Ondas Eletromagnéticas

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DESCRIÇÃO
Abordagem didático-pedagógica sobre a natureza da luz, os conceitos de onda
eletromagnética, a dualidade onda-partícula, produção dos raios X e suas aplicações.
PROPÓSITO
Quando você sintoniza seu rádio, assiste à TV, envia uma mensagem de texto, coloca pipoca
em um forno de micro-ondas ou faz uma imagem radiográfica, está usando energia
eletromagnética; logo, conhecer e entender a natureza contemporânea da luz e a extensa
gama do nosso espectro eletromagnético é essencial para que as aplicações sejam
direcionadas de maneira correta e segura.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Analisar a natureza ondulatória da luz e o espectro eletromagnético em termos de frequência e
comprimento de onda
MÓDULO 2
Identificar a natureza da luz na visão contemporânea e seu comportamento ondulatório e/ou
corpuscular (dualidade onda-partícula)
MÓDULO 3
Reconhecer a produção dos raios X e a importância de suas aplicações em diversas áreas
INTRODUÇÃO
A beleza de um recife de corais, o brilho quente do sol, a ardência das queimaduras solares, os
raios X revelando um osso fraturado, e até mesmo a pipoca de micro-ondas – tudo isso é
trazido até nós por ondas eletromagnéticas.
A lista dos vários tipos de ondas eletromagnéticas, desde ondas de transmissão de rádio até
emissões nucleares de raios gama (raios λ), é intrigante e deslumbrante por si só. Ainda mais
intrigante é que todos esses diferentes fenômenos são manifestações da mesma natureza.
Mas o que são ondas eletromagnéticas? Como elas são criadas e como viajam? Como
podemos entender suas propriedades amplamente variáveis? Qual a relação entre
efeitos elétricos e magnéticos? Essas e outras questões serão exploradas neste conteúdo.
As especulações sobre a natureza da luz apareceram nos primórdios da Humanidade.
Demócrito foi um filósofo grego que viveu entre 460 e 370 a.C. Antes de se estabelecer na
Grécia, ele viajou inúmeras vezes pelo Egito e por outros lugares, tendo como mestre principal
Leucipo (490 a.C.). Demócrito absorveu o conceito de atomismo na Ásia Menor.
Os atomistas afirmavam que toda matéria era composta de partículas minúsculas, infinitamente
pequenas, tão pequenas que nenhuma matéria poderia ser menor do que isso. Essas
partículas seriam indivisíveis e chamadas de átomos, do grego “indivisível”.
Para os filósofos, os átomos seriam eternos, imutáveis, indestrutíveis e apenas suas
propriedades físicas difeririam umas das outras. Em particular, a luz associada ao fogo seria
composta de átomos pontiagudos (tetraedros), de forma a causar queimaduras dolorosas. O
modelo corpuscular de Demócrito era baseado na intuição e na pureza de pensamentos, uma
filosofia chamada de filosofia moral .
Aristóteles (384-322 a.C.), discípulo de Platão, introduziu a teoria sensorial e natural, conhecida
atualmente como Ciência. Sua teoria tinha como instrumento os órgãos sensoriais, uma vez
que não havia outros tipos de sensores naquela época. Aristóteles propôs uma explicação para
a luz, similar à que ele havia dado às vibrações sonoras, percebidas pelos ouvidos e pelo tato.
Segundo ele, um objeto luminoso vibra, fazendo com que um meio incerto fique em estado de
vibração, que o filósofo denominou de diáfano, o que faz com que o movimento das emoções
entre nos componentes do olho. O modelo não se baseava em nenhuma observação do
fenômeno, fato que seria muito difícil para a época. Era uma analogia baseada exclusivamente
em associações.
Como podemos ver, os gregos tinham muitas ideias, mas não possuíam uma tradição
experimental de fazer observações físicas da natureza. Na maioria das vezes, fenômenos
naturais comuns não podiam ser investigados com os meios de que se dispunha e, portanto,
qualquer argumento era bom, desde que fosse bem definido.
No módulo 1, serão descritas as mais bem fundamentadas teorias para a natureza ondulatória
da luz, assim como a definição das ondas eletromagnéticas e seu espectro; no módulo 2, as
características corpusculares e a dualidade onda-partícula; e, na sequência, no módulo 3,
detalharemos a produção, as características e aplicações dos raios X.
MÓDULO 1
 Analisar a natureza ondulatória da luz e o espectro eletromagnético em termos de
frequência e comprimento de onda
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FILOSOFIA MORAL
A história neoplatônica (filosofia moral) dominou o fim da Antiguidade e a primeira metade
da Idade Média, tanto na Europa quanto nos países muçulmanos. No final desse período,
uma importante obra marcou a óptica geométrica e rejeitou completamente o raio visual:
a do iraquiano Ibn al-Haytham; ele não ofereceu nenhuma reflexão sobre a natureza da
luz.
Essa situação se perpetuou por muito tempo e só mudou no renascimento europeu.
Obras importantes, como as de Roger Bacon (1220-1292) e de Robert Grosseteste
(1175-1253), sintetizaram o ponto de vista do sábio iraquiano e os conceitos pré-
ondulatórios de Aristóteles. Pela primeira vez, várias preocupações foram previamente
reunidas em trabalhos escritos.
NATUREZA ONDULATÓRIA DA LUZ
O grande sucesso do telescópio refrativo de Galileu, em 1609, deu início a uma nova fase no
estudo da luz. Desde o início, foram observados alguns fenômenos que não podiam ser
compreendidos pela óptica geométrica. No modelo de propagação retilínea da luz, um
obstáculo deveria proporcionar uma região de sombra de contornos nítidos.
A projeção dessa sombra em uma parede, pelas previsões do modelo geométrico, seria
caracterizada por uma região escura claramente separada da região iluminada pela fonte
luminosa. É claro que, para isso, deveríamos levar em consideração a região de penumbra,
causada pelo tamanho físico da fonte de luz, e que deveria ser a menor possível para se fazer
uma observação apurada.
 
Foto: Rama / Wikimedia Commons / CC BY-SA 2.0 fr
 Telescópio refrativo.
As primeiras experiências logo mostraram a existência de faixas claras, onde devia haver
sombra; e, de faixas escuras, onde devia estar bem iluminado. A imagem a seguir, ilustra:
Uma montagem experimental para observação no orifício 2 , em a).
Em b), a imagem observada no anteparo.
ORIFÍCIO 2
Esse orifício, cuja imagem é projetada sobre um anteparo, é iluminado por uma fonte
pontual de luz construída a partir de uma fonte de luz extensa e do orifício 1.
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Imagem: Nilséia A. Barbosa.
 Montagem experimental para observação de imagens de difração.
 SAIBA MAIS
Essas imagens podem ser obtidas com orifícios na ordem de 1mm de diâmetro sobre um
anteparo a 1m de distância. Essas falhas nas previsões da óptica geométrica foram
denominadas de difração por Francesco Maria Grimaldi (1618-1663), jesuíta e professor da
Universidade de Bolonha.

 
Imagem: Francesco Melzi / Wikimedia Commons / Domínio Público
AS PRIMEIRAS REFERÊNCIAS À DIFRAÇÃO
APARECEM NAS ANOTAÇÕES DE LEONARDO DA
VINCI (1452-1519), CERCA DE CEM ANOS ANTES DE
GALILEU APRESENTAR SEU TELESCÓPIO.
NO ENTANTO, AS PRIMEIRAS ANOTAÇÕES
PUBLICADAS SÓ OCORRERAM APÓS A MORTE DE
GRIMALDI, EM 1663, QUANDO SEUS TRABALHOS
FORAM DIVULGADOS.
 
Imagem: Autor desconhecido / Wikimedia Commons / Domínio Público

Para explicar o desvio da luz de sua trajetória retilínea, Grimaldi recorreu à experiência comum
relativa à propagação das ondas sonoras ou das ondas sobre a superfície da água, como na
imagem ao lado. O som não pode ser barrado por um muro não muito alto, mesmo que seja
muito espesso, pois as ondas sonoras ao passarem por cima dele se desviam parcialmente em
direção ao solo, contornando-o.
 
Foto: Shutterstock.com
 Propagação das ondas na superfície da água.
Da mesma forma, as ondas do oceano, ao penetrarem em um porto, atingem não apenas os
barcos que estejam diante da entrada, mas também aqueles localizados nas suas áreas
protegidas.
Christiaan Huygens (1629-1695), filho de um importante oficial do governo holandês, já possuía
uma grande reputação científica em 1678, com seus trabalhos em Astronomia e Física. Nesse
ano, Huygens propôs uma teoria ondulatóriapara a luz.
 
Imagem: Caspar Netscher / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 Christiaan Huygens (1629-1695).
Como a natureza própria da luz era totalmente desconhecida, Huygens interpretava a luz em
termos de ondas longitudinais, como:
 Clique nas figuras abaixo para ver as informações.
 
Imagem: Shutterstock.com
ONDA SONORA (LONGITUDINAL).
O som, em vez de ondas transversais.
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Foto: Shutterstock.com
ONDA NA SUPERFÍCIE DA ÁGUA
(TRANSVERSAL).
Às da superfície da água.
Entretanto, esse detalhe não traz nenhuma consequência no que se refere à propagação de
ondas.
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Imagem: Shutterstock.com. Adaptado por Nilséia A. Barbosa e Lerik Lopes
 Representação geométrica das ondas longitudinais e transversais, respectivamente.
No modelo de Huygens, cada ponto em uma frente de onda é tratado como uma fonte de
uma onda esférica denominada ondícula secundária ou ondícula de Huygens. O envoltório
dessas ondículas, em um instante posterior, é determinado pela tangente a essas superfícies.
O envoltório é assumido como a nova posição da frente de onda.
 
Imagem: Huygens principle/Wikimedia Commons/CC 2.0.
 Propagação de uma onda na superfície da água explicada pelo modelo Huygens.
Uma onda é caracterizada pelo seu comprimento de onda λ que pode ser visualizado pela
distância entre duas cristas da onda e pela frequência ν de suas oscilações, como na imagem
a seguir. Essas duas grandezas são relacionadas através da velocidade v de propagação da
onda na forma:
Ν=Λ ·Ν
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa
 Ilustração de uma onda.
O fenômeno da difração pode ser mais bem observado quando as dimensões do obstáculo são
comparáveis com o comprimento de onda, como mostra a etapa a) da imagem. Para
obstáculos ou orifício de dimensões muito superiores aos do comprimento de onda, os efeitos
de difração ficam restritos a uma faixa estreita, nos contornos da sombra e, comumente,
misturados com a região da penumbra. A b) mostra uma situação em que a propagação de
uma onda segue o modelo da óptica geométrica.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa
 a) Passagem de uma onda plana através de uma fenda de largura a proporcional ao
comprimento de onda λ; b) para a >>> λa luz se propaga de forma retilínea, conforme a óptica
geométrica.
Isaac Newton (1642-1727) também havia se interessado pelo fenômeno da luz, tendo
realizado, no período de 1665 a 1666, surpreendentes experiências no campo da óptica, como
a decomposição da luz branca através de um prisma.
 
Imagem: Spigget / Wikimedia Commons /CC 3.0.
 Luz branca incidindo em um prisma.
Contudo, sua abordagem ao problema refletia as ideias contidas em seu trabalho sobre a
gravitação, desenvolvido nesse mesmo período. Newton tinha em mente o modelo corpuscular
que explicava de forma satisfatória a óptica geométrica. A possibilidade de propagação
retilínea de uma onda só viria a ser formalmente demonstrada mais de um século depois, por
Augustin Jean Fresnel (1788-1827).
Newton repetiu muitos dos experimentos de Grimaldi, mas deixou-os de lado quando percebeu
que não podia explicar suas observações em termos do modelo corpuscular.
A disputa entre Newton, com sua teoria corpuscular que trazia à baila o modelo atômico de
Demócrito, e o onipotente Robert Hook (1635-1703), que apoiava o modelo ondulatório de
Huygens, não tinha como ser solucionada na época.
Se, por um lado, Newton não podia explicar as franjas de difração observadas por Grimaldi, por
outro, o modelo ondulatório de Huygens não era completo o suficiente para demonstrar, de
forma cabal, a propagação retilínea da luz. Nem ao menos eram conhecidos os valores
aproximados dos comprimentos de onda associados ao espectro luminoso.
Alguns outros fenômenos também eram facilmente explicáveis pela teoria ondulatória, como a
birrefringência. Na época, era difícil conceber a existência de ondas transversais, como se
pode ver na primeira imagem (a), descritas por duas polarizações cruzadas e que possibilitam
a existência de dois índices de refração em alguns cristais. Naquele tempo, todas as ondas
eram compreendidas como sendo longitudinais, como na segunda imagem (b), tais como as
ondas sonoras.
BIRREFRINGÊNCIA
Propriedade óptica de um material que possui diferentes índices de refração para
diferentes direções de propagação da luz.
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Imagem: CK-12 Foundation / Wikimedia / CC 3.0, Adaptado por Nilséia Barbosa e Lerik Lopes.
IMAGEM A
Ondas transversais se propagando em uma corda.

 
Imagem: Pixabay, Adaptado por Nilséia A. Barbosa, Adaptado por Nilséia Barbosa e Lerik
Lopes.
IMAGEM B
Ondas longitudinais, oriundas do impacto da primeira bola.
As duas teorias ofereciam, contudo, previsões antagônicas quanto à velocidade dentro da
matéria.
Enquanto Newton explicava a refração pelo aumento da velocidade das partículas luminosas
ao entrarem dentro de um corpo, pela ação da força gravitacional, Huygens propunha
justamente o contrário.
Para se chegar a alguma conclusão sobre a natureza da luz era necessário vencer duas
etapas:
 Clique nos cards a seguir.
APRIMORAR OS MODELOS TEÓRICOS
De modo que pudessem explicar corretamente os resultados experimentais.
MEDIR A VELOCIDADE DA LUZ
Com a precisão necessária.
A primeira etapa tinha como obstáculo o enorme peso científico do legado de Newton. Da
mesma forma que a admiração por Sócrates havia canalizado o intelecto da Antiguidade para a
filosofia moral, a influência de Newton sobre as gerações seguintes fez com que poucos se
atrevessem a contestá-lo nos cem anos que se seguiram à sua morte.
A segunda etapa implicava em um avanço tecnológico que propiciasse aos cientistas uma
instrumentação adequada para medir a velocidade da luz. Isso só aconteceu em 1850, quando,
finalmente, Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) mediu a velocidade da luz no ar e na
água, mostrando que a velocidade na água era menor do que no ar (RICARDO B., 2005).
MEDIDA DA VELOCIDADE DA LUZ
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javascript:void(0)
 
Imagem: Lerik Lopes
Foi só entre o final do século XVIII e o início do século XIX que o modelo ondulatório recebeu o
impulso necessário para o seu desenvolvimento. As causas para essa demora podem ser
atribuídas, quase exclusivamente, a Newton.
 
Imagem: Lerik Lopes
Apesar do caminho trilhado ter requerido engenhosidade e perseverança, foi a grande pedra
colocada por Newton no início – quando pôs a sua reputação científica ao lado do modelo
corpuscular – que desencorajou mais de uma geração de adeptos do modelo ondulatório.
 
Imagem: Lerik Lopes
Esse atraso poderia ter sido evitado se a medida da velocidade da luz dentro e fora da matéria
tivesse sido realizada antes. Entretanto, a resolução desse problema requeria avanços
tecnológicos sem os quais qualquer medição se tornava impossível.
Para termos uma ideia mais clara da dificuldade de se medir a velocidade da luz, é necessário
analisar algumas ordens de grandeza envolvidas.
Como sabemos atualmente, a luz se propaga no vácuo a uma velocidade de cerca de 300 mil
quilômetros por segundo (em notação científica: c = 3,0 x 108m/s).
A letra c foi designada para representar a velocidade da luz no vácuo. A origem da palavra vem
de celeridade (rapidez), utilizada no passado para caracterizar a velocidade de propagação de
uma onda.
COMPARATIVAMENTE AO SOM, QUE SE
PROPAGA EM NOSSA ATMOSFERA A UMA
VELOCIDADE DE CERCA DE 340M/S, A LUZ SE
PROPAGA QUASE UM MILHÃO DE VEZES MAIS
RÁPIDO.
 
Para compreender o quanto a luz é veloz, podemos fazer a seguinte comparação:
 Clique nas figuras abaixo para ver as inforções.
 
Foto: Pixabay
O som atravessa apenas cerca de três campos de futebol em um segundo.
 
Foto: Pixabay
Enquanto a luz percorre quase a distância entre a Terra e a Lua.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Galileu duvidava que a velocidade da luz fosse infinita e planejou um experimentopara medir
essa velocidade, cobrindo e descobrindo, manualmente, lanternas separadas por duas colinas.
Embora a ideia fosse boa, como o tempo mínimo de resposta do sistema nervoso do corpo
humano é de alguns décimos de segundos (~ 0,2s), e o tempo a ser medido, no trajeto da luz
de uma colina a outra, era de 33 milionésimos de segundo (0,000033s), é obvio que o erro
introduzido no processo era muitíssimo maior do que o valor da grandeza determinada.
A primeira medição bem-sucedida da velocidade da luz foi feita por Ole Romer (1644-1710),
em 1676. Ele percebeu que, dependendo da geometria Terra-Sol-Júpiter, poderia haver uma
diferença de até mil segundos entre os tempos previstos dos eclipses das luas de Júpiter e os
tempos reais em que esses eclipses fossem observados.
 
Imagem: Johann Georg Wolfgang / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 Ole Romer (1644-1710).
Ele presumiu corretamente que isso se deve ao tempo variável que leva para a luz viajar de
Júpiter à Terra, pois a distância entre esses dois planetas varia. Ele obteve um valor de c
equivalente a 214.000km/s, que era muito aproximado, uma vez que as distâncias planetárias
não eram conhecidas com precisão naquela época.
Em 1728, James Bradley (1693-1762) fez outra estimativa ao observar a aberração estelar,
sendo o deslocamento aparente das estrelas devido ao movimento da Terra em torno do Sol.
Ele observou uma estrela em Draco e descobriu que sua posição aparente mudou ao longo do
ano. Todas as posições estelares são afetadas igualmente dessa forma. Isso distingue a
aberração estelar da paralaxe, que é maior para estrelas próximas do que para estrelas
distantes.
 
Imagem: Anônimo / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 James Bradley (1693- 1762).
Para entender a aberração, uma analogia útil é imaginar o efeito do seu movimento no ângulo
em que a chuva passa por você enquanto você corre através dela. Se você ficar parado na
chuva quando não há vento, ela cai verticalmente sobre sua cabeça.
Se você correr na chuva, ela se aproxima de você em um ângulo e o atinge na frente. Bradley
mediu esse ângulo para a luz das estrelas e, conhecendo a velocidade da Terra em torno do
Sol, encontrou um valor para a velocidade da luz de 301.000km/s.
Depois que James Clerk Maxwell (1831-1879) publicou sua teoria do eletromagnetismo,
tornou-se possível calcular a velocidade da luz indiretamente, medindo a permeabilidade
magnética e a permissividade elétrica do vácuo. Isso foi feito pela primeira vez por Weber e
Kohlrausch, em 1857. Em 1907, Rosa e Dorsey obtiveram 299.788km/s. Era o valor mais
preciso na época.
 
Imagem: G. J. Stodart / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 James Clerk Maxwell (1831- 1879).
 SAIBA MAIS
Muitos outros métodos foram, subsequentemente, empregados para melhorar ainda mais a
precisão da medição de c, de modo que logo se tornou necessário corrigir o índice de refração
do ar, visto que c é a velocidade da luz no vácuo.
Depois de 1970, o desenvolvimento de lasers com estabilidade espectral muito alta e relógios
de césio precisos tornaram possíveis medições ainda melhores. Até então, a mudança de
definição do medidor sempre esteve à frente da precisão nas medidas da velocidade da luz.
Em 1970, a velocidade da luz era conhecida por apresentar um erro de mais ou menos 1m/s.
Tornou-se mais prático fixar o valor de c na definição do medidor e usar relógios atômicos e
lasers para medir distâncias precisas. Atualmente, a velocidade da luz no vácuo é definida com
um valor fixo e exato, quando fornecida em unidades padrão.
Desde 1983, o metro é definido por acordo internacional como a distância percorrida pela luz
no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. Isso torna a velocidade
da luz exatamente 299.792,458km/s. Essa definição só faz sentido porque a velocidade da luz
no vácuo é medida com o mesmo valor por todos os observadores.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS (OEM)
Toda onda, seja uma onda elástica se propagando em meio material ou uma onda
eletromagnética no vácuo, tem uma caracteristica em comum: grandezas y a elas associadas,
que obedecem à equação de ondas dada por:
EQUAÇÃO 1
∂ 2 Y
DT2 = V2 
∂ 2 Y
DX2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa onda se propaga com velocidade v na direção x. No caso de uma onda em uma corda, y
representa o deslocamento vertical; e, em uma mola, o deslocamento longitudinal. No caso de
ondas sonoras, y corresponde à variação de pressão e, no caso de ondas eletromagnéticas, às
componentes do vetor campo elétrico E e do vetor campo magnético B.
Iniciamos considerando uma onda eletromagnética plana no vácuo, isto é, que se propaga em
uma única direção x, além de ser linearmente polarizada com o campo elétrico paralelo ao eixo
y e o campo magnético paralelo ao eixo z.
Diversas características dessa onda – como transporte, dissipação, geração e armazenamento
de energia nos meios materiais –, podem ser descritas por meio das equações de Maxwell.
Começamos escrevendo a lei de Gauss para o campo elétrico e a lei de Faraday-Henry:
EQUAÇÃO 2
∂ E
DX = - 
∂ B
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO 3
∂ E
DY = - 
∂ E
DZ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a lei de Gauss para o campo magnético e a lei de Ampère-Maxwell:
EQUAÇÃO 4
∂ B
DX = - Μ0Ε0 
∂ E
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO 5
∂ B
DY = 
∂ B
DZ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que μ0 ϵ0 são respectivamente a permissividade e permeabilidade do vácuo, cujos valores
são:
Μ0 = 8,85418 X10 - 12
C2 
N . M2 , 
 
Ε0 = 4Π X 10 - 7
WB
A . M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando a equação 2 em relação a x:
EQUAÇÃO 6
∂ 2 E
DX2 = - 
∂ 2 B
∂ X ∂ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a equação 4 em relação a t:
EQUAÇÃO 7
∂ 2 B
∂ T ∂ X = - Μ0Ε0 
∂ 2 E
∂ T2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A combinação das equações 6 e 7 resulta em:
EQUAÇÃO 8
∂ 2 E
∂ T2 = 
1
Μ0Ε0 
∂ 2 E
∂ X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação perfeitamente similar à equação 1, indicando que o campo E se propaga
ao longo do eixo x com a velocidade dada por:
EQUAÇÃO 9
C =
1
Μ0Ε0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cujo valor pode ser calculado substituindo ϵ0e μ0, do que obtemos:
√
C = 2,99792 X 108
M
S ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
QUE É EXATAMENTE A VELOCIDADE DA LUZ!
 
Uma solução da equação 8 é uma onda senoidal dada por:
EQUAÇÃO 10
E = E0 SIN ( KX - WT )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A amplitude do campo elétrico é E0, a constante k = 2πl é chamada número de onda e a
frequência angular é ω, dada por ω =
2π
T = 2πn sendo T o período da onda, isto é, o tempo
necessário para uma onda percorrer uma distância correspondente a um comprimento de onda
λ e nν é a frequência da onda, ou seja, o número de oscilações por unidade de tempo.
A unidade de frequência no sistema internacional é s-1, que recebe o nome especial de Hertz
(Hz).
Por um procedimento similar podemos obter uma solução para o campo magnético, que
também é uma onda senoidal:
EQUAÇÃO 11
B = B0 SIN ( KX - WT )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que B0 é a amplitude do campo magnético.
 ATENÇÃO
Demonstramos, assim, que as componentes do campo elétrico E e magnético B, das ondas
eletromagnéticas planas, são perpendiculares entre si e também à direção de propagação e
que sua velocidade de propagação é a mesma da luz.
Derivando aequação 10 em relação à x e a 11 em relação à t, obtemos:
EQUAÇÃO 12
∂ E
∂ T = K E0 COS ( KX - WT )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO 13
∂ B
∂ T = - W B0 COS ( KX - WT )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas duas equações se igualam, conforme a equação 2. Obtém-se, então:
EQUAÇÃO 14
K E0 = W B0 OU 
E0
 B0 = 
W
K = C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando 10, 11 e 14, obtemos:
EQUAÇÃO 15
E
B = C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Isto é, em qualquer instante, a razão entre E e B é igual a c.
Podemos concluir que esses campos estão em fase, alcançando os valores zero e máximo,
denominada amplitude, ao mesmo tempo. Os campos negativos significam que houve
mudança no sentido dos campos. Uma onda eletromagnética plana linearmente polarizada
está representada na imagem ao lado.
 
Imagem: Pixabay
 Representação esquemática de uma onda eletromagnética senoidal plana linearmente
polarizada que se propaga no vácuo com velocidade da luz na direção x.
Uma característica importante de qualquer onda é a capacidade de transportar energia sem
necessariamente transportar massa ou matéria. Uma onda eletromagnética, como qualquer
outra onda, transporta energia ao se propagar e, quando encontra objetos, pode transferir
energia a eles.
ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
O espectro eletromagnético é constituído por ondas eletromagnéticas com comprimentos de
onda que variam em uma faixa extremamente ampla. As várias faixas de comprimento de onda
ou frequência desse espectro receberam denominações especiais. A separação entre as faixas
não é muito rigorosa, podendo se sobrepor, uma vez que ela foi feita mais por motivos
históricos do que propriamente físicos ou biológicos.
A radiação infravermelha foi a primeira a ser descoberta, em 1880, depois da luz. A seguir,
foram descobertas a radiação ultravioleta, em 1881; as ondas de rádio, em 1888; a radiação X,
em 1895; a radiação gama, em 1900; e as micro-ondas, em 1932.
A caracterização das ondas eletromagnéticas na região de frequência baixa que corresponde
desde 0Hz até o início da radiação infravermelha é comumente feita em termos de
frequência. Assim, diz-se que as ondas curtas de 27,12MHz, por exemplo, são usadas para
aquecer partes do corpo em fisioterapia, e as micro-ondas, com frequência de 2450MHz, para
cozinhar e aquecer alimentos.
A região que contém a radiação conhecida como óptica, composta por radiação infravermelha
(IV), luz visível e raios ultravioleta (UV), é usualmente caracterizada pelo comprimento de
onda. A luz, comumente designada luz visível, compreende a faixa de 400nm (luz roxa) a
700nm (luz vermelha).
A unidade nanômetro, abreviada nm, é usada para pequenos comprimentos: 1nm = 10-9m. A
radiação ultravioleta é também comumente designada luz ultravioleta.
Finalmente, a faixa que compreende os raios X e os raios gama é especificada pela energia do
fóton. Dizemos que os raios X usados na mamografia, por exemplo, têm energia média de
30keV e a energia da radiação gama emitida pelo Césio-137 é de 0,66MeV. Na verdade, essas
são as energias de cada fóton, de cada feixe.
FÓTON
Substantivo que representa uma unidade de radiação de um feixe.
 VOCÊ SABIA
Elétron-volt (eV) é uma unidade de energia que não pertence ao sistema internacional e é
usada para energias extremamente pequenas. Corresponde à energia adquirida por um elétron
quando ele é acelerado no vácuo por uma diferença de potencial de 1 Volt (V).
A imagem a seguir mostra o espectro eletromagnético em várias faixas, sendo a principal entre
radiação ionizante e não ionizante.
javascript:void(0)
 
Imagem: Yuri Tungsten / Wikimedia Commons / CC 3.0
 Espectro eletromagnético.
A NATUREZA ONDULATÓRIA DA LUZ
Para sintetizar, o vídeo a seguir apresentará uma descrição cronológica sobre natureza
ondulatória da luz, bem como explicará o que é uma onda eletromagnética e seu espectro.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUANTO ÀS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS (OEM), ANALISE AS
AFIRMATIVAS A SEGUIR: 
 
I. UMA CARACTERÍSTICA IMPORTANTE DE QUALQUER ONDA É A
CAPACIDADE DE TRANSPORTAR ENERGIA SEM NECESSARIAMENTE
TRANSPORTAR MASSA OU MATÉRIA. UMA OEM, COMO QUALQUER
OUTRA ONDA, TRANSPORTA ENERGIA AO SE PROPAGAR E, QUANDO
ENCONTRA OBJETOS, PODE TRANSFERIR ENERGIA A ELES. 
 
II. UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA É FORMADA POR CAMPOS
ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS VARIÁVEIS. 
 
III. AS VÁRIAS FREQUÊNCIAS POSSÍVEIS DE ONDAS
ELETROMAGNÉTICAS CONSTITUEM UM ESPECTRO, DO QUAL UMA
PARTE CONSTITUI A LUZ VISÍVEL. 
 
ESTÁ CORRETO O QUE SE AFIRMA EM:
A) I e II, apenas.
B) II e III , apenas.
C) I e III , apenas.
D) I, II e III.
E) II, apenas.
2. A CLASSIFICAÇÃO DAS OEM PODE SER BASEADA TANTO EM SUA
FREQUÊNCIA QUANTO NO SEU COMPRIMENTO DE ONDA, O QUE
CONSTITUI O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO. EM RELAÇÃO A ELE NA
FIGURA A SEGUIR, CONSIDERE AS SEGUINTES AFIRMAÇÕES: 
 
 ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO.
 
 
I. O COMPRIMENTO DE ONDA DO INFRAVERMELHO É MENOR DO QUE O
DO ULTRAVIOLETA. 
 
II. A FREQUÊNCIA DAS MICRO-ONDAS SÃO MENORES DO QUE AS DAS
ONDAS DE RÁDIO. 
 
III. A FAIXA DE FREQUÊNCIAS CORRESPONDENTE À LUZ VISÍVEL É
PEQUENA SE COMPARADA À DO ULTRAVIOLETA. 
 
IV. AS ONDAS INFRAVERMELHAS SÃO COSTUMEIRAMENTE CHAMADAS
DE ONDAS DE CALOR. 
 
ESTÃO CORRETAS:
A) I e III.
B) II e III.
C) I e IV.
D) II e IV.
E) III e IV.
GABARITO
1. Quanto às ondas eletromagnéticas (OEM), analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Uma característica importante de qualquer onda é a capacidade de transportar energia
sem necessariamente transportar massa ou matéria. Uma OEM, como qualquer outra
onda, transporta energia ao se propagar e, quando encontra objetos, pode transferir
energia a eles. 
 
II. Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos variáveis. 
 
III. As várias frequências possíveis de ondas eletromagnéticas constituem um espectro,
do qual uma parte constitui a luz visível. 
 
Está correto o que se afirma em:
A alternativa "D " está correta.
 
Uma OEM, como qualquer outra onda, transporta energia ao se propagar e, quando encontra
objetos, pode transferir energia a eles. Uma onda eletromagnética é formada por campos
elétricos e magnéticos variáveis, e o espectro eletromagnético é constituído pelas várias
frequências possíveis, inclusive a luz visível.
2. A classificação das OEM pode ser baseada tanto em sua frequência quanto no seu
comprimento de onda, o que constitui o espectro eletromagnético. Em relação a ele na
figura a seguir, considere as seguintes afirmações: 
 
 Espectro eletromagnético.
 
 
I. O comprimento de onda do infravermelho é menor do que o do ultravioleta. 
 
II. A frequência das micro-ondas são menores do que as das ondas de rádio. 
 
III. A faixa de frequências correspondente à luz visível é pequena se comparada à do
ultravioleta. 
 
IV. As ondas infravermelhas são costumeiramente chamadas de ondas de calor. 
 
Estão corretas:
A alternativa "E " está correta.
 
I e II estão incorretas. I: O comprimento de onda do infravermelho é maior do que o do
ultravioleta. II: As frequências das micro-ondas são maiores do que as das ondas de rádio.
MÓDULO 2
 Identificar a natureza da luz na visão contemporânea e seu comportamento
ondulatório e/ou corpuscular (dualidade onda-partícula)
NATUREZA QUÂNTICA DA LUZ
À primeira vista, a natureza quântica da luz pode ser um conceito estranho e desconcertante. A
luz agindo como pedaços discretos, partículas sem massa fornecendo momentos e partículas
fundamentais se comportando como ondas, muitas vezes, podem parecer algo saído do livro
Alice no País das Maravilhas.
Para muitos, o estudo desse ramo da Física pode ser tão fascinante quanto um romance
clássico, um filme ou ainda uma série de sua preferência. Relembrando as obras de
personagens lendários e cientistas brilhantes comoEinstein, Planck e Compton, o estudo da
natureza quântica da luz fornecerá a você um conto interessante de como uma interpretação
inteligente de alguns detalhes levou às descobertas mais importantes dos últimos 150 anos.
 VOCÊ SABIA
Da revolução eletrônica do século XX ao nosso progresso futuro na energia solar e na
exploração do espaço, a natureza quântica da luz deve produzir curiosas consequências, nas
quais residem algumas das verdades mais fascinantes de nosso tempo.
RADIAÇÃO TÉRMICA
Um trabalho apresentado por Max Karl Ludwig Planck, em 14 de dezembro de 1900, com o
título Sobre a teoria da Lei da distribuição de Energia do espectro Normal, mostrou falhas
importantes na teoria clássica da Termodinâmica. Essa data marcou o início de mais uma
revolução na Física. Surgiu, então, a teoria quântica.
A seguir, os detalhes da teoria de Planck e sua importância para a origem da teoria quântica
moderna.
RADIAÇÃO DE CAVIDADE E CORPO
NEGRO
Um corpo negro, como seu próprio nome indica, é um sólido que absorve toda a radiação que
incide sobre sua superfície, a radiação térmica. Tal dispositivo se refere a uma cavidade
construída no interior de um sólido qualquer, aquecido a uma temperatura T, que se comunica
com o meio externo através de um pequeno orifício, como mostram as imagens.
EXEMPLO DE ABSORÇÃO TÉRMICA EM UMA
CAVIDADE CONSTRUÍDA NO INTERIOR DE UM
SÓLIDO COM PEQUENO ORIFÍCIO (CORPO
NEGRO)
 
 
Imagem: MikeRun / Wikimedia Commons /CC 4.0, Adaptado por Nilséia A. Barbosa e Lerik
Lopes
 
Imagem: MikeRun / Wikimedia Commons /CC 4.0, Adaptado por Nilséia A. Barbosa e Lerik
Lopes
Em geral, a radiação térmica tem uma distribuição espectral contínua de frequências. As
radiações térmicas são ondas eletromagnéticas geradas pelas oscilações das partículas
carregadas que compõem os sólidos aquecidos.
Em baixas temperaturas, um sólido pode ser visto, não por emissão, mas por reflexão da luz.
Entretanto, em altas temperaturas, os sólidos podem emitir luz visível, embora mais de 90%
estejam na região do infravermelho do espectro eletromagnético. Carvão em brasas, filamento
aquecido de uma lâmpada e estrelas são exemplos de sólidos aquecidos que irradiam no
visível.
Assim, um corpo negro ideal não reflete nada, mas, ao absorver toda a radiação incidente, um
corpo negro se aquece. Isso significa que toda a energia interna do corpo é distribuída
termicamente, o que envolve uma distribuição de energias definida pelas leis da
termodinâmica, dependendo apenas da temperatura absoluta.
Essa distribuição térmica de energias pode ser investigada por meio do espectro de emissão
do corpo negro.
NOTE QUE UM CORPO NEGRO PODE EMITIR
LUZ, SÓ NÃO PODE REFLETI-LA EM SUA
SUPERFÍCIE.
 
A imagem a seguir apresenta alguns exemplos de distribuições espectrais para diferentes
temperaturas em Kelvin (K) de um corpo negro. Somente a partir de uma temperatura em torno
de 800K é que começa a haver emissão na região visível do espectro eletromagnético. Nessa
temperatura, o corpo se incandesce e tem uma cor vermelho-rubro.
 
Imagem: Almazi / Wikimedia Commons / CC 4.0, Adaptado por Nilséia A. Barbosa e Lerik
Lopes
 Intensidade da radiação de um corpo negro em função do comprimento de onda.
Por causa da habilidade de absorver toda a radiação vinda do meio externo, o orifício da
cavidade tem características de um corpo negro e a radiação térmica emitida por ele é
conhecida como radiação de corpo negro.
Praticamente, toda a radiação vinda do meio externo, que entra na cavidade através do orifício
não consegue sair dela, e será refletida um certo número de vezes até ser absorvida pelas
paredes internas, como vimos na imagem anterior. Com a agitação térmica, as partículas
carregadas que compõem as paredes da cavidade oscilam e produzem radiação térmica, que é
emitida através do orifício.
ABSORÇÃO
Uma radiação que penetre na cavidade (absorção), como no exemplo (a), através de um
pequeno orifício de comunicação com o meio externo, entrará em equilíbrio térmico com o seu
interior.

EMISSÃO
A energia que entrou só poderá escapar (emissão) pelo mesmo orifício de comunicação com o
meio externo, como no exemplo (b), após ser moldada pela curva espectral de radiância
definida pela condição termodinâmica de temperatura T do seu interior. O orifício na cavidade,
portanto, assume o papel de um corpo negro. Qualquer radiação que incida no orifício será
absorvida e a radiação emitida será característica da distribuição térmica interna à cavidade.
A intensidade de radiação em função do comprimento de onda a uma dada temperatura é
chamada de radiância espectral. No final do século XIX, já havia dados experimentais da
distribuição espectral da radiação de um corpo negro. Gustav Kirchhoff (1824-1887), em 1859,
provou que a radiação emitida (RT) depende apenas da temperatura absoluta T e do
comprimento de onda λ, da seguinte forma:
A intensidade de radiação de um corpo negro aumentava com a temperatura.

A radiação era função do comprimento de onda emitido.

O comprimento de onda para o qual a radiância espectral é máxima é uma função inversa da
temperatura.
Ele lançou, então, um desafio aos físicos para que encontrassem uma função RT (λ).
Em 1879, Josef Stefan (1835-1893), usando argumentos empíricos, demonstrados
teoricamente mais tarde, em 1884, por Ludwig Eduard Boltzmann, lei que ficou conhecida
como lei de Stefan-Boltzmann, mostra que energia total emitida (E) por um corpo negro seria
proporcional à quarta potência da temperatura absoluta E ~ T4 , demonstração matemática
a partir da termodinâmica e da teoria eletromagnética de Maxwell, sendo escrita na forma:
RT= ST4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que s = 5,67 x 10 - 8W / m2K4 é uma constante universal denominada de constante de
Stefan-Boltzman. Contudo, a função RT(λ) ainda não havia sido encontrada.
 Em 1896, Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864-1928) propôs uma solução para o
desafio de Kirchhoff na forma:
RT (L ) =C1
E -C2 /LT
L5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que C1 e C2 são constantes. Embora essa função se ajustasse a valores experimentais na
faixa de pequenos comprimentos de onda, ela se desviava na região do infravermelho, como
mostraram Heinrich Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927), em 1898; e Otto
Richard Lummer (1860-1925) e Ernest Pringsheim (1859-1917), em 1899, com medidas mais
precisas da radiância espectral.
TEORIA DE RAYLEIGH-JEANS PARA A
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
No início de século XX, John William Strutt (1842-1919) e James Hopwood Jeans (1877-1946),
utilizando a teoria clássica para estudar a densidade de energia da radiação de cavidade, ou
( )
de corpo negro, o que resultou em sérias inconsistências com os dados experimentais,
publicaram um artigo propondo uma modificação na lei de Wien.
 SAIBA MAIS
No lugar da dependência com l - 5, eles sugeriram uma dependência com l - 4, de maneira que a
curva se ajustasse aos valores experimentais na região do infravermelho. Essa função, apesar
de descrever bem a região de grandes comprimentos de onda, falhava na região de
comprimentos de ondas pequenos, como a ultravioleta. Como não era sustentada com um
modelo teórico, foi dada pouca atenção a ela.
TEORIA DE PLANCK
Rubens visitou Max Karl Ernest Ludwig Planck (1858-1947) em outubro de 1900, e explicou
seus resultados. Poucas horas depois de Rubens ter deixado a casa de Planck, este imaginou
uma fórmula para a função RT (λ) de Kirchhoff. Essa fórmula desenvolvida empiricamente se
ajustava muito bem a todos os comprimentos de onda, mas Planck não estava satisfeito. Ele
queria desenvolver a fórmula teoricamente.
O problema com que Planck se deparou e que Jeans descreveria detalhadamente mais tarde,
em 1905, em um artigo, estava no que ficou conhecido como a “Catástrofe Ultravioleta”,
conforme imagem:
 
Imagem: Shade / Wikimedia Commons/ CC 3.0, Adaptado por Nilséia A. Barbosa e Lerik
Lopes
 Catástrofe ultravioleta.
A teoria clássica, para o cálculo da distribuição espectral de energias dentro do corpo negro,
descreveria perfeitamente o comportamento para grandes comprimentos de onda. Contudo,
para λ na faixa do ultravioleta, ela divergia profundamente. Esse resultado clássico é descrito
pela função:
RT (L ) = 2ΠC 
KT
L5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DENOMINADA COMO LEI DE RAYLEIGH-JEANS.
 
Ao longo de muitos anos, vários físicos tentaram conciliar o conceito de corpo negro com a
distribuição de energia prevista pela termodinâmica. No entanto, nenhum resultado previsto
pela teoria era compatível com os espectros obtidos experimentalmente com sistemas que
simulavam um corpo negro.
Em 1901, Max Planck, ao reinterpretar a emissão à radiação, na tentativa de solucionar a
inconsistência entre a teoria clássica e a experiência para a radiação de cavidade, teve que
assumir uma hipótese que violava o princípio da equipartição de energia. Planck percebeu que
o resultado experimental seria reproduzido, quando: A energia total média tende a kT (
< ε > = kT), como na teoria clássica, quando a frequência tende a zero, mas tende a zero
quando a frequência tende ao infinito.
 
Foto: Autor Desconhecido / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 Max Planck.
Assim, Planck supôs que a energia média dos modos eletromagnéticos é uma função da
frequência ν, contrariando o princípio da equipartição de energia.
O princípio da equipartição de energia tem sua origem na distribuição de partículas
clássicas de Boltzmann. Em equilíbrio térmico a uma temperatura T, a energia é
compartilhada igualmente entre todas as suas várias formas. Por exemplo, a energia
cinética média por grau de liberdade no movimento translacional de uma molécula deve
ser igual à do movimento rotacional.
Para isso, é necessário primeiro calcular a densidade de modos de uma frequência (número de
modos por unidade de frequência) e depois multiplicar pela densidade de energia média dessa
frequência. A primeira etapa envolve apenas um estudo geométrico da cavidade e não havia o
que alterar. Restava apenas, então, obter o valor para a densidade de energia média por
frequência.
O cálculo clássico da energia média resultava em:
< Ε > = K T 
 
EM QUE
K = 1,380622 X 10 - 23 J .K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse valor para a energia média conduz a um perfeito ajuste com os dados experimentais na
região de grandes comprimentos de onda, isto é, quando a frequência tende a zero. Para a
região em que a frequência cresce, tipicamente no ultravioleta, aparece uma discrepância
enorme, pois, como mostra a imagem da catástrofe ultravioleta, a curva tende a zero quando λ
tende a zero, enquanto o resultado clássico vai a infinito.
A grande contribuição de Planck se deu quando ele observou que, em vez de assumir valores
contínuos, a energia E deveria assumir somente valores discretos (pacotes de energia) e
múltiplos de uma grandeza proporcional à frequência, isto é:
E = NHN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que n = 0, 1, 2, 3,...., ν é a frequência e h uma constante que ficou conhecida como
constante de Planck e cujo valor é, atualmente:
H = 6,626196 X 10 - 34 J .S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao postular a quantização de energia das ondas, Planck conseguiu explicar o espectro
observado experimentalmente e descrevê-lo teoricamente.
 VOCÊ SABIA
Por mais estranha que possa ser, a hipótese de Planck foi confirmada pela própria natureza.
Para Planck, o fato de ter descrito a energia da radiação em forma de pacotes de ( ∆ era
apenas um artificio matemático. Foi uma hipótese revolucionária. Planck recebeu o prêmio
Nobel de Física em 1918 por esse trabalho.
NÃO HAVIA NENHUMA EVIDÊNCIA DIRETA DE
QUE A LUZ ERA COMPOSTA DE QUANTIDADES,
OU QUANTA, DISCRETAS DE ENERGIA. EIS O
NASCIMENTO DA FÍSICA QUÂNTICA.
 
 
Imagem: Pixabay
Em termodinâmica, o princípio do corpo negro é usado para determinar a natureza e a
quantidade de energia emitida por um corpo aquecido. A radiação do corpo negro tem servido
como uma importante fonte de confirmação para a teoria do Big Bang, a qual assegura que o
universo nasceu em uma explosão monumental ocorrida cerca de aproximadamente 13,8
bilhões de anos atrás.
De acordo com a teoria, a explosão deixou uma radiação de fundo cósmica do corpo negro
remanescente que é uniforme em todas as direções e tem uma temperatura equivalente a
somente uns poucos graus kelvin. Essa radiação uniforme, com temperatura de 2,7K, foi
descoberta em 1964 por Arno A. Penzias (1933) e Robert W. Wilson (1936), os quais
receberam o prêmio Nobel de Física em 1978 por seu trabalho.
Dados recentes obtidos pelo satélite COBE (Cosmic Microwave Background Explorer)
(Explorador de Micro-onda Cósmica de Fundo) da NASA, tem revelado pequenas flutuações
na radiação que estão sendo interpretadas como relacionadas às “sementes” de estrelas e
galáxias.
POSTULADOS DE DE BROGLIE
Em sua tese de doutorado, apresentada em 1924 à Faculdade de Ciências da Universidade de
Paris, Louis Victor Pierre Raymond, 7º duque de Broglie, postulou a existência da onda de
matéria. De Broglie propôs que os elétrons também se comportariam como ondas. Seu
argumento foi: já que a luz se comporta ora como onda, ora como matéria, por que a
matéria não poderia fazer o mesmo?
Baseado na teoria dos quanta de energia, proposta por Planck e Einstein, o trabalho de De
Broglie constituiu uma das principais bases da mecânica quântica. Cinco anos mais tarde, De
Broglie recebeu o prêmio Nobel de Física, quando suas ideias foram definitivamente
comprovadas por experiências. Foi a ideia da onda de matéria de De Broglie que inspirou
Erwin Schrödinger a propor a sua teoria quântica moderna.
Para De Broglie, a dualidade onda-partícula da radiação também deveria ocorrer com a
matéria. Para isso, ele considerou a questão mais simples possível, isto é, um corpúsculo em
movimento retilíneo e uniforme, com energia e momento conhecidos.
De acordo com essa hipótese, a energia E = hn e o comprimento de onda λ, associado ao
momento linear de módulo p, pode ser descrito por:
P= HL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É conhecida como equação de De Broglie e prevê um comprimento de onda de De Broglie
para uma partícula em movimento com momento linear de módulo p.
A quantização do momento angular no átomo, proposta empiricamente por Bohr, pode ser
obtida diretamente do postulado de De Broglie. Como o elétron no átomo deve mover-se em
órbitas discretas e fechadas, de acordo com o postulado de Bohr, então, uma órbita de raio r
deve conter um número inteiro n de onda de De Broglie do elétron, como mostra a imagem ao
lado.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa e Lerik Lopes
 Estado estacionário em uma orbita de Bohr.
De acordo com essa ideia, a razão entre o perímetro da orbita 2πr e o comprimento de onda λ
de De Broglie, resulta em um número inteiro n dado por:
N = 2ΠRL= 2ΠRH/P=2ΠH L 
OU 
LN=Nℏ,N=1,2,3,... 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EM QUE L=RP É O MOMENTO ANGULAR
CLÁSSICO DO ELÉTRON E ℏ=H2Π.
 
Sabe-se que, no caso da luz, o limite de utilização da óptica geométrica ocorre para
comprimentos de onda (λ) muito menores do que a dimensão da abertura, ou obstáculos.
Assim, no domínio da óptica geométrica, a luz se comporta como raios geométricos,
similarmente ao caso das trajetórias das partículas clássicas macroscópicas.
Entretanto, quando o comprimento de onda (λ) é muito maior do que a dimensão de abertura, o
ângulo de difração torna-se importante, a natureza ondulatória da luz se evidencia e o
fenômeno deve ser descrito pela óptica ondulatória.
PARA SE OBSERVAR A NATUREZAONDULATÓRIA DA MATÉRIA SÃO
NECESSÁRIAS ABERTURAS, OU OBSTÁCULOS,
CONVENIENTEMENTE PEQUENAS.
 
Na época de De Broglie, os sistemas mais apropriados para esse fim eram os espaçamentos
entre planos adjacentes de um cristal, de aproximadamente 1A° (Angstron = 10-10 metros).
Atualmente, tem-se acesso a sistemas que envolvem dimensões nucleares cujas dimensões
de abertura são de aproximadamente 10-4A°. Ao considerar o comprimento de De Broglie, vê-
se que não se pode esperar a detecção de qualquer evidência de movimento ondulatório no
movimento da bola de boliche, em que o ângulo de difração é (θ) ≈ 10-25A° , para uma abertura
de aproximadamente 1A°.
Em 1927, Clinton Joseph Davisson (1881-1958) e Lester Halbert Germer (1896-1971),
demonstraram, experimentalmente, pela primeira vez, a difração de elétrons através de
cristais. Essa experiência, por incrível que pareça, comprovou a hipótese da natureza
ondulatória do elétron. A experiência de Davison e Germer, como é chamada, é mostrada nas
imagens a seguir.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa adaptada por Lerik Lopes
Experimento de Davisson e Germer.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa adaptada por Lerik Lopes
Experimento de Davisson e Germer.
No experimento, um feixe de elétrons de baixa energia é produzido em um filamento aquecido
e acelerado por uma diferença de potencial V. O feixe eletrônico incide normalmente sobre a
superfície de um cristal de Níquel. Um detector é colocado a um ângulo ϕ em relação ao feixe
incidente para medir a intensidade do feixe espalhado.
Na experiência, espera-se encontrar regiões de máximos e mínimos de intensidade,
resultantes das interferências construtiva e destrutiva nos planos cristalinos do cristal de
Níquel. Exatamente como ocorre com o espalhamento de raios X nos cristais, para incidência
normal, a condição de interferência construtiva, ou na linguagem cristalográfica “a condição de
Bragg”, fornece:
L = 2DSIN Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A experiência mostra que existe uma intensidade máxima para b=50° ou α = 65°, obtidas da
experiência, encontra-se o comprimento de onda do feixe espalhado como:
L = 2DSIN Θ =2 X 0,91 X SIN 65° = 1,65A°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por outro lado, o comprimento de onda de De Broglie para elétrons de energia cinética K = 54
eV = 86,4 x 10-19 J: será:
L= HP = H2MK = 1,66 A°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A concordância entre os resultados confirma quantitativamente a hipótese da onda de matéria
de De Broglie.
Ainda em 1927, George Paget Thomson, filho de J. J. Thomson, mostrou a difração de feixes
de elétrons ao passar através de películas cristalinas, confirmando, de forma independente, o
postulado de De Broglie.
 
Imagem: Fundação Nobel / Wikimedia Commons / Domínio Público.
 George Paget Thomson.
EXPERIMENTO DE GEORGE P. THOMSON SOBRE A
DIFRAÇÃO DOS ELÉTRONS EM CRISTAIS DE OURO.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa
A imagem mostra uma ilustração de difração do espalhamento de elétrons numa película de
cristal de ouro. O resultado é similar ao espalhamento de raios X em cristais, em que o
fenômeno da difração aparece por causa de aberturas circulares no interior do filme cristalino.
É interessante mencionar que Joseph John Thomson recebeu o prêmio Nobel de Física, em
1906, pela medida da razão carga/massa do elétron, enquanto seu filho, George Paget
Thomson, recebeu o prêmio Nobel de Física, em 1937, por experimentos de difração com
elétrons, realizados em 1927.
 SAIBA MAIS
Pode-se dizer que Thomson, o pai, recebeu o prêmio Nobel por ter mostrado que o elétron é
uma partícula, e Thomson, o filho, recebeu o prêmio Nobel por ter mostrado que o elétron é
uma onda.
INTERPRETAÇÃO PROBABILÍSTICA DA
DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA
Sabe-se, agora, que a dualidade onda-partícula se aplica tanto à radiação quanto à matéria.
Em alguns casos, é necessário recorrer ao modelo corpuscular e, em outros, ao modelo
ondulatório. Entretanto, é importante mencionar que os dois aspectos não se revelam
simultaneamente em um mesmo experimento.
Quando a radiação, ou matéria, é detectada por interação, de modo a ser localizada, ela se
comporta como partícula. Por outro lado, quando ela se move no espaço livre, de modo a ser
deslocalizada, comporta-se como uma onda, e fenômenos de difração são observados.
Nils Bohr resumiu a questão em seu princípio da complementaridade: “O modelo corpuscular e
o ondulatório são complementares e não contraditórios”: a experiência que comprova o
caráter ondulatório da radiação é incapaz de comprovar o caráter corpuscular e vice-versa.
Para identificar o caráter ondulatório e corpuscular em um só experimento, é necessário
incorporar uma interpretação probabilística à dualidade onda-partícula.
A interpretação probabilística da dualidade onda-partícula, para o caso da radiação, foi
proposta por Albert Einstein. Em seguida, Max Born usou argumentos similares para o caso da
matéria. No modelo ondulatório, a intensidade (I) da radiação é proporcional ao quadrado do
módulo do campo elétrico (E), isto é:
I≈ E→2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No modelo corpuscular, ou de fótons, a intensidade da radiação é dada em função da
frequência (ν), isto é:
I≈ N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, nas diferentes interpretações, ondulatória e corpuscular, para a intensidade da radiação,
espera-se que, nas regiões em que o campo elétrico é mais intenso, a concentração de fótons
seja maior.
O próprio conceito de fóton, proposto por Einstein para descrever a radiação eletromagnética,
implica uma interpretação probabilística para a intensidade luminosa. Tal fato pode ser
observado na experiência de interferência de dupla fenda de Young, mostrada a seguir.
EXPERIMENTO DE DUPLA FENDA DE YOUNG
 
 
Imagem: Lacatosias, Stannered, Epzcaw/ Wikimedia Commons / CC 3.0
 
Imagem: Stannered, Epzcaw, Stigmatella aurantiaca /Wikimedia Commons / CC 3.0 unported
O padrão de interferência observado no anteparo é resultante da interferência entre as ondas
provenientes das duas fendas. No ponto P1, onde a interferência é destrutiva, o campo elétrico
resultante é nulo e nenhum fóton é observado. No ponto P2, onde a interferência é construtiva,
o campo elétrico resultante é máximo e muitos fótons são observados.
Se a intensidade da luz nas fendas for reduzida, observa-se ainda o padrão de interferência,
desde que se substitua o anteparo por um filme fotográfico e espere-se um tempo
suficientemente longo para sensibilizá-lo.
A interação da luz com o filme fotográfico é um fenômeno quântico. Se o filme é exposto
durante um curto intervalo de tempo, com uma fonte de luz de baixa intensidade, não se
observa somente uma versão menos intensa da figura de interferência obtida com luz intensa,
mas também “pontos” resultantes das interações dos fótons com os cristalitos do filme,
como mostrarão as imagens, em seguida. 
Nas regiões onde as ondas interferem destrutivamente, não aparecem quaisquer pontos,
ou seja, existe uma probabilidade nula de que fótons atinjam essas regiões.
Nas regiões onde a interferência é construtiva, aparecem vários pontos, indicando que é
grande a probabilidade de que os fótons ali cheguem.
À medida que a intensidade ou o tempo de exposição aumentam, as flutuações se
uniformizam e não se observa mais a natureza da luz.
FIGURAS DE INTERFERÊNCIA PARA
DIFERENTES INTENSIDADES, OU NÚMERO DE
FÓTONS, DA LUZ QUE INCIDE NA DUPLA
FENDA DE YOUNG
 
 
Imagem: Dr. Tonomura e Belsazar / Wikimedia Commons / CC 3.0, Adaptado por Nilséia A.
Barbosa e Lerik Lopes
 
Imagem: Dr. Tonomura e Belsazar / Wikimedia Commons / CC 3.0, Adaptado por Nilséia A.
Barbosa e Lerik Lopes
 
Imagem: Dr. Tonomura e Belsazar / Wikimedia Commons / CC 3.0, Adaptado por Nilséia A.
Barbosa e Lerik LopesImagem: Dr. Tonomura e Belsazar / Wikimedia Commons / CC 3.0, Adaptado por Nilséia A.
Barbosa e Lerik Lopes
 
Imagem: Dr. Tonomura e Belsazar / Wikimedia Commons / CC 3.0, Adaptado por Nilséia A.
Barbosa e Lerik Lopes
Como o quadrado do módulo do campo elétrico (E→2) é proporcional à quantidade de fótons
em uma determinada área por tempo, pode-se concluir que E→2 é proporcional à
probabilidade P de um fóton atingir um determinado ponto do filme.
Nos pontos onde E→2 é nulo, não se observa fótons no filme ou no anteparo, enquanto nos
pontos onde o E→2 é grande, será maior a probabilidade de se observar os fótons.
Baseado nas conclusões de Einstein para a radiação, Max Born propôs uma interpretação
probabilística da dualidade onda-partícula para a matéria.
Na teoria ondulatória da matéria, o movimento da partícula é descrito por uma função de onda
(ψ), com dependência espacial e temporal (r ⃗, t). Do mesmo modo que o campo elétrico
(E →(r→, t)) é uma solução da equação de onda para a radiação eletromagnética, a função de
onda (ψ) deve ser solução de uma equação de onda apropriada. Tal equação foi obtida por
Erwin Schrödinger.
 SAIBA MAIS
A unificação da dualidade onda-partícula por Born surgiu alguns anos após Schrödinger propor
o formalismo geral da mecânica quântica, baseada no postulado de De Broglie. A grande
contribuição de Born se deve pela interpretação da função de onda.
A NATUREZA CORPUSCULAR DA
RADIAÇÃO
Agora, com o auxílio da especialista Nilséia A. Barbosa, saiba um pouco mais a respeito da
interpretação corpuscular sobre a natureza da luz e o nascimento da mecânica quântica.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ATÉ A SUA VISÃO CONTEMPORÂNEA, A NATUREZA DA LUZ FOI
FRUTO DE MUITAS INDAGAÇÕES, PESQUISAS ROBUSTAS E
DISCUSSÕES, POR DIVERSOS PERSONAGENS LENDÁRIOS E
CIENTISTAS BRILHANTES, AO LONGO DE APROXIMADAMENTE 150
ANOS. FORAM MUITAS AS DIVERGÊNCIAS ENCONTRADAS NAS OBRAS
DESSES CIENTISTAS. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA
CORRETAMENTE A VISÃO CONTEMPORÂNEA SOBRE A NATUREZA DA
LUZ.
A) Isaac Newton, por volta de 1672, propõe a teoria corpuscular da luz, que explica
corretamente os fenômenos de reflexão e refração, porém, tem dificuldades em explicar os
fenômenos de difração e polarização. Isso prova definitivamente que a luz tem natureza
corpuscular.
B) Em 1900, Max Planck propõe que a luz (visível ou não) tem sua energia distribuída em
“pacotes” (quantum de energia) para explicar a irradiação de um corpo negro. No início do
século XX, Albert Einstein utiliza o conceito de quantum para explicar o efeito fotoelétrico,
demonstrando que a natureza da luz é muito mais complexa do que se imaginava e que não é
possível dissociar a característica ondulatória da característica corpuscular da luz. A luz, bem
como todas as ondas eletromagnéticas, apresenta um comportamento dual (partícula-onda).
C) Christiaan Huygens, em 1678, propõe a natureza ondulatória da luz, que explica
corretamente os fenômenos de reflexão e refração da luz bem como os fenômenos de difração
e polarização, tipicamente ondulatórios. Isso prova definitivamente que a luz tem natureza
ondulatória.
D) d) Thomas Young, em 1801, mostrou que a luz apresenta um padrão de interferência ao
passar por uma fenda dupla. Essa característica é totalmente ondulatória, o que prova,
inquestionavelmente, que a luz é uma onda, sepultando, de uma vez por todas, qualquer
possibilidade de a luz apresentar natureza corpuscular, desde aquela época até hoje.
E) James Clerk Maxwell, em 1873, publicou a teoria das ondas eletromagnéticas e, em 1887,
Heinrich Rudolf Hertz conduziu um experimento que confirmou sua existência. Esses
resultados, tanto teórica quanto experimentalmente, encerraram a discussão e, desde o final do
século XIX, a luz foi, sem dúvida, aceita como tendo natureza ondulatória, conceito que
permanece inabalável até hoje.
2. AO FINAL DO SÉCULO XIX, CIENTISTAS DESCOBRIRAM FENÔMENOS
QUE A FÍSICA CLÁSSICA NÃO CONSEGUIA EXPLICAR. A INQUIETAÇÃO
EM RESOLVER AS INCONSISTÊNCIAS ENTRE OS FENÔMENOS
OBSERVADOS E A TEORIA CLÁSSICA LEVOU OS CIENTISTAS A
BUSCAR NOVAS TEORIAS, PROPORCIONANDO GRANDES
REVOLUÇÕES NA FÍSICA, QUE CRIARAM UMA MUDANÇA DE
PARADIGMA, COMO O SURGIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA. 
 
NESSE CONTEXTO, ANALISE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR: 
 
I- O RESULTADO QUE FICOU CONHECIDO COMO “CATÁSTROFE
ULTRAVIOLETA” REFERE-SE À LEI DE RAYLEIGH-JEANS, QUE
CONCORDAVA COM O ESPECTRO DE EMISSÃO DE RADIAÇÃO DE
CORPO NEGRO PARA PEQUENOS COMPRIMENTOS DE ONDA,
ENQUANTO FALHAVA NA REGIÃO DE COMPRIMENTOS DE ONDAS
MAIORES. 
 
II- O PROBLEMA CONHECIDO COMO “CATÁSTROFE ULTRAVIOLETA”
FOI SOLUCIONADO PELO FÍSICO TEÓRICO MAX PLANCK POR MEIO DE
SEU POSTULADO DE QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA: “UM OSCILADOR DE
FREQUÊNCIA Ν SÓ PODERIA EMITIR OU ABSORVER ENERGIA EM
MÚLTIPLOS INTEIROS DE UM QUANTUM DE ENERGIA”. 
 
III- NA TEORIA DE PLANCK, A QUANTIDADE MÍNIMA DE ENERGIA
EMITIDA, CHAMADA DE QUANTUM, É DADA POR HΝ, EM QUE Ν É A
FREQUÊNCIA DE RADIAÇÃO E H É UMA NOVA CONSTANTE UNIVERSAL,
A CONSTANTE DE PLANCK. 
 
IV- OS “PACOTES DE ENERGIA” PODEM ASSUMIR VALORES DADOS
POR E = NHΝ, EM QUE Ν É A FREQUÊNCIA DE RADIAÇÃO, H É A
CONSTANTE DE PLANCK E N É UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO PAR
(0,2,4,6,...). 
 
A) Apenas a alternativa I está correta.
B) As alternativas I e II estão corretas.
C) As alternativas II e III estão corretas.
D) Todas as alternativas estão corretas.
E) As alternativas I e IV estão corretas.
GABARITO
1. Até a sua visão contemporânea, a natureza da luz foi fruto de muitas indagações,
pesquisas robustas e discussões, por diversos personagens lendários e cientistas
brilhantes, ao longo de aproximadamente 150 anos. Foram muitas as divergências
encontradas nas obras desses cientistas. Assinale a alternativa que apresenta
corretamente a visão contemporânea sobre a natureza da luz.
A alternativa "B " está correta.
 
Todas as opções, exceto b), trazem conceitos corretos, porém, restringem a natureza da luz
apenas de uma forma, ou seja, apresentam natureza ondulatória ou corpuscular. A luz tem
natureza dual (dualidade onda-partícula), pode se comportar como onda ou como partícula.
2. Ao final do século XIX, cientistas descobriram fenômenos que a Física Clássica não
conseguia explicar. A inquietação em resolver as inconsistências entre os fenômenos
observados e a teoria clássica levou os cientistas a buscar novas teorias,
proporcionando grandes revoluções na Física, que criaram uma mudança de paradigma,
como o surgimento da mecânica quântica. 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I- O resultado que ficou conhecido como “catástrofe ultravioleta” refere-se à lei de
Rayleigh-Jeans, que concordava com o espectro de emissão de radiação de corpo negro
para pequenos comprimentos de onda, enquanto falhava na região de comprimentos de
ondas maiores. 
 
II- O problema conhecido como “catástrofe ultravioleta” foi solucionado pelo físico
teórico Max Planck por meio de seu postulado de quantização de energia: “Um oscilador
de frequência ν só poderia emitir ou absorver energia em múltiplos inteiros de um
quantum de energia”. 
 
III- Na teoria de Planck, a quantidade mínima de energia emitida, chamada de quantum, é
dada por hν, em que ν é a frequência de radiação e h é uma nova constante universal, a
constante de Planck. 
 
IV- Os “pacotes de energia” podem assumir valores dados por E = nhν, em que ν é a
frequência de radiação, h é a constante de Planck e n é um número inteiro positivo par
(0,2,4,6,...). 
 
A alternativa "C " está correta.
 
As alternativas I e IV estão incorretas. I: A lei de Rayleigh-Jeans descreveria perfeitamente o
comportamento para grandes comprimentos de onda. Contudo, para na faixa do ultravioleta,
ela divergia profundamente. IV: n é um número inteiro (0, 1,2,3,...).
MÓDULO 3
 Reconhecer a produção dos raios X e a importância de suas aplicações em diversas
áreas.
RAIOS X
 
Imagem: Lerik Lopes
Desde 1850, pesquisa com descargas elétricas por meiode gases rarefeitos era um tópico
concorrido. Tubos de raios catódicos, também conhecidos como “tubo de descarga em gases”
(como os desenvolvidos por Geissler, na Alemanha, e por Crookes, na Inglaterra), eram
equipamentos presentes em muitos laboratórios de Física em universidades da Europa.
 
Imagem: Lerik Lopes
O laboratório de Wilhelm Conrad Röentgen também incluía alguns desses tubos para
pesquisas, e foi trabalhando com um desses tubos, que, em 8 de novembro de 1895, Röentgen
anunciaria a descoberta de “um novo tipo de raio”. E tudo mudaria.
 
Imagem: Lerik Lopes
Escurecendo o laboratório e usando um tubo de raios catódicos submetido a uma alta tensão
produzida por uma bobina de Ruhmkorff, Röentgen notou, a 2m do tubo, que um cartão com
sal de bário apresentava fluorescência. Ele envolveu o tubo com um cartão preto, ligou e
desligou a alta tensão, mas a fluorescência continuou.
 
Imagem: Shutterstock.com
BOBINA DE RUHMKORFF.

 
Imagem: Shutterstock.com
BOBINA DE RUHMKORFF.
Röentgen ficou tão intrigado com o fenômeno que passou as setes semanas seguintes
trabalhando sozinho no laboratório, investigando as características do fenômeno e o poder de
penetração daqueles raios para confirmar que aqueles eram, de fato, raios “novos”.
Pesquisando, verificou que a nova radiação provinha do ponto em que os raios catódicos
atingiam a parede de vidro do tubo, e tinha uma notável capacidade de atravessar diferentes
materiais, sendo mais ou menos absorvida conforme a densidade e o peso atômico do meio
penetrado.
Em 22 de dezembro de 1895, Röentgen chamou sua esposa Anna Bertha para falar de sua
descoberta e a convenceu a radiografar sua mão. Para isso, ela deveria manter a mão estática
entre o tubo e a placa fotográfica durante 15 minutos de exposição. Hoje, as radiografias são
produzidas em fração de segundo.
 
Imagem: Wellcome Images / Wikimedia Commons / CC 4.0.
 Primeiras radiografias tiradas por Röentgen.
Após o Natal, Röentgen terminou de escrever um artigo científico sobre sua descoberta,
batizando-a de Raios X, e o enviou para ser publicado em um jornal científico de Würtzburg. O
artigo, contendo as primeiras radiografias produzidas, incluindo a da mão de sua esposa, foi
publicado em 28 de dezembro de 1895.
No início do ano seguinte, Röentgen enviou cópias do artigo a alguns cientistas renomados. O
físico Franz Exner, em um jantar informal, exibiu o artigo e todos os presentes ficaram
perplexos com as radiografias. Um jornalista austríaco presente enviou as imagens para o
jornal, que, no dia 5 de janeiro de 1896, publicou a notícia, na primeira página: A nova forma
fantástica de ver o interior do corpo sem necessitar cortá-lo.
No dia seguinte, a notícia seria publicada na Inglaterra, no London Cronicle e, em 23 de
janeiro, na revista Nature; logo após, na Science, nos EUA. Um ano após a descoberta, 49
livros e mais de mil artigos científicos tinham sido escritos sobre o assunto.
Nesse período, Röentgen descobriu várias outras propriedades dos raios X:
Há corpos mais ou menos opacos aos raios X (por isso, as imagens radiográficas em
diferentes tons de cinza);
Não são desviados por campos elétricos ou magnéticos;
Propagam-se em linha reta;
Têm um alto poder de penetração;
Produzem fluorescência em muitas substâncias: fósforo, compostos de cálcio, vidro de
urânio, sal-rocha;
Filmes fotográficos são escurecidos pelos raios X;
Descarregam eletroscópios carregados.
 VOCÊ SABIA
Röentgen, mesmo sem identificar a natureza dos raios X, recebeu vários prêmios, incluindo o
prêmio Nobel de Física, em 1901.
PRODUÇÃO DE RAIOS X
Os raios X são radiações eletromagnéticas de comprimento de onda menor do que um
angstrom (1A°=10-10m ) e com frequência acima de 1016Hz. Eles podem ser produzidos
quando um feixe de elétrons de alta energia é acelerado por um campo elétrico intenso e colide
com um alvo de átomos pesados. A imagem mostra o esquema básico de um equipamento de
raios X.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa.
 Produção de raios X.
 
Imagem: Lerik Lopes
O tubo de vidro é evacuado até uma pressão de ar de cerca de 100Pa; lembre-se de que a
pressão atmosférica é de 106Pa. O ânodo é um alvo metálico espesso, feito para dissipar
rapidamente a energia térmica que resulta do bombardeio com os raios catódicos.
 
Imagem: Lerik Lopes
Uma alta tensão, entre 30 a 150kV, é aplicada entre os eletrodos, induzindo uma ionização do
ar residual e, portanto, um feixe de elétrons do cátodo para o ânodo se inicia. Quando esses
elétrons atingem o alvo, eles são desacelerados, produzindo os raios X.
 
Imagem: Lerik Lopes
O campo elétrico é obtido aplicando-se uma alta voltagem entre os terminais do tubo de raios
X, em que o alvo metálico (anodo) é polarizado positivamente, e o filamento (catodo),
negativamente. Quanto maior a tensão aplicada ao tubo, maior será a energia dos raios X
gerados e maior também o seu poder de penetração. Aumentando-se a corrente, aumenta-se a
intensidade do feixe.
 
Imagem: Lerik Lopes
Diferentemente da radiação gama e das radiações corpusculares (alfa, beta, nêutrons etc.),
que são geradas nos núcleos atômicos e que podem ser obtidas naturalmente por decaimento
radioativo de radionuclídeos, os raios X são provenientes da camada eletrônica dos átomos e
são, em geral, obtidos por meio de tubos que promovem a produção da radiação X.
ESPECTRO CONTÍNUO DOS RAIOS X
(FRENAMENTO)
Quando os elétrons acelerados (raios catódicos) atingem o alvo de metal, eles colidem com
elétrons no alvo. Em tal colisão, parte do momento do elétron incidente é transferido para o
átomo do material alvo, perdendo parte de sua energia cinética, K; eles mudam de direção e
alguns emitem a diferença de energia sob a forma de ondas eletromagnéticas, os raios X.
De acordo com a teoria eletromagnética clássica, a desaceleração dos elétrons causaria
emissão de um espectro contínuo de radiação, desde comprimentos de onda zero até infinito.
Entretanto, o espectro de raios X, para o caso de um alvo de tungstênio, para diferentes
voltagens de aceleração, não está totalmente de acordo com a previsão clássica. A
característica mais importante observada nos espectros é que, para uma dada energia dos
elétrons, existe um comprimento de onda mínimo lmín muito bem definido.
A intensidade varia suavemente com o comprimento de onda. A intensidade atinge um valor
máximo conforme o comprimento de onda aumenta, então, cai em comprimentos de onda
maiores. Para qualquer material, existe um comprimento de onda mínimo lmín que dependerá
somente da diferença de potencial V. Quanto maior a diferença de potencial, menor o valor do
comprimento de onda mínimo.
Esse é o fato que a teoria eletromagnética clássica não pode explicar, pois, de acordo com
essa teoria, o espectro emitido deveria ser contínuo, não havendo razão para a existência de
um limiar de comprimento de onda. Se, entretanto, o modelo de fótons for adotado para os
raios X, então, o fenômeno terá uma explicação satisfatória, como se verifica na sequência.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa e Lerik Lopes
 Espectros contínuos de raios X para um alvo de Tungstênio.
Um elétron de energia cinética K é desacelerado na interação com o núcleo pesado do átomo.
A energia perdida pelo elétron nesse processo é convertida em um fóton de raios X, como .
Esse processo é conhecido como bremsstrahlung. Do alemão bremss, que significa frenagem,
e strahlung, que significa radiação, radiação de freamento.
Se a energia cinética do elétron após a desaceleração é K’, então, a energia do fóton gerado
será:
EQUAÇÃO 1
HN = K - K'
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou, em termos de comprimento de onda,
EQUAÇÃO 2
HCL=K-K'
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de chegar ao repouso, o elétron experimenta vários processos bremsstrahlung. As
consequentes perdas de energia cinética resultam no espectro contínuo, observadoanteriormente. O fóton de menor comprimento de onda, lmín, é emitido quando um elétron
perde toda a sua energia cinética (K’ = 0) em um único processo de bremsstrahlung. Nesse
caso, a equação torna-se:
EQUAÇÃO 3
LMÍN =HCK 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou, assumindo:
EQUAÇÃO 4
K=EV,LMIN=HCEV 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o limite mínimo dos comprimentos de onda corresponde a uma conversão completa da
energia dos elétrons em fótons de raios X. A equação 4 mostra, explicitamente, que lmín ~0 ,
que é a previsão clássica. Entretanto, é o fato de h ser diferente de zero que confere a lmín
uma manifestação da quantização de energia radiante.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa.
 Processos de Bremsstrahlung para produção de raios X.
RAIOS X CARACTERÍSTICOS
Por causa da grande tensão de aceleração, os elétrons incidentes podem:
Excitar elétrons nos átomos do alvo.
Ejetar elétrons fortemente ligados aos núcleos atômicos.
O desenvolvimento do modelo de Bohr permitiu o entendimento e a quantificação dos níveis
energéticos das diversas camadas eletrônicas, agrupadas em orbitais K, L, M etc., e
caracterizadas pelo Número Quântico principal, 𝑛.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa.
Raios X característico a partir do modelo de Bohr.
Quando o elétron proveniente do catodo incide no anodo, ele pode expulsar um elétron orbital.
A órbita de onde o elétron será expulso depende da energia do elétron incidente e dos níveis
de energia do átomo do anodo. A lacuna deixada por esse elétron será preenchida por um
elétron mais externo. Nesse processo, a radiação X característica será emitida, conforme
indicado na imagem ao lado:
 
Imagem: OpenStax. (2020, November 5). Atomic Spectra and X-rays. Retrieved March 11,
2021, CC 4.0
Transições dos raios X.
Os raios X característicos são emitidos a partir dos saltos quânticos feitos pelos elétrons dos
subníveis de energia durante as transições eletrônicas entre os níveis de energia (camadas).
Se os elétrons da camada K (n = 1) forem removidos, os elétrons dos estados de energia mais
elevados irão preencher os estados da camada K que ficaram vazias, produzindo uma série de
linhas denotadas como Kα,Kβ,... como mostrado na imagem.
 ATENÇÃO
As transições para a camada L resultam na série L e aquelas para a camada M dão origem à
série M, e assim por diante. Como os elétrons orbitais têm níveis de energia definidos, os
fótons de raios X emitidos também têm energias bem definidas. O espectro de emissão possui
linhas nítidas características do elemento alvo. Nem todas as transições são permitidas;
apenas transições que cumprem as seguintes regras de seleção são permitidas: ∆l=± 1.
DIFRAÇÃO DE RAIOS X E LEI DE BRAGG
Em 8 de junho de 1912, Max von Laue anunciou sua descoberta da difração de raios X
em cristais como rede de difração tridimensional.
 
Imagem: Bundesarchiv, Bild 183-U0205-502 / Wikimedia Commons / CC-BY-SA 3.0.
 Max von Laue.
O rápido desenvolvimento da Física na Europa do pré-guerra forneceu o pano de fundo
necessário para essa descoberta que, por sua vez, resolveu o problema da natureza dos raios
X e do tamanho dos átomos. Dois pesquisadores ingleses, Willian Henry Bragg e William
Lawrence Bragg, pai e filho, demonstraram a relação que passou a ser conhecida como lei de
Bragg, fundamental para o estudo de estruturas cristalinas com o uso da difração de raios X.
Os cristais são arranjos regulares de átomos e os raios X podem ser considerados ondas de
radiação eletromagnética. Os átomos espalham ondas de raios X, principalmente através dos
elétrons dos átomos. Assim como uma onda do oceano atingindo um farol produz ondas
circulares secundárias que emanam do farol, um fóton de raios X atingindo um elétron produz
ondas esféricas secundárias emanando do elétron.
Esse fenômeno é conhecido como espalhamento elástico e o elétron (ou farol) é conhecido
como espalhador. Uma matriz regular de dispersores produz uma matriz regular de ondas
esféricas. Embora essas ondas se cancelem na maioria das direções, por meio de interferência
destrutiva, elas se somam de forma construtiva em algumas direções específicas,
determinadas pela lei de Bragg.
Um plano de átomos em um cristal, também chamado de plano de Bragg, reflete os raios X,
exatamente da mesma maneira que a luz é refletida de um espelho plano, como mostrado a
seguir:
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa
 Reflexão de raios X a partir de um plano de Bragg.
A reflexão de planos sucessivos pode interferir construtivamente se a diferença de caminho
entre dois raios for igual a um número inteiro de comprimentos de onda.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa
 Difração de Raios X para planos atômicos.
A distância AB— = 2dsinθ, de modo que, pela lei de Bragg, temos:
2D SINΘ = NΛ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, na prática, é normal assumir difração de primeira ordem, de modo que n = 1.
Um determinado conjunto de planos atômicos dá origem a uma reflexão em um ângulo, vista
como um ponto ou um anel em um padrão de difração, também chamado de difratograma.
TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
As técnicas convencionais de difração usam amostras policristalinas compostas de muitas
partículas finas, orientadas aleatoriamente e expostas à radiação de raios X monocromática.
Cada partícula pulverizada é um cristal, e a presença de muitos cristais orientados
aleatoriamente garante que a orientação de algumas partículas esteja correta, de modo que
todos os planos cristalográficos possíveis possam ser usados para difração.
Um difratômetro é um dispositivo usado para determinar o ângulo no qual a difração ocorre em
uma amostra pulverizada.
 
Imagem: Nilséia A. Barbosa.
 Diagrama esquemático de um difratômetro de raios X.
A plataforma e a amostra estão acopladas mecanicamente, tais que uma rotação da amostra
por um ângulo θ é acompanhada de uma rotação de 2θ do contador. Isso assegura que os
ângulos incidente e de reflexão sejam mantidos iguais. Colimadores são incorporados na
trajetória do feixe para produzir um feixe focado e bem definido.
 
Imagem: RaidoEnn /Wikimedia Commons /CC 4.0
 Difratograma para uma amostra pulverizada de TiO2.
À medida que o contador se move a uma velocidade angular constante, um registrador traça,
automaticamente, a intensidade do feixe difratado (monitorada pelo contador) em função de 2θ;
2θ é chamado de ângulo de difração e é medido experimentalmente.
A imagem anterior mostra um padrão de difração para uma amostra pulverizada de dióxido de
titânio (TiO2). Os picos de alta intensidade ocorrem quando a condição de difração de Bragg é
satisfeita por algum conjunto de planos cristalográficos.
Um dos principais empregos da difratometria de raios X é a determinação da estrutura
cristalina. O tamanho e a geometria da célula unitária podem ser obtidos a partir das posições
angulares dos picos de difração, enquanto o arranjo dos átomos no interior da célula unitária
está associado às intensidades relativas desses picos.
Os raios X, bem como os feixes de elétrons e de nêutrons, também são usados em outros tipos
de investigações dos materiais. Por exemplo, é possível determinar as orientações
cristalográficas de monocristais usando fotografias de difração de raios X.
Outros usos para os raios X incluem identificações químicas qualitativas e quantitativas,
além da determinação de tensões residuais e de tamanhos de cristais.
PRODUÇÃO E APLICAÇÕES DOS RAIOS X
Para concluir o módulo, a especialista Nilséia esclarecerá mais alguns pontos a respeito do
tubo de raios X e suas diversas aplicações.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. COM RELAÇÃO AOS TUBOS DE RAIOS X, TODOS OS ITENS A SEGUIR
SÃO VERDADEIROS, EXCETO:
A) O cátodo emite elétrons por emissão termiônica.
B) Os elétrons viajam do ânodo para o cátodo.
C) kV é a tensão aplicada entre o ânodo e o cátodo.
D) Quando os elétrons atingem o alvo,