Ondas I

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Física II – Profa Vivienne D. Falcão 
Ondas I 
 
 
 
 
 
 
 
Ondas I 
Física II – Profa Vivienne D. Falcão 
Ondas I 
Introdução 
 O que é uma onda? 
Onda Qualquer sinal (perturbação) que se transmite de 
um ponto a outro de um meio com velocidade definida. 
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Ondas I 
Introdução 
 
 Numa onda há propagação de energia de um 
ponto para a outro, sem que haja transporte de 
matéria. 
Propriedade Importante 
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Ondas I 
Classificação das Ondas 
 
Quanto à natureza. 
Quanto à direção de propagação. 
Quanto à direção de vibração. 
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Ondas I 
Classificação das Ondas 
 
 Mecânicas: Precisam de um meio material para se propagar. À medida 
que a onda se propaga através do meio, as partículas que constituem o 
meio sofrem deslocamentos de diversas espécies, dependendo da 
natureza da onda. Ex.: ondas sonoras, ondas numa corda. 
 Eletromagnéticas: não precisam de um meio material para se propagar. 
Resultam de vibrações de cargas elétricas, transportando energia sob a 
forma de quanta ("pacotes" de energia). As ondas eletromagnéticas 
propagam-se no vácuo e em alguns meios materiais. Ex.: ondas de 
rádio, TV, luz, raios-X. 
Quanto à Natureza 
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Ondas I 
Classificação das Ondas 
  Unidimensionais: propagam-se numa única direção. A energia propaga-
se linearmente. Ex.: ondas numa corda. 
 Bidimensionais: propagam-se numa superfície. A energia propaga-se 
pela superfície. Ex.: ondas na água. 
Quanto à Direção de Propagação 
 Tridimensionais: propagam-se em todas as direções. A energia 
propaga-se no espaço. Ex.: luz, som, raios-X. 
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Ondas I 
Classificação das Ondas 
 
 Longitudinais: são aquelas em que a direção do movimento vibratório 
coincide com a direção de propagação. Ex.: ondas numa mola, som. 
 Transversais: aquelas em que a direção do movimento vibratório é 
perpendicular à direção de propagação. Ex.: ondas numa corda. 
Quanto à Direção de Vibração 
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Ondas I 
Classificação das Ondas 
 O que há de comum entre ondas transversais e longitudinais: 
A velocidade de propagação é bem definida, chamada de velocidade da onda. 
Ela é determinada pelas propriedades mecânicas do meio. 
O próprio meio não se desloca no espaço, as partículas individuais do meio 
oscilam em torno das respectivas posições de equilíbrio. 
Para produzir o movimento de qualquer um desses sistemas é necessário 
 fornecer energia mediante um trabalho realizado sobre o sistema. 
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Ondas I 
Descrição de uma Onda 
 Comprimento de Onda (l): distância percorrida durante uma 
oscilação completa. 
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Ondas I 
Descrição de uma Onda 
 Amplitude (y): é a medida da magnitude da máxima perturbação 
do meio durante um ciclo da onda. 
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Ondas I 
Descrição de uma Onda 
 Período (T): tempo gasto par gerar realizar uma oscilação completa. 
Unidade: segundo (s) 
Frequência (f): número de oscilações completas por unidade de 
tempo. Unidade: hertz (Hz) ou s-1 . 
Número de onda: é o número de vezes que uma onda atinge a 
mesma fase em uma determinada distância de propagação. 
Unidade: rad/m. 
 
T
1
f 
l
2
k 
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Ondas I 
Descrição de uma Onda 
 Função de uma onda: 




ooscilatóriTermo
faseAmplitude
m
toDeslocamen
)tkx(seny)t,x(y
 

(rad/s) 
T
2 
k número de onda (m-1) 
 t tempo (s) 
 frequência angular 
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Ondas I 
Onda Progressiva 
 Qualquer onda descrita pela função: 




ooscilatóriTermo
faseAmplitude
m
toDeslocamen
)tkx(seny)t,x(y
 

Regra do sinal: 
Onda se propaga à 
esquerda 
tkx 
Onda se propaga à 
direita 
tkx 
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   vtxsenkyt,xy m 
   tkxsenyt,xy m 
l
2
k 
número de onda 
kv
v2
T
2

l

onda para t = Δt 
onda para t = 0 l
kT
fv
l
l 
Velocidade de Propagação de uma Onda Progressiva 
 
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Velocidade de Propagação de uma Onda Progressiva 
 
onda para t = Δt 
onda para t = 0 
 xfy 
   vtxfxfy 
vtxx 
   vtxsenkyt,xy m 
equação da onda 
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Velocidade de propagação 
 
Para uma corda: 
 
 
 


v
μ – densidade linear da corda 
 – tensão na corda 
k
f
T
v

l
l

Velocidade da Onda em uma Corda Esticada 
 
   
R
l
FFFF TTT

  2sin2
lm  
R
v
a
2
 
R
v
l
R
l
FT
2



TF

TF

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Ondas I 
Importante: 
 
A velocidade de propagação de uma onda mecânica depende de 
características vinculadas ao meio no qual a onda está se propagando 
(densidade, elasticidade, temperatura). A velocidade de propagação de 
onda eletromagnética não depende do meio. 
 
 Num dado meio, a velocidade de propagação é constante. 
 
 A frequência, consequentemente,o seu período não dependem do meio 
e são características exclusiva da fonte geradora da onda. 
 
 O comprimento de onda de uma onda mecânica depende da velocidade 
e da frequência. Portanto, ele pode variar de acordo com as características 
do meio. 
 
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Equação de Onda 
 
2
2
22
2
t
)t,x(y
v
1
x
)t,x(y





Equação que governa a propagação 
de ondas de todos os tipos. 
Quando uma onda passa através de qualquer elemento de uma corda 
esticada, o elemento se move perpendicular à direção de propagação 
da onda. Aplicando a 2ª lei de Newton encontramos a Equação de 
Onda. 
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Ondas I 
Quando se produz uma onda numa corda esticada, se fornece energia 
para o movimento da corda. A corda transporta energia nas formas de 
energia cinética e de energia potencial elástica. 
Energia Cinética 
y = 0, Ec é máxima; 
y = ym, Ec é nula. 
Energia e Potência de uma Onda 
 
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Ondas I 
Energia Potencial Elástica 
y = 0, Ec é nula; 
y = ym, Ec é máxima. 
 Taxa de transmissão de energia 
.y
4
1
dt
dK 2
m
2
med






 Potência média – que é a taxa média com que a energia em ambas as 
formas é transmitida pela onda é 
.y
2
1
dt
dK
2P 2m
2
med 






Energia e Potência de uma Onda 
 
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Ondas I 
Em uma superposição, as ondas não alteram de modo algum a 
propagação uma da outra. 
Ondas superpostas se adicionam algebricamente para produzir uma 
onda resultante. 
),(),(),( 21
' txytxytxy 
Princípio da Superposição 
 
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Ondas I 
x 
Elas estão em fase INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA 
Cristas 
vales 
l 
Considere duas ondas senoidais do mesmo comprimento de onda e 
mesma amplitude se deslocando no mesmo sentido ao longo de uma 
corda. Que onda resultante será obtida? 
O fenômeno de combinação de ondas é chamado de INTERFERÊNCIA. 
Interferência de OndasFísica II – Profa Vivienne D. Falcão 
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Interferência de Ondas 
 
Elas são fora de fase INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA 
Crista 
Vale 
l /2 ml 
Este tipo de fenômeno se referem apenas aos deslocamento das 
ondas, a propagação das ondas não é alterada. 
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Ondas I 
)
2
1
tkx(sen
2
1
cosy2)t,x(y m
'  






Equação da onda que sofre 
interferência 
A interferência pode ser: 
 Completamente construtiva 
 Completamente destrutiva 
 Intermediária 
Interferência de Ondas 
 
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Ondas I 
Pode-se estender o conceito de interferência para dimensões maiores, 
como na interferência de duas ondas circulares em um lago. Nesse caso 
o padrão de interferência resulta da superposição dos máximos e 
mínimos da onda em determinados pontos, como mostra a figura abaixo. 
Interferência de Ondas 
 
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Ondas I 
 Uma onda estacionária numa corda é a combinação de duas ondas em 
direções opostas devido a reflexões nas extremidades fixas. 
Onda Progressiva 
 nesta Direção. 
onda estacionária 
Onda Progressiva 
  nesta Direção. 
 Os nós ficam parados (não se propagam). 
 Não transportam energia de um lugar para outro 
Ondas Estacionárias 
 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias 
 
Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se 
deslocarem em sentidos opostos ao longo da mesma direção, a sua 
interferência produzirá um onda estacionária. 
nó 
antinó 
Considere duas ondas de mesmo comprimento de onda e mesma 
amplitude se propagando em sentidos opostos. 
  )t(coskxseny2)t,x(y m'' 
 Equação da onda estacionária: 
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Ondas Estacionárias 
 
nó 
antinó 
    tcossenkxy2t,xy m 
   tkxsenyt,xy m1     tkxsenyt,xy m2 
amplitude na posição x termo oscilante 
2
l
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Ondas I 
Ondas Estacionárias 
  Numa onda progressiva a amplitude é a mesma, já em uma onda 
estacionária a amplitude varia. A onda é nula quando: 
0xksen 
esses valores são: 
...3,2,1,0n,nkx  
Sabendo que k=2/l tem-se: 
...3,2,1,0n,
2
nx  
l
que são os nós da onda estacionária e portanto a amplitude é nula. 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias 
  A amplitude da onda estacionária é máxima quando: 
1xksen 
esses valores são: 










2
1
nkx
2
5
,
2
3
,
2
1
kx 
Sabendo que k=2/l tem-se 
...3,2,1,0n,
22
1
nx 





 
l
que são os antinós da onda estacionária e portanto a amplitude é 
máxima. 
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Ondas I 
Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas 
estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo 
de vibração com os nós situados na extremidade presa e o antinó na 
extremidade livre. 
 
– Modo fundamental ou primeiro harmônico 
 
 
– Terceiro harmônico 
 
 
– Quinto harmônico 
L4
v
1f
1
L4
1n 11  l
L4
v
3f
3
L4
3n 33  l
L4
v
5f
5
L4
5n 55  l
l
4
1
L 
l
4
3
L 
l
4
5
L 
Ondas Estacionárias 
 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias 
 Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas 
estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo 
de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na 
extremidade livre. 
 
– Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para: 
n
L4
n l 1n nf
L4
v
nf 
com n = 1, 3, 5, … 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias 
 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
 
 Ondas se refletem sucessivamente nas duas extremidades, 
produzindo uma onda estacionária. Essa onda estacionária dá origem a 
uma onda sonora que se propaga no ar, com frequência determinada 
pelas propriedades da corda. 
2
nL
l

 A distância entre dois nós é 
 tais ondas estacionárias produzem 
uma ressonância, e a corda ressoa 
em determinadas frequências de 
ressonância 
n
L2
n l
ressonância é a tendência de um sistema 
a oscilar em máxima amplitude em certas 
frequências, conhecido como 'frequências 
ressonantes‘. 
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Ondas I 
Ondas Estacionárias e Ressonância 
  Para cada valores de comprimento de onda, tem-se uma 
frequência de ressonância equivalente: 
L2
v
n
v
f
n
n  l
para n = 1 
L2
v
f1 
que é a frequência fundamental. 
O conjunto de todas as 
frequências são chamadas de 
Série Harmônica, ou sobretom. 
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Ondas I 
1
n
n
n
nff
,
n
L2


l
l
v
Ondas Estacionárias e Ressonância 
 
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Ondas I 
 
 Modo fundamental ou primeiro harmônico 
 
 
 
 Segundo harmônico 
 
 
 
 Terceiro harmônico 
L
v
f
L
n
2
1
1
2
1 11  l
L
v
f
L
n
2
2
2
2
2 22  l
L
v
f
L
n
2
3
3
2
3 33  l
Ondas Estacionárias e Ressonância