Teorema da Superposição e circuitos equivalentes em estrela e triângulo

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DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo de análise de circuitos elétricos a partir do Teorema da Superposição e princípio da linearidade, análise de
circuitos ligados em estrela ou triângulo e suas transformações equivalentes.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais do princípio da linearidade de circuitos elétricos, necessários para aplicação do Teorema
da Superposição. Analisar outras formas de associação de elementos para além dos modos em série e paralelo, por meio das
ligações em estrela e triângulo, bem como suas transformações equivalentes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha à mão papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora científica para facilitar
seus cálculos na solução de equações dos circuitos elétricos e transformações equivalentes para as ligações estrela e triângulo.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
MÓDULO 2
Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
INTRODUÇÃO
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E CIRCUITOS
EQUIVALENTES EM ESTRELA E TRIÂNGULO
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km). No entanto, o Inmetro estabelece que deve
existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você
devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
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MÓDULO 1
 Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
INTRODUÇÃO
 
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A APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC) E DA LEI DE
KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT) PERMITE A SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
POR MANEIRAS MUITO SIMPLES, POR MEIO DA ANÁLISE NODAL E ANÁLISE DE
MALHAS, RESPECTIVAMENTE.
No entanto, se o circuito for grande ou complexo, a aplicação dessas leis pode se tornar muito trabalhosa, em virtude da quantidade
de cálculos e equações necessárias para encontrar as variáveis tensão e corrente nos elementos. Para lidar com o problema de
solução de circuitos elétricos complexos, diversos teoremas foram desenvolvidos para simplificar a análise.
Entre os teoremas mais utilizados, pode-se citar o Teorema de Thévenin, o Teorema de Norton e o Teorema da Superposição, sendo
esse o principal tema abordado neste módulo.
É importante destacar que os teoremas de circuitos são válidos apenas para circuitos lineares e, por esse motivo, deve-se ter
muito claro o princípio da linearidade em circuitos elétricos.
PRINCÍPIO DA LINEARIDADE
 
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O princípio da linearidade é uma relação matemática de grande impacto em circuitos elétricos em geral, intimamente relacionada
com a proporcionalidade e que pode ser representada graficamente por uma reta.
 VOCÊ SABIA
A linearidade é basicamente a propriedade de uma função ser compatível com adição (aditividade) e escalonamento
(homogeneidade), também chamado de superposição.
Em um circuito que obedece a propriedade de homogeneidade, se a entrada, ou seja, a fonte de alimentação (excitação) for
multiplicada por uma constante, a sua saída, ou seja, a resposta à excitação, deverá também ser multiplicada por essa mesma
constante. Considerando a Lei de Ohm, que relaciona a entrada em corrente para saída em tensão no resistor:
V=RI
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o valor dessa corrente for aumentado “k vezes”, a tensão sob o resistor terá um aumento de “k vezes”, ou seja:
KV=KIR
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função matemática representada por uma linha reta que passa pela origem possui a propriedade de proporcionalidade. Seja
como exemplo, a função
f (x ) = 2x
, representada pela Figura 1.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 1: Função matemática
f (x ) =y= 2x
Para o valor de
x= 2
, tem-se que
f (x ) = 2 × 2 = 4
. Se o valor de
x
for dobrado, ou seja,
x= 4
, tem-se que
f (x ) = 8
. Isso significa que, ao duplicar
x
(entrada), duplica-se também
f (x )
(saída). Essa relação é válida para qualquer valor de
x
, ou seja, o fator de escala ou proporcionalidade não varia.
Já a propriedade de adição (aditividade) diz que a resposta para a soma de entradas diferentes em um circuito é dada pela soma
das respostas a cada uma dessas entradas aplicadas separadamente.
 EXEMPLO
A partir da relação entre tensão e corrente no resistor, sua resposta a uma entrada constituída de duas correntes será obtida pelas
respostas individuais a cada uma dessas correntes:
V1 = I1R ,V2 = I2R
Aplicando
i1 + i2
, tem-se:
V= I1 + I2 R= I1R+ I2R=V1 +V2
(3)
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A Figura 2 ilustra a propriedade de adição para uma função linear qualquer,
f (x )
:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 2: Ilustração para uma função linear.
SE AS ENTRADAS
X1
( )
E
X2
FOREM SOMADAS E COLOCADAS DENTRO DA FUNÇÃO
F (X )
, A SAÍDA SERÁ
F X1 +X2
OU A PARTIR DA PROPRIEDADE DE ADIÇÃO,
F X1 +X2 =F X1 +F X2
.
De modo geral, os conceitos de linearidade aplicados aos resistores são também estendidos para os demais componentes do
circuito, os indutores e capacitores. As leis desses componentes são dadas por:
INDUTOR
V=L
DI
DT
(4)
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CAPACITOR
I=C
DV
DT
(5)
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Inicialmente, as Equações 4 e 5 podem não parecer referentes a funções lineares. No entanto, basta observar a derivada como a
variável independente da função linear:
INDUTOR
( )
( ) ( ) ( )
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A relação no indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a derivada
di /dt
é o eixo horizontal e
v
, o eixo vertical, conforme Figura 3. A inclinação dessa reta é a indutância L.
V=F
DI
DT
=L
DI
DT
(6)
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 Figura 3: Relação tensão x corrente para o indutor.
CAPACITOR
A relação no capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a derivada
dv /dt
é o eixo horizontal e i como eixo vertical, conforme Figura 4. A inclinação dessa reta é a capacitância C.
I=F
DV
DT
=C
DV
DT
(7)
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 4: Relação tensão x corrente para o capacitor.
 ATENÇÃO
O princípio da linearidade não se aplica à potência elétrica. Essa proposição pode ser entendida analisando a fórmula de potência,
expressa pela Equação 8:
P=RI2 =
V2
R
(8)
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A Equação 8 demonstra que a relação entre tensão e corrente para potência elétrica é quadrática, portanto, o Teorema da
Superposição, que será demonstrado mais adiante, não se aplica para cálculos de potência.
Resumindo o princípio da linearidade:
“UM CIRCUITO É LINEAR QUANDO SUA SAÍDA ESTÁ LINEARMENTE RELACIONADA À
SUA ENTRADA, OU SEJA, SAÍDA E ENTRADA SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.”
 EXEMPLO
Veja o circuito linear ilustrado na Figura 5. Os elementos contidos nesse circuito não são importantes, desde que sejam lineares. A
alimentação (entrada) do circuito é feita por uma fonte de tensão e a resposta (saída) é representada pela corrente no resistor R.
Quando a fonte de tensão fornece 10V, a corrente no resistor é de 2A. Considerando o princípio da linearidade, calcule o valor da
corrente no resistor se a fonte de tensão entregar uma tensão de 10mV ao circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 5: Circuito linear resistivo.
Como o circuito é linear,as propriedades de adição e homogeneidade são válidas. Considerando a proporcionalidade entre os
valores de entrada e saída, tem-se:
Para:
VS= 10V→ IR= 2A
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Então:
VS= 10MV → IR= 2MA
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Perceba que, em virtude da proporcionalidade, basta fazer uma “regra de três” para obter a solução.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 
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O Teorema da Superposição é baseado no princípio da linearidade apresentado anteriormente, sendo, sem dúvidas, um dos mais
utilizados em técnicas de solução de circuitos elétricos.
Esse teorema se aplica a circuitos lineares que contenham fontes independentes ou dependentes, resistores, indutores e
capacitores, que são elementos lineares, conforme descrito anteriormente. A utilização desse teorema pode, muitas vezes, reduzir a
complexidade e facilitar a solução de circuitos elétricos.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o Teorema da Superposição é aplicado para analisar circuitos que contenham duas ou mais fontes que não
estejam conectadas em série ou paralelo, ou seja, em arranjos diferentes que não permitam uma associação equivalente direta
dessas fontes.
É possível, dessa forma, determinar os efeitos individuais de cada uma dessas fontes e suas contribuições específicas nas
grandezas dos circuitos. Para fontes de diferentes tipos, o resultado final (total) referente às fontes trata-se da soma algébrica de
seus resultados individuais.
De modo resumido, tem-se que:
O Teorema da Superposição assegura que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é dada pela soma
algébrica das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
Esse Teorema, portanto, permite que se encontre uma solução para corrente elétrica ou tensão no circuito linear utilizando apenas
uma fonte por vez. Assim, após encontrar as soluções individuais, basta prosseguir com uma soma algébrica para combinar os
resultados e obter a resposta total. É importante destacar que a contribuição das fontes pode permitir que as correntes elétricas
tenham sentidos opostos ou que as tensões possuam polaridades invertidas, por esse motivo, a contribuição total é a soma
algébrica, de modo que o sinal de cada fonte deve ser considerado.
 VOCÊ SABIA
Para aplicar o Teorema da Superposição, é necessário obter as contribuições individuais das fontes do circuito elétrico, ou seja, é
necessário avaliar cada fonte individualmente, enquanto todas as outras restantes devem ser removidas.
Existem, basicamente, dois tipos de fonte em circuitos que deverão ser removidas, as fontes de tensão e as fontes de corrente. Para
desativá-las, tem-se:
FONTES DE TENSÃO
Para desativar uma fonte de tensão em um circuito elétrico, basta substituí-la por um curto-circuito, ou seja, uma conexão direta
entre seus terminais. Assim, a tensão será zero, que é o mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa
deverá ser mantida em série no circuito. A Figura 6 ilustra a remoção de uma fonte de tensão em parte de um circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 6: Remoção de uma fonte de tensão.
FONTES DE CORRENTE
Para desativar uma fonte de corrente em um circuito elétrico basta substituí-la por um circuito aberto, ou seja, uma conexão aberta
entre seus terminais. Assim, a corrente elétrica será zero, que é o mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na
fonte, essa deverá ser mantida em paralelo no circuito. A Figura 7 ilustra a remoção de uma fonte de corrente em parte de um
circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 7: Remoção de uma fonte de corrente.
 ATENÇÃO
Pode-se dizer que o número de circuitos a ser analisado a partir do Teorema da Superposição se refere ao número de fontes
existentes, tendo em vista que o efeito de cada uma será determinado individualmente. A princípio isso pode parecer uma
desvantagem do método de análise, no entanto, a superposição contribui para reduzir a complexidade de circuitos elétricos pela
simples substituição de fontes por curtos-circuitos ou por circuitos abertos em diferentes situações de análise.
ETAPAS PARA APLICAÇÃO DO TEOREMA DA
SUPERPOSIÇÃO
 
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
ETAPA 1
Desativar todas as fontes independentes do circuito elétrico, exceto uma. As fontes de tensão são substituídas por um curto-circuito
e as fontes de corrente por um circuito aberto. As fontes dependentes, ou controladas, devem ser mantidas no circuito.

ETAPA 2
Repetir a Etapa 1 até que todas as fontes independentes tenham sido consideradas e calculadas suas contribuições individuais.

ETAPA 3
Determinar a resposta total nos elementos fazendo a soma algébrica das respostas individuais de cada fonte. As tensões e
correntes em cada ramo serão a soma das tensões e correntes das fontes independentes obtidas individualmente. É importante
atentar-se ao sentido das correntes e à polaridade das tensões, conforme já descrito.
 EXEMPLO
Com base no Teorema da Superposição e no princípio da linearidade descritos, calcule a corrente elétrica que circula por meio do
resistor
R2
do circuito ilustrado na Figura 8:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 8: Circuito para o Exemplo 2.
Inicialmente, será determinada a contribuição da fonte de tensão de 24V. Para isso, a fonte de corrente deve ser desativada, o que
significa substituí-la por um circuito aberto, conforme ilustrado na Figura 9.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 9: Substituição da fonte de corrente por um circuito aberto.
O resultado é um circuito em série simples e a contribuição da fonte na corrente, dada por
I
′
2
, será:
I
′
2 =
V
RT
=
V
R1 +R2 =
24
8 + 4 = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para encontrar a contribuição da fonte de corrente, é necessário desativar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la por um curto-
circuito, conforme ilustrado na Figura 10:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 10: Substituição da fonte de tensão por um curto-circuito.
O resultado é uma combinação em paralelo dos resistores
R1
e
R2
. Com base no princípio de divisão de corrente, a contribuição da fonte de 6A, denominada
I
′′
2
, será:
I
′′
2 =
R1
R1 +R2 I=
8
8 + 4 6 = 4A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as duas correntes encontradas tem o mesmo sentido de fluxo no resistor
R2
, a corrente total é dada pela soma de
I
′
2
e
I
′′
2
:
I= I
′
2 + I
′′
2 = 2 + 4 = 6A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este exemplo demonstra que, caso se deseje calcular a corrente elétrica em um circuito, a contribuição para tal corrente deve ser
determinada para cada fonte, conforme Teorema da Superposição. Além disso, quando o efeito de cada fonte é determinado,
correntes de mesmo sentido são adicionadas e correntes de sentido oposto são subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica
dessas grandezas. O resultado obtido é o sentido da soma maior e o valor absoluto da diferença.
Do mesmo modo, caso se deseje calcular a tensão em um elemento, sua contribuição também deve ser determinada para cada
fonte, conforme o Teorema da Superposição. Além disso, quando o efeito de cada fonte é determinado, tensões de mesma
polaridade são adicionadas, enquanto tensões de polaridades opostas são subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica
dessas grandezas. O resultado obtido tem a polaridade da soma maior e o valor absoluto da diferença.
 ATENÇÃO
Do mesmo modo que demonstrado anteriormente para o princípio da linearidade, o Teorema da Superposição não pode ser
aplicado para calcular a potência elétrica fornecida em um circuito. Sabe-se que a dissipação de potência nos elementos
lineares do circuito como resistores, varia em função do quadrado da tensãoaplicada ou da corrente que está no seu ramo.
Portanto, a potência total de cada componente do circuito não será a soma das potências individuais quando as fontes atuam de
forma isolada.
MÃO NA MASSA
1. COM BASE NO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE ELÉTRICA QUE CIRCULA PELO
RESISTOR $$R_{2}$$ DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 11 É DE: 
 
 FIGURA 11: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) 6,65A
B) 8,5A
C) 5,45A
D) 7,25A
E) 4,5A
2. O CIRCUITO DA FIGURA 12 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO ALIMENTADO POR UMA FONTE DE
TENSÃO DE 1V. CONSIDERANDO OS VALORES DOS COMPONENTES E O PRINCÍPIO DA
LINEARIDADE, O VALOR DA CORRENTE $$I_{0}$$ QUANDO A FONTE DE TENSÃO FOR DE 10V É DE: 
 
 FIGURA 12: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
3. A FIGURA 13 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO LIGADO EM PONTE. AO APLICAR O TEOREMA DA
SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE $$I_{2}$$ QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE $$12 K \OMEGA$$ É DE
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 13: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 1,56mA
B) 2,88mA
C) 1,77mA
D) 4,45mA
E) 6,66mA
4. AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 14, A
CORRENTE ELÉTRICA QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE $$12 \OMEGA$$ É DE: 
 
 FIGURA 14: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) 2,05A
B) 1,08A
C) 3,42A
D) 2,36A
E) 1,56A
5. PARA O CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 15, A CORRENTE $$I_{0}$$ É DE $$0,16 A$$ QUANDO A
FONTE DE TENSÃO $$V_{S}$$ VALE 12V. SE A FONTE $$V_{S}$$ FOR SUBSTITUÍDA POR UMA
FONTE DE $$24 V$$, O VALOR DA CORRENTE $$I_{0}$$ SERÁ DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 15: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 0,64A
B) 1,5A
C) 0,56A
D) 1,48A
E) 0,32A
6. SUPONDO INICIALMENTE QUE A CORRENTE $$I_{0}$$ SEJA 1A E UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA
LINEARIDADE, O VALOR REAL PARA $$I_{0}$$ NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 16 É DE: 
 
 FIGURA 16: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
GABARITO
1. Com base no Teorema da Superposição, a corrente elétrica que circula pelo resistor $$R_{2}$$ do circuito ilustrado na
Figura 11 é de: 
 
 Figura 11: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "D " está correta.
 
É possível começar a resolver o circuito calculando a contribuição da fonte de tensão de 32V. Nesse caso, a fonte de corrente deve
ser desligada, ou seja, substituída por um circuito aberto equivalente. O resultado é um circuito em série cuja corrente será:
$$ I_{2}^{\prime}=\frac{V}{R_{T}}=\frac{V}{R_{1}+R_{2}}=\frac{32}{14+2}=\frac{32}{16}=2 A $$
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Em que $$I_{2}^{\prime}$$ é a corrente no resistor $$R_{2}$$ referente à contribuição da fonte de tensão.
Para calcular o efeito da fonte de corrente, a fonte de tensão deve ser desligada do circuito, ou seja, substituída por um curto-
circuito equivalente. O resultado é a combinação dos resistores $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ em paralelo. Assim, a corrente será:
$$ I_{2}^{\prime \prime}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} I=\frac{14}{14+2} 6=5,25 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente no resistor $$R_{2}$$ é a soma das contribuições das fontes de tensão e de corrente:
$$ I_{2}=I_{2}^{\prime}+I_{2}^{\prime \prime}=2+5,25=7,25 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito da Figura 12 ilustra um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão de 1V. Considerando os valores
dos componentes e o princípio da linearidade, o valor da corrente $$i_{0}$$ quando a fonte de tensão for de 10V é de: 
 
 Figura 12: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente deve-se encontrar o valor da corrente $$i_{0}$$ para a configuração ilustrada no circuito, ou seja, com os parâmetros
já conhecidos de resistores e da fonte de tensão igual a 1V:
Calculando a resistência equivalente com os resistores da malha da direita:
$$ 8 \|(5+3)=4 \Omega $$
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A corrente total que flui da fonte é de:
$$ i=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5} A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base no princípio de divisão de corrente, a corrente $$i_{0}$$ será de:
$$ i_{0}=\frac{1}{2} i=\frac{1}{10}=0,1 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que a fonte seja de 10V (e que os resistores mantenham os mesmos valores), tem-se:
$$ i=2 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto a corrente $$i_{0}$$ será de:
$$ i_{0}=\frac{1}{2} i=\frac{1}{2} 2=1 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A Figura 13 ilustra um circuito elétrico ligado em ponte. Ao aplicar o Teorema da Superposição, a corrente $$I_{2}$$ que
circula pelo resistor de $$12 k \Omega$$ é de aproximadamente: 
 
 Figura 13: Mão na massa - Exercício 3.
A alternativa "C " está correta.
 
Utilizando o Teorema da Superposição, primeiro será considerado o efeito da fonte de corrente de 4mA no resistor de $$12 K
\Omega$$. Deve-se aplicar a regra de divisão de corrente, ou seja:
$$ I_{2}^{\prime}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} I=\frac{6 k}{6 k+12 k} 4 m A=1,33 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando agora o efeito da fonte de tensão de 8V, tem-se:
$$ I_{2}^{\prime \prime}=\frac{V}{R_{1}+R_{2}}=\frac{8}{6 k+12 k}=0,44 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tendo em vista que as correntes elétricas referentes às duas fontes têm o mesmo sentido através de $$R_{2}$$, a corrente total
nesse resistor será a soma das duas, aproximadamente:
$$ I_{R 2}=I_{2}^{\prime}+I_{2}^{\prime \prime}=1,33+0,44=1,77 m A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Ao aplicar o Teorema da Superposição no circuito ilustrado na Figura 14, a corrente elétrica que circula pelo resistor de
$$12 \Omega$$ é de: 
 
 Figura 14: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
5. Para o circuito ilustrado na Figura 15, a corrente $$I_{0}$$ é de $$0,16 A$$ quando a fonte de tensão $$v_{s}$$ vale 12V.
Se a fonte $$v_{s}$$ for substituída por uma fonte de $$24 V$$, o valor da corrente $$I_{0}$$ será de, aproximadamente: 
 
 Figura 15: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "E " está correta.
 
A solução do problema pode ser encontrada utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) aplicada às duas malhas do circuito e
atribuindo o valor de 24V à fonte de tensão vs. No entanto, como já foi fornecida a corrente $$I_{0}$$ quando a fonte vale 12V, é
possível aplicar o princípio da linearidade para encontrar a nova corrente.
Quando $$v_s=12V$$:
$$ I_{0}=0,16 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para $$v_s=12V$$:
$$ I_{0}=2 \times 0,16=0,32 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, como a fonte de tensão dobrou de valor e o circuito é linear, a corrente elétrica também deverá ser dobrada.
6. Supondo inicialmente que a corrente $$I_{0}$$ seja 1A e utilizando o princípio da linearidade, o valor real para $$I_{0}$$
no circuito ilustrado na Figura 16 é de: 
 
 Figura 16: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
 
$$ \text { Se } I_{0}=1 A, \text { então: } V_{1}=(3+5) I_{0}=8 V $$
$$ I_{1}=\frac{V_{1}}{4}=2 A $$
Se a Lei de Kirchhoff das tensões for aplicada ao nó 1, temos:
$$ I_{2}=I_{1}+I_{0}=3 A $$
$$ V_{2}=V_{1}+2 I_{2}=8+6=14 V $$
$$ I_{3}=\frac{V_{2}}{7}=2 A $$
Ao aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões no nó 2, temos:
$$ I_{4}=I_{3}+I_{2}=5 A $$
Dessa forma, $$I_{S}=5 A$$. Isso significa que, ao supor $$I_{0}=1 A$$, tem-se $$I_{S}=5 A$$. Assim, o valor real da corrente da
fonte de $$15 A$$ resultará em uma corrente $$I_{0}$$ de $$3 A$$ como valor real.
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Utilizando o Teorema da Superposição, determine o valor da corrente i, que circula pelo resistor de
3Ω
no circuito elétrico ilustrado na Figura 17.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 17: Teoria na prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, O VALOR DA TENSÃO V NO RESISTOR DE 4Ω DO
CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 18 É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 18: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) 10V
B) 8V
C) 12V
D) 6V
E) 14V
2. O CIRCUITO ELÉTRICO ILUSTRADO NA FIGURA 19 CONTÉM DUAS FONTES, UMA DE TENSÃO DE
$$15V$$ E UMA DE CORRENTE DE $$6 A$$. CONSIDERANDO A CONTRIBUIÇÃO DESSAS DUAS
FONTES, A CORRENTE $$I_{1}$$ QUE CIRCULA PELO RESISTOR $$\LEFT(R_{1}\RIGHT)$$ É DE: 
 
 FIGURA 19: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) 4,0A
B) 1,5A
C) 3,0A
D) 2,0A
E) 2,5A
GABARITO
1. Utilizando o Teorema da Superposição, o valor da tensão v no resistor de 4Ω do circuito ilustrado na Figura 18 é de,
aproximadamente: 
 
 Figura 18: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "C " está correta.
 
Como o circuito contém duas fontes, é necessário calcular a contribuição de cada uma delas separadamente na tensão total do
resistor de $$4 \Omega$$. Seja assim:
$$ v=v_{1}+v_{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que $$v_{1}$$ e $$v_{2}$$ são as parcelas de tensão referentes às fontes de 4V e de 4A, respectivamente.
Para obter $$v_{2}$$ deve-se fazer a fonte de corrente como um circuito aberto. Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
$$ 12 i_{1}-4=0 \rightarrow i_{1}=0,33 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, $$v_{1}=4 i_{1}=1,33 \mathrm{~V}$$
OBS.: $$v_{1}$$ também poderia ser encontrada utilizando divisão de tensão.
Para obter $$v_{2}$$, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substituí-la por um curto-circuito. Assim, aplicando
divisão de corrente, tem-se:
$$ i_{3}=\frac{8}{4+8} 4=2,66 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então a tensão $$v_{2}$$ será: $$v_{2}\;=\;4i_3\;=\;10,66V$$
A tensão total será a soma das tensões $$v_{1}$$ e $$v_{2}$$:
$$ v=1,33+10,66 \approx 12 V $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito elétrico ilustrado na Figura 19 contém duas fontes, uma de tensão de $$15V$$ e uma de corrente de $$6 A$$.
Considerando a contribuição dessas duas fontes, a corrente $$I_{1}$$ que circula pelo resistor $$\left(R_{1}\right)$$ é de: 
 
 Figura 19: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "E " está correta.
 
A corrente $$I_{1}$$ pode ser encontrada aplicando o Teorema da Superposição. Considerando inicialmente a contribuição da fonte
de tensão, deve-se fazer a fonte de corrente como zero, ou seja, substituí-la por um circuito aberto. Tem-se um simples circuito
composto pela fonte de tensão em série com o resistor $$R_{1}$$:
$$ I_{1}^{\prime}=\frac{V}{R_{1}}=\frac{15}{6}=2,5 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a contribuição da fonte de corrente, por sua vez, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substituí-la por
um curto-circuito. Como a corrente elétrica sempre toma o caminho de menor resistência, tem-se que a contribuição dessa fonte em
Portanto, a corrente total no resistor $$R_{1}$$ será: será nula:
$$ I_{1}^{\prime \prime}=0 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente total no resistor $$R_{1}$$ será:
$$ I=I_{1}^{\prime}+I_{1}^{\prime \prime}=2,5+0=2,5 A $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
LIGAÇÕES DE CIRCUITOS EM ESTRELA E TRIÂNGULO
INTRODUÇÃO
 
Imagem: Stock.adobe.com
OS ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO PODEM SER CONECTADOS DE
DIVERSAS FORMAS PARA CONSTITUIR UM EQUIPAMENTO OU UM DISPOSITIVO
ELÉTRICO.
A organização dos elementos, como fontes de alimentação, resistores, indutores e capacitores é importante para definir a forma
como a energia será utilizada. Esta, por sua vez, é chamada de associação. Tratando mais especificamente de circuitos elétricos
básicos e alimentados com corrente contínua, os elementos do circuito resumem-se aos resistores.
A associação de resistores é muito comum em circuitos elétricos, pois nem sempre é possível obter um valor específico de
resistência com apenas um resistor. A associação desses resistores é sempre representada por um resistor equivalente
Req
, elemento fictício, ou seja, que não está, de fato, presente na rede, mas que representa a resistência total referente aos elementos
associados.
O comportamento da associação, ou seja, a forma como as tensões e correntes estão presentes no circuito, dependem do tipo de
ligação dos resistores. As associações básicas são dos tipos:
SÉRIE
PARALELO
MISTA (SÉRIE-PARALELO)
Além disso, os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não podem ser considerados associados em
série ou em paralelo, como é o caso das configurações em estrela (Y) e triângulo (∆), que serão abordadas neste módulo.
( )
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja o circuito ilustrado na Figura 20, que representa um circuito com uma fonte de tensão e dois resistores ligados em série, de
modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma única corrente de malha).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 20: Circuito com um laço e dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, tem-se:
V1 = IR1 ,V2 = IR2
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) à malha, arbitrando que a corrente circule no sentido horário, tem-se:
−V+V1 +V2 = 0
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando as Equações 9 e 10:
V=V1 +V2 = I R1 +R2
I=
V
R1 +R2
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 11 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um equivalente:
V= IREQ
Onde,
REQ=R1 +R2
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente em um circuito com
N
resistores ligados em série é a soma algébrica dessas resistências individuais desses elementos.
Para
N
resistores:
REQ=R1 +R2 + ⋯ +RN=
N
∑
N= 1
RN
( )
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Seja o circuito ilustrado na Figura 21, composto por uma fonte de tensão e dois resistores ligados em paralelo,
R1
e
R2
. Por estarem ligados em paralelo, os dois resistores estão submetidos à mesma tensão.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 21: Circuito com dois resistores em paralelo.
V= I1R1 = I2R2
I1 =
V
R1
I2 =
V
R2
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no nó a, tem-se a corrente total que vem da fonte:
I= I1 + I2
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a Equação 14 na Equação 15, tem-se:
I=
V
R1
+
V
R2
=V
1
R1
+
1
R2
=
V
REQ
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Req
é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
→
1
REQ
=
R1 +R2
R1R2
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas resistências dividido pela sua soma.
REQ=
R1R2
R1 +R2
(18)
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO MISTA (SÉRIE-PARALELO)
( )
A CONFIGURAÇÃO DE ASSOCIAÇÃO MISTA, OU SÉRIE-PARALELO, EM UM CIRCUITO
ELÉTRICO É FORMADA POR UMA COMBINAÇÃO DE ELEMENTOS LIGADOS EM SÉRIE
E EM PARALELO.
São muitas as combinações possíveis para a associação mista de resistores, portanto, é necessário analisar partes do circuito
separadamente a fim de definir a abordagem que fornece a melhor estratégia de determinação das grandezas necessárias. A
melhor forma de resolver um circuito em associação mista é compreender bem as associações em série e paralelo apresentadas
anteriormente. A Figura 22 ilustra um circuito com resistores em associação mista.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 22: Circuito CC em série-paralelo.
LIGAÇÕES EM ESTRELA (Y) E TRIÂNGULO (∆)
 VOCÊ SABIA
Em muitas situações, a configuração dos elementos de um circuito elétrico não se configura como associação em série e nem como
associação em paralelo. Essas situações dificultam, a princípio, a análise do circuito a partir das leis básicas, como a Lei de
Kirchhoff das correntes (LKC) e a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), aplicadas às análises nodal e de malhas.
Muitos desses circuitos complexos podem ser simplificados a partir de uma conversão em redes equivalentes de três terminais. As
configurações de ligação em estrela (Y) e triângulo (∆) são, frequentemente, responsáveis por essa dificuldade e que podem ser
facilmente convertidas em redes equivalentes. Muitas vezes, essas ligações são também identificadas por “T” e “pi” (π),
respectivamente, ilustradas na Figura 23 e Figura 24:
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 23: Circuito ligado em estrela: (a) Y; (b) T
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 24: Circuito ligado em triângulo: (a) ∆ (b) π.
Portanto, de modo a auxiliar na aplicação das técnicas de análise de circuitos para redes com essas ligações, serão apresentados,
na sequência, os desenvolvimentos das equações necessárias para a conversão de circuitos em estrela para triângulo e vice-versa.
Seja o circuito da Figura 25, com os terminais
a
,
b
e
c
fixos. Caso se deseje utilizar o circuito na configuração estrela (Y), em vez da configuração em triângulo (∆), basta aplicar
diretamente as equações que serão desenvolvidas na sequência. É importante destacar que apenas uma das configurações, estrela
ou triângulo, podem estar presentes entre os terminais
a
,
b
e
c
, de modo que se possa dizer que são equivalentes.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 25: Conceito de conversão ∆-Y
O objetivo matemático da conversão entre as configurações é determinar uma expressão para
R1
,
R2
e
R3
em função de
RA
,
RB
e
RC
, e vice-versa, de modo a garantir que a resistência entre dois terminais quaisquer da configuração estrela seja equivalente à
resistência entre dois terminais quaisquer da configuração triângulo.
CONVERSÃO TRIÂNGULO – ESTRELA (∆ - Y)
É possível que, em algumas situações, seja mais conveniente analisar um circuito em uma determinada configuração.
 EXEMPLO
Pode ser interessante fazer a conversão de parte de um circuito que esteja ligada em triângulo para seu equivalente em estrela.
Essa mudança é denominada conversão triângulo-estrela. Para fazer essa conversão, deve-se sobrepor o circuito em estrela ao
circuito em triângulo já existente e determinar o valor da resistência em cada par de nós que seja correspondente à ligação em
estrela.
De modo geral, a conversão triângulo-estrela transforma os resistores em triângulo
RA ,RB ,RC
em estrela
R1 ,R2 ,R3
, de modo que existirão expressões para
R1 ,R2eR3
, em função de
RA ,RB
e
RC
. Considerando o circuito da Figura 25, a resistência entre os terminais
a−c
deve ser a mesma tanto para a ligação triângulo quanto para ligação estrela:
RA−C (Y ) =RA−C ( Δ )
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se que:
RA−C=R1 +R3 =
RB RA+RC
RB+ RA+RC
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando o mesmo raciocínio aos pares de nós
a−b
e
b−c
, é possível obter outras expressões:
( )
( )
( )
( )
RA−B=R1 +R2 =
RC RA+RCB
RC+ RA+RB
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RB−C=R2 +R3 =
RA RB+RC
RA+ RB+RC
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 20 da Equação 21, tem-se:
R1 +R2 − R1 +R3 =
RCRB+RCRA
RA+RB+RC −
RBRA+RBRA
RA+RB+RC
De modo que:
R2 −R3 =
RARC−RBRA
RA+RB+RC
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 23 da Equação 22, tem-se:
R2 +R3 − R2 −R3 =
RARB+RARC
RA+RB+RC −
RARC−RBRA
RA+RB+RC
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Logo:
2R3 =
2RBRA
RA+RB+RC
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível, então, determinar uma expressão para o resistor
R3
(ligação em estrela), em função dos resistores
RA
,
RB
e
RC
(ligação em triângulo):
R3 =
RARB
RA+RB+RC
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o mesmo raciocínio for aplicado para
R1
e
R2
, tem-se:
R1 =
RBRC
RA+RB+RC
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R2 =
RARC
RA+RB+RC
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que não é necessário memorizar as expressões descritas nas Equações 25 a 27. Para fazer a transformação,
basta criar um nó extra
n
, conforme ilustrado na Figura 26 e seguir a seguinte regra:
“CADA RESISTOR DO CIRCUITO ESTRELA É O PRODUTO DOS RESISTORES NOS
DOIS RAMOS EM TRIÂNGULO ADJACENTES, DIVIDIDO PELA SOMA DOS TRÊS
RESISTORES EM ESTRELA.”
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 26: Superposição de circuitos Y e ∆ (transformação).
CONVERSÃO ESTRELA – TRIÂNGULO (Y - ∆)
Em outras situações, pode ser mais conveniente analisar um circuito em triângulo, em vez de em estrela. Para isso, é necessário
fazer a conversão estrela-triângulo para encontrar os resistores equivalentes, semelhante ao que foi feito no tópico anterior. Com
base nas Equações 25 e 26, tem-se a seguinte divisão:
R3
R1
=
RARB / RA+RB+RC
RBRC / RA+RB+RC =
RA
RC
Ou
RA=
RCR3
R1
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, divide-se a Equação 25 pela Equação 27:
R3
R2
=
RARB / RA+RB+RC
RARC / RA+RB+RC =
RB
RC
Ou
RB=
RCR3
R2
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
RA
e
RB
por esses valores na Equação 27, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
R2 =
RCR3 /R1 RC
RCR3 /R2 + RCR3 /R1 +RC
=
R3 /R1 RC
R3 /R2 + R3 /R1 + 1
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reduzindo a expressão para um denominador comum:
R2 =
RCR3 /R1
R1R2 +R1R3 +R2R3 / R1R2
=
R2R3RC
R1R2 +R1R3 +R2R3
Isolando
RC
:
RC=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R3
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base nesse mesmo procedimento, é possível encontrar as expressões para
RA
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
e
RB
(ligação triângulo), em função de
R1
,
R2
e
RA
(ligação estrela):
RA=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R1
RB=
R1R2 +R1R3 +R2R3
R2
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que:
“O VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É IGUAL À SOMA DAS POSSÍVEIS
COMBINAÇÕES DOS PRODUTOS DAS RESISTÊNCIAS DO CIRCUITO ESTRELA
(EXTRAÍDAS DUAS A DUAS), DIVIDIDA PELA RESISTÊNCIA ESTRELA MAIS OPOSTA.”
CIRCUITOS EM ESTRELA OU TRIÂNGULO EQUILIBRADOS
Em circuitos que o valor das três resistências é igual tanto na ligação em estrela
R1 =R2 =R3
, como na ligação em triângulo
RA=RB=RC, diz-se que o circuito é equilibrado. Se
RA=RB=RC
( )
( )
, a Equação 25 facilmente se transformaria em (usando apenas RA):
R3 =
RARB
RA+RB+RC =
RARA
RA+RB+RC =
R
2
A
3RA =
RA
3
(33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo o mesmo procedimento:
R1 =
RA
3 ,R2 =
RA
3
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma geral, as fórmulas de conversão anteriormente desenvolvidas são, para circuitos equilibrados, resumidas em:
RY=
RΔ
3 ,RΔ = 3RY
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ISSO INDICA QUE, PARA UM CIRCUITO EM ESTRELA DE TRÊS RESISTORES IGUAIS, O
VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É IGUAL A TRÊS VEZES O VALOR DE UM
RESISTOR EM ESTRELA.
 EXEMPLO
Converta o circuito ilustrado na Figura 27, ligado em triângulo (ou delta) em seu equivalente em estrela (ou T).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 27: Circuito do Exemplo 1.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela consiste em encontrar
os valores de
R1
,
R2
e
R3
:
R1 =
RBRC
RA+RB+RC =
20 × 10
30 + 20 + 10 = 3 , 33Ω
R2 =
RARC
RA+RB+RC =
30 × 10
30 + 20 + 10 = 5Ω
R3 =
RARB
RA+RB+RC =
20 × 30
30 + 20 + 10 = 10Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O circuito equivalente em estrela é ilustrado na Figura 28.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 28: Circuito Y equivalente ao ∆.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 29, QUE ILUSTRA UMA LIGAÇÃO EM TRIÂNGULO (OU DELTA
‒ ∆). APÓS A CONVERSÃO EM SEU CIRCUITO EQUIVALENTE EM ESTRELA, OS VALORES DAS
RESISTÊNCIAS $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ E $$R_{3}$$ VALEM, RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 29: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) $$R_{1}=10 \Omega, R_{2}=8,5 \Omega \text { e } R_{3}=3 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) $$R_{1}=7,5 \Omega, R_{2}=10 \Omega \text { e } R_{3}=5 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) $$\mathrm{R}_{1}=4,5 \Omega, \mathrm{R}_{2}=5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=7,5 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) $$\mathrm{R}_{1}=8 \Omega, \mathrm{R}_{2}=7,5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=2 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) $$\mathrm{R}_{1}=7,5 \Omega, \mathrm{R}_{2}=5,5 \Omega \text { e } \mathrm{R}_{3}=10 \Omega$$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A FIGURA 30 ILUSTRA UM CIRCUITO CUJOS ELEMENTOS ESTÃO LIGADOS EM PONTE.
CONSIDERE QUE:
$$ R_{A}=2 \OMEGA, R_{B}=5 \OMEGA \QUAD E \QUAD R_{C}=4 \OMEGA $$
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A RESISTÊNCIA TOTAL $$R_{T}$$ PARA ESSE CIRCUITO É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 30: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) $$ 4,5 \Omega $$
B) $$ 1,5 \Omega $$
C) $$ 2,75 \Omega $$
D) $$ 5,5 \Omega $$
E) $$ 2,5 \Omega $$
3. A CONVERSÃO DO CIRCUITO LIGADO EM TRIÂNGULO (OU DELTA), ILUSTRADO NA FIGURA 31,
PARA SEU EQUIVALENTE EM ESTRELA FORNECE COMO NOVOS VALORES DE RESISTÊNCIA: 
 
 FIGURA 31: MÃO NA MASSA ‒ EXERCÍCIO 3.
A) $$ R_{1}=7,5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) $$ R_{1}=3 \Omega, \quad R_{2}=5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=7,5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) $$ R_{1}=7,5 \Omega, \quad R_{2}=5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) $$ R_{1}=3 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) $$ R_{1}=5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \quad \text { e } \quad R_{3}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O CIRCUITO DA FIGURA 32 APRESENTA UMA ASSOCIAÇÃO COMPLEXA DE RESISTORES. COM
BASE NOS CONCEITOS DE LIGAÇÕES EM ESTRELA E TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL
EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE: 
 
 FIGURA 32: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) $$ 16,75 \Omega $$
B) $$ 25,5 \Omega $$
C) $$ 18,75 \Omega $$
D) $$ 23,05 \Omega $$
E) $$ 25 \Omega $$
5. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 33, O VALOR DA RESISTÊNCIA EQUIVALENTE VISTA PELA FONTE,
OU SEJA, A RESISTÊNCIA TOTAL EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE,
APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 33: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) $$ 25 \Omega $$
B) $$ 40 \Omega $$
C) $$ 45 \Omega $$
D) $$ 35 \Omega $$
E) $$ 30 \Omega $$
6. A FIGURA 34 ILUSTRA UM CIRCUITO EM QUE OS RESISTORES ESTÃO ASSOCIADOS DE FORMA
COMPLEXA, OU SEJA, NÃO PODEM SER DIRETAMENTE RESUMIDOS A CIRCUITOS EM SÉRIE OU EM
PARALELO. CONSIDERANDO A POSSIBILIDADE DE CONVERSÃO ENTRE EQUIVALENTES EM
ESTRELA OU EM TRIÂNGULO, O VALOR DA RESISTÊNCIA ENTRE OS TERMINAIS AB DO CIRCUITO É
DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 34: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) $$ 57,13 \Omega $$
B) $$ 45,15 \Omega $$
C) $$ 60,25 \Omega $$
D) $$ 38,18 \Omega $$
E) $$ 26,14 \Omega $$
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 29, que ilustra uma ligação em triângulo (ou delta ‒ ∆). Após a conversão em seu circuito
equivalente em estrela, os valores das resistências $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ e $$R_{3}$$ valem, respectivamente: 
 
 Figura 29: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
Para converter o circuito em triângulo para seu equivalente em estrela, basta voltar às Equações 25, 26 e 27, que fornecem
diretamente os valores das resistências $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ e $$R_{3}$$.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 30}{20+15+30}=7,5 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{20 \times 30}{20+15+30}=10 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{20 \times 15}{20+15+30}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
$$ R_{1}=7,5 \Omega, R_{2}=10 \Omega \text { e } R_{3}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A Figura 30 ilustra um circuito cujos elementos estão ligados em ponte. Considere que:
$$ R_{A}=2 \Omega, R_{B}=5 \Omega \quad e \quad R_{C}=4 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total $$R_{T}$$ para esse circuito é de, aproximadamente: 
 
 Figura 30: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 30 para seu equivalente em estrela é:
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{5 \times 4}{2+5+4}=1,8 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{2 \times 4}{2+5+4}=0,72 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{2 \times 5}{2+5+4}=0,9 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o segmento em triângulo pelo seu equivalente em estrela, a resistência total pode ser agora facilmente encontrada a
partir de associações em série e paralelo, e será de:
$$ R_{T}=0,9+\frac{(4+1,8)(2+0,72)}{(4+1,8)+(2+0,72)} $$
$$ R_{T}=0,9+\frac{(5,8)(2,72)}{(5,8)+(2,72)} $$
$$ R_{T}=0,9+1,85 $$
$$ R_{T}=2,75 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A conversão do circuito ligado em triângulo (ou delta), ilustrado na Figura 31, para seu equivalente em estrela fornece
como novos valores de resistência: 
 
 Figura 31: Mão na massa ‒ Exercício 3.
A alternativa "E " está correta.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão dosegmento destacado na Figura 31 para seu equivalente em estrela é:
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{10 \times 25}{15+10+25}=5 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{25 \times 15}{15+10+25}=7,5 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 10}{15+10+25}=3 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
$$ R_{1}=5 \Omega, \quad R_{2}=7,5 \Omega \text { e } R_{3}=3 \Omega $$
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4. O circuito da Figura 32 apresenta uma associação complexa de resistores. Com base nos conceitos de ligações em
estrela e triângulo, a resistência total equivalente entre os pontos A e B é de: 
 
 Figura 32: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, deve-se transformar os resistores da primeira malha, ligados em triângulo, em seu equivalente em estrela
$$\left(R_{1}, R_{2} e R_{3}\right)$$.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{40 \times 10}{40+50+10}=4 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{40 \times 50}{40+50+10}=20 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{50 \times 10}{40+50+10}=5 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se:
$$20 \Omega$$ em série com $$60 \Omega=80 \Omega$$
$$5 \Omega$$ em série com $$20 \Omega=25 \Omega$$
O paralelo dessas associações é:
$$80 \Omega \| 25 \Omega=19,05 \Omega$$
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A resistência total equivalente entre os pontos A e B é:
$$ R_{T}=4 \Omega+19,05 \Omega=23,05 \Omega $$
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5. Para o circuito da Figura 33, o valor da resistência equivalente vista pela fonte, ou seja, a resistência total equivalente
entre os pontos A e B é de, aproximadamente: 
 
 Figura 33: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
6. A Figura 34 ilustra um circuito em que os resistores estão associados de forma complexa, ou seja, não podem ser
diretamente resumidos a circuitos em série ou em paralelo. Considerando a possibilidade de conversão entre equivalentes
em estrela ou em triângulo, o valor da resistência entre os terminais AB do circuito é de, aproximadamente: 
 
 Figura 34: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "A " está correta.
 
Primeiramente, deve-se aplicar a conversão da ligação em triângulo dos resistores de $$30 \Omega$$, $$15 \Omega$$ e $$10
\Omega$$ para seu equivalente em estrela. De forma semelhante, essa conversão pode ser aplicada entre os resistores de $$20
\Omega$$, $$25 \Omega$$ e $$30 \Omega$$ sem alterar o resultado.
$$ R_{1}=\frac{R_{B} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{10 \times 30}{30+15+10}=5,45 \Omega $$
$$ R_{2}=\frac{R_{A} R_{C}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{30 \times 15}{30+15+10}=8,18 \Omega $$
$$ R_{3}=\frac{R_{A} R_{B}}{R_{A}+R_{B}+R_{C}}=\frac{15 \times 10}{30+15+10}=2,72 \Omega $$
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Após a transformação, tem-se as seguintes associações em série e paralelo:
$$ 20 \Omega+5,45 \Omega=25,45 \Omega $$
$$ 25 \Omega+8,18 \Omega=33,18 \Omega $$
$$ 25,45 \Omega \| 33,18 \Omega \rightarrow 14,4 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, a resistência total equivalente será de, aproximadamente:
$$ R_{T}=22 \Omega+14,4 \Omega+2,72 \Omega+18 \Omega=57,13 \Omega $$
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Os circuitos em ponte são muito importantes nas montagens de equipamentos eletrônicos, como, por exemplo, para medição de
resistência. Uma das montagens mais utilizadas é a chamada Ponte de Wheatstone, para medição de resistências com elevada
precisão, resistores entre
1Ω
e
1MΩ
. A solução de circuitos em ponte pode ser facilmente encontrada a partir de transformações estrela-triângulo. Com base nos
conceitos dessas transformações, calcule a potência elétrica fornecida à ponte do circuito da Figura 35.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 35: Teoria na Prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. COM BASE NAS EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO DE CIRCUITOS ESTRELA-TRIÂNGULO, A
RESISTÊNCIA TOTAL DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 36 É DE: 
 
 FIGURA 36: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) $$ 2,54 \Omega $$
B) $$ 3,27 \Omega $$
C) $$ 4,65 \Omega $$
D) $$ 3,82 \Omega $$
E) $$ 4,18 \Omega $$
2. A CONVERSÃO DO CIRCUITO DA FIGURA 37, LIGADO EM ESTRELA, PARA SEU EQUIVALENTE EM
TRIÂNGULO, FORNECE COMO VALORES PARA $$R_{1}$$, $$R_{2}$$ E $$R_{3}$$,
RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 37: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) $$ 55 \Omega, 120 \Omega \text { e } 85 \Omega $$
B) $$ 25 \Omega, 160 \Omega \text { e } 70 \Omega $$
C) $$ 140 \Omega, 70 \Omega \text { e } 35 \Omega $$
D) $$ 150 \Omega, 85 \Omega \text { e } 50 \Omega $$
E) $$ 70 \Omega, 35 \Omega \text { e } 140 \Omega $$
GABARITO
1. Com base nas equações de transformação de circuitos estrela-triângulo, a resistência total do circuito ilustrado na
Figura 36 é de: 
 
 Figura 36: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
A conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela permite a análise do circuito equivalente a partir de
associações em série e paralelo. No caso do circuito da Figura 36, como os resistores do triângulo são iguais, é possível utilizar as
equações de conversão para circuitos equilibrados:
$$ R_{Y}=\frac{R_{\Delta}}{3}=\frac{6}{3}=2 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total será de:
$$ R_{T}=2\left[\frac{2 \times 9}{2+9}\right]=3,27 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A conversão do circuito da Figura 37, ligado em estrela, para seu equivalente em triângulo, fornece como valores para
$$R_{1}$$, $$R_{2}$$ e $$R_{3}$$, respectivamente: 
 
 Figura 37: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
A partir das equações de conversão estrela para triângulo, tem-se:
$$ R_{A}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{1}}=\frac{10 \times 20+20 \times 40+40 \times 10}{10}=140 \Omega $$
$$ R_{B}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{2}}=\frac{10 \times 20+20 \times 40+40 \times 10}{20}=70 \Omega $$
$$ R_{C}=\frac{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}{R_{3}}=\frac{10 \times 20+20 \times 40+40 \times 10}{40}=35 \Omega $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise de circuitos elétricos é facilmente entendida com a aplicação das leis básicas de circuitos, como a Lei de Ohm e as Leis de
Kirchhoff (das tensões e das correntes). No entanto, para circuitos mais complexos ou que contenham uma grande quantidade de
elementos e fontes de alimentação, apenas o conhecimento dessas leis pode ser insuficiente para prosseguir com a análise. Dessa
forma, teoremas como o da Superposição, apresentado neste conteúdo, permitem a simplificação dos circuitos.
O Teorema da Superposição apresentado baseia-se no princípio da linearidade dos elementos de circuito e diz que a corrente
elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela
atuação isolada de cada uma das fontes independentes. Dessa forma, o resultado dessas grandezas pode ser obtido a partir de
uma análise individual de cada fonte do circuito, somadas algebricamente. Por fim, foram apresentadas as equivalências entre as
ligações em estrela ou triângulo, bem como suas equivalentes transformações que permitem simplificar a aplicação das leis básicas
em circuitoscujos elementos não estão ligados em série ou em paralelo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Education, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Education, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar nos tópicos desenvolvidos, leia o seguinte livro:
CRUZ, E. C. A. Eletricidade básica – circuitos em corrente continua. São José dos Campos: Érica, 2014.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães