(TEMA 4) Teorema da Superposição e circuitos equivalentes em estrela e triângulo

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo de análise de circuitos elétricos a partir do Teorema da Superposição e princípio da
linearidade, análise de circuitos ligados em estrela ou triângulo e suas transformações equivalentes.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais do princípio da linearidade de circuitos elétricos, necessários para
aplicação do Teorema da Superposição. Analisar outras formas de associação de elementos para além dos modos
em série e paralelo, por meio das ligações em estrela e triângulo, bem como suas transformações equivalentes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha à mão papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos na solução de equações dos circuitos elétricos e transformações equivalentes
para as ligações estrela e triângulo.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
MÓDULO 2
Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
INTRODUÇÃO
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E CIRCUITOS
EQUIVALENTES EM ESTRELA E TRIÂNGULO
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km). No entanto, o Inmetro
estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e
demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das
unidades.
MÓDULO 1
 Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
javascript:void(0)
INTRODUÇÃO
 
Imagem: Shutterstock.com
A APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC) E DA LEI DE
KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT) PERMITE A SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
ELÉTRICOS POR MANEIRAS MUITO SIMPLES, POR MEIO DA ANÁLISE
NODAL E ANÁLISE DE MALHAS, RESPECTIVAMENTE.
No entanto, se o circuito for grande ou complexo, a aplicação dessas leis pode se tornar muito trabalhosa, em
virtude da quantidade de cálculos e equações necessárias para encontrar as variáveis tensão e corrente nos
elementos. Para lidar com o problema de solução de circuitos elétricos complexos, diversos teoremas foram
desenvolvidos para simplificar a análise.
Entre os teoremas mais utilizados, pode-se citar o Teorema de Thévenin, o Teorema de Norton e o Teorema da
Superposição, sendo esse o principal tema abordado neste módulo.
É importante destacar que os teoremas de circuitos são válidos apenas para circuitos lineares e, por esse motivo,
deve-se ter muito claro o princípio da linearidade em circuitos elétricos.
PRINCÍPIO DA LINEARIDADE
 
Imagem: Shutterstock.com
O princípio da linearidade é uma relação matemática de grande impacto em circuitos elétricos em geral,
intimamente relacionada com a proporcionalidade e que pode ser representada graficamente por uma reta.
 VOCÊ SABIA
A linearidade é basicamente a propriedade de uma função ser compatível com adição (aditividade) e
escalonamento (homogeneidade), também chamado de superposição.
Em um circuito que obedece a propriedade de homogeneidade, se a entrada, ou seja, a fonte de alimentação
(excitação) for multiplicada por uma constante, a sua saída, ou seja, a resposta à excitação, deverá também ser
multiplicada por essa mesma constante. Considerando a Lei de Ohm, que relaciona a entrada em corrente para
saída em tensão no resistor:
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o valor dessa corrente for aumentado “k vezes”, a tensão sob o resistor terá um aumento de “k vezes”, ou
seja:
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função matemática representada por uma linha reta que passa pela origem possui a propriedade de
proporcionalidade. Seja como exemplo, a função
v = Ri
Kv = KiR
f(x) = 2x
, representada pela Figura 1.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 1: Função matemática
Para o valor de
, tem-se que
. Se o valor de
for dobrado, ou seja,
, tem-se que
. Isso significa que, ao duplicar
(entrada), duplica-se também
(saída). Essa relação é válida para qualquer valor de
, ou seja, o fator de escala ou proporcionalidade não varia.
f(x) = y = 2x
x = 2
f(x) = 2 × 2 = 4
x
x = 4
f(x) = 8
x
f(x)
x
Já a propriedade de adição (aditividade) diz que a resposta para a soma de entradas diferentes em um circuito é
dada pela soma das respostas a cada uma dessas entradas aplicadas separadamente.
 EXEMPLO
A partir da relação entre tensão e corrente no resistor, sua resposta a uma entrada constituída de duas correntes
será obtida pelas respostas individuais a cada uma dessas correntes:
Aplicando
, tem-se:
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 2 ilustra a propriedade de adição para uma função linear qualquer,
:
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
v1 = i1R , v2 = i2R
i1 + i2
v = (i1 + i2)R = i1R + i2R = v1 + v2
f(x)
 Figura 2: Ilustração para uma função linear.
SE AS ENTRADAS
E
FOREM SOMADAS E COLOCADAS DENTRO DA FUNÇÃO
, A SAÍDA SERÁ
OU A PARTIR DA PROPRIEDADE DE ADIÇÃO,
.
De modo geral, os conceitos de linearidade aplicados aos resistores são também estendidos para os demais
componentes do circuito, os indutores e capacitores. As leis desses componentes são dadas por:
INDUTOR
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITOR
x1
x2
f(x)
f (x1 + x2)
f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2)
v = L
di
dt
i = C
dv
dt
javascript:void(0)
javascript:void(0)
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Inicialmente, as Equações 4 e 5 podem não parecer referentes a funções lineares. No entanto, basta observar a
derivada como a variável independente da função linear:
INDUTOR
A relação no indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a derivada
é o eixo horizontal e
, o eixo vertical, conforme Figura 3. A inclinação dessa reta é a indutância L.
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 3: Relação tensão x corrente para o indutor.
CAPACITOR
di/dt
v
v = f ( ) = Ldi
dt
di
dt
A relação no capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a derivada
é o eixo horizontal e i como eixo vertical, conforme Figura 4. A inclinação dessa reta é a capacitância C.
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 4: Relação tensão x corrente para o capacitor.
 ATENÇÃO
O princípio da linearidade não se aplica à potência elétrica. Essa proposição pode ser entendida analisando a
fórmula de potência, expressa pela Equação 8:
dv/dt
i = f ( ) = Cdv
dt
dv
dt
p = Ri2 =
v2
R
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 8 demonstra que a relação entre tensão e corrente para potência elétrica é quadrática, portanto, o
Teorema da Superposição, que será demonstrado mais adiante, não se aplica para cálculos de potência.
Resumindo o princípio da linearidade:
“UM CIRCUITO É LINEAR QUANDO SUA SAÍDA ESTÁ LINEARMENTE
RELACIONADA À SUA ENTRADA, OU SEJA, SAÍDA E ENTRADA SÃO
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.”
 EXEMPLO
Veja o circuito linear ilustrado na Figura 5. Os elementos contidos nesse circuito não são importantes, desde que
sejam lineares. A alimentação (entrada) do circuito é feita por uma fonte de tensão e a resposta (saída) é
representada pela corrente no resistor R. Quando a fonte de tensão fornece 10V, a corrente no resistor é de 2A.
Considerando o princípio da linearidade, calcule o valor da corrente no resistor se a fonte de tensão entregar uma
tensão de 10mV ao circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 5: Circuito linear resistivo.
Como o circuito é linear,as propriedades de adição e homogeneidade são válidas. Considerando a
proporcionalidade entre os valores de entrada e saída, tem-se:
Para:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
vS = 10V → iR = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que, em virtude da proporcionalidade, basta fazer uma “regra de três” para obter a solução.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 
Imagem: Stock.adobe.com
O Teorema da Superposição é baseado no princípio da linearidade apresentado anteriormente, sendo, sem
dúvidas, um dos mais utilizados em técnicas de solução de circuitos elétricos.
Esse teorema se aplica a circuitos lineares que contenham fontes independentes ou dependentes, resistores,
indutores e capacitores, que são elementos lineares, conforme descrito anteriormente. A utilização desse teorema
pode, muitas vezes, reduzir a complexidade e facilitar a solução de circuitos elétricos.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o Teorema da Superposição é aplicado para analisar circuitos que contenham duas ou mais
fontes que não estejam conectadas em série ou paralelo, ou seja, em arranjos diferentes que não permitam
uma associação equivalente direta dessas fontes.
É possível, dessa forma, determinar os efeitos individuais de cada uma dessas fontes e suas contribuições
específicas nas grandezas dos circuitos. Para fontes de diferentes tipos, o resultado final (total) referente às fontes
trata-se da soma algébrica de seus resultados individuais.
De modo resumido, tem-se que:
O Teorema da Superposição assegura que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é
dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada uma das fontes
independentes.
Esse Teorema, portanto, permite que se encontre uma solução para corrente elétrica ou tensão no circuito linear
utilizando apenas uma fonte por vez. Assim, após encontrar as soluções individuais, basta prosseguir com uma
soma algébrica para combinar os resultados e obter a resposta total. É importante destacar que a contribuição das
fontes pode permitir que as correntes elétricas tenham sentidos opostos ou que as tensões possuam polaridades
invertidas, por esse motivo, a contribuição total é a soma algébrica, de modo que o sinal de cada fonte deve ser
considerado.
vs = 10mV → iR = 2mA
 VOCÊ SABIA
Para aplicar o Teorema da Superposição, é necessário obter as contribuições individuais das fontes do circuito
elétrico, ou seja, é necessário avaliar cada fonte individualmente, enquanto todas as outras restantes devem ser
removidas.
Existem, basicamente, dois tipos de fonte em circuitos que deverão ser removidas, as fontes de tensão e as fontes
de corrente. Para desativá-las, tem-se:
FONTES DE TENSÃO
Para desativar uma fonte de tensão em um circuito elétrico, basta substituí-la por um curto-circuito, ou seja, uma
conexão direta entre seus terminais. Assim, a tensão será zero, que é o mesmo que desativar a fonte. Se houver
resistência interna na fonte, essa deverá ser mantida em série no circuito. A Figura 6 ilustra a remoção de uma
fonte de tensão em parte de um circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 6: Remoção de uma fonte de tensão.
FONTES DE CORRENTE
Para desativar uma fonte de corrente em um circuito elétrico basta substituí-la por um circuito aberto, ou seja, uma
conexão aberta entre seus terminais. Assim, a corrente elétrica será zero, que é o mesmo que desativar a fonte. Se
houver resistência interna na fonte, essa deverá ser mantida em paralelo no circuito. A Figura 7 ilustra a remoção
de uma fonte de corrente em parte de um circuito.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 7: Remoção de uma fonte de corrente.
 ATENÇÃO
Pode-se dizer que o número de circuitos a ser analisado a partir do Teorema da Superposição se refere ao número
de fontes existentes, tendo em vista que o efeito de cada uma será determinado individualmente. A princípio isso
pode parecer uma desvantagem do método de análise, no entanto, a superposição contribui para reduzir a
complexidade de circuitos elétricos pela simples substituição de fontes por curtos-circuitos ou por circuitos abertos
em diferentes situações de análise.
ETAPAS PARA APLICAÇÃO DO TEOREMA DA
SUPERPOSIÇÃO
 
Imagem: Shutterstock.com

ETAPA 1
Desativar todas as fontes independentes do circuito elétrico, exceto uma. As fontes de tensão são substituídas por
um curto-circuito e as fontes de corrente por um circuito aberto. As fontes dependentes, ou controladas, devem ser
mantidas no circuito.

ETAPA 2
Repetir a Etapa 1 até que todas as fontes independentes tenham sido consideradas e calculadas suas
contribuições individuais.

ETAPA 3
Determinar a resposta total nos elementos fazendo a soma algébrica das respostas individuais de cada fonte. As
tensões e correntes em cada ramo serão a soma das tensões e correntes das fontes independentes obtidas
individualmente. É importante atentar-se ao sentido das correntes e à polaridade das tensões, conforme já descrito.
 EXEMPLO
Com base no Teorema da Superposição e no princípio da linearidade descritos, calcule a corrente elétrica que
circula por meio do resistor
do circuito ilustrado na Figura 8:
R2
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 8: Circuito para o Exemplo 2.
Inicialmente, será determinada a contribuição da fonte de tensão de 24V. Para isso, a fonte de corrente deve ser
desativada, o que significa substituí-la por um circuito aberto, conforme ilustrado na Figura 9.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 9: Substituição da fonte de corrente por um circuito aberto.
O resultado é um circuito em série simples e a contribuição da fonte na corrente, dada por
, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para encontrar a contribuição da fonte de corrente, é necessário desativar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la
por um curto-circuito, conforme ilustrado na Figura 10:
I ′2
I ′2 = = = = 2A
V
RT
V
R1 + R2
24
8 + 4
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 10: Substituição da fonte de tensão por um curto-circuito.
O resultado é uma combinação em paralelo dos resistores
e
. Com base no princípio de divisão de corrente, a contribuição da fonte de 6A, denominada
, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as duas correntes encontradas tem o mesmo sentido de fluxo no resistor
, a corrente total é dada pela soma de
e
:
R1
R2
I ′′2
I ′′2 = I = 6 = 4A
R1
R1 + R2
8
8 + 4
R2
I ′2
I ′′2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este exemplo demonstra que, caso se deseje calcular a corrente elétrica em um circuito, a contribuição para tal
corrente deve ser determinada para cada fonte, conforme Teorema da Superposição. Além disso, quando o efeito
de cada fonte é determinado, correntes de mesmo sentido são adicionadas e correntes de sentido oposto são
subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica dessas grandezas. O resultado obtido é o sentido da soma
maior e o valor absoluto da diferença.
Do mesmo modo, caso se deseje calcular a tensão em um elemento, sua contribuição também deve ser
determinada para cada fonte, conforme o Teorema da Superposição. Além disso, quando o efeito de cada fonte é
determinado, tensões de mesma polaridade são adicionadas, enquanto tensões de polaridades opostas são
subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica dessas grandezas. O resultado obtido tem a polaridade da soma
maior e o valor absoluto da diferença.
 ATENÇÃO
Do mesmo modo que demonstrado anteriormente para o princípio da linearidade, o Teorema da Superposição
não pode ser aplicado para calcular a potência elétrica fornecida em um circuito. Sabe-se que a dissipação
de potência nos elementos lineares do circuito como resistores, varia em função do quadrado da tensão aplicada
ou da correnteque está no seu ramo. Portanto, a potência total de cada componente do circuito não será a soma
das potências individuais quando as fontes atuam de forma isolada.
MÃO NA MASSA
1. COM BASE NO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE ELÉTRICA QUE
CIRCULA PELO RESISTOR
DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 11 É DE: 
 
I = I ′2 + I
′′
2 = 2 + 4 = 6A
R2
 FIGURA 11: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) 6,65A
B) 8,5A
C) 5,45A
D) 7,25A
E) 4,5A
2. O CIRCUITO DA FIGURA 12 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO ALIMENTADO POR
UMA FONTE DE TENSÃO DE 1V. CONSIDERANDO OS VALORES DOS COMPONENTES E
O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O VALOR DA CORRENTE
QUANDO A FONTE DE TENSÃO FOR DE 10V É DE: 
 
 FIGURA 12: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 1A
i0
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
3. A FIGURA 13 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO LIGADO EM PONTE. AO APLICAR O
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE
QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE
É DE APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 13: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 1,56mA
B) 2,88mA
C) 1,77mA
D) 4,45mA
E) 6,66mA
I2
12kΩ
4. AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA
14, A CORRENTE ELÉTRICA QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE
É DE: 
 
 FIGURA 14: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) 2,05A
B) 1,08A
C) 3,42A
D) 2,36A
E) 1,56A
5. PARA O CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 15, A CORRENTE
É DE
QUANDO A FONTE DE TENSÃO
VALE 12V. SE A FONTE
FOR SUBSTITUÍDA POR UMA FONTE DE
, O VALOR DA CORRENTE
12Ω
I0
0, 16A
vs
vs
24V
I0
SERÁ DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 15: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 0,64A
B) 1,5A
C) 0,56A
D) 1,48A
E) 0,32A
6. SUPONDO INICIALMENTE QUE A CORRENTE
SEJA 1A E UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O VALOR REAL PARA
NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 16 É DE: 
 
I0
I0
 FIGURA 16: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
GABARITO
1. Com base no Teorema da Superposição, a corrente elétrica que circula pelo resistor
do circuito ilustrado na Figura 11 é de: 
 
 Figura 11: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "D " está correta.
 
É possível começar a resolver o circuito calculando a contribuição da fonte de tensão de 32V. Nesse caso, a fonte
de corrente deve ser desligada, ou seja, substituída por um circuito aberto equivalente. O resultado é um circuito
em série cuja corrente será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
R2
I ′2 = = = = = 2A
V
RT
V
R1 + R2
32
14 + 2
32
16
I ′2
é a corrente no resistor
referente à contribuição da fonte de tensão.
Para calcular o efeito da fonte de corrente, a fonte de tensão deve ser desligada do circuito, ou seja, substituída por
um curto-circuito equivalente. O resultado é a combinação dos resistores
e
em paralelo. Assim, a corrente será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente no resistor
é a soma das contribuições das fontes de tensão e de corrente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito da Figura 12 ilustra um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão de 1V.
Considerando os valores dos componentes e o princípio da linearidade, o valor da corrente
quando a fonte de tensão for de 10V é de: 
 
 Figura 12: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiramente deve-se encontrar o valor da corrente
R2
R1
R2
I ′′2 = I = 6 = 5, 25A
R1
R1 + R2
14
14 + 2
R2
I2 = I
′
2 + I
′′
2 = 2 + 5, 25 = 7, 25A
i0
para a configuração ilustrada no circuito, ou seja, com os parâmetros já conhecidos de resistores e da fonte de
tensão igual a 1V:
Calculando a resistência equivalente com os resistores da malha da direita:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente total que flui da fonte é de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base no princípio de divisão de corrente, a corrente
será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que a fonte seja de 10V (e que os resistores mantenham os mesmos valores), tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto a corrente
será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A Figura 13 ilustra um circuito elétrico ligado em ponte. Ao aplicar o Teorema da Superposição, a
corrente
que circula pelo resistor de
é de aproximadamente: 
 
i0
8∥(5 + 3) = 4Ω
i = = A
1
1 + 4
1
5
i0
i0 = i = = 0, 1A
1
2
1
10
i = 2A
i0
i0 = i = 2 = 1A
1
2
1
2
I2
12kΩ
 Figura 13: Mão na massa - Exercício 3.
A alternativa "C " está correta.
 
Utilizando o Teorema da Superposição, primeiro será considerado o efeito da fonte de corrente de 4mA no resistor
de
. Deve-se aplicar a regra de divisão de corrente, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando agora o efeito da fonte de tensão de 8V, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tendo em vista que as correntes elétricas referentes às duas fontes têm o mesmo sentido através de
, a corrente total nesse resistor será a soma das duas, aproximadamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Ao aplicar o Teorema da Superposição no circuito ilustrado na Figura 14, a corrente elétrica que circula
pelo resistor de
12KΩ
I ′2 = I = 4mA = 1, 33mA
R1
R1 + R2
6k
6k + 12k
I ′′2 = = = 0, 44mA
V
R1 + R2
8
6k + 12k
R2
IR2 = I ′2 + I
′′
2 = 1, 33 + 0, 44 = 1, 77mA
12Ω
é de: 
 
 Figura 14: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
5. Para o circuito ilustrado na Figura 15, a corrente
é de
quando a fonte de tensão
vale 12V. Se a fonte
for substituída por uma fonte de
, o valor da corrente
será de, aproximadamente: 
 
I0
0, 16A
vs
vs
24V
I0
 Figura 15: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "E " está correta.
 
A solução do problema pode ser encontrada utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) aplicada às duas
malhas do circuito e atribuindo o valor de 24V à fonte de tensão vs. No entanto, como já foi fornecida a corrente
quando a fonte vale 12V, é possível aplicar o princípio da linearidade para encontrar a nova corrente.
Quando
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, como a fonte de tensão dobrou de valor e o circuito é linear, a corrente elétrica também deverá ser
dobrada.
6. Supondo inicialmente que a corrente
seja 1A e utilizando o princípio da linearidade, o valor real para
I0
vs = 12V
I0 = 0, 16A
vs = 12V
I0 = 2 × 0, 16 = 0, 32A
I0
no circuito ilustrado na Figura 16 é de: 
 
 Figura 16: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
 
Se a Lei de Kirchhoff das tensões for aplicada ao nó 1, temos:
Ao aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões no nó 2, temos:
Dessa forma,
. Isso significa que, ao supor
, tem-se
. Assim, o valor real da corrente da fonte de
resultará em uma corrente
de
I0
 Se I0 = 1A,  então: V1 = (3 + 5)I0 = 8V
I1 = = 2A
V1
4
I2 = I1 + I0 = 3A
V2 = V1 + 2I2 = 8 + 6 = 14V
I3 = = 2A
V2
7
I4 = I3 + I2 = 5A
IS = 5A
I0 = 1A
IS = 5A
15A
I0
3A
como valor real.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Utilizando o Teorema da Superposição, determine o valor da corrente i, que circula pelo resistor de
no circuito elétrico ilustrado na Figura 17.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 17: Teoria na prática.
RESOLUÇÃO
3Ω
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, O VALOR DA TENSÃO V NO
RESISTOR DE 4Ω DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 18 É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 18: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) 10V
B) 8V
C)12V
D) 6V
E) 14V
2. O CIRCUITO ELÉTRICO ILUSTRADO NA FIGURA 19 CONTÉM DUAS FONTES, UMA DE
TENSÃO DE
E UMA DE CORRENTE DE
. CONSIDERANDO A CONTRIBUIÇÃO DESSAS DUAS FONTES, A CORRENTE
QUE CIRCULA PELO RESISTOR
15V
6A
I1
(R1)
É DE: 
 
 FIGURA 19: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) 4,0A
B) 1,5A
C) 3,0A
D) 2,0A
E) 2,5A
GABARITO
1. Utilizando o Teorema da Superposição, o valor da tensão v no resistor de 4Ω do circuito ilustrado na
Figura 18 é de, aproximadamente: 
 
 Figura 18: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "C " está correta.
 
Como o circuito contém duas fontes, é necessário calcular a contribuição de cada uma delas separadamente na
tensão total do resistor de
. Seja assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
e
são as parcelas de tensão referentes às fontes de 4V e de 4A, respectivamente.
Para obter
deve-se fazer a fonte de corrente como um circuito aberto. Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
OBS.:
também poderia ser encontrada utilizando divisão de tensão.
Para obter
, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substituí-la por um curto-circuito. Assim, aplicando divisão de
corrente, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então a tensão
será:
A tensão total será a soma das tensões
4Ω
v = v1 + v2
v1
v2
v2
12i1 − 4 = 0 → i1 = 0, 33A
v1 = 4i1 = 1, 33 V
v1
v2
i3 = 4 = 2, 66A
8
4 + 8
v2
v2 = 4i3 = 10, 66V
v1
e
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito elétrico ilustrado na Figura 19 contém duas fontes, uma de tensão de
e uma de corrente de
. Considerando a contribuição dessas duas fontes, a corrente
que circula pelo resistor
é de: 
 
 Figura 19: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "E " está correta.
 
A corrente
pode ser encontrada aplicando o Teorema da Superposição. Considerando inicialmente a contribuição da fonte de
tensão, deve-se fazer a fonte de corrente como zero, ou seja, substituí-la por um circuito aberto. Tem-se um
simples circuito composto pela fonte de tensão em série com o resistor
:
v2
v = 1, 33 + 10, 66 ≈ 12V
15V
6A
I1
(R1)
I1
R1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a contribuição da fonte de corrente, por sua vez, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja,
substituí-la por um curto-circuito. Como a corrente elétrica sempre toma o caminho de menor resistência, tem-se
que a contribuição dessa fonte em Portanto, a corrente total no resistor
será: será nula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente total no resistor
será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
I ′1 = = = 2, 5A
V
R1
15
6
R1
I ′′1 = 0A
R1
I = I ′1 + I
′′
1 = 2, 5 + 0 = 2, 5A
LIGAÇÕES DE CIRCUITOS EM ESTRELA E
TRIÂNGULO
INTRODUÇÃO
 
Imagem: Stock.adobe.com
OS ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO PODEM SER CONECTADOS
DE DIVERSAS FORMAS PARA CONSTITUIR UM EQUIPAMENTO OU UM
DISPOSITIVO ELÉTRICO.
A organização dos elementos, como fontes de alimentação, resistores, indutores e capacitores é importante para
definir a forma como a energia será utilizada. Esta, por sua vez, é chamada de associação. Tratando mais
especificamente de circuitos elétricos básicos e alimentados com corrente contínua, os elementos do circuito
resumem-se aos resistores.
A associação de resistores é muito comum em circuitos elétricos, pois nem sempre é possível obter um valor
específico de resistência com apenas um resistor. A associação desses resistores é sempre representada por um
resistor equivalente
(Req)
, elemento fictício, ou seja, que não está, de fato, presente na rede, mas que representa a resistência total
referente aos elementos associados.
O comportamento da associação, ou seja, a forma como as tensões e correntes estão presentes no circuito,
dependem do tipo de ligação dos resistores. As associações básicas são dos tipos:
SÉRIE
PARALELO
MISTA (SÉRIE-PARALELO)
Além disso, os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não podem ser considerados
associados em série ou em paralelo, como é o caso das configurações em estrela (Y) e triângulo (∆), que serão
abordadas neste módulo.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja o circuito ilustrado na Figura 20, que representa um circuito com uma fonte de tensão e dois resistores ligados
em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma única corrente de malha).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 20: Circuito com um laço e dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, tem-se:
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) à malha, arbitrando que a corrente circule no sentido horário, tem-
se:
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando as Equações 9 e 10:
v1 = iR1 , v2 = iR2
−v + v1 + v2 = 0
v = v1 + v2 = i (R1 + R2)
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 11 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um equivalente:
Onde,
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente em um circuito com
resistores ligados em série é a soma algébrica dessas resistências individuais desses elementos.
Para
resistores:
(13)
i =
v
R1 + R2
v = iReq
Req = R1 + R2
N
N
Req = R1 + R2 + ⋯ + RN =
N
∑
n=1
Rn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Seja o circuito ilustrado na Figura 21, composto por uma fonte de tensão e dois resistores ligados em paralelo,
e
. Por estarem ligados em paralelo, os dois resistores estão submetidos à mesma tensão.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 21: Circuito com dois resistores em paralelo.
(14)
R1
R2
v = i1R1 = i2R2
i1 = i2 =
v
R1
v
R2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no nó a, tem-se a corrente total que vem da fonte:
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a Equação 14 na Equação 15, tem-se:
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas resistências dividido
pela sua soma.
i = i1 + i2
i = + = v( + ) =v
R1
v
R2
1
R1
1
R2
v
Req
Req
= + → =
1
Req
1
R1
1
R2
1
Req
R1 + R2
R1R2
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO MISTA (SÉRIE-PARALELO)
A CONFIGURAÇÃO DE ASSOCIAÇÃO MISTA, OU SÉRIE-PARALELO, EM UM
CIRCUITO ELÉTRICO É FORMADA POR UMA COMBINAÇÃO DE
ELEMENTOS LIGADOS EM SÉRIE E EM PARALELO.
São muitas as combinações possíveis para a associação mista de resistores, portanto, é necessário analisar partes
do circuito separadamente a fim de definir a abordagem que fornece a melhor estratégia de determinação das
grandezas necessárias. A melhor forma de resolver um circuito em associação mista é compreender bem as
associações em série e paralelo apresentadas anteriormente. A Figura 22 ilustra um circuito com resistores em
associação mista.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 22: Circuito CC em série-paralelo.
LIGAÇÕES EM ESTRELA (Y)E TRIÂNGULO (∆)
 VOCÊ SABIA
Req =
R1R2
R1 + R2
Em muitas situações, a configuração dos elementos de um circuito elétrico não se configura como associação em
série e nem como associação em paralelo. Essas situações dificultam, a princípio, a análise do circuito a partir das
leis básicas, como a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), aplicadas às
análises nodal e de malhas.
Muitos desses circuitos complexos podem ser simplificados a partir de uma conversão em redes equivalentes de
três terminais. As configurações de ligação em estrela (Y) e triângulo (∆) são, frequentemente, responsáveis por
essa dificuldade e que podem ser facilmente convertidas em redes equivalentes. Muitas vezes, essas ligações são
também identificadas por “T” e “pi” (π), respectivamente, ilustradas na Figura 23 e Figura 24:
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 23: Circuito ligado em estrela: (a) Y; (b) T
 
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 24: Circuito ligado em triângulo: (a) ∆ (b) π.
Portanto, de modo a auxiliar na aplicação das técnicas de análise de circuitos para redes com essas ligações,
serão apresentados, na sequência, os desenvolvimentos das equações necessárias para a conversão de circuitos
em estrela para triângulo e vice-versa.
Seja o circuito da Figura 25, com os terminais
,
e
a
b
c
fixos. Caso se deseje utilizar o circuito na configuração estrela (Y), em vez da configuração em triângulo (∆), basta
aplicar diretamente as equações que serão desenvolvidas na sequência. É importante destacar que apenas uma
das configurações, estrela ou triângulo, podem estar presentes entre os terminais
,
e
, de modo que se possa dizer que são equivalentes.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 25: Conceito de conversão ∆-Y
O objetivo matemático da conversão entre as configurações é determinar uma expressão para
,
e
em função de
,
e
a
b
c
R1
R2
R3
RA
RB
RC
, e vice-versa, de modo a garantir que a resistência entre dois terminais quaisquer da configuração estrela seja
equivalente à resistência entre dois terminais quaisquer da configuração triângulo.
CONVERSÃO TRIÂNGULO – ESTRELA (∆ - Y)
É possível que, em algumas situações, seja mais conveniente analisar um circuito em uma determinada
configuração.
 EXEMPLO
Pode ser interessante fazer a conversão de parte de um circuito que esteja ligada em triângulo para seu
equivalente em estrela. Essa mudança é denominada conversão triângulo-estrela. Para fazer essa conversão,
deve-se sobrepor o circuito em estrela ao circuito em triângulo já existente e determinar o valor da resistência em
cada par de nós que seja correspondente à ligação em estrela.
De modo geral, a conversão triângulo-estrela transforma os resistores em triângulo
em estrela
, de modo que existirão expressões para
, em função de
e
. Considerando o circuito da Figura 25, a resistência entre os terminais
deve ser a mesma tanto para a ligação triângulo quanto para ligação estrela:
(19)
(RA,RB,RC)
(R1,R2,R3)
R1,R2eR3
RA,RB
RC
a − c
Ra−c(Y ) = Ra−c(Δ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se que:
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando o mesmo raciocínio aos pares de nós
e
, é possível obter outras expressões:
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 20 da Equação 21, tem-se:
Ra−c = R1 + R3 =
RB (RA + RC)
RB + (RA + RC)
a − b
b − c
Ra−b = R1 + R2 =
RC (RA + RCB)
RC + (RA + RB)
Rb−c = R2 + R3 =
RA (RB + RC)
RA + (RB + RC)
De modo que:
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 23 da Equação 22, tem-se:
Logo:
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível, então, determinar uma expressão para o resistor
(ligação em estrela), em função dos resistores
,
(R1 + R2) − (R1 + R3) = ( ) − ( )
RCRB + RCRA
RA + RB + RC
RBRA + RBRA
RA + RB + RC
R2 − R3 =
RARC − RBRA
RA + RB + RC
(R2 + R3) − (R2 − R3) = ( ) − ( )
RARB + RARC
RA + RB + RC
RARC − RBRA
RA + RB + RC
2R3 =
2RBRA
RA + RB + RC
R3
RA
RB
e
(ligação em triângulo):
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o mesmo raciocínio for aplicado para
e
, tem-se:
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que não é necessário memorizar as expressões descritas nas Equações 25 a 27. Para fazer
a transformação, basta criar um nó extra
RC
R3 =
RARB
RA + RB + RC
R1
R2
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
R2 =
RARC
RA + RB + RC
, conforme ilustrado na Figura 26 e seguir a seguinte regra:
“CADA RESISTOR DO CIRCUITO ESTRELA É O PRODUTO DOS
RESISTORES NOS DOIS RAMOS EM TRIÂNGULO ADJACENTES, DIVIDIDO
PELA SOMA DOS TRÊS RESISTORES EM ESTRELA.”
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 26: Superposição de circuitos Y e ∆ (transformação).
CONVERSÃO ESTRELA – TRIÂNGULO (Y - ∆)
Em outras situações, pode ser mais conveniente analisar um circuito em triângulo, em vez de em estrela. Para
isso, é necessário fazer a conversão estrela-triângulo para encontrar os resistores equivalentes, semelhante ao
que foi feito no tópico anterior. Com base nas Equações 25 e 26, tem-se a seguinte divisão:
Ou
n
= =
R3
R1
(RARB) / (RA + RB + RC)
(RBRC) / (RA + RB + RC)
RA
RC
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, divide-se a Equação 25 pela Equação 27:
Ou
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
e
por esses valores na Equação 27, tem-se:
RA =
RCR3
R1
= =
R3
R2
(RARB) / (RA + RB + RC)
(RARC) / (RA + RB + RC)
RB
RC
RB =
RCR3
R2
RA
RB
R2 =
(RCR3/R1)RC
(RCR3/R2) + (RCR3/R1) + RC
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reduzindo a expressão para um denominador comum:
Isolando
:
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base nesse mesmo procedimento, é possível encontrar as expressões para
e
(ligação triângulo), em função de
=
(R3/R1)RC
(R3/R2) + (R3/R1) + 1
R2 =
RCR3/R1
(R1R2 + R1R3 + R2R3) / (R1R2)
=
R2R3RC
R1R2 + R1R3 + R2R3
RC
RC =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R3
RA
RB
,
e
(ligação estrela):
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que:
“O VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É IGUAL À SOMA DAS
POSSÍVEIS COMBINAÇÕES DOS PRODUTOS DAS RESISTÊNCIAS DO
CIRCUITO ESTRELA (EXTRAÍDAS DUAS A DUAS), DIVIDIDA PELA
RESISTÊNCIA ESTRELA MAIS OPOSTA.”
CIRCUITOS EM ESTRELA OU TRIÂNGULO
EQUILIBRADOS
Em circuitos que o valor das três resistências é igual tanto na ligação em estrela
, como na ligação em triângulo
R1
R2
RA
RA =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R1
RB =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R2
(R1 = R2 = R3)
(RA = RB = RC)
, diz-se que o circuito é equilibrado. Se
, a Equação 25 facilmente se transformaria em (usando apenas RA):
(33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo o mesmo procedimento:
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma geral, as fórmulas de conversão anteriormente desenvolvidas são, para circuitos equilibrados, resumidas
em:
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ISSO INDICA QUE, PARA UM CIRCUITO EM ESTRELA DE TRÊS
RESISTORES IGUAIS, O VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É
IGUAL A TRÊS VEZES O VALOR DE UM RESISTOR EM ESTRELA.
RA = RB = RC
R3 = = = =
RARB
RA + RB + RC
RARARA + RB + RC
R2
A
3RA
RA
3
R1 = ,R2 =
RA
3
RA
3
RY = ,RΔ = 3RY
RΔ
3
 EXEMPLO
Converta o circuito ilustrado na Figura 27, ligado em triângulo (ou delta) em seu equivalente em estrela (ou T).
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 27: Circuito do Exemplo 1.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela
consiste em encontrar os valores de
,
e
:
R1
R2
R3
R1 = = = 3, 33Ω
RBRC
RA + RB + RC
20 × 10
30 + 20 + 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O circuito equivalente em estrela é ilustrado na Figura 28.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 28: Circuito Y equivalente ao ∆.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 29, QUE ILUSTRA UMA LIGAÇÃO EM
TRIÂNGULO (OU DELTA ‒ ∆). APÓS A CONVERSÃO EM SEU CIRCUITO EQUIVALENTE
EM ESTRELA, OS VALORES DAS RESISTÊNCIAS
,
R2 = = = 5Ω
RARC
RA + RB + RC
30 × 10
30 + 20 + 10
R3 = = = 10Ω
RARB
RA + RB + RC
20 × 30
30 + 20 + 10
R1
E
VALEM, RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 29: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
R2
R3
R1 = 10Ω,R2 = 8, 5Ω e R3 = 3Ω
R1 = 7, 5Ω,R2 = 10Ω e R3 = 5Ω
R1 = 4, 5Ω, R2 = 5Ω e R3 = 7, 5Ω
R1 = 8Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 2Ω
R1 = 7, 5Ω, R2 = 5, 5Ω e R3 = 10Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A FIGURA 30 ILUSTRA UM CIRCUITO CUJOS ELEMENTOS ESTÃO LIGADOS EM
PONTE. CONSIDERE QUE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A RESISTÊNCIA TOTAL
PARA ESSE CIRCUITO É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
 FIGURA 30: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A)
B)
C)
D)
RA = 2Ω,RB = 5Ω e RC = 4Ω
RT
4, 5Ω
1, 5Ω
2, 75Ω
5, 5Ω
E)
3. A CONVERSÃO DO CIRCUITO LIGADO EM TRIÂNGULO (OU DELTA), ILUSTRADO NA
FIGURA 31, PARA SEU EQUIVALENTE EM ESTRELA FORNECE COMO NOVOS VALORES
DE RESISTÊNCIA: 
 
 FIGURA 31: MÃO NA MASSA ‒ EXERCÍCIO 3.
A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2, 5Ω
R1 = 7, 5Ω, R2 = 7, 5Ω  e  R3 = 3Ω
R1 = 3Ω, R2 = 5Ω  e  R3 = 7, 5Ω
R1 = 7, 5Ω, R2 = 5Ω  e  R3 = 3Ω
R1 = 3Ω, R2 = 7, 5Ω  e  R3 = 5Ω
E)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O CIRCUITO DA FIGURA 32 APRESENTA UMA ASSOCIAÇÃO COMPLEXA DE
RESISTORES. COM BASE NOS CONCEITOS DE LIGAÇÕES EM ESTRELA E TRIÂNGULO,
A RESISTÊNCIA TOTAL EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE: 
 
 FIGURA 32: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A)
B)
C)
D)
E)
5. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 33, O VALOR DA RESISTÊNCIA EQUIVALENTE VISTA
PELA FONTE, OU SEJA, A RESISTÊNCIA TOTAL EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E
B É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
R1 = 5Ω, R2 = 7, 5Ω  e  R3 = 3Ω
16, 75Ω
25, 5Ω
18, 75Ω
23, 05Ω
25Ω
 FIGURA 33: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A)
B)
C)
D)
E)
6. A FIGURA 34 ILUSTRA UM CIRCUITO EM QUE OS RESISTORES ESTÃO ASSOCIADOS
DE FORMA COMPLEXA, OU SEJA, NÃO PODEM SER DIRETAMENTE RESUMIDOS A
CIRCUITOS EM SÉRIE OU EM PARALELO. CONSIDERANDO A POSSIBILIDADE DE
CONVERSÃO ENTRE EQUIVALENTES EM ESTRELA OU EM TRIÂNGULO, O VALOR DA
RESISTÊNCIA ENTRE OS TERMINAIS AB DO CIRCUITO É DE, APROXIMADAMENTE: 
 
25Ω
40Ω
45Ω
35Ω
30Ω
 FIGURA 34: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A)
B)
C)
D)
E)
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 29, que ilustra uma ligação em triângulo (ou delta ‒ ∆). Após a conversão
em seu circuito equivalente em estrela, os valores das resistências
,
e
valem, respectivamente: 
 
57, 13Ω
45, 15Ω
60, 25Ω
38, 18Ω
26, 14Ω
R1
R2
R3
 Figura 29: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
Para converter o circuito em triângulo para seu equivalente em estrela, basta voltar às Equações 25, 26 e 27, que
fornecem diretamente os valores das resistências
,
e
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A Figura 30 ilustra um circuito cujos elementos estão ligados em ponte. Considere que:
R1
R2
R3
R1 = = = 7, 5Ω
RBRC
RA + RB + RC
15 × 30
20 + 15 + 30
R2 = = = 10Ω
RARC
RA + RB + RC
20 × 30
20 + 15 + 30
R3 = = = 5Ω
RARB
RA + RB + RC
20 × 15
20 + 15 + 30
R1 = 7, 5Ω,R2 = 10Ω e R3 = 5Ω
RA = 2Ω,RB = 5Ω e RC = 4Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total
para esse circuito é de, aproximadamente: 
 
 Figura 30: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 30 para seu equivalente em
estrela é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o segmento em triângulo pelo seu equivalente em estrela, a resistência total pode ser agora
facilmente encontrada a partir de associações em série e paralelo, e será de:
RT
R1 = = = 1, 8Ω
RBRC
RA + RB + RC
5 × 4
2 + 5 + 4
R2 = = = 0, 72Ω
RARC
RA + RB + RC
2 × 4
2 + 5 + 4
R3 = = = 0, 9Ω
RARB
RA + RB + RC
2 × 5
2 + 5 + 4
RT = 0, 9 +
(4 + 1, 8)(2 + 0, 72)
(4 + 1, 8) + (2 + 0, 72)
RT = 0, 9 +
(5, 8)(2, 72)
(5, 8) + (2, 72)
RT = 0, 9 + 1, 85
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A conversão do circuito ligado em triângulo (ou delta), ilustrado na Figura 31, para seu equivalente em
estrela fornece como novos valores de resistência: 
 
 Figura 31: Mão na massa ‒ Exercício 3.
A alternativa "E " está correta.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 31 para seu equivalente em
estrela é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O circuito da Figura 32 apresenta uma associação complexa de resistores. Com base nos conceitos de
ligações em estrela e triângulo, a resistência total equivalente entre os pontos A e B é de: 
 
RT = 2, 75Ω
R1 = = = 5Ω
RBRC
RA + RB + RC
10 × 25
15 + 10 + 25
R2 = = = 7, 5Ω
RARC
RA + RB + RC
25 × 15
15 + 10 + 25
R3 = = = 3Ω
RARB
RA + RB + RC
15 × 10
15 + 10 + 25
R1 = 5Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 3Ω
 Figura 32: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "D " está correta.
 
Primeiramente, deve-se transformar os resistores da primeira malha, ligados em triângulo, em seu equivalente em
estrela
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se:
em série com
em série com
O paralelo dessas associações é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total equivalente entre os pontos A e B é:
(R1,R2eR3)
R1 = = = 4Ω
RBRC
RA + RB + RC
40 × 10
40 + 50 + 10
R2 = = = 20Ω
RARC
RA + RB + RC
40 × 50
40 + 50 + 10
R3 = = = 5Ω
RARB
RA + RB + RC
50 × 10
40 + 50 + 10
20Ω
60Ω = 80Ω
5Ω
20Ω = 25Ω
80Ω∥25Ω = 19, 05Ω
RT = 4Ω + 19, 05Ω = 23, 05Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito da Figura 33, o valor da resistência equivalente vista pela fonte, ou seja, a resistência total
equivalente entre os pontos A e B é de, aproximadamente: 
 
 Figura 33: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "B " estácorreta.
SOLUÇÃO
6. A Figura 34 ilustra um circuito em que os resistores estão associados de forma complexa, ou seja, não
podem ser diretamente resumidos a circuitos em série ou em paralelo. Considerando a possibilidade de
conversão entre equivalentes em estrela ou em triângulo, o valor da resistência entre os terminais AB do
circuito é de, aproximadamente: 
 
 Figura 34: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "A " está correta.
 
Primeiramente, deve-se aplicar a conversão da ligação em triângulo dos resistores de
,
e
para seu equivalente em estrela. De forma semelhante, essa conversão pode ser aplicada entre os resistores de
,
e
sem alterar o resultado.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se as seguintes associações em série e paralelo:
30Ω
15Ω
10Ω
20Ω
25Ω
30Ω
R1 = = = 5, 45Ω
RBRC
RA + RB + RC
10 × 30
30 + 15 + 10
R2 = = = 8, 18Ω
RARC
RA + RB + RC
30 × 15
30 + 15 + 10
R3 = = = 2, 72Ω
RARB
RA + RB + RC
15 × 10
30 + 15 + 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, a resistência total equivalente será de, aproximadamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Os circuitos em ponte são muito importantes nas montagens de equipamentos eletrônicos, como, por exemplo,
para medição de resistência. Uma das montagens mais utilizadas é a chamada Ponte de Wheatstone, para
medição de resistências com elevada precisão, resistores entre
e
. A solução de circuitos em ponte pode ser facilmente encontrada a partir de transformações estrela-triângulo. Com
base nos conceitos dessas transformações, calcule a potência elétrica fornecida à ponte do circuito da Figura 35.
 
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 35: Teoria na Prática.
20Ω + 5, 45Ω = 25, 45Ω
25Ω + 8, 18Ω = 33, 18Ω
25, 45Ω∥33, 18Ω → 14, 4Ω
RT = 22Ω + 14, 4Ω + 2, 72Ω + 18Ω = 57, 13Ω
1Ω
1MΩ
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. COM BASE NAS EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO DE CIRCUITOS ESTRELA-
TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 36 É DE: 
 
 FIGURA 36: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A)
B)
C)
2, 54Ω
3, 27Ω
D)
E)
2. A CONVERSÃO DO CIRCUITO DA FIGURA 37, LIGADO EM ESTRELA, PARA SEU
EQUIVALENTE EM TRIÂNGULO, FORNECE COMO VALORES PARA
,
E
, RESPECTIVAMENTE: 
 
 FIGURA 37: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A)
B)
C)
4, 65Ω
3, 82Ω
4, 18Ω
R1
R2
R3
55Ω, 120Ω e 85Ω
25Ω, 160Ω e 70Ω
140Ω, 70Ω e 35Ω
D)
E)
GABARITO
1. Com base nas equações de transformação de circuitos estrela-triângulo, a resistência total do circuito
ilustrado na Figura 36 é de: 
 
 Figura 36: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
 
A conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela permite a análise do circuito equivalente a
partir de associações em série e paralelo. No caso do circuito da Figura 36, como os resistores do triângulo são
iguais, é possível utilizar as equações de conversão para circuitos equilibrados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total será de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
150Ω, 85Ω e 50Ω
70Ω, 35Ω e 140Ω
RY = = = 2Ω
RΔ
3
6
3
RT = 2 [ ] = 3, 27Ω
2 × 9
2 + 9
2. A conversão do circuito da Figura 37, ligado em estrela, para seu equivalente em triângulo, fornece como
valores para
,
e
, respectivamente: 
 
 Figura 37: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
 
A partir das equações de conversão estrela para triângulo, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
R1
R2
R3
RA = = = 140Ω
R1R2 + R2R3 + R3R1
R1
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
10
RB = = = 70Ω
R1R2 + R2R3 + R3R1
R2
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
20
RC = = = 35Ω
R1R2 + R2R3 + R3R1
R3
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
40
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise de circuitos elétricos é facilmente entendida com a aplicação das leis básicas de circuitos, como a Lei de
Ohm e as Leis de Kirchhoff (das tensões e das correntes). No entanto, para circuitos mais complexos ou que
contenham uma grande quantidade de elementos e fontes de alimentação, apenas o conhecimento dessas leis
pode ser insuficiente para prosseguir com a análise. Dessa forma, teoremas como o da Superposição, apresentado
neste conteúdo, permitem a simplificação dos circuitos.
O Teorema da Superposição apresentado baseia-se no princípio da linearidade dos elementos de circuito e diz que
a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é dada pela soma algébrica das correntes ou
tensões produzidas pela atuação isolada de cada uma das fontes independentes. Dessa forma, o resultado dessas
grandezas pode ser obtido a partir de uma análise individual de cada fonte do circuito, somadas algebricamente.
Por fim, foram apresentadas as equivalências entre as ligações em estrela ou triângulo, bem como suas
equivalentes transformações que permitem simplificar a aplicação das leis básicas em circuitos cujos elementos
não estão ligados em série ou em paralelo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Education,
2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Education, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar nos tópicos desenvolvidos, leia o seguinte livro:
CRUZ, E. C. A. Eletricidade básica – circuitos em corrente continua. São José dos Campos: Érica, 2014.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães