Trabalho Metodos de Prova

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Universidade Federal do Maranhão - UFMA 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
Departamento de Informática 
Disciplina: Matemática Discreta e Lógica – 2015.1 
Professor: Tiago Bonini Borchartt 
Alunos: ________________________________________________________ 
 
Trabalho Métodos de Prova: 
 
PROVE A VALIDADE DOS SEGUINTES TEOREMAS: 
 
1. TEOREMA: Princípio da divisão: todo inteiro a pode ser escrito na forma a = bx + y, com b, x 
e y inteiros e 0  y < b. 
 
2. TEOREMA: O quadrado de qualquer inteiro n pode ser escrito na forma n² = 3k ou n² = 3k+1 
para algum inteiro k. 
 
3. TEOREMA: O produto de quatro inteiros consecutivos é igual a n² - 1, para algum inteiro n. 
 
4. TEOREMA: Sejam m, x e y inteiros, com m  0, então x % m = y % m, se e somente se (x – y) é 
múltiplo de m. Considere o símbolo % como o resto da divisão inteira. 
 
5. TEOREMA: Para todo n  IN, 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n-1) = n². 
 
6. TEOREMA: Para todo n  3 e inteiro, 2n+1 < n². 
 
7. TEOREMA: Dada a sucessão recursiva tn = tn-3 + tn-2 + tn-1, para n  4 e os termos iniciais t3 = 
3, t2 = 2 e t1 = 1. Para todo n  IN, tn < 2
n
. 
 
8. TEOREMA: Não existe um triângulo retângulo onde a área seja igual à hipotenusa. 
 
9. TEOREMA: A única solução para x² + y² = z², com x, y e z inteiros, positivos e consecutivos, é 
x = 3, y = 4 e z = 5. 
 
10. TEOREMA: Existe um triângulo retângulo tal que sua área é igual ao perímetro. 
 
11. TEOREMA: Seja n = 12345678910111213...9899100 (todos os naturais de 1 a 100 escritos 
sucessivamente), n não é divisível por 3. 
 
12. TEOREMA: Seja a sucessão recursiva g(n) = g(n-1) + 2n – 1, para n > 1, com g(1) = 1, a 
igualdade g(n) = n² é valida para qualquer n  IN. 
 
13. TEOREMA: Seja o valor absoluto da subtração de dois inteiros, definido por 
|𝑎 − 𝑏| = {
𝑎 − 𝑏, 𝑠𝑒 𝑎 − 𝑏 ≥ 0
−(𝑎 − 𝑏), 𝑠𝑒 𝑎 − 𝑏 < 0
 , então, ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|. 
 
14. TEOREMA: Sejam os quadrados A, B e C da figura, a área do quadrado A é igual ao módulo da 
diferença entre a área dos quadrados C e B. 
 
15. TEOREMA: Existem infinitos inteiros x, tal que x³ < x² + x.