RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS

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MUDE SUA VIDA! 
1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.1 – O QUE É UMA PROPOSIÇÃO? ....................................................................................................... 2 
1.2 – SENTENÇAS ABERTAS E PARADOXOS ........................................................................................... 3 
1.3 – PRINCÍPIOS .................................................................................................................................. 3 
1.4 – NEGAÇÃO .................................................................................................................................... 4 
1.5 - DUPLA NEGAÇÃO ......................................................................................................................... 5 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.1 – O QUE É UMA PROPOSIÇÃO? 
Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser classificada como ou 
verdadeira ou falsa. 
 
 ORAÇÃO: é toda estrutura formada com a presença obrigatória de um verbo. 
 
 Este aluno esforçado. Não é proposição (Frase nominal) 
 
 Esse aluno é esforçado. 
 
 ORAÇÃO DECLARATIVA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não são declarativas 
 (Não são proposições) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PODE SER CLASSIFICADA COMO VERDADEIRA OU FALSA. 
 
- Ele está estudando muito. Quem é ele? 
 
- x + 1 > 0. 
 
- x + y é ímpar. 
 
 
 
Interrogativas 
Que dia e hoje? 
Voce s fizeram a prova? 
 
Imperativas 
Na o estude ate tarde. 
Faça logo esse trabalho. 
 
Exclamativa 
Que calor! 
Quem dera que voce fosse eterna! 
 
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1.2 – SENTENÇAS ABERTAS E PARADOXOS 
 
 Eu falo sempre mentiras. Paradoxos 
 
 
 
- Ele está estudando muito. Sentença aberta 
 
 João está sabendo a matéria? 
 
 Ele está estudando muito. É proposição 
 
 
- x + 1 > 0 Sentença aberta 
 
 x ∈ N 
 
 x + 1 > 0 É proposição 
 
 
- x + y é ímpar Sentença aberta 
 
 x = 2n e y = 2m + 1, n e m ∈ N 
 
 x + y é ímpar É proposição 
 
 
 
 1.3 – PRINCÍPIOS 
 
 Princípio da Identidade: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma 
proposição falsa é falsa. 
 
 Princípio da Não-Contradição: nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa 
ao mesmo tempo. 
 
 Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição ou será verdadeira ou será falsa: 
não há outra possibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 – NEGAÇÃO 
Representação: ~(todas as bancas) ou ¬ (Cespe). 
 
A inversão do valor lógico: 
 
 
p ~p 
 
V F 
 
F V 
 
 
Negações das proposições simples: 
 
p: Joana é dentista. 
 
~p: Joana não é dentista. 
 
q: Artur é alto. 
 
~q: Artur não é alto. 
 
r: Sócrates não é filósofo. 
 
~r: Sócrates é filósofo. 
 
 
 
q: Artur é alto. 
 
~q: Artur não é alto. 
 
~q: Artur é baixo. (ERRADO) 
 
 
 
• O dólar subiu. 
 
I. Se chamarmos “o dólar subiu” de p, então ~p será “o dólar baixou”. 
 
II. Se “o dólar subiu” tiver valor lógico falso, então “o dólar baixou” terá valor lógico 
verdadeiro. 
 
III. Se “o dólar subiu” tiver valor lógico verdadeiro, então “o dólar baixou” terá valor lógico 
falso. 
 
 
 
 
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Qual a negação da proposição “não basta à mulher de Cesar ser honesta”? 
 
I. Não basta à mulher de Cesar não ser honesta. 
 
II. Basta à mulher de Cesar não ser honesta. 
 
III. Basta à mulher de Cesar ser honesta. 
 
1.5 - DUPLA NEGAÇÃO 
A dupla inversão do valor lógico. 
 
Negar duas vezes: 
 
p ~p ~(~p) 
 
V F V 
 
F V F 
 
 
CUIDADO! 
A dupla negação não faz com que a proposição volte a ser verdadeira. 
Ela faz com que a proposição volte a ter o valor original. 
 
p: hoje é sábado. r: não estudarei à noite. 
 
~p: hoje não é sábado. ~r: estudarei à noite. 
 
~(~p): hoje é sábado. ~(~r): não estudarei à noite. 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.6 – TIPOS DE PROPOSIÇÕES (SIMPLES) .............................................................................................. 2 
1.7 – TIPOS DE PROPOSIÇÕES (COMPOSTAS) ........................................................................................ 2 
1.8 - CONSTRUÇÃO DA TABELA VERDADE ............................................................................................. 2 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.6 – TIPOS DE PROPOSIÇÕES (SIMPLES) 
São proposições que possuem apenas uma única ideia. 
 
Também são conhecidas como proposições atômicas. 
 
Geralmente são nomeadas com as letras p, q, r, s, ... 
 
Ex.: p: Regina estuda à noite. 
 
 q: Raquel é engenheira. 
 
 r: Hoje acordei cedo 
 
 
 
1.7 – TIPOS DE PROPOSIÇÕES (COMPOSTAS) 
 
 p: Regina estuda à noite. q: Raquel é engenheira. 
 
P: Regina estuda à noite e Raquel é engenheira. 
 
Q: Regina estuda à noite ou Raquel é engenheira. 
 
R: Ou Regina estuda à noite ou Raquel é engenheira. 
 
S: Se Regina estuda à noite, então Raquel é engenheira. 
 
T: Regina estuda à noite se, e somente se, Raquel for engenheira. 
 
 
 
 1.8 - CONSTRUÇÃO DA TABELA VERDADE 
 
p p q 
 
V V V 
 
F V F 
 
 F V 
 
 F F 
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• A quantidade de linhas em uma tabela verdade é igual a 2n 
 
• n é o número de proposições simples que compõe a proposição. 
 
• O número de linhas da tabela verdade depende exclusivamente da quantidade de 
proposições simples. 
 
• O número de linhas da tabela verdade não depende da quantidade de ligações. 
 
 
 
Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição “se o analista estiver no Tribunal de 
Justiça ou o técnico estiver com os processos, então o técnico iniciará o procedimento cabível 
ou o analista não estará no Tribunal de Justiça.”? 
 
 
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SUMÁRIO 
RLM .................................................................................................................................................................... 2 
1. PROPOSIÇÕES ............................................................................................................................................ 2 
1.9 – TABELA VERDADE DO “E” – CONJUNÇÃO – (⋀) ................................................................................
2 
1.10 – TABELA VERDADE DO “OU” – DISJUNÇÃO – (V) ............................................................................. 3 
1.11 - TABELA VERDADE DO “OU ... OU” – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA – (V) ................................................. 4 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.9 – TABELA VERDADE DO “E” – CONJUNÇÃO – (⋀) 
Será contratado quem tem o ensino médio completo e fale inglês. 
 
Raquel tem o ensino médio completo e fale inglês. 
 
Helena tem o ensino médio completo e não fale inglês. 
 
Luiza não tem o ensino médio completo e fale inglês. 
 
Artur não tem o ensino médio completo e não fale inglês. 
 
 
 p q p Λ q 
 
 V V V 
 
 V F F 
 
 F V F 
 
 F F F 
 
A conjunção será verdadeira se todas as proposições forem verdadeiras; 
 
Se ao menos uma das proposições for falsa, a conjunção será falsa. 
 
 
Maria, ao escolher a roupa que sairia de casa, procurou entre as peças que estavam no seu 
armário. Após sair, sua mãe perguntou a João com que roupa Maria havia saído e ele respondeu 
que Maria não havia saído com a calça jeans e a camisa branca. Sendo assim, podemos concluir 
que Maria deixou a calça jeans e a camisa branca no armário. 
 
 
A semana tem sete dias e o Natal é em dezembro e a capital do Brasil é Brasília e um ano 
tem 15 meses. 
 
 
Entende-se como P a proposição: “O Maracanã fica em São Paulo e o Nordeste não tem 
praias”. 
 
Considerando que P possua valor lógico verdadeiro, podemos afirmar que a proposição 
“o Nordeste não tem praias” também possuirá valor lógico verdadeiro. 
 
Considerando que P possua valor lógico falso, podemos afirmar que o Maracanã não fica 
em São Paulo. 
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1.10 – TABELA VERDADE DO “OU” – DISJUNÇÃO – (V) 
 
 Será contratado quem tem o ensino médio completo ou fale inglês. 
 
Raquel tem o ensino médio completo e fale inglês. 
 
Helena tem o ensino médio completo e não fale inglês. 
 
Luiza não tem o ensino médio completo e fale inglês. 
 
Artur não tem o ensino médio completo e não fale inglês. 
 
 
 p q p V q 
 
 V V V 
 
 V F V 
 
 F V V 
 
 F F F 
 
 A disjunção será falsa se todas as proposições forem falsas; 
 
Se ao menos uma das proposições for verdadeira, a disjunção será verdadeira. 
 
 
A capital do Paraná é Rio de Janeiro ou a capital de São Paulo é Belo Horizonte ou a capital 
do Amazonas é Campo Grande ou a capital do Rio Grande do Norte é Natal. 
 
 
Entende-se como P a proposição: “Estudo RLM ou treino na piscina”. 
 
Considerando que P possua valor lógico verdadeiro, podemos afirmar que estudo RLM. 
 
Considerando que P possua valor lógico falso, podemos afirmar que não treino na piscina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1.11 - TABELA VERDADE DO “OU ... OU” – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA – 
(V) 
 
Ou trabalha ou estuda 
 
 
 
 
 p q p V q 
 
 V V F 
 
 V F V 
 
 F V V 
 
 F F F 
 
Quando possuir mais de duas proposições? 
 
Ex: alguém trabalhará no plantão de domingo. 
 Ou será o Luís, ou o José ou o Eduardo. 
 
 p q r p V q V r 
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SUMÁRIO 
RLM .................................................................................................................................................................... 2 
1. PROPOSIÇÕES ............................................................................................................................................ 2 
1.12 – TABELA VERDADE DO “SE ..., ENTÃO ...” – CONDICIONAL – (→) ................................................... 2 
1.13 – PARTÍCULAS IDENTIFICADORAS DE CONDICIONAIS ....................................................................... 2 
1.14 – TABELA VERDADE DO “... SE, E SOMENTE SE, ...” – BICONDICIONAL – (↔) ................................... 4 
 
 
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1. PROPOSIÇÕES 
1.12 – TABELA VERDADE DO “SE ..., ENTÃO ...” – CONDICIONAL – (→) 
 
Se eu nasci no Rio de Janeiro, então sou brasileiro. 
 
 
 p q p → q 
 
 V V V 
 
 V F F 
 
 F V V 
 
 F F V 
 
 
A condicional será falsa somente quando p for verdadeiro e q for falso, caso contrário, será 
verdadeira. 
 
Quando o antecedente (p) for falso, a proposição será verdadeira, independentemente do 
valor do consequente. 
 
Quando o consequente (q) for verdadeiro, a proposição será verdadeira, 
independentemente do valor do antecedente. 
 
 
Se eu estudar muito, então serei aprovado. 
 
• Eu fui aprovado, logo estudei muito. 
 
• Eu estudei muito, logo fui aprovado. 
 
• Eu não fui aprovado, logo não estudei muito. 
 
• Eu não estudei muito, logo não fui aprovado. 
 
1.13 – PARTÍCULAS IDENTIFICADORAS DE CONDICIONAIS 
 
 caso 
 contanto que 
Se desde que 
 como 
 quando 
 pois 
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Se Artur estudar muito, então será aprovado. 
 
Caso Artur estude muito, será aprovado. 
 
Contanto que Artur estude muito, ele será aprovado. 
 
Desde que Artur estude muito, será aprovado. 
 
Como Artur estuda muito, será aprovado. 
 
Quando Artur estudar muito, será aprovado. 
 
 
pois 
 
Pois Artur estudou muito, então foi aprovado. 
 
Artur foi aprovado, pois estudou muito. 
 
Se Artur estudar muito, então será aprovado. 
 
Artur será aprovado, se estudar muito. 
 
 
Eu estava com sede, pois bebi muita água. 
 
1. Considerando como verdadeira a proposição “estava com sede”, podemos garantir que 
bebi muita água. 
 
2. Considerando como falsa a proposição “bebi muita água”, podemos garantir que não 
estava com sede. 
 
3. Considerando como falsa a proposição “estava com sede”, podemos garantir que não 
bebi muita água. 
 
 
OUTRAS MANEIRAS DE REPRESENTAR A CONDICIONAL 
 
Se Artur estudar muito, então será aprovado. 
 
• Artur estudar muito implica ser aprovado. 
 
• Artur estuda muito somente se for aprovado. 
 
• Toda vez que Artur estuda muito, ele é aprovado. 
 
 
 
 
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1.14 – TABELA VERDADE DO “... SE, E SOMENTE SE, ...” – 
BICONDICIONAL – (↔) 
 
 A luz estará ligada se, e somente se, estiver aluno na sala. 
 
 
 p q p ↔ q 
 
 V V V 
 
 V F F 
 
 F V F
F F V 
 
 A bicondicional será verdadeira somente quando p e q tiverem os mesmos valores 
lógicos. Ambas verdadeiras ou ambas falsas; 
 
Se as proposições tiverem valores lógicos diferentes, a bicondicional será falsa. 
 
 
Se acordar cedo, então irei à piscina. 
 
Acordarei cedo se, e somente se, for à piscina. 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.15 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – CONCEITOS INICIAIS ............................................ 2 
1.16 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONJUNÇÃO) ..................................................... 2 
1.17 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (DISJUNÇÃO) ....................................................... 2 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.15 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – CONCEITOS 
INICIAIS 
A negação de uma proposição composta é a inversão de toda a tabela. 
Quando apresentar valor lógico verdadeiro, a negação será falsa. 
Quando apresentar valor lógico falso, a negação será verdadeira. 
Necessariamente todas as linhas deverão possuir valores lógicos inversos. 
1.16 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONJUNÇÃO) 
 
~(p ∧ q) ⇔ ~p v ~q Primeira lei de Morgan 
 
Hoje é sábado e vou ao cinema. 
Hoje não é sábado e não vou ao cinema. (?????) 
Hoje não é sábado ou não vou ao cinema. 
 
 
 p q p ∧ q ~p ~q ~p ∧ ~q ~p ∧ ~q 
 
 V V V F F F F 
 
 V F F F V F V 
 
 F V F V F F V 
 
 F F F V V V V 
 
 
• O ônibus está atrasado e o meu carro não está na garagem. 
• Não sei o horário da aula e não fiz os exercícios. 
• Não fui trabalhar, mas fiquei em casa estudando. 
• No domingo, vou ao shopping e ao cinema. 
• Ana é carioca, Bruna é mineira, Carla é paranaense e Dani é sergipana. 
• Não sou diretor de escola, sou professor. 
1.17 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (DISJUNÇÃO) 
~(p v q) ⇔ ~p ∧ ~q Segunda lei de Morgan 
 
 
O advogado não apresentou defesa ou o cliente desistiu da ação. 
O advogado apresentou defesa e o cliente não desistiu da ação. 
Há carência de servidores nos Tribunais de Justiça ou o volume de ações aumentou nos 
últimos anos. 
Vou trabalhar em Santa Catarina ou no Rio Grande do Sul. 
Não vou trabalhar em Santa Catarina, nem no Rio Grande do Sul. 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.18 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (DISJUNÇÃO EXCLUSIVA) ..................................... 2 
1.19 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONDICIONAL) ................................................... 2 
 
 
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1. PROPOSIÇÕES 
1.18 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (DISJUNÇÃO 
EXCLUSIVA) 
~(p v q) ⇔ p ↔ q 
 
Ou os servidores aceitam trabalhar temporariamente em outra unidade ou continuarão 
com os problemas de infraestrutura. 
Ou saio de casa cedo ou vou trabalhar em um ônibus lotado. 
1.19 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONDICIONAL) 
 
~(p ⟶ q) ⇔ p ∧ ~q 
 
Se estiver chovendo, então leve o guarda-chuva. 
Se não trabalho, não recebo. 
Minha mãe ficará muito orgulhosa se ver o meu nome na lista dos aprovados. 
Quando o dólar baixar, viajarei para os Estados Unidos. 
O rio do meu bairro transbordou, pois choveu sem parar durante a madrugada. 
Estou com sede e não bebo água. 
Percebemos que existem duas maneiras de se negar a conjunção (e) 
• Uma através da disjunção (ou) – Lei de Morgan 
• Outra através da condicional (se ..., então ...) 
Não vou trabalhar e não acordo tarde. 
Você demora a chegar e vou esperá-lo. 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.20 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (BICONDICIONAL) ................................................ 2 
1.21 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS COM MAIS DE DUAS PROPOSIÇÕES ........................ 2 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.20 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (BICONDICIONAL) 
 
~(p ⟷ q) ⇔ p v q 
 Serei aprovado se, e somente se, estudar muito. 
 A luz de emergência ligará se, e somente se, a energia elétrica acabar. 
~(p ⟷ q) ⇔ (p Λ ~q) v (q Λ ~p) 
 A luz de emergência ligará se, e somente se, a energia elétrica acabar. 
 Vou à festa do Antônio se, e somente se, for convidado. 
1.21 – NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS COM MAIS DE DUAS 
PROPOSIÇÕES 
 Se sexta-feira for feriado, então poderei descansar e ir ao cinema. 
 Encontrei o carro que desejava, mas se procurasse, encontraria mais barato. 
 Se eu conseguir resolver todas as tarefas e se imprevistos não aparecerem, vou para 
o curso mais cedo ou ficarei em casa estudando. 
 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.22 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONCEITOS GERAIS).................................... 2 
1.23 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONDICIONAL)............................................ 2 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.22 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (CONCEITOS 
GERAIS) 
Duas proposições são equivalentes se, e somente se, os valores lógicos forem idênticos 
para cada combinação de suas tabelas. 
p Λ q ⇔ q ∧ p 
 
p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 
p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 
p ⟶ q ⇔ q ⟶ p (ERRADO) 
 
p ⟷ q ⇔ q⟷p 
 
p Λ q ⇔ q ∧ p 
 
• João é alto e maria é baixa. 
• Maria é baixa e João é alto. 
p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 
• João é alto ou maria é baixa. 
• Maria é baixa ou João é alto. 
p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 
• Ou João é alto ou maria é baixa. 
• Ou Maria é baixa ou João é alto. 
1.23 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – 
(CONDICIONAL) 
p⟶ q 
 
Existem duas maneiras de se obter uma equivalência da condicional. 
• A primeira é chamada de contrapositiva. 
• A contrapositiva será também uma condicional. 
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p⟶ q ⇔ ~q⟶ ~p 
 
• Se João for alto, então maria é baixa. 
• Se Maria não for baixa, então João não é alto. 
• Se o servidor estiver de licença médica, então não poderá trabalhar. 
• Se o cliente não aparecer, sairei do escritório antes do horário. 
• Todo estudante universitário é aluno. 
A segunda forma de equivalência é através da disjunção. 
 
p⟶ q ⇔ ~p ∨ q 
 
• Se João for alto, então maria é baixa. 
• João não é alto ou Maria é baixa. 
• Se o servidor estiver de licença médica, então não poderá trabalhar. 
• Se o cliente não aparecer, sairei do escritório antes do horário. 
 
 
 
~q⟶ ~p 
 
 
p⟶ q 
 
~p ∨ q 
 
 
 
• Se beber, não dirija. 
Qual a equivalência da proposição “não está frio ou uso casaco”? 
• O carro está bom ou irei de ônibus. 
 
 
 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.24 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – (BICONDICIONAL) ........................................ 2 
1.25 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS COM MAIS DE DUAS PROPOSIÇÕES ................ 3 
 
 
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1. PROPOSIÇÕES 
1.24 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – 
(BICONDICIONAL) 
 
 p ⟷ q ⇔ q⟷p 
 
Jorge irá a Paris se, e somente se, estiver de férias. 
 
Jorge estará de férias se, e somente se, for a Paris. 
 
 
 p ⟷ q ⇔ q⟷p ⇔ (p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) 
 
Vou à praia se, e somente se, estiver sol. 
 
 
Não trabalho se, e somente se, for feriado. 
 
 
p ⟷ q ⇔ q⟷p ⇔ (p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ⇔ (~p v q) ∧ (~q v p) 
 
Não trabalho se, e somente se, for feriado. 
 
Faço boa prova se, e somente se, estudar muito. 
 
 
As proposições abaixo são equivalentes? 
 
Correrei ao redor da Lagoa se, e somente se, o meu filho não estiver em casa. 
 
 Se corro ao redor da Lagoa, então meu filho não está em casa e se não corro ao 
redor da Lagoa, então o meu filho está em casa. 
 
 
 Não corro ao redor da Lagoa ou o meu filho não está em casa e se meu filho não 
está em casa, então corro ao redor da Lagoa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.25 – EQUIVALÊNCIA DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS COM MAIS DE 
DUAS PROPOSIÇÕES 
 
Se o dia estiver frio e eu ficar em casa, então lerei um capítulo do livro ou assistirei ao 
filme. 
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1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.26 – TAUTOLOGIA ............................................................................................................................. 2 
1.27 – CONTRADIÇÃO........................................................................................................................... 4 
1.28 – CONTINGÊNCIA.......................................................................................................................... 4 
 
 
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2 
 
RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.26 – TAUTOLOGIA 
Seja P uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...), mediante emprego de 
conectivos (Λ, V ou V), de condicionais (→ ou ↔) ou de modificador ( ~), dizemos que P é uma 
tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando P tem o valor lógico V (verdadeiro) 
independentemente dos valores lógicos de p, q, r etc. 
 Assim, a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de P. 
Quando o resultado de uma proposição composta apresentar somente valores lógicos 
verdadeiros, independentemente dos valores das proposições simples existentes. 
O exemplo mais básico de tautologia é: 
 
p V ~p 
 
 
p ~p p V ~p 
V F V 
F V V 
 
( p Λ ~ p) → ( q V p ) é uma tautologia pois: 
 
p q ~p p Λ ~p q V p (p Λ ~p) → (q V p) 
V V F F V V 
V F F F V V 
F V V F V V 
F F V F F V 
• Sou brasileiro ou não sou brasileiro. 
Sou brasileiro não sou brasileiro Sou brasileiro ou não sou brasileiro 
V F V 
F V V 
Repare que existem verdades e falsidades na tabela verdade, 
Sou brasileiro não sou brasileiro 
V F 
F V 
 
 
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3 
 
Mas o resultado apresentará somente verdades. 
Sou brasileiro ou não sou brasileiro 
V 
V 
• Hoje é sábado ou não é sábado. 
Hoje é sábado Hoje não é sábado Hoje é sábado ou não é sábado 
V F V 
F V V 
Vejam outros exemplos de tautologias: 
 
 (~p v q) ⟷ (p ⟶ q) 
 
p q ~p ~p v q p ⟶ q (~p v q) ⟷ (p ⟶ q) 
 
V V F V V V 
V F F F F V 
F V V V V V 
F F V V V V 
Todos os casos podem ser provados através de tabelas-verdades, porém podemos usar 
outros conhecimentos, como, nesse caso, as equivalências. 
Observe que (~p v q) é equivalente a (p ⟶ q), dessa forma, eles possuirão a mesma tabela-
verdade, ou seja, os mesmos valores nas mesmas linhas. Como a ligação é feita por uma 
bicondicional, o resultado será sempre verdade, pois os valores serão iguais. Logo, será uma 
tautologia. 
 p v ~(p ∧ q) 
 
Nesse caso, podemos os conceitos da tabela-verdade da disjunção. 
Caso conseguíssemos provar que essa proposição possa ter um valor logico falso, ela não 
seria tautologia. 
Basta existir a possibilidade de ser falso para não ser tautologia. 
No caso da disjunção, a única possibilidade de ser falso é quando todas as proposições 
simples assumirem valores lógicos falsos, sendo assim, p e (p ∧ q) obrigatoriamente seriam 
falsos. 
O p sendo falso, (p ∧ q) também será falso, pois na conjunção basta uma ser falsa para 
toda proposição ser falsa. 
Acontece que (p ∧ q) deverá ser negado, ~(p ∧ q), passando assim a assumir valor lógico 
verdadeiro. 
A ligação principal de p v ~(p ∧ q) é a conjunção e na tabela da conjunção basta uma ser 
verdadeira para toda proposição ser verdadeira. 
Como ~(p ∧ q) é verdadeira, p v ~(p ∧ q) será sempre verdadeira. 
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4 
 
Logo, será uma proposição. 
Os demais exemplos serão também provados através da forma anterior, verificando a 
possibilidade de ser falso e, caso isso aconteça, não será tautologia. 
Assista aos vídeos e veja as resoluções. 
 
 p ⟶ (q ⟶ p) 
 
 
 ~p ⟶ (p ⟶ q) 
 
 
 ((p ⟶ q) ⟶ r) ⟶ (p ⟶ (q ⟶ r)) 
 
 ((p ⟶ ~q) ∧ (~p ⟶ r)) ⟶ (q ⟶ r) 
 
 
1.27 – CONTRADIÇÃO 
Quando o resultado de uma proposição composta apresentar somente valores lógicos 
falsos, independentemente dos valores das proposições simples existentes. 
 O exemplo mais básico de contradição é: 
 
p Λ ~p 
p ~p p Λ ~p 
V F F 
F V F 
 
 (p ∧ ~q) ⟷ (~p v q) 
P q ~p ~q p ∧ ~q ~p v q (p ∧ ~q) ⟷ (~p v q) 
V V F F F V F 
V F F V V F F 
F V V F F V F 
F F V V F V F 
 
 (p ⟷ q) v ((~p v q) ∧ (q ⟶ p)) 
 
1.28 – CONTINGÊNCIA 
Quando a proposição não for tautologia, nem contradição. 
O resultado da tabela-verdade apresentará, no mínimo, uma verdade e uma falsidade. 
 
 (p ⟶ q) ∧ r 
 
 
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p q r p ⟶ q (p ⟶ q) ∧ r 
 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F F 
V F F F F 
F V V V V 
F V F V F 
F F V V V 
F F F V F 
 
 
 
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SUMÁRIO 
RLM .............................................................................................................................................................
2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.29 – PROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES ............................................................................................ 2 
1.30 – PROPRIEDADES DAS DISJUNÇÕES .............................................................................................. 3 
1.31 – PROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕES ..................................................................... 5 
1.32 – CONDICIONAIS ASSOCIADAS ...................................................................................................... 5 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.29 – PROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES 
 COMUTATIVA 
 
• (p Λ q) ⇔ (q Λ p) 
 
A ordem em que as proposições são colocadas não altera o resultado da tabela-verdade. 
Essa propriedade é usada na prova da equivalência da conjunção. 
 
 Veja a tabela-verdade: 
 
p q p Λ q q Λ p 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F F 
Observe que o resultado ficará o mesmo 
Ex.: Raquel foi à escola, e Helena foi trabalhar. 
Podemos escrever na forma “Helena foi trabalhar, e Raquel foi a escola” que o resultado 
será o mesmo para quaisquer valores lógicos assumidos por essas proposições. 
 
Raquel foi à escola Helena foi trabalhar Raquel foi à escola, e 
Helena foi trabalhar 
Helena foi trabalhar, e 
Raquel foi à escola 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F F 
Ex.: Hoje é sábado e vou à praia. 
Pode ser escrito na forma “vou à praia e hoje é sábado” que não alterará o resultado. 
 ASSOCIATIVA 
 
• (p Λ q) Λ r ⇔ p Λ (q Λ r) 
Quando mais de duas proposições simples estiverem ligadas conjunções (e), o 
ordenamento na tabela-verdade não alterará o resultado. 
 
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p q r (p Λ q) (p Λ q) Λ r (q Λ r) p Λ (q Λ r) 
 
V V V V V V V 
V V F V F F F 
V F V F F F F 
V F F F F F F 
F V V F F V F 
F V F F F F F 
F F V F F F F 
F F F F F F F 
Observe que, na tabela, as colunas de (p Λ q) Λ r e p Λ (q Λ r) apresentam os mesmos 
valores. 
Ex.: Joana estuda inglês e francês e estuda italiano. 
Essa proposição pode ser escrita na forma “Joana estuda inglês e estuda francês e italiano” 
que não mudará o resultado da tabela verdade. 
 
estuda 
inglês 
estuda 
francês 
estuda 
italiano 
estuda 
inglês e 
francês 
estuda 
inglês e 
francês e 
estuda 
italiano 
estuda francês 
e italiano 
estuda inglês e 
estuda francês 
e italiano 
V V V V V V V 
V V F V F F F 
V F V F F F F 
V F F F F F F 
F V V F F V F 
F V F F F F F 
F F V F F F F 
F F F F F F F 
Ex.: João é professor, e Maria é dentista, e Carla é estudante. 
A ordem em que são colocadas as proposições não mudará o resultado da tabela-verdade. 
1.30 – PROPRIEDADES DAS DISJUNÇÕES 
 COMUTATIVA 
 
• (p V q) ⇔ (q V p) 
 
A ordem em que as proposições são colocadas não altera o resultado da tabela-verdade. 
Essa propriedade é usada na prova da equivalência da disjunção. 
Veja a tabela-verdade: 
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p q p V q q V p 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F F 
Observe que o resultado não mudará. 
Ex.: Paula é servidora ou estagiária. 
 
Paula é servidora Paula é estagiária Paula é servidora ou 
estagiária 
Paula é estagiária ou 
servidora 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F F 
 
 ASSOCIATIVA 
 
• (p V q) V r ⇔ p V (q V r) 
 
Quando mais de duas proposições simples estiverem ligadas disjunções (ou), o 
ordenamento na tabela-verdade não alterará o resultado. 
 
p q r (p V q) (p V q) V r (q V r) p V (q V r) 
 
V V V V V V V 
V V F V V V V 
V F V V V V V 
V F F V V F V 
F V V V V V V 
F V F V V V V 
F F V F V V V 
F F F F F F F 
Observe que, na tabela, as colunas de (p V q) V r e p V (q V r) apresentam os mesmos 
valores. 
Ex.: Hoje é sábado ou domingo ou hoje é feriado. 
Pode ser dito: Hoje é sábado ou hoje é sábado ou feriado. 
 
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1.31 – PROPRIEDADES DAS CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕES 
 p V (q Λ r) ⇔ (p V q) Λ (p V r) 
 
p q r (q Λ r) p V (q Λ r) (p V q) (p V r) (p V q) Λ (p V r) 
V V V V V V V V 
V V F F V V V V 
V F V F V V V V 
V F F F V V V V 
F V V V V V V V 
F V F F F V F F 
F F V F F F V F 
F F F F F F F F 
 p Λ (q V r) ⇔ (p Λ q) V (p Λ r) 
 
p q r (q V r) p Λ (q V r) (p Λ q) (p Λ r) (p Λ q) V (p Λ r) 
V V V V V V V V 
V V F V V V F V 
V F V V V F V V 
V F F F F F F F 
F V V V F F F F 
F V F V F F F F 
F F V V F F F F 
F F F F F F F F 
Ex.: Vou usar bermuda azul e camisa branca ou cinza. 
Vou usar bermuda azul e camisa branca ou vou usar bermuda azul e camisa cinza. 
1.32 – CONDICIONAIS ASSOCIADAS 
Se estiver no trabalho, então não vou à festa. 
Se não vou à festa, então chego a casa mais cedo. 
Se chego a casa mais cedo, então pratico exercícios. 
Se pratico exercícios, fico cansado. 
Repare que essa estrutura pode ser representada na forma 
 
p ⟶ q 
 
q ⟶ r 
 
r ⟶ s 
 
s ⟶ t 
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6 
 
E isso pode ser entendido como: 
 
p ⟶ q ⟶ r ⟶ s ⟶ t 
Sendo assim, podemos garantir a veracidade das seguintes proposições: 
 
Se estiver no trabalho, então pratico exercícios. 
Se não vou à festa, então fico cansado. 
Se estiver no trabalho, então fico cansado. 
Com base no texto, diga se podemos concluir que: 
Se não pratico exercícios, então não estarei no trabalho. 
Se não fico cansado, então não vou à festa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.33 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÃO SUFICIENTE ..................................................................... 2 
1.34 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE ....................................................................................... 2 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.33 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÃO SUFICIENTE 
Condições necessárias e condições suficientes estão associadas a condicionais. 
Lembrar sempre de p ⟶ q. 
 Se Denise é servidora pública, então ela foi aprovada em um concurso público. 
• Ser servidora pública é condição suficiente para ser aprovada em um concurso 
Público. 
• Ser aprovada em um concurso Público é condição necessária para ser servidora 
pública. 
 
 
 
p ⟶ q 
• Se p, então q. 
• p é suficiente para q. 
• Basta p ocorrer para q também ocorrer. 
• A existência de p é suficiente para existência de q. 
• O p sendo verdadeiro garante a verdade em q. 
• Se p, então q. 
• q é necessário para p. 
• q não ocorrendo, p também não ocorre. 
• A existência de q é necessária para existência de p. 
 Se nasci no Paraná, então sou brasileiro. 
• Nascer no Paraná é condição suficiente para ser brasileiro. 
• Ser brasileiro é condição necessária para nascer no Paraná. 
 Se não estiver chovendo, então lavarei o carro. 
Se lavarei o carro, então não irei ao sítio. 
Se não for ao sítio, então irei ao shopping. 
Se for ao shopping, então comerei pizza. 
Podemos afirmar que: 
• Lavar o carro é condição suficiente para comer pizza. 
• Ir ao shopping é condição necessária para não estar chovendo. 
• Não ir ao sítio é condição suficiente para não comer pizza. 
• Não ir ao shopping é condição suficiente para não lavar o carro. 
• Ir ao sítio é condição necessária para não estar chovendo. 
1.34 – CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE 
Condições necessárias e suficientes
estão associadas a bicondicionais. 
Lembrar sempre de p ⟷ q. 
 
 
p ⟷ q 
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• p se, e somente se, q. 
• p é suficiente e necessário para q. 
• q é suficiente e necessário para p. 
• Basta p ocorrer para q também ocorrer, e basta q ocorrer para p também ocorrer. 
• O p não ocorrendo, q não ocorre; e q não ocorrendo, p também não ocorre. 
 Helena será mineira se, e somente se, nascer em Minas Gerais. 
• Se Helena for mineira, então nasceu em Minas Gerais e se Helena nascer em Minas 
Gerais, então será mineira. 
 O telefone será encaminhado à assistência técnica se, e somente se, estiver com 
defeito. 
• O telefone ser encaminhado à assistência técnica é condição necessária e 
suficiente para estar com defeito. 
• O telefone estar com defeito é condição necessária e suficiente para ser 
encaminhado à assistência técnica. 
 Estar em casa é condição suficiente para dormir cedo. 
Acordar cedo é condição necessária para ir trabalhar. 
Dormir cedo é condição suficiente para estar em casa. 
Podemos afirmar que: 
• Se acordar cedo, então irei trabalhar. (ERRADO) 
• Durmo cedo se, e somente se, estiver em casa. (CERTO) 
• Estou em casa se, e somente se, durmo cedo. (CERTO) 
 Sabemos que Bruna ser médica é condição suficiente para Clara ser advogada e 
condição necessária para Ana não ser juíza. Sabemos também que Débora ser 
promotora é condição necessária e suficiente para Clara não ser advogada. 
Considerando que Débora é promotora, podemos garantir que Ana é juíza? 
Para resolver o exemplo acima, devemos primeiramente estruturar o argumento. 
• Bruna ser médica é condição suficiente para Clara ser advogada. 
Se Bruna for médica, então Clara é advogada. 
• Bruna ser médica é condição necessária para Ana não ser juíza. 
Se Ana não for juíza, então Bruna é médica. 
• Débora ser promotora é condição necessária e suficiente para Clara não ser 
advogada. 
Débora é promotora se, e somente se, Clara não for advogada. 
• Débora é promotora. 
Sendo assim, o argumento fica da forma: 
Se Bruna for médica, então Clara é advogada. 
Se Ana não for juíza, então Bruna é médica. 
Débora é promotora se, e somente se, Clara não for advogada. 
Débora é promotora. 
Devemos considerar que todas as premissas são verdadeiras. Sendo assim, Debora é 
promotora é verdade. 
Débora ser promotora é verdade. Clara não ser advogada também é verdade. 
Clara ser advogada é falsa, Bruna ser médica também é falsa. 
Bruna ser médica é falsa, Ana não ser juíza também é falsa. 
Logo, Ana é juíza. 
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SUMÁRIO 
RLM .............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ....................................................................................................................................... 2 
1.35 – QUANTIFICADORES ..................................................................................................................... 2 
1.36 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ...................................................................................................... 5 
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 RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.35 – QUANTIFICADORES 
Os quantificadores são símbolos usados na matemática que servem para quantificar os 
elementos de um conjunto relacionado a outro. 
Na proposição “todos os peixes vivem na água”, generalizamos a todos os elementos do 
conjunto peixe o fato de viverem na água. 
Na proposição “existe animal com asas”, garantimos que pelo menos um elemento do 
conjunto animal possui asas. 
 
Os quantificadores são classificados como universais ou existenciais. 
 
 Quantificadores universais 
 
Quando relacionamos todos os elementos. 
 
Utilizamos o símbolo ∀ para representar o quantificador universal. 
 
O símbolo ∀ pode ser lido como “para todo”, “para qualquer”, “sempre que”, “todo”, (...). 
 
A proposição ∀x, P(x) é lida da seguinte maneira: Para todo x, tem-se P(x). 
 
∀x, P(x) será verdadeira se para qualquer valor de x, P(x) se torne uma proposição 
verdadeira. 
Basta um elemento x não pertencer a P(x) para a proposição ser falsa. 
Ex: Todos os homens são mortais. 
Se representarmos essa proposição por meio de um diagrama, veremos que um conjunto 
obrigatoriamente estará contido no outro. 
Sendo verdadeira a proposição, não existirá a possibilidade de um homem não ser mortal. 
 
 
 
 
 
 
mortais homens 
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Exemplos de representações com o quantificador universal. 
 
 ∀ x ∈ ℕ, 2.x é par. 
 
Essa proposição será verdadeira, pois para qualquer elemento do conjunto dos 
números naturais, o seu dobro será para. 
 
 ∀ x, x2 > x. 
 
 
x2 ≤ x. 
Essa proposição será falsa, pois existira pelo menos um elemento que tornará 
 
- 12 > 1 (falso) 
 
- (0,5)2 > 0,5 (falso) 
 
 ∀ x > 1, x2 > x. 
 
Essa proposição será verdadeira, pois para qualquer valor maior que um, o seu 
quadrado será sempre maior que ele próprio. 
 
 Quantificadores existenciais 
 
Quando relacionamos alguns elementos. 
 
Utilizamos o símbolo ∃ para representar o quantificador existencial. 
 
O símbolo ∃ pode ser lido como “existe”, “existe um”, “pelo menos um”, “algum”, (...). 
 
A proposição ∃ x, P(x) é lida da seguinte maneira: existe x tal que P(x). 
 
∃x, P(x) será verdadeira se, e somente se, pelo menos um valor de x pertencer a P(x). 
 
A proposição será falsa se, e somente se, todo elemento x não pertencer a P(x). 
 
• Ex: Alguns animais são mamíferos. 
 
Representando essa proposição por meio de diagramas, observamos que não podemos 
garantir que um conjunto esteja contido no outro, mas existira uma mínima interseção, pois 
pelo menos um elemento do conjunto animais também será elemento do conjunto mamíferos. 
 
 
 
 
 
 
animais mamíferos 
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Exemplos de representações com o quantificador existencial. 
 
 ∃ x / x2 – 4 = 0. 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, x2 – 4 = 0, encontraremos dois possíveis 
valores, x= 2 ou x=-2, que tornam a sentença verdadeira. Logo, existira um valor de x, sendo 
assim, a proposição será verdadeira. 
 
 ∃ x / 2x < 0. 
 
A base sendo positiva, para qualquer valor de x o resultado nunca será menor que 
zero. Logo, não existirá um valor de x que satisfaça a inequação, sendo assim, a proposição 
será falsa. 
 
∃ x ∈ ℕ / x + 1 < 0. 
 
Sendo o x um elemento do conjunto dos números naturais (ℕ = {0, 1, 2, 3, … }), 
nenhum valor que o x venha a assumir, tornará a sentença verdadeira, pois sempre 
será maior que 1. Desse modo, a proposição será falsa. 
 
 
 Existe uma particularidade para os quantificadores existenciais. O chamado 
quantificador existencial de unicidade. 
 
O quantificador existencial de unicidade é simbolizado por ∃! 
Esse quantificador se refere a um e somente um elemento. 
A proposição ∃! x, P(x) é lida da seguinte maneira: existe um único x tal que P(x). 
 
∃! x, P(x) será verdadeira se, e somente se, um único valor de x pertencer a P(x). 
 
A proposição será falsa se, e somente se, nenhum elemento ou mais de um elemento x 
pertencer a P(x). 
 
Exemplos de representações com o quantificador existencial. 
 
 ∃! x / x - 3 = 0. 
 
Somente o valor x igual a 3 tornará verdadeira a sentença. Somente um único valor. 
Logo a proposição será verdadeira. 
 
 
 ∃! x / x2 - 1 = 0. 
 
A proposição será falsa, pois existem dois valores possíveis, x = -1 ou x = 1. 
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5 
 
 
 ∃ x / x2 - 1 = 0. 
 
Como nesse caso o quantificador não é de unicidade, então basta existir um para a 
proposição ser verdadeira e como os valores x = -1 ou x = 1 satisfazem, a proposição será 
verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
1.36 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
Proposições Categóricas ou Afirmações
Categóricas são proposições que afirmam ou 
negam que todos, nenhuns ou alguns elementos de um determinado conjunto fazem parte de 
um outro conjunto. 
 
Exemplos: 
 
 Todos os dias de janeiro são quentes. 
 
 Nenhum aluno foi reprovado. 
 
 Alguns jogadores foram escalados para a partida. 
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1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
1. PROPOSIÇÕES ...................................................................................................................................... 2 
1.37 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (TODO) ...................................................................................... 2 
1.38 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (NENHUM) ................................................................................ 3 
1.39 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (ALGUM) ................................................................................... 3 
1.40 – NEGAÇÃO DE TODO A É B .......................................................................................................... 4 
1.41 – NEGAÇÃO DE NENHUM A É B..................................................................................................... 5 
1.42 – NEGAÇÃO DE ALGUM A É B ....................................................................................................... 5 
 
 
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RLM 
1. PROPOSIÇÕES 
1.37 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (TODO) 
Esse quantificador representa 100% dos elementos de um conjunto. 
 
Ex.: Todo aluno é atleta. 
 
O conjunto dos alunos estará contido no conjunto dos atletas. 
 
Podemos garantir que todos que são alunos serão também atletas, mas não poderemos 
garantir que todos os atletas serão também alunos. 
 
As proposições envolvendo o quantificador “todo” podem ser transformadas em 
condicionais, na forma “se for aluno, então será atleta”. 
 
Podemos representar essa proposição por meio do diagrama abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De modo geral, podemos sempre representar essa proposição da forma TODO A É B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representando por meio de uma condicional fica: Se for A, então é B. 
 
 
 
 
 
 
atletas alunos 
B A 
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1.38 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (NENHUM) 
Esse quantificador representa 0% dos elementos de um conjunto. 
 
Ex.: Nenhum gato é verde. 
 
Não haverá relação entre os conjuntos dos gatos e dos verdes. 
 
Os conjuntos serão chamados de disjuntos. 
 
Conjuntos disjuntos são conjuntos que não possuem interseção. 
 
Podemos representar essa proposição por meio do diagrama abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De modo geral, podemos sempre representar essa proposição da forma NENHUM A É B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.39 – PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – (ALGUM) 
Podemos usar “pelo menos um”, “existe um” ou “existe” no lugar de “algum”. 
 
Esse quantificador não garante 100%, mas garante que não seja 0%. 
 
Ex.: Algum professor é poliglota. 
 
Podemos também dizer: 
 
 Pelo menos um professor é poliglota. 
 
 Existe um professor que é poliglota. 
gatos verdes 
A B 
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MUDE SUA VIDA! 
4 
 
 Existe professor que é poliglota. 
 
Podemos representar essa proposição por meio do diagrama abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral, podemos sempre representar essa proposição da forma ALGUM A É B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.40 – NEGAÇÃO DE TODO A É B 
A não existência do todo não implica o nenhum, logo a negação do todo não é o nenhum. 
 
Para a não ocorrência do todo A, basta que um A não seja de B. 
 
Sendo assim, a negação de Todo A é B será algum A não é B. 
 
Ex.: 
 Todo aluno é atleta. 
 
Negação: Algum aluno não é atleta. 
 
 Outra forma de negarmos o “Todo A é B” é colocarmos o “Nem” antes, ficando “Nem todo 
A é B” 
 
 Ex.: 
 Todo aluno é atleta. 
 
Negação: Nem todo aluno é atleta. 
 
professores poliglotas 
A B 
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5 
 
 
 Todo servidor público é concursado. 
 
Negação: Algum servidor público não é concursado. 
 
 Nem todo servidor público é concursado. 
 
 
 Todo cachorro não gosta de gato. 
 
Negação: Algum cachorro gosta de gato. 
 
 Nem todo cachorro não gosta de gato. 
 
1.41 – NEGAÇÃO DE NENHUM A É B 
 
Para negarmos o “nenhum”, basta trocarmos pelo “algum”. 
 
Sendo assim, a negação de “Nenhum A é B” será “Algum A é B”. 
 
Ex.: 
 
 Nenhum gato é verde. 
 
Negação: Algum gato é verde. 
 
 
 Nenhum computador está ligado. 
 
Negação: Algum computador está ligado. 
 
 
 Nenhum professor de RLM é formado em História. 
 
Negação: Pelo menos um professor de RLM é formado em História. 
 
 
1.42 – NEGAÇÃO DE ALGUM A É B 
Podemos negar o “algum” por meio do “todo” ou “nenhum”. 
 
As negações poderão ser representadas por “Todo A não é B” ou “Nenhum A é B”. 
 
 
 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
6 
 
Ex.: 
 
 Algum professor é poliglota. 
 
Negação: Todo professor não é poliglota. 
 
 Nenhum professor é poliglota. 
 
 
 Algum feriado será sábado 
 
Negação: Todo feriado não será sábado. 
 
 Nenhum feriado será sábado. 
 
 
QUADRO RESUMITIVO 
 
 Negação 
Todo A é B 
Algum A não é B 
Nem todo A é B 
Nenhum A é B Algum A é B 
Algum A é B 
Todo A não é B 
Nenhum A é B 
 
 
Qual a negação de “Todo aluno que é dedicado tem a sua aprovação garantida”? 
 
• Algum aluno que não é dedicado tem a sua aprovação garantida. (errado) 
 
• Algum aluno que é dedicado não tem a sua aprovação garantida. (certo) 
 
• Algum aluno que não é dedicado não tem a sua aprovação garantida. (errado) 
 
 
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1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
2. ARGUMENTOS ..................................................................................................................................... 2 
2.1 – CONCEITOS GERAIS...................................................................................................................... 2 
2.2 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (TRANSFORMAR EM CONDICIONAL)
 ............................................................................................................................................................ 2 
2.3 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (CONSTRUÇÃO DA TABELA VERDADE)
 ............................................................................................................................................................ 4 
2.4 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (USO DE DIAGRAMAS) .................. 5 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
2 
 
RLM 
2. ARGUMENTOS 
2.1 – CONCEITOS GERAIS 
Raciocínio, indício ou prova pela qual se tira uma consequência ou dedução. 
 
Na Lógica Formal, estaremos preocupados com a forma. 
 
O argumento será chamado de válido ou inválido ou ainda de correto ou não correto. 
 
A validade de um argumento se baseará na forma, e não no sentido da frase. 
 
Argumentos inválidos são chamados de FALÁCIAS ou SOFISMAS. 
 
Dedução lógica é uma sequência de proposições. 
 
Será considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas 
premissas, obtêm-se uma proposição sempre verdadeira, sendo essa denominada conclusão. 
 
Sejam P1, P2, P3, ...Pn e Q proposições quaisquer simples ou compostas. Chama-se 
argumento a uma sequência finita de proposições P1, P2, ...., Pn que tem como consequência uma 
proposição
final Q. 
 
São premissas P1, P2, ..., Pn e Q a conclusão: 
 
P1 , P2 , ….Pn ⊢ Q 
 
Lê-se: P1, P2, ..., Pn acarretam Q ou inferem Q ou Q decorre de P1, P2, ..., Pn 
 
Um argumento P1, P2, ...Pn ⊢ Q é válido (correto) se, e somente se, a condicional ( P1 Λ P2 
Λ... Λ Pn ) → Q for verdadeira, o que se conclui que é válido o argumento quando a conclusão Q 
é verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras, ou seja, o argumento só será 
válido se o resultado for uma tautologia. 
 
2.2 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(TRANSFORMAR EM CONDICIONAL) 
• Transformaremos as premissas em antecedentes de uma condicional. 
 
• A conclusão será o consequente. 
 
• Se o resultado for uma tautologia, o argumento será válido. 
 
 
 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
3 
 
Ex.: Se as luzes estiverem ligadas, então Artur estará em casa. 
 
 Artur não está em casa. 
 
 Logo, as luzes não estão ligadas. 
 
 
Chamaremos de: 
p: as luzes estiverem ligadas. 
q: Artur estará em casa. 
 
 
p q p → q ~q (p → q) Λ ~q ~p [(p → q) Λ ~q] → ~p 
V V V F F F V 
V F F V F F V 
F V V F F V V 
F F V V V V V 
 
Observe que o resultado da tabela verdade é uma tautologia, logo o argumento é válido. 
 
 
 
Ex.: Se a Luiza gosta de mim, então me ligará. 
 
 A Luiza não gosta de mim. 
 
 Logo, ela não me ligará. 
 
 
Chamaremos de: 
p: a Luiza gosta de mim. 
q: a Luiza me ligará. 
 
 
p q p → q ~p (p → q) Λ ~p ~q [(p → q) Λ ~q] → ~p 
V V V F F F V 
V F F F F V V 
F V V V V F F 
F F V V V V V 
 
Observe que o resultado da tabela verdade não é uma tautologia, logo o argumento não é 
válido. 
 
 
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4 
 
2.3 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(CONSTRUÇÃO DA TABELA VERDADE) 
• Nesse método analisaremos exclusivamente as LINHAS em que ocorrerem V em todas 
as premissas. 
 
• O argumento será válido se nas linhas em que todas as premissas forem verdadeiras, a 
conclusão também for verdadeira. 
 
• As linhas em que aparecem premissas falsas não serão analisadas. 
 
 
 
Ex.: João é alto ou Maria é baixa. 
 
 Maria não é baixa. 
 
 Logo, João é alto. 
 
 
Chamaremos de: 
p: João é alto. 
q: Maria é baixa. 
 
 
p q p v q ~q p 
V V V F V 
V F V V V 
F V V F 
F 
F F F V F 
 
Observe que o resultado da tabela verdade na linha em que as premissas também são 
verdades, logo o argumento é válido. 
 
 
Ex.: João é alto ou Maria é baixa. 
 
 Maria é baixa. 
 
 Logo, João é alto. 
 
p q p v q q p 
V V V V V 
V F V F V 
F V V V 
F 
F F F F F 
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MUDE SUA VIDA! 
5 
 
Observe que em uma das linhas nas quais as premissas são verdadeiras a conclusão é 
falsa. Logo, o argumento é inválido. 
 
2.4 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(USO DE DIAGRAMAS) 
• Nesse método, o argumento será válido se a conclusão for única, não restando dúvidas. 
 
• Quando existir mais de uma possibilidade para o resultado, o argumento será inválido. 
 
 
Ex.: Toda baleia é um mamífero. 
 
 Todo mamífero sobe em árvores. 
 
 Logo, toda baleia sobe em árvores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repare que o conjunto das baleias está contido no conjunto dos que sobem em árvores, 
logo esse argumento é válido. 
 
 
 
Ex.: Todo funcionário do TJ é aluno do curso de natação. 
 
 Todo professor é aluno do curso de natação. 
 
 Logo, algum professor é funcionário do TJ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reparem que existe uma possibilidade de todos os professores não serem funcionários do 
TJ. Logo, não podemos garantir que algum professor é funcionário do TJ, sendo assim, o 
argumento é inválido. 
baleias mamíferos sobem em árvores 
func. TJ Aluno do curso 
prof 
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MUDE SUA VIDA! 
1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
2. ARGUMENTOS ..................................................................................................................................... 2 
2.5 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (USO DE DIAGRAMAS) .................. 2 
2.6 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (CONSIDERAR AS PREMISSAS 
VERDADEIRAS) ..................................................................................................................................... 3 
 
 
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2 
 
RLM 
2. ARGUMENTOS 
2.5 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(USO DE DIAGRAMAS) 
Ex.: Todos os gatos são humanos e nenhum peixe é humano, logo nenhum peixe é um gato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo fato de todos os gatos serem humanos, o conjunto dos gatos estará contido no 
conjunto dos humanos. 
 
Como nenhum peixe é humano, não haverá interseção entre o conjunto dos humanos e 
dos peixes. 
 
Sendo assim, não haverá também interseção entre o conjunto dos peixes e dos gatos. Logo, 
o argumento é válido. 
 
Reparem que não devemos levar em consideração o fato de sabermos, na realidade do 
nosso dia-a-dia, que os gatos não são humanos. Estaremos somente preocupados com a forma. 
 
 
Ex.: Todos os servidores do TJ foram aprovados em concurso público e Bruno não é 
servidor do TJ, então Bruno não foi aprovado em concurso público. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fato de o Bruno não ser servidor do TJ não implica não ser aprovado em concurso público. Ele 
pode não ser servidor do TJ, mas ser aprovado em concurso Público. 
 
gatos 
humanos 
peixes 
servidores 
do TJ 
aprovados em 
concurso público 
Bruno 
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MUDE SUA VIDA! 
3 
 
Reparem no diagrama que existem duas maneiras para posicionarmos o Bruno, dentro do 
conjunto dos aprovados ou fora. 
 
Sendo assim, o argumento é inválido. 
 
2.6 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(CONSIDERAR AS PREMISSAS VERDADEIRAS) 
• Esse método consiste em considerar as premissas verdadeiras e verificar o valor lógico 
da conclusão. 
 
• Para o argumento ser válido, a conclusão necessariamente deverá ser verdadeira. 
 
• Caso a conclusão seja falsa, ou podendo ser verdadeira ou falsa, o argumento será 
inválido. 
 
 
Ex.: Se as luzes estiverem ligadas, então Artur estará em casa. 
 
 Artur não está em casa. 
 
 Logo, as luzes não estão ligadas. 
 
Partiremos do princípio de que todas as premissas são verdadeiras. 
 
Iniciaremos por “Artur não está em casa” por ser uma proposição simples. Essa 
proposição possuirá valor lógico verdadeiro. 
 
Como “Artur não está em casa” é verdadeiro, “Artur estará em casa” é falso. 
 
Na condicional, se o consequente for falso, o antecedente será também falso para que 
toda condicional seja verdadeira. Logo, “As luzes estiverem ligadas” será falso. 
 
A conclusão será obrigatoriamente verdadeira, sendo assim, o argumento será falso. 
 
Acompanhe abaixo o passo-a-passo da resolução. 
 
Coloquei, ao lado do valor lógico de cada proposição, a numeração indicando a ordem da 
resolução. 
 
 
 F3 F2 
(Se as luzes estiverem ligadas, então Artur estará em casa.) V 
 
 V1 
(Artur não está em casa.) V 
 
 V4 
Logo, as luzes não estão ligadas. 
 
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4 
 
Ex.: Se a Luiza gosta de mim, então me ligará. 
 
 A Luiza não gosta de mim. 
 
 Logo, ela não me ligará. 
 
 
 
 F2 V ou F3 
(Se a Luiza gosta de mim, então me ligará.) V 
 
 V1 
(A Luiza não gosta de mim.) V
V ou F4 
Logo, ela não me ligará. 
 
A conclusão não será obrigatoriamente verdadeira. Logo, o argumento é inválido. 
 
 
Ex.: Se Joana tiver um bom currículo, então será contratada. 
 
 Joana foi contratada. 
 
 Logo, Joana tem um bom currículo. 
 
 
 V ou F3 V2 
(Se Joana tiver um bom currículo, então será contratada.) V 
 
 V1 
(Joana foi contratada.) V 
 
 V ou F4 
Logo, Joana tem um bom currículo. 
 
A conclusão não será obrigatoriamente verdadeira. Logo, o argumento é inválido. 
 
 
 
Ex.: Se Sérgio for carioca, Claudio é mineiro. 
 
Claudio é mineiro se, e somente se, Luís for paulista. 
 
Ou Luís é paulista ou José é pernambucano. 
 
José é pernambucano ou Pedro é paranaense. 
 
Jair não é sergipano e Pedro não é paranaense. 
 
Logo, Sérgio é carioca. 
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5 
 
 F9 F8 
(Se Sérgio for carioca, Claudio é mineiro.) V 
 
 F7 F6 
(Claudio é mineiro se, e somente se, Luís for paulista.) V 
 
 F5 V4 
(Ou Luís é paulista ou José é pernambucano.) V 
 
 V3 F2 
(José é pernambucano ou Pedro é paranaense.) V 
 
 V1 V1 
(Jair não é sergipano e Pedro não é paranaense.) V 
 
 F10 
Logo, Sérgio é carioca. 
 
 
A conclusão será falsa. Logo, o argumento é inválido. 
 
 
 
Ex.: Se hoje for sábado, então não vou ao curso. 
 
Se não vou ao curso, então hoje não é sábado. 
 
Se Bruna pedir pizza, então beberá guaraná. 
 
Se vou ao curso, então Bruna pedirá pizza. 
 
Se hoje não for sábado, então Bruna não beberá guaraná. 
 
Logo, vou ao curso. 
 
 
Nesse argumento, todas as premissas são condicionais, não podendo assim atribuir 
valores as proposições simples, pois existem três maneiras da condicional ser verdadeira. 
 
Porém, observando as duas primeiras premissas, verificamos que podemos simplificar 
usando o conceito de condicionais associadas. 
 
Como o consequente da primeira é igual ao antecedente da segunda, a proposição ficará 
resumida da forma “Se hoje for sábado, então hoje não é sábado”. 
 
A princípio acharemos ilógica essa proposição, porém observando apenas a forma 
constatamos que a proposição “hoje é sábado” obrigatoriamente será falsa, pois teremos: 
 
 F V 
Se hoje for sábado, então hoje não é sábado. 
 
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6 
 
Com esses valores, a condicional será verdadeira. Caso contrário, seria falsa. 
 
 V F 
Se hoje for sábado, então hoje não é sábado. 
 
Com essa informação, podemos continuar a resolução. 
 
 
 F1 
(Se hoje for sábado, então não vou ao curso.) V 
 
 V1 
(Se não vou ao curso, então hoje não é sábado.) V 
 
 F5 F4 
(Se Bruna pedir pizza, então beberá guaraná.) V 
 
 F7 F6 
(Se vou ao curso, então Bruna pedirá pizza.) V 
 
 V2 V3 
(Se hoje não for sábado, então Bruna não beberá guaraná.) V 
 
 F8 
Logo, vou ao curso. 
 
 
A conclusão será falsa. Logo, o argumento é inválido. 
 
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1 
 
SUMÁRIO 
RLM ............................................................................................................................................................. 2 
2. ARGUMENTOS ..................................................................................................................................... 2 
2.7 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – (CONCLUSÃO FALSA) .................... 2 
 
 
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2 
 
RLM 
2. ARGUMENTOS 
2.7 – MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO – 
(CONCLUSÃO FALSA) 
Nessa situação, quando não temos premissas formadas por proposições simples ou 
ligadas somente por conjunções, poderemos considerar a conclusão falsa, e forçar que as 
premissas sejam verdadeiras. 
 
Caso isso seja possível (premissas verdadeiras e conclusão falsa), o argumento será 
inválido. 
 
Se necessariamente uma das premissas (bastando uma) for falsa, o argumento será válido. 
 
Um argumento P1, P2, ...Pn ⊢ Q é válido (correto) se, e somente se, a condicional ( P1 Λ P2 
Λ... Λ Pn ) → Q for verdadeira. 
 
O argumento é uma condicional, sendo as premissas o antecedente e a conclusão o 
consequente. Se colocarmos falsidade no consequente, para a condicional ser verdadeira, 
obrigatoriamente o antecedente deverá ser falso. 
 
Sendo assim, tentaremos de todas as formas fazer com que o antecedente seja verdadeiro, 
caso isso não aconteça, a condicional será verdadeira. 
 
Ou seja, basta que uma premissa seja falsa para que todo o antecedente seja falso. 
 
 
Ex.: p → q 
 
 q ↔ r 
 
 r v s 
 
 s v t 
 
 u ∧ ~t 
 
 ~p 
 
 
Iniciaremos com falsidade na conclusão e tentaremos fazer com que todas as premissas 
sejam verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
 V2 V3 
 p → q 
 
 V4 V5 
 q ↔ r 
 
 V6 F7 
 r v s 
 
 F8 V9 
 s v t 
 
 V ou F11 F10 
 u ∧ ~t 
 
 ~p F1 
 
Repare que se ~p for falso, a proposição (u ∧ ~t) obrigatoriamente será falsa. 
 
Sendo assim, o argumento será válido. 
 
 
Ex.: ~q → u 
 
q ↔ p 
 
r v s 
 
s v t 
 
u ∧ ~r 
 
s → p 
 
 V3 V4 
 ~q → u 
 
 F12 F11 
q ↔ p 
 
 F7 V8 
r v s 
 
 V9 V ou F10 
s v t 
 
 V5 V6 
u ∧ ~r 
 
 V2 F2 
(s → p) F1 
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4 
 
Todas as premissas poderão assumir valores verdadeiros. Como as premissas são 
verdadeiras e a conclusão é falsa, o argumento será inválido. 
 
 
 
Ex.: p → q 
 
 q → r 
 
 r → s 
 
 p → s 
 
 
 V3 V4 
 p → q 
 
 V5 V6 
 q → r 
 
 V7 F3 
 r → s 
 
 V2 F2 
 (p → s) F1 
 
 
Repare que se a conclusão (p → s) for falsa, a proposição (r → s) obrigatoriamente será 
falsa. 
 
Sendo assim, o argumento será válido: 
 
 
 
Ex.: Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um 
cliente fez as seguintes afirmações: 
P1: Se for bom e rápido, não será barato. 
P2: Se for bom e barato, não será rápido. 
P3: Se for rápido e barato, não será bom. 
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento 
válido. 
 
 
 ( p ∧ q) → r 
 
 V3 V3 F3 
 (p ∧ ~r) → ~q 
 
 V2 V2 F2 
 (q ∧ ~r) → ~p F1 
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5 
 
A conclusão (q ∧ ~r) → ~p sendo falsa, obrigatoriamente a premissa (p ∧ ~r) → ~q 
será falsa. Dessa forma, o argumento será válido. 
 
 
• P1: Se a empresa privada causar prejuízos à sociedade e se o governo interferir na sua 
gestão, então o governo dará sinalização indesejada para o mercado. 
• P2: Se o governo der
sinalização indesejada para o mercado, a popularidade do governo 
cairá. 
• Q1: Se a empresa privada causar prejuízos à sociedade e se o governo não interferir na 
sua gestão, o governo será visto como fraco. 
• Q2: Se o governo for visto como fraco, a popularidade do governo cairá. 
• C: A popularidade do governo cairá. 
 
 
 F6 
(p ∧ q) → r 
 
 F5 F4 
r → s 
 
 F7 
(p ∧ ~q) → t 
 
 F3 F2 
t → s 
 
 
s F1 
 
 
Se a proposição p for falsa, (p ∧ q) e (p ∧ ~q) serão falsas e isso acontecendo, (p ∧ q) → r 
e (p ∧ ~q) → t serão verdadeiras. Logo, todas as premissas serão verdadeiras e a conclusão 
será falsa, acarretando um argumento inválido. 
 
 
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1 
 
SUMÁRIO 
RLM .................................................................................................................................................................... 2 
4. ANÁLISE COMBINATÓRIA .......................................................................................................................... 2 
4.1 – CONCEITOS GERAIS ........................................................................................................................... 2 
4.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) ............................................................................ 2 
 
 
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2 
 
RLM 
4. ANÁLISE COMBINATÓRIA 
4.1 – CONCEITOS GERAIS 
É a técnica que temos de saber o total de eventos sem nos preocupar em saber quais 
eventos são. 
 
A análise combinatória se divide em: 
 
• Princípio Fundamental da Contagem (PFC) 
• Fatorial 
• Permutação (Anagrama) 
• Arranjo 
• Combinação 
 
4.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 
 
É a técnica mais básica de contagem. 
 
Quando temos várias opções de escolhas, cada uma dessas possibilidades de escolha será 
um resultado, chamado evento. 
 
Quando temos vários estágios, com várias possibilidades em cada um, o número total de 
eventos será o produto dos números das possibilidades de cada estágio. 
 
Por esse motivo, o PFC também é conhecido por Princípio Multiplicativo. 
 
Vejamos alguns exemplos. 
 
Ex: Quantos resultados distintos conseguiremos se jogarmos dois dados comuns e 
observarmos as faces voltadas para cima? 
 
Dado 1 dado 2 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
 
Observe que só com a face 1 do dado 1 podemos obter seis eventos. Como o dado 1 possui 
seis faces e para cada face seis eventos, conseguiremos 36 eventos. 
 
Ex: Uma pessoa que ir de ônibus da cidade A para cidade C. Como nenhuma empresa faz 
o trajeto direto de A para C, ele é obrigado a mudar de ônibus na cidade B. 
De A para B existem duas empresas fazendo o trajeto e de B para C, três. 
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MUDE SUA VIDA! 
3 
 
De quantas maneiras distintas essa pessoa, de ônibus, poderá sair da cidade A e chegar à 
cidade C? 
 
Da cidade A para cidade B existem duas maneiras. Da cidade B para cidade C, existem três 
maneiras. Como é um caminho “e” outro, deveremos multiplicar os eventos. 
 
Sendo assim, serão 2 . 3 = 6 maneiras ao todo. 
 
 
Ex: As novas placas de veículos são compostas de 3 letras, 1 algarismo, 1 letra e 2 
algarismos, nessa ordem. 
 
 Quantas placas podemos formar ao todo? 
 
Ao todo, existem 26 letras (de “a” de “z”) e 10 algarismos (de 0 a 9) 
 
A disposição dos elementos será: LLLALAA 
 
Considerando L: letra e A: algarismo 
 
Pelo princípio multiplicativo obtemos: 26 . 26 . 26 . 10 . 26 . 10 . 10 
 
264 . 103 
 
 
 Quantas placas podemos formar iniciadas com vogal? 
 
Agora não poderemos usar qualquer uma das 26 letras na primeira posição. Pelo 
fato de termos que iniciar com uma vogal, teremos apenas 5 possibilidades (a, e, i, 
o, u). 
 
Sendo assim, pelo princípio multiplicativo, ficamos com: 
 
5 . 26 . 26 . 10 . 26 . 10 . 10 
 
5 . 263 . 103 
 
 
 Quantas placas podemos formar iniciadas com vogal e com letras distintas? 
 
Como iremos iniciar com vogal, existirão 5 possibilidades para a primeira posição. 
 
As letras serão distintas, sendo assim, o total de letras disponíveis diminuirá 
sempre de uma unidade a cada escolha. 
 
Dessa forma, a quantidades de maneiras será: 
 
5 . 25 . 24 . 10 . 23 . 10 . 10 
5 . 25 . 24 . 23 . 103 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
4 
 
 Quantas placas podemos formar iniciadas com vogal e com todos os elementos 
distintas? 
 
Como iremos iniciar com vogal, existirão 5 possibilidades para a primeira posição. 
 
As letras serão distintas, sendo assim, o total de letras disponíveis diminuirá 
sempre de uma unidade a cada escolha. 
 
Os algarismos também serão distintos, sendo assim, o total de algarismos 
disponíveis diminuirá sempre de uma unidade a cada escolha. 
 
Dessa forma, a quantidades de maneiras será: 
 
5 . 25 . 24 . 10 . 23 . 9 . 8 
 
 
Ex: De quantas maneiras distintas poderemos pintar a bandeira abaixo, 
usando 5 cores, sendo que regiões adjacentes não usem a mesma cor? 
 
 
 
 
 Se escolhermos a maior região para iniciarmos, poderemos usar quaisquer das 5 
cores. 
 
 Na faixa superior poderemos usar 4 cores, pois não poderemos utilizar a da região 
anterior. 
 
 Na segunda faixa haverá 3 possibilidades, pois ela é adjacente a duas já pintadas. 
 
 Na terceira faixa haverá 3 possibilidades, pois ela é adjacente a duas já pintadas. 
 
 Na quarta faixa haverá 3 possibilidades, pois ela é adjacente a duas já pintadas. 
 
 Já na última faixa haverá 4 possibilidades, pois ela é adjacente a somente uma já 
pintada. 
 
Pelo princípio multiplicativo: 
 
5 . 4 . 3 . 3 . 3 . 4 = 2160 
 
Ex: Seis caixas de televisões de marcas distintas, sendo três de 32’ e três de 55’, serão 
arrumadas conforme figura abaixo. De quantas maneiras poderemos fazer essas arrumações, 
sendo que as televisões de 55’ fiquem embaixo? 
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MUDE SUA VIDA! 
5 
 
 
 
 
A quantidade de maneiras de arrumar as três de 55’ embaixo é: 3 . 2 . 1 = 6 
 
A quantidade de maneiras de arrumar as três de 32’ é: 3 . 2 . 1 = 6 
 
Pelo princípio multiplicativo, multiplicaremos os dois resultados. 
 
Logo o total será 6 . 6 = 36. 
 
 
Ex: Seu José possui cinco casas em uma vila e pretende pintar cada uma com uma cor. As 
casas estão uma ao lado da outra e numeradas de 1 a 5, na ordem. Seu José possui tintas de oito 
cores, porém deseja pintar a casa de número 5 da mesma cor da casa de número 1, a casa de 
número 4 da mesma cor da casa de número 2 e casas adjacentes de cores distintas. De quantas 
maneiras essas casas poderão ser pintadas? 
 
Casa 1: haverá 8 possibilidades. 
 
Casa 5: como deverá ter a mesma cor da casa 1, haverá apenas 1 possibilidade. 
 
Casa 2: haverá 7 possibilidades, pois não poderá usar a cor da casa 1. 
 
Casa 4: como deverá ter a mesma cor da casa 2, haverá apenas 1 possibilidade. 
 
Casa 3: haverá 7 possibilidades, pois não poderá usar apenas a cor da casa 2 e casa 4, que 
são iguais. 
 
Pelo princípio multiplicativo: 8 . 7 . 7 . 1 . 1 = 392 
 
 
Ex: Para identificar as mercadorias, um supermercado utiliza código de barras que 
consiste em um conjunto de várias barras que podem ser de cor escura ou clara. Um leitor ótico 
identificará o produto conforme o posicionamento dessas barras. Considerando um código de 
barras com sete barras, de quantas maneiras a leitura da direita para a esquerda será igual a 
leitura da esquerda para a direita, desconsiderando todas as barras de cor escura ou de cor 
clara? 
 
• Na primeira posição haverá duas possibilidades, barra escura ou clara. 
 
• Como a leitura da esquerda para direita é a mesma da direita para esquerda, a 
última barra será igual a primeira. Sendo assim, uma única possibilidade. 
 
• Na segunda posição haverá duas possibilidades,