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Aula 15
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 15
17 de Agosto de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
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Sumário 
1. Amostragem ............................................................................................................................................ 3 
1.1. Tipos de Amostragem ...................................................................................................................... 7 
1.1.1. Amostragem Aleatória Simples .................................................................................................... 8 
1.1.2. Amostragem por Estratificação .................................................................................................... 8 
1.1.3. Amostragem por Conglomerados .............................................................................................. 11 
1.1.4. Amostragem Sistemática ............................................................................................................ 12 
1.1.5. Amostragem por Conveniência .................................................................................................. 12 
1.1.6. Amostragem por Julgamento ..................................................................................................... 13 
1.1.7. Amostragem por Cotas .............................................................................................................. 13 
2. Distribuição Amostral dos Estimadores ................................................................................................. 14 
2.1. Distribuição Amostral da Média ..................................................................................................... 14 
2.1.1. Fator de Correção para População Finita ................................................................................... 28 
2.1.2. Média Amostral e Distribuição Normal ...................................................................................... 29 
2.1.3. Características da Média Amostral ............................................................................................. 30 
2.2. Distribuição amostral da variância .................................................................................................. 31 
2.3. Distribuição Amostral da Proporção .............................................................................................. 41 
2.3.1. Fator de Correção para População Finita ................................................................................... 43 
Lista de Questões de Concursos Anteriores ................................................................................................. 45 
Gabarito sem comentário ............................................................................................................................. 59 
Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ................................................................... 60 
Exercícios - Amostragem .......................................................................................................................... 60 
Exercícios – Média Amostral ..................................................................................................................... 65 
Exercícios – Variância Amostral ................................................................................................................ 87 
Exercícios – Proporção Amostral .............................................................................................................. 94 
Considerações Finais .................................................................................................................................. 101 
 
 
 
 
 
 
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Fala, pessoal! 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
 
 
 
 
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1. AMOSTRAGEM 
 
Em Estatística, definimos população um conjunto formado por elementos com pelo menos uma 
característica em comum. 
Definimos amostra qualquer subconjunto próprio da população. 
A é um subconjunto próprio de B (ou A está contido propriamente em B) se A e B são conjuntos 
tais que 𝐴 ⊂ 𝐵 e, além disso, A não é vazio e 𝐴 ≠ 𝐵. 
Assim, fixamos uma população e formamos um subconjunto formado exclusivamente por 
elementos dessa população. Obtemos assim uma amostra. 
 
Definimos como tamanho de uma população finita o número de elementos que a compõem. 
Normalmente, designamos o tamanho da população por 𝑁. O número de elementos da amostra 
será designado por 𝑛. 
As amostras podem ser obtidas com ou sem reposição. A Análise Combinatória mostra que o 
número de amostras de tamanho 𝑛 que podemos obter a partir de uma população de tamanho 𝑁 
é: 
• 𝑁'	𝑠𝑒	𝑜	𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜	𝑓𝑜𝑟	𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜	𝑐𝑜𝑚	𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
• 𝐶6,' = 𝐶6' = 9
𝑁
𝑛: 	𝑠𝑒	𝑜	𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜	𝑓𝑜𝑟	𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜	𝑠𝑒𝑚	𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
Lembre-se que 𝐶6,', 𝐶6'	𝑒	 9
𝑁
𝑛: são apenas diferentes maneiras de representar o número de 
combinações de N elementos tomados n a n. 
 
(FCC 2019/BANRISUL) 
Uma população consiste nos 6 primeiros números inteiros estritamente positivos, ou seja, {1, 2, 
3, 4, 5, 6}. Seja 𝒏𝟏 o número de amostras aleatórias possíveis de 2 elementos que podem ser 
extraídas da população com reposição e 𝒏𝟐 o número de amostras aleatórias possíveis de 2 
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elementos que podem ser extraídas da população sem reposição. O módulo de (𝒏𝟏 − 𝒏𝟐)é igual 
a 
(A) 49. 
(B) 24. 
(C) 26. 
(D) 30. 
(E) 21. 
Comentário 
Vamos calcular primeiro 𝒏𝟏, que é o total de amostras de 2 elementos com reposição. Há 6 
possíveis números para o primeiro elemento e há 6 possíveis números para o segundo. O total 
de amostras de 2 elementos com reposição é 
𝒏𝟏 = 𝟔 × 𝟔 = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔 
No processo sem reposição, devemos considerar que há 6 elementos possíveis e vamos escolher 
2. 
𝒏𝟐 = 𝑪𝟔𝟐 =
𝟔 ∙ 𝟓
𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟏𝟓 
 
O módulo da diferença é: 
|𝒏𝟏 − 𝒏𝟐| = |𝟑𝟔 − 𝟏𝟓| = 𝟐𝟏 
Gabarito: E 
 
Para que possamos realizar inferências para a população a partir da amostra (tirar conclusões 
sobre a população a partir da amostra), é necessário que a amostra tenha sido obtida a partir de 
determinados critérios e processos. Denominados amostragem o processo de seleção de uma 
amostra. 
Denominamos parâmetro uma medida que descreve alguma característica numérica da 
população. De uma forma geral, um parâmetro qualquer é simbolizado pela letra 𝜃 (theta). 
Alguns parâmetros populacionais importantes são a média 𝜇, a variância 𝜎K, o desvio padrão 𝜎. 
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É importante notar que um parâmetro é sempre uma constante, um número. O parâmetro não 
varia. 
 
Denominamos estimador de um parâmetro populacional(ou estatística) uma característica 
numérica que é determinada na amostra. O estimador é uma função matemática de seus 
elementos. O que queremos dizer que o estimador é uma função matemática? Queremos dizer 
que o estimador é uma “fórmula”, uma expressão matemática obtida a partir dos valores da 
amostra. 
De uma forma geral, designamos um estimador genérico por 𝜃L. Alguns estimadores importantes 
são a média amostral 𝑥, a variância amostral 𝑠K, o desvio padrão amostral 𝑠. 
 
Assim, é importante notar que daqui pra frente será muito importante a distinção entre o símbolo 
do parâmetro e o símbolo do estimador. 
 
 Parâmetro Estimador 
Genérico 𝜃 𝜃L 
Média 𝜇 𝑥 
Variância 𝜎K 𝑠K 
Desvio Padrão 𝜎 𝑠 
Coeficiente de Correlação 𝜌 𝑟 
 
Mais uma vez: o estimador é uma função, uma fórmula, uma maneira de cálculo. É uma expressão 
matemática obtida a partir dos elementos de uma amostra. 
Por exemplo, 
𝑥 =
∑𝑥P
𝑛 
Assim, o estimador da média populacional é obtido somando os elementos da amostra e 
dividindo pelo total de elementos da amostra. 
Pois bem: digamos que selecionamos uma amostra e obtemos os seguintes valores: 1, 3, 7, 9. Ao 
substituir esses valores na fórmula do estimador, obtemos uma estimativa. 
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𝑥Q =
1 + 3 + 7 + 9
4 = 5 
Assim, estimativa é o valor numérico determinado pelo estimador para uma amostra específica. 
Para a mesma população, poderíamos ter obtido uma outra estimativa. Imagine que, para a 
mesma população, obtivemos uma amostra de valores 2, 4, 4, 8. A estimativa neste caso seria: 
𝑥K =
2 + 4 + 4 + 8
4 = 4,5 
Perceba que a estimativa depende da amostra. 
Genericamente, representamos a estimativa por 𝜃[\. 
Como a amostra não inclui todos os elementos da população, de uma maneira geral a estimativa 
difere do parâmetro. 
Assim, definimos como erro amostral (𝜀) a diferença entre o estimador e o parâmetro 
populacional. 
𝜀 = 𝜃L − 𝜃 
 
 
O valor do estimador varia em cada uma das possíveis amostras tiradas da população. 
Assim, o estimador pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição igual 
à distribuição da população. 
 
No exemplo acima, vimos que, para a amostra (1,3,7,9), a média amostral foi 5. Já para a amostra 
(2, 4, 4, 8), tirada da mesma população, a média amostral foi 4,5. 
A média da amostra é um estimador de 𝜇. 
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Como a média amostral varia de acordo com a amostra, então a média amostral é uma variável 
aleatória. 
A variância amostral também depende da amostra. Logo, a variância amostral é uma variável 
aleatória. 
De uma forma geral, o estimador é uma variável aleatória. Como o estimador 𝜃L é uma variável 
aleatória, somos capazes de calcular a sua média (esperança) e a sua variância. 
Assim, é possível, por exemplo, calcular a esperança da média amostral 𝐸(𝑥) e a variância da 
média amostral 𝑉𝑎𝑟(𝑥). 
Estudaremos isso com detalhes nesta aula. 
 
1.1. Tipos de Amostragem 
 
Vimos que, para que seja possível tirar conclusões sobre a população, a amostra deve ser 
selecionada a partir de certos critérios e processos. Esses processos são chamados de 
“amostragem”. 
Há amostragens probabilísticas e não probabilísticas. 
As amostragens denominadas probabilísticas são aquelas em que não há interferência do 
entrevistador na seleção da amostra (entrevistador imparcial). É possível calcular a probabilidade 
de cada elemento da população pertencer à amostra. 
São exemplos de amostragens probabilísticas: amostragem aleatória simples, amostragem por 
estratos, amostragem por conglomerados e amostragem sistemática. 
 
Por outro lado, há processos de amostragem não probabilísticos (ou determinísticos). Nesse caso, 
há interferência do entrevistador. 
 
 
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1.1.1. Amostragem Aleatória Simples 
 
É um tipo de amostragem probabilística. 
A amostragem aleatória (casual ou acidental) simples é aquela em que todos os elementos da 
população têm a mesma probabilidade de serem selecionados. 
Para analisar as propriedades dos estimadores a partir de amostras aleatórias simples, devemos 
notar duas possibilidades: 
• A população é infinita ou a amostragem foi feita com reposição a partir de uma população 
finita. Neste caso, os valores observados são independentes. 
• A população é finita e a amostragem foi feita sem reposição. Neste caso, os valores 
observados não são independentes. 
 
1.1.2. Amostragem por Estratificação 
 
É um tipo de amostragem probabilística. Para obter uma amostra estratificada, devemos dividir a 
população em estratos (subconjuntos). Em seguida, em cada estrato, realizamos uma amostra 
aleatória simples. 
É importante notar que os elementos dentro de cada estrato são bastante homogêneos, ou seja, 
apresentam uma baixa variabilidade. Por outro lado, entre os estratos há uma grande 
heterogeneidade, ou seja, uma grande variabilidade. 
Vou adaptar aqui um exemplo do livro “Estatística Básica – Probabilidade e Inferência” (Luiz 
Gonzaga Morettin, página 187). No exemplo do referido livro, há uma população de 60 mil 
operários da indústria automobilística. Queremos formar uma amostra de 5% dos operários para 
estimar o salário médio. Assim, a amostra terá: 
𝑛 = 5%	𝑑𝑒	60	𝑚𝑖𝑙 =
5
100 × 60.000 = 3.000	𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 
Como há diferentes níveis de salários nessa indústria, decidiu-se usar uma amostragem por 
estratos. Cada estrato será um cargo na indústria. 
 
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Cargos População 
Chefes de seção 10.000 
Operários especializados 20.000 
Operários não especializados 30.000 
Total 60.000 
 
Há duas maneiras de alocar os 3.000 funcionários da amostra. 
Na alocação uniforme, cada dividimos os 3.000 funcionários da amostra igualmente entre os 
estratos. Como são 3 estratos no nosso exemplo, teríamos 1.000 funcionários em cada estrato. 
Na alocação proporcional, devemos dividir os 3.000 funcionários da amostra proporcionalmente 
à quantidade de funcionários em cada estrato. 
Observe que metade dos operários são não especializados. Assim, teremos 3.000/2 = 1.500 
elementos da amostra selecionados desse estrato. 
Temos ainda que 1/6 dos operários são chefes de seção. Assim, Q
i
× 3.000 = 500	elementos da 
amostra serão retirados do primeiro estrato. 
A quantidade de operários especializados é o dobro da quantidade de chefes de seção. Assim, 
retiraremos 2 × 500 = 1.000 funcionários do segundo estrato. 
Cargos População Amostra (Alocação Uniforme) 
Amostra (Alocação 
Proporcional) 
Chefes de seção 10.000 1.000 500 
Operários especializados 20.000 1.000 1.000 
Operários não 
especializados 
30.000 1.000 1.500 
Total 60.000 3.000 3.000 
 
 
 
 
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(CESPE 2010/SAD-PE) 
Em uma cidade, há 1.000 empresas do ramo da construção civil que são classificadas segundo o 
seu porte. A distribuição dessas empresas é dada na tabela seguinte. 
 
Considere que um instituto de pesquisa decida coletar uma amostra de 100 empresas por meio 
de uma amostragemaleatória estratificada segundo o porte das empresas. Se a alocação da 
amostra é uniforme, então o número de empresas de grande porte presentes na amostra será 
igual a 
A) 1. 
B) 5. 
C) 10. 
D) 25. 
E ) 50. 
Comentário 
A população foi dividida em estratos. Dentro de cada estrato pode haver uma grande 
homogeneidade (pequena variabilidade) e entre os estratos pode haver uma grande 
heterogeneidade (grande variabilidade). 
Há duas formas de obter a amostra por estratos. No primeiro caso, temos uma alocação 
uniforme. Nesse caso, retiramos o mesmo número de elementos de cada um dos estratos. No 
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segundo caso, temos uma alocação proporcional. Nesse caso fazemos uma partilha proporcional 
ao número de elementos de cada estrato. 
A questão fala explicitamente que “a alocação da amostra é uniforme”. Retiraremos o mesmo 
número de elementos de cada um dos estratos. Logo, o número de empresas de grande porte 
presentes na amostra será igual a 100/4=25. 
Gabarito: D 
 
 
1.1.3. Amostragem por Conglomerados 
 
É um tipo de amostragem probabilística. 
Cuidado para não confundir a amostragem por estratificação com a amostragem por 
conglomerados. 
Vimos que na amostragem por estratificação, os elementos dentro de cada estrato são bastante 
homogêneos, ou seja, apresentam uma baixa variabilidade. Por outro lado, entre os estratos há 
uma grande heterogeneidade, ou seja, uma grande variabilidade. 
No exemplo da indústria automobilística, há uma pequena variabilidade em cada estrato (os 
chefes de seção devem ter salários bem próximos, por exemplo. Entretanto, há grande 
variabilidade entre os estratos: basta notar que os salários dos chefes de seção devem ser bem 
diferentes dos salários dos operários não especializados. 
Na amostragem por estratificação, dividimos a população em estratos e depois fazemos uma 
amostragem aleatória simples em cada estrato. 
 
Na amostragem por conglomerados, também vamos dividir a população em subconjuntos. 
Entretanto, há uma baixa variabilidade entre os subconjuntos e uma alta variabilidade dentro de 
cada subconjunto. 
Utilizando ainda o exemplo da indústria automobilística. Podemos dividir a indústria 
automobilística em conglomerados. Cada conglomerado seria uma montadora. 
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Observe que os salários entre as montadoras apresentam baixa variabilidade, ou seja, os salários 
entre as montadoras devem ser bem parecidos. Entretanto, dentro de cada montadora há uma 
grande variabilidade (pois há pessoas com diferentes cargos). 
 
Assim, dividimos a população em conglomerados, sorteamos um (ou mais de um) conglomerado 
e entrevistamos todos os elementos daquele conglomerado. 
 
1.1.4. Amostragem Sistemática 
 
É um tipo de amostragem probabilística. 
A amostragem sistemática é realizada da seguinte maneira: ordenamos os dados (pode ser 
qualquer ordenação; por exemplo, ordem alfabética) e, em seguida, vamos selecionando os 
elementos de 7 em 7, ou de 10 em 10, ou de 20 em 20, etc. 
Imagine que temos uma lista de 1.000 nomes e queremos estimar a média das alturas. 
Poderíamos então escrever esses nomes em ordem alfabética e, em seguida, selecionar o 1º, o 
11º, o 21º, e assim por diante. 
 
1.1.5. Amostragem por Conveniência 
 
É um tipo de amostragem não probabilística. 
Como o próprio nome indica (por conveniência ou acessibilidade), não há tanto critério na 
seleção do público a ser pesquisado. Imagine, por exemplo, um repórter que vai a um lugar 
público (Shopping Center, por exemplo) e faz a sua pesquisa lá mesmo, sem critérios em relação 
ao perfil do entrevistado. A amostra é feita com as pessoas que passaram por ele naquele 
momento e que se dispuseram a realizar a entrevista. 
 
 
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1.1.6. Amostragem por Julgamento 
 
É um tipo de amostragem não probabilística. 
Neste caso, a escolha dos entrevistados é feita a partir do julgamento do entrevistador. O 
entrevistador buscará por elementos que possuem características definidas de acordo com o seu 
interesse. 
 
1.1.7. Amostragem por Cotas 
 
É um tipo de amostragem não probabilística. 
Neste tipo de amostragem, selecionamos uma amostra por cotas proporcionais com 
características semelhantes da população. 
Imagine que uma população é formada por 45% de homens adultos, 40% de mulheres adultas e 
15% de crianças. Se essa característica é importante para o estudo, a proporcionalidade deve ser 
respeitada na amostra. 
A diferença da amostragem por cotas (ou amostragem proporcional) para a amostragem por 
estratificação (com alocação proporcional) é que na amostragem por estratos realizamos uma 
amostragem aleatória simples em cada estrato. Na amostragem por cotas, a amostra é 
selecionada por um método não probabilístico. 
 
 
 
 
 
 
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2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES 
 
Vimos que o valor do estimador varia em cada uma das possíveis amostras tiradas da população. 
Assim, o estimador pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição igual à 
distribuição da população. 
Uma estimativa pontual de um parâmetro é um valor numérico de um estimador para uma 
amostra específica. 
 
Assim, a média amostral, por exemplo, pode ser considerada uma variável aleatória. Sendo uma 
variável aleatória, podemos calcular a sua média, sua variância, etc. 
 
Chamamos de distribuição amostral a distribuição de probabilidade de um estimador. 
 
2.1. Distribuição Amostral da Média 
 
Se a população é infinita ou se a amostragem é feita com reposição, os diversos valores da 
amostra são considerados valores de variáveis aleatórias independentes, com a mesma 
distribuição de probabilidades da população, ou seja, com a mesma média 𝜇 e a mesma 
variância 𝜎K da população. 
 
Como assim? 
Consideremos uma amostra aleatória (𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋') de tamanho 𝑛. Neste caso, 𝑋Q é o 
primeiro valor selecionado, 𝑋K é o segundo valor selecionado, e assim por diante. 
Cada um desses valores 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' é uma variável aleatória, pois seus valores dependem da 
amostra selecionada. 
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Por exemplo: vamos selecionar uma amostra de tamanho 5, ou seja, a amostra será composta por 
5 valores 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, 𝑋m, 𝑋n. 
Digamos que o primeiro número da amostra foi 7. Assim, 𝑋Q = 7. 
Mas poderíamos ter selecionado uma outra amostra e nesta outra amostra o primeiro número 
selecionado foi 8. Assim, 𝑋Q = 8. 
Desta forma, 𝑋Q não é constante, pois depende da amostra selecionada. Logo, 𝑋Q é uma variável 
aleatória. 
Como os valores de 𝑋Q são retirados da população, então 𝑋Q tem exatamente a mesma 
distribuição da população: mesmos possíveis elementos com mesmas probabilidades, mesma 
média e mesma variância. 
𝐸(𝑋Q) = 𝜇 
𝑉𝑎𝑟(𝑋Q) = 𝜎K 
 
Vamos agora selecionar o segundo elemento da amostra 𝑋K. Se a população for infinita ou se o 
processo foi feito com reposição (ou seja, 𝑋Q foi devolvido à população), 𝑋K também terá a 
mesma distribuição da população:mesmos elementos, mesmas probabilidades, mesma média e 
mesma variância. 
𝐸(𝑋K) = 𝜇 
𝑉𝑎𝑟(𝑋K) = 𝜎K 
 
E assim por diante para todos os outros elementos da amostra. Se os elementos forem 
devolvidos à população, ou seja, se o processo for feito com reposição, cada elemento da 
amostra 𝑋P é uma variável aleatória independente das demais com distribuição de probabilidades 
idêntica à da população: mesmos elementos, mesmas probabilidades, mesma média e mesma 
variância. 
𝐸(𝑋P) = 𝜇 
𝑉𝑎𝑟(𝑋P) = 𝜎K 
 
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Pois bem, já sabemos então que os elementos da amostra (𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋') são amostras aleatórias 
independentes com média e variância iguais às da população. É comum dizer que essas variáveis 
são iid, ou seja, temos uma coleção de variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas. 
 
Pois bem, vamos agora trabalhar com a média amostral, ou seja, a média das variáveis 
independentes 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋'. 
 
A média 	𝑋	oooo da amostra aleatória é dada por: 
	𝑋	oooo =
∑𝑋P
𝑛 =
𝑋Q + 𝑋K + 𝑋k +⋯+ 𝑋'
𝑛 
É importante que você passe a enxergar 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' como variáveis aleatórias e não como 
números. Quando selecionamos uma amostra específica e substituímos seus valores na fórmula 
acima, temos uma estimativa da média. 
Pois bem. A média 	𝑋	oooo também é uma variável aleatória, pois seu valor depende dos valores da 
amostra 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋'. 
 
Como 	𝑋	oooo é uma variável aleatória, podemos calcular a sua média (esperança). 
𝐸(	𝑋	oooo) =? 
Vamos aplicar a fórmula da média amostral. 
𝐸(	𝑋	oooo) = 𝐸 r
𝑋Q + 𝑋K + 𝑋k +⋯+ 𝑋'
𝑛 s = 
 
= 𝐸 r
𝑋Q
𝑛 +
𝑋K
𝑛 +
𝑋k
𝑛 +⋯+
𝑋'
𝑛 s 
 
Sabemos que a esperança da soma de variáveis aleatórias é igual à soma das esperanças. 
 
Guilherme Neves
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17 
 
= 𝐸 r
𝑋Q
𝑛 s + 𝐸 r
𝑋K
𝑛 s +⋯+ 𝐸 r
𝑋'
𝑛 s 
Quando dividimos uma variável por uma constante, a sua média fica dividida por essa constante. 
 
=
𝐸(𝑋Q)
𝑛 +
𝐸(𝑋K)
𝑛 +⋯+
𝐸(𝑋')
𝑛 
Vimos que cada uma das variáveis aleatórias 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são independentes (pois estamos 
supondo uma população infinita ou um processo com reposição) e identicamente distribuídas à 
população, ou seja, as médias de 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são iguais à média da população (as variâncias das 
variáveis 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' também são iguais à variância da população). 
Logo, 
=
𝐸(𝑋)
𝑛 +
𝐸(𝑋)
𝑛 +⋯+
𝐸(𝑋)
𝑛 
 
=
𝜇
𝑛 +
𝜇
𝑛 +⋯+
𝜇
𝑛tuuuvuuuw
'	xyz{|}y~
 
 
=
𝑛 ∙ 𝜇
𝑛 
 
= 𝜇 
Unindo o pé com a cabeça, temos: 
𝐸(	𝑋	oooo) = 𝜇 
Guilherme, o que isso significa???? 
Vamos recapitular o raciocínio. Vimos que cada elemento da amostra 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋' é uma 
variável aleatória (pois seus valores mudam de acordo com a amostra selecionada). Vimos que 
essas variáveis são independentes se a população for infinita ou se a população for finita e a 
amostra feita com reposição. 
Guilherme Neves
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18 
 
Vimos ainda que cada uma dessas variáveis aleatórias assumem os mesmos valores da 
população, ou seja, possuem a mesma distribuição de probabilidades da população. 
 
Por fim, nos interessamos em calcular a média aritmética dessas variáveis 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋'. 
A média aritmética dessas variáveis, chamada de média amostral, é também uma variável 
aleatória. Ora, basta pensar que obtemos valores diferentes para a média quando selecionamos 
uma amostra diferente. 
Digamos que selecionamos uma amostra e obtemos os seguintes valores: 1, 3, 7, 9. 
𝑋 =
1 + 3 + 7 + 9
4 = 5 
Imagine que, para a mesma população, obtivemos uma amostra de valores 2, 4, 4, 8. A média 
amostral seria: 
𝑋 =
2 + 4 + 4 + 8
4 = 4,5 
Ora, como 𝑋 varia de acordo com a amostra, então 𝑋 é uma variável aleatória. 
Como 𝑋 é uma variável aleatória, podemos estudar a sua distribuição de probabilidades. A 
primeira coisa que fizemos foi calcular a média de 𝑋 (a média da média amostral). Concluímos 
que a média da média amostral é igual a 𝜇, ou seja, igual à média da população. 
𝐸(	𝑋	oooo) = 𝜇 
 
Vamos agora calcular a variância de 𝑋. 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =? 
Vamos aplicar a fórmula da média. 
𝑉𝑎𝑟(	𝑋	oooo) = 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋Q + 𝑋K + 𝑋k +⋯+ 𝑋'
𝑛 s = 
 
= 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋Q
𝑛 +
𝑋K
𝑛 +
𝑋k
𝑛 +⋯+
𝑋'
𝑛 s 
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19 
 
Como as variáveis 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋' são independentes (pois foram retiradas de uma população 
infinita ou de uma população finita com reposição), então a variância da soma é igual à soma das 
variâncias. 
= 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋Q
𝑛 s + 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋K
𝑛 s +⋯+ 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋'
𝑛 s 
 
Quando dividimos uma variável por uma constante, a sua variância fica dividida pelo quadrado 
dessa constante. 
=
𝑉𝑎𝑟(𝑋Q)
𝑛K +
𝑉𝑎𝑟(𝑋K)
𝑛K + ⋯+
𝑉𝑎𝑟(𝑋')
𝑛K 
Vimos que cada uma das variáveis aleatórias 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são independentes (pois estamos 
supondo uma população infinita ou um processo com reposição) e identicamente distribuídas à 
população, ou seja, as médias de 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são iguais à média da população e as variâncias 
das variáveis 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' também são iguais à variância da população. 
=
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛K +
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛K + ⋯+
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛K 
A variância da população é indicada por 𝜎K. 
 
=
𝜎K
𝑛K +
𝜎K
𝑛K + ⋯+
𝜎K
𝑛Ktuuuuuvuuuuuw
'	xyz{|}y~
 
 
=
𝑛 ∙ 𝜎K
𝑛K 
 
=
𝜎K
𝑛 
Unindo o pé com a cabeça, temos: 
𝑉𝑎𝑟(	𝑋	oooo) =
𝜎K
𝑛 
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20 
 
Assim, concluímos que a variância da média amostral é igual à variância populacional dividida por 
𝑛. 
É comum indicarmos a variância da média amostral por 𝜎�
K. Logo, 
𝜎�
K =
𝜎K
𝑛 
Consequentemente, o desvio padrão da média amostral é: 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
 
 
 
• Considere uma amostra aleatória 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' retirada de uma população infinita 
ou retirada com reposição de uma população finita. 
• 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 
à população. Assim, 𝐸(𝑋P) = 𝜇 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋P) = 𝜎K. 
• A média amostral 𝑋o é uma variável aleatória. 
• A esperança de 𝑋o é igual à média populacional, ou seja, 𝐸�𝑋� = 𝜇. 
• A variância de 𝑋o é igual à variância populacional dividida por 𝑛, ou seja, 𝜎�
K = �
�
'
. 
 
Vamos a um exemplo concreto para que tudo isso fique mais claro. 
Tomemos como exemplo o clássico exemplo do dado. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
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21 
 
Vamos calcular a média e a variância dessa variável aleatória. Para calcular a média, precisamos 
multiplicar cada valor da variável pela respectiva probabilidade e somar os resultados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
1 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 
3 1/6 3/6 
4 1/6 4/6 
5 1/6 5/6 
6 1/6 6/6 
 
𝜇 =
1
6 +
2
6 +
3
6 +
4
6 +
5
6 +
6
6 =
21
6 =
7
2 
 
𝜇 = 3,5 
 
Para calcular a variância, vamos aplicar a fórmula 𝜎K = 𝐸(𝑋K) − 𝜇K. 
Já temos𝜇. Precisamos calcular 𝐸(𝑋K). 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿𝟐 𝑿𝟐 ∙ 𝑷(𝑿) 
1 1/6 1/6 1 1/6 
2 1/6 2/6 4 4/6 
3 1/6 3/6 9 9/6 
4 1/6 4/6 16 16/6 
5 1/6 5/6 25 25/6 
6 1/6 6/6 36 36/6 
 
Assim, 
𝐸(𝑋K) =
1
6 +
4
6 +
9
6 +
16
6 +
25
6 +
36
6 
 
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22 
 
𝐸(𝑋K) =
91
6 
 
Assim, a variância é: 
𝜎K = 𝐸(𝑋K) − 𝜇K 
 
𝜎K =
91
6 − r
7
2s
K
 
 
𝜎K =
91
6 −
49
4 
 
𝜎K =
182 − 147
12 
 
𝜎K =
35
12 
 
Resumindo: a variável aleatória 𝑋 a seguir 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
Tem média 𝜇 = 3,5 e variância 𝜎K = 35/12. 
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23 
 
Pois bem. Vamos selecionar uma amostra de tamanho 2, ou seja, vamos jogar o dado 2 vezes. 
O primeiro valor será chamado de 𝑋Q e o segundo valor será 𝑋K. 
Quais são os possíveis valores para 𝑋Q? Exatamente os mesmos valores da população: 1, 2, 3, 4, 
5, 6. Cada um desses valores tem a mesma probabilidade de ocorrer: 1/6. Assim, 𝑋Q é uma 
variável aleatória com distribuição idêntica à da população: 
𝑿𝟏 𝑷(𝑿𝟏) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
Perceba que 𝑋Q tem exatamente a mesma distribuição de probabilidades da população 𝑋. Logo, 
𝐸(𝑋Q) = 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 3,50 
𝑉𝑎𝑟(𝑋Q) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
35
12 
Os lançamentos do dado são independentes, já que o valor ocorrido para 𝑋Q volta à população 
(se saiu número 1 no primeiro lançamento, pode sair 1 de novo no segundo lançamento). 
 
Quais são os possíveis valores para 𝑋K? Exatamente os mesmos valores da população: 1, 2, 3, 4, 
5, 6. Cada um desses valores tem a mesma probabilidade de ocorrer: 1/6. Assim, 𝑋K é uma 
variável aleatória com distribuição idêntica à da população: 
𝑿𝟐 𝑷(𝑿𝟐) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
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24 
 
Perceba que 𝑋K tem exatamente a mesma distribuição de probabilidades da população 𝑋. Logo, 
𝐸(𝑋K) = 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 3,50 
𝑉𝑎𝑟(𝑋K) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
35
12 
Resumindo: 𝑋Q e 𝑋K são variáveis iid (independentes e identicamente distribuídas). 
Vamos estudar agora uma outra variável aleatória: 𝑋 = �����
K
. 
Há 6 possíveis resultados para 𝑋Q e 6 casos possíveis para 𝑋K. Há, portanto, 6 × 6 = 6K = 36 
amostras possíveis. 
Na tabela a seguir, vou descrever todas as 36 amostras. Na primeira coluna, colocarei os 
possíveis valores para 𝑋Q e na primeira linha os possíveis valores para 𝑋K. 
𝑿𝟏 \ 𝑿𝟐 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Vamos agora calcular a média de cada uma dessas 36 amostras. 
Por exemplo, para a amostra (1,1),	a média é Q�Q
K
= 1. Vou substituir cada célula na tabela acima 
pela média da amostra. 
𝑿𝟏 \ 𝑿𝟐 1 2 3 4 5 6 
1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 
2 1,5 2 2,5 3 3,5 4 
3 2 2,5 3 3,5 4 4,5 
4 2,5 3 3,5 4 4,5 5 
5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 
6 3,5 4 4,5 5 5,5 6 
 
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25 
 
A tabela acima indica os valores para 𝑋. 
Vamos agrupar os possíveis resultados acima em uma tabela. 
O número 1, por exemplo, tem probabilidade 1/36 de ocorrer. 
O número 1,5 tem probabilidade 2/36 de ocorrer. 
E assim por diante. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 1/36 
1,5 2/36 
2 3/36 
2,5 4/36 
3 5/36 
3,5 6/36 
4 5/36 
4,5 4/36 
5 3/36 
5,5 2/36 
6 1/36 
 
Vamos agora calcular a média de 𝑋. Para tanto, devemos multiplicar cada valor da variável pela 
sua respectiva probabilidade. Depois vamos somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
1 1/36 1/36 
1,5 2/36 3/36 
2 3/36 6/36 
2,5 4/36 10/36 
3 5/36 15/36 
3,5 6/36 21/36 
4 5/36 20/36 
4,5 4/36 18/36 
5 3/36 15/36 
5,5 2/36 11/36 
6 1/36 6/36 
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26 
 
Logo, 
𝐸�𝑋� =
1
36 +
3
36 +
6
36 +⋯+
11
36 +
6
36 
 
𝐸�𝑋� =
126
36 
 
𝐸�𝑋� = 3,5 
 
Exatamente o que esperávamos!!! 
É claro que na prática você não precisará fazer essas contas todas. Você já sabe que 𝐸�𝑋� = 𝜇. 
Como a média da variável aleatória X (lançamento de um dado) é 3,5, então 𝐸�𝑋� = 3,5. 
Vamos agora para a variância. Que resultado devemos esperar para 𝑉𝑎𝑟�𝑋� = 𝜎�
K? 
Vimos que 
𝜎�
K =
𝜎K
𝑛 
A variância da população já calculamos: 35/12. 
A amostra tem tamanho 2. Logo, 𝑛 = 2. Assim, devemos esperar o seguinte resultado. 
𝜎�
K =
35/12
2 =
35
24 
Vamos conferir se dá certo? 
Para calcular a variância 𝑉𝑎𝑟�𝑋� vamos aplicar a fórmula da variância: média dos quadrados 
menos o quadrado da média, ou seja: 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� = 𝐸 9𝑋
K
: − �𝐸�𝑋��
K
 
Já sabemos que 𝐸�𝑋� = 3,5. Precisamos calcular 𝐸 9𝑋
K
:. 
 
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27 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿
𝟐
 𝑿
𝟐
∙ 𝑷(𝑿) 
1 1/36 1/36 1 1/36 
1,5 2/36 3/36 2,25 4,5/36 
2 3/36 6/36 4 12/36 
2,5 4/36 10/36 6,25 25/36 
3 5/36 15/36 9 45/36 
3,5 6/36 21/36 12,25 73,5/36 
4 5/36 20/36 16 80/36 
4,5 4/36 18/36 20,25 81/36 
5 3/36 15/36 25 75/36 
5,5 2/36 11/36 30,25 60,5/36 
6 1/36 6/36 36 36/36 
Assim, 
𝐸 9𝑋
K
: =
1
36 +
4,5
36 +
12
36 +⋯+
36
36 
 
𝐸 9𝑋
K
: =
493,5
36 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� = 𝐸 9𝑋
K
: − �𝐸�𝑋��
K
 
 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
493,5
36 −
[3,5]K 
 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
493,5
36 − 12,25 
 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
493,5 − 441
36 
 
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28 
 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
52,5
36 
 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
525
360 
Simplificando por 15, temos: 
𝑉𝑎𝑟�𝑋� =
35
24 
Exatamente o mesmo valor que havíamos obtido. 
Vejamos novamente as fórmulas obtidas: 
𝐸�𝑋� = 𝜇 
𝜎�
K =
𝜎K
𝑛 
Assim, 𝑋 é uma variável aleatória. A média em torno dos quais devem variar os possíveis valores 
de 𝑋 é a própria média da população. Ademais, a variância com que 𝑋 se dispersa em torno de 
sua média é 𝑛 vezes menor do que a variância populacional de onde é retirada a amostra. 
 
2.1.1. Fator de Correção para População Finita 
 
As fórmulas vistas só valem se a variável aleatória tiver população infinita ou se a população for 
finita e a amostra for obtida com reposição (como foi o nosso exemplo do dado). 
Isso porque partimos do pressuposto de que as variáveis 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' são iid (independentes e 
identicamente distribuídas). 
Se a população for finita e o processo for feito sem reposição, as variáveis 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' serão 
dependentes. Isso alterará a fórmula da variância da média amostral. 
Assim, no caso de amostragem sem reposição de populações finitas, em que as variáveis 
𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋' não são independentes, demonstra-se que 
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29 
 
𝜎�
K =
𝜎K
𝑛 ×
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
Em que 𝑁 é o número de elementos da população e o fator 6�'
6�Q
 é o fator de correção de 
população finita. 
 
2.1.2. Média Amostral e Distribuição Normal 
 
É possível demonstrar que se a população tiver uma distribuição normal, a distribuição amostral 
de 𝑋 será também uma distribuição normal para qualquer tamanho da amostra. 
Assim, se a população tiver distribuição normal, então 𝑋 terá distribuição normal com média 𝑋 =
𝜇 e desvio padrão �
√'
. 
 
Entretanto, o Teorema Central do Limite afirma que se a distribuição da população não for 
normal, mas a amostra for suficientemente grande, a distribuição amostral de 𝑋 será 
aproximadamente normal (se a população for infinita ou se a amostragem for feita com 
reposição, pois o valor de 𝑋 será resultante da soma de um número grande de variáveis 
aleatórias independentes). 
Podemos estender essa conclusão para o caso de amostragem sem reposição de populações 
finitas, porém a amostra tem que ser suficientemente grande. 
A distribuição de 𝑋, na prática, com uma amostra pequena (de 4 ou 5 elementos), é bem 
aproximada pela curva normal se a população tiver distribuição simétrica ou próxima da normal. 
 
Lembre-se: se a população tiver distribuição normal, então 𝑋 terá distribuição normal 
independente do tamanho da amostra (não é aproximação, é exato). A média de 𝑋 é a mesma 
média populacional e sua variância é menor (é a variância populacional dividida por 𝑛), ou seja, 𝑋 
é menos dispersa. 
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30 
 
 
 
2.1.3. Características da Média Amostral 
 
Quando a esperança de um estimador 𝜃L é igual ao parâmetro populacional 𝜃, dizemos que o 
estimador é não-tendencioso (não-viciado, não-viesado, não-enviesado, imparcial). 
Como a esperança de 𝑋 é igual à média populacional, dizemos que 𝑿 é um estimador não-
tendencioso da média populacional. 
𝐸�𝑋� = 𝜇 ⟹	𝑋	é	𝑢𝑚	𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟	𝑛ã𝑜	𝑣𝑖𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 
 
É importante notar que 𝑋, média aritmética simples, não é o único estimador não-viesado da 
média populacional. 
Na verdade, existem infinitos estimadores não viesados para 𝜇. 
 
Bom, não possuir viés é uma qualidade que desejamos para os estimadores. 
 
Existem outras características que desejamos para os estimadores. Outra qualidade desejável é 
que os estimadores sejam eficientes, ou seja, possuam variância mínima. É possível demonstrar 
que a média amostral é, dentre os infinitos estimadores não-tendenciosos, aquele que possui a 
menor variância possível. 
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31 
 
Assim, dizemos que 𝑿 é um estimador de variância mínima. 
 
Estudamos na Estatística Descritiva, que a média minimiza a soma dos quadrados dos desvios, ou 
seja, ∑(𝑋P − 𝑚)K assume um valor mínimo quando 𝑚 = 𝑋. Assim, dizemos que 𝑿 é um estimador 
de mínimos quadrados. 
 
Há ainda outra característica importante desejada para estimadores. O método de máxima 
verossimilhança adota estimativas dos parâmetros os valores que maximizam a probabilidade (ou 
densidade de probabilidade no caso de variáveis contínuas) de a amostra observada ter sido 
obtida. 
Pois bem, se a variável X tem distribuição normal, então 𝑿 é um estimador de máxima 
verossimilhança. 
 
Também dizemos que 𝑿 é um estimador consistente. Um estimador é consistente quando sua 
variância tende a zero quando o número de elementos da amostra tende a infinito. 
Ora, sabemos que 𝜎�
K = �
�
'
. Assim, quando 𝑛 tende a infinito, 𝜎�
K tenderá a zero. Logo, 𝑿 é um 
estimador consistente. 
 
Em suma: 𝑋 é um estimador não-tendencioso, de variância mínima, de mínimos quadrados, 
consistente e de máxima verossimilhança (este último se X tiver distribuição normal). 
 
2.2. Distribuição amostral da variância 
 
Vamos abordar a variância amostral com o mesmo caminho que fizemos para a média amostral. 
Assim, nós utilizaremos a variância amostral 𝑠K para estimar a variância populacional 𝜎K. 
Vimos que há diversas características importantes para os estimadores. 
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32 
 
É possível provar que o estimador não tendencioso da variância populacional é: 
𝑠K =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝑛 − 1 
Observe que não conhecemos a média populacional nem a variância populacional, ou seja, 
estamos usando a média amostral para calcular 𝑠K. 
Da mesma forma que a média amostral, a variância amostral 𝑠K é uma variável aleatória, pois seu 
valor depende da amostra. 
Como dissemos que 𝑠K (com 𝑛 − 1 no denominador) é um estimador não tendencioso, então a 
sua média é igual ao parâmetro populacional, ou seja: 
𝐸(𝑠K) = 𝜎K 
É possível provar que a variância de 𝑠K é dada por: 
𝑉𝑎𝑟(𝑠K) =
2𝜎m
𝑛 − 1 
 
Vimos que se 𝑋 é uma variável aleatória com distribuição normal, então 𝑋 é também um 
estimador de máxima verossimilhança. No caso da variância amostral, o estimador de máxima 
verossimilhança (no caso de a população ter uma distribuição normal) é 
𝑠K =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝑛 
É importante ressaltar que o estimador de máxima verossimilhança da variância é um estimador 
tendencioso, pois o estimador não-tendencioso utilizar 𝑛 − 1 no denominador. 
 
Pois bem, sabemos que 𝑠K se comporta como uma variável aleatória. Daí nos perguntamos: 
como é a sua distribuição de probabilidades, ou seja, como é a distribuição amostral da 
variância? 
Já sabemos a sua média e a sua variância: 
𝐸(𝑠K) = 𝜎K 
𝑉𝑎𝑟(𝑠K) =
2𝜎m
𝑛 − 1 
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33 
 
 
Vamos verificar agora como se comporta a sua distribuição de probabilidades (se você quiser 
pular essa explicação, pode simplesmente decorar o quadro resumo que coloquei ao final.). 
 
Vamos relembrar algumas propriedades da distribuição qui-quadrado. 
 
Vamos considerar 𝑘 variáveis normais reduzidas e independentes. Pois bem, a soma dos 
quadrados das 𝑘 variáveis normais reduzidas e independentes é, por definição, a distribuição de 
qui-quadrado 𝜒�K com 𝑘 graus de liberdade. 
Assim, se 𝑍Q, 𝑍K, …𝑍� são variáveis aleatórias normais reduzidas (as médias são 0 e os desvios-
padrão são iguais a 1), então: 
𝜒�K = 𝑍QK + 𝑍KK + ⋯+ 𝑍�K 
Utilizando a notação do somatório, temos: 
𝜒�K =�𝑍PK
�
P�Q
 
E se as variáveis normais não são reduzidas? 
Ora, se uma variável 𝑋Q é normal com média 𝜇Q e desvio padrão 𝜎Q, então basta transformá-la em 
uma distribuição normal reduzida através da fórmula 
𝑍Q =
𝑋Q − 𝜇Q
𝜎Q
 
 
Dessa forma, se 𝑋Q, 𝑋K, … , 𝑋� são variáveis aleatórias independentes com distribuições normais de 
médias 𝜇Q, 𝜇K, … , 𝜇� e desvios-padrão 𝜎Q, 𝜎K, … , 𝜎�, então são variáveis normais reduzidas as 
seguintes variáveis. 
𝑍Q =
𝑋Q − 𝜇Q
𝜎Q
, 𝑍K =
𝑋K − 𝜇K
𝜎K
, … , 𝑍� =
𝑋� − 𝜇�
𝜎�
 
 
Assim, a variável 
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34 
 
𝜒�K =�r
𝑋P − 𝜇P
𝜎P
s
K�
P�Q
=�𝑍PK
�
P�Q
 
tem distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade. 
 
Resumindo: uma variável tem distribuição de qui-quadrado(com 𝑘 graus de liberdade) se ela 
puder ser escrita como a soma dos quadrados de 𝑘 variáveis normais reduzidas. 
 
A distribuição de qui-quadrado é a soma de 𝑘 variáveis (cada variável é o quadrado de uma 
distribuição normal reduzida). Assim, pelo Teorema do Limite Central, a distribuição de 𝜒�K será 
aproximadamente normal para um 𝑘 grande. 
Para 𝑘 pequeno, a distribuição qui-quadrado é assimétrica à direita. 
Observe os gráficos a seguir da distribuição de qui-quadrado com 𝑘 = 1, 3, 5, 50. 
 
O valor máximo ocorre para 𝜒�á�K = 𝑘 − 2. Assim, por exemplo, o valor máximo quando 𝑘 = 5 
(terceiro gráfico) ocorre para 𝜒�á�K = 5 − 2 = 3. 
À medida que o número de graus de liberdade vai aumentando, o gráfico da qui-quadrado vai se 
aproximando cada vez mais de uma distribuição normal. 
A média e a variância de uma distribuição de Qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade são dadas 
por: 
𝜇 = 𝑘 
𝜎K = 2𝑘 
 
O conhecimento das distribuições 𝜒'K nos leva à determinação da distribuição amostral de 𝑠K. 
Vimos que 
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35 
 
𝜒'K =�r
𝑋P − 𝜇P
𝜎P
s
K'
P�Q
 
Tem distribuição qui-quadrado com 𝑛 graus de liberdade (só fiz trocar k por n). 
Já vimos que se 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋' é uma amostra aleatória feita com reposição de uma população 
finita ou retirada de uma população infinita, então 𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋' são variáveis aleatórias 
independentes com distribuições idênticas à população. 
Assim, se a população X tem distribuição normal com média 𝜇 e variância 𝜎K, então 
𝑋Q, 𝑋K, 𝑋k, … , 𝑋' são variáveis aleatórias independentes com distribuições normais com média 𝜇 e 
variância 𝜎K. 
 
Logo, 
𝜇Q = 𝜇K = ⋯ = 𝜇' = 𝜇 
𝜎QK = 𝜎KK = ⋯ = 𝜎'K = 𝜎K 
𝜎Q = 𝜎K = ⋯ = 𝜎' = 𝜎 
Voltemos à distribuição qui-quadrado. 
𝜒'K =�r
𝑋P − 𝜇P
𝜎P
s
K'
P�Q
 
 
Como todas as médias 𝜇P são iguais a 𝜇 e todos os desvios 𝜎P são iguais a 𝜎, temos: 
𝜒'K =�r
𝑋P − 𝜇
𝜎 s
K'
P�Q
 
 
𝜒'K =�
(𝑋P − 𝜇)K
𝜎K
'
P�Q
 
Lembre-se que os parâmetros populacionais são constantes. Assim, 𝜎K é uma constante (um 
número). Como 𝜎K é constante, ele pode sair do somatório. 
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36 
 
 
𝜒'K =
1
𝜎K�
(𝑋P − 𝜇)K
'
P�Q
 
 
𝜒'K =
∑ (𝑋P − 𝜇)K'P�Q
𝜎K 
Assim, provamos que 
∑ (����)�
�
���
��
 tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. 
Entretanto, calculamos 𝑠K, utilizamos a média amostral 𝑋 e não a média populacional, ou seja, 
estimamos a variância populacional sem saber o valor da média populacional. 
É possível demonstrar que 
∑ ������
��
���
��
 (troquei a média populacional pela média amostral) tem 
distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade. 
𝜒'�QK =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝜎K 
 
Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 𝑛 − 1. Quando multiplicamos e dividimos 
pelo mesmo valor, o número não se altera. 
𝜒'�QK =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝜎K ×
𝑛 − 1
𝑛 − 1 
 
Arrumando, temos: 
𝜒'�QK =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝑛 − 1 ×
𝑛 − 1
𝜎K 
 
𝜒'�QK = 𝑠K ×
𝑛 − 1
𝜎K 
 
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37 
 
𝜒'�QK = r
𝑛 − 1
𝜎K s ∙ 𝑠
K 
Assim, concluímos que 9'�Q
��
: ∙ 𝑠K tem distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade. 
Isso será usado para construir intervalos de confiança para 𝜎K e também para testar hipóteses 
sobre o valor de 𝜎K. 
Isolando 𝑠K na última equação, temos: 
𝑠K = �
𝜎K
𝑛 − 1� ∙ 𝜒'�Q
K 
Ou seja, a variância de uma amostra extraída de uma população com distribuição normal é uma 
variável 𝜒'�QK multiplicada pela constante	9
��
'�Q
:. 
 
Sabemos que a média e a variância de uma distribuição qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade 
são dadas por: 
𝜇 = 𝑘 
𝜎K = 2𝑘 
Logo, a média e a variância de uma distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade são 
dadas por: 
𝜇 = 𝑛 − 1 
𝜎K = 2(𝑛 − 1) 
Com isso, podemos calcular a média e a variância de 𝑠K. 
𝐸(𝑠K) = 𝐸  �
𝜎K
𝑛 − 1� ∙ 𝜒'�Q
K ¡ 
 
= �
𝜎K
𝑛 − 1� ∙ 𝐸
[𝜒'�QK ] 
 
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38 
 
= �
𝜎K
𝑛 − 1� ∙
(𝑛 − 1) 
 
= 𝜎K 
Já sabíamos que 𝐸(𝑠K) = 𝜎K. Como a esperança do estimador é igual ao parâmetro, então 𝑠K é 
um estimador não tendencioso. Estou apenas provando os fatos que já havia relatado antes. 
Vamos calcular a variância de 𝑠K. 
𝑉𝑎𝑟(𝑠K) = 𝑉𝑎𝑟  �
𝜎K
𝑛 − 1� ∙ 𝜒'�Q
K ¡ 
Quando multiplicamos uma variável por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo 
quadrado dessa constante. 
= �
𝜎K
𝑛 − 1�
K
∙ 𝑉𝑎𝑟[𝜒'�QK ] 
 
=
𝜎m
(𝑛 − 1)K ∙ 2(𝑛 − 1) 
 
=
2𝜎m
𝑛 − 1 
Eu já tinha fornecido esse resultado também. 
Se você não quiser se preocupar com esses passos (acho importante para entender bem o 
assunto), pode simplesmente decorar: 
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39 
 
 
• O estimador não tendencioso da variância populacional é 𝑠K = ∑������
�
'�Q
. 
• A variável 9'�Q
��
: ∙ 𝑠K tem distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de 
liberdade, ou seja, 𝜒'�QK = 9
'�Q
��
: ∙ 𝑠K. 
• 𝐸(𝑠K) = 𝜎K. Isso é bem óbvio, já que o estimador é não tendencioso. 
• 𝑉𝑎𝑟(𝑠K) = K�
¢
'�Q
 
• Se X tem distribuição normal, então o estimador de máxima verossimilhança 
para a variância é 𝑠K = ∑������
�
'
, que por sua vez é um estimador tendencioso 
(viciado) para a variância populacional. 
 
Vimos que 𝑠K = ∑������
�
'�Q
 é o estimador não tendencioso para a variância 
populacional. Entretanto, 𝑠 = £∑������
�
'�Q
 é um estimador tendencioso para o desvio-
padrão. Cuidado! Apesar de a variância amostral calculada com 𝑛 − 1 no 
denominador ser um estimador não-tendencioso para a variância populacional, o 
mesmo não ocorre para o desvio-padrão. Esse fato é muito difícil de ser 
demonstrado e fica bem além dos propósitos desse curso. Explicações mais 
profundas sobre isso podem ser encontradas nos seguintes links: 
https://davegiles.blogspot.com/2013/12/unbiased-estimation-of-standard.html 
http://www.portalaction.com.br/inferencia/35-propriedades-dos-estimadores 
(CESPE 2018/EBSERH) 
Em determinado hospital, o tempo de espera por atendimento ambulatorial para cada paciente, 
em minutos, é uma variável aleatória X que segue distribuição normal com média 𝝁 e desvio 
padrão 𝝈. 
[...] 
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40 
 
Julgue o item seguinte. 
O desvio padrão amostral dos tempos de espera para atendimento ambulatorial é um estimador 
não tendencioso para o desvio padrão populacional 𝝈. 
Comentário 
O item está errado. Apesar de 𝑠K ser um estimador não tendencioso para a variância 
populacional, 𝑠 é um estimador tendencioso para o desvio padrão populacional. 
Gabarito: Errado 
 
(CESPE 2009/TRT-17) 
Considere um conjunto de variáveis aleatórias 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏, em que cada variável 𝑿𝒌, 𝒌 = 𝟏,… , 𝒏, 
representa o tempo gasto pelo k-ésimo oficial de justiça para o cumprimento de um mandado 
judicial. Essas variáveis aleatórias são independentes eidenticamente distribuídas, segundo uma 
distribuição normal com média m e desvio padrão d, ambos desconhecidos. 
A partir dessas informações, julgue o item, considerando que 𝑿 represente a média amostral 
desse conjunto de variáveis aleatórias. 
A função £∑ �𝑿𝒌�𝑿�
𝟐𝒏
𝒌�𝟏
𝒏�𝟏
 é um estimador tendencioso para o desvio padrão d. 
Comentário 
O item está certo. Apesar de 𝑠K ser um estimador não tendencioso para a variância populacional, 
𝑠 é um estimador tendencioso para o desvio padrão populacional. 
Gabarito: Certo 
 
(CESPE 2009/ANAC) O desvio padrão amostral corresponde a uma estimativa não tendenciosa 
do desvio padrão populacional. 
O item está errado. Apesar de 𝑠K ser um estimador não tendencioso para a variância 
populacional, 𝑠 é um estimador tendencioso para o desvio padrão populacional. 
Gabarito: Errado 
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41 
 
 
2.3. Distribuição Amostral da Proporção 
 
Vamos agora estudar a distribuição amostral da proporção 𝑝 de sucessos da população. 
Consideremos uma população na qual uma proporção 𝑝 de seus elementos apresentam certa 
característica. 
Podemos definir a população como uma variável X tal que 
§𝑋 = 1	𝑠𝑒	𝑜	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜	𝑑𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎	𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎	
(𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜)										
𝑋 = 0	𝑠𝑒	𝑜	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜	𝑑𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎	𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎	(𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜) 
 
Assim, 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝 e 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑞, tal que 𝑝 + 𝑞 = 1. 
Essa população segue uma distribuição de Bernoulli. 
Sabemos que: 
𝐸(𝑋) = 𝑝 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝𝑞 
Suponha que retiramos uma amostra com reposição dessa população. A proporção de sucessos 
na amostra será designada por �̂�. 
Vamos a um exemplo concreto para entender a diferença entre 𝑝 e �̂�. 
Suponha que a proporção de fumantes em uma população seja de 10%. Assim, 
𝑝 = 10% 
Suponha que esse parâmetro populacional seja desconhecido. 
Então retiramos uma amostra com reposição da população. Pois bem, a proporção de fumantes 
nessa amostra foi de 15%. Logo, 
�̂� = 15% 
O valor 15% é a nossa estimativa da proporção populacional. 
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42 
 
Como a proporção na população é desconhecida, usamos �̂� como estimador de 𝑝. 
Assim, 𝑝 é a proporção de sucessos na população e �̂� é a proporção de sucessos na amostra. 
É claro que �̂� depende da amostra. Logo, �̂� é uma variável aleatória. Consequentemente, 
podemos calcular a sua média e sua variância. 
Vamos definir a variável aleatória X que representa o número de sucessos em 𝑛 ensaios 
(tentativas) independentes. Sabemos que 𝑋 tem distribuição binomial com média 𝑛𝑝 e variância 
𝑛𝑝𝑞. Logo, 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞 
Se realizamos 𝑛 ensaios independentes, ou seja, se a amostra tem tamanho 𝑛, então a proporção 
de sucessos na amostra é: 
�̂� =
𝑋
𝑛 
Vamos calcular a média e a variância de �̂�. 
𝐸(�̂�) = 𝐸 r
𝑋
𝑛s 
Quando dividimos uma variável por uma constante, a média (esperança) fica dividida por essa 
constante. 
𝐸(�̂�) =
𝐸(𝑋)
𝑛 
Como 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝, temos: 
𝐸(�̂�) =
𝑛𝑝
𝑛 = 𝑝 
Assim, concluímos que a média da variável aleatória �̂� é a própria proporção populacional. 
𝐸(�̂�) = 𝑝 
Quando a média do estimador é igual ao parâmetro populacional, dizemos que o estimador é 
não-tendencioso. Logo, �̂� é um estimador não-tendencioso da população amostral. 
Vamos agora calcular a variância de �̂�. 
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43 
 
𝑉𝑎𝑟(�̂�) = 𝑉𝑎𝑟 r
𝑋
𝑛s 
 
Quando dividimos uma variável por uma constante 𝑛, sua variância fica dividida por 𝑛K. 
=
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛K 
Como 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞, temos: 
=
𝑛𝑝𝑞
𝑛K 
 
=
𝑝𝑞
𝑛 
Resumindo: a proporção amostral �̂� é uma variável aleatória com média e variância dadas por: 
𝐸(�̂�) = 𝑝 
𝑉𝑎𝑟(�̂�) =
𝑝𝑞
𝑛 
Consequentemente, o desvio padrão de �̂� é: 
𝜎x¬ = £
𝑝𝑞
𝑛 
Logo, �̂� é um estimador não-tendencioso de 𝑝. 
É possível demonstrar também que �̂� é um estimador de mínimos quadrados e de máxima 
verossimilhança de 𝑝. 
 
2.3.1. Fator de Correção para População Finita 
 
Se a população for finita e o processo for feito sem reposição, precisaremos corrigir a fórmula da 
variância e do desvio padrão da proporção amostral (assim como fizemos para a média amostral). 
Assim, no caso de amostragem sem reposição de populações finitas, demonstra-se que 
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44 
 
𝑉𝑎𝑟(�̂�) =
𝑝𝑞
𝑛 ×
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
𝜎x¬ = £
𝑝𝑞
𝑛 ×
­𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
 
Em que 𝑁 é o número de elementos da população e o fator 6�'
6�Q
 é o fator de correção de 
população finita. 
 
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45 
 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população com uma certa quantidade de elementos é dividida previamente em grupos 
mutuamente exclusivos e dentro dos quais são sorteadas amostras casuais simples. Esse tipo de 
amostragem é denominado de Amostragem 
(A) por Quotas. 
(B) por Conglomerados. 
(C) Determinística. 
(D) por Conveniência. 
(E) Aleatória Estratificada. 
 
2. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de um 
sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem 
a) por Conglomerados. 
b) Sistemática. 
c) Aleatória Estratificada. 
d) Determinística. 
e) por Quotas. 
 
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==193336==
 
 
46 
 
3. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Amostragem probabilística é considerada 
a) por julgamento. 
b) por conveniência. 
c) por cotas. 
d) aleatória simples. 
e) por acessibilidade. 
 
4. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Em um departamento de um órgão público existem 80 funcionários. Desse total, 40 são analistas 
financeiros, 20 são analistas jurídicos e 20 são técnicos jurídicos. Dentre esses 80 será 
selecionada uma amostra aleatória de 4 para formar uma comissão. O número de amostras 
estratificadas, com alocação proporcional à função exercida, que poder-se-ia realizar é igual a 
a) 312.000. 
b) 320.000. 
c) 240.000. 
d) 286.000. 
e) 168.000. 
 
5. (FCC 2013/SEFAZ-SP) 
Considere: 
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de dispersão absoluta que é o 
resultado da divisão entre a média e o desvio padrão da variável em questão. 
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe correlação linear entre duas variáveis é 
o gráfico de colunas justapostas. 
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III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de variaçãoquando se deseja 
comparar a variabilidade de duas variáveis. 
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida em estratos, usualmente, de 
acordo com os valores ou categorias de uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória 
simples é utilizada na seleção de uma amostra de cada estrato. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e IV. 
e) IV. 
 
6. (FCC 2009/TRT 3ª Região) 
O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, 
informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, 
todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos 
os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a 
renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar 
foram, respectivamente, 
a) censo e amostragem por conglomerados. 
b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
c) censo e amostragem casual simples. 
d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
 
 
 
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7. (VUNESP 2015/TJ-SP) 
Resultados de uma pesquisa declaram que o desvio padrão da média amostral é 32. Sabendo 
que o desvio padrão populacional é 192, então o tamanho da amostra que foi utilizada no 
estudo foi 
a) 6. 
b) 25. 
c) 36. 
d) 49. 
e) 70. 
 
8. (FCC 2015/DPE-SP) 
Uma amostra aleatória simples, com reposição, de 𝒏 observações 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, …𝑿𝒏 foi selecionada de 
uma população com distribuição uniforme contínua no intervalo [−𝟐, 𝒃], 𝒃 > −𝟐. 
Sabe-se que: 
I. a média dessa distribuição uniforme é igual a 10. 
II. o desvio padrão de 𝑿 = ∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 é igual a 0,4. 
Nessas condições, o valor de 𝒏 é igual a 
a) 100. 
b) 400. 
c) 225. 
d) 300. 
e) 324. 
 
 
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9. (FCC 2012/TRE-SP) 
Uma variável aleatória U tem distribuição uniforme contínua no intervalo [𝜶, 𝟑𝜶]. Sabe-se que U 
tem média 12. Uma amostra aleatória simples de tamanho n, com reposição, é selecionada da 
distribuição de U e sabe-se que a variância da média dessa amostra é 0,1. Nessas condições, o 
valor de n é 
a) 80. 
b) 100. 
c) 120. 
d) 140. 
e) 150. 
 
10. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; 
 P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e variância 4(%)2. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho n, 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏, é selecionada da 
distribuição de X. Sendo 𝑿, a média amostral dessa amostra, o valor de n para que 𝑿 não se 
distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96% é igual a 
a) 64 
b) 100 
c) 121 
d) 81 
e) 225 
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11. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
Uma auditoria feita em uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64 contas a 
receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem distribuição normal com 
desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00, a probabilidade da variável aleatória 
média amostral, usualmente denotada por 𝑿, estar situada entre R$ 980,00 e R$ 1.000,00 é dada 
por 
a) 18,4% 
b) 9,2% 
c) 28,5% 
d) 47,7% 
e) 86,2% 
 
12. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O tempo, 
em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma variável 
aleatória X com distribuição normal, tendo média 𝝁 e desvio padrão 𝝈. 
Uma amostra aleatória de n indivíduos hipertensos foi selecionada com o objetivo de se estimar 
𝝁. Supondo que o valor de 𝝈 é 10 min, o valor de n para que o estimador não se afaste de 𝝁 por 
mais do que 2 min, com probabilidade de 89%, é igual a 
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a) 36 
b) 100 
c) 81 
d) 49 
e) 64 
 
13. (FCC 2015/CNMP) 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
Sejam (𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏) e (𝒀𝟏, 𝒀𝟐, … , 𝒀𝒏) duas amostras aleatórias simples, independentes, de duas 
variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. 
Sabe-se que: 
I. X representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola A e tem 
distribuição normal com média de 5,8 e variância 2,25. 
II. Y representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola B e tem 
distribuição normal com média de 5,4 e variância 1,75. 
III. 𝑿 = ∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 e 𝒀 = ∑ 𝒀𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 são as médias amostrais das duas amostras consideradas. 
IV. 𝑼 = 𝑿 − 𝒀. 
Nessas condições, supondo que as populações de onde essas amostras foram extraídas sejam 
infinitas, o valor de n para que P(U > 1) = 3,6% é igual a 
a) 49. 
b) 36. 
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c) 25. 
d) 9. 
e) 81. 
 
14. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,5) = 0,591; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,15) = 0,8951; P(Z < 1,17) = 0,879; P(Z < 1,2) = 
0,885; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,06) = 0,98; P(Z < 2,4) = 
0,997. 
Instrução: O enunciado a seguir refere-se à questão. 
Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores de 
certa indústria. Suponha que X tem distribuição normal com média de 𝝁 anos e desvio padrão 
de 5 anos. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de 16 trabalhadores será selecionada e sejam 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟏𝟔 as idades observadas e 𝑿 =
∑ 𝑿𝒊𝟏𝟔𝟏
𝒏
 a média desta amostra. Sabendo-se que a 
probabilidade de 𝑿 ser superior a 30 anos é igual a 0,919, o valor de 𝝁, em anos, é igual a: 
a) 28,25 
b) 31,75 
c) 30,50 
d) 32,50 
e) 30,85 
 
15. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
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P(Z < 0,5) = 0,591; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,15) = 0,8951; P(Z < 1,17) = 0,879; P(Z < 1,2) = 
0,885; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,06) = 0,98; P(Z < 2,4) = 
0,997. 
Instrução: O enunciado a seguir refere-se à questão. 
Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores de 
certa indústria. Suponha que X tem distribuição normal com média de 𝝁 anos e desvio padrão 
de 5 anos. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de 𝒏 trabalhadores será selecionada e sejam 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟏𝟔 as idades observadas e 𝑿 =
∑ 𝑿𝒊𝟏𝟔𝟏
𝒏
 a média desta amostra. 
Desejando-se que o valor absoluto da diferença entre 𝑿e sua média seja menor do que 6 meses, 
com probabilidade de 95,4%, o valor de n deverá ser igual a 
a) 225. 
b) 100. 
c) 256. 
d) 196. 
e) 400. 
 
16. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z<0,25) = 0,599, P(Z<0,80) = 0,84, P(Z<1) = 0,841, P(Z<1,96) = 0,975, P(Z<3,09) = 0,999. 
Considere 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 uma amostra aleatória simples, com reposição, da distribuição da 
variável X, que tem distribuição normal com média 𝝁 e variância 36. Seja 𝑿 a média amostral 
dessa amostra. O valor de 𝒏 para que a distância entre 𝑿 e 𝝁 seja, no máximo, igual a 0,49, com 
probabilidade de 95% é igual a: 
a) 256 
b) 225 
c) 400 
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d) 144 
e) 576 
 
17. (ESAF 2012/MIN) 
Considere uma amostra aleatória simples de tamanho 50 extraída sem reposição de uma 
população finita de tamanho 500. Sendo 𝝈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 a variância da população, determine o valor 
mais próximo da variância da média amostral. 
a) 1,6 
b) 1,8 
c) 2,0 
d) 2,2 
e) 2,4 
 
18. (CESPE 2016/TCE-PA) 
Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes e identicamente distribuídas 
(IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e desvio padrão desconhecidos e 
distribuição normal. 
Tendo essa informação como referência inicial, julgue o seguinte item. 
Caso, em uma amostra aleatória de tamanho n = 4, os valores amostrados sejam A = {2, 3, 0, 1}, a 
estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional será igual a 5/3. 
 
19. (ESAF 2014/MTUR) 
Considere a seguinte amostra de uma variável de média e variância desconhecidas: 
3, 1, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 4, 6, 11. Assim, o valor da estimativa não tendenciosa da variância 
populacional é igual a: 
a) 7,09 
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b) 8,06 
c) 4,6 
d) 4,65 
e) 5,25 
 
20. (ESAF 2013/STN) 
Uma população X é constituída de 10 diferentes valores ─ 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, 𝒙𝟓, 𝒙𝟔, 𝒙𝟕, 𝒙𝟖, 𝒙𝟗	𝒆	𝒙𝟏𝟎 ─, 
na qual E(X) = 𝝁, e 𝝈𝟐(𝑿) = 𝝈𝟐. Desta população foram retiradas, com reposição, todas as 
possíveis amostras de tamanho 3, onde 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 representam, respectivamente, o primeiro, o 
segundo e o terceiro elemento de cada uma das amostras. Desse modo, pode-se afirmar que: 
a) o número total de amostras de tamanho 3 é igual a 720. 
b) 𝐸(𝑎Q) = 𝐸(𝑎K) = 𝐸(𝑎k) = 𝜇. 
c) a média aritmética das médias amostrais é igual a 𝜇/3. 
d) a média aritmética das variâncias amostrais é igual a 𝜎K. 
e) a média aritmética das médias amostrais é um estimador tendencioso de 𝜇. 
 
21. (FGV 2016/IBGE) 
Suponha que uma amostra de tamanho 𝒏 = 𝟓 é extraída de uma população normal, com média 
desconhecida, obtendo as seguintes observações: 
𝑿𝟏 = 𝟑, 	𝑿𝟐 = 𝟓, 𝑿𝟑 = 𝟔, 𝑿𝟒 = 𝟗 e 𝑿𝟓 = 𝟏𝟐 
São dados ainda os seguintes valores, retirados da tabela da distribuição qui-quadrado: 
𝑷�𝝌𝟒𝟐 < 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟕𝟏𝟑 
𝑷�𝝌𝟒𝟐 < 𝟏𝟐, 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟗𝟖𝟔 
𝑷�𝝌𝟓𝟐 > 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟖𝟓𝟒 
𝑷�𝝌𝟓𝟐 > 𝟏𝟐, 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟗𝟕𝟏 
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Se a população tem variância verdadeira 𝝈𝟐 = 𝟒, em nova amostra (𝒏 = 𝟓), a probabilidade de 
se observar uma variância amostral maior do que a anterior é de: 
a) 0,014 
b) 0,029 
c) 0,146 
d) 0,287 
e) 0,713 
 
(CESPE 2018/STM) 
Em um tribunal, entre os processos que aguardam julgamento, foi selecionada aleatoriamente 
uma amostra contendo 30 processos. Para cada processo da amostra que estivesse há mais de 5 
anos aguardando julgamento, foi atribuído o valor 1; para cada um dos outros, foi atribuído o 
valor 0. Os dados da amostra são os seguintes: 
 
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 
 
A proporção populacional de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi 
denotada por 𝒑; a proporção amostral de processos que aguardam julgamento há mais de 5 
anos foi representada por 𝒑À 
22. A variância da proporção amostral 𝒑À sob a hipótese nula 𝑯𝟎: 𝒑 = 𝟎, 𝟓 é menor que 0,1. 
 
23. Estima-se que, nesse tribunal, 𝒑 > 𝟔𝟎%. 
 
 
24. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
Determinado órgão governamental estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a 
ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja 
igual a 0,25. Essa estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem aleatória 
simples de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir 
da distribuição de Bernoulli. 
Sabendo que P(Z < 2) = 0,975, em que Z representa a distribuição normal padrão, julgue o item 
que se segue, em relação a essa situação hipotética. 
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 O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01. 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
Uma pesquisa realizada com passageiros estrangeiros que se encontravam em determinado 
aeroporto durante um grande evento esportivo no país teve como finalidade investigar a 
sensação de segurança nos voos internacionais. Foram entrevistados 1.000 passageiros, 
alocando-se a amostra de acordo com o continente de origem de cada um — África, América do 
Norte (AN), América do Sul (AS), Ásia/Oceania (A/O) ou Europa. Na tabela seguinte, N é o 
tamanho populacional de passageiros em voos internacionais no período de interesse da 
pesquisa; n é o tamanho da amostra por origem; P é o percentual dos passageiros entrevistados 
que se manifestaram satisfeitos no que se refere à sensação de segurança. 
 
Em cada grupo de origem, os passageiros entrevistados foram selecionados por amostragem 
aleatória simples. A última linha da tabela mostra o total populacional no período da pesquisa, o 
tamanho total da amostra e 𝑷𝒑𝒐𝒑 representa o percentual populacional de passageiros 
satisfeitos. 
 
A partir dessas informações, julgue os próximos itens. 
25. Na situação apresentada, o desenho amostral é conhecido como amostragem aleatória 
por conglomerados, visto que a população de passageiros foi dividida por grupos de origem. 
 
26. Considerando o referido desenho amostral, estima-se que o percentual populacional 𝑷𝒑𝒐𝒑 
seja inferior a 79%. 
 
27. A estimativa do percentual populacional de passageiros originários da África que se 
mostraram satisfeitos com a sensação de segurança nos voos internacionais foi igual a 80% e a 
estimativa do erro padrão associado a esse resultado foi inferior a 4%. 
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(TCE-SC 2016/CESPE-UnB) 
Considerando que um auditor fiscal encarregado de analisar indícios de irregularidades em 
obras de um determinado estado tenha analisado 50 obras e constatado irregularidades em 40 
delas, julgue os itens a seguir. 
28. O desvio padrão da amostra foi inferior a 0,05. 
 
29. Se o total de obras, nesse estado, for igual a 300, então o fator de correção para a 
população finita deverá ser maior que 0,8. 
 
30. Mais de 70% das obras auditadas apresentaram irregularidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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59 
 
GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. E 
02. A 
03. D 
04. A 
05. E 
06. C 
07. C 
08. D 
09. C 
10. B 
11. B 
12. E 
13. B 
14. B 
15. E 
16. E 
17. B 
18. Errado 
19. A 
20. B 
21. A 
22. Certo 
23. Certo 
24. Certo 
25. Errado 
26. Certo 
27. Certo 
28. Errado 
29. Certo 
30. Certo 
 
 
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60 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
Exercícios - Amostragem 
1. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população com uma certa quantidade de elementos é dividida previamente em grupos 
mutuamente exclusivos e dentro dos quais são sorteadas amostras casuais simples. Esse tipo de 
amostragem é denominado de Amostragem 
(A) por Quotas. 
(B) por Conglomerados. 
(C) Determinística. 
(D) por Conveniência. 
(E) Aleatória Estratificada. 
Comentário 
Na Amostragem Estratificada, a população é dividida em grupos, que são chamados de estratos. 
Em cada estrato, são sorteadas amostras simples. 
Cuidado para não confundir a “Amostragem por Estratos” com a “Amostragem por 
Conglomerados”. 
Na amostragem por Conglomerados, alguns conglomerados (grupos) são sorteados e, em 
seguida, TODOS os elementos do conglomerado são observados. 
Na amostragem por estratos, é selecionada uma amostra aleatória de elementos em cada 
estrato. 
Para ficar mais clara a diferença: na amostragem por estratos, em cada grupo, é selecionada uma 
amostra de elementos; na amostragem por conglomerados, é feita uma amostra dos grupos e, 
em cada grupo, TODOS os elementos são observados. 
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É importante lembrar ainda que a amostragem por quotas é uma amostragem não probabilística 
(não realizados amostras casuais simples entre as quotas). 
Gabarito: E 
 
2. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Uma população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de um 
sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem 
a) por Conglomerados. 
b) Sistemática. 
c) Aleatória Estratificada. 
d) Determinística. 
e) por Quotas. 
Comentário 
A população foi dividida em grupos. Alguns grupos foram selecionados por sorteio e todos os 
elementos de cada grupo sorteado foram observados. Esse tipo de amostragem é denominado 
“por conglomerados”. 
Gabarito: A 
 
3. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Amostragem probabilística é considerada 
a) por julgamento. 
b) por conveniência. 
c) por cotas. 
d) aleatória simples. 
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62 
 
e) por acessibilidade. 
Comentário 
Há amostragens probabilísticas e amostragens não probabilísticas. 
As amostragens não probabilísticas são aquelas em que há interferência do entrevistador na 
seleção da amostra. A escolha dos elementos da amostra é feita de forma deliberada. Exemplos: 
por julgamento, por conveniência (ou por acessibilidade; são sinônimos), por cotas. 
A amostragem aleatória simples é uma amostragem probabilística. 
Gabarito: D 
 
4. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Em um departamento de um órgão público existem 80 funcionários. Desse total, 40 são analistas 
financeiros, 20 são analistas jurídicos e 20 são técnicos jurídicos. Dentre esses 80 será 
selecionada uma amostra aleatória de 4 para formar uma comissão. O número de amostras 
estratificadas, com alocação proporcional à função exercida, que poder-se-ia realizar é igual a 
a) 312.000. 
b) 320.000. 
c) 240.000. 
d) 286.000. 
e) 168.000. 
Comentário 
A população foi dividida em 3 estratos, a saber: analistas financeiros, analistas jurídicos e técnicos 
jurídicos. A alocação é proporcional. 
São 40 analistas financeiros dentre 80 funcionários. Assim, metade da nossa amostra será 
formada por analistas financeiros. Como a amostra tem tamanho 4, então deveremos selecionar 
aleatoriamente 2 analistas financeiros. 
Os analistas jurídicos, assim como os técnicos jurídicos, representam 20/80 = 1/4 da população. 
Assim, a amostra também terá 1/4 de analistas jurídicos e 1/4 técnicos jurídicos. 
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63 
 
Como a amostra tem tamanho 4, então teremos 1 analista jurídico e 1 técnico jurídico. 
 
Pois bem: devemos selecionar 2 analistas financeiros (dentre 40 disponíveis), 1 analista jurídico 
(dentre 20 disponíveis) e 1 técnico jurídico (dentre 20 disponíveis). O número de amostras que 
podemos selecionar é: 
𝐶m[K × 𝐶K[Q × 𝐶K[Q = 
 
=
40 ∙ 39
2 ∙ 1 ∙ 20 ∙ 20 
 
= 312.000 
Gabarito: A 
 
5. (FCC 2013/SEFAZ-SP) 
Considere: 
I. O coeficiente de variação de uma variável é uma medida de dispersão absoluta que é o 
resultado da divisão entre a média e o desvio padrão da variável em questão. 
II. Um dispositivo útil quando se deseja verificar se existe correlação linear entre duas variáveis é 
o gráfico de colunas justapostas. 
III. O desvio padrão é mais apropriado do que o coeficiente de variação quando se deseja 
comparar a variabilidade de duas variáveis. 
IV. Na amostragem aleatória estratificada, a população é dividida em estratos, usualmente, de 
acordo com os valores ou categorias de uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória 
simples é utilizada na seleção de uma amostra de cada estrato. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
a) I. 
b) II. 
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64 
 
c) III. 
d) I e IV. 
e) IV. 
Comentário 
O item I está errado por dois motivos. 
i) O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. 
ii) O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média. 
O item II está errado, pois o dispositivo útil para verificar se existe uma correlação linear entre 
duas variáveis é o diagrama de dispersão. A correlação linear mede a “força” de relação linear 
entre duas variáveis. Observe os exemplos a seguir: 
 
No diagrama de dispersão da esquerda, percebe-se uma forte correlação linear entre as 
variáveis. No diagrama de dispersão da direita, percebe-se que não há correlação linear entre as 
variáveis (ou uma correlação linear muito fraca). 
O item III está errado. O coeficiente de variação é mais adequado para comparar a variabilidade 
de duasvariáveis com médias diferentes. 
O item IV perfeitamente descreveu o processo de amostragem por estratos. 
Gabarito: E 
 
 
6. (FCC 2009/TRT 3ª Região) 
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65 
 
O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, 
informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, 
todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos 
os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a 
renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar 
foram, respectivamente, 
a) censo e amostragem por conglomerados. 
b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
c) censo e amostragem casual simples. 
d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
Comentário 
Quando ao nível educacional, todos os moradores foram entrevistados. Quando toda a 
população é entrevistada, realizamos um censo. 
Quando à renda familiar, 300 moradores foram selecionados aleatoriamente. Foi realizada uma 
amostra aleatória (casual) simples. 
Gabarito: C 
 
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66 
 
Exercícios – Média Amostral 
 
7. (VUNESP 2015/TJ-SP) 
Resultados de uma pesquisa declaram que o desvio padrão da média amostral é 32. Sabendo 
que o desvio padrão populacional é 192, então o tamanho da amostra que foi utilizada no 
estudo foi 
a) 6. 
b) 25. 
c) 36. 
d) 49. 
e) 70. 
Comentário 
O desvio padrão da média amostral é dado por: 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
 
Sabemos que 𝜎� = 32 e 𝜎 = 192. 
32 =
192
√𝑛
 
 
32 ∙ √𝑛 = 192 
 
√𝑛 = 6 
 
𝑛 = 36 
Gabarito: C 
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67 
 
 
8. (FCC 2015/DPE-SP) 
Uma amostra aleatória simples, com reposição, de 𝒏 observações 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, …𝑿𝒏 foi selecionada de 
uma população com distribuição uniforme contínua no intervalo [−𝟐, 𝒃], 𝒃 > −𝟐. 
Sabe-se que: 
I. a média dessa distribuição uniforme é igual a 10. 
II. o desvio padrão de 𝑿 = ∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 é igual a 0,4. 
Nessas condições, o valor de 𝒏 é igual a 
a) 100. 
b) 400. 
c) 225. 
d) 300. 
e) 324. 
Comentário 
A média de uma distribuição contínua uniforme no intervalo [𝑎, 𝑏] é y�Å
K
 e a variância é 
(�y)�
QK
. 
Sabemos que a média da distribuição uniforme dada no enunciado é 10. Logo, 
−2 + 𝑏
2 = 10 
 
−2 + 𝑏 = 20 
 
𝑏 = 22 
 
Assim, o intervalo da distribuição uniforme é [−2,22]. Logo, a variância é 
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68 
 
𝜎K =
�22 − (−2)�K
12 =
24K
12 =
24 × 24
12 = 2 × 24 = 48 
 
O enunciado afirmou que o desvio padrão de 𝑋 é 0,4. Logo, sua variância é 0,4K = 0,16. 
A variância de 𝑋 é �
�
'
. Logo, 
𝜎K
𝑛 = 0,16 
 
48
𝑛 = 0,16 
 
0,16𝑛 = 48 
 
𝑛 = 300 
Gabarito: D 
 
9. (FCC 2012/TRE-SP) 
Uma variável aleatória U tem distribuição uniforme contínua no intervalo [𝜶, 𝟑𝜶]. Sabe-se que U 
tem média 12. Uma amostra aleatória simples de tamanho n, com reposição, é selecionada da 
distribuição de U e sabe-se que a variância da média dessa amostra é 0,1. Nessas condições, o 
valor de n é 
a) 80. 
b) 100. 
c) 120. 
d) 140. 
e) 150. 
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69 
 
Comentário 
A média de uma distribuição contínua uniforme no intervalo [𝑎, 𝑏] é y�Å
K
 e a variância é 
(�y)�
QK
. 
Sabemos que a média da distribuição uniforme dada no enunciado é 12. Logo, 
𝛼 + 3𝛼
2 = 12 
 
2𝛼 = 12 
 
𝛼 = 6 
 
Assim, o intervalo é [𝛼, 3𝛼] = [6,18]. A variância de U é: 
𝜎K =
(18 − 6)K
12 =
12K
12 = 12 
 
A variância da média amostral é �
�
'
. Logo, 
𝜎K
𝑛 = 0,1 
 
12
𝑛 = 0,1 
 
0,1𝑛 = 12 
 
𝑛 = 120 
Gabarito: C 
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70 
 
 
10. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; 
 P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e variância 4(%)2. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho n, 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏, é selecionada da 
distribuição de X. Sendo 𝑿, a média amostral dessa amostra, o valor de n para que 𝑿 não se 
distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96% é igual a 
a) 64 
b) 100 
c) 121 
d) 81 
e) 225 
Comentário 
Vamos tratar % como a unidade da variável X. 
Sabemos que 𝑋 tem distribuição normal padrão com média 𝜇 e variância 4. Assim, seu desvio 
padrão é igual a √4 = 2. 
Selecionamos uma amostra aleatória com reposição. 
Desta forma, a média amostral 𝑋 também segue uma distribuição normal (porque X tem 
distribuição normal). A média de 𝑋 é 𝜇 e sua variância é �
�
'
= m
'
. Logo, o desvio padrão de 𝑋 é 
𝜎� =
2
√𝑛
 
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71 
 
Queremos que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 
96%. 
 
Queremos que a área acima seja 96%. Se a área da região azul é 96%, então cada região branca 
(nas caudas) comporta 2%. 
Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 2,05) = 0,98. Como a área total abaixo da 
distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 2,05) = 0,02. 
Assim, concluímos que o valor 𝜇 + 0,41 da distribuição de 𝑋 corresponde a 2,05 na distribuição 
normal padrão. 
A distribuição de 𝑋 é normal, mas não é a distribuição normal padrão. Para transformá-la na 
distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média (que é igual à média da população 𝜇) e 
dividir pelo desvio padrão (que é igual a K
√'
). 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
2
√𝑛
 
Como o valor 𝜇 + 0,41 da distribuição de 𝑋 corresponde a 2,05 da distribuição normal padrão, 
então: 
2,05 =
(𝜇 + 0,41) − 𝜇
2
√𝑛
 
 
2,05 =
0,41
2
√𝑛
 
 
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72 
 
2,05 = 0,41 ×
√𝑛
2 
 
2,05 = 0,205 ∙ √𝑛 
 
√𝑛 = 10 
 
𝑛 = 100 
Resolveremos exercícios como este de uma forma mais rápida na aula sobre intervalos de 
confiança. 
Gabarito: B 
 
11. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
Uma auditoria feitaem uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64 contas a 
receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem distribuição normal com 
desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00, a probabilidade da variável aleatória 
média amostral, usualmente denotada por 𝑿, estar situada entre R$ 980,00 e R$ 1.000,00 é dada 
por 
a) 18,4% 
b) 9,2% 
c) 28,5% 
d) 47,7% 
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73 
 
e) 86,2% 
Comentário 
A população é infinita e tem distribuição normal. Sua média é 950 e seu desvio padrão é 200. 
Assim, a variável aleatória 𝑋 também tem distribuição normal. Sua média é igual à média 
populacional 950 e seu desvio padrão é 𝜎� =
�
√'
= K[[
√im
= K[[
Ç
= 25. 
Queremos calcular a probabilidade de essa variável aleatória 𝑋 assumir valores entre 980 e 1.000. 
 
Essa não é a distribuição normal padrão. Para utilizar os dados fornecidos no enunciado para o 
cálculo de áreas, devemos padronizar esses valores, ou seja, devemos transformar essa 
distribuição normal em uma distribuição normal padrão. 
Para tanto, basta subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎�
 
 
𝑍Q =
980 − 950
25 = 1,2 
 
𝑍K =
1.000 − 950
25 = 2 
 
Assim, calcular a probabilidade de 𝑋 estar entre 980 e 1.000 é o mesmo que calcular a 
probabilidade de Z estar entre 1,2 e 2. 
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74 
 
 
Do enunciado, sabemos que P(Z < 1,2) = 0,885 e P(Z < 2) = 0,977. 
Assim, 
𝑃(1,2 < 𝑍 < 2) = 0,977 − 0,885 
 
= 0,092 
 
= 9,2% 
Gabarito: B 
 
12. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O tempo, 
em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma variável 
aleatória X com distribuição normal, tendo média 𝝁 e desvio padrão 𝝈. 
Uma amostra aleatória de n indivíduos hipertensos foi selecionada com o objetivo de se estimar 
𝝁. Supondo que o valor de 𝝈 é 10 min, o valor de n para que o estimador não se afaste de 𝝁 por 
mais do que 2 min, com probabilidade de 89%, é igual a 
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75 
 
a) 36 
b) 100 
c) 81 
d) 49 
e) 64 
Comentário 
Sabemos que 𝑋 tem distribuição normal com média 𝜇 e 𝜎 = 10. 
Selecionamos uma amostra aleatória de X. 
Desta forma, a média amostral 𝑋 também segue uma distribuição normal (porque X tem 
distribuição normal). A média de 𝑋 é 𝜇 e seu desvio padrão é 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
=
10
√𝑛
 
Queremos que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 2 min com probabilidade de 
89%. 
 
Queremos que a área acima seja 89%. Se a área da região azul é 89%, então cada região branca 
(nas caudas) comporta 5,5%. 
Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 1,6) = 0,945. Como a área total abaixo da 
distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 1,6) = 0,055 = 5,5%. 
Assim, concluímos que o valor 𝜇 + 2 da distribuição de 𝑋 corresponde a 1,6 na distribuição 
normal padrão. 
 
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76 
 
A distribuição de 𝑋 é normal, mas não é a distribuição normal padrão. Para transformá-la na 
distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média (que é igual à média da população 𝜇) e 
dividir pelo desvio padrão (que é igual a Q[
√'
). 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
10
√𝑛
 
Como o valor 𝜇 + 2 da distribuição de 𝑋 corresponde a 1,6 da distribuição normal padrão, então: 
1,6 =
(𝜇 + 2) − 𝜇
10
√𝑛
 
 
1,6 =
2
10
√𝑛
 
 
1,6 = 2 ×
√𝑛
10 
 
1,6 =
√𝑛
5 
 
√𝑛 = 8 
 
𝑛 = 64 
Repito que utilizaremos um raciocínio um pouco mais rápido quando estudarmos intervalos de 
confiança para a média. 
Gabarito: E 
 
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77 
 
13. (FCC 2015/CNMP) 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
Sejam (𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏) e (𝒀𝟏, 𝒀𝟐, … , 𝒀𝒏) duas amostras aleatórias simples, independentes, de duas 
variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. 
Sabe-se que: 
I. X representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola A e tem 
distribuição normal com média de 5,8 e variância 2,25. 
II. Y representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola B e tem 
distribuição normal com média de 5,4 e variância 1,75. 
III. 𝑿 = ∑ 𝑿𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 e 𝒀 = ∑ 𝒀𝒊
𝒏
𝟏
𝒏
 são as médias amostrais das duas amostras consideradas. 
IV. 𝑼 = 𝑿 − 𝒀. 
Nessas condições, supondo que as populações de onde essas amostras foram extraídas sejam 
infinitas, o valor de n para que P(U > 1) = 3,6% é igual a 
a) 49. 
b) 36. 
c) 25. 
d) 9. 
e) 81. 
Comentário 
Como 𝑋 e 𝑌 possuem distribuições normais, então as variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 também são 
variáveis aleatórias com distribuições normais. Ademais, temos: 
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78 
 
𝐸�𝑋� = 𝐸(𝑋) = 5,8 
𝜎�
K =
𝜎�K
𝑛 =
2,25
𝑛 
Analogamente, 
𝐸�𝑌� = 𝐸(𝑌) = 5,4 
𝜎É
K =
𝜎ÉK
𝑛 =
1,75
𝑛 
Vamos calcular a média de U (lembre-se que a esperança da diferença é igual à diferença das 
esperanças) 
𝐸(𝑈) = 𝐸�𝑋 − 𝑌� 
 
= 𝐸�𝑋� − 𝐸�𝑌� 
 
= 5,8 − 5,4 
 
= 0,4 
 
As variáveis 𝑋 e 𝑌 são independentes (porque as amostras são independentes). Logo, a variância 
da diferença é igual à soma das variâncias. Basta lembrar que: 
𝑉𝑎𝑟�𝑋 − 𝑌� = 𝑉𝑎𝑟�𝑋� + 𝑉𝑎𝑟�𝑌� − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
Como as variáveis 𝑋 e 𝑌 são independentes, então a covariância é nula. Logo, 
𝑉𝑎𝑟�𝑋 − 𝑌� = 𝑉𝑎𝑟�𝑋� + 𝑉𝑎𝑟�𝑌� 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑈) =
2,25
𝑛 +
1,75
𝑛 
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79 
 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑈) =
4
𝑛 
Logo, o desvio padrão de U é: 
𝜎Ë = ­
4
𝑛 
 
𝜎Ë =
2
√𝑛
 
Como 𝑋 e 𝑌 são variáveis aleatórias normais independentes, então a variável 𝑈 = 𝑋 − 𝑌 também 
é uma variável com distribuição normal. Já calculamos a média e o desvio padrão de U. 
𝜇Ë = 0,4 
𝜎Ë =
2
√𝑛
 
Pois bem. Queremos que 𝑃(𝑈 > 1) = 3,6%. 
 
Pelos dados do enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 1,8) = 0,964. Logo, 𝑃(𝑍 > 1,8) = 0,036 = 3,6%. 
Isso quer dizer que 𝑈 = 1 corresponde a 𝑍 = 1,8 na distribuição normal padrão. 
Como transformamos U na distribuição normal padrão Z? Basta subtrair a média e dividir pelo 
desvio padrão. 
𝑍 =
𝑈 − 𝜇Ë
𝜎Ë
 
 
1,8 =
1 − 0,42
√𝑛
 
 
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80 
 
1,8 =
0,6
2
√𝑛
 
 
1,8 = 0,6 ×
√𝑛
2 
 
1,8 = 0,3 ∙ √𝑛 
 
√𝑛 = 6 
 
𝑛 = 36 
Gabarito: B 
 
14. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,5) = 0,591; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,15) = 0,8951; P(Z < 1,17) = 0,879; P(Z < 1,2) = 
0,885; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,06) = 0,98; P(Z < 2,4) = 
0,997. 
Instrução: O enunciado a seguir refere-se à questão. 
Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores de 
certa indústria. Suponha que X tem distribuição normal com média de 𝝁 anos e desvio padrão 
de 5 anos. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de 16 trabalhadores será selecionada e sejam 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟏𝟔 as idades observadas e 𝑿 =
∑ 𝑿𝒊𝟏𝟔𝟏
𝒏
 a média desta amostra. Sabendo-se que a 
probabilidade de 𝑿 ser superior a 30 anos é igual a 0,919, o valor de 𝝁, em anos, é igual a: 
a) 28,25 
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81 
 
b) 31,75 
c) 30,50 
d) 32,50 
e) 30,85 
Comentário 
A variável aleatória X tem distribuição normal com média 𝜇 e desvio padrão igual a 5. 
Podemos concluir que 𝑋 também tem distribuição normal com média 𝜇, mas seu desvio padrão 
será 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
=
5
√16
=
5
4 = 1,25 
Sabemos que 𝑃�𝑋 > 30� = 0,919. 
O enunciado nos disse que 𝑃(𝑍 < 1,4) = 0,919. Como a distribuição normal padrão é simétrica 
em relação a 0, então 𝑃(𝑍 > −1,4) = 0,919. 
Assim, o número 30 da distribuição de 𝑋 corresponde a −1,4 da distribuição normal padrão. 
Para transformar 𝑋 em uma distribuição normal padrão, basta subtrair a sua média e dividir pelo 
desvio padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎�
 
 
−1,4 =
30 − 𝜇
1,25 
 
−1,4 × 1,25 = 30 − 𝜇 
 
𝜇 = 30 + 1,4 × 1,25 
 
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82 
 
𝜇 = 31,75 
Gabarito: B 
 
15. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,5) = 0,591; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,15) = 0,8951; P(Z < 1,17) = 0,879; P(Z < 1,2) = 
0,885; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,06) = 0,98; P(Z < 2,4) = 
0,997. 
Instrução: O enunciado a seguir refere-se à questão. 
Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores de 
certa indústria. Suponha que X tem distribuição normal com média de 𝝁 anos e desvio padrão 
de 5 anos. 
Uma amostra aleatória, com reposição, de 𝒏 trabalhadores será selecionada e sejam 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟏𝟔 as idades observadas e 𝑿 =
∑ 𝑿𝒊𝟏𝟔𝟏
𝒏
 a média desta amostra. 
Desejando-se que o valor absoluto da diferença entre 𝑿e sua média seja menor do que 6 meses, 
com probabilidade de 95,4%, o valor de n deverá ser igual a 
a) 225. 
b) 100. 
c) 256. 
d) 196. 
e) 400. 
Comentário 
A variável aleatória X tem distribuição normal com média 𝜇 e desvio padrão igual a 5 anos. 
Podemos concluir que 𝑋 também tem distribuição normal com média 𝜇, mas seu desvio padrão 
será 
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83 
 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
=
5
√𝑛
 
Queremos que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 6 meses = 0,5	𝑎𝑛𝑜𝑠 com 
probabilidade de 95,4%. 
 
Queremos que a área acima seja 95,4%. Se a área da região azul é 95,4%, então cada região 
branca (nas caudas) comporta 2,3%. 
Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 2) = 0,977. Como a área total abaixo da 
distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 2) = 0,023 = 2,3%. 
Assim, concluímos que o valor 𝜇 + 0,5 da distribuição de 𝑋 corresponde a 2 na distribuição 
normal padrão. 
A distribuição de 𝑋 é normal, mas não é a distribuição normal padrão. Para transformá-la na 
distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média (que é igual à média da população 𝜇) e 
dividir pelo desvio padrão (que é igual a n
√'
). 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
5
√𝑛
 
Como o valor 𝜇 + 0,5 da distribuição de 𝑋 corresponde a 1,6 da distribuição normal padrão, 
então: 
2 =
(𝜇 + 0,5) − 𝜇
5
√𝑛
 
 
2 =
0,5
5
√𝑛
 
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84 
 
 
2 = 0,5 ×
√𝑛
5 
 
2 = 0,1 ∙ √𝑛 
 
√𝑛 = 20 
 
𝑛 = 400 
Repito que utilizaremos um raciocínio um pouco mais rápido quando estudarmos intervalos de 
confiança para a média. 
Gabarito: E 
 
16. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z<0,25) = 0,599, P(Z<0,80) = 0,84, P(Z<1) = 0,841, P(Z<1,96) = 0,975, P(Z<3,09) = 0,999. 
Considere 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 uma amostra aleatória simples, com reposição, da distribuição da 
variável X, que tem distribuição normal com média 𝝁 e variância 36. Seja 𝑿 a média amostral 
dessa amostra. O valor de 𝒏 para que a distância entre 𝑿 e 𝝁 seja, no máximo, igual a 0,49, com 
probabilidade de 95% é igual a: 
a) 256 
b) 225 
c) 400 
d) 144 
e) 576 
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85 
 
Comentário 
A variável aleatória X tem distribuição normal com média 𝜇 e variância igual a 36. Logo, seu 
desvio padrão é igual a 6. 
Podemos concluir que 𝑋 também tem distribuição normal com média 𝜇, mas seu desvio padrão 
será 
𝜎� =
𝜎
√𝑛
=
6
√𝑛
 
Queremos que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 0,49 com probabilidade de 
95%. 
 
Queremos que a área acima seja 95%. Se a área da região azul é 95%, então cada região branca 
(nas caudas) comporta 2,5%. 
Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 1,96) = 0,975. Como a área total abaixo da 
distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 1,96) = 0,025 = 2,5%. 
Assim, concluímos que o valor 𝜇 + 0,49 da distribuição de 𝑋 corresponde a 1,96 na distribuição 
normal padrão. 
A distribuição de 𝑋 é normal, mas não é a distribuição normal padrão. Para transformá-la na 
distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média (que é igual à média da população 𝜇) e 
dividir pelo desvio padrão (que é igual a i
√'
). 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
5
√𝑛
 
Como o valor 𝜇 + 0,49 da distribuição de 𝑋 corresponde a 1,96 da distribuição normal padrão, 
então: 
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86 
 
1,96 =
(𝜇 + 0,49) − 𝜇
6
√𝑛
 
 
1,96 =
0,49
6
√𝑛
 
 
1,96 = 0,49 ×
√𝑛
6 
 
√𝑛 = 1,96 ×
6
0,49 
 
√𝑛 = 24 
 
𝑛 = 576 
Repito que utilizaremos um raciocínio um pouco mais rápido quando estudarmos intervalos de 
confiança para a média. 
Gabarito: E 
 
17. (ESAF 2012/MIN) 
Considere uma amostra aleatória simples de tamanho 50 extraída sem reposição de uma 
população finita de tamanho 500. Sendo 𝝈𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 a variância da população, determine o valor 
mais próximo da variância da média amostral. 
a) 1,6 
b) 1,8 
c) 2,0 
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87 
 
d) 2,2 
e) 2,4 
Comentário 
Quando a amostragem é feita sem reposição de uma população finita, precisamos multiplicar a 
variância da média amostral pelo fator de correção para população finita. 
𝜎�
K =
𝜎K
𝑛 ∙
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
 
𝜎�
K =
100
50 ∙
500 − 50
500 − 1 
 
𝜎�
K = 2 ×
450
499 ≅ 1,8 
Gabarito: B 
 
Exercícios – Variância Amostral 
18. (CESPE 2016/TCE-PA) 
Uma amostra aleatória, com n = 16 observações independentes e identicamente distribuídas 
(IID), foi obtida a partir de uma população infinita, com média e desvio padrão desconhecidos e 
distribuição normal. 
Tendo essa informação como referência inicial, julgue o seguinte item. 
Caso, em uma amostra aleatória de tamanho n = 4, os valores amostrados sejam A = {2, 3, 0, 1}, a 
estimativa de máxima verossimilhança para a variância populacional será igual a 5/3. 
Comentário 
Sabemos que a população tem distribuição normal. Assim, o estimador de máxima 
verossimilhança para a variância populacional é: 
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88 
 
𝑠K =
∑�𝑋P − 𝑋�
𝑛 
A média é amostral é: 
𝑋 =
2 + 3 + 0 + 1
4 = 1,5 
 
Assim, temos: 
𝑠K =
(2 − 1,5)K + (3 − 1,5)K + (0 − 1,5)K + (1 − 1,5)K
4 
 
𝑠K =
0,25 + 2,25 + 2,25 + 0,25
4 = 1,25 
Poderíamos também ter usado a fórmula “média dos quadrados menos quadrado da média”. 
Já temos a média. Vamos calcular a média dos quadrados. 
𝑋K =
2K + 3K + 0K + 1K
4 =
14
4 = 3,5 
Assim, temos: 
𝑠K = 𝑋K − �𝑋�
K
 
Observe que mesmo sendo uma amostra não precisamos multiplicar por '
'�Q
 (como fazíamos nas 
aulas de Estatística Descritiva) porque a questão pediu o estimado de máxima verossimilhança e 
não o estimador não-tendencioso. 
𝑠K = 3,5 − 1,5K 
 
𝑠K = 1,25 
 
O item está errado, pois esse número não é igual a 5/3. 
Gabarito: Errado 
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89 
 
 
19. (ESAF 2014/MTUR) 
Considere a seguinte amostra de uma variável de média e variância desconhecidas: 
3, 1, 5, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 4, 6, 11. Assim, o valor da estimativa não tendenciosa da variância 
populacional é igual a: 
a) 7,09 
b) 8,06 
c) 4,6 
d) 4,65 
e) 5,25 
Comentário 
Como queremos a estimativa não tendenciosa da variância, então deveremos utilizar 𝑛 − 1 no 
denominador. 
Vamos utilizar a fórmula alternativa para o cálculo da variância. 
𝑠K = Ì𝑋K − �𝑋�
K
Í ∙
𝑛
𝑛 − 1 
Conforme aprendemos na Estatística Descritiva, o fator '
'�Q
 serve para “trocar” o denominador 𝑛 
por 𝑛 − 1. 
Vamos calcular a média dos valores. 
𝑋 =
3 + 1 + 5 +⋯+ 6 + 11
12 = 4 
Vamos agora calcular a média dos quadrados. 
𝑋K =
3K + 1K + 5K + ⋯+ 6K + 11K
12 =
270
12 = 22,5 
Assim, o estimador não-tendencioso da variância populacional é: 
𝑠K = Ì𝑋K − �𝑋�
K
Í ∙
𝑛
𝑛 − 1 
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90 
 
 
𝑠K = [22,5 − 4K] ∙
12
11 
 
𝑠K = 6,5 ×
12
11 ≅ 7,09 
Gabarito: A 
 
20. (ESAF 2013/STN) 
Uma população X é constituída de 10 diferentes valores ─ 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, 𝒙𝟓, 𝒙𝟔, 𝒙𝟕, 𝒙𝟖, 𝒙𝟗	𝒆	𝒙𝟏𝟎 ─, 
na qual E(X) = 𝝁, e 𝝈𝟐(𝑿) = 𝝈𝟐. Desta população foram retiradas, com reposição, todas as 
possíveis amostras de tamanho 3, onde 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 representam, respectivamente, o primeiro, o 
segundo e o terceiro elemento de cada uma das amostras. Desse modo, pode-se afirmar que: 
a) o número total de amostras de tamanho 3 é igual a 720. 
b) 𝐸(𝑎Q) = 𝐸(𝑎K) = 𝐸(𝑎k) = 𝜇. 
c) a média aritmética das médias amostrais é igual a 𝜇/3. 
d) a média aritmética das variâncias amostrais é igual a 𝜎K. 
e) a média aritmética das médias amostrais é um estimador tendencioso de 𝜇. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
a) o número total de amostras de tamanho 3 é igual a 720. 
A amostragem foi feita com reposição. Assim, há 10 possibilidades para 𝑎Q, 10 possibilidades 
para 𝑎K e 10 possibilidades para 𝑎k. O total de amostras de tamanho 3 é igual a 
10 × 10 × 10 = 1.000 
A alternativa A está errada. 
 
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91 
 
b) 𝐸(𝑎Q) = 𝐸(𝑎K) = 𝐸(𝑎k) = 𝜇. 
 
Sabemos que 𝑎Q, 𝑎K e 𝑎k são variáveis aleatórias, pois seus valores dependem da amostra (são 
1.000 possibilidades para a sequência 𝑎Q, 𝑎K, 𝑎k. 
Como a amostragem é feita com reposição de uma população finita, então 𝑎Q, 𝑎K e 𝑎k são 
variáveis aleatórias iid, ou seja, são variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas (elas possuem a mesma distribuição da população). 
São independentes porque o processo foi feito com reposição. São identicamente distribuídas 
porque elas podem assumir exatamente os mesmos valores 𝑥Q, 𝑥K, … , 𝑥Q[ da população. 
Assim, 𝑎Q, 𝑎K	𝑒	𝑎k possuem a mesma distribuição de probabilidades da população (logo, também 
possuem a mesma média e a mesma variância da população, ou seja, 
𝐸(𝑎Q) = 𝐸(𝑎K) = 𝐸(𝑎k) = 𝜇 
𝑉𝑎𝑟(𝑎Q) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎K) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎k) = 𝜎K 
A alternativa B está correta. 
c) a média aritmética das médias amostrais é igual a 𝜇/3. 
Queremos calcular a média (esperança) da média amostral. Vimos que 
𝐸�𝑋� = 𝜇 
Logo, a alternativa C está errada. 
 
d) a média aritmética das variâncias amostrais é igual a 𝜎K. 
Se a variância amostral é calculada com 𝑛 − 1no denominador, temos que o estimador é não-
tendencioso. Dizer que o estimador é não-tendencioso é o mesmo que dizer que a média do 
estimador é igual ao parâmetro populacional. Assim, a média (esperança) da variância amostral 
(quando calculamos com n-1 no denominador) é igual à variância populacional. 
𝐸(𝑠K) = 𝜎K 
Entretanto, o gabarito da banca foi a alternativa B, ou seja, a banca considerou que a alternativa 
D está errada. Só nos resta concluir que a banca considerou que a variância amostral foi calculada 
com 𝑛 no denominador. Defendo que esta questão deveria ser anulada por esse motivo. 
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92 
 
 
e) a média aritmética das médias amostrais é um estimador tendencioso de 𝜇. 
A questão pede a média aritmética das médias amostrais 𝐸(𝑋). Sabemos que 𝐸�𝑋� = 𝜇, pois 𝑋 é 
um estimador não tendencioso de 𝜇. 
Gabarito: B (com ressalvas) 
 
21. (FGV 2016/IBGE) 
Suponha que uma amostra de tamanho 𝒏 = 𝟓 é extraída de uma população normal, com média 
desconhecida, obtendo as seguintes observações: 
𝑿𝟏 = 𝟑, 	𝑿𝟐 = 𝟓, 𝑿𝟑 = 𝟔, 𝑿𝟒 = 𝟗 e 𝑿𝟓 = 𝟏𝟐 
São dados ainda os seguintes valores, retirados da tabela da distribuição qui-quadrado: 
𝑷�𝝌𝟒𝟐 < 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟕𝟏𝟑 
𝑷�𝝌𝟒𝟐 < 𝟏𝟐, 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟗𝟖𝟔 
𝑷�𝝌𝟓𝟐 > 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟖𝟓𝟒 
𝑷�𝝌𝟓𝟐 > 𝟏𝟐, 𝟓� ≅ 𝟎, 𝟗𝟕𝟏 
Se a população tem variância verdadeira 𝝈𝟐 = 𝟒, em nova amostra (𝒏 = 𝟓), a probabilidade de 
se observar uma variância amostral maior do que a anterior é de: 
a) 0,014 
b) 0,029 
c) 0,146 
d) 0,287 
e) 0,713 
Comentário 
Comecemos pela primeira amostra. Vamos calcular a sua média e a média dos quadrados para 
calcular a variância. 
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93 
 
𝑋Q =
3 + 5 + 6 + 9 + 12
5 = 7 
 
𝑋QK =
3K + 5K + 6K + 9K + 12K
5 = 59 
Assim, a variância da primeira amostra é: 
𝑠QK = Ì𝑋QK − �𝑋Q�
K
Í ∙
𝑛
𝑛 − 1 
 
𝑠QK = [59 − 7K] ∙
5
4 = 12,5 
Também poderíamos ter usado a fórmula tradicional. 
𝑠QK =
∑�𝑋P − 𝑋�
K
𝑛 − 1 
 
𝑠QK =
(3 − 7)K + (5 − 7)K + (6 − 7)K + (9 − 7)K + (12 − 7)K
5 − 1 = 12,5 
 
Pois bem. Vamos retirar outra amostra. Queremos calcular a probabilidade de que a variância 
dessa segunda amostra seja maior do que 12,5. 
𝑃(𝑠K > 12,5) =? 
Para calcular essa probabilidade, precisamos da distribuição de probabilidades de 𝑠K. 
Vimos que 
𝜒'�QK = r
𝑛 − 1
𝜎K s ∙ 𝑠
K 
Ou seja, a variável 9'�Q
��
: ∙ 𝑠K tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. 
Substituindo 𝑛 = 5, 𝜎K = 4, temos: 
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𝜒n�QK = r
5 − 1
4 s ∙ 𝑠
K 
 
𝜒mK = r
4
4s ∙ 𝑠
K 
 
𝜒mK = 𝑠K 
 
Assim, concluímos que 𝑠K tem distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. Dessa forma, 
calcular 𝑃(𝑠K > 12,5) é o mesmo que calcular 𝑃(𝜒mK > 12,5). 
O enunciado informou que 𝑃(𝜒mK < 12,5) ≅ 0,986. Logo, 
 
𝑃(𝜒mK > 12,5) = 1 − 𝑃(𝜒mK < 12,5) 
 
A expressão acima foi obtida a partir da fórmula da probabilidade do evento complementar 
(basta pensar que a área total sob a curva de qui-quadrado é igual a 1. Assim, a área acima de 
12,5 é igual a 1 menos a área abaixo de 12,5). 
𝑃(𝜒mK > 12,5) ≅ 1 − 0,986 
 
𝑃(𝜒mK > 12,5) ≅ 0,014 
Gabarito: A 
 
Exercícios – Proporção Amostral 
(CESPE 2018/STM) 
Em um tribunal, entre os processos que aguardam julgamento, foi selecionada aleatoriamente 
uma amostra contendo 30 processos. Para cada processo da amostra que estivesse há mais de 5 
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anos aguardando julgamento, foi atribuído o valor 1; para cada um dos outros, foi atribuído o 
valor 0. Os dados da amostra são os seguintes: 
 
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 
 
A proporção populacional de processos que aguardam julgamento há mais de 5 anos foi 
denotada por 𝒑; a proporção amostral de processos que aguardam julgamento há mais de 5 
anos foi representada por 𝒑À 
22. A variância da proporção amostral 𝒑À sob a hipótese nula 𝑯𝟎: 𝒑 = 𝟎, 𝟓 é menor que 0,1. 
 
23. Estima-se que, nesse tribunal, 𝒑 > 𝟔𝟎%. 
Comentário 
Como 𝑝 = 0,5, temos que 𝑞 = 1 − 0,5 = 0,5. 
A variância de �̂� é dada por: 
𝑉𝑎𝑟(�̂�) =
𝑝𝑞
𝑛 
 
𝑉𝑎𝑟(�̂�) =
0,5 × 0,5
30 =
0,25
30 ≅ 0,00833 
Esse número é menor que 0,1. Assim, o primeiro item está certo. 
Vamos ao segundo item. 
Observe que na amostra há 20 sucessos (o número 1 apareceu 20 vezes). Assim, a proporção de 
sucessos na amostra é: 
�̂� =
𝑋
𝑛 =
20
30 ≅ 66,67% 
Como usamos �̂� como estimador da proporção populacional, então é correto estimar 𝑝 > 60%. 
Gabarito: Certo, certo 
 
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24. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
Determinado órgão governamental estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a 
ser condenado por algum crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja 
igual a 0,25. Essa estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem aleatória 
simples de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir 
da distribuição de Bernoulli. 
Sabendo que P(Z < 2) = 0,975, em que Z representa a distribuição normal padrão, julgue o item 
que se segue, em relação a essa situação hipotética. 
 O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01. 
Comentário 
Vimos que �̂� é o estimador de máxima verossimilhança para a proporção populacional. 
Como �̂� = 0,25, então 𝑞¬ = 0,75. Assim, o erro padrão (desvio padrão) é dado por: 
­�̂�𝑞¬
𝑛 =
­	0,25 × 0,75
1.875 	 
 
= ­
0,1875
1.875 
 
= Î0,0001 
 
= 0,01 
Gabarito: Certo 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
Uma pesquisa realizada com passageiros estrangeiros que se encontravam em determinado 
aeroporto durante um grande evento esportivo no país teve como finalidade investigar a 
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sensação de segurança nos voos internacionais. Foram entrevistados 1.000 passageiros, 
alocando-se a amostra de acordo com o continente de origem de cada um — África, América do 
Norte (AN), América do Sul (AS), Ásia/Oceania (A/O) ou Europa. Na tabela seguinte, N é o 
tamanho populacional de passageiros em voos internacionais no período de interesse da 
pesquisa; n é o tamanho da amostra por origem; P é o percentual dos passageiros entrevistados 
que se manifestaram satisfeitos no que se refere à sensação de segurança. 
 
Em cada grupo de origem, os passageiros entrevistados foram selecionados por amostragem 
aleatória simples. A última linha da tabela mostra o total populacional no período da pesquisa, o 
tamanho total da amostra e 𝑷𝒑𝒐𝒑 representa o percentual populacional de passageiros 
satisfeitos. 
 
A partir dessas informações, julgue os próximos itens. 
25. Na situação apresentada, o desenho amostral é conhecido como amostragem aleatória 
por conglomerados, visto que a população de passageiros foi dividida por grupos de origem. 
 
26. Considerando o referido desenho amostral, estima-se que o percentual populacional 𝑷𝒑𝒐𝒑 
seja inferior a 79%. 
 
27. A estimativa do percentual populacional de passageiros originários da África que se 
mostraram satisfeitos com a sensação de segurança nos voos internacionais foi igual a 80% e a 
estimativa do erro padrão associado a esse resultado foi inferior a 4%. 
Comentário 
Vamos analisar cada um dos itens. 
 
Item I. 
 
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Observe que dividimos a população em grupos homogêneos (pois vieram da mesma região). Em 
seguida, realizamos uma amostragem aleatória simples em cada um desses grupos. Assim, a 
amostragem foi feira por estratos. Além disso, a alocação foi proporcional. 
 
Não confunda a amostragem estratificada com a amostragem por conglomerados. Na 
amostragem por conglomerados, temos grupos heterogêneos. Fazemos uma amostra aleatória 
simples para selecionar os conglomerados e, em seguida, entrevistamos todos os indivíduos dos 
conglomerados selecionados. 
O item I está errado. 
 
Item II. 
 
Utilizamos a proporção amostral 𝒑À para estimar a proporção populacional 𝑷𝒑𝒐𝒑. 
 
A quantidade de sucessos na amostra é: 
 
𝑿 = 𝟎, 𝟖𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟕𝟎 × 𝟑𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟗𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟎 × 𝟑𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟎 × 𝟐𝟎𝟎 
 
𝑿 = 𝟕𝟖𝟎 
 
Assim, 
𝒑À =
𝑋
𝑛 =
780
1.000 = 78% 
 
Esse valor é inferior a 79%. Portanto, o item II está certo. 
Vamos ao terceiro item. 
Sabemos que 80 dos 100 passageiros da África estão satisfeitos. Assim, 
𝒑À =
80
100 = 0,80 
 
Até agora o item está perfeito. Vamos agora calcular o erro padrão (desvio padrão). 
Como 𝒑À = 0,80, então 𝒒À = 0,20. Logo, o desvio padrão é dado por: 
­�̂�𝑞¬
𝑛 =
­0,80 × 0,20
100 =
­0,16
100 =
0,4
10 = 0,04 = 4% 
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O CESPE considerou esse item como certo, ou seja, considerou que o desvio padrão é menor do 
que 4%. Só me resta concluir que o CESPE interpretou que a amostra foi feita sem reposição. 
Assim, utilizando o fator de correção para população finita, temos: 
 
­�̂�𝑞¬
𝑛 ×
­𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
 
4% ×­
1.000.000 − 1.000
1.000.000 − 1 
4% ×­
999.000
999.999 
O número £ÐÐÐ.[[[
ÐÐÐ.ÐÐÐ
 é um pouco menor do que 1; dessa forma, o produto acima é um pouco 
menor do que 4%. 
Gabarito: Errado, certo, certo 
 
(TCE-SC 2016/CESPE-UnB) 
Considerando que um auditor fiscal encarregado de analisar indícios de irregularidades em 
obras de um determinado estado tenha analisado 50 obras e constatado irregularidades em 40 
delas, julgue os itens a seguir. 
28. O desvio padrão da amostra foi inferior a 0,05. 
Comentário 
Aqui a banca considerou como variável aleatória a proporção amostral. Considerando como 
sucesso ocorrer uma irregularidade, temos: 
�̂� =
40
50 = 0,80 
Consequentemente, temos: 
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100 
 
𝑞¬ = 0,20 
 
Assim, o desvio padrão da amostra é igual a 
­�̂�𝑞¬
𝑛 =
­0,8 ∙ 0,2
50 = Î0,0032
 
 
Queremos comparar este valor com 0,05. Como 0,052 = 0,0025, concluímos que √0,0032 > 0,05. 
Assim, o item está errado. 
Gabarito: errado. 
 
29. Se o total de obras, nesse estado, for igual a 300, então o fator de correção para a 
população finita deverá ser maior que 0,8. 
Comentário 
O fator de correção para população finita é igual a 6�'
6�Q
, em que N é o tamanho da população e n 
é o tamanho da amostra. 
Portanto, o fator é igual a 
300 − 50
300 − 1 ≅ 0,836 
 
Se a questão estivesse se referindo ao fator de correção para o desvio padrão, teríamos: 
Î0,836 
 
Esse número também é maior do que 0,8. Perceba que para números entre 0 e 1, a raiz quadrada 
é maior do que o próprio número. Assim, √0,836 é maior do que 0,836 e, consequentemente, 
maior do que 0,8. 
Gabarito: certo. 
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101 
 
 
30. Mais de 70% das obras auditadas apresentaram irregularidades. 
Comentário 
A porcentagem de obras auditadas que apresentaram irregularidades é igual a 40/50 = 0,80 = 
80%. 
Gabarito: certo. 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode nos encontrar no instagram @profguilhermeneves e @profbrunnolima ou 
entrar em contato diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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