apostila_calculo1A_2020_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
11100061 CÁLCULO 1A - PROFA. REJANE PERGHER
SEMESTRE 2020/01
1. Introdução:
1.1 Números Reais R
Conjuntos numéricos:
- Números Naturais: N = 1,2,3, . . . 
- Números Inteiros: Z = . . . ,−2,−1,0,1,2, . . . 
- Números Racionais: Q = x\x = mn , com m,n ∈ Z
∗
- Números Irracionais: Q ′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração.
Exemplos: π,e, 2 , . . .
Observação: Assista a videoaula do projeto GAMA para saber mais sobre conjuntos numéricos
https://www.youtube.com/watch?v=O3wxeOoQSUY
1.2 Intervalos:
- Intervalo aberto limitado: a,b = x\a < x < b. Representação gráfica:
- Intervalo fechado limitado: a,b = x\a ≤ x ≤ b.Representação gráfica:
- Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b = x\a < x ≤ b
a,b = x\a ≤ x < b
- Intervalo aberto ilimitado: a,∞ = x\x > a
−∞,b = x\x < b
- Intervalo fechado ilimitado: a,∞ = x\x ≥ a
−∞,b = x\x ≤ b
Observação: Assista a videoaula do projeto GAMA para saber mais sobre intervalos reais
https://www.youtube.com/watch?v=gmU09MohY5A
1.3 Valor Absoluto:
Seja a ∈ R :
|a | =
a , se a ≥ 0
−a , se a < 0
|a | = da, 0 = distância do ponto a até a origem.
1
|a − b | = da, b = distância entre a e b.
|a − b | =
a − b , se a ≥ b
b − a , se b > a
Propriedades:
|x| < a  −a < x < a
|x| > a  −a > x ou x > a
Exemplo 1: |x| < 2 , ou seja, dx, 0 < 2.
d1,0 = 1, mas d−1,0 = 1 também!
Logo, −2 < x < 2.
Observação:
Assista a videoaula do projeto GAMA para saber mais sobre operações com intervalos em
https://www.youtube.com/watch?v=4JWAANsiyc0
Exemplo 2: A interseção entre [2,5[ e [-1,3[ é o intervalo:
Exemplo 3: Segundo pesquisas realizadas em um laboratório, cientistas descobriram que bactérias do tipo
A resistiram a temperaturas compreendidas entre os valores reais de 100C e 450C, incluindo neste
intervalos os seus limites. Por sua vez, bactérias do tipo B resistiram a temperaturas entre os valores reais
de 50C e 350C, excluindo deste intervalo os seus extremos. Esses pesquisadores, desejando estudar
relações entre essas bactérias, necessitam colocá-las juntas num mesmo ambiente. Qual intervalo, relativo
à temperatura ambiente, permite que esse estudo seja feito para que tais bactérias permaneçam vivas?
1.4 Desigualdades:
Desigualdades do 1∘ Grau:
i) a < b ⇔ b − a é positivo
ii) a > b ⇔ a − b é positivo
iii) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b
iv) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b
Exemplo 4: Determine todos os intervalos que satisfaçam as desigualdades abaixo. Faça a representação
gráfica:
i) 7 < 5x + 3 ≤ 9 Resp.: 4/5,6/5
ii) |7x − 2| < 4 Resp.: −2/7,6/7
2
iii) 2 > −3 − 3x ≥ −7 Resp.: −5/3,4/3
iv) |x + 12| > 7 Resp.: −∞,−19 ∪ −5,∞
Desigualdades do 2∘ Grau:
Exemplo 5:
1) x2 − x − 2 > 0 Resp.: −∞,−1 ∪ 2,∞
2) x2 − 4x + 3 ≤ 0 Resp.: 1,3
3) x2 + 2x ≥ 0 Resp.: −∞,−2 ∪ 0,∞
4) x2 + 6x + 5 < 0 Resp.: −5,−1
Lista de Exercícios 1:
Resolva as desigualdades e exprima a solução em termos de intervalos:
1. 2x + 5 < 3x − 7
2. 3 ≤ 2x − 3
5
< 7
3. x2 − x − 6 < 0
4. x2 − 2x − 5 > 3
5. x2x + 3 ≥ 5
6. |x + 3| < 0.01
7. |2x + 5| < 4
8. |6 − 5x| ≤ 3
9. |3x − 7| ≥ 5
10. |−11 − 7x| > 6
11. −5 ≤ 3x + 4 < 7
12. |6x − 7| > 10
13. 0 < 3x + 1 ≤ 4x − 6
14. |5 − 2x| ≥ 7
15. −6 < 3x + 3 ≤ 3
16. |x − 4| ≤ 16
17. 1 < x − 2 < 6 − x
18. x − 7 ≥ −5 ou x − 7 ≤ −6
19. x < 6x − 10 ou x ≥ 2x + 5
20. 2x − 1 > 1ou x + 3 < 4
21. 1 ≤ −2x + 1 < 3
22. x + 3 < 6x + 10
23. |2x − 3| > 4
24. 2 < 5x + 3 ≤ 8x − 12
25. |2x − 3| ≤ 5
RESPOSTAS:
3
1. (12,∞ 2. [9,19) 3. (-2,3)
4. (-∞,−2 ∪ 4,∞ 5. (-∞,−5/2 ∪ 1,∞ 6. (-3.01,-2.99)
7. (-9/2,-1/2) 8. [3/5,9/5] 9. (-∞, 2/3 ∪ 4,∞
10. (-∞,−17/7 ∪ −5/7,∞ 11. [-3,1) 12. (−∞,−1/2 ∪ 17/6,∞
13. [7,∞ 14. (-∞,−1 ∪ 6,∞ 15. (-3,0]
16. [-12,20] 17. (3,4) 18.−∞, 1 ∪ 2,∞
19.−∞,−5 ∪ 2,∞ 20.−∞, 1 ∪ 1,∞ 21.(-1,0]
22.−7/5,∞ 23. −∞,−1/2 ∪ 7/2,∞ 24.5,∞
25.[-1,4]
Antes de prosseguir!
Assista as videoaulas de matemática básica do projeto GAMA em
https://wp.ufpel.edu.br/projetogama/videoaulas/
2. Funções:
1. O que é uma função ?
Podemos definir função da seguinte maneira:
Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único
valor de y. Dizemos que y é a variável dependente e x é a variável independente.
Escrevemos y = fx, onde f é o nome da função.
O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e a imagem é o
conjunto correspondente de valores da variável dependente.
Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas.
Exemplo 1: No verão de 1990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão
alta, de fato, que algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões
lá). As altas diárias de temperatura na cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo:
Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Temperatura oC 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42
Tabela 1. Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990
Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.
2.1 Gráfico de uma função:
O gráfico da função f em um plano xy é o conjunto de pontos x,y, onde x pertence ao domínio de f e y é o
valor correspondente fx de f.
4
-2 -1 1 2 3
10
20
x
f(x)
2.2 Tipos de Funções:
a) Funções polinomiais:
1) Função Linear:
fx = mx + b
onde x é a variável independente e m e b são constantes (números reais).
⋅ A constante m é a inclinação da reta determinada por y = fx.
⋅ b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo vertical.
⋅ zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo horizontal.
Observe que:
⋅ Se m = 0, a função linear fx = b é uma função constante. Desenhe seu gráfico!
⋅ Se b = 0, então temos fx = mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na
origem 0, 0.
Por exemplo: y = −2x, y = −x, y = − 1
2
x, y = 1
2
x, y = x, y = 2x, y = −2x,y = −x,y = −x/2,y = x/2,y = x,y = 2x
Coeficiente Angular de uma reta:
O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se conhecermos dois de
seus pontos, a partir da expressão:
m =
y2 − y1
x2 − x1
Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:
y − y1 = mx − x1 
Exemplo 1: A equação da reta que passa pelo ponto 3,−2 e tem coeficiente angular 2
3
é? Resposta:
y = 2
3
x − 4.
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos −3,−5 e 2,−2. Resposta: y = 3
5
x − 16
5
.
Exemplo 3: Dada a função fx = 2x + 4, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e
horizontal. Resposta:
5
-2 -1 0 1 2
2
4
6
8
x
y
Exemplo 4: A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem
decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582 pontos, enquanto que em
2005, a média foi de 552 pontos.
a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: y = −6x + 582
b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 2010? Resposta: 522 pontos
c) Em que ano, a média é de 534 pontos, nestas condições? Resposta: Em 2008.
2) Função Quadrática:
Uma função quadrática é da forma
fx = ax2 + bx + c
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x2 − 1. Resposta:
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima
(a > 0) ou concavidade voltada para baixo (a < 0).
Elementos da Parábola:
Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eixo x).
−b ± b2 − 4ac
2a
Vértice: é onde se encontra o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função.
xv = − b
2a
6
e
yv = − Δ
4a
= − b
2 − 4ac
4a
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = x2 + 2x − 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a
imagem. Resposta:
-4 -2 2
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx= −x2 + 5x − 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a
imagem. Resposta:
0 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
x
y
Exemplo 4: A temperatura de uma certa região em função do tempo x é Cx = −0,15x2 + 3,8x + 12 graus
centígrados.
a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: 35,8 ∘C.
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 19 e 22 horas? Resposta: Diminuiu 7,05∘C.
3) Função Cúbica:
fx = ax3 + bx2 + cx + d
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x3. Resposta:
-2 -1 1 2
-5
5
x
y
Exemplo 2: Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado
pela função: Cq = 1
27
q3 + 5q2 + 125q + 250.
7
a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. Resposta: R$ 5.046,30.
b) Calcule o custo de fabricação da 20a. unidade. Resposta: R$ 362,26.
Lista de Exercícios 2:
1) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t = 0, com velocidade de 15 metros por
segundo. Sua altura y, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação
y = −5t2 + 15t .
Faça uma análise da função quadrática definida por esta equação, isto é:
∙ esboce um gráfico da posição versus tempo;
∙ determine os zeros desta função e interprete o que representam;
∙ determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa;
∙ responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate ?
2) Considerando a função polinomial definida por: fx = 3x3 − 7x2 − 22x + 8 , construa seu gráfico e
determine os pontos de intersecção com os eixos horizontal e vertical.
3) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros:
(a) fx = 1
2
x − 5 (b) gx = 2 − 5x (c) hx = 10 − x2 (d) lx = x2 − 2x + 4
4) Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125. Expresse a área A, de sua superfície total,
como função da aresta x , de sua base.
Lembre: ∙ o volume de uma caixa retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura
∙ a área da superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces.
5) Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro.
6) Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.
-10
-5
0
5
10
y
-10 -5 5 10
x
(a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.
(b) Dê valores aproximados para f2 e f4.
(c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = −1 ? E na vizinhança de x = 3 ?
(d) O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5 ? E na vizinhança de x = −5 ?
(e) Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.
8
7) Se fx = x2 + 1, encontre:
(a) ft + 1 (b) ft2 + 1 (c) f2 (d) 2ft (e) ft2 + 1
8) Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades (Existem várias
respostas possíveis).
(a) f0 = 2.
(b) fx é crescente para 0 ≤ x < 1.
(c) fx é decrescente para 1 < x < 3.
(d) fx é crescente para x > 3.
(e) fx → 5 quando x → ∞.
9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir:
( ) y = −x ( ) y = x3 − 4x − 2 ( ) y = −28 + 34x − 9x2
( ) y = −x2 + x − 2 ( ) y = x2 + 2 ( ) y = 2x − 6
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
(1)
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
(2)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(3)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(4)
1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
x
y
(5)
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
(6)
10) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e R$1,50 o quilômetro
rodado. Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e R$1,00 o quilômetro rodado.
(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da
distância percorrida.
(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.
(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato?
b) Função Módulo:
fx = |ax + b |
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = |x|. Resposta:
9
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = |x − 1|. Resposta:
-2 0 2 4
1
2
3
4
x
y
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = |2x + 1|. Resposta:
-4 -2 0 2
2
4
6
x
y
c) Função Racional:
fx =
px
qx
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 1x . Resposta:
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1
x − 2 . Resposta:
10
-2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = 1
x + 2
. Resposta:
-4 -2 2
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 4: Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a x anos, será de Px = 30 − 5
x + 2
milhares.
a) Daqui a 10 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 29,58 mil habitantes.
b) De quanto a população crescerá durante o 10o ano? Resposta: 30 habitantes.
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil
habitantes.
d) Função Raiz Quadrada:
fx = ax + b
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = x . Resposta:
0 1 2 3 4
0
1
2
x
y
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = x − 3 . Resposta:
4 6 8
-1
0
1
2
3
x
y
e) Funções Trigonométricas:
11
Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num
triângulo e datam de muito tempo.(Trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é
o estudo de funções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que
as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que
ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um
coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical, todos
flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas.
Medida de arcos de circunferência
Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:
∙ Grau
Um grau corresponde a 1
360
da circunferência onde está o arco a ser medido.
∙ Radiano
Um radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco
a ser medido.
É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360∘ ou 2π rad π ≈ 3,14.
Responda: Quantos graus correspondem, aproximadamente, a um arco de 1rad ?
Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação x2 + y2 = 1. Seu lado
terminal intercepta o círculo num ponto Px,y. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e
o co-seno de t é definido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é:
sent = y e cos t = x.
Sobre o círculo abaixo, de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o cosseno do ângulo que ele
representa, em cada um dos seguintes casos:
a) P ∈ 1o quadrante b) P ∈ 2o quadrante c) P ∈ 3o quadrante d) P ∈ 4o quadrante
Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre
−1 e 1.
Como consequência imediata da definição, temos que;
sen2t + cos2t = 1.
Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g , definidas, respectivamente,
por ft = sent e gt = cos t. Identifique cada uma delas.
12
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo
e mínimo.
O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete
um ciclo.
A amplitude de cos t e sent é 1 e o período é 2π.
Definição: Consideremos um número qualquer t , com cos t ≠ 0. A função tangente é definida por
tan t = sin t
cos t
.
∙ Observe o gráfico da função f , definida por ft = tan t
-4 -2 2 4
-10
10
x
y
Lista de Exercícios 3
1) Relacione cada gráfico com a função que ele representa:
( 1 ) fx = 1 + senx ( 2 ) gx = senx − 2 ( 3 ) hx = sen2x
( 4 ) lx = 2senx ( 5 ) mx = 5sen2x ( 6 ) nx = −5sen x
2
13
2 4 6
-2
-1
0
1
2
x
y
( )
2 4 6
-2
-1
0
1
2
x
y
( )
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
01
2
3
x
y
( )
-2 2 4 6 8 10 12
-4
-2
2
4
x
y
( )
∙ Qual a amplitude e o período de cada uma das funções ?
2) Idem para:
( 1 ) Fx = cos x + 2 ( 2 ) Gx = 1 − cos x ( 3 ) Hx = cos x
2
( 4 ) Lx = cos x
2
( 5 ) Mx = 4 cos 2x ( 6 ) Nx = 4cos 1
2
x
2 4 6
-1
0
1
x
y
( )
2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
x
y
( )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
x
y
( )
14
3) Qual a diferença entre senx2, sen2x e sensenx ? Apresente exemplos, justificando.
4) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π
2
e determine o seno , o cosseno e a tangente do
mesmo.
5) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo:
-4 -2 2 4 6
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
fx =
-4 -2 2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
gx =
f) Função Exponencial:
Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de 1, definida por
fx = ax
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 2x. Resposta:
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx =  1
2
x. Resposta:
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
Exemplo 3: A função exponencial natural fx = ex é um caso particular da função exponencial de base a
qualquer. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce o
gráfico. Resposta:
15
-4 -2 2
5
10
x
y
Exemplo 4: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de
utilização porde ser descrito pela função Vt = 15.000e−0,08t + 600.
a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 15.600
b) Quanto o veículo valerá após 10 anos? Resposta: 7.339,93
Exemplo 5: Se o custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal
médio x (em centenas de horas) pela equação y = 35.000 − 25.000e−0,02x, qual é o custo anual de
manutenção, em reais para o uso mensal médio de 200 horas? Resposta: R$ 10.980,26
g) Função Logarítmica:
Definição: A função logarítmica de base a, positiva e diferente de 1, é uma função real, definida por
fx = logax
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = log3x. Resposta:
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = log 1
3
x. Resposta:
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
Exemplo 3: A função logarítmica natural fx = lnx é um caso particular da função logarítmica de base a
qualquer, porque lnx = logex. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x,
inclusive x = 1. Esboce o gráfico. Resposta:
16
2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
y
Propriedades:
1) lnA.B = lnA + lnB
2) ln A
B
 = lnA − lnB
3) lnAr = r lnA
4) Mudança de base: logab =
log b
log a
= lna
lnb
Exemplo 4: Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = V0eat. Sabendo que, em
1995, seu valor era de R$ 14.500,00 e em 2004 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 1997. Resposta: R$
13.291,00.
h) Função par:
f−x = fx
Exemplos:
1) Função módulo: fx = |x|
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
2) Função quadrática: fx = x2
-4 -2 0 2 4
10
20
x
y
i) Função Ímpar:
f−x = −fx
Exemplos:
1) Função identidade: fx = x
17
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
2) Função cúbica: fx = x3
-3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
j) Função periódica:
fx = fx + T = fx + 2T =. . .
Exemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno.
k) Função definida por partes
Há funções que são definidas por mais de uma expressão, como no exemplo a seguir:
fx =
2x + 3 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
∙ Construa o gráfico da função dada.O que observa?
Exemplo: A função valor absoluto
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
é uma função definida por duas sentenças.
l) Função Composta:
Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g ,denotada por f ∘ g é definida por
f ∘ gx = fgx
Exemplo 1: Dadas as funções fx = x e gx = x − 1, encontre a composição de funções f ∘ gx.
Resposta: f ∘ gx = fx − 1 = x − 1
18
Exemplo 2: A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de
substâncias poluentes presentes no local será de Qp = 0,6p + 18,4 unidades de volume, quando a
população for p milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de pt = 6 + 0,1t2
mil habitantes.
a) Expresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Qt = 22 + 0,06t2
b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a 2 anos? Resposta: 4,72 unidades de volume
c) Em quanto tempo, aproximadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de
volume? Resposta: 7 anos.
m) Função Inversa:
Exemplo 1: Encontre a função inversa de fx = 2x.
Solução: escrevendo y = 2x, então reslvemos a equação para x, 2x = y  x = y/2. Finalmente,
trocamos x por y temos: y = x/2.
Observe que o grafico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de fx em torno da reta y = x.
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 2: As funções exponencial y = ex e logarítmica y = lnx são inversas
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exemplo 3: Encontre a função inversa de fx = x3 + 2.
Solução: escrevendo y = x3 + 2, então reslvemos a equação para x, x3 = y − 2  x = 3 y − 2 .
Finalmente, trocamos x por y, obtemos y = 3 x − 2 .
Lista de Exercícios 4:
1) Construa o gráfico das funções:
a) fx = 5/2
19
Resposta:
-4 -2 0 2 4
2
3
x
y
b)fx = 2x + 1
Resposta:
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
6
x
y
c)fx = 5 − 3x
Resposta:
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
x
y
d)fx = −x2 + 8x − 7
Resposta:
2 4 6 8
-5
0
5
10
x
y
e)fx = 2x + 1
Resposta:
-4 -2 0 2
2
4
x
y
f)fx = lnx + 1
20
Resposta:
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
2) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico:
-1 0 1 2
2
4
6
x
y
Em quanto tempo percorrerá 15 Km? Resposta: 6 min.
3) Escreva a função do 2o grau representada pelo gráfico:
-1 1 2 3 4 5
5
x
y
Resposta:fx = x2 − 4x + 3
4) O custo para a produção de x unidades de certo produto é dado por C = x2 − 40x + 1600. Calcule o valor
do custo mínimo. Resposta: C = 1200.
5) Dada a função fx = |x − 2| − 1, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta:
Imf = y ∈ ℜ\y  −1.
6) Determine o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções:
a)y = 2sinx Resp.:D = ℜ, Im = −2,2, período= 2π.
b)y = 2 + sinx Resp.:D = ℜ, Im = 1,3,período=2π.
c)y = sin3x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,período=2π/3.
d)y = cos2x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,período=π.
e)y = cosx + π/2 Resp.:D = ℜ, Im = −1,1,período=2π.
f)y = 1 + 2 cosx + π Resp.:D = ℜ, Im = −1,3,período=2π.
7) Encontre uma fórmula para a função inversa:
21
a) fx = 10 − 3x , b) fx = ex3 , c) fx = lnx + 3, d) y = 2x2 + 2.
Resp.: a) f−1x = − 1
3
x2 + 10
3
. b) f−1x = 3 lnx c) f−1x = ex − 3, d) f−1x = x−2
2
Limites:
O conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos
a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente
atingido mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos:
a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso
porque existe um Limite de elasticidade da borracha.
b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta.
c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível
necessário para que a aeronave entre em órbita.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se
aproximar tanto quanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva.
Limites descrevem o que acontece com uma função fx à medida que sua variável x se aproxima de
um número particular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Suponha que você quer saber o que acontece com a função fx = x
2 + x − 2
x − 1 à medida que x se
aproximade 1. Embora fx não esteja definida em x = 1, você pode obter uma boa idéia da situação
avaliando fx em valores de x cada vez mais próximos de 1 , tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode
ser feito através de uma tabela de valores.
x fx
0.9 2. 9
0.99 2. 99
0.999 2. 999
0.9999 2. 999 9
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, fx se aproxima do número 3 e
escrevemos:
lim
x→1−
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é 3".
De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos:
x fx
1.1 3. 1
1.01 3. 01
1.001 3. 001
1.0001 3. 0001
22
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, fx se aproxima também do
número 3 e escrevemos:
lim
x→1+
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é 3".
Concluímos que:
lim
x→1
fx = 3
Graficamente, temos:
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
No caso da função fx = x
2 + x − 2
x − 1 , a qual concluimos que x→1
lim fx = 3 tabelando valores à esquerda e à
direita de 1, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja,
x→1
lim fx =
x→1
lim x
2 + x − 2
x − 1 = x→1
lim
x + 2x − 1
x − 1 = x→1
lim x + 2 = 1 + 2 = 3
Propriedades:
1) O limite é único.
2) Se lim
x→a
fx = L e lim
x→a
gx = M existem e c é um número real qualquer, então:
a) lim
x→a
fx ± gx = lim
x→a
fx ± lim
x→a
gx = L ± M
b) lim
x→a
c. fx = c lim
x→a
fx = cL
c) lim
x→a
fxgx = lim
x→a
fx lim
x→a
gx = LM
d) lim
x→a
fx
gx
=
lim
x→a
fx
lim
x→a
gx
= L
M
, para M ≠ 0
e) lim
x→a
fxn = lim
x→a
fxn = Ln
f) lim
x→a
c = c
23
LIMITES LATERAIS:
- Limite pela direita:
Notação:
lim
x→a+
fx
- Limite pela esquerda:
Notação:
lim
x→a−
fx
Teorema 1: Se os limites à direita e à esquerda são diferentes lim
x→a−
fx = A e lim
x→a+
fx = B, então o limite
lim
x→a
fx não existe.
Notamos que no exemplo 1 obtivemos para a função fx = x
2 + x − 2
x − 1 ,os limites laterais iguais, isto é,
x→1−
lim fx = 3 =
x→1+
lim fx e por este motivo afirmamos que
x→1
lim fx = 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um
segundo exemplo.
Exemplo 2: Dada a função fx =
x + 1 se x < 3
6 se x ≥ 3
, cujo gráfico está representado a seguir.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Temos:
x→3−
lim fx = 4 e
x→3+
lim fx = 6 logo, conclui-se que ∄
x→3
lim fx, pois os limites laterais são distintos.
Exemplo 3 : Dada a função fx = 1x , vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores
próximos de x = 0. Embora fx não esteja definida em x = 0, pode-se obter uma idéia da situação
avaliando fx em valores de x cada vez mais próximos de 0 , tanto à esquerda quanto à direita, como foi
feito no exemplo 1, através de uma tabela,
x fx
−0.1 −10
−0.01 −100
−0.001 −1000
−0.0001 −10000
−0.00001 −100000
24
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua esquerda, fx decresce indefinidamente
(sem limitação) e escrevemos:
lim
x→0−
fx = −∞ ,
De forma análoga, investigamos o limite à direita.
x fx
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
0.00001 100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, a sua direita, fx cresce indefinidamente (sem
limitação) e escrevemos:
lim
x→0+
fx = +∞
Concluimos então que ∄
x→0
lim fx ,usando o argumento de que os limites laterais são distintos.
O gráfico da função fx = 1x está abaixo representado
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
OBS.1: Devemos enfatizar que os símbolos +∞ e − ∞, como usados aqui, descrevem uma maneira
particular na qual o limite não existe; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser
manipulados usando regras de álgebra. Por exemplo, não é correto escrever +∞  − +∞  = 0.
OBS.2: Se lim
x→a
fx , onde a não é ponto crítico ( a
0
, por exemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite
existe e é fa. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais.
Exemplo 4: Determine, se existir, o limite de: lim
x→1
x
x − 1
25
Exemplo 5: Calcule lim
x→−2
x2 − 9
x + 2
:
Exemplo 6: Calcule lim
x→0
fx onde fx =
−1, se x = 0
x, se x ≠ 0
Teorema 2: (Limite no infinito) Se n ∈ N , então lim
x→±∞
1
xn
= 0
Teorema 3: (Limite Infinito) Se n ∈ N , então lim
x→0+
1
xn
= ∞ e lim
x→0−
1
xn
=
+∞, se n é par
− ∞, se n é ímpar
OBS. 3: Se n é par, lim
x→0+
1
xn
= lim
x→0−
1
xn
, então lim
x→0
1
xn
existe.
Se n é ímpar, lim
x→0+
1
xn
≠ lim
x→0−
1
xn
, então lim
x→0
1
xn
não existe.
Exemplo 7: Calcule lim
x→0
yx, onde yx = 1
x2
Expressões Indeterminadas:
0
0
, ∞∞ , ∞ − ∞, 0
0,∞0, 1∞
Exemplo 8: Calcule lim
x→1
x2 + 2x − 3
x2 − 1
. Resposta: 2
Exemplo 9: Calcule lim
x→−2
2 − x + 6
x + 2
. Resposta: -1
Exemplo 10: Calcule lim
x→∞
2x3−3x+7
3x2+2x−1
. Resposta: ∞
Lista de Exercícios 5:
1) Explique com suas palavras o significado da equação
é possível diante da equação anterior que f2 = 3? Explique.
2) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
26
3) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
4) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
27
5) Dado que
Encontre se existir , o limite. Se não existir, explique por quê.
6) Calcule os limites:
1) lim
x→∞
2x − 5
x + 8
Resp.: 2
2) lim
x→−∞
2x3 − 3x + 5
4x5 − 2
Resp.: 0
3) lim
x→3
x2 − 9
x − 3 Resp.: 6
4) lim
x→1
x − 1
x − 1 Resp.: 1/2
5) lim
x→2
x3 − 4x
x3 − 3x2 + 2x
Resp.: 4
6) lim
x→9
x − 9
x − 3
Resp.: 6
7) lim
x→1
x2 + x − 2
x − 1 Resp.: 3
7) Calcule os limites:
1)lim
x→3
 x − 5
x3 − 7
 12)lim
t→∞
 t
2 − 2t + 3
2t2 + 5t − 3

2)lim
t→2
 t
2 − 5
2t3 + 6
 13) lim
x→−∞
 5x
3 − x2 + x − 1
x4 + x3 − x + 1

3)lim
r→1
8r + 1
r + 3
14) lim
x→3+
 x
x − 3 , limx→3−
x
x − 3 , limx→3 
x
x − 3 
4)lim
x→1
 x
2 − 1
x − 1  15)limy→0 
1 − 1 + y
7y

5)lim
x→0

x + 2 − 2
x  16)limt→0 
4 − t + 22
9 − t + 32

6)lim
x→0
|x|
x 17) limx→−1
x2 + 3x + 2
x + 1

7)lim
x→0
 x
3 − x
x  18)limx→0 
3x + 12 − 1
x3 − 3x

8)lim
x→∞
 2x − 1
x − 2  19)limx→1 
x − 1
x − 1 
28
9)lim
x→∞
 2x
x2 − 1
 20)lim
h→0

x + h2 − x2
h

10)lim
x→∞
x2 − 10x + 1 21)lim
x→∞
 −x
3 + 3x2
x3 − 1

11) lim
x→−2
 x
3 − 3x + 2
x2 − 4
 22) lim
x→0+
|x|
x2
, lim
x→0−
|x|
x2
, lim
x→0
|x|
x2
Respostas do exercício 7)
1)− 1
10
9)0 17)1
2)− 1
22
10)+∞ 18)−2
3) 3
2
11)− 9
4
19) 1
2
4)2 12) 1
2
20) 2x
5) 1
2 2
13)0 21)−1
6)∄ 14)+∞,−∞,∄ 22)+∞,+∞,+∞
7)-1 15)− 1
14
8)2 16) 2
3
Continuidade:
Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que
têm limite, em cada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua
não tem quebras, saltos ou furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.
Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:
i) f é definida no ponto a
ii) lim
x→a
fx existe
Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem
uma descontinuidade no ponto a.
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse
intervalo.
Exemplo 1: Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x, nos quais a função é descontínua:
a) fx =
3 − x , se x < 1
4 , se x = 1
x2 + 1 , se x > 1
-2 -1 0 1 2 3
5
10
x
y
29
b) fx =
x2 − 1 ,se x < 1
4 − x ,se x ≥ 1
-4 -2 2 4
5
10
x
y
c) fx =
3x − 1 ,se x ≤ 1
3 − x ,se x > 1
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
d) gx =
3 − x2 , se x < 1
1 , se x = 1
x + 1 , se x > 1
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de x. Uma função racional é contínua em
qualquer ponto onde ela é definida, isto é, em todos os pontos,exceto naqueles para os quais um ou mais
de seus denominadores se anulam.
Exemplo 2:
fx = x3 + 3x − 1
-4 -2 2 4
-100
-50
50
100
x
y
é função contínua para todo x.
Lista de Exercícios 6:
1) Dados os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e
30
explique por quê.
f(x)
g(x)
Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:
2)fx =
0 ,se x ≤ 0
x ,se x > 0
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
3)fx =
x2 − 4
x + 2
,se x ≠ −2
1 ,se x = −2
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
31
4)fx =
x + 3 ,se x ≠ 3
2 ,se x = 3
-1 0 1 2 3 4 5
4
6
8
x
y
5)fx =
x2 − 4 ,se x < 3
2x − 1 ,se x ≥ 3
-2 2 4
-5
5
10
x
y
6)fx =
x + 6 ,se x ≤ −4
16 − x2 ,se −4 < x < 4
6 − x ,se x ≥ 4
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
7)fx =
2x − 1 ,se x ≠ 2
0 ,se x = 2
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
32
8)fx =
|x|
x ,se x ≠ 0
1 ,se x = 0
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
x
y
9)fx =
|x − 3| ,se x ≠ 3
2 ,se x = 3
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
x
y
Traçado de Gráficos de Funções Racionais:
Roteiro:
1∘ Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos
num único quociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum.
2∘ Passo: Determinar lim
x→∞
fx e lim
x→−∞
fx. Se esses limites são um número finito L, então y = L é uma assíntota
horizontal.
3∘ Passo: Determinar os valores de x para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o
gráfico intercepta o eixo dos x.
4∘ Passo: Determinar os valores de x para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função
tende a ∞ ou −∞, determinando uma assíntota vertical.
5∘ Passo: Os valores de x encontrados no 3∘ e 4∘ passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal.
Esses pontos determinam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada
um desses intervalos, calculando seu valor num ponto de cada intervalo.
Assíntota Horizontal:
A linha reta horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos
uma das seguintes condições for válida:
lim
x→+∞
fx = b
ou
lim
x→−∞
fx = b
Assíntota Vertical:
A linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das
33
seguintes condições for válida:
lim
x→a+
fx = +∞,
lim
x→a−
fx = +∞,
lim
x→a+
fx = −∞,
ou
lim
x→a−
fx = −∞
Exemplo 1: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace este gráfico:
a) fx = 3x
x − 1
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
x
y
b) fx = 2x
2 − 1
2x2 − 3x
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
Continuidade de funções racionais:
Exemplo 2: Determine se fx = 1
x + 1
é contínua em x = −1:
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
34
Exemplo 3: Verifique se fx =
1
x2
, se x ≠ 0
1 , se x = 0
é contínua em x = 0 :
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplo 4: Em qual dos seguintes intervalos fx = 1
x − 2
é contínua?
a) [ 2, ∞ b) (-∞, +∞ c) (2, ∞ d) [1 , 2]
Exemplo 5: A função gx = 1
x2 − x
é contínua para todo x, exceto para x = 0 e x = 1, que é onde zera o
denominador. Esboce o gráfico e justifique sua resposta.
R.:
-4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
Lista de Exercícios 7:
Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:
1)fx =
1
x + 1
, se x > −1
1 , se x = −1
x + 1 , se x < −1
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
35
2) gx =
1
x2 − 1
, se x ≠ ±1
0 , se x = ±1
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
2)fx =
x
x2 − 1
,se x ≠ ±1
0 ,se x = ±1
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
3)fx =
1
x + 5
,se x ≠ −5
0 ,se x = −5
-6 -4 -2 2
-2
2
x
y
4) yx =
x2
x + 2
,x ≠ −2
1,x = −2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-20
-10
10
x
y
36
5) yx =
x2 + 1
x2 − 1
,x ≠ ±1
0,x = ±1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
6) yx =
3x
x2 − 4
,x ≠ ±2
−1,x = ±2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
7) yx =
2x2
9 − x2
,x ≠ ±3
2,x = ±3
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
37
8) yx = x
2
x2 − x − 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
x
y
9) yx = x
2
x2 − 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
x
y
Derivadas:
Derivada de f em x0 é o coeficiente angular da reta tangente.
Notação: f ′x0.
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em x0, tomamos a reta secante passando por
Px0, fx0 e um segundo ponto Qx, fx qualquer.
38
Aproximando x de x0 , a reta secante se aproxima da reta tangente.
Temos o coeficiente angular da reta secante:
Δf
Δx
=
fx − fx0
x − x0 para x ≠ x0
Então, ao x → x0, teremos o coeficiente angular da reta tangente:
f ′x0 = lim
x→x0
fx − fx0
x − x0
desde que o limite exista e seja finito. Caso contrário, dizemos que f não tem derivada em x0.
Exemplo 1:
a) Calcule a derivada da função fx = 2x + 1 em x = 2 :
b) Calcule a derivada da função fx = x2 em x = 1 : E em x = 2 ?
Notação de Leibniz:
f ′x0 =
dfx0
dx
Mudança de variável:
Como x − x0 = Δx  x = x0 + Δx.
Assim,
fx − fx0
x − x0 =
fx0 + Δx − fx0
Δx
E, ao x → x0, Δx → 0 :
Logo,
dfx0
dx
= lim
x→x0
fx − fx0
x − x0 , se transforma em
dfx0
dx
= lim
Δx→0
fx0 + Δx − fx0
Δx
39
Exemplo 2: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada da função fx = 3x2 + 12 , em x = 2.
Resp.: f ′2 = 12.
Observação: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável.
Exemplo 3: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaixo em x = 2 :
fx =
7 − x , se x > 2
3x − 1 , se x ≤ 2
Exemplo 4: Idem para fx = |x| em x = 0 :
Exemplo 5: Idem para fx = 3 x em x = 0 :
A Derivada Como Uma Função:
Se considerarmos a derivada de f em x e fizermos x variar, obtemos a função derivada
df
dx
, onde
dfx
dx
é o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x, fx.
dfx
dx
= lim
Δx→0
fx + Δx − fx
Δx
, obtida substituindo x0 por x.
Exemplo 6: Calcule a derivada de fx = 1x para x ≠ 0 :
Exemplo 7: Calcule a derivada de fx = 3x2 − 4 :
* Regras de Derivação:
- Derivada de xn:
Definição: Para qualquer constante racional n, a derivada da função xn é
dxn
dx
= nxn−1
Exemplo 1: Calcule d
dx
x2. Resposta: 2x
- Derivadas de Combinações Lineares de Funções:
Sejam A e B constantes:
d
dx
Afx + Bgx = A d
dx
fx + B d
dx
gx
Exemplo 2: Calcule a derivada de d
dx
6x
2
3 − 4x−2 + 5x. Para que valores de x existe a derivada?
- Regra do produto:
40
Se as funções f e g têm derivadas em x, então seu produto também tem derivada e vale:
d
dx
fx. gx = fx d
dx
gx + gx d
dx
fx
Exemplo 3: d
dx
x3 + 3x − 14x
1
2 − 6
- Regra do quociente:
Se as funções f e g têm derivadas em x e se gx não é zero, então o quociente
fx
gx
também tem uma
derivada em x e vale:
d
dx

fx
gx
 =
gx
dfx
dx
− fx dgx
dx
gx2
Exemplo 4: Calcule a derivada de d
dx
 x
2
2x − 1  :
- Derivada de Funções Especiais:
d
dx
senx = cos x d
dx
senhx = coshx
d
dx
cos x = −senx d
dx
coshx = senhx
d
dx
tanx = sec2x d
dx
tanhx = sech2x
d
dx
cotx = −csc2x d
dx
cscx = −cscxcotx
d
dx
ex = ex d
dx
lnx = 1x
senhx = e
x − e−x
2
coshx = e
x + e−x
2
Lista de Exercícios 8:
1) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções:
a)fx = 2x2 + x, em x = 3 Resp.: f ′3 = 13
b)gx = 1
x + 2
, em x = 5 Resp.: g ′5 = − 1
49
c)hx = x + 5 , em x = 4 Resp.: h ′4 = 1
6
d)fx = − x
2
4
Resp.: f ′x = − x
2
e)fx = 5x − 3 Resp.: f ′x = 5
f)gx = x2 Resp.: g ′x = 2x
2) Calcule a derivada, usando a regra adequada:
41
2.1) yx = 5x3 − 6x2 + 7x Resp.: y ′x = 15x2 − 12x + 7
2.2) yx = x7 + 3x2 − 15 Resp.: y ′x = 7x6 + 6x
2.3) yx = 1x −
2
x2
+ 3
x3
Resp.: y ′x = − 1
x2
+ 4
x3
− 9
x4
2.4) yx = x + 2 Resp.: y ′x = 1
2
x
− 1
2
2.5) yx = x
2
3 − 3x
1
3 Resp.: y ′x = 2
3
x
− 1
3 − x
− 2
3
2.6) yx = 2 3 x − 3x Resp.: y ′x = 2
3
x
− 2
3 − 3
2.7)yx = 1 − x
2
1 + x2
Resp.: y ′x = − 4x
1 + x22
2.8) yx = x
2 + x + 1
1 − x3
Resp.: y ′x = x
4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
1 − x32
2.9) yx =
x + 2
x − 3
Resp.: y ′x =
− 3 − 2
x − 3 2
2.10) yx =  2
3
x3 − x2x
1
2 + 2x Resp.:y ′x =  2
3
x3 − x2 1
2
x
− 1
2 + 2 + 2x2 − 2xx
1
2 + 2x
Velocidade Média:
Definição: Se um objeto está a s = ft quilômetros no instante t horas, então sua velocidade média durante
o intervalo de tempo entre os instantes t0 e t t0 ≠ t é:
velocidade média= distância
tempo
percorrida
gasto
vm =
ft − ft0
t − t0
Unidade: quilômetros/hora.
Exemplo 1: Uma motocicleta está a 16 t3 de um posto de gasolina. Qual é a velocidade média da
motocicleta durante o intervalo de tempo 1
2
≤ t ≤ 1 ?
Velocidade Instantânea:
Definimos a velocidade de um objeto em t0 como o limite quando t tende a t0 , que é a derivada da função
de deslocamento ft em t0.
Exemplo 2: Calcular a velocidade da motocicleta do exemplo anterior em t = 1 :
Observação 1: Se a função deslocamento é crescente, a velocidade é positiva e se o deslocamento for
decrescente, a velocidade é negativa.
Exemplo 3: Seja s = 45 − 5t2 . Calcule s ′2 e s ′−2 :
42
Observação 2: A velocidade é a taxa de variação do deslocamento e a taxa de variação da velocidade é a
aceleração.
Exemplo 4: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite e
T = 0,1400 − 40t + t2 , 0 ≤ t ≤ 12.
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T= -2,9 graus/h
b) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h.
Exemplo 5: Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 64 m/s.
Se o sentido positivo da distância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é
s = −16t2 + 64t com t em segundos e s em metros.
a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. R.: 32 m/s
b) Ache a aceleração instantânea da bola ao final de 1s. R.: -32 m/s2
c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: 2 s
d) Qual a altura máxima atingida pela bola? R.: 64 m
e) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: 4 s
f) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -64 m/s.
Lista de Exercícios 9:
1) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a
partir do ponto O em t segundos. Ache a velocidade instantânea vt cm/s em t segundos e então ache vt1
para o valor de t1 dado:
a) s = 3t2 + 1; t1 = 3 Resp.: 6t; 18
b) s = 1
4t
; t1 =
1
2
Resp.: − 1
4t2
;−1
c) s = 2t3 − t2 + 5; t1 = −1 Resp.: 6t2 − 2t; 8
d) s = 2t
4 + t
; t1 = 0 Resp.: 8
4 + t2
; 1
2
2) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t2, onde s cm é a distância do objeto ao
ponto de partida em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 256
cm de altura, ache:
a) a velocidade instantânea da pedra 1s. depois de iniciada a queda; Resp.: −32 cm/s
b) a velocidade instantânea da pedra 2s. depois da queda; Resp.: −64 cm/s
c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: 4s
d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: −128 cm/s.
3) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua
posição inicial após t segundos, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da
posição inicial que está a 39 cm? Resp.: 160 cm/s.
43
4) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer
um certo plano inclinado, então s = 24t + 10t2, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.
a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t1 s.? Resp.: 24 + 20t1.
b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s? Resp.: 1,2 s.
- Regra da Cadeia (para funções compostas):
Sejam g e u funções de uma variável real x. A derivada da composta gux é dada por:
d
dx
gux = d
du
gu. d
dx
ux
Exemplo 1: Calcule a derivada de yx = x2 + 4
Exemplo 2: Calcule a derivada de yx = x2x3 + 2x10
Exemplo 3: Calcule a derivada de yx = 3x
x2 + 7
9
Exercícios: Calcule a derivada de:
1) y = cos2x R.: y ′ = −2cos xsenx
2) y = sen34x R.: y ′ = 12sen24xcos4x
3) y = e2x R.: y ′ = 2e2x
4) y = ln2x2 R.: y ′ = 2x
5) y = e−3x3x2 + 13 R.: y ′ = −3e−3x3x2 + 13 + 18xe−3x3x2 + 12
- Derivada Segunda ou de Ordem 2:
A derivada segunda de uma função fx é a derivada de sua derivada (primeira) f ′x.
Notação:
f"x =
d2fx
dx2
= d
dx
dfx
dx
Exemplo 1: Calcule a derivada segunda de fx = x5 − 2x.
- Derivadas de ordem superior:
Seja f uma função derivável: f ′ é a derivada primeira de f
f ′′ é a derivada segunda de f
f ′′′ é a derivada terceira de f
fn é a derivada enésima de f.
Exemplo 2: Ache todas as derivadas da função fx = x4 + x3 − x2 + 7.
44
Exemplo 3: Calcule d
3
dx3
2senx + 3cos x − x3 :
- Aceleração instantânea:
É a taxa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será
dada em cm/s2.
v = ds
dt
e a = dv
dt
ou a = d
2s
dt2
Exemplo 4: Se s = 1
t
− 2 t − 1 , v = − 1
t2
− t − 1
− 1
2 e a = 2
t3
+ 1
2
t − 1
− 2
3
- Derivação implícita:
Função explícita: y = 3x2 + 5x + 1
Função implícita: y2 + 2xy + 3x − 1 = 0
Exemplo 1: Dada a função x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 , calcule y ′ usando derivação implícita:
Para derivarmos o segundo membro, usamos a regra da cadeia!
Resp.:
dy
dx
= 6x
5 − 2
18y5 + 5y4 − 2y
Exemplo 2: Calcule a derivada da equação 3x4y2 − 7xy3 = 4 − 8y. Resp.: dy
dx
=
7y3 − 12x3y2
6x4y − 21xy2 + 8
Exemplo 3: Dada x + y2 − x − y2 = x4 + y4, ache dy
dx
. Resp.:
dy
dx
=
x3 − y
x − y3
Exemplo 4: Dada xcos y + ycos x = 1, ache
dy
dx
. Resp.:
dy
dx
=
y sinx − cos y
cos x − x siny
Lista de Exercícios 10:
1) Calcule a derivada segunda das seguintes funções:
1.1) yx = x6 Resp.: y ′′x = 30x4
1.2) yx = 2x Resp.: y
′′x = 4
x3
1.3) yx = x4 − 3x3 + 2x + 1 Resp.: y ′′x = 12x2 − 18x
1.4) yx = e−x Resp.: y ′′x = e−x
1.5) yx = 1 − x3 Resp.: y ′′x = 61 − x
2) Ache f4x se fx = 2
x − 1 . Resp.: f
4x = 48
x − 15
45
3) Ache f5x se fx = cos2x − sin2x. Resp.: f5x = −32sin2x + cos2x
4) Dada x2 + y2 = 1, mostre que
d2y
dx2
= − 1
y3
.
5) Dada x2 + 25y2 = 100, mostre que
d2y
dx2
= − 4
25y3
.
6) Dada x3 + y3 = 1, mostre que
d2y
dx2
= − 2x
y5
.
7) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a
velocidade e a aceleração em função do tempo t.
a) s = 1
6
t3 − 2t2 + 6t − 2 Resp.: v = t
2
2
− 4t + 6;a = t − 4
b) s = 125
16t + 32
− 2
5
t5 Resp.: v = − 2000
16t + 322
− 2t4;a = 64000
16t + 323
− 8t3
c) s = 9t2 + 2 2t + 1 Resp.: v = 18t + 22t + 1
− 1
2 ;a = 18 − 22t + 1
− 3
2
d) s = 4
9
t
3
2 + 2t
1
2 Resp.: v = 2
3
t
1
2 + t
− 1
2 ;a = 1
3
t
− 1
2 − 1
2
t
− 3
2
8) Ache
dy
dx
por derivação implícita:
a) x2 + y2 = 16 R. :
dy
dx
= − xy
b) x3 + y3 = 8xy R. :
dy
dx
=
8y − 3x2
3y2 − 8x
c) 1x +
1
y = 1 R. :
dy
dx
= − y
2
x2
d) x + y = 4 R. :
dy
dx
= −
y
x
e) x2y2 = x2 + y2 R. :
dy
dx
=
x1 − y2
yx2 − 1
Taxas Relacionadas:
São problemas envolvendo taxas de variação de variáveis que estão relacionadas.
Exemplo 1: Uma escada com 25 u.c. (unidades de comprimento) está apoiada numa parede vertical. Se o
pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 u.c. por segundo, qual a velocidade
com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 u.c. da parede? Resp.:-9/4 u.c./s.
Exemplo 2: Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m. de altura e uma base com 4 m. de raio.
A água flui no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando
46
quando sua profundidade for de 5 m.?( Volume do cone = πr
2h
3
). Resp.: 32
25π
m/min.
Exemplo 3: Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento,um seguindo a direção leste
a 90 km/h e o outro seguindo a direção sul a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do
outro no instante em que o primeiro carro está a 0,2 km do cruzamento e o segundo a 0,15 km? Resp.: -108
km/h.
Exemplo 4: Dada xcos y = 5 , onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se dx
dt
= −4, ache dy
dt
quando y = π
3
. Resp.: -
2 3
15
Lista de Exercícios 11:
A) Nos exercícios de 1 a 4, x e y são funções de t:
1) Se 2x + 3y = 8 e
dy
dt
= 2, ache dx
dt
. Resp.: -3
2) Se xy = 20 e
dy
dt
= 10, ache dx
dt
quando x = 2. Resp.: -2
3) Se sin2x + cos2y = 5
4
e dx
dt
= −1, ache dy
dt
em  2π
3
, 3π
4
. Resp.: − 3
2
4) Se x + y = 5 e
dy
dt
= 3, ache dx
dt
quando x = 1. Resp.: − 3
4
B) Uma pipa está voando a uma altura de 40m. Uma criança está empinando-a de tal forma que ela se
mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada com que velocidade a linha
estará sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Resp.: 9
5
m/s.
C) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm3/min. Ache a
taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro. (Lembre que
volume da esfera é= 4πr
3
3
). Resp.: 1
2π
cm/min.
D) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte cônico. Se a
altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o
monte tiver 8m de altura? (Lembre que volume do cone= πr
2h
3
). Resp.: 5
8π
m/min.
E) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for
47
0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do
tumor naquele instante? Resp.: 0,001 πcm3/dia.
F) Para o tumor do exercício E), qual será a taxa de crescimento da sua área quando seu raio for 0,5 cm?
(Lembre que A = 4πr2). Resp.: 0,004πcm2/dia.
G) Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6m3/min. A altura do
cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m. Ache a velocidade com que o nível de água está abaixando,
quando a água tiver uma profundidade de 10m. Resp.: 6
25π
m/min.
H) Uma bicicleta está 6,4 km a leste de um cruzamento, movimentando-se em direção ao cruzamento à taxa
de 14,4 km/h. No mesmo instante, uma segunda bicicleta está a 4,8 km ao sul do cruzamento e se afasta do
cruzamento à taxa de 16 km/h. A distância entre as bicicletas estará crescendo ou descrescendo, neste
instante? A que taxa?
Resp.: Decrescendo a 1,92 km/h.
I) Um petroleiro avariado tem um vazamento de óleo cubrindo uma área circular A de raio r. Se a área
cresce à taxa de 10000 m2/h,qual a taxa que o raio estará se expandindo quando o raio for igual a 2 km? E
quando o raio atingir o valor de 4 km? Resp.: 0,8 m/h e 0,4 m/h
J) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. O topo tem
3 metros de raio e o tanque tem 12 metros de altura. O tanque está sendo cheio com água a uma taxa de
0,189 m3/min, quando há 2,4 m de altura de água no tanque. A que taxa estará aumentando esta altura,
neste momento?
Resp.: 21
40π
m/min.
K) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Determine a
taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. Resp.: 0,15π cm2/min.
L) A área de um círculo está descrescendo à taxa de 5 m2/s, quando seu raio é igual a 3 m. A que taxa está
decrescendo o raio, neste instante? Resp.: Decresce a 5
6π
m/s.
M) Em determinado instante, o raio da base de um cone circular reto é 10 cm e está crescendo à taxa de
12,5 cm/s, enquanto que a altura do cone é de 7,5 cm e está decrescendo à taxa de 15 cm/s. O volume do
cone está crescendo ou decrescendo, neste momento? A que taxa? Resp.: Crescendo a uma taxa de 125π
cm3/min.
Aplicações da derivada:
48
Teste da derivada primeira:
Se a derivada f ′x exite e é positiva para todo x em um intervalo aberto, então a função é crescente neste
intervalo. Se f ′x é negativa no intervalo aberto, então a função é decrescente.
Exemplo 1: Dada a função fx = x2, cujo gráfico é abaixo representado,
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
x
y
Sua derivada é f ′x = 2x.
Observe que f ′x é positiva para x > 0 e f ′x é negativa para x < 0.
Máximos e mínimos (Extremos das funções):
Uma função f tem um máximo relativo (ou local) em x0, se fx ≤ fx0 para todo x em um intervalo aberto
contendo x0. A função tem um mínimo relativo (ou local) em x0, se fx ≥ fx0 para todo x em um intervalo
aberto contendo x0.
Pontos Críticos:
O ponto x0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo x0 e fx0 é
zero ou não existe.
Exemplo 2: Ache os pontos críticos da função:
fx = 4x2 − 3x + 2
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
20
x
y
Resp.: 3/8
Exemplo 3: fx = 2x + 5
49
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
Resp.: nenhum
Exemplo 4: st = 2t3 + t2 − 20t + 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
x
y
Resp.: -2, 5/3
Exemplo 5: Fw = w4 − 32w
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
x
y
Resp.: 2
Aplicações da derivada - Traçado de gráficos:
Teste da derivada segunda:
Concavidade: Se a derivada segunda f ′′x é positiva num intervalo aberto, então o gráfico de f tem a
concavidade voltada para cima neste intervalo. Se f ′′x é negativa no intervalo, o gráfico de f tem a
concavidade voltada para baixo.
Ponto de Inflexão:
Um ponto x0, fx0 do gráfico de f é um ponto de inflexão, se f ′′x0 = 0 ou o gráfico tem uma reta tangente
vertical em x = x0.
50
Exemplo 6: Trace o gráfico da função fx = 1
4
x4 − 2x2. Mostre os pontos críticos e os extremos da função:
Resp.:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
5
10
x
y
Exemplo 7: Trace o gráfico da função fx = x3 − 3x2 + 4.
Resp:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-5
5
10
x
y
Lista de Exercícios 12:
Encontre os pontos críticos e de inflexão. Esboce o gráfico:
1) fx = x3 + 7x2 − 5x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-20
20
40
60
80
x
y
2) fx = 2x3 − 2x2 − 16x + 1
51
-3 -2 -1 1 2 3 4
-20
-10
10
20
x
y
3) fx = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
-4 -3 -2 -1 1 2
-10
-5
5
10
x
y
4) fx = x3 − 12x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
40
x
y
5) fx = x4 − 8x2 + 1
-3 -2 -1 1 2 3
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
6) yx = 2
3
x3 − 1
5
x5
52
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
7) yx = 1
3
x3 − x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
8) yx = 1
4
x4 − 2x2 − 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-5
5
x
y
9) yx = 1
3
x3 − 2x2 + 3x
53
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
Máximos e Mínimos absolutos (Globais):
Roteiro para encontrar o máximo e o mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado a,b :
1) Encontre os pontos críticos de f.
2) Calcule f em cada ponto crítico em a,b
3) Calcule f nos extremos do intervalo a,b
4) O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máximo.
Exemplo 1: Encontre o máximo e o mínimo de fx = 3x4 − 4x3 em −1,2.
Exemplo 2: Calcule os extremos das funções:
a) fx = 23 − x em −1,2 R.: Mín.: (2,2) Máx.: (-1,8)
b) fx = 2x + 5
3
em 0,5 R.: Mín.: (0,5/3) Máx.: (5,5)
c) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)
Lista de Exercícios 13:
1) Calcule os extremos das funções:
a) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)
b) fs = 1
s − 2 em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
2) Explique porque a função fx = 1
x2
tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
3) Explique porque a função fx = 1
x + 1
tem um mínimo em 0,2 mas não em −2,0.
4) A potência P de uma bateria de automóvel é dada por P = VI − I2r, para uma voltagem V, corrente I e
resistência interna r da bateria. Que corrente corresponde à potência máxima? Resp.: I = V
2r
5) A tosse faz com que a traquéia se contraia, afetando assim a velocidade com queo ar passa por ela.
Suponha que a velocidade do ar ao tossir seja descrita pela fórmula v = kR − rr2; onde k é uma constante,
R é o raio normal da traquéia e r é o raio da mesma durante a tosse. Que raio produz a maior velocidade?
Resp.: r = 2R
3
54
6) A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo em t horas após ser injetado no
músculo é dada por C = 3t
27 + t3
. Em que instante a concentração será máxima? Resp.: ≈ 2,38 horas.
7) Após a administração de uma substância química, sua concentração no fluxo sangüíneo do paciente
durante um intervalo de duas horas é da forma C = 0,29483t + 0,04253t2 − 0,00035t3 , onde C é medido em
miligramas e t é o tempo em minutos. Encontre os intervalos abertos em que C cresce ou decresce. Resp.:
Crescente quando 0 < t < 84,3388 minutos. Decrescente quando 84,3388 < t < 120 minutos.
INTEGRAIS
Integral Indefinida
Até aqui, nosso problema básico era:
encontrar a derivada de uma função dada.
A partir de agora, estudaremos o problema inverso:
encontrar uma função cuja derivada é dada.
Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a função F′x = 2x ?
fx = x2 , pois d
dx
x2 = 2x. A função F é chamada uma antiderivada de F′.
Definição:
Uma antiderivada da função f é uma função F tal que
F′x = fx
em todo ponto onde fx é definida.
Observação: Sabemos que Fx = x3 é uma antiderivada de F′x = 3x2, assim como:
Gx = x3 + 1 e Hx = x3 − 5.
Na verdade, qualquer função do tipo Jx = x3 + C é antiderivada de F′x.
Teorema:
Se F′x = fx em todo ponto do intervalo aberto I, então
toda antiderivada G , de f em I, tem a forma
Gx = Fx + C
onde C é uma constante.
Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F′x
é chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a x e denotada por ∫ fxdx.
∫ fxdx = Fx + C
55
A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:
∫ cfxdx = c ∫ fxdx (onde c é uma constante)
e
∫fx ± gxdx = ∫ fxdx ± ∫gxdx
A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter
fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação.
FÓRMULAS:
∫ xndx = 1
n+1
xn+1 + C (se n ≠ −1) ∫ sinxdx = −cos x + C ∫ tanudu = ln|secu | + C
∫dx = x + C ∫ sec2xdx = tanx + C ∫ cotudu = ln|sinu | + C
∫ exdx = ex + C ∫ csc2xdx = −cotx + C ∫ secudu = ln|secu + tanu | + C
∫ 1x dx = lnx + C ∫ secx tanxdx = secx + C ∫ cscudu = ln|cscu − cotu | + C
∫ cos xdx = sinx + C ∫ cscxcotxdx = −cscx + C
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
sin2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
secx = 1cos x
cscx = 1
sinx
tanx = sinxcos x
cotx = cos x
sinx
Lista de Exercícios 14:
Calcule a integral de:
56
1 ∫ 1
x3
dx 2 ∫5u3/2du 3 ∫ 2
3 x
dx
4 ∫6t2 3 t dt 5 ∫4x3 + x2 dx 6 ∫ y32y2 − 3dy
7 ∫3 − 2t + t2 dt 8 ∫8x4 + 4x3 − 6x2 − 4x + 5dx 9 ∫ x x + 1dx
10 ∫x3/2 − xdx 11 ∫ 2
x3
+ 3
x2
+ 5 dx 12 ∫ x
2 + 4x − 4
x
dx
13 ∫ 3 x + 1
3 x
dx 14 ∫3sin t − 2cos tdt 15 ∫5cos x − 4sinxdx
16 ∫ sinx
cos2x
dx 17 ∫ cos x
sin2x
dx 18 ∫4cscxcotx + 2sec2xdx
19 ∫3csc2t − 5sec t tan tdt 20 ∫2cot2θ − 3 tan2θdθ 21 ∫ 3tgθ − 4cos
2θ
cosθ
dθ
Respostas:
1) − 1
2x2
+ C 22u5/2 + C 33x2/3 + C
4 9
5
t10/3 + C 5x4 + 1
3
x3 + C 6 1
3
y6 − 3
4
y4 + C
73t − t2 + 1
3
t3 + C 8 8
5
x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + 5x + C 9 2
5
x5/2 + 2
3
x3/2 + C
10 2
5
x5/2 − 1
2
x2 + C 11 − 1
x2
− 3x + 5x + C 12 25 x
5/2 + 8
3
x3/2 − 8x1/2 + C
13 3
4
x4/3 + 3
2
x2/3 + C 14 − 3cos t − 2sin t + C 155sinx + 4cos x + C
16 secx + C 17 − cscx + C 18 − 4cscx + 2 tanx + C
19 − 3cot t − 5sec t + C 20 − 2cotθ − 3 tanθ + θ + C 213secθ − 4sinθ + C
Integração por Substituição:
Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma
substituição. O uso da substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na
diferenciação. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciação.
Seja a função y = fgx com y = fu e u = gx funções diferenciáveis. Para calcular y ′ devemos utilizar a
Regra da Cadeia e obteremos:
y ′ = d
dx
fgx = f ′gx.g ′x = f ′u.u ′
Exemplo: Derive a função composta y = x2 + 33 : Seja u = x2 + 3 . Então y = u3. Utilizando a Regra
da Cadeia, obtemos:
y ′ = 3u2.u ′ = 3u2. x2 + 3 ′ = 3. x2 + 32. 2x
Teorema:
Sejam f e g duas funções tais que f ∘ g e g ′ são contínuas em um intervalo I.
Se F é uma antiderivada de f em I, então:
∫ fgxg ′xdx = Fgx + C
Exemplo 1: Calcule ∫ ecosx sinxdx. Resp.: −ecosx + C
Exemplo 2: Calcule ∫ sin3x + 1dx . Resp.: 1
3
cos3x + 1 + C
57
Exemplo 3: Calcule ∫ 2x − 1
x2 − x
dx. Resp.: ln|x2 − x|+C
Exemplo 4: Calcule ∫ e2x+1dx. Resp.: 1
2
e2x+1 + C
Exemplo 5: Calcule ∫ tdt
t + 3
Resp.: 2
3
t + 3
3
− 6 t + 3 + C
Lista de Exercícios 15:
Calcule a integral de:
1) ∫ 3 3x − 4 dx 13) ∫ csc22θdθ 25) ∫ x
3dx
1 − 2x2
2) ∫ 5r + 1 dr 14) ∫ r2 sec2r3dr 26) ∫ secx tanxcossecxdx
3) ∫3x 4 − x2 dx 15) ∫ 4sinxdx
1 + cos x2
27) ∫ dx
3 − 2x
4) ∫ x2x2 + 16dx 16) ∫ 1t − 1 dtt2 28) ∫
3x
x2 + 4
dx
5) ∫ xdx
x2 + 13
17) ∫ sin2x 2 − cos 2x dx 29) ∫ 3x
2
5x3 − 1
dx
6) ∫ sds
3s2 + 1
18) ∫ sin3θcosθdθ 30) ∫ cos t
1 + 2sin t
dt
7) ∫ x4 3x5 − 5 dx 19) ∫
1
2
cos 1
4
x
sin 1
4
x
dx 31) ∫cot5x + csc5xdx
8) ∫x2 + 14xdx . 20) ∫ sec
23 t
t
dt 32) ∫ 2 − 3sin2x
cos 2x
dx
9) ∫ x32 − x2 12dx 21) ∫ xx2 + 1 4 − 2x2 − x4 dx 33) ∫ 2x
3
x2 − 4
dx
10) ∫x3 + 31/4x5dx 22) ∫ 3 + s s + 12ds 34) ∫ dx
x lnx
11) ∫ sin 1
3
xdx 23) ∫2t2 + 11/3t3dt 35) ∫ ln
23x
x dx
12) ∫ 1
2
tcos 4t2dt 24) ∫ t + 1
t
3/2 t2 − 1
t2
dt 36) ∫ 2t + 3
t + 1
dt
Respostas
58
1) 1
4
3 3x − 4
4
+ C 13) − 1
2
cot2θ + C 25) 1
12
1 − 2x2 3/2 − 1
4
1 − 2x2 1/2
2) 2
15
5r + 1
3
+ C 14) 1
3
tanr3 + C 26) sinsecx + C
3) − 4 − x2 
3
+ C 15) 4
1 + cos x
+ C 27) - 1
2
ln|3 − 2x| + C
4) 1
28
2x2 + 17 + C 16) − 2
3
1
t
− 1
3/2
+ C 28) 3
2
lnx2 + 4 + C
5) − 1
4x2 + 12
+ C 17) 1
3
2 − cos 2x3/2 + C 29) 1
5
ln|5x3 − 1| + C
6) 1
3
3s2 + 1 + C 18) 1
4
sin4θ + C 30) 1
2
ln|1 + 2 sin t| + C
7) 2
45
3x5 − 5
3
+ C 19) 4sin
1
2
1
4
x + C 31) 1
5
ln1 − cos 5x + C
8) 1
10
x2 + 15 + C 20) 2
3
tan3 t + C 32) ln1 + sin2x + 1
2
ln|cos 2x|
9) −
2 − x2 13
13
+
2 − x2 14
28
+ C 21) − 1
6
4 − 2x2 − x4 
3
+ C 33) x2 + 4 ln|x2 − 4| + C
10) 4
27
x3 + 39/4 − 4
5
x3 + 35/4 + C 22) 2
7
3 + s
7
− 8
5
3 + s
5
+ 8
3
3 + s
3
34) ln|lnx| + C
11) − 3 cos 1
3
x + C 23) 3
56
2t2 + 17/3 − 3
32
2t2 + 14/3 + C 35) 1
3
ln33x + C
12) 1
16
sin4t2 + C 24) 2
5
t + 1
t
5/2
+ C 36) 2t + ln|t + 1| + C
Somatório:
Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste
momento trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas
duas noções estão relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de
escrever somas de muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma ∑.
Definição:
A soma de n temos a1,a2, . . . ,an é denotada por
∑
i=1
n
a i = a1 + a2 +. . .+an
onde i é o índice do somatório, a i é o i-ésimo termo da soma e n e 1 são, respectivamente, os limites superior e
inferior do somatório.
Exemplos:
1) ∑
i=1
4
i = 1 + 2 + 3 + 4
2) ∑
j=2
5
j2 = 22 + 32 + 42 + 52
3) ∑
i=1
n
fx iΔx = fx1Δx + fx2Δx +. . .+fxnΔx
59
Observações:
1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes.
2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiro menor ou igual ao limite superior.
3) Qualquer variável ( i, j ou k) pode ser usada como índice do somatório.
Área de uma região plana:
Definição:
Seja uma função contínua, não-negativa y = fx. Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eixo
x, à esquerda pela reta x = a, à direitapela reta x = b e superiormente pela curva y = fx.
Podemos tentar a aproximação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das
áreas de cada retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada.
A altura de cada retângulo é o valor da função fx para algum ponto t ao longo da base do retângulo.
Escolhemos Δx para a base de cada retângulo. A área será aproximadamente igual à somatória:
Sn = ft1Δx + ft2Δx +. . .+ftnΔx
Sn = ∑
i=1
n
ftiΔx
quando usamos n retângulos com base Δx e ti como um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo.
Observação: Quanto menor escolhermos a largura Δx , melhor será a aproximação da área sob a curva.
Quando Δx → 0, o número de termos n da somatória de aproximação Sn aumenta. De fato, quando Δx → 0 ,
n → ∞ e a somatória Sn se aproxima da área exata A sob a curva. Este processo pode ser simbolizado por:
lim
n→∞
Sn = A
A Integral Definida:
A área definida acima é chamada a integral de f no intervalo a,b, a qual é indicada com o símbolo
∫
a
b
fxdx
Por definição:
∫
a
b
fxdx = lim
n→∞ ∑
i=1
n
ftiΔx
Quando este limite existe, dizemos que a função f é integrável no intervalo a,b.
Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo.
A integral no intervalo a,b é lida como ” integral de a até b” e esses números a e b são chamados os
limites de integração (inferior e superior, respectivamente), a função f é chamada integrando. O símbolo ∫ de
integral é devido a Leibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos
trabalhando com o limite de uma seqüência de somas (soma de Riemann).
Observação:
60
Dada uma função f :
1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Observe que quando fx > 0 o retângulo está ”acima” do eixo x e quando fx < 0 o retângulo está
”abaixo” do eixo x. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é,
se o retângulo está para cima do eixo x a soma das áreas é ”positiva” e se o retângulo está para baixo do
eixo x, a soma das áreas é ”negativa”. Isto sugere que a ∫
a
b
fxdx será a soma das áreas dos retângulos
acima do eixo x , mais a soma das áreas dos retângulos abaixo do eixo x (Aacima + Aabaixo).
Por exemplo, fx = 2x. ∫
−2
1
fxdx = −3 , pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x é
−4 e a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x é 1. Portanto, Aacima + Aabaixo = −4 + 1 = −3.
Note que ∫
−2
1
fxdx não representa a área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e
x = 1. Para que a integral represente a área, a função f deverá verificar as seguintes condições:
1) f é contínua no intervalo fechado a,b;
2) f é não-negativa no intervalo fechado a,b.
Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da função f, o eixo dos x e as retas verticais x = a e x = b é
dada por
Área=∫
a
b
fxdx
Atenção:
1) Quando fx < 0, a Área = −∫
a
b
fxdx.
2) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções.
Exercícios:
Calcule as seguintes integrais definidas, encarando-as como áreas e construa os gráficos das funções
envolvidas:
1) ∫
−1
5
6dx
2) ∫
−1
2
2x + 3dx
3) ∫
−1
3
|x|dx
4) ∫
0
2
4 − x2 dx
Integrais Particulares:
61
∫
a
a
fxdx = 0 , para f definida em x = a.
∫
a
b
fxdx = −∫
b
a
fxdx , para f integrável em a,b.
Propriedades da Integral Definida:
1) ∫
a
b
fxdx = ∫
a
c
fxdx + ∫
c
b
fxdx, para f integrável nos três intervalos fechados determinados por a,b e c.
2) ∫
a
b
kfxdx = k ∫
a
b
fxdx , para f integrável em a,b e k ∈ ℜ.
3) ∫
a
b
fx ± gxdx = ∫
a
b
fxdx ± ∫
a
b
gxdx , para f e g integráveis em a,b.
4) ∫
a
b
fxdx ≥ 0 , para f integrável e não-negativa no intervalo fechado a,b.
5) ∫
a
b
fxdx ≤ ∫
a
b
gxdx, para f e g integráveis no intervalo fechado a,b e fx ≤ gx para todo x em a,b.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:
Parte 1:
Seja f contínua no intervalo fechado a,b e F uma função tal que F′x = fx
para todo x ∈ a,b. Então,
Fx = ∫
a
x
ftdt
Exemplo 1: Ache a derivada da função Fx = ∫
0
x
t3dt.
Parte 2:
Seja f contínua no intervalo fechado a,b e F uma função tal que F′x = fx
para todo x ∈ a,b. Então,
∫
a
b
fxdx = Fxa
b = Fb − Fa
Exemplo 2: Calcule ∫
1
2
x3dx. Resposta: 15
4
Exemplo 3: Calcule ∫
3
6
x2 − 2xdx. Resposta: 36
Exemplo 4: Calcule as áreas da região limitada pela reta y = 2x − 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5,
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Resp.: 20
Lista de Exercícios 16:
Calcule a integral de:
62
1) ∫
1
2 x2 + 1
x2
dx R.: 3/2 5) ∫
0
π/2
sin2xdx R.: 1 9) ∫
−2
5
|x − 3|dx R.: 29/2
2) ∫
0
1 z
z2 + 13
dz R.: 3/16 6) ∫
1
2
t2 t3 + 1 dt R.: 2/927 − 2 2 10) ∫
0
3
x + 2 x + 1 dx R.: 256/15
3) ∫
1
10
5x − 1 dx R.: 134/3 7) ∫
0
1 y2 + 2y
3 y3 + 3y2 + 4
dy R.: 2 − 3 2 11) ∫
0
1 x3 + 1
x + 1
dx R.: 5/6
4) ∫
−2
0
3w 4 − w2 dw R.: -8 8) ∫
0
15 wdw
1 + w3/4
R.: 104/5 12) ∫
0
1
sinπxcosπxdx R.: 0
13) Use o teorema fundamental do cálculo, parte 2, para calcular a integral, ou explique por que ela não
existe.
Respostas
ÁREAS DE REGIÕES PLANAS:
CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM x :
Seja uma região num plano xy , limitada em cima pela função y = fx , embaixo pela curva y = gx e que se
estenda desde x = a até x = b . Se as integrais de fx e gx de x = a até x = b existem então a área da
região é
63
A = ∫
a
b
fx − gxdx
Exemplo 1: Calcule a área limitada pelas parábolas y = x2 e y = −x2 e pela reta vertical x = 2 :
Resposta: 16
3
u.a.
Exemplo 2: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y = x2 e y = x de x = 0 até x = 1 :
Resposta: 1
3
u.a.
Exemplo 3: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y + x2 = 6 e y + 2x − 3 = 0 de
x = −1 até x = 3 :
Resposta: 32
3
u.a.
CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM y :
Seja uma região limitada à direita pela curva x = My e à esquerda pela curva x = Ny de y = c embaixo
até y = d em cima. A área da região é
A = ∫
c
d
My − Nydy
Exemplo 4: Trace a região limitada pela parábola x = y2 e pelas retas x = y − 1 , y = −1 e y = 1 , calcule a
área:
Resposta: 8
3
u.a.
Exemplo 5: Trace a região limitada pela parábola x = −y2 e pelas retas x − y = 4 , y = −1 e y = 2 , calcule a
área:
Resposta: 33
2
u.a.
Lista de Exercícios 17:
1) Ache a área da região limitada por:
a) y = x2 − 2x + 3, eixo x, x = −2 e x = 1. R.: 15
b) y = 6 − x − x2, eixo x. R.: 125/6
c) y = x2 − 6x + 5, eixo x. R.: 32/3
d) y = x2 , y = 18 − x2. R.: 72
e) x = 4 − y2, x = 4 − 4y. R.: 32/3
f) x = y2 − y, x = y − y2. R.: 1/3
2) A área da região limitada pelos gráficos de y = x3 e y = x não pode ser calculada utilizando-se apenas a
integral ∫
−1
1
x3 − xdx. Explique por quê. Em seguida use um argumento de simetria para escrever uma só
integral que represente a área em questão.
3) Utilize integração para calcular a área do triângulo cujos vértices são 0,0, 4,0 e 4,4. R.: 8.
4) Ache, por integração, a área do triângulo tendo vértices 3,4, 2,0 e 0,1. R.:9/2
5) Determine a área da região limitada pelos gráficos das equações y = ex e y = x , x = 0 e x = 1.
Resposta: 1,05 u.a.
6) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y = x e x + y = 4 de x = 0 até x = 2 :
64
Resposta: 4 u.a.
7) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x = 2y de x = 0 até x = 4 :
Resposta: 4
3
u.a.
8) Trace a região limitada pela parábola x = 4Y − y2 e pelas retas x = 0 e y = 0 , calcule a área:
Resposta: 32
3
u.a.
9) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x = 2y de y = 0 até y = 2 :
Resposta: 4
3
u.a.
10) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x − y = 2 de y = −1 até y = 2 :
Resposta: 9
2
u.a.
11) Calcule as áreas das regiões abaixo:
a) Limitada pela reta y = −3x + 2, pelo eixo x e pelas retas x = −5 e x = −1.R.: 44
b) Limitada pela curva y = 4 − x2, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2. R.: 5/3
c) Limitada pela curva y = 12 − x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −3 e x = 2. R.: 305/6
d) Limitada pela curva y = x3 − 4, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = −1. R.: 31/4
VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO:
MÉTODO DOS DISCOS (CILINDROS):
Suponhamos que a parte superior de uma região R seja uma função y = fx e a parte inferior, a reta y = L,
de x = a até x = b. Então, o sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta y = L tem volume:
V = ∫
a
b
Axdx = ∫
a
b
πfx − L2dx
Exemplo 1: Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela função y = x3, girando em torno da reta
y = −1 para x = −1 até x = 1 :
Resposta: 16
7
π u.v.
Exemplo 2: A região delimitada pelo eixo x, pelo gráfico da função y = x2 + 1 e pelas retas x = −1 e x = 1 gira
em torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante:
Resposta: 56
15
π u.v.
Exemplo 3: A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x3 , y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo y.
Determine o volume do sólido resultante:
Resposta: 93
5
π u.v.
MÉTODO DOS ANÉIS:
Suponhamos que a parte de cima de uma região R seja y = fx e a parte de baixo seja y = gx de x = a até
x = b, então o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta horizontal y = L é
V = ∫
a
b
Axdx = ∫
a
b
πRx2 − rx2dx
onde Rx é o raio exterior da seção em x e rx é o raio interior da seção em x.
65
Exemplo 4: Dado o triângulo delimitado pelas retas y = 1
4
x + 3 e y = − 1
4
x + 3 de x = 0 até x = 4. Calcule o
volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno do eixo horizontal y = 1. Resposta: 16π u.v.
Exemplo 5: A região delimitada pelos gráficos de x2 = y − 2 e 2y − x − 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e
x = 1, gira em torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante:
Resposta: 79
20
π u.v.
Lista de Exercícios 18:
1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita no exemplo anterior em torno da reta
y = 3 :
Resposta: 51
20
π u.v
2) A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y = 1
8
x3 e y = 2x, gira em torno do eixo y.
Determine o volume do sólido resultante:
Resposta: 512
15
π u.v.
3) A região delimitada pelos gráficos de x = y2 e 2y − x = 0 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do
sólido resultante:
Resposta: 64
15
π u.v.
4) A região delimitada pelos gráficos de y2 = x e y − x = −2 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do
sólido resultante: Resposta: 72
5
π u.v.
5) A região delimitada pelos gráficos de x = y e y + x = 4 , gira em torno do eixo x. Determine o volume do
sólido resultante:
Resposta: 16π u.v.
6) Estabeleça uma integral que permita achar o volume do sólido gerado pela revolução da função
x + 2y = 4 girando em torno da reta:
a) y = −2 Resp.: 64
3
π u.v.
b) y = 5 Resp.: 248
3
π u.v.
c) x = 7 Resp.: 136
3
π u.v.
d) x = −4 Resp.: 128
3
π u.v.
Integração por Partes
Nesta seção aprenderemos como integrar funções complexas por partes. Cada regra de derivação tem
outra correspondente de integração.
Por exemplo, a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação.
Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada integração por partes.
A Regrado Produto afirma que se fx e gx são funções deriváveis, então
 
[ ]( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )
d
f x g x f x g x g x f x
dx
= +
⇒
 [ ]( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x+ =∫
 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx f x g x+ =∫ ∫ ⇒
 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx= −∫ ∫
Seja u = fx e v = gx. Então, as diferenciais são du = f′xdx e dv = g′xdx.
Assim, pela Regra da substituição, a fórmula da integração por partes torna-se
66
 u dv uv v du= −∫ ∫
Exemplo 1: Encontre ∫ xsenxdx
 } } }
sin sin ( cos ) ( cos )
cos cos
cos sin
dv v vu u du
x x dx x x dx x x x dx
x x x dx
x x x C
= = − − −
= − +
= − + +
∫ ∫ ∫
∫
64748 64748 64748
É interessante verificar a resposta, derivando-a. Se fizermos isso, obteremos xsenx, como esperado.
Se tivéssemos escolhido u = sinx e dv = xdx , então du = cosxdx e v = x2/2, teríamos
 2
21sin (sin ) cos
2 2
x
x x dx x x dx= −∫ ∫
Embora isso seja verdadeiro, ∫ x2 cos xdx é uma integral mais difícil que a anterior.
OBSERVAÇÃO:
Em geral, ao decidir sobre uma escolha para u e dv, geralmente tentamos escolher u como uma função que
se torna mais simples quando derivada. ou ao menos não mais complicada. Contanto que dv possa ser
prontamente integrada para fornecer v.
Exemplo 2: Calcule ∫ lnxdx
Não temos muitas escolhas para u e dv. Seja u = lnx, dv = dx. Então, du = 1x dx, v = x. Integrando por
partes, temos:
 
ln ln
ln
ln
dx
x dx x x x
x
x x dx
x x x C
= −
= −
= − +
∫ ∫
∫
A integração por partes é eficaz nesse exemplo porque a derivada da funçãofx = lnx é mais simples que f.
Exemplo 3: Calcule ∫ t2e tdt.
Note que t2 se torna mais simples quando derivada. Enquanto, e t permanece inalterada.
 2 tu t dv e dt= = ⇒
 2 tdu t dt v e= =
⇒
 2 2 2t t tt e dt t e te dt= −∫ ∫
A integral que obtivemos , ∫ te tdt, É mais simples que a integral original, mas ainda não é óbvia. Portanto,
usamos integração por partes mais uma vez. Escolhendo u = t , dv = e tdt e du = dt, v = e t.
 t t t t tte dt te e dt te e C= − − − +∫ ∫
Substituindo na equação original, temos
67
 2 2
2
2
1
2
2( )
2 2
t t t
t t t
t t t
t e dt t e te dt
t e te e C
t e te e C
= −
= − − +
= − − +
∫ ∫
onde C1 = −2C.
Exemplo 4: Calcule ∫ exsenxdx.
Tentamos escolher u = ex e dv = sinx. Então du = exdx e v = −cos x.
 sin cos cosx x xe x dx e x e x dx= − +∫ ∫
Mas ∫ ex cos xdx não é mais simples que a integral original. Tentamos integrar novamente. Desta vez
usaremos u = ex e dv = cos xdx, então, du = exdx e v = −senx, e
 cos sin sinx x xe x dx e x e x dx= −∫ ∫
Substituindo na equação original temos
 sin cos sin
sin
x x x
x
e x dx e x e x
e x dx
= − +
−
∫
∫
Somando ∫ exsenxdx, nos dois lados da equação obtemos:
 2 sin cos sinx x xe x dx e x e x= − +∫
Dividindo toda equação por dois:
 1
2
sin (sin cos )x xe x dx e x x C= − +∫
INTEGRAIS DEFINIDAS
∫
a
b
udv = uv|a
b − ∫
a
b
vdu
Lista de Exercícios 19:
Calcule a integral de:
1)∫ xexdx . Resp.: xex − ex + C
2) ∫ xe2xdx R.: e
2x
4
2x − 1 + C
3) ∫ xex2 dx R.: 1
2
ex
2
+ C
4) ∫ xe−2xdx R.: − 1
4e2x
2x + 1 + C
5) ∫ x3exdx R.: exx3 − 3x2 + 6x − 6 + C
6) ∫ x2 lnxdx . Resp.: x
3
3
lnx − x
3
9
+ C
7) ∫ x3 lnxdx R.: x
4
16
4 lnx − 1 + C
8) ∫ t lnt + 1dt R.: 1
4
2t2 − 1 ln|t + 1| − t2 + 2t + C
9) ∫lnx2dx R.: xlnx2 − 2x lnx + 2x + C
68
10) ∫ lnx
2
x dx R.:
lnx3
3
+ C
11)∫ ex cos 2xdx . Resp.: 1
5
ex cos 2x + 2
5
ex sin2x + C
12 Calcule as integrais Respostas dos exercícios ímpares
Integral Trigonométrica
Exemplo 1: Calcule ∫ cos3xdx
A simples substituição u = cos x não ajuda, porque assim temos du = −senxdx? Logo, para integrar
potências de cosseno, necessitamos de um fator extra senx. Analogamente, uma potência de seno precisa
de um fator extra cosx. Dessa forma, podemos separar um fator cosseno e converter o fator cos2x restante
em uma expressão envolvendo o seno usando a identidade sen2x + cos2x = 1:
cos3x = cos2x. cos x = 1 − sen2xcos x. Podemos então calcular a integral substituindo u = senx, de modo
que, du = cos xdx e
3 2
2
2 31
3
31
3
cos cos cos
(1 sin )cos
(1 )
sin sin
x dx x x dx
x x dx
u du u u C
x x C
= ⋅
= −
= − = − +
= − +
∫ ∫
∫
∫
Exemplo 2: Calcule ∫ sen5xcos2xdx
Poderíamos converter cos2x para 1 − sen2x. Mas ficaríamos com uma expressão em termos de senx sem um
69
fator extra cos x. Em vez disso, separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sin4x restante em
termos de cos x. Então, temos:
5 2 2 2 2
2 2 2
sin cos (sin ) cos sin
(1 cos ) cos sin
=
= −
x x x x x
x x x
Substituindo u = cosx, nos temos du = sinxdx. Assim
5 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 5 7
2 4 6
3 5 71 2 1
3 5 7
sin cos(sin ) cos sin
(1 cos ) cos sin (1 ) ( )
( 2 ) 2
3 5 7
cos cos cos
=
= − = − −
 
= − − + = − − + + 
 
= − + − +
∫ ∫
∫ ∫
∫
x x dx x x x dx
x x x dx u u du
u u u
u u u du C
x x x C
Nos exemplos anteriores, uma potência ímpar de seno ou cosseno nos permitiu separar um único fator e
converter a potência par remanescente. Se um integrando contém potências pares tanto para seno como
para cosseno, essa estratégia falha.Nesse caso, podemos aproveitar as identidades dos ângulos-metade.
sen2x = 1
2
1 − cos2x
e
cos2x = 1
2
1 + cos2x
Exemplo 3: Calcule ∫
0
π
sen2xdx.
Se escrevermos sin2x = 1 − cos2x, a integral não é mais simples de calcular. Usando a fórmula do
ângulo-metade para sin2x, temos:
[ ]
2 1
2
0 0
1 1
2 2 0
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
sin (1 cos 2 )
( sin 2 )
( sin 2 ) (0 sin 0)
x dx x dx
x x
π π
π
π π
π
= −
= −
= − − −
=
∫ ∫
Observe que mentalmente fizemos a substituição u = 2x quando integramos cos2x .
Exemplo 4: Calcule ∫ sen4xdx
70
4 2 2
2
21
4
sin (sin )
1 cos 2
2
(1 2cos 2 cos 2 )
x dx x dx
x
dx
x x dx
=
− 
=  
 
= − +
∫ ∫
∫
∫
usando:
2 1
2
cos 2 (1 cos 4 )x x= +
[ ]
( )
( )
4 1 1
4 2
31 1
4 2 2
31 1
4 2 8
sin 1 2cos 2 (1 cos 4 )
2cos 2 cos 4
sin 2 sin 4
x dx x x dx
x x dx
x x x C
= − + +
= − +
= − + +
∫ ∫
∫
Lista de Exercícios 20:
Resolva as integrais número 1 ao 19:
71
Respostas ímpares
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
72
Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional (um quocientede polinômios)
expressando-a como uma soma de frações mais simples, chama das frações parciais, que já sabemos
como integrar. Para ilustrar o método, observe que, levando as frações 2/x − 1 e 1/x − 2 a um
denominador comum, obtemos:
2
2 1 2( 2) ( 1)
1 2 ( 1)( 2)
5
2
x x
x x x x
x
x x
+ − −
= =
− + − +
+
=
+ −
Se revertermos o procedimento, veremos como integrar a função no lado direito dessa equação:
2
5 2 1
2 1 2
2 ln | 1| ln | 2 |
x
dx dx
x x x x
x x C
+  
= − 
+ − − + 
= − − + +
∫ ∫
Para ver como esse método de frações parciais funciona em geral, consideramos a função racional
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=
onde P e Q são polinômios.
É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que
o graude Q. Essa função racional é denominada própria.
Se f e impropria, isto e, grauP ≥ grauQ, entao devemos fazer uma etapa preliminar dividindo P por Q
(pordivisaode polinomios). Até o resto Rx ser obtido, com grauR < grauQ. O resultado da divisão é
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P x R x
f x S x
Q x Q x
= = +
onde S e R são polinômios também.
Exemplo 1: Encontre
3
1
x x
dx
x
+
−∫
Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos fazer a divisão. Isso nos
permite escrever:
3
2
3 2
2
2
1 1
2 2ln | 1|
3 2
x x
dx x x dx
x x
x x
x x C
+  
= + + + 
− − 
= + + + − +
∫ ∫
A próxima etapa é fatorar o denominador Qx o máximo possível. É possível demonstrar que qualquer
73
polinômio Q pode ser fatorado como um produtode fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos
irredutíveis (da forma ax2 + bx + c, onde b2 − 4ac < 0). Por exemplo, se Qx = x4 − 16, poderíamosfatorá-lo
como:
2 2
2
( ) ( 4)( 4)
( 2)( 2)( 4)
Q x x x
x x x
= − +
= − + +
A terceira etapa é expressar a função racional própria Rx/Qx como uma soma de frações parciais da
forma: A
ax + b i
ou Ax + B
ax2 + bx + c j
.
Um teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso. Explicamos os detalhes para os quatro
casos que ocorrem.
CASO 1:
O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos. Isso significa que podemos escrever.
Qx = a1x + b1a2x + b2. . . . akx + bk onde nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante
do outro). Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantes A1, A2, . . . , Ak tal que:
1 2
1 1 2 2
( )
( )
k
k k
AA AR x
Q x a x b a x b a x b
= + + ⋅ ⋅⋅ +
+ + +
Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte.
Exemplo 2: Calcule
2
3 2
2 1
2 3 2
x x
dx
x x x
+ −
+ −∫
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o
denominador como:
2x3 + 3x2 − 2x = x2x2 + 3x − 2 = x2x − 1x + 2
Como o denominador tem três fatores lineares distintos.
A decomposição em frações parciais do integrando tem a forma:
2 2 1
(2 1)( 2) 2 1 2
x x A B C
x x x x x x
+ −
= + +
− + − +
Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos
denominadores, x2x1x + 2, obtendo:
x2 + 2x + 1 = A2x − 1x + 2 + Bxx + 2 + Cx2x − 1
Expandindo o lado direito da Equação e escrevendo-a na forma-padrão para os polinômios, temos:
x2 + 2x + 1 = 2A + B + 2Cx2 + 3A + 2BC − 2A
Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C:
74
2A + B + 2C = 1 A = 1
2
3A + 2BC = 2 B = 1/5
3A + 2BC = 2 C = 1/10
E assim,
2
3 2
1 1 1
2 10 10
2 1
2 3 2
1 1 1 1 1 1
2 5 2 1 10 2
ln | | ln | 2 1| | 2 |
+ −
+ −
 
= + − 
− + 
= + − − + +
∫
∫
x x
dx
x x x
dx
x x x
x x x K
CASO 2:
Qx é um produtode fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos. Suponha que o primeiro fator
linear a1x + b1 seja repetido r vezes. Isto é, a1x + b1r ocorre na fatoração de Qx. Então, em vez de um
único termo A1/a1x + b1, usaríamos.
1 2
2
1 1 1 1 1 1
 ( ) ( )
r
r
A A A
a x b a x b a x b
+ + ⋅⋅⋅ +
+ + +
Para ilustrar, poderíamos escrever.
3
2 3 2 2 3
1
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x A B C D E
x x x x x x x
− +
= + + + +
− − − −
Exemplo 3: Encontre
4 2
3 2
2 4 1
1
x x x
dx
x x x
− + +
− − +
∫
A primeira etapa é dividir. O resultado da divisão de polinômios é:
4 2
3 2
3 2
2 4 1
1
4
1
1
x x x
x x x
x
x
x x x
− + +
− − +
= + +
− − +
A segunda etapa é fatorar o denominador
Qx = x3 − x2 − x + 1.
Como Q1 = 0, sabemos que x − 1 é um fator e obtemos:
75
3 2 2
2
1 ( 1)( 1)
( 1)( 1)( 1)
( 1) ( 1)
x x x x x
x x x
x x
− − + = − −
= − − +
= − +
Como o fatorl inear x − 1 ocorre duas vezes, a decomposição em frações parciais é:
2 2
4
( 1) ( 1) 1 ( 1) 1
x A B C
x x x x x
= + +
− + − − +
Multiplicando pelo mínimo denominador comum, x − 12x + 1, temos:
2
2
4 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( 2 ) ( )
= − + + + + −
= + + − + − + +
x A x x B x C x
A C x B C x A B C
Agora igualamos os coeficientes:
0
2 4
0
+ =
− =
− + + =
A C
B C
A B C
Resolvendo, obtemos:
A = 1, B = 2, C = -1.
Assim,
4 2
3 2
2
2
2
2 4 1
1
1 2 1
1
1 ( 1) 1
2
ln | 1| ln | 1 |
2 1
2 1
ln
2 1 1
− + +
− − +
 
= + + + − 
− − + 
= + + − − − + +
−
−
= + − + +
− +
∫
∫
x x x
dx
x x x
x dx
x x x
x
x x x K
x
x x
x K
x x
CASO 3:
Qx contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete. Se Qx tem o fator ax2 + bx + c,
onde b2 − 4ac < 0, então, além das frações parciais, a expressão para Rx/Qx terá um termo da forma
2
Ax B
ax bx c
+
+ +
em que A e B são as constantes a serem determinadas.
76
Exemplo 4: Calcule
2
3
2 4
4
x x
dx
x x
− +
+∫
Como x3 + 4x = xx2 + 4 não pode ser mais fatorado, escrevemos:
2
2 2
2 4
( 4) 4
x x A Bx C
x x x x
− + +
= +
+ +
Multiplicando por xx2 + 4, temos:
2 2
2
2 4 ( 4) ( )
( ) 4
x x A x Bx C x
A B x Cx A
− + = + + +
= + + +
Igualando os coeficientes, obtemos:
A + B = 2, C = 1, 4A = 4. Então, A = 1, B = 1, e C = 1. Logo
2
3 2
2 4 1 1
4 4
x x x
dx dx
x x x x
− + − 
= + 
+ + 
∫ ∫
Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes:
2 2 2
1 1
4 4 4
x x
dx dx dx
x x x
−
= −
+ + +
∫ ∫ ∫
2
2
2 2
2 11 1
2 2
2 4
( 4)
1 1
4 4
ln | | ln( 4) tan ( / 2)−
− +
+
= + −
+ +
= + + − +
∫
∫ ∫ ∫
x x
dx
x x
x
dx dx dx
x x x
x x x K
CASO 4:
Qx contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos. Se Qx tem um fator ax2 + bx + cr onde b2 − 4ac < 0.
Então, em vez de uma única fração parcial, a soma
1 1 2 2
2 2 2 2 ( ) ()
+ + +
+ + ⋅⋅⋅ +
+ + + + + +
r r
r
A x B A x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
ocorre na decomposição em frações parciais de Rx/Qx.
Cada um dos termos pode ser integrado primeiro completando o quadrado.
77
Exemplo 5: Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função
3 2
2 2 3
1
( 1)( 1)( 1)
+ +
− + + +
x x
x x x x x
Temos:
3 2
2 2 3
2 2
2 2 2 3
1
( 1)( 1)( 1)
1 1 1
( 1) ( 1)
x x
x x x x x
A B Cx D Ex F
x x x x x
Gx h Ix J
x x
+ +
− + + +
+ +
= + + +
− + + +
+ +
+ +
+ +
Agora calcule
2 3
2 2
1 2
( 1)
x x x
dx
x x
− + −
+∫
A forma da decomposição em frações parciais é:
2 3
2 2 2 2 2
1 2
( 1) 1 ( 1)
x x x A Bx C Dx E
x x x x x
− + − + +
= + +
+ + +
Multiplicando por xx2 + 12, temos:
3 2
2 2 2
4 2 4 2 3 2
4 3 2
2 1
( 1) ( ) ( 1) ( )
( 2 1) ( ) ( )
( ) (2 ) ( )
− + − +
= + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +
x x x
A x Bx C x x Dx E x
A x x B x x C x x Dx Ex
A B x Cx A B D x C E x A
Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema
0
1
2 2
1
1
A B
C
A B D
C E
A
+ =
= −
+ + =
+ = −
=
Que tem a solução A = 1, B = 1, C = 1, D = 1, E = 0. Então,
78
2 3
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 11
2 2 2
1 2
( 1)
1 1
1 ( 1)
1 1 ( 1)
1
ln | | ln( 1) tan
2( 1)
−
− + −
+
 +
= − + 
+ + 
= − − +
+ + +
= − + − − +
+
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
x x x
dx
x x
x x
dx
x x x
dx x dx x dx
dx
x x x x
x x x K
x
Lista de Exercícios 21:
Exercícios 7 ao 29 - ímpares: Resolva as seguintes integrais usando frações parciais:
Respostas
79
Integrais Impróprias
A existência da integral definida
∫
b
a
dxxf )(
com a função fx sendo Contínua no intervalo fechado [a, b], nos foi garantida pelo Teorema fundamental
do Cálculo.
Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam à formulações de integrais em que
a) o intervalo de integração não é limitado (infinito) ou
b) o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].
Nosso objetivo é definir o conceito de integrais deste tipo, chamadas de Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias Tipo 1: intervalos infinitos
A área da região S, abaixo da curva f(x) no intervalo [a,+8) , é calculada pela integral
80
∫
∞
=
a
dxxfS )(
Esta área será finita ou infinita?
Exemplo 1: Vejamos um exemplo ilustrativo: Considere a integral.
∫
∞
0 2
1
dx
x
Observe na figura que a área da integra é menor que a soma das áreas dos retangulos
onde em (*) usamos a soma de uma P.G.
.
2
1
 1, ,
1
1
1 ==
−
= ra
r
a
S
Logo a área obtida pela integral está limita por uma área finita, portanto, também será finita.
Exemplo 2: A área sombreada da figura abaixo é dada por:
21
1
1 1 1
( ) 1
t
t
A t dx
x x t

= = − = −
∫
81
Observe que a área A(t) < 1 por maior que seja t.
Também observamos que a área se aproxima de 1 quando t → ∞.
1
lim ( ) lim 1 1
t t
A t
t→∞ →∞
 
= − = 
 
Assim, dizemos que a área da região infinita S é iguala 1 e escrevemos:
2 21 1
1 1
lim 1
t
t
dx dx
x x
∞
→∞
= =∫ ∫
Logo, definimos a integral de f(x) (não necessariamente uma função positiva) sobre um intervalo infinito
como o limite das integrais sobre os intervalos finitos.
Definição 1: Integrais impróprias do tipo 1
a) Se existe ∫
a
t
fxdx para todo número t = a, então:
( ) lim ( )
t
a at
f x dx f x dx
∞
→∞
=∫ ∫
82
b) Se existe ∫
t
b
fxdx para todo número t = b, então:
( ) lim ( )
b b
tt
f x dx f x dx
−∞ →∞
=∫ ∫
c) a partir de a) e b), para um número real qualquer a, temos
( ) ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞
= +∫ ∫ ∫
Convergência e divergência
As integrais impróprias:
( )
b
f x dx
−∞∫ e Figure 
são ditas convergentes se o limite correspondente existe (como um número finito), caso contrário, são ditas
divergentes.
Exemplo 3: Verifique se a integral ∫
1
∞ 1
x dx é convergente ou divergente.
1 1 1
1 1
lim lim ln
lim(ln ln1)
lim ln
tt
t t
t
t
dx dx x
x x
t
t
∞
→∞ →∞
→∞
→∞
= =

= −
= = ∞
∫ ∫
Observe que este limite não existe como número, portanto esta integral diverge.
Observe que ∫
1
∞ 1
x2
dx converge como vimos no exemplo 2, mas ∫
1
∞ 1
x dx diverge apesar da semelhança das
funções.
Exemplo 4: Calcule ∫
−∞
0
xexdx
Solução: Usando a definição 1 b)
83
0 0
limx x
tt
xe dx xe dx
−∞ →−∞
=∫ ∫
Integrando por partes com u = x,du = 1,dv = ex e v = ex
0 00
1
x x x
tt t
t t
xe dx xe e dx
te e
= −
= − − +
∫ ∫
então
0
lim ( 1 )
0 1 0
1
x t t
t
xe dx te e
−∞ →−∞
= − − +
= − − +
= −
∫
onde
lim lim
1
lim
lim ( )
0
t
tt t
tt
t
t
t
te
e
e
e
−
→ −∞ → −∞
−→ −∞
→ −∞
=
=
−
= −
=
Exemplo 5: Calcule
dx
x
∫
∞
∞− +
21
1
Solução: Usando a definição 1 c) escolhendo a = 0
0
2 2 20
1 1 1
1 1 1
dx dx dx
x x x
∞ ∞
−∞ −∞
= +
+ + +∫ ∫ ∫
Como a integral acima pode ser interpretada como a área representada na figura:
Resolvendo separadamante cada integral, usando substituição Trigonométrica
84
20
20
1
0
1 1
1
1
1
lim
1
lim tan
lim(tan tan 0)
lim tan
2
t
t
t
t
t
t
dx
x
dx
x
x
t
t
π
∞
→∞
−
→∞
− −
→∞
−
→∞
+
=
+
=

= −
=
=
∫
∫
0
2
0
2
0
1
1 1
1
1
lim
1
lim tan
lim (tan 0 tan )
0
2
2
tt
t t
t
dx
x
dx
x
x
t
π
π
−∞
→−∞
−
→−∞
− −
→−∞
+
=
+
=

= −
 
= − − 
 
=
∫
∫
Resultando
2
1
1 2 2
dx
x
π π
π
∞
−∞
= + =
+∫ , portanto convergente.
Integrais Impróprias do tipo 2: Integrando descontínuo
Definicão 2: Suponha que seja uma função positiva contínua definida no intervalo finito
a) [a, b) com uma assíntota vertical em b b) (a,b] com uma assíntota vertical em b
( ) lim ( )
b t
a at b
f x dx f x dx
−
→
=∫ ∫ ( ) lim ( )
b b
a tt a
f x dx f x dx
+
→
=∫ ∫
se estes limites existirem (como um número), a integral imprópria é dita convergente, caso contrário, a
integral é divergente.
Definicão 2 c): Se f tiver uma descontinuida de em c, onde a < c < b, e as integrais
( )
c
a
f x dx∫
e
( )
b
c
f x dx∫
forem ambas convergentes, então definimos:
85
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Exemplo 6: Calcule
5
2
1
2
dx
x −
∫
Observamos que essa integral é imprópria, porque ( ) 1/ 2f x x= − tem uma assíntota vertical em x = 2.
Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo esquerdo de [2, 5], usamos a Definição 2 b):
5 5
2 2
5
2
2
lim
2 2
lim 2 2
lim 2( 3 2)
2 3
tt
tt
t
dx dx
x x
x
t
+
+
+
→
→
→
=
− −
= − 
= − −
=
∫ ∫
Portanto, a integral imprópria é convergente.
Exemplo 7: Calcule
3
0 1
dx
x −∫
Observamos que essa integral é imprópria, porque f(x) tem uma assíntota vertical x = 1. Como a
descontinuidade infinita ocorre no interior de [0, 3], usamos a Definição 2 c) com
c = 1:
3 1 3
0 0 11 1 1
dx dx dx
x x x
= +
− − −∫ ∫ ∫ onde
1
0 01 1 0
1
1
lim lim 1
1 1
lim(ln 1 ln 1)
limln(1 )
tt
t t
t
t
dx dx
x
x x
t
t
− −
−
−
→ →
→
→
= = − − −
= − − −
= − = −∞
∫ ∫
Observamos então que
1
0
/( 1)dx x −∫ é divergente, Portanto
3
0
/( 1)dx x −∫ é divergente, sendo
desnecessário o calculo de
3
1
/( 1).dx x −∫
86
Observação: Se não considerarmos as descontínuidades de f(x) calculando a integral diretamente pelo
teorema fundamental do cálculo, teremos um resultado errôneo, por exemplo no exemplo anterior teríamos
o seguinte resultado:
3
3
0
0
ln 1
1
ln 2 ln1
ln 2
dx
x
x
= − 
−
= −
=
∫
Isto é errado, porque a integral é imprópria e deve ser calculada em termos de limite. Portanto, devemos
sempre nos certificar se a integral é imprópria ou não antes de resolve-la.
Exemplo 8: Calcule
1
0
ln x dx∫
Observamos que essa integral é imprópria, porque fx tem uma assíntota vertical em x = 0, pois
0
lim ln
x
x
+
→
= −∞
Como a descontinuidade infinita ocorre na extremidade esquerda de [0, 1], usamos a Definição 2 a)
1 1
0 0
ln lim ln
tt
x dx x dx
+→
=∫ ∫
Integrando por partes, com u = lnx, dv = dx, du = dx/x, e v = x:
]
1 11
ln ln
1ln1 ln (1 )
ln 1
tt t
x dx x x dx
t t t
t t t
= −
= − − −
= − − +
∫ ∫
Para calcularo limite do primeiro termo, usamos a regra de LHospital da seguinte forma
0 0
2
0
0
ln
lim ln lim
1/
1/
lim
1/
lim( )
0
t t
t
t
t
t t
t
t
t
t
+ +
+
+
→ →
→
→
=
=
−
= −
=
Portanto,
1
0 0
ln lim( ln 1 )
0 1 0
1
t
x dx t t t
+
→
= − − +
= − − +
= −
∫
Lista de Exercícios 22:
87
Exercícios 5 ao 37 - ímpares: Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que
são convergentes.
Respostas
88