Capítulo 15 - Ondas Mecânicas

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Capítulo 15
Ondas Mecânicas
1
Fenômenos ondulatórios
• As ondas são entidades físicas que estão presentes no 
nosso dia a dia.
• Elas tem importância fundamental em Física e Engenharias.
• Muitas formas de energia se manifestam em formas de 
ondas, como as radiação térmica, a radiação 
eletromagnética e o som.
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Introdução
• Definir e interpretar matematicamente uma onda.
• Calcular a velocidade e a energia numa onda.
• Apresentar o princípio de superposição. Interferência de 
ondas.
• Investigar as ondas estacionárias.
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Classifição das ondas
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Ondas	MECÂNICAS
Ondas	ELETROMAGNÉTICAS
Pulso de onda
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Pulso de uma onda:
Mantem sua forma
Direção de Propagação
6É a direção para onde o pulso de desloca.
Classificação das ondas
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Onda TRANSVERSAL
Classificação das ondas
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Onda LONGITUDINAL
Ondas Periódicas
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• Uma onda pode ter apenas um pulso:
• Ou uma sequência de pulsos produzidos periodicamente:
Ondas Periódicas
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• Propagação
A forma de onda é seguida em 
intervalos de T/8.
A faixa azul mostra que após um 
período T a onda deslocou-se por 
um comprimento l.
Esse é o “comprimento de onda” 
da onda.
Ondas Periódicas
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• Propagação
Uma onda periódica é produzida 
por um MHS!
Ondas Periódicas
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• Propagação
Uma onda periódica é produzida 
por um MHS!
Assim ela é chamada de “onda 
senoidal”.
Ondas Periódicas
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• Velocidade da onda
Se a onda percorre uma distância l
num tempo T sua velocidade será, 
portanto:
ou
Ondas Periódicas
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Descrição Matemática
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• A função que descreve o movimento da onda no tempo e 
no espaço é chamada de “função de onda”.
• Com esta função podemos encontrar o deslocamento de 
cada partícula da onda em qualquer instante t.
• Se y é a posição da partícula movida pela onda, então a 
função de onda será da forma:
Descrição Matemática
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• Cada partícula executa MHS de 
mesma amplitude e frequência.
Descrição Matemática
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• Cada partícula executa MHS de 
mesma amplitude e frequência.
• y x t
Descrição Matemática
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• O pulso se propaga com 
velocidade v.
• Assim, após um tempo Dt = x/v a 
posição da partícula na onda 
volta à original. 
v
Descrição Matemática
21
• O pulso se propaga com 
velocidade v.
• Assim, após um tempo Dt = x/v a 
posição da partícula na onda 
volta à original. 
• Podemos entao escrever:
v
Descrição Matemática
22
• Como:
v
Descrição Matemática
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• Podemos expressar a função de onda em termos do 
período e do comprimento de onda:
ou em termos do como número de onda:
Gráfico de y(x,t)
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• Fixamos independentemente x e y.
Gráfico de y(x,t)
25
• Fixamos independentemente x e y.
Sentido de propagação: Onda progressiva
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• A equação:
Define uma onda se propagando para x positivo.
Para obtermos uma onda se propagando no sentido de x 
negativo basta invertemos o sinal de wt. 
Uma onda que se propaga é dita onda progressiva.
Sentido de propagação: Onda progressiva
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• Para as ondas:
o argumento: é denominado fase da onda.
• Para uma crista (onde y = A e cos = 1): 0, 2p, 4p, …
• Para um vale (onde y = -A e cos = -1): p, 3p, 5p,…
Aparte: Constante de fase
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• A fase pode ainda, num caso mais geral, apresentar uma 
constante de fase f. A onda portanto pode ser escrita 
como.
• No livro do Freedman ele considera a constante de fase 
nula! Embora não devesse…
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Aparte: Constante de fase
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Aparte: Constante de fase
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Aparte: Constante de fase
Velocidade da onda
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Como obter a velocidade 
de uma onda?
Na figura a onda se desloca Dx num intervalo de tempo Dt.
Apesar do movimento, a amplitude do ponto A não varia. Isso 
significa que a fase deve ser constante.
= cte
Velocidade da onda
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Note que embora a fase 
seja constante, x e t 
variam!
Obtemos a velocidade da onda derivando:
Assim:
= cte
Velocidade da onda
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Note que embora a fase 
seja constante, x e t 
variam!
Obtemos a velocidade da onda derivando:
Assim:
= cte
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Velocidade Transversal
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É a velocidade de uma partícula no seu MHS na onda 
transversal.
Esta velocidade é designada por vy(x,t).
Como:
Aceleração Transversal
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É a aceleração de uma partícula no seu MHS na onda 
transversal.
Esta velocidade é designada por ay(x,t).
Como:
Equação da onda
38
Adicionalmente podemos tomar a derivada parcial de y em 
relação a x:
Equação da onda
39
Adicionalmente podemos tomar a derivada parcial de y em 
relação a x:
Como:
Equação da onda
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Podemos usar:
e obter:
Ou seja: 
Velocidade de uma onda numa corda
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Vimos que a velocidade da onda é dada por:
Mas essa relação traz a dependência do meio onde a onda 
se propaga. 
• Logo espera-se que a velocidade dependa da massa e da 
elasticidade do meio material.
• Vamos investigar a velocidade da onda numa corda 
esticada; um modelo importante, pois vários tipos de 
ondas mecânica possuem expressões matemáticas 
análogas.
Velocidade de uma onda numa corda
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Vamos deduzir a velocidade da onda em funcao da tensao 
na corda esticada e da densidade de massa desta.
Consideremos um pulso de onda simétrico (em verde) 
viajando para esquerda.
Um elemento Dl da corda é:
Velocidade de uma onda numa corda
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Como a corda é esticada, uma tensão t surge em cada 
extremidade.
A resultante das forças na horizontal é nula enquanto na 
vertical é:
Como q é pequeno:
Velocidade de uma onda numa corda
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Mas de forma que:
Já obtemos a força! Para aplicar a 
2ª lei de Newton precisamos da 
massa e da aceleração.
Velocidade de uma onda numa corda
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A massa da corda pode ser escrita como:
No instante mostrado na figura Dl está se movendo num 
arco de círculo logo a aceleração é:
Velocidade de uma onda numa corda
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Finalmente:
O que nos conduz a:
Velocidade de uma onda numa corda
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As expressao anterior é válida apenas para ondas em cordas 
esticadas.
Contudo uma expressao mais geral válida para a maioria das 
ondas mecânica é do tipo:
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Energia no movimento ondulatório
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Toda onda transporta energia.
• O trabalho da tensão na corda é transferido para a
extremidade da corda.
• Esta extremidade transfere então o trabalho (e a energia)
para um elemento adjacente.
• Podemos determinar a taxa com a qual a energia é
transferida pela onda a todos os elementos do meio.
Energia no movimento ondulatório
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< na lousa > 
52
Intensidade da Onda
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Ondas numa corda transportam energia apenas em 1D.
Contudo muitas tipos de ondas transportam energia em 3D.
Uma onda esférica se propaga
radialmente a partir de uma fonte
oscilante. A intensidade da onda varia
com 1/r2.
Intensidade da Onda: Definição
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Para ondas que se propagam em 3D, definimos a intensidade 
da onda, I, como:
“A taxa com a qual a energia é
transportada por unidade de
área”
Intensidade da Onda: Definição
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Se as ondas se expandirem igualmente em todas as direções 
a partir da fonte, teremos:
Para um raio maior, r2, devemos 
ter expressão parecida.
Intensidade da Onda: Definição
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Se não houver perda de energia, P deve ser o mesmo em 
ambos os casos. Então:
A intensidade da onda varia com 1/r2.
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Reflexão
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Até agora estudamos as ondas progressivas, que se 
propagam continuamente. 
Agora, vamos considerar a possibilidade da onda atingir um 
obstáculo.
Quando isso ocorre a onda bate e volta. 
Ou seja, ela é refletida.
Reflexão
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Cosideremos novamente uma corda 
presa em uma das extremidades.
O que ocorre quando a onda atinge a 
extremidade presa?
Reflexão
60
A onda é refletida!
A onda refletida viaja no sentido oposto 
ao da onda incidente e com 
deslocamento transversal oposto.
Reflexão
61
A onda é refletida!
Essa mesma situação pode ser 
analisada no esquema ao lado.
Reflexão
62
A onda é refletida!
Mesmo no caso da extremidade 
da corda ter a liberdade livre!
Agora, contudo, o pulso não 
inverte seu deslocamentotransversal.
Ondas viajando em
sentidos opostos
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A formação do pulso refletido 
é análogo a combinação de 
duas ondas que viajam em 
sentidos opostos.
Princípio da Superposição
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A amplitude do pulso 
resultante é a soma algébrica 
dos pulsos individuais.
Essa é a essência do princípio 
da superposição.
Princípio da Superposição
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Se as ondas:
e
viajam em sentidos opostos.
Então a onda resultante será:
Interferência de ondas
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Considere duas ondas iguais, progressivas, y1 e y2 se propagando 
na mesma direção. Como tais ondas se combinam?
Isso vai depender da diferença de fase entre as duas ondas!
Vejamos…
Interferência de ondas
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Em fase
Interferência de ondas
68
Em fase Fora de fase
Interferência de ondas
69
Em fase Fora de fase Diferença 
intermediária
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Interferência 
construtiva
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Interferência 
construtiva
Interferência 
destrutiva
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Interferência 
construtiva
Interferência 
destrutiva
Interferência 
intermediária
Interferência de ondas
73
Esses resultados, que consistem na aplicação gráfica do 
princípio da superposicao, podem ser mostrados 
matematicamente!
< na lousa > 
Interferência de ondas
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Tipos de interferências de acordo com a diferença de fase
Ondas estacionárias
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Vimos como duas ondas progressivas na mesma direção podem 
se combinar.
Consideremos agora, duas ondas que se propagam em sentidos 
opostos.
Esse é o caso de uma onda incidente e uma onda refletica numa 
corda esticada!
Podemos novamente aplicar o 
princípio da superposição!
Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
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Ondas estacionárias
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• Em alguns instantes, interferência construtiva e noutros, destrutiva.
• Vemos que alguns pontos não se movem (nós) e outros se movem ao máximo 
(anti-nós).
• O padrão da onda não se move nem pra direita nem pra esquerda.
Ondas resultantes nestes padrões sao chamadas ondas 
estacionárias.
Ondas estacionárias
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Da mesma forma que para as ondas progressivas, esses 
resultados, consistem na aplicação gráfica do princípio da 
superposicao, e também podem ser mostrados 
matematicamente!
< na lousa > 
Ondas estacionárias
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Vemos uma fotografia e um 
esquema gráfico de uma onda 
estacionária.
Modos Normais de Ondas Estacionárias
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• Os padrões para ondas estacionárias dependem da 
frequência da fonte que as produz.
• Em determinadas frequências as ondas estacionárias 
podem apresentar nós e anti-nós.
• Tais frequências são chamadas de frequências de 
ressonância.
O padrão de oscilação onde 
todas as partículas se movem a 
mesma frequência é chamado de 
modo normal.
Modos Normais e Frequências de Ressonâcia
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• Para encontrarmos as frequências de ressonância 
consideremos uma onda estacionaria numa corda esticada 
de comprimento L.
• O modo normal mais simples que existe apresenta apenas 
um anti-nó.
Modos Normais e 
Frequências de Ressonâcia
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• O segundo modo mais 
simples apresenta 2 anti-
nós.
• O terceiro apresenta 3 anti-
nós.
• O quarto apresenta 4, 
E assim por diante.
Modos Normais e Frequências de Ressonâcia
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< na lousa > 
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Exercícios Recomendados
89
• Leitura do Capítulo 15
• Exercícios Recomendados
Página 130:
Questões: 15.3 ; 15.7; 15.9; 15.18
Exercícios: 15.1---15.5; 15.9---15.13; 15.16; 15.18; 15.22; 15.23, 15.26; 
15.28; 15.32; 15.35; 15.40; 15.41; 15.45
Todos relativos à 12ª edição de Young and Freedman