10 - GEO ESPACIAL

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CEFET Química – Unidade Maracanã 
 Matemática – 4° período 
 Professora: Bianca da Rocha
email: bdarocha@yahoo.com.br
 
DÉCIMA AULA
GEOMETRIA ESPACIAL
Livro: Dante
Editora: Ática
Bianca da Rocha 2009
GEOMETRIA ESPACIAL
Bianca da Rocha 2009
Antes de começarmos a estudar os prismas, pirâmides e os corpos redondos, vamos fazer um breve estudo sobre posições relativas entre ponto, retas e planos no espaço. 
No ensino fundamental vocês já estudaram posições relativas de pontos e retas num mesmo plano, por exemplo: 
O ponto A pertence à reta r e B não pertence à reta r
Os pontos A, B e C são colineares pois existe uma reta que passa pelos três pontos.
Os pontos D, E e F não são colineares, pois não existe reta que passe pelos três pontos simultaneamente.
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GEOMETRIA ESPACIAL
As retas c e m são distintas e paralelas.
As retas b e e são concorrentes.
As retas a e r são coincidentes (retas iguais)
As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Relação entre duas retas num plano
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GEOMETRIA ESPACIAL
Agora faremos um estudo intuitivo de posições relativas de pontos e retas e planos no espaço. No espaço surgem nova relações, como por exemplo entre reta e plano, ou entre planos . 
Observe como as figuras são representadas: 
Os conceitos de ponto, reta e plano são intuitivos, estão na nossa mente de forma natural. Precisamos observar que tanto as retas como os planos são conjuntos infinitos de pontos dispostos de uma certa maneira (para formar a reta ou o plano).
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GEOMETRIA ESPACIAL
Posições relativas de pontos e plano no espaço
Sabemos que dois pontos sempre determinam uma reta, ou seja, sempre existe uma reta que passa por dois pontos. Por isso, dois pontos sempre são colineares.
Agora estamos no espaço. Reflita e me responda: Existe uma relação dessas entre planos e pontos? Se sua resposta for sim, quantos pontos no mínimo são necessários para determinarmos um plano?
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GEOMETRIA ESPACIAL
Dados três pontos quaisquer sempre existe um plano que passa por esses três pontos?
A resposta é sim. Se os pontos não forem colineares esse plano será único. Se esses 3 pontos estiverem alinhados, ou seja, numa mesma reta, não determinamos um único plano que passa por eles e sim infinitos. Da mesma forma que por um ponto no plano passam infinitas retas, mas por dois pontos passa uma reta apenas. 
Assim, 3 pontos sempre são coplanares(pertencem a um mesmo plano), da mesma forma que dois pontos sempre são colineares (pertencem a uma mesma reta).
Reflita: Usamos cadeiras e mesas com 4 pés, pois temos recursos de medida para fazer esses pés do mesmo tamanho para que os 4 possam estar no mesmo plano, já que queremos que todos encostem no chão. Quando uma mesa, ou uma cadeira está “bamba” é porque pelo menos um desses pés não está do mesmo tamanho dos outros 3( não conseguindo assim apoiar no chão, pois não está coplanar com os outros 3) ou quando o chão não é de fato um plano. Qual seria uma solução para não termos mais esse tipo de problema, ou se não fossemos capaz de medir para fabricar pés do mesmo tamanho?
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GEOMETRIA ESPACIAL
Bianca da Rocha 2009
GEOMETRIA ESPACIAL
Posições relativas de pontos , retas e planos no espaço
Olhando para a figura, responda o que a intersecção desses dois planos determinam?
Neste caso, vemos que a intersecção dos planos é uma reta. Isso acontece sempre? Qual caso que a interseção entre dois planos não será uma reta?
A intersecção de dois planos não será uma reta, quando não existir essa interseçcão, ou seja, quando os planos forem paralelos ou quando os planos forem coincidentes. (neste caso a intersecção será o plano todo)
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Posição relativa de duas retas no espaço
Neste paralelepípedo a reta AB que é a reta que contém o segmento AB é paralela à reta EF, DC e HG. As retas AB e AE são conconrrentes(tem um ponto em comum que é o vértice A)
Quem são as arestas e as faces deste paralelepípedo?
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GEOMETRIA ESPACIAL
Veja novamente a figura e vamos analisar quais retas são coplanares.
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Note que duas retas concorrentes são sempre coplanares, ou seja, duas retas concorrentes determinam um plano.
Duas retas paralelas também sempre são coplanares.
No plano duas retas sempre são paralelas OU concorrentes. No espaço ainda temos uma outra opção. Duas retas podem não ser paralelas e nem ter ponto em comum. Neste caso chamamos as retas de REVERSAS. Duas retas reversas não determinam um plano.
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GEOMETRIA ESPACIAL
Vamos novamente olhar a figura do paralelepípedo para ver se existe retas reversas nela:
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GEOMETRIA ESPACIAL
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GEOMETRIA ESPACIAL
Posição relativa de dois planos:
Dizemos que dois planos α e β são paralelos, se e somente se, eles não possuem nenhum ponto em comum. Veja:
Quando a intersecção de α e β for diferente de vazio, dizemos que α e β são secantes. E mais, a intersecção de dois planos não paralelos é sempre uma reta. Veja: 
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GEOMETRIA ESPACIAL
Posição relativa de dois planos:
Resumindo:
Dizemos que dois planos α e β são coincidentes quando todos seus pontos são iguais, ou seja, a interseção de α e β é igua a α (ou igual a β).
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Posição relativa de reta e plano:
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GEOMETRIA ESPACIAL
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GEOMETRIA ESPACIAL
Atenção: 
1-Podemos ter em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas.
2- Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não sejam paralelos. Vejamos:
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PARALELISMO NO ESPAÇO
Os planos α e β são paralelos. As retas r e s estão contidas no plano α, logo ambas são paralelas ao plano β, porém r e s não são retas paralelas.
Os planos α e β são paralelos. As retas r do plano α é paralela ao plano β, porém não é paralela à reta s do plano β.
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Os planos α e β não são paralelos mas a retas r (do plano α) e a reta s (do plano β) são paralelas.
Observe a figura abaixo. Os planos ABCD e EFGH são paralelos; entretanto, as retas AB e FH pertencentes a eles não são paralelas e sim reversas. 
Atividade para casa - Responda:
1. Existe alguma aresta deste poliedro que seja paralela a reta AB? Quais e a quais planos cada uma pertence?
2. Existe alguma aresta deste poliedro que seja paralela à reta FH? 
3. Existe alguma face paralela à reta AB? Quais?
PARALELISMO NO ESPAÇO
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PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
Quando estávamos no plano, dado um ponto P na reta r existia uma única reta perpendicular à r passando por P. No espaço isso não ocorre. Dada uma reta r no espaço e um Ponto P de r, existem infinitas retas perpendiculares à reta r passando por P. Isto ocorre porque na verdade temos um plano perpendicular à reta r, assim qualquer reta deste plano será perpendicular à reta r. Vejamos:
Uma reta r é perpendicular a um plano se ela é perpendicular à todas as retas deste plano
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PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
Na verdade para uma reta (fora do plano) ser perpendicular ao plano é necessário e suficiente que ela seja perpendicular a duas retas deste plano (isso ocorrendo ela será perpendicular a qualquer reta do plano).
Vejamos a figura e a simbologia usada:
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PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
Neste exemplo r não é perpendicular ao plano, mas existe uma reta s do plano tal que r e s são perpendiculares. Note que s é a única reta do plano que é perpendicular à reta r. 
 Se existisse mais de uma reta no plano perpendicular à reta r, teríamos r perpendicular ao plano α. 
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Exercícios:
Vejamos a seguinte questão da EXPCEX com cuidado! 
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Exercícios:
1.
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2.
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3.
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4.
GEOMETRIA ESPACIAL
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5.
GEOMETRIA ESPACIAL
Resp: a
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Exercícios:
6.
Resp: d