = 2𝑥; o coeficiente angular vale 2(𝑎 = 2); e o coeficiente linear vale 0 (𝑏 =</p><p>0).</p><p>Já a função afim que possui o coeficiente angular igual a zero (𝑎 = 0), terá a</p><p>lei de formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏 ou 𝑦 = 𝑏. Esse caso particular é chamado de Função</p><p>Constante. Nesse tipo de função independe do valor de 𝑥 teremos como imagem o</p><p>valor de 𝑏.</p><p>𝑔(𝑥) = 5; o coeficiente angular vale 0(𝑎 = 0); e o coeficiente linear vale 5 (𝑏 =</p><p>5).</p><p>Uma outra especificidade da função afim é quando o coeficiente angular é</p><p>igual a um (𝑎 = 1) e o coeficiente linear igual a zero (𝑏 = 0), nesse caso teremos a lei</p><p>de formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥 ou 𝑦 = 𝑥, que é chamada de Função Identidade.</p><p>𝑦 = 𝑥; o coeficiente angular vale 1(𝑎 = 1); e o coeficiente linear vale 0 (𝑏 = 0).</p><p>1.3.1 Gráficos</p><p>Os gráficos de uma função polinomial do primeiro grau do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,</p><p>serão representados por retas. Vale ressaltar que o gráfico de qualquer função é uma</p><p>ferramenta muito importante para apresentar e extrair informações.</p><p>Para construir o gráfico de qualquer reta, são necessários apenas dois pontos</p><p>pertencentes a essa reta. Por exemplo, para construirmos o gráfico da função</p><p>𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2, selecionamos dois pontos quaisquer para 𝑥 e utilizaremos a função</p><p>para determinar os valores de 𝑓(𝑥).</p><p>13</p><p>Figura 2: Função do 1º grau</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Podemos também esboçar o gráfico com os pontos que fazem interseção</p><p>com o eixo−𝑥 e eixo−𝑦. A interseção com o eixo−𝑥 é chamada de raiz da equação,</p><p>para determinar essa raiz devemos fazer 𝑓(𝑥) = 0, assim teremos:</p><p>−2𝑥 + 2 = 0 ⟹ 2𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 1</p><p>Logo, o ponto (1, 0) é a raiz da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2.</p><p>Quando analisamos graficamente o coeficiente linear de uma função,</p><p>observamos que este é o ponto de interseção com o eixo−𝑦, isto é, quando 𝑥 for</p><p>zero, teremos:</p><p>𝑓(𝑥) = −2(0) + 2 = 0 ⟹ 𝑓(𝑥) = 2</p><p>Logo, o ponto (0, 2) será o ponto de interseção com o eixo−𝑦.</p><p>14</p><p>Figura 3: Interseção de uma função com os eixos x e y</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>A seguir veremos a representação gráfica das funções linear, constante e</p><p>identidade.</p><p>Quadro 1: representação gráfica das funções linear, constante e identidade</p><p>Classificação Função Gráfico</p><p>Linear 𝑔(𝑥) = −2𝑥</p><p>Função linear</p><p>15</p><p>Constante ℎ(𝑥) = 2</p><p>Função constante</p><p>Identidade 𝑦 = 𝑥</p><p>Função identidade</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Conhecendo dois pontos pertencentes a uma reta qualquer, é possível</p><p>determinar a equação da reta que passa por esses dois pontos, para isso, veja nos</p><p>exemplos a seguir:</p><p>O gráfico da função (Identidade), será formado pela bissetriz dos quadrantes ímpares.</p><p>Repare que para todos os pontos pertencentes à reta o valor das coordenadas e serão</p><p>iguais.</p><p>16</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a função do primeiro grau, sabendo que 𝑓(1) = 4 e 𝑓(4) = 3.</p><p>Resolução: Sabemos que uma função do 1º grau possui a seguinte lei de</p><p>formação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Fazendo um sistema, temos:</p><p>{𝑓(1) = 𝑎(1) + 𝑏 𝑓(4) = 𝑎(4) + 𝑏 ⟹ {4 = 𝑎 + 𝑏 3 = 4𝑎 + 𝑏 ⟹ {𝑎 + 𝑏</p><p>= 4 (𝐼) 4𝑎 + 𝑏 = 3 (𝐼𝐼)</p><p>Multiplicando a equação (𝐼) por (−1) obtemos o seguinte sistema</p><p>{−𝑎 − 𝑏 = −4 (𝐼𝐼𝐼) 4𝑎 + 𝑏 = 3 (𝐼𝑉)</p><p>Fazendo (𝐼𝐼𝐼) + (𝐼𝑉) obtemos: 3𝑎 = −1 ⟹ 𝑎 = −</p><p>1</p><p>3</p><p>e substituindo o valor de 𝑎</p><p>na equação (𝐼𝑉) determinamos o valor de 𝑏 da seguinte forma:</p><p>4 (−</p><p>1</p><p>3</p><p>) + 𝑏 = 3 ⟹ −</p><p>4</p><p>3</p><p>+ 𝑏 = 3 ⟹ 𝑏 = 3 +</p><p>4</p><p>3</p><p>⟹ 𝑏 =</p><p>9</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>⟹ 𝑏</p><p>=</p><p>13</p><p>3</p><p>Portanto a função 𝑓(𝑥) = −</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑥 +</p><p>13</p><p>3</p><p>.</p><p>2) Determine a equação da reta que passa pelos pontos 𝐴(−1, 4) e 𝐵(2, −2)</p><p>Figura 4: Equação da reta que passa pelos</p><p>pontos A (-1, 4) e B (2, -2)</p><p>Resolução: utilizando a lei de</p><p>formação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, teremos o</p><p>seguinte sistema:</p><p>{𝑓(−1) = 𝑎(−1) + 𝑏 𝑓(2)</p><p>= 𝑎(2) + 𝑏 ⟹ {4</p><p>= −𝑎 + 𝑏 − 2</p><p>= 2𝑎 + 𝑏</p><p>⟹ {−𝑎 + 𝑏</p><p>= 4 (𝐼) 2𝑎 + 𝑏</p><p>= −2 (𝐼𝐼)</p><p>Multiplicando a equação (𝐼) por</p><p>(−1) obtemos o seguinte sistema:</p><p>{𝑎 − 𝑏 = −4 (𝐼𝐼𝐼) 2𝑎 + 𝑏 =</p><p>−2 (𝐼𝑉)</p><p>Fazendo (𝐼𝐼𝐼) + (𝐼𝑉) obtemos: 3𝑎 =</p><p>−6 ⟹ 𝑎 = −</p><p>6</p><p>3</p><p>⟹ 𝑎 = −2 e</p><p>substituindo o valor de 𝑎 na</p><p>equação (𝐼𝑉) determinamos o valor</p><p>de 𝑏 da seguinte forma:</p><p>17</p><p>2(−2) + 𝑏 = −2 ⟹ −4 + 𝑏 = −2</p><p>⟹ 𝑏 = −2 + 4 ⟹ 𝑏</p><p>= 2</p><p>Portanto a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2.</p><p>1.3.2 Características</p><p>Podemos classificar as funções do primeiro grau como crescentes e</p><p>decrescentes. Para determinar se uma função é crescente ou decrescente, devemos</p><p>analisar o coeficiente angular da função do primeiro grau.</p><p>𝑎 > 0</p><p>Figura 5: Função crescente</p><p>𝑎 < 0</p><p>Figura 6: Função decrescente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Note que para todo, quando for maior do que a raiz, todos os valores de serão positivos</p><p>e quando for menor do que a raiz, todos os valores de serão negativos.</p><p>Para todo, quando for maior do que a raiz, todos os valores de serão negativos e quando</p><p>for menor do que a raiz, todos os valores de serão positivos.</p><p>18</p><p>1.4 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU</p><p>Uma função do segundo grau (ou quadrática) é definida por 𝑓: {𝑅 ⟶ 𝑅 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 sendo 𝑎 ≠ 0 e 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅.</p><p>Podemos utilizar o conceito de função do segundo grau em várias áreas do</p><p>conhecimento, a seguir serão apresentados os principais tópicos relacionados ao</p><p>estudo das funções do segundo grau.</p><p>1.4.1 Raiz de uma função do segundo grau</p><p>Para determinarmos as raízes de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, devemos considerar</p><p>𝑓(𝑥) = 0, logo teremos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Assim, utilizamos a fórmula para determinar o</p><p>discriminante (∆) dada por: ∆= 𝑏2 + 4𝑎𝑐. Para encontrar as raízes, utilizamos a seguinte</p><p>fórmula: 𝑥1 =</p><p>−𝑏−√∆</p><p>2𝑎</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−𝑏+√∆</p><p>2𝑎</p><p>.</p><p>Exemplo: determine as raízes das seguintes funções do segundo grau.</p><p>Quadro 2: resolução do exemplo</p><p>a) 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0</p><p>∆= (1)2 − 4(1)(−2)</p><p>∆= 9</p><p>𝑥1 =</p><p>−(1)−√9</p><p>2(1)</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−(1)+√9</p><p>2(1)</p><p>𝑥1 =</p><p>−1−3</p><p>2</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−1+3</p><p>2</p><p>𝑥1 =</p><p>−4</p><p>2</p><p>e 𝑥2 =</p><p>2</p><p>2</p><p>𝑥1 = −2 e 𝑥2 = 1</p><p>As raízes da equação são −2</p><p>e 1.</p><p>b) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0</p><p>∆= (2)2 − 4(1)(1)</p><p>∆= 0</p><p>𝑥1 =</p><p>−(2)−√0</p><p>2(1)</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−(2)+√0</p><p>2(1)</p><p>𝑥1 =</p><p>−2−0</p><p>2</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−2+0</p><p>2</p><p>𝑥1 =</p><p>−2</p><p>2</p><p>e 𝑥2 =</p><p>−2</p><p>2</p><p>𝑥1 = −1 e 𝑥2 = −1</p><p>Essa equação possui apenas</p><p>−1 como raiz.</p><p>c) 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0</p><p>∆= (1)2 − 4(1)(2)</p><p>∆= −7</p><p>𝑥1 =</p><p>−(1)−√−7</p><p>2(1)</p><p>e</p><p>𝑥2 =</p><p>−(1)+√−7</p><p>2(1)</p><p>Nessa equação, não será</p><p>possível determinar as raízes</p><p>reais, observe que √−7 não</p><p>está definida para o</p><p>conjunto dos números reais.</p><p>19</p><p>1.4.2 Vértice da parábola</p><p>O vértice é o ponto extremo de uma parábola chamado de 𝑉, ao</p><p>considerarmos 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; o valor de 𝑎 definirá duas posições possíveis da</p><p>concavidade da parábola. Se 𝑎 for positivo (𝑎 > 0) a concavidade da parábola</p><p>estará voltada para cima, se 𝑎 for negativo (𝑎 < 0) A concavidade da parábola está</p><p>voltada para baixo.</p><p>Observando as resoluções acima, pode-se estabelecer uma relação entre o</p><p>discriminante e as raízes?</p><p>Quando: a equação terá duas raízes reais e distintas ().</p><p>Quando: a equação terá uma raiz dupla ().</p><p>Quando: a equação não terá raízes reais.</p><p>Variações de uma parábola</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>20</p><p>𝑎 > 0 𝑎 < 0</p><p>Figura 7: Concavidade voltada para cima</p><p>Figura 8: Concavidade voltada para baixo</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Podemos definir as coordenadas do vértice 𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) de uma parábola 𝑥𝑣 =</p><p>−</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>e 𝑦𝑣 = −</p><p>∆</p><p>4𝑎</p><p>, portanto o vértice tem coordenadas 𝑉 (−</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>, −</p><p>∆</p><p>4𝑎</p><p>).</p><p>1.4.3 Máximo e mínimo</p><p>O vértice de uma parábola será o máximo ou mínimo da função, isso</p><p>dependendo do valor que 𝑎 assumir.</p><p>Se tivermos 𝑎 > 0 vimos que a parábola terá</p><p>a concavidade voltada para cima, assim o</p><p>vértice será o menor valor que a função irá</p><p>atingir, ou seja, 𝑎 é um ponto de mínimo.</p><p>O conjunto imagem (𝐼𝑚) é o conjunto dos</p><p>valores que 𝑦 assume. Para isso precisamos</p><p>olhar para o 𝑦𝑣. Assim, temos que 𝐼𝑚 =</p><p>{𝑦 ∈ 𝑅 / 𝑦 > 𝑦𝑣}.</p><p>Figura 9: Ponto de mínimo</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>21</p><p>Agora, se tivermos 𝑎 < 0 a parábola terá a</p><p>concavidade voltada para baixo e o vértice</p><p>será o maior valor que a função irá atingir,</p><p>ou seja, dizemos que 𝑎 é um ponto de</p><p>máximo.</p><p>Nesse caso o conjunto imagem (𝐼𝑚), será</p><p>dado por: 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ 𝑅 / 𝑦 < 𝑦𝑣}.</p><p>Figura 10: Ponto de máximo</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Existem várias aplicações que utilizam os conceitos de máximos e mínimos,</p><p>como por exemplo como aproveitar a melhor maneira para construção de uma casa</p><p>em um terreno retangular, o lucro mínimo que uma empresa precisa ter para</p><p>continuar funcionando, dentre outros.</p><p>1.4.4 Gráfico de uma função do segundo grau</p><p>O gráfico de uma função do segundo grau será sempre uma parábola. Para</p><p>fazer o esboço do gráfico dessas funções, utilizaremos alguns pontos chaves que</p><p>vimos anteriormente.</p><p>𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐</p><p> O sinal do coeficiente 𝑎 define a concavidade da parábola;</p><p> O valor do ∆, indicará a quantidade de raízes da função, se existirem serão os</p><p>pontos da parábola que intersecta o eixo-𝑥;</p><p> O vértice indica o ponto de máximo ou mínimo;</p><p> Quando 𝑥 = 0, temos 𝑦 = 𝑐. Assim, o ponto (0, 𝑐) é o ponto em que a parábola</p><p>intersecta o eixo-𝑦;</p><p>22</p><p>● 𝑎 > 0</p><p>● ∆> 0, possui</p><p>duas raízes 𝑥1</p><p>e 𝑥2</p><p>● 𝑐 = 1</p><p>Figura 11: Parábola 1</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>● 𝑎 < 0</p><p>● ∆= 0, possui</p><p>uma raiz que</p><p>coincide</p><p>com o</p><p>vértice.</p><p>● 𝑐 = −2</p><p>Figura 12: Parábola 2</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Com essas informações, pode-se fazer o esboço de qualquer função do</p><p>segundo grau.</p><p>23</p><p>1.5 FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>A função exponencial é definida por 𝑓: {𝑅 ⟶ 𝑅+</p><p>∗ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que 𝑎 é um</p><p>número real dado, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.</p><p>Nessa definição, há duas restrições em relação à base 𝑎 (𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1).</p><p>● Se 𝑎 = 1, para todo 𝑥 ∈ 𝑅, a função dada por 𝑦 = 1𝑥 será constante.</p><p>● Se 𝑎 < 0, nem sempre o número 𝑎𝑥 será um número real</p><p>● Se 𝑎 = 0, temos três possibilidades para o valor de 𝑥:</p><p>1) 𝑥 > 0, função constante.</p><p>2) 𝑥 < 0, não está definido em 𝑅.</p><p>3) 𝑥 = 0, não está definido em 𝑅.</p><p>1.5.1 Gráfico de uma função exponencial</p><p>O gráfico de uma função exponencial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 possui certas</p><p>características. A primeira é que a curva que representa tal gráfico está toda acima</p><p>do eixo-𝑥, pois a 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅+</p><p>∗ ; a curva exponencial toca o eixo-𝑦 no ponto (0,1); a</p><p>função será crescente se 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1, temos também que o eixo-</p><p>𝑥 é uma assíntota.</p><p>24</p><p>Crescente Decrescente</p><p>Figura 13: Função exponencial crescente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 14: Função exponencial decrescente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Existem diversas aplicações das funções exponenciais, essas funções estão</p><p>presentes em nosso dia a dia, como por exemplo, calcular a quantidade de massa</p><p>de um determinado</p><p>elemento químico, em função de sua meia vida, crescimento</p><p>populacional, quantidade de bactérias em uma cultura.</p><p>1.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>A função logarítmica é definida por 𝑓: {𝑅+</p><p>∗ ⟶ 𝑅 𝑓(𝑥) = 𝑥 , em que 𝑎 é um</p><p>número real dado, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.</p><p>Nessa definição, há duas restrições em relação à base 𝑎 (𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1).</p><p>● Se 𝑎 = 1, para todo 𝑥 ∈ 𝑅, teremos como imagem a reta 𝑥 = 1.</p><p>● Se 𝑎 < 0, a função não estará definida;</p><p>● Se 𝑎 = 0, obtemos um segmento de reta paralelo ao eixo-𝑥:</p><p>Para entender esses exemplos citados acima, verifique o livro “Cálculo – Volume I, 8ª</p><p>edição, James Stewart, na página 37-39” disponível em: https://tinyurl.com/24fa2dsd.</p><p>Acesso em 29 maio 2024.</p><p>https://tinyurl.com/24fa2dsd</p><p>25</p><p>1.6.1 Gráfico de uma função logarítmica</p><p>O gráfico da função logarítmica do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥 possui certas características.</p><p>A primeira é que a curva que representa tal gráfico está à direita do eixo-𝑦; a curva</p><p>logarítmica toca o eixo-𝑥 no ponto (1,0); a função será crescente se 𝑎 > 1 e</p><p>decrescente se 0 < 𝑎 < 1.</p><p>Crescente Decrescente</p><p>Figura 15: Função logarítmica crescente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 16: Função logarítmica decrescente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>1.7 FUNÇÃO MODULAR</p><p>Sabemos que |𝑥| existe para qualquer x real. Também temos que para</p><p>qualquer número real x possui um único |𝑥|. Essas condições, permitem definir uma</p><p>função f de 𝑅 em 𝑅, chamada função modular.</p><p>A função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| é denominada função modular e:</p><p>𝑓(𝑥) = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0</p><p>Vamos esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥|.</p><p>Iremos considerar os casos 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 < 0, dessa forma temos 𝑓(𝑥) = 𝑥 e 𝑓(𝑥) =</p><p>−𝑥 respectivamente.</p><p>26</p><p>𝑓(𝑥) = |𝑥|</p><p>para 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = |𝑥| = 𝑥</p><p>𝑓(𝑥) = |𝑥|</p><p>para 𝑥 < 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = |𝑥| = −𝑥</p><p>Figura 17: Função modular no 1º</p><p>quadrante</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 18: Função modular no 2º</p><p>quadrante</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Dessa forma, juntando os dois gráficos do quadro acima em um único plano</p><p>cartesianos temos o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥|.</p><p>27</p><p>Figura 19: Função modular</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Observe que o domínio do gráfico é o conjunto dos números reais (𝐷𝑓 = 𝑅) e a</p><p>imagem são os reais positivos (𝐼𝑚𝑓 = 𝑅+)</p><p>Abaixo traçamos em um mesmo plano cartesiano o gráfico de várias funções</p><p>modular. Sejam elas:</p><p>𝑓(𝑥) = |𝑥|, 𝑔(𝑥) = 1 + |𝑥|, ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| 𝑒 𝑝(𝑥) = |𝑥 + 1| − 2</p><p>Figura 20: Variações de uma função modular</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>28</p><p>1.8 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA</p><p>As funções trigonométricas são interessantes principalmente para os estudos</p><p>que envolvem fenômenos periódicos, ou seja, são fenômenos que apresentam</p><p>oscilações e se repetem sistematicamente. Nesse tópico, iremos apresentar as</p><p>funções seno, cosseno e tangente. Abordaremos as representações gráficas e</p><p>algumas características importantes.</p><p>Função seno: definimos a função seno a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅, que a cada número real 𝑥 associa</p><p>o seno de um arco de 𝑥 radianos (ou grau), ou seja, para cada 𝑥 associa um 𝑠𝑒𝑛(𝑥).</p><p>Figura 21: Função seno</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Características:</p><p>● O domínio função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) é o conjunto dos números reais 𝐷𝑓 = 𝑅</p><p>● A imagem de 𝑓 corresponde ao intervalo [−1,1] ou 𝐼𝑚𝑓 = [−1,1]</p><p>● A função 𝑓 é periódica com período igual a 2𝜋. Observe que seus valores se repetem</p><p>a cada intervalo de 2𝜋.</p><p>● A curva do gráfico da função 𝑓 chama-se senoide.</p><p>29</p><p>Função cosseno: definimos a função cosseno a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅, que a cada número real 𝑥</p><p>associa o cosseno de um arco de 𝑥 radianos (ou grau), ou seja, para cada 𝑥 associa um</p><p>𝑐𝑜𝑠(𝑥).</p><p>Figura 22: Função cosseno</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Características:</p><p>● O domínio função 𝑓(𝑥) =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) é o conjunto dos números reais 𝐷𝑓 = 𝑅</p><p>● A imagem de 𝑓 corresponde ao intervalo [−1,1] ou 𝐼𝑚𝑓 = [−1,1]</p><p>● A função 𝑓 é periódica com período igual a 2𝜋. Observe que seus valores se repetem</p><p>a cada intervalo de 2𝜋.</p><p>● A curva do gráfico da função 𝑓 chama-se cossenoide.</p><p>30</p><p>Função tangente: definimos a função tangente a função 𝑓, que a cada número real 𝑥 ≠</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>+ 𝑘𝜋 associa a tangente de um arco de 𝑥 radianos (ou grau), ou seja, para cada 𝑥 associa</p><p>um 𝑡𝑔(𝑥).</p><p>Figura 23: Função tangente</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Características:</p><p>● O domínio função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) é o conjunto dos números reais 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>+ 𝑘𝜋}</p><p>● A imagem de 𝑓 é o conjunto dos números reais.</p><p>● A função 𝑓 é periódica com período igual a 𝜋. Observe que seus valores se repetem</p><p>a cada intervalo de 𝜋.</p><p>1.9 FUNÇÃO COMPOSTA</p><p>A distância percorrida por um automóvel pode ser dada por uma função 𝑑 =</p><p>40𝑡, onde 𝑑 é a distância percorrida (em Km) e 𝑡 o tempo (em horas). O consumo de</p><p>combustível também pode ser determinado por uma função. Sabendo que esse</p><p>automóvel consome em média 0,2 litros de combustível por quilômetro rodado,</p><p>podemos escrever a seguinte função 𝐶 = 0,2𝑑, onde 𝐶 é o consumo de combustível</p><p>(litros) e de distância percorrida (km).</p><p>Podemos calcular utilizando essas funções o consumo de combustível após</p><p>duas horas. A distância percorrida depois de 2 horas é dada por:</p><p>𝑑 = 40𝑡 ⇒ 𝑑 = 40 ∙ 2 ⇒ 𝑑 = 80 𝐾𝑚.</p><p>O consumo de combustível em 80 km é dado por:</p><p>𝐶 = 0,2𝑑 ⇒ 𝐶 = 0,2 . 80 ⇒ 𝐶 = 16 𝐿.</p><p>Seria mais interessante escrever uma função que determine o consumo de</p><p>31</p><p>combustível 𝐶 em função de tempo 𝑡. Para isso, fazemos:</p><p>𝐶 = 0,2𝑑 como 𝑑 = 40𝑡, temos 𝐶 = 0,2 ∙ 40𝑡 ⇒ 𝐶 = 8 ∙ 𝑡</p><p>Usando essa nova função, temos que o consumo de combustível para após 2</p><p>horas é dado por: 𝐶 = 8 ∙ 𝑑 ⇒ 𝐶 = 8 ∙ 2 ⇒ 𝐶 = 16 𝐿. Dizemos que a função 𝐶 = 0,2 ∙ 𝑑 é</p><p>a função composta de 𝑑 e 𝐶.</p><p>Definição de função composta: dadas as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶,</p><p>chamamos função composta de g com a função 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶. Podemos também usar</p><p>a notação (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).</p><p>Exemplo: dadas as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 3 e 𝑔: 𝐵 → 𝐶</p><p>definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 . Determine 𝑓(𝑔(𝑥)) e 𝑔(𝑓(3)).</p><p>a) Para fazer a composta 𝑓(𝑔(𝑥)) vamos substituir a g(x) no lugar na variável</p><p>independente de 𝑓.</p><p>Logo: 𝑓(𝑥2 + 2) = 4(𝑥2 + 2) + 3 ⇒ 𝑓(𝑔(𝑥)) = 4𝑥2 + 11</p><p>b) Para 𝑔(𝑓(3)), faremos 𝑓(3) e depois substituímos o valor encontrado em 𝑔(𝑥).</p><p>𝑓(3) = 4 ∙ 3 + 3 ⇒ 𝑓(3) = 15</p><p>Assim: 𝑔(15) = 152 + 2 ⇒ 𝑔(15) = 227</p><p>Portanto 𝑔(𝑓(3)) = 227</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>32</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Em uma corrida de Táxi, a bandeirada custa R$5,00 e para cada km percorrido é</p><p>cobrado o valor de R$3,00. Determine a função que expressa o valor a ser pago 𝑝 em</p><p>função dos km rodados 𝑥.</p><p>a) 𝑝(𝑥) = 5𝑥 + 3</p><p>b) 𝑝(𝑥) = 3𝑥 + 5</p><p>c) 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 3</p><p>d) 𝑝(𝑥) = 𝑥 + 8</p><p>e) 𝑝(𝑥) = 5𝑥</p><p>2. Em uma empresa, o custo 𝑐 em reais, para produzir 𝑛 peças, pode ser calculado</p><p>por 𝑐(𝑛) = 0,04𝑛2 − 2𝑛 + 110. Para qual quantidade de peças o custo de produção é</p><p>mínimo.</p><p>a) 25</p><p>b) 30</p><p>c) 40</p><p>d) 85</p><p>e) 90</p><p>3. Um projétil lançado ao nível do solo chegou à altura de 80 metros, sabendo que</p><p>esse projétil retorna ao solo após 8 segundos, qual das funções abaixo melhor</p><p>representa a altura desse projétil em função do tempo.</p><p>a) 𝑓(𝑡) = 5𝑡2 − 40𝑡</p><p>b) 𝑓(𝑡) = −5𝑡2 + 𝑡</p><p>c) 𝑓(𝑡) = 5𝑡2 − 𝑡</p><p>d) 𝑓(𝑡) = −5𝑡2 + 40𝑡</p><p>e) 𝑓(𝑡) = 5𝑡2 − 4𝑡</p><p>4. No que se refere a função exponencial: 𝑓(𝑥) = (</p><p>6</p><p>5</p><p>)</p><p>2𝑥</p><p>Maria Fernanda, Luiza e Heitor fizeram as seguintes afirmações respectivamente:</p><p>I. A função é crescente, pois 𝑎 > 0.</p><p>II. A curva exponencial dessa função intercepta o eixo y no ponto (0,</p><p>6</p><p>5</p><p>).</p><p>33</p><p>III. Para 𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>, temos 𝑦 =</p><p>36</p><p>25</p><p>.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) Apenas Maria Fernanda está correta.</p><p>b) Luiza e Heitor estão corretos.</p><p>c) Nenhum dos três está correto.</p><p>d) Todos estão corretos.</p><p>e) Apenas Heitor está correto.</p><p>5. Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) = (𝑥2 − 6𝑥 + 8)</p><p>a) {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 > 4}</p><p>b) {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≤ 4}</p><p>c) {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 < 2 }</p><p>d) {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 > 2 𝑜𝑢 𝑥 < 4}</p><p>e) {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 4}</p><p>6. O gráfico representado pela linha contínua refere-se à função real 𝑓(𝑥) = |𝑥|, se a</p><p>função 𝑓 deslocar 3 unidades verticalmente no eixo-𝑦, a nova função será dada por:</p><p>a) 𝑔(𝑥) = |3𝑥| − 3</p><p>b) 𝑔(𝑥) = |3𝑥| + 3</p><p>c) 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 3|</p><p>d) 𝑔(𝑥) = |𝑥| − 3</p><p>e) 𝑔(𝑥) = |𝑥| + 3</p><p>34</p><p>7. Dada a função trigonométrica 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥), sua imagem e seu período são</p><p>respectivamente:</p><p>a) 𝐼𝑚 = [0,1] e 𝑃 = [2𝜋]</p><p>b) 𝐼𝑚 = [−1,1] e 𝑃 = [𝜋]</p><p>c) 𝐼𝑚 = [−2,1] e 𝑃 = [𝜋]</p><p>d) 𝐼𝑚 = [0,2] e 𝑃 = [2𝜋]</p><p>e) 𝐼𝑚 = [0,1] e 𝑃 = [</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>]</p><p>8. Considere as funções, 𝑓 e 𝑔, de modo que 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 1 e 𝑓[𝑔(𝑥)] = 2 + 3𝑥. Assim, o</p><p>valor de 𝑔(3) é:</p><p>a) 2</p><p>b) 4</p><p>c) 6</p><p>d) 8</p><p>e) 10</p><p>35</p><p>LIMITES</p><p>2.1 INTRODUÇÃO</p><p>Estudaremos nesta unidade os conceitos iniciais sobre limites, a noção intuitiva</p><p>de limites, a utilização de algumas propriedades operatórias e saber avaliar a</p><p>existência de um limite são conceitos necessários nas próximas unidades.</p><p>2.2 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO</p><p>Para entender a noção intuitiva de limite, é natural pensarmos em alguma</p><p>função. Dessa forma vamos analisar o comportamento da função definida por:</p><p>{𝑓: 𝑅 ⟼ 𝑅 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 , o gráfico e a tabela abaixo nos mostram os valores de 𝑓(𝑥)</p><p>próximo do valor pertencente ao domínio 𝑥 = 1. Repare que não estamos analisando</p><p>especificamente o ponto 𝑥 = 1, mas sim, os pontos os próximos a 𝑥.</p><p>Tabela 1: valores de x</p><p>𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)</p><p>0,7 1,343 1,2 2,728</p><p>0,8 1,512 1,1 2,331</p><p>0,9 1,729 1,05 2,157625</p><p>0,99 1,970299 1,01 2,030301</p><p>0,998 1,994011992 1,001 2,003003001</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 24: Os valores de f(x) em torno</p><p>de x=1</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Observando a tabela, podemos verificar quando os valores de 𝑥 estiverem</p><p>mais próximos de 1, a imagem 𝑓(𝑥) ficará mais próxima de 2. Isso vale se analisarmos</p><p>a imagem em relação ao valor de 𝑥, nesse caso, teremos que quanto mais próximo</p><p>de a imagem ficar do valor 2, o 𝑥 ficará mais próximo de 1.</p><p>UNIDADE</p><p>02</p><p>36</p><p>Assim, podemos dizer que o limite da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 quando 𝑥 tende a 1</p><p>é igual a 2. Logo, podemos reescrever esta frase em linguagem matemática como:</p><p>𝑓(𝑥) = 2 ou 𝑥3 + 1 = 2 .</p><p>Exemplo: considerando a reta 𝑦 = 2𝑥 + 2, podemos verificar que quando 𝑥</p><p>tende a −3 a função 𝑦 ficará mais próxima de −4.</p><p>Tabela 2: valores x</p><p>𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)</p><p>−2,7 −3,4 −3,2 −4,4</p><p>−2,8 −3,6 −3,1 −4,2</p><p>−2,9 −3,8 −3,05 −4,1</p><p>−2,99 −3,98 −3,01 −4,02</p><p>−2,998 −3,996 −3,001 −4,002</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 25: Os valores de f(x) em torno de</p><p>x=-3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Quando analisamos um limite, verificamos o que ocorre com a função nas</p><p>proximidades de um determinado ponto.</p><p>Na função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 podemos fazer o estudo dos valores de um</p><p>determinado ponto, mas não é necessário fazer a tabela a todo instante, pois, existe</p><p>uma notação para isso.</p><p>A partir de agora, utilizaremos a notação 𝑥 ⟶ 1− para denotar os valores de 𝑥,</p><p>que nesse caso se aproximam do 1 pela esquerda e 𝑥 ⟶ 1+ para denotar os valores</p><p>de 𝑥, que nesse caso se aproximam do 1 pela direita.</p><p>37</p><p>Tabela 3: valores x</p><p>𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)</p><p>0,7 −3,51 1,2 −2,56</p><p>0,8 −3,36 1,1 −2,79</p><p>0,9 −3,19 1,05 −2,8975</p><p>0,99 −3,0199 1,01 −2,9799</p><p>𝑥 ⟶ 1− 𝑥 ⟶ 1+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 26: Os valores de 𝑓(𝑥), quando 𝒙 ⟶</p><p>𝟏− e 𝒙 ⟶ 𝟏+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Portanto, 𝑥2 − 4 = −3 .</p><p>Para a função 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥+2</p><p>, repare que 𝑓(𝑥) não está definida para 𝑥 = −2,</p><p>porém quando falamos de limite, podemos olhar para vizinha desse valor, mesmo</p><p>que ele não esteja definido para a função.</p><p>38</p><p>Figura 27: Os valores de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 ⟶ 2− e 𝑥 ⟶ 2+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>1</p><p>𝑥 + 2</p><p>= −∞</p><p>1</p><p>𝑥 + 2</p><p>= +∞</p><p>Ao analisar as proximidades para 𝑥 = −2, observamos que a função não tem</p><p>valor para um único valor em específico. Aproximando de 𝑥 pela esquerda (𝑥 = −2−),</p><p>repare que o valor da função será um número muito pequeno pois o limite tende</p><p>para −∞, e pela direita (𝑥 = −2+), o valor da função será um número muito grande,</p><p>já que o limite tende para +∞.</p><p>A partir desses conceitos intuitivos de limites, apresentaremos a definição</p><p>formal desse conceito.</p><p>Definição: Seja 𝑓(𝑥) uma função definida quando está próximo de um número</p><p>𝑎, então o limite dessa função tendendo ao número 𝑎, será o valor 𝐿. Assim, podemos</p><p>escrever 𝑓(𝑥) = 𝐿 . Lembre-se que se tornarmos o valor de 𝑥 suficientemente próximo</p><p>de 𝑎 por ambos os lados, mas não igual ao 𝑎, os valores de 𝑓(𝑥) tendem a ficarem</p><p>cada vez mais próximos do valor de 𝐿 (tendendo a 𝐿).</p><p>Vejamos agora, algumas propriedades de limites que são importantes.</p><p>39</p><p>2.3 PROPRIEDADE DE LIMITE E CÁLCULOS</p><p>Para trabalharmos com as propriedades dos limites, primeiro devemos</p><p>conhecer a unicidade.</p><p>Se 𝑓(𝑥) = 𝐿 1 e 𝑓(𝑥) = 𝐿 2, então, obrigatoriamente devemos ter 𝐿1 = 𝐿2. Caso</p><p>𝐿1 ≠ 𝐿2 dizemos que o limite não existe.</p><p>Propriedades</p><p>Considere que existam os limites 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥)</p><p>1) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)</p><p>2) [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)</p><p>3) 𝑐[𝑓(𝑥) ] = 𝑓(𝑥)</p><p>4) [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)</p><p>5) [𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) , se 𝑔(𝑥) ≠ 0.</p><p>6) [𝑓(𝑥) ]𝑛 = [𝑓(𝑥) ]𝑛</p><p>7) 𝑐 = 𝑐</p><p>8) 𝑥 = 𝑎</p><p>9) 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛</p><p>10) √𝑥</p><p>𝑛</p><p>= √𝑎</p><p>𝑛</p><p>, onde 𝑛 é um número inteiro positivo.</p><p>11) √𝑓(𝑥)𝑛</p><p>= √ 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶𝑎</p><p>𝑓(𝑥)𝑛 , onde 𝑛 é um número inteiro positivo.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥2 + 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>(−2𝑥) + 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>1 = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥2 − 2 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥 + 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>1 = 22 −</p><p>2(2) + 1 = 4 − 4 + 1 = 1.</p><p>Verifique a definição forma de limite que é feita por e na página 91, do livro Cálculo –</p><p>Volume I, 8ª edição, James Stewart, disponível em: https://tinyurl.com/yc7zpnzy. Acesso</p><p>em 29 maio. 2024.</p><p>https://tinyurl.com/yc7zpnzy</p><p>40</p><p>2) 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>√𝑥5 − 3𝑥3 + 2𝑥2 = √ 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥5 − 3𝑥3 + 2𝑥2 = √ 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥5 − 3 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥3 + 2 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥2 =</p><p>√15 − 3(13) + 2(12) = √1 − 3 + 2 = √0 = 0.</p><p>3) 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝜃⟶</p><p>5𝜋</p><p>12</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>5𝜋</p><p>12</p><p>) = 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>+</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>) = 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>) 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>) + 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>)</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>) =</p><p>1</p><p>2</p><p>∙</p><p>√2</p><p>2</p><p>+</p><p>√2</p><p>2</p><p>∙</p><p>√3</p><p>2</p><p>=</p><p>√2</p><p>4</p><p>+</p><p>√6</p><p>4</p><p>=</p><p>√2+√6</p><p>4</p><p>2.4 LIMITES LATERAIS</p><p>O limite de uma função 𝑓(𝑥) só irá existir se os limites laterais existirem e forem</p><p>iguais.</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿 se e somente se, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝐿.</p><p>Exemplos:</p><p>Note que nesse exemplo foram utilizadas as propriedades:</p><p>1) para ;</p><p>3) para ;</p><p>9) para ;</p><p>8) para e</p><p>7) para ;</p><p>41</p><p>1) Para determinar o limite da função 𝑓(𝑥)</p><p>= |𝑥|, é interessante olharmos para</p><p>o seu gráfico. Pela definição de função modular, temos:</p><p>𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0</p><p>Figura 28: Os valores de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 ⟶ 0− e 𝑥 ⟶ 0+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Assim, podemos</p><p>perceber que o</p><p>|𝑥| = |0| = 0</p><p>e</p><p>|𝑥| = |0| = 0</p><p>Logo, dizemos que</p><p>o |𝑥| = 0</p><p>2) Observe que o</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>possui dois resultados diferentes quando analisamos os</p><p>limites laterais.</p><p>Figura 29: Os valores de</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>, quando 𝑥 ⟶ 1− e 𝑥 ⟶ 1+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>−𝑥</p><p>𝑥</p><p>= −1</p><p>e</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>𝑥</p><p>= 1</p><p>Nesse caso,</p><p>dizemos que o</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>∄.</p><p>42</p><p>3) Observe a figura a seguir:</p><p>Figura 30: Os valores de 𝒇(𝒙), quando 𝒙 ⟶ 𝟎− e 𝒙 ⟶ 𝟎+</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Nesse exemplo temos</p><p>uma função definida</p><p>por:</p><p>𝑓(𝑥) = {1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1 −</p><p>1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 .</p><p>𝑓(𝑥) = −1 e 𝑓(𝑥) = 1</p><p>Assim, dizemos que o</p><p>𝑓(𝑥) = ∄.</p><p>No exemplo 3, utilizamos uma função que chamamos de descontínua. No</p><p>tópico a seguir, abordaremos o conceito sobre continuidade de funções, que utiliza</p><p>as ideias de limite.</p><p>2.5 CONTINUIDADE</p><p>Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) é contínua, quando são satisfeitas as seguintes</p><p>condições:</p><p>a) 𝑓 é definida no ponto 𝑎;</p><p>b) 𝑓(𝑥) existe;</p><p>c) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)</p><p>Se 𝑓(𝑥) é contínua, então os pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)) sobre o gráfico de 𝑓 tendem ao</p><p>ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)) do gráfico. Isso implica que não existe quebra (descontinuidade) no</p><p>gráfico.</p><p>43</p><p>Figura 31: Continuidade da função 𝑓(𝑥)</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Exemplos:</p><p>1) Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1 é contínua em 𝑥 = 2.</p><p>Resolução: Precisamos verificar se as três condições de continuidade serão</p><p>satisfeitas para definirmos se a função é contínua ou não no ponto.</p><p>a) Quando aplicamos 𝑥 = 2 na função 𝑓(𝑥), teremos 23 − 1. Nesse caso, não</p><p>nos deparamos com alguma indeterminação. Portanto, dizemos que 𝑓 está definida</p><p>para 𝑥 = 2.</p><p>b) Para verificar se 𝑓(𝑥) existe, precisamos verificar se os limites laterais são</p><p>iguais.</p><p>Assim, o 𝑥3 − 1 = (2)3 − 1 = 8 − 1 = 7 e 𝑥3 − 1 = (2)3 − 1 = 8 − 1 = 7.</p><p>Observe que para valores muito próximo de 2 só que menores (𝑥 ⟶ 2−) o valor</p><p>do limite será 7, isso também vale para valores muito próximos de 2, só que maiores</p><p>(𝑥 ⟶ 2+). Portanto 𝑥3 − 1 = 7</p><p>c) Temos que 𝑓(2) = 23 − 1 = 7, logo temos 𝑥3 − 1 = 𝑓(2) = 7 .</p><p>Como as três condições foram satisfeitas, dizemos que 𝑥3 − 1 é contínua em</p><p>𝑥 = 2.</p><p>2) Na função 𝑓 com domínio nos números reais, possui a seguinte lei de</p><p>formação 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1 𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1 , vamos verificar se essa função é</p><p>44</p><p>contínua em 𝑥 = 1.</p><p>Verificando as condições:</p><p>a) Ao substituirmos 𝑥 = 1 em 𝑓(𝑥) não encontramos indeterminação, podemos</p><p>dizer que 𝑓(𝑥) está definida para 𝑥 = 1.</p><p>b) Verificando se os limites laterais existem:</p><p>𝑥2 = 12 = 1 e 𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2 , como os limites laterais são diferentes dizemos</p><p>que 𝑓(𝑥) = ∄, logo podemos afirmar que 𝑓(𝑥) é descontínua para 𝑥 = 1.</p><p>O conhecimento de quais funções são contínuas, nos permite calcular certos</p><p>limites que em um primeiro momento são indeterminações.</p><p>3) 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥−1</p><p>√𝑥−1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥−1</p><p>√𝑥−1</p><p>∙</p><p>√𝑥+1</p><p>√𝑥+1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥−1</p><p>√𝑥−1</p><p>∙</p><p>√𝑥+1</p><p>√𝑥+1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>(𝑥−1)∙(√𝑥+1)</p><p>𝑥−1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶1</p><p>√𝑥 + 1 = √1 +</p><p>1 = 1 + 1 = 2.</p><p>Propriedades</p><p>Considere as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) contínuas em 𝑥 = 𝑎. Podemos afirmar que:</p><p>1) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎.</p><p>2) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎.</p><p>3) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎.</p><p>4) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ÷ 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑎, para 𝑔(𝑥) ≠ 0.</p><p>Utilizando o conceito sobre continuidade podemos utilizar o Teorema do Valor</p><p>Intermediário.</p><p>Teorema do Valor Intermediário: Suponha que 𝑓 seja contínua num intervalo</p><p>fechado [𝑎, 𝑏], e 𝑁 um número qualquer entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) (𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏)). Então existe</p><p>um número 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑁.</p><p>45</p><p>Figura 32: Representação do Teorema do Valor Intermediário</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>46</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. O valor do limite (−4𝑥2 + 5𝑥 + 3) é?</p><p>a) 3</p><p>b) - 3</p><p>c) 0</p><p>d) ∄</p><p>e) 4</p><p>2. O valor do limite (</p><p>𝑥2+𝑥−6</p><p>𝑥−2</p><p>) é?</p><p>a) 5</p><p>b) - 5</p><p>c) 0</p><p>d) ∄</p><p>e) 3</p><p>3. Observe o gráfico da função f(x) abaixo e determine 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑓(𝑥).</p><p>a) 2</p><p>b) +∞</p><p>c) −∞</p><p>47</p><p>d) - 2</p><p>e) ∄</p><p>4. Determine o valor do limite 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶−1</p><p>√𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 11:</p><p>a) 2</p><p>b) √2</p><p>c) √3</p><p>d) -2</p><p>e) 2√2</p><p>5. Em relação a função 𝑓(𝑥) =</p><p>5</p><p>𝑥2−1</p><p>, podemos afirmar, exceto:</p><p>a) a função está definida para 𝑥 = 2.</p><p>b) 𝑓(𝑥) = ∞.</p><p>c) 𝑓(𝑥) = − ∞.</p><p>d) 𝑓(𝑥) = − ∞.</p><p>e) 𝑓(𝑥) = existe.</p><p>6. Para uma função ser continua implicitamente requer três coisas para a</p><p>continuidade de 𝑓 em a:</p><p>I) 𝑓 é definida no ponto 𝑎;</p><p>II) 𝑓(𝑥) existe;</p><p>III) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)</p><p>onde a é um ponto do domínio da função. Dada a função 𝑓(𝑥) = {</p><p>𝑥2−𝑥−2</p><p>𝑥−2</p><p>𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2 𝑥 =</p><p>3 𝑠𝑒 𝑥 = 2 . Podemos afirmar que:</p><p>a) A função f(x) é descontínua pois não está definida para 𝑥 = 2.</p><p>b) A função f(x) é contínua para qualquer valor de x pertencente ao domínio.</p><p>c) A função f(x) não é continua em 2, pois está definida para 𝑓(2) = 1, existe o</p><p>limite 𝑓(𝑥) , mas lim</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2).</p><p>d) A função f(x) é continua em x=2, pois está definida nesse ponto do domínio.</p><p>e) A função f(x) não é contínua, pois o limite 𝑓(𝑥) não existe.</p><p>48</p><p>7. O valor do limite lim</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑥−2</p><p>√𝑥−2</p><p>é?</p><p>a) 2</p><p>b) ∄</p><p>c) 3</p><p>d) -1</p><p>e) 0</p><p>8. Dados os limites:</p><p>lim</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑓(𝑥) = −2 lim</p><p>𝑥⟶1</p><p>𝑔(𝑥) = 6 lim</p><p>𝑥⟶1</p><p>ℎ(𝑥) = −3</p><p>Encontre, se existir [</p><p>3𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>+ ℎ(𝑥)] :</p><p>a) 2</p><p>b) ∄</p><p>c) 4</p><p>d) -4</p><p>e) 0</p><p>49</p><p>LIMITES NO INFINITO</p><p>3.1 INTRODUÇÃO</p><p>Nessa unidade daremos continuidades no estudo dos limites, aqui será</p><p>necessário realizar alguns cálculos algébricos envolvendo limites, faremos discussões</p><p>sobre a noção do infinito, necessárias para realizar outros tipos de operações.</p><p>3.2 LIMITES INFINITOS</p><p>Nessa seção faremos o estudo do comportamento das funções quando os</p><p>valores da variável 𝑥, se aproximam pela direita e pela esquerda de um determinado</p><p>valor.</p><p>Para exemplificar, considere a seguinte função definida por: 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>(𝑥−3)2, o</p><p>primeiro a se fazer, é analisar o domínio da função 𝑓(𝑥), repare que a função está</p><p>definida para todos os números reais, exceto quando 𝑥 = 3, pois,</p><p>1</p><p>(3−3)2 =</p><p>1</p><p>0</p><p>o que é</p><p>uma indeterminação. Assim fica natural calcularmos o limite de 𝑓(𝑥) com 𝑥 ⟶ 3+ e</p><p>𝑥 ⟶ 3−. O gráfico e a tabela abaixo nos mostram valores de 𝑓(𝑥) próximo do valor</p><p>𝑥 = 3.</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>50</p><p>Tabela 4</p><p>𝑥 ⟶ 3+ 𝑓(𝑥) 𝑥 ⟶ 3− 𝑓(𝑥)</p><p>4 1 2 1</p><p>3,5 4 2,5 4</p><p>3,25 16 2,75 16</p><p>3,1 100 2,9 100</p><p>3,01 1.000 2,99 1.000</p><p>3,001 1.000.000 2,999 1.000.000</p><p>Figura 33: Limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 ⟶ 3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Observando a tabela, podemos verificar quando os valores de 𝑥 estiverem</p><p>mais próximos de 3, a imagem 𝑓(𝑥)</p><p>cresce ilimitadamente. Assim, podemos encontrar</p><p>um valor para 𝑓(𝑥) cada vez maior para valores de 𝑥 próximos de 3.</p><p>Assim, podemos dizer que o limite da função 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>(𝑥−3)2 quando 𝑥 tende a 3</p><p>é igual a +∞. Logo, podemos reescrever esta frase em linguagem matemática como:</p><p>1</p><p>(𝑥−3)2 = +∞ .</p><p>Após essa ideia intuitiva de limite infinito, apresentaremos a definição formal</p><p>desse conceito.</p><p>Definição: seja 𝑓(𝑥) uma função definida em intervalo aberto contendo a,</p><p>exceto no próprio 𝑎. Quando 𝑥 tende a 𝑎, 𝑓(𝑥) cresce (ou decresce) indefinidamente</p><p>e escrevemos: 𝑓(𝑥) = + ∞ ou (𝑓(𝑥) = −∞ ).</p><p>Vale ressaltar que ∞ não representa um número real, e ao definirmos 𝑓(𝑥) =</p><p>± ∞ não teremos o mesmo significado do que 𝑓(𝑥) = 𝐿 , onde 𝐿 é um número real.</p><p>Teorema: se 𝑛 for um número inteiro positivo qualquer, então temos:</p><p>I. lim</p><p>𝑥⟶𝑎+</p><p>1</p><p>𝑥𝑛 = +∞</p><p>II. lim</p><p>𝑥⟶𝑎−</p><p>1</p><p>𝑥𝑛</p><p>= {</p><p>−∞, se 𝑛 for ímpar</p><p>+∞, se 𝑛 for par</p><p>51</p><p>Vejamos agora, algumas propriedades de limites infinitos que são importantes</p><p>para resolvermos alguns exemplos.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine o limite da função</p><p>1</p><p>𝑥2 para 𝑥 ⟶ 0.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>=</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>1</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>𝑥2</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>= +∞</p><p>2) Determine o limite da função −</p><p>1</p><p>(𝑥−2)2 para 𝑥 ⟶ 2.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>−</p><p>1</p><p>(𝑥 − 2)2</p><p>= −</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>1</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶2</p><p>(𝑥 − 2)2</p><p>= −</p><p>1</p><p>0</p><p>= −∞</p><p>3) Determine o limite da função</p><p>𝑐𝑜𝑠𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>𝑥2 para 𝑥 ⟶ 0.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>𝑥2</p><p>=</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶0</p><p>𝑥2</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>= +∞</p><p>Verifique a demonstração do teorema acima nas páginas 96-97, do livro Cálculo –</p><p>Volume I, 8ª edição, James Stewart, disponível em https://tinyurl.com/cx2sujr4. Acesso em</p><p>29 maio. 2024.</p><p>Note que nesse exemplo, temos uma indeterminação do tipo , nesse caso, não estamos</p><p>interessados exatamente na divisão de uma constante pelo número 0, e sim por um</p><p>número bem próximo de 0.</p><p>https://tinyurl.com/cx2sujr4</p><p>52</p><p>3.3 LIMITES NO INFINITO</p><p>Na seção anterior fizemos o estudo do comportamento das funções quando</p><p>os valores da variável 𝑥, se aproximam pela direita e pela esquerda de um</p><p>determinado valor aumentam e diminuem. Agora, faremos um estudo dos limites de</p><p>funções quando a os valores da variável 𝑥 aumentam e diminuem sem limitação.</p><p>Para exemplificar, considere a seguinte função definida por: 𝑓(𝑥) =</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥2+2</p><p>, aqui</p><p>podemos colocar valores para 𝑥 cada vez maiores e valores para 𝑥 cada vez</p><p>menores, podendo aumentar ou diminuir esses valores indefinidamente.</p><p>4) Veja o cálculo do limite da função quando tende a:</p><p>lim</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥2 − 5𝑥 + 6</p><p>𝑥 − 2</p><p>=</p><p>22 − 5(2) + 6</p><p>2 − 2</p><p>=</p><p>4 − 10 + 6</p><p>0</p><p>=</p><p>0</p><p>0</p><p>Repare que nesse exemplo nos deparamos com uma indeterminação, e para poder</p><p>resolver o exercício, precisamos fazer uma fatoração polinomial do numerador.</p><p>Lembre-se que: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)</p><p>Portanto, temos que: lim</p><p>𝑥⟶2</p><p>𝑥2−5𝑥+6</p><p>𝑥−2</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶2</p><p>(𝑥−2)∙(𝑥−3)</p><p>𝑥−2</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶2</p><p>(𝑥 − 3) = 2 − 3 = −1</p><p>53</p><p>Observando a tabela, podemos verificar que quando aumentamos ou</p><p>diminuímos os valores de 𝑥 indefinidamente, 𝑓(𝑥) terá um valor cada vez mais próximo</p><p>de 3.</p><p>Assim, podemos dizer que o limite da função 𝑓(𝑥) =</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥2+2</p><p>quando 𝑥 tende a +∞</p><p>ou que o limite de função 𝑓(𝑥) =</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥2+2</p><p>quando 𝑥 tende a −∞, serão iguais a 3. Logo,</p><p>podemos reescrever esta frase em linguagem matemática como:</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥2+2</p><p>= 3 e</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥2+2</p><p>=</p><p>3.</p><p>Definição: seja 𝑓(𝑥) uma função definida em intervalo aberto (𝑎, +∞), o limite</p><p>de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 cresce indefinidamente, será 𝐿, ou seja, lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿.</p><p>Analogamente, podemos definir o limite para quando a função 𝑓(𝑥) definida</p><p>em intervalo aberto (−∞, 𝑎), o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 decresce indefinidamente, será</p><p>𝐿, ou seja, lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>𝑓(𝑥) = 𝐿</p><p>Teorema: se 𝑛 for um número inteiro positivo qualquer, então temos:</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>1</p><p>𝑥𝑛</p><p>= 0</p><p>lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>1</p><p>𝑥𝑛</p><p>= 0</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>6𝑥−7</p><p>2𝑥+10</p><p>Tabela 5</p><p>𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)</p><p>0 0 −1 3</p><p>1 3 −2 2</p><p>5 1,5555 −5 1,5555</p><p>10 1,8823 −10 1,8823</p><p>100 2,9994 −100 2,9994</p><p>1000 2,9999 −1000 2,9999</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Figura 34: Limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 ⟶ +∞ e 𝑥 ⟶</p><p>−∞</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>54</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>6𝑥 − 7</p><p>2𝑥 + 10</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥 (6 −</p><p>7</p><p>𝑥)</p><p>𝑥 (2 +</p><p>10</p><p>𝑥</p><p>)</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>6 −</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>2 +</p><p>10</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>6 − lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>7</p><p>𝑥</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>2 + lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>10</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>6 − 0</p><p>2 + 0</p><p>=</p><p>6</p><p>2</p><p>= 3</p><p>2) Determine o limite da função 5𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 para 𝑥 ⟶ +∞.</p><p>Intuitivamente faríamos: 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>5𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 = +∞ − ∞ + ∞ − ∞, porém</p><p>vimos que +∞ − ∞ é uma indeterminação. Ainda assim é possível realizar o cálculo</p><p>desse limite. Para isso, devemos utilizar um artifício para reescrever esse limite de uma</p><p>maneira diferente e assim eliminarmos essa indeterminação.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>5𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 = 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥4 (5 −</p><p>2𝑥3</p><p>𝑥4</p><p>+</p><p>3𝑥2</p><p>𝑥4</p><p>−</p><p>4𝑥</p><p>𝑥4) =</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥4 (5 −</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>3</p><p>𝑥2</p><p>−</p><p>4</p><p>𝑥3</p><p>) = +∞(5 − 0 + 0 − 0) = +∞ ∙ 5 = +∞</p><p>3) Determine o limite da função</p><p>𝑥5+𝑥4+6</p><p>2𝑥5+𝑥+1</p><p>para 𝑥 ⟶ +∞.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥5 + 𝑥4 + 6</p><p>2𝑥5 + 𝑥 + 1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥5 (1 +</p><p>1</p><p>𝑥 +</p><p>6</p><p>𝑥5)</p><p>𝑥5 (2 +</p><p>1</p><p>𝑥4 +</p><p>1</p><p>𝑥5)</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>𝑥 +</p><p>6</p><p>𝑥5)</p><p>(2 +</p><p>1</p><p>𝑥4 +</p><p>1</p><p>𝑥5)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>3.4 PROPRIEDADE DE LIMITE E CÁLCULOS</p><p>Para trabalharmos com as propriedades dos limites no infinito, devemos</p><p>considerar as funções 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥), e também que existam os limites lim</p><p>𝑥⟶𝑎</p><p>𝑓(𝑥) e</p><p>lim</p><p>𝑥⟶𝑎</p><p>𝑔(𝑥), além de uma constante 𝑘 ∈ ℝ.</p><p>Propriedades</p><p>𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥)</p><p>01 ±∞ ±∞ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ±∞</p><p>02 +∞ +∞ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) indeterminado</p><p>03 +∞ 𝑘 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) +∞</p><p>04 −∞ 𝑘 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) −∞</p><p>05 +∞ +∞ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) +∞</p><p>06 +∞ −∞ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) −∞</p><p>07 +∞ 𝑘 > 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) +∞</p><p>08 +∞ 𝑘 < 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) −∞</p><p>09 ±∞ 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) indeterminado</p><p>10 𝑘 ±∞</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>0</p><p>11 ±∞ ±∞</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>indeterminado</p><p>55</p><p>12 𝑘 > 0 0+</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>+∞</p><p>13 +∞ 0+</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>+∞</p><p>14 𝑘 > 0 0−</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>−∞</p><p>15 +∞ 0−</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>−∞</p><p>16 0 0</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>indeterminado</p><p>Utilizando essas propriedades podemos fazer o cálculo de certos limites no</p><p>infinito de maneira direta.</p><p>3.5 ASSÍNTOTAS</p><p>Após realizar o estudo sobre limites infinitos e limites no infinito, iniciaremos o</p><p>estudo das assíntotas, que estão diretamente ligadas aos limites estudados</p><p>anteriormente.</p><p>As assíntotas são retas que se prolongadas à medida em que os valores de 𝑥</p><p>cresce ou decresce, tendem a se aproximar de um tipo de curva. Uma utilização</p><p>corriqueira dos limites infinitos são para determinar as assíntotas verticais de uma</p><p>função caso elas existam. Já os limites no infinito, nos fornecem as assíntotas</p><p>horizontais de uma função caso elas existam.</p><p>Definição: a reta 𝑥 = 𝑎 será uma assíntota vertical do gráfico da função 𝑓(𝑥),</p><p>se pelo menos uma das afirmativas a seguir for verdadeira:</p><p>I. lim</p><p>𝑥⟶𝑎+</p><p>𝑓(𝑥) = +∞ II. lim</p><p>𝑥⟶𝑎+</p><p>𝑓(𝑥) = −∞</p><p>III. lim</p><p>𝑥⟶𝑎−</p><p>𝑓(𝑥) = +∞ IV. lim</p><p>𝑥⟶𝑎−</p><p>𝑓(𝑥) = −∞</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine a assíntota vertical para a função 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥+2</p><p>Vamos verificar o domínio dessa função. Repare que a função 𝑓(𝑥) existe para</p><p>qualquer valor de 𝑥 ∈ 𝑅 com exceção de 𝑥 = −2, pois nesse ponto temos</p><p>2</p><p>0</p><p>(função</p><p>racional). Logo, esse ponto deve ser estudado para determinação da assíntota</p><p>vertical. Sabendo, que a reta 𝑥 = −2 será uma assíntota vertical do gráfico da função</p><p>𝑓(𝑥), se pelo menos uma das afirmativas a seguir for verdadeira:</p><p>I. lim</p><p>𝑥⟶𝑎+</p><p>𝑓(𝑥) = +∞ II. lim</p><p>𝑥⟶𝑎+</p><p>𝑓(𝑥) = −∞</p><p>56</p><p>III. lim</p><p>𝑥⟶𝑎−</p><p>𝑓(𝑥) = +∞ IV. lim</p><p>𝑥⟶𝑎−</p><p>𝑓(𝑥) = −∞</p><p>I. lim</p><p>𝑥⟶−2+</p><p>2</p><p>𝑥+2</p><p>= +∞ verdadeiro logo 𝑥 = −2 é a assíntota vertical para a função</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥+2</p><p>.</p><p>Figura 35: Assíntota vertical 𝑥 = −2</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>2) Determine as assíntotas verticais para a função 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥2+5𝑥−6</p><p>.</p><p>Devemos iniciar pelo domínio da função. Para que essa função exista</p><p>devemos ter</p><p>𝑥2 + 5𝑥 − 6 ≠ 0. Os valores que zeram essa função são 𝑥 = −6 𝑒 𝑥 = 1 (encontre</p><p>as raízes da equação do segundo grau 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0). Logo, as assíntotas dessa</p><p>função devem passar pelos pontos 𝑥 = −6 𝑒 𝑥 = 1. Para isso, devemos calcular os</p><p>seguintes limites e verificar se pelo menos um é verdadeiro.</p><p>lim</p><p>𝑥⟶−6+</p><p>2</p><p>𝑥2+5𝑥−6</p><p>= − ∞ (verdadeiro)</p><p>lim</p><p>𝑥⟶1+</p><p>2</p><p>𝑥2+5𝑥−6</p><p>= + ∞ (verdadeiro)</p><p>A função 𝑓(𝑥) =</p><p>2</p><p>𝑥2+5𝑥−6</p><p>possui 𝑥 = −6 e 𝑥 = 1 como assíntotas verticais.</p><p>57</p><p>Figura 36: Assíntotas verticais 𝑥 = −6 e 𝑥 = 1</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Definição: a reta 𝑦 = 𝑏 será uma assíntota horizontal do gráfico da função 𝑓(𝑥),</p><p>se pelo menos uma das afirmativas a seguir for verdadeira:</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑏; ou lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑏;</p><p>Exemplos:</p><p>1) Determine as assíntotas horizontais para a função 𝑓(𝑥) =</p><p>√2𝑥2+1</p><p>3𝑥</p><p>lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>√2𝑥2 + 1</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>√𝑥2 (2 +</p><p>1</p><p>𝑥2)</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>𝑥 (√2 +</p><p>1</p><p>𝑥2)</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>√2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>3</p><p>=</p><p>√2</p><p>3</p><p>Logo 𝑦 =</p><p>√2</p><p>3</p><p>é uma assíntota para 𝑥 ⟶ +∞.</p><p>lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>√2𝑥2 + 1</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>√𝑥2 (2 +</p><p>1</p><p>𝑥2)</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>𝑥 (√2 +</p><p>1</p><p>𝑥2)</p><p>3𝑥</p><p>= lim</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>√2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>3</p><p>= −</p><p>√2</p><p>3</p><p>Logo 𝑦 = −</p><p>√2</p><p>3</p><p>é uma assíntota para 𝑥 ⟶ −∞.</p><p>58</p><p>Figura 37: Assíntotas horizontais 𝑦 =</p><p>√2</p><p>3</p><p>e 𝑦 = −</p><p>√2</p><p>3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Vale ressaltar que as assíntotas nunca tocam nos gráficos. Na figura acima,</p><p>temos a impressão de que isso acontece devido ao gráfico.</p><p>2) Determine as assíntotas horizontais para a função 𝑓(𝑥) =</p><p>3𝑥</p><p>𝑥+1</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>∙</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>𝑥</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶+∞</p><p>3</p><p>1 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>3</p><p>1</p><p>= 3</p><p>Logo 𝑦 = 3 é uma assíntota para 𝑥 ⟶ +∞.</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>∙</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>3𝑥</p><p>𝑥</p><p>𝑥 + 1</p><p>𝑥</p><p>= 𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑥⟶−∞</p><p>3</p><p>1 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>3</p><p>1</p><p>= 3</p><p>Logo 𝑦 = 3 é uma assíntota para 𝑥 ⟶ −∞.</p><p>Portanto, temos uma única assíntota horizontal.</p><p>59</p><p>Figura 38: Assíntotas horizontais 𝑦 = 3</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024).</p><p>Com esses conceitos conseguimos resolver os seguintes exercícios.</p><p>60</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Podemos afirmar que o limite lim</p><p>𝑥→∞</p><p>𝑥7+4𝑥4−4𝑥+8</p><p>𝑥3+𝑥2−3𝑥−1</p><p>é igual:</p><p>a) 8</p><p>b) - 8</p><p>c) ∞</p><p>d) -∞</p><p>e) ∄</p><p>2. O valor do limite lim</p><p>𝑥→∞</p><p>3𝑥+5</p><p>𝑥−4</p><p>é:</p><p>a) 3</p><p>b) - 3</p><p>c) ∞</p><p>d) -∞</p><p>e) ∄</p><p>3. Determine o limite da função 𝑥3 − 2𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>para 𝑥 ⟶ 0 pela direita:</p><p>a) 1</p><p>b) - 1</p><p>c) ∞</p><p>d) -∞</p><p>e) ∄</p><p>4. Dada função 𝑓(𝑥) =</p><p>√5𝑥2+2</p><p>2𝑥−2</p><p>, podemos afirmar que sua assíntota horizontal é:</p><p>a) 𝑦 = 2</p><p>b) y =√5</p><p>c) 𝑦 = √3</p><p>d) 𝑦 =</p><p>√5</p><p>2</p><p>e) 𝑦 = 0</p><p>5. Determine o limite lim</p><p>𝑥→∞</p><p>−𝑥2−𝑥+1</p><p>2𝑥2+7</p><p>:</p><p>a) −2</p><p>61</p><p>b)</p><p>1</p><p>2</p><p>c) 1</p><p>d) −</p><p>1</p><p>2</p><p>e) 0</p><p>6. As afirmações abaixo são sobre a função 𝑓(𝑥) =</p><p>𝑥3+𝑥</p><p>2𝑥+2</p><p>e sua representação gráfica.</p><p>I. A função possui uma assíntota vertical em 𝑥 = −1.</p><p>II. O limite lim</p><p>𝑥→−1</p><p>𝑥3+𝑥</p><p>2𝑥+2</p><p>= ∞</p><p>III. O limite lim</p><p>𝑥→−1</p><p>𝑥3+𝑥</p><p>2𝑥+2</p><p>= −∞</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) Apenas a afirmativa I está correta.</p><p>b) Todas as afirmativas estão corretas</p><p>c) Apenas a afirmativa II está correta.</p><p>d) Apenas a afirmativa III está correta.</p><p>e) Todas as afirmativas estão erradas.</p><p>62</p><p>7. Observe a função 𝑓(𝑥) = 2 +</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>e a sua representação gráfica:</p><p>Julgue as afirmativas em verdadeiras ou falsas.</p><p>( ) A função possui assíntota vertical 𝑥 = 0.</p><p>( ) A função possui assíntota horizontal 𝑦 = 2</p><p>( ) O limite lim</p><p>𝑥→∞</p><p>(2 +</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>) = 2</p><p>( ) O limite lim</p><p>𝑥→0</p><p>(2 +</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>) = ∞</p><p>A sequência correta para as afirmativas acima é:</p><p>a) V – F – V – F .</p><p>b) F – F – V – F.</p><p>c) V – F – V – V.</p><p>d) V – V – V – F.</p><p>e) V – F – F – F.</p><p>8. A função 𝑓(𝑥) =</p><p>6</p><p>𝑥</p><p>+ 𝑥2, possui assíntota vertical igual a:</p><p>a) 𝑥 = 2</p><p>b) 𝑥 = 1</p><p>c) 𝑥 = 0</p><p>d) 𝑥 = 6</p><p>63</p><p>e) 𝑥 = 3</p><p>64</p><p>DERIVADAS</p><p>4.1 INTRODUÇÃO</p><p>Nessa unidade, será apresentada o que é uma derivada, através gráficos e</p><p>aplicações, utilizaremos os conceitos de limite para definir uma derivada e por fim</p><p>faremos alguns cálculos de derivada.</p><p>4.2 TAXA DE VARIAÇÃO</p><p>Neste módulo iniciaremos o estudo das derivadas. As derivadas podem ser</p><p>utilizadas para resolverem certos tipos de problemas como, encontrar uma reta</p><p>tangente a uma curva, determinar a velocidade de um objeto e auxiliar na resolução</p><p>de problemas que envolvem taxa de variação. A definição de derivada está</p><p>relacionada a um tipo específico de limite.</p><p>Para entender o conceito de derivada utilizaremos um problema de uma reta</p><p>tangente a uma curva em um determinado ponto.</p><p>4.2.1 Reta Tangente</p><p>Seja uma curva contínua 𝐶, com equação 𝑦 = 𝑓(𝑥1), representada na figura</p><p>abaixo. Vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)).</p><p>UNIDADE</p><p>04</p><p>65</p><p>Figura 39: Reta Secante e Reta Tangente no ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1))</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Observe que uma reta secante possui dois pontos em comum com a curva 𝐶.</p><p>Podemos encontrar mais de uma reta secante a essa curva, aproximando o ponto</p><p>𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) ao ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) na curva 𝐶, vale destacar que (𝑥1 ≠ 𝑥2).</p><p>Porém quando 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) for igual a 𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) percebemos que a reta deixa</p><p>de ser secante e passa a ser uma reta tangente à curva 𝐶 nesse ponto.</p><p>66</p><p>Figura 40: inclinação da reta secante na curva 𝐶</p><p>Fonte: elaborado pelos autores (2024)</p><p>Na Figura a reta secante que passa pelos pontos 𝑃 e 𝑄 possui uma inclinação</p><p>(coeficiente angular) dada por: 𝑚𝑃𝑄 =</p><p>𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)</p><p>𝑥2−𝑥1</p><p>. Como o ponto 𝑄 está se</p><p>aproximando de 𝑃, percebemos que 𝑥2 fica próximo de 𝑥1 (𝑥2 ⟶ 𝑥1) , e utilizando a</p><p>ideia de limite vimos na unidade 2, que se o coeficiente angular da reta que passa</p><p>por 𝑃 e 𝑄 tender para um certo número, então definimos a inclinação da reta</p><p>tangente que passa por 𝑃 da seguinte maneira 𝑚𝑃𝑄 = lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)</p><p>𝑥2−𝑥1</p><p>.</p><p>Exemplo: encontre a equação da reta tangente à curva 𝑦 = 2𝑥2 + 1 no ponto</p><p>𝑃 = (1,3).</p><p>Utilizando a ideia de Taxa de Variação apresentante anteriormente, temos</p><p>que:</p><p>𝑥1 = 1 e 𝑦 = 𝑓(𝑥1) = 3.</p><p>Repare que não temos as coordenadas do ponto 𝑄, assim, considere</p><p>𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)), portanto para determinar a inclinação da reta tangente fazemos:</p><p>𝑚𝑃𝑄 = lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)</p><p>𝑥2−𝑥1</p><p>.</p><p>𝑚𝑃𝑄 = lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>𝑓(𝑥2) − 3</p><p>𝑥2 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>[2(𝑥2)2 + 1] − 3</p><p>𝑥2 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>2𝑥2</p><p>2 − 2</p><p>𝑥2 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>2 ∙ (𝑥2</p><p>2 − 1)</p><p>𝑥2 − 1</p><p>67</p><p>= lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>2(𝑥2 − 1) ∙ (𝑥2 + 1)</p><p>𝑥2 − 1</p><p>= lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>2 ∙ (𝑥2 + 1)</p><p>Como 𝑥1 = 1, podemos reescrever esse limite como:</p><p>lim</p><p>𝑥2⟶𝑥1</p><p>2 ∙ (𝑥2</p>