7 Campo Magnetico

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7. Campo Magnético
A Aurora Polar é um fenômeno óptico composto de um brilho observado nos céus noturnos nas regiões
polares, em decorrência do impacto de partículas de vento solar com a alta atmosfera da Terra, canalizadas
pelo campo magnético terrestre. Em latitudes do hemisfério norte é conhecida como aurora boreal (nome
batizado por Galileu Galilei em 1619, em referência à deusa romana do amanhecer, Aurora, e Bóreas, deus
grego, representante dos ventos nortes). Ocorre normalmente nas épocas de setembro a outubro e de março a
abril. Em latitudes do hemisfério sul é conhecida como aurora austral, nome batizado por James Cook, uma
referência direta ao fato de estar ao Sul. 01
Fe3O4 magnetita
Encontrada na região da magnésia
Propriedade já conhecida na Grécia antiga
Capaz de atrair pequenos fragmentos de ferro
1100 A. C.
7.1. Revisão Histórica
1100 A. C.
Descoberta pelos chineses a agulha de magnetita poder se orientar 
com a campo magnético da Terra
Tratado sobre o magnetismo (Willian Gilbert)
1600 D. C.
A Terra atua como um grande ímã 
02
7.2 Propriedades de um Ímã
-Todo ímã possui as duas cargas magnéticas N e S (análogo as cargas + e -) 
-Ao dividir um ímã em dois pedaços, cada pedaço continuará a ter o dois pólos
-Pólos iguais se repelem; pólos diferentes se atraem.-Pólos iguais se repelem; pólos diferentes se atraem.
-Um ímã quando tem liberdade de girar livremente sobre um plano 
horizontal, alinha-se com magnético terrestre.
-O ímã permanente atrai apenas alguns metais.
03
Linhas de campo de um Ímã
Campo Magnético Terrestre
Para determinar as linhas de campo de um
ímã, coloca-se uma folha de papel sobre o ímã
e derrama aos poucos limalha de ferro sobre o
papel. Estas, se orientaram de acordo com as
linhas de campo magnético.
Representação das linhas de campo de um ímã
permanente.
04
Numa região que atuam um campo magnético .Se uma carga q viaja com uma 
velocidade ;.. 
7.3 O Campo Magnético
Verifica-se experimentalmente que a 
força magnética é:
Então e estão no mesmo plano.
θq
qF α vF α
vF
rr
⊥ BF
rr
⊥
BF α θα senF
vF ⊥ BF ⊥
No Sistema internacional (SI) o campo magnético é medido em: 
BvqkF
rrr
×=
Matematicamente estas propriedades sugerem que: 
onde k depende do sistema de unidades adotado. 
No SI k = 1, de modo que: 
);( BvsenqvBF
rr
=BvqF
rrr
×=
)(1 TeslaT
mC
sN
=
⋅
05
Orientação da Força Magnética
Duas regras para determinar a orientação da
força magnética FB = qv x B, agindo na carga
q viajando com velocidade v em uma região
que atua um campo magnético B. Em (a), se q
é positivo (negativo) o polegar aponta no
sentido (oposto) da força magnética FB,
enquanto os dedos encurvados da mão, com
sentido de v para B . Em (b), se o polegar
define o sentido de v e o dedo médio define o
sentido de B, para q positivo(negativo), F
Representação do
Vetor Campo Magnético
B entrando no papel 
Linhas de campo magnético 
entrando no plano do papelsentido de B, para q positivo(negativo), FB
aponta para fora (dentro) do plano da mão.
B saindo do papel 
(a) (b)
entrando no plano do papel
Linhas de campo magnético 
saindo do plano do papel
06
Exercício 1: Partícula carregada em um campo magnético
Um feixe de prótons (q = 1,6 x 10-19C) se move a 3 x 105 m/s em um campo
magnético uniforme com módulo B = 2T, orientado ao longo do eixo Oz
(Figura). A velocidade de cada próton está contida no plano xz, formando um
ângulo de 30º com eixo Oz. Determine a força magnética que atua em cada
próton.
Resolução:
m/s10]k)3cos(30ºi)[3sen(30ºv 5×+= ˆˆ
r
m/s10]k31,5i[1,5 5×+= ˆˆ
k(2T)B ˆ=
r
BvqF
rrr
×= )k(B)kviq(v zzx ˆˆˆ ×+=
z
zx
B00
v0v
kji
q
ˆˆˆ
=
A força magnética que atua em cada próton é dada por:
k(2T)B ˆ=
jvqB xz ˆ−=
jm/s)10C)(2T)(1,510(1,6F 519 ˆ××−= −
r
jN)10(4,8F 14 ˆ−×−=
r
07
7.4 Movimento de um partícula carregada em um Campo Magnético
(são perpendiculares)
Quando uma partícula carregada entra em uma região que atua
um campo magnético B perpendicular à sua velocidade v, a
força magnética FB será perpendicular a sua trajetória,
resultando em uma trajetória circular.
∑ == maFF B
R
mv
qvBsen
2
º90 =
qB
mv
R =⇒ ⇒
vB
rr
⊥
onde R é o raio da trajetória.
Frequência angular :
m
qB
R
v
==ω Período :
qB
m
v
R
T
π
ω
ππ 222
===
mR qBv ω
(formam um ângulo arbitrário)
Quando uma partícula carregada entra em uma região que atua um
campo magnético uniforme B formando um ângulo arbitrário à
velocidade v, neste caso, resultará em uma trajetória helicoidal.
);( Bv
rr
=φ
08
No caso em que também atua um campo elétrico:
BvqEqF
rrrr
×+=
( )BvEqF
rrrr
×+=
que se chama força de Lorentz.
Se a carga sofrer um deslocamento infinitesimal , em um intervalo 
infinitesimal , então , de modo que o trabalho dessa carga nesse 
ld
r
dt dtvld
rr
= rr
7.5 Força de Lorentz
deslocamento é: 
dt dtvld =
ldFdW
rr
⋅= dtvF
rr
⋅=
dtvBvEq
rrrr
⋅×+= )(
dtvBvqvEq )(
rrrrr
⋅×+⋅=
0dtvEqdW
rr
⋅=
A força magnética não realiza trabalho.
vEqdtdWP
rr
⋅== /
Passando para o primeiro membro: dt
Encontra-se a potência associada à força de Lorentz. 09
θ
q
Bv
rr
×
v
r
B
r
7.6 Aplicações da Força de Lorentz
- Filtro de velocidades
O filtro de velocidades é um experimento
que consiste em campos magnético e
elétrico uniformes e perpendiculares entre
si. Quando o módulo das forças elétrica e
magnética se igualam , ou seja, qE = qvB,
passarão pela pequena abertura, as
partículas com velocidade v = E/B ,
pois as partículas com essa velocidade não
sofrerão desvio.sofrerão desvio.
- Espectrômetro de massa
10
O espectrômetro de massa separa íons de acordo
com a razão entre a massa e a carga. Um feixe de
íons atravessa inicialmente um filtro de velocida-
des e, então, entra em uma segunda região sem
campo elétrico e campo magnético uniforme B0.
Ao entrar no segundo campo magnético, os íons
deslocam-se em semicírculos antes de atingir a
chapa fotográfica em P. Se os íons forem
positivos (negativos), o feixe desvia para cima
(baixo). Dessa forma a razão m/q é determinada
medindo o raio de curvatura.
Exercícios Propostos
7-1. Um próton se move com velocidade de 4,0 x 105 m/s no sentido positivo do eixo y entra em um campo magnético uniforme de
0,40 T que está orientado no sentido positivo do eixo x. (a) Calcule a força magnética exercida sobre o próton. (b) Qual o módulo
desta força? R. (a) (-2,56 x 10–14 i N) ; (b) 2,56 x 10–14 N
7-2. Um elétron desloca-se com uma velocidade v = (2 i – 4 j + k) m/s em uma região na qual o campo magnético é B = (i + 2 j –
k)T. (a) Encontre o vetor força magnética que essa carga experimenta. (b) Qual a magnitude dessa força? (c) Qual o ângulo formado
entre a velocidade e o campo magnético? R. (a) (1,60 x 10-18 i + 1,12 x 10-18 j + 1,28 x 10-18 k) N ; (b) 2,34 x 10-18 N
7-3. O módulo da força magnética exercida sobre uma partícula de carga -2e que se move com velocidade v = 1,0 x 105 m/s vale
3,0 x 10-18 N. Qual o módulo da componente de campo magnético perpendicular à direção de movimento da partícula?
7-4. Um elétron se move com velocidade de 2,5 x 105 m/s orientado ao longo do eixo x positivo, entra em um campo magnético
uniforme de 0,6T que forma um ângulo de 60º com o eixo z no plano yz. Calcular a (a) força magnética e a (b) aceleração inicial
sobre o elétron. (c) Calcule o módulo da força magnética e da aceleração inicial. R. (a) (1,20 j – 2,08 k) x 10-14 N; (b) (1,32 j –
2,28 k) x 1016 m/s2; (c) 2,40 x 10-14 N ; 2,63 x 1016 m/s2
7-5. Um próton se move com velocidade de 2,4 x 105 m/s, em um campo magnético uniforme de 0,6T formando um ângulo de 53º
com o eixo y no plano xy. A velocidade da partícula forma um ângulo de 35º com o eixo z no plano yz. Calcular a (a) força
magnética, a (b) aceleração inicial sobre o próton. (c) Calcule o módulo da força magnética e da aceleração inicial.magnética, a (b) aceleração inicial sobre o próton. (c) Calcule o módulo da força magnética e daaceleração inicial.
R. (a) (– 1,14 i + 1,51 j – 1,06 k) x 10-14 N; (b) (– 1,25 i + 1,65 j – 1,16 k) x 1016 m/s2; (c) 2,16 x 10-14 N ; 2,37 x 1016 m/s2;
7-6. Uma partícula com 20 mC de carga move-se ao longo do eixo x com uma velocidade de 50 m/s. Ela entra em um campo
magnético dado por B = (0,30 i + 0,70 k) T, em teslas. Determine o módulo e a orientação da força magnética sobre a partícula.
7-7. O campo magnético em determinada região do espaço (onde x > 0 e y > 0) é dado por B = (x – az) j + (xy - b) k, onde a e b
são constantes positivas. Um elétron movendo-se com uma velocidade constante, v = v0 i , entra nesta região. Quais as
coordenadas dos pontos onde a força resultante exercida pelo elétron é nula?
11
7.7 Força Magnética sobre uma Corrente
(b)
(d) (e)(c)
(a) Um fio flexível passa entre os pólos de
um ímã.
(d) Se a corrente for para baixo, a 
força magnética sobre a 
corrente é para direita.(b) Quando não há nenhuma corrente, o
campo magnético não exerce nenhum
efeito, pois não há movimentação líquida
de cargas elétricas.
(a)
12
(c) Quando é estabelecida uma corrente ao
longo do fio, atuará uma força magnética
sobre a corrente, pois a força magnética
atua somente quando as cargas estão em
movimento.
(e) Se a corrente for para cima, 
a força magnética sobre 
corrente é para esquerda. 
7.7 Força Magnética sobre uma Corrente







≡
≡
≡
correnteàassociados
elétronsdosvelocidadev
volumeunidpelétronsdenumn
correntededensidadej
r
r
./.j
r
A
ld
r
venj
rr
)(−=
Definindo a densidade a força (força por unidade de volume): Fnf
rr
=
enForça
−º
Num campo magnético a densidade de força magnética fica dado por B
r
Força
volume
en
volume
Força
−
=
º
)( Bvenf
rrr
×−= )( B
j
ven
r
43421 r
r
×
=
−= Bj
rr
×=
13
7.7 Força Magnética sobre uma Corrente
venj
rr
)(−=
Bjf
rrr
×=
A força total sobre os elétrons livres, contido no volume Adl
AdlfFd
rr
= AdlBj )(
rr
×= { Bdl
I
Aj
rr
×=
rrr
lId
r
j
r
A
ld
r
I
BldIFd
rrr
×= onde é o elemento de corrente.lId
r
Num circuito fechado C, a integral de linha torna-se BldIF
C
rrr
×= ∫
A força total sobre os elétrons livres, num trecho de fio com comprimento l
BldIF
C
rrr
×= ∫
Se a corrente no circuito fechado C é estacionária, então
0=×∫ BldI
C
rr
14
Exercício 2: Forças gerados por correntes
Determinar a força magnética que age num circuito retangular de lados a e b
percorrido por uma corrente estacionária I num campo uniforme paralelo ao
lado a com intensidade By.
Resolução:
Como os lados 1 e 3 são paralelos a , não contribuem 
no cálculo das forças. 
A força é dado por: 
B
r
2F
r
∫ ×=
C
BldIF
rrr
2 { jBkdzI y
b
ld
ˆˆ
0
×= ∫
=
r {
i
b
y jkdzIB
ˆ
0
ˆ
−=
×= ∫
)
)ˆ(]|[
0
iBzI y
b −=
iBIb ˆ−=
i−=
iBIb y
ˆ−=
A força é dado por: 
4F
r
∫ ×=
C
BldIF
rrr
4
jBkdzI y
b
ˆˆ
0
×= ∫ )ˆ](|[ 0 izBIb by −= iBIb y ˆ=
iBIb y
ˆ=
A força resultante que age no circuito é de por:
42 FFF
rrr
+= iIbBiIbB yy ˆˆ +−=
0=
15
Exercícios resolvido
Um fio curvado no formato de semicírculo de raio R forma um
circuito fechado e conduz uma corrente I. O circuito está no plano xy
e um campo magnético uniforme está presente ao longo do eixo y
positivo, como mostra a figura. Encontre a força magnética (a) sobre
a porção reta do fio e (b) sobre a porção curva do fio.
Resolução: Assim, substituindo a (2) e (3) em (1)
kIBdx
jiIBdx
jBidxIFd
ˆ
ˆˆ
)ˆ()ˆ(
=
×=
×=
r
Integrando sobre o caminho reto de –R até R, vem:
Notas:
Para uma corrente constante I percorrendo
um trecho de fio retilíneo de comprimento
L,o módulo da força será: F = IBL sen(L;B)
1) Se F = IBL 
2) Se ou F = 0
º)B;L( 90=
rr
⇒
º)B;L( 0=
rr
⇒º)B;L( 180=
rr
(a) A força infinitesimal descrita por um
elemento de corrente é dado por:
BlIdFd
rrr
×=
Definindo a origem do plano xy no centro do
semicírculo (Figura), o elemento de linha e
vetor campo magnético são descritos
respectivamente por
idxld ˆ=
r
jBB ˆ=
r
kdxIBF
R
R
ˆ∫−=
r
(1)
(2)
(3)
kIBR ˆ2= (4)
16
(b) Para a parte curvada do fio, o elemento in-
finitesimal de linha fica
jdyidxld ˆˆ +=
r
Fazendo a mudança de variável
Substituindo (6) e (3) em (1)
BlIdFd
rrr
×=
jBjdRidRI ˆ)ˆ)cos(ˆ)(( ×+−= θθθθsen
jjdIBRjidIBR ˆˆ)cos(ˆˆ)( ×+×−= θθθθsen
kdIBR ˆ)( θθsen−=
∫−=
π
θθ
0
ˆ)( kdIRBF sen
r
kIRBkIRBF ˆ2ˆ)]cos([ −=−−= πθ
r
Integrando a (7), vem:
(5)
0
Nota:
Somando as equações (4) e (7) , ou seja
Este resultado está de acordo com afirmação
no slide 14, que uma corrente estacionária
(ou constante) percorrendo um circuito
fechado, a força resultante se anula.
0)ˆ2(ˆ2 =−+ kIRBkIRB
Fazendo a mudança de variável
.)cos()(
)()cos(
θθθ
θθθ
dRdyRy
dRdxRx
=⇒=
−=⇒=
sen
sen
Substituindo na equação (5) o elemento de 
linha pode ser escrito como
jdRidRld ˆ)cos(ˆ)( θθθθ +−= sen
r
kIRBkIRBF ˆ2ˆ)]cos([ 0 −=−−=
πθ
r
(6)
kIRB ˆ2−= (7)
17
Exercícios Propostos
7-7. O campo magnético em determinada região do espaço (onde x > 0 e y > 0) é dado por , onde a e b são constantes positivas.
Um elétron movendo-se com uma velocidade constante, , entra nesta região. Quais as coordenadas dos pontos onde a força
resultante exercida pelo elétron é nula?
7-8. Um fio reto de 2,0 m de comprimento conduz uma corrente de 24 A. Ele está localizado sobre uma mesa horizontal. O fio faz
um ângulo de 30º com as linhas de campo magnético. Se o módulo da força sobre o fio for de 0,50 N, qual será a intensidade do
campo magnético?
7-9. Uma linha de transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 A no sentido sul-norte. O campo magnético da Terra
(60 mT) tem a direção norte e faz um ângulo de 70º com a horizontal. Determine (a) o módulo, (b) a direção da força magnética
exercida pelo campo magnético da Terra sobre 100 m de linha.
R. (a) 28,2 N ; (b) horizontal, para oeste.
7-10. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm está suspenso por contatos flexíveis na
presença de um campo magnético uniforme de módulo 0,440 T (Figura). Determine (a) o valor
absoluto e (b) sentido (para direita ou para esquerda) da corrente necessária para remover a
tensão dos contatos. R. (a) 467 mA ; (b) para a direitatensão dos contatos. R. (a) 467 mA ; (b) para a direita
7-11. O fio dobrado da figura ao lado está submetido a um campo magnético uniforme.
Cada trecho retilíneo tem 2,0 m de comprimento e faz um ângulo q = 60º com o eixo x. O fio é
percorrido por uma corrente de 2,0 A. Qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio,
em termos dos vetores unitários, se o campo magnético é (a) 4,0 k T; e (b) 4,0 i T ? R. (a) ; (b) A
força exercida sobre a metade esquerda nos pontos de arame dobrado na direcção - k, pela regra
da mão direita, e a força exercida na metade direita nos pontos de fio no direção + k. A
magnitude de cada força é igual, de modo a que a força (avaliada através da totalidade do
arame dobrado como mostrado) deve necessariamente anular.
7-12. Um fio de comprimento 50,0 cm é percorrido por uma corrente de 0,500 A no sentido do eixo positivo do eixo x na presença de
um campo magnético . Em termos dos vetores unitários, qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio?
R.
18
7-13. Na figura um fio metálico de massa m = 24,1 mg pode deslizar com atrito insignificante sobre dois trilhos paralelos
horizontais separados por uma distância d = 2,56 cm. O conjunto está em uma região onde existe um campo magnético uniforme
de módulo 56,3 mT. No instante t = 0 um gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente I = 9,13 mA no fio e nos trilhos
(mesmo quando está se movendo). No instante t = 61,1 ms, determine (a) a velocidade escalar do fio; (b) o sentido do movimento
do fio (para esquerda ou para direita).R. (a) 3,34 x 10⁻² m/s; (b) A direção é para esquerda (se afastando do gerador)
7-14. Um condutor longo, rígido, retilíneo, situado sobre o eixo x, é percorrido por uma corrente de 5,0 A no sentido negativo do
eixo x.Um campo magnético está presente, dado por , com x em metros e em militeslas. Determine em termos dos vetoreseixo x. Um campo magnético está presente, dado por , com x em metros e em militeslas. Determine em termos dos vetores
unitários, a força exercida pelo campo sobre o segmento de 2,0 m do condutor entre os pontos x = 1,0 m e x = 3,0 m.
R. (a) 0,10 T; (b) 31º
19
7.8 Torque Magnético sobre uma Espira
I
I
I
I
1F
r
2F
r
B
r
campo magnético ≡B
r
I corrente na espira 
1F
r
2F
r
e forças magnética ≡
≡
021 =+ FF
rr
P/ a corrente I estacionária a resultante é 
nula:
O efeito resultante será um torque.
Definindo o momento magnético sobre uma O módulo do torque é:Definindo o momento magnético sobre uma 
espira como:
nAI ˆ=µ
r
momento magnético ≡µ
r
corrente na espira≡I
área da espira≡A
vetor unitário normal à área da 
espira
≡n
)
Assim, o torque magnético é dado por:
B
rrr
×= µτ
);( BsenB
rr
µµτ =
O módulo do torque é:
No SI, 
mN≡][τ 2][ mA≡µ
20
A energia potencial de um dipolo 
magnético é :
BU
rr
⋅−= µ
);cos( BB
rr
µµ−=
Exercício 3: Torque magnético
Calcule o módulo do torque sobre um anel de área de 100 cm2 conduzindo uma
corrente de 20 A, cuja a normal é perpendicular ao campo magnético de 500 G.
Resolução: No SI temos;
TG 4101 −= TG 2105500 −×=⇒
2210 mA −=
O módulo do momento magnético (ou 
momento dipolar) é dado por :
IA=µ 21020 −×=
I
n̂
µµµµ
B
Torque produzido por uma bobinaIA=µ
21020 −×=
21102 Am−×=
Para calcular o módulo do torque 
magnético sobre a espira :
);( BsenB
rrrrr
µµτ =
)º90(105102 21 sen−− ×××=
Nm2101 −×=
Torque produzido por uma bobina
Uma bobina é um conjunto de N espiras formado
por um fio condutor enrolado em torno de si
mesmo. O momento magnético de uma bobina é :
O torque , então, é obtido por:
cujo módulo é dado por :
21
nNIA ˆ=µ
r
B
rrr
×= µτ
);( BNIAB
rr
µτ sen=
Exercícios Resolvidos
Uma bobina retangular consiste de N = 100 espiras retangulares de dimensões a = 0,40 m e b =
0,30 m. O plano da bobina contém o eixo y e faz um ângulo de 30º com o eixo x. Qual o módulo
do torque exercido pela bobina por uma campo magnético uniforme B = 0,800T direcionado ao
longo do eixo x quando uma corrente I = 1,20 A está na direção mostrada?
nAIN ˆ=µ
r
⇒ AIN=µ
B
rrr
×= µτ ⇒ );ˆ(sen BnB
r
µτ =
º30
º60 B
r
x
n̂
);ˆ(sen BnBAIN
r
=τ
)º60(sen8,0)4,03,0(2,1100 ××××=τ
Nm98,9=τ
I
Nm98,9=τ
22
Uma bobina quadrada de lado 40 cm e 12 espiras conduz uma corrente de 3,0 A. O plano da
bobina está contido no plano xy em um campo magnético uniforme B = (0,3 i + 0,4 k)T.
Encontre o (a) memento magnético , o torque magnético que age sobre a bobina e a (c) energia
potencial magnética.
kAIN ˆ=µ
r(a) kmA ˆ)40,0()0,3()12( 2= kmA ˆ)76,5( 2⋅=
(b) B
rrr
×= µτ )ˆ4,0ˆ3,0()ˆ76,5( 2 kTiTkmA +×⋅= jmN ˆ)73,1( ⋅=
(c) BU
rr
⋅−= µ )ˆ4,0ˆ3,0()ˆ76,5( 2 kTiTkmA +⋅⋅= J30,2−=
7.9 O Motor de Corrente Contínua
1) Escovas alinhadas sobre os segmentos do comutador
- A corrente entra pelo lado esquerdo do rotor e sai
pelo lado direito
- O torque magnético faz o rotor girar no sentido anti-
horário.
2) O rotor girou 90º
2)
1)
23
2) O rotor girou 90º
- Cada escova está em contato com ambos segmentos do
comutador, de modo que a corrente não passa pelo rotor.
- Nenhum torque magnético atua sobre o rotor.
3) O rotor girou 180º
- As escovas estão novamente alinhadas aos
segmentos do comutador. Dessa vez a corrente entra
pelo lado direito e sai pelo lado esquerdo.
- Logo o torque o torque magnético volta a atuar
sobre o rotor no sentido anti-horário.
3)
7.10 Potência para Motores Elétricos
O motor converte energia elétrica em 
energia mecânica ou trabalho.
IVP ab=
Para um motor em série um rotor é
conectado em série a um eletroímã
Se a ddp entre os terminais é Vab e a cor-
rente é I, então a potência fornecida é:
conectado em série a um eletroímã
que produz um campo magnético.
Sendo εεεε a força eletromotriz e r a resistência interna, então :
IrV
ab
−=ε
Como a força magnética é proporcional à velocidade, então εεεε é
proporcional velocidade angular de rotação do rotor.
24
Exercício 4: Um motor CC em série
Um motor cc com seu rotor e suas bobinas de campo ligadas em série possui uma
resistência interna de 2,0 Ω. Quando está girando em sua carga total em uma linha de
120 V, ele recebe uma corrente de 4,0 A. (a) Qual é a fem no rotor? (b) Qual é a
potência fornecida pela fonte ao motor? (c) Qual a taxa de dissipação de energia na
resistência do motor? (d) Qual é a potencia mecânica desenvolvida? (e) Qual a
eficiência do motor?
Resolução:
(a) rIV −=ε )0,4)(0,2(120 AV Ω−= V112=
(b) VIP = == )0,4)(120( AV W480
25
(b) VIP
Entrada
= == )0,4)(120( AV W480
(c) 2rIP
Dissipada
= 2)0,4)(0,2( AΩ= W32=
(d) =−= WW 32480DissipdadaEntradaSsaída PPP −= W448
(e)
Entrada
Saída
P
P
e =
W
W
480
448
= 93,0= ou %93
Exercícios Propostos
7-15. Uma bobina circular de raio 15,0 cm conduz uma corrente de 2,60 A. A normal ao plano da bobina faz um ângulo de 41,0º com 
um campo magnético de módulo igual a 12,0 T. (a) Calcule o módulo do momento magnético dipolar da bobina. (b) Qual é o módulo
do torque que age sobre a bobina? R. (a) 0,184 A.m² ; (b) 1,45 N.m
7-16. Uma espira retangular de 5,0 cm x 8,0 cm possui um plano paralelo a um campo magnético de 0,19 T. A espira conduz uma 
corrente de 6,2 A. (a) Qual é o torque sobre a espira? (b) Qual é o módulo do momento magnético da espira? (c) Qual é módulo do 
torque máximo que pode ser obtido sobre um fio de mesmo comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente nesse 
campo magnético? R. (a) 4,7 x 10⁻³ N.m ; (b) 0,025 A.m² ; (c) O torque máximo é quando o plano da espira forma um ângulo de 90º 
com o campo magnético. 
7-17. Uma bobina circular de 160 espiras tem raio 1,90 cm. (a) Calcule a corrente que resulta em um momento magnético dipolar de 
módulo 2,30 A.m². (b) Determine o valor máximo do torque a que a bobina é submetida quando, sendo percorrida por essa corrente, 
é colocada na presença de uma campo magnético uniforme de módulo 35,0 mT. R. (a) 12,7 A ; (b) 8,05 x 10⁻² N.m 
7-18. Uma espira circular com 8,0 cm de raio é percorrida por uma corrente de 0,20 A. Um vetor de comprimento unitário, paralelo 
ao momento dipolar (também chamado de momento magnético) da espira, é dado por m = 0,60 i – 0,80 j. Se a espira é submetida a 
⁻⁴ ⁻⁴
ao momento dipolar (também chamado de momento magnético) da espira, é dado por m = 0,60 i – 0,80 j. Se a espira é submetida a 
um campo magnético uniforme dado por determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e (b) a energia 
potencial magnética da espira. R. (a) (– 9,7 i – 7,2 j +8,0 k) x 10⁻⁴ N.m ; (b) – 6,0 x 10⁻⁴ J
7-19. Uma bobina com momento magnético 1,45 A.m² está orientada inicialmente, com seu momento magnético antiparalelo a um 
campo magnético com módulo igual a 0,835 T. Qual é a variação da energia potencial da bobina quando ela gira 180º, de modo que 
o seu momento magnético fique paralelo ao campo? R. – 2,42 J
7-20. A bobina da figura conduz uma corrente de 2,00 A no sentido indicado, é paralelo ao plano xy, possui 3,00 espiras, tem uma 
área de 4,00 x 10⁻³ m² e está submetida a um campo magnético uniforme B = (2,00 i –
3,00 j – 4,00 k) mT. Determine a energia potencial magnética do sistema bobina-campo 
magnético; (b) o torque magnético ( em termos dos vetores unitários) a que está sujeita a 
bobina. R. (a) – 7,2 x 10⁻⁵ J ; (b) (– 9,6 i + 4,8 k) x 10⁻⁵ N.m
26
Exercícios Propostos
7-21. A figura mostra uma bobina retangular de cobre, de 20 espiras, com 10 cm de altura e
5 cm de largura. A bobina conduz uma corrente de 0,10 A e dispõe de uma dobradiça em
um dos lados verticais. Está montada em um plano xy, fazendo um ângulo de 30º com a
direção do campo magnético uniforme de módulo igual a 0,50 T. Em termos dos vetores
unitário, qual é o torque o campo exerce sobre a bobina em relação a dobradiça?
R. (– 4,3 x 10⁻³ j) N.m
7-22. Uma bobina de uma espira, percorrida poruma corrente de 
4,00 A, tem a forma de um triângulo retângulo cujos os lados 
medem 50,0; 120 e 130 cm. A bobina é submetida a um campo 
magnético uniforme de módulo 75,0 mT paralelo à corrente ao 
lado de 130 cm. Determine o módulo da força magnética (a) no 
lado de 130 cm; (b) no lado de 50,0 cm; (c) no lado de 120 cm. 
R. (a) 0 ; (b) 0,138 N ; (c) 0,138 N 
7-23. Na figura uma bobina retangular percorrida por uma corrente está no plano de um campo magnético uniforme de módulo
0,040 T. A bobina é formada por uma única espira de fio flexível que permite mudar as dimensões do retângulo. (O comprimento
total do fio permanece inalterado.) Quando o comprimento x de um dos lados do retângulo varia de aproximadamente zero para
seu valor máximo de aproximadamente 4,0 cm, o módulo do torque t, passa por um valor máximo de 4,80 x 10⁻⁸ N.m. Qual o
valor da corrente na bobina? R. 0,0030 A
7-24. Um elétron se move em um círculo de raio r = 5,29 x 10 ⁻¹¹ com uma velocidade de 2,19 x 10⁶ m/s, Trate a trajetória
circular como uma espira percorrida por uma corrente constante igual a razão de entre a carga do elétron e o período do
movimento. Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B = 7,10 mT,
qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo da espira? R. 6,58 x 10⁻²⁶ N.m
27
Exercícios Propostos
7-25. Um motor cc possui um rotor ligado em série a uma resistência de 3,2 Ω. Quando gira com sua carga total em uma linha de
120 V, a fem do rotor é igual a 105 V. (a) Qual é a corrente que o rotor recebe da linha? (b) Qual é a potência fornecida ao motor?
(c) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo motor? R. (a) 4,7 A ; (b) 564 W ; 493 W
7-26. Na figura, vemos um motor cc, no qual um rotor com resistência Rr = 5,9 Ω está ligado em paralelo com formando um shunt
com as bobinas de campo com resistência Rc = 106 Ω. Quando uma diferença de potencial
igual a 120 V é aplicada nas escovas e o motor está realizando trabalho e girando com
velocidade máxima, a corrente fornecida ao motor é igual a 4,82 A. (a) Qual é a corrente que
passa nas bobinas de campo? Qual é a corrente que passa no rotor? (c) Qual é a fem
induzida desenvolvida pelo motor? (d) Qual é a potência mecânica desenvolvida pelo motor?
R. (a) 1,13 A ; (b) 3,69 A ; (c) 98,2 V ; (d) 362 W
7-27. A figura mostra uma fonte de alimentação de 120 V ligada a um motor cc com shunt,
no qual o rotor está ligado em paralelo às bobinas de campo. A resistência das bobinas de campo é Rc = 218 Ω. A resistência do
rotor é 5,9 Ω. Quando o motor está funcionando, o motor desenvolve uma fem ε. O motor consome uma corrente igual a 4,82 A
da fonte. As perdas por atrito correspondem a 45,0 W. Calcule: (a) a corrente que passa nas bobinas de campo; (b) a corrente noda fonte. As perdas por atrito correspondem a 45,0 W. Calcule: (a) a corrente que passa nas bobinas de campo; (b) a corrente no
rotor; (c) a fem ε; (d) a taxa de produção de energia térmica no rotor; (e) a potência fornecida ao motor; (f) a eficiência do motor.
R. (a) 0,550 A ; (b) 4,27 A ; (c) 94,8 V ; (d) 65,9 W ; (e) 108 W ; (f) 578 W ; (g) 0,621
28
Exemplos de Linhas de Campo Magnético 29
7.11 Hans Christian Oersted
- Em 1819, Oersted buscava os efeitos de
uma corrente elétrica sobre um ímã.
- Os cientistas da época acreditavam que
os fenômenos elétricos e magnéticos
eram independentes.
- Em 1820, Oersted mostrou seus
resultados numa reunião da Academia
de Ciências da França.
- Passando uma corrente perpendicular- Passando uma corrente perpendicular
à uma bússola nada acontece.
- Passando uma corrente paralela à
uma bússola, sua agulha sofre uma
deflexão.
- Uma corrente elétrica produz um campo magnético num 
fio por onde passa.
- As linhas de campo são círculos fechados em planos 
perpendiculares ao fio.
30
É um método de cálculo que simplifica a obtenção de campos magnéticos
a partir de distribuições de corrente que apresentam simetrias.
7.12 Lei de Ampère
Fazendo uma analogia entre a Lei de Gauss e a Lei de Ampère :
A Lei de Gauss diz que a integral de superfície envolvendo a distribuição
de carga é proporcional a carga no interior da superfície fechada.
A Lei de Ampère diz que a integral de linha circulando a distribuição de
corrente é proporcional a corrente interior da linha fechada.
int0
IldB
C
µ=⋅∫
rr
0
ε
=⋅∫ int
q
AdE
C
rr
31
7.12 Lei de Ampère
A linhas de campo magnético são sempre fechadas, logo:
0≠⋅∫C ldB
rr
Em particular, se é uniforme no circuito C:B
r
);cos( ldBBdl
C
rr
∫=∫ ⋅C ldB
rr
pois ldB
rr
//
∫= CdlB )2( rB π= 0≠
r
B
r
ld
r
I
Dos estudos de Ampère resulta que a integral de linha sobre um circuito
fechado C é proporcional à intensidade de corrente estacionária total I
Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade k vale:
IkldB
C
=⋅∫
rr
27
0 /104 ANk
−×== πµ
onde é permeabilidade magnética do vácuo.0µ
32
Exercício 5: Campo no exterior de um cilíndrico condutor longo
Calcular o campo magnético a uma distância r de um fio cilíndrico muito longo
de raio a que transporta uma corrente I e densidade de corrente distribuída
sobre uma secção transversal.
j
r
Resolução:
Este problema tem simetria cilíndrica (ou axial) , ou seja, o 
módulo do campo magnético só depende da distância r do 
eixo do fio. As linhas de campo são círculos concêntri-
cos com eixo do fio . O módulo da densidade de corrente
para um ponto P a uma distância r > a do eixo do fio é
dado por j = I/(ππππa2), logo a corrente total em um ponto
a
eixo do fio
r P
dado por j = I/(ππππa2), logo a corrente total em um ponto
afastado do fio é I = ππππa2j .
contorno 
amperiano C
O campo magnético em um
ponto P a distância r do fio é dado por :
r
θ̂
r̂
B
r
O elemento de linha é dado por:ld
r
θθ ˆdrld =
r r
θdr
θd
ângulo comp. do arco
2π [rad] 2π r
dθ [rad] dθ r
33
Pela lei de Ampère:
IldB
C
0µ=⋅∫
rr
IdrB
C
0
ˆˆ µθθθ =⋅∫
{
IdBr 0
2
0
1
ˆˆ µθθθ
π
=⋅∫
=
IBr 0)2( µπ =
r
I
B
π
µ
2
0=
Já determinamos a orientação do
Outra forma:
Pela lei de Ampère:
IldB
C
0µ=⋅∫
rr
IldBldB
C
0);cos( µ=∫
rrrr
mas,
ldB
rr
// ⇒ 1);cos( =ldB
rr
de modo que
IBdl µ=∫
θ
π
µ ˆ
2
0
r
I
B =
r
Já determinamos a orientação do
campo magnético anteriormente.
Assim,
p/ r > a
Obs: Este exemplo foi desenvolvido o cálculo formal com a
finalidade de mostrar mais detalhes (como obter a orientação do
campo e a determinação do módulo). A partir daqui, utilizaremos
um método que será útil para obter o campo magnético para
outras distribuições de corrente, fazendo a escolha apropriada do
contorno C, conforme os critérios abaixo:
1. A curva amperiana (C) escolhida deve ter a simetria da
distribuição de corrente.
2. O módulo do campo magnético deve ser constante sobre C.
IBdl
C
0µ=∫
Como B é constante sobre o contorno
C , temos que:
IdlB
C
0µ=∫
IrB 0)2( µπ =
r
I
B
π
µ
2
0=
Assim,
θ
π
µ ˆ
2
0
r
I
B =
r
p/ r > a
p/ r > a
34
Exercício 6: Campo no interior de um cilindro condutor longo
Um condutor longo de raio a conduz uma corrente I, uniformemente distribuída
pela secção reta do cilindro. Calcule o campo magnético em função da distância
r do eixo do cilindro (r < a). Faça um gráfico do módulo do campo magnético em
função da distância r para r < a e r > a.
Resolução:
Neste caso, a distribuição de corrente I´ = jππππr2 é uma
fração da corrente total I. Vamos calcular a corrente I´ em
termos da corrente total I:
a
eixo do fio
r P
2rjI π=′ r
contorno 
amperâno C
rjI π=′
Como I tem distribuição uniforme, então j é constante, 
de modo que: 
2
2
r
a
I
I π
π
=′ ⇒ I
a
r
I
2
2
=′
Pela lei de Ampère:
IldB
C
′=⋅∫ 0µ
rr
mas, ldB
rr
//
IBdl
C
′=∫ 0µ
35
IdlB
C
′=∫ 0µ
Como B é constante sobre o contorno
C , temos que:
IrB ′= 0)2( µπ
I
r
B ′=
π
µ
2
0
{
I
I
a
r
r
′=
=
2
2
0
2π
µ
Assim,






>
<
=
arp
r
I
arpr
a
I
B
/ˆ
1
2
/ˆ
2
0
2
0
θ
π
µ
θ
π
µ
r
{
I ′=
arpr
a
I
B <= /ˆ
2 20 θ
π
µr
36
Exercício 7: Aplicação da lei de Ampère
Um cilindro comprido, com eixo orientado ao longo do eixo Oz, possui uma
densidade de corrente . A densidade de corrente, embora seja simétrica em
relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação





≥
≤











−
=
ar
ark
a
r
a
I
j
para
para
0
ˆ1
2
2
2
0
π
r
j
r
em que a é o raio do cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e
I0 é uma constante dada em Ampères. (a) Mostre que I0 é a corrente total que
passa pela seção reta do fio. (b) Usando a lei de Ampère, deduza a expressão
para o módulo do campo magnético B para a região . (c) Obtenha a
expressão para a corrente I contida em uma seção reta . (d) Aplicando a
lei de Ampère, deduza a expressão para o módulo do campo magnético B na
região . Como se comparam os resultados dos itens (b) e (d) para ?
ar ≥
ar ≤
ar ≤ ar ≤
Exercícios Propostos
28. No interior de uma curva fechada existem diversos condutores. A integral de linha em torno da curva é igual a 3,83 x 10⁻⁴ T . m.
(a) Qual é a corrente total que passa pelos condutores? (b) Se você fizesse a integral percorrendo no sentido contrário qual seria o valor da
integral? Explique. R. (a) 305 A ; (b) – 3,83 x 10⁻⁴ T . m
29. A figura mostra a seção reta de diversos condutores que conduzem correntes que atravessam o plano da
figura. Os sentidos das correntes estão indicados na figuras e os módulos são I1 = 4,0 A; I2 = 6,0 A e I3 =
2,0 A. Quatro trajetórias indicadas pelas letras de a até d são mostrada na figura. Qual o valor da integral de
linha para cada trajetória? Para cada integral, escolha um percurso no sentido anti-horário. Explique suas
respostas. R. (a) 0 ; (b) – 5,03 x 10⁻⁶ T . m ; (c) 2,51 x 10⁻⁶ T . m ; (d) 5,03 x 10⁻⁶ T . m
30. Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de valor 15 A/m² no sentido positivo do
eixo z. Determine o valor de quando a integral de linha é calculada ao longo três segmentos de
reta, de (4d, 0, 0) para (4d, 3d, 0), de (4d, 3d, 0) para (0, 0, 0), de (0, 0, 0) para (4d, 3d, 0), com d = 20 cm.
⁻⁶
∫ ⋅C ldB
rv
∫ ⋅C ldB
rv
reta, de (4d, 0, 0) para (4d, 3d, 0), de (4d, 3d, 0) para (0, 0, 0), de (0, 0, 0) para (4d, 3d, 0), com d = 20 cm.
R. (a) 4,5 x 10⁻⁶ T . m
31. A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio a = 3,1 mm é paralela ao eixo
central, e seu módulo varia linearmente com a distância radial r de acardo com a equação J = J0r/a , onde
J0 = 310 A/m². Determine o módulo do campo magnético para r = 0; (b) para r = a/2 ; (c) para r = a.
R. (a) 0; (b) 1,0 x 10⁻⁷ T ; (c) 4,0 x 10⁻⁷ T
32. Na figura um cano circular longo de raio externo R = 2,6 cm conduz uma corrente uniformemente
distribuída de 8,00 mA para dentro do papel, e seu eixo está a uma distância de 3,00 R de um fio paralelo
ao cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para
que o campo magnético no ponto P tenha mesmo módulo que o campo magnético no eixo do cano e o
sentido oposto. R. (a) 3,0 x 10⁻³ A
Cano
Fio
37
7.13 O Campo Magnético de uma Bobina Solenóide
Um solenóide é um fio muito longo enrolado na
forma de hélice.
Se as espiras estão muito próximas, esta
configuração pode produzir um campo magnético
razoavelmente uniforme em todo seu volume.
Cada espira pode ser modelada como uma espira
circular.
O campo magnético resultante é a soma vetorial
dos campos produzidos pelas espiras.
38
(a) Linhas campo magnético para um
solenóide de comprimento finito com espiras
muito próximas conduzindo uma corrente
constate. O campo no interior do solenóide é
intenso e e quase uniforme.
dos campos produzidos pelas espiras.
(a) (b)
(b) O padrão de
linhas campo magnético para uma barra
imantada.
As figuras (a) e (b) apresentam pólos N e S.
Cálculo do Campo Magnético de um Solenóide
O cálculo do campo magnético pode ser obtido pela
aplicação da Lei de Ampère.
Se o comprimento de solenóide é muito maior que
o diâmetro de cada espira:
1) O campo é muito fraco no seu exterior;
2) O campo é praticamente uniforme no seu interior.
IldB µ=⋅∫
rr
Aplicando a Lei de Ampère.
l
w
B
1
2
3
4
int0IldB
C
µ=⋅∫
r
int04 43 32 21 1
IldBldBldBldB µ=⋅+⋅+⋅+⋅ ∫∫∫∫
rrrrrrrr
int00
)ˆ()ˆ( IjdyjB
y
µ=⋅∫
l
int00
IdyB µ=∫
l
l/)(
int0
IB µ=
0
⇒
⇒
int00
IdyB µ=∫
l
⇒
Note que ; e sobre o percurso 3. Bld
rr
⊥
4
Bld
rr
⊥
2 0=B
r
Como Iint = NI
I
N
B
l
0
µ=
nIB
0
µ=
onde n = N/l
39
O sentido de B é o mesmo do vetor momento magnético que constitui µµµµ. de cada
espira que constitui o solenóide.
A figura mostra o módulo do campo magnético ao longo do eixo de um solenóide
de comprimento 4a , onde a é o seu raio.
O módulo em cada extremidade de um solenóide é aproximadamente metade do
módulo em seu centro.
40
7.14 O Campo Magnético de uma Bobina Toróide 
O campo magnético da bobina toroidal é dado por:



<<≠
><=
crbse
croubrse
B
0
0r
Aplicando a Lei de Ampère para b < r < c.
int0IldB
C
µ=⋅∫
rr
INdlB µ=∫ onde I = NIINdlB
C
0
µ=∫ onde Iint = NI
INrB
0
)2( µπ =
r
IN
B
π
µ
2
0=
Ou na forma vetorial
θ
π
µ ˆ
2
0
r
IN
B =
r
41
Exercício 7: Aplicação da Lei de Ampère
Quatro fios longos transportam um corrente no mesmo plano, se cruzam para
formar um quadrado com 40,0 cm cada lado representado na figura abaixo.
Determine o módulo, direção e sentido da corrente I, de modo que o campo
magnético no centro do quadrado seja nulo.
Resolução: Definindo o referencial de acordo com
a figura, o eixo z está saindo do plano do papel.
Sejam as correntes I1 = 10,0 A (para cima); I2 = 8,0 A
e I3 = 20,0 A (para direita), vamos definir a corrente
I para cima. Usando a regra da mão direita, as
orientações dos campos magnéticos gerados pelas
x
y
z
Referencial k
r
I
k
r
I
k
r
I
k
r
I
B ˆ
2
ˆ
2
)ˆ(
2
)ˆ(
2
0302010
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
++−+−=
r
( )kIIII
r
ˆ
2
321
0 ++−−=
π
µ
Igualando o zero
0
321
=++−− IIII ⇒
321
IIII −+= 0,200,80,10 −+=
AI 00,2−=
orientações dos campos magnéticos gerados pelas
corrente s I1, I2 , I3 e I são , , e⊗1B
r
⊗
2
B
r
3
B
r
B
r
A soma vetorial dos campos é
Como I tem sinal (–) a corrente real tem sentido
oposto em relação ao que foi definido. Logo, a corrente I tem módulo 2 A, direção
vertical e sentido para baixo. 42
7.14 Força Magnética entre Condutores Paralelos
Dois fio paralelos, cada um conduzindo uma
corrente constante, exercem forças entre si. O
intensidade do campo magnético é
devido a corrente I2 no fio 2 exerce uma força
sobre o fio 1 dada por:
a
I
B
π
µ
2
20
2 =
F1 = I1LB2 .
Reescrevendo a equação em termos da força por unidade de comprimento
a
II
L
F
2101
2π
µ
=
a
IIL
a
I
LILBIF
π
µ
π
µ
22
21020
1211 =





== ⇒ a
IIL
F
π
µ
2
210
1 =
43
A força é atrativa se as correntes são paralelas
(mostrada na figura) e repulsivas se são
antiparalelas. Substituindo B2 na expressão acima
Exercícios Propostos
7-33. Um solenóide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo do campo 
magnético no interior do solenóide. R. 3,00 x 10⁻⁴ T
7-34. Um solenóide com 1,30 m de comprimento e 2,60 cm de diâmetro conduz uma corrente de 18,0 A. O campo magnético no seu interior é 23 
mT. Determine o comprimento do fio de que é feito o solenóide. R. 108 m 
7-35. Um toróide de seção reta quadrada, com 5,00 cm de lado e um raio interno de 15 cm, tem 500 espiras e conduz uma corrente 0,800 A. (Ele é 
a partir de um solenóide quadrado). Determine o campo magnético no interior do toróide (a) a uma distância do centro do anel igual ao raio 
interno; (b) a uma distância do centro do anel igual ao raio externo. R. 5,33 x 10⁻⁴ T ; (b) 4,00 x 10⁻⁴ T
7-36. Um solenóide com 95 cm de comprimento tem raio igual 2,00 cm e uma bobina com 1200 espiras; a corrente é 3,60 A. calcule o módulo do 
campo magnético no interior do soleinóide.R. 5,71 x 10⁻³ T
7-37. Um solenóide longo com 10 espiras/cm e um raio de 7,00 cm conduz uma corrente de 20,0 mA. Um condutor retilíneo situado no eixo 
⁻⁵
central conduz uma corrente de 6,00 A. (a) A que distância do eixo central do solenóide a direção do campo magnético resulta faz um ângulo de 
45º com a direção do eixo? (b) Qual é módulo do campo magnético a essa distância? R. (a) 4,77 cm ; (b) 3,55 x 10⁻⁵ T
7-38. Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenóide. Ao penetrar no campo magnética uniforme que existe no interior do 
solenóide a velocidade é 800 m/s e o vetor campo magnético faz um ângulo de 30º com o eixo central do solenóide. O solenóide tem 8000 espiras 
e conduz uma corrente de 4,0 A. Quanta revoluções o elétron descreve antes de chegar a outra extremidade? (Em um solenóide real, no qual o 
campo não é uniforme perto das extremidades, o número de revoluções é ligeiramente do que o calculado neste problema.) R. (a) 1,6 x 10⁶
revoluções
7-39. Um fio que transporta uma corrente de 28,0 A é dobrado até formar um ângulo reto. Considere dois 
segmento de 2,00 mm de fio, cada qual a 3,0 cm da dobra (figura). Determine o módulo, a direção e o 
sentido do campo magnético que esses segmento produzem no ponto P equidistante de ambos. 
R. 1,76 x 10⁻⁵ T para dentro do plano do papel
44
Exercícios Propostos
7-40. A distância entre dois fios paralelos é igual a 0,400 m (figura). As correntes I1 e I2 possuem os
sentidos indicados. (a) Calcule o módulo da força total que cada fio exerce sobre 1,20 m de
comprimento do outro. A força é de atração ou repulsão? (b) As corrente dobram, de modo que I1 =
10,0 A e I2 = 4,0 A. Qual é agora o módulo da força total que cada fio exerce sobre 1,20 m de
comprimento do outro? R. (a) 6,0 x 10⁻⁶ N (Repulsão) ; (b) 2,4 x 10⁻⁵ N
7-41. A distância entre dois fios longos paralelos é de 2,50 cm. A força por unidade de comprimento que um fio exerce no outro a 4,0 x 10⁻⁵ N/m
e os fios se repelem mutuamente. A corrente em um dos fios é 0,600 A. (a) Qual é a corrente no segundo fio? (b) As correntes possuem mesmos
sentidos ou sentidos contrários? R. 8,33 A ; (b) Os dois fios se repelem visto que as correntes são em sentidos opostos
7-42. Cabos para uma lâmpada. Os fios compõe um cabo elétrico de uma lâmpada doméstica geralmente ficam a uma distância de 3,00 mm de
um centro do outro; e transportar correntes iguais em sentidos contrários. Se o cabo transporta uma corrente para uma lâmpada de 100 W,
conectada através da diferença de potencial de 120 V, qual a força por metro que cada fio exerce no outro? A força é de atração ou repulsão? Essa
força é grande o suficiente para que deva ser considerada no projeto de cabos de uma lâmpada? (Modele a lâmpada como um fio muito longo
retilíneo). R. 4,6 x 10⁻⁵ N/m porém desprezível.⁻⁵
43. Um fio longo AB encontra-se apoiado sobre uma mesa e conduz uma corrente I. Um fio horizontal
longo CD está verticalmente sobre o fio AB e pode deslizar para cima e para baixo ao longo duas guias
metálicas C e D (figura). O fio CD está conectado por meio de contatos deslizantes a outro fio que
também conduz uma corrente I, porém no sentido contrário à corrente do fio AB. A massa por unidade
de comprimento do fio CD é igual l. Na posição de equilíbrio, qual é a altura máxima h do fio CD,
supondo que a força magnética sobre o fio CD seja inteiramente produzida pelo fio AB? R. µ0I²/(2πλg)
7-44. Três fios paralelos conduzem correntes de módulo igual I, com sentidos indicados na figura. Sabendo que a distância entre dois fios 
adjacentes é igual a d, calcule o módulo, a direção e o sentido da força magnética resultante por unidade de comprimento sobre cada fio. R. 
µ0I²/(4πd)
45
P’
P
f
B
r
ld
r
θ
r̂
r̂
A partir das investigações do início do século
XIX sobre a força entre um condutor com
corrente e um ímã, Jean Batiste Biot e Félix
Savart observaram experimentalmente que:
é proporcional ao deslocamento .Bd
r
ld
r
é inversamente proporcional à .Bd
r
2r
é proporcional à corrente .Bd
r
I
7.15 A Lei de Biot-Savart
P’
d
B
r
Matematicamente:
2
0
4 r
rlId
Bd
)rr ×
=
π
µ
AmT /10
4
70 ⋅= −
π
µ
AmT /104 7
0
⋅×= −πµ
46
é proporcional à corrente .Bd I
é proporcional ao .Bd
r
)ˆ;sen( rld
r
O campo magnético em um ponto P
devido uma corrente I através de um
comprimento infinitesimal é dado pela
lei de Biot-Savart.
Bd
r
ld
r
é a distância entre e P (ou P’ ).
é o campo para dentro em P’.
é o campo para fora em P.
f
Bd
r
d
Bd
r
r ld
r
θθθθ
Campo Magnético sobre o eixo de uma Espira Circular
θθ
)r
Rdld =
z
y
R
Bd
r
Aplicando a lei de Biot-Savart
2
0
4 r
rldI
Bd
)rr ×
=
π
µ
rdR
r
I )
×= θθ
π
µ ˆ
4 2
0
z
r
r
r
r
=ˆ
r 
I
r ̂
r
kzjRiR ˆˆcosˆsen +−−
=
θθ
ji ˆcosˆsenˆ θθθ +−=
)0,sen,cos(),0,0( θθ RRzr −=
r
kzjRiRr ˆˆsenˆcos +−−= θθ
r
Determinando o vetor r
x
r
αααα
z
r
r
r
kzjRiR
jidR
r
I
Bd
)ˆˆsenˆcos(
)ˆcosˆsen(
4 2
0
+−−
×+−=
θθ
θθθ
π
µr
zRR
kji
Rd
r
I
Bd
θθ
θθθ
π
µ
sencos
0cossen
ˆˆˆ
4 3
0
−−
−=
r
( )kRjzsenizRd
r
I ˆˆˆcos
4 3
0 ++= θθθ
π
µ





 ++= ∫∫∫ kdRjdidzR
r
I
B ˆˆsenˆcos
4
2
0
2
0
2
0
3
0
πππ
θθθθθ
π
µr
k
r
IR
B ˆ
2 3
2
0
µ
=
r
⇒
( )
k
zR
IR
B ˆ
2
2/322
2
0
+
=
µr
47
Integrando:
Bz
Bmáx =
½ Bmáx
µµµµ0I
2R
O Campo magnético sobre o eixo de espira
circular é orientado ao longo do eixo tendo
valor máximo no centro
As linhas de Campo magnético de
espira circular é mostrado na figura
abaixo.
48
–3R –2R –R 0 R 2R 3R
Gráfico do campo magnético ao longo do
eixo de uma bobina com N espiras
circulares. Quando z >> R, o módulo do
campo magnético se reduz para
z
k
z
IR
B ˆ
2 3
2
0
µ
=
r
Toda fonte que produz um campo
magnético, sempre apresenta as linhas
de campo fechadas, o que sugere as
duas cargas magnética (N e S) estão
presentes.
Exercícios Propostos
Lei de Biot-Savart
7-45. No modelo do átomo de hidrogênio de Niels Bohr de 1913, um elétron circula o próton a uma distância de 5,20 x 10⁻¹¹ m com
uma velocidade de 2,19 x 10⁶ m/s. Calcule o campo magnético que esse movimento produz na posição do próton. R. 12,5 T
7-46. Um condutor consiste em uma espira circular de raio R e duas
seções retas e longas, como mostrado na figura. O fio encontra-se
no plano do papel e conduz uma corrente I. Encontre a expressão
para o campo magnético no centro da espira. R. (1 + 1/π) .(µ0I)/2R
(orientado para dentro do papel)
7-47. Determine o campo magnético em um ponto P localizado a uma distância x do canto
de um fio infinitamente longo dobrado em um ângulo reto, como mostra na figura. O fio
conduz uma corrente constante I. .(µ0I)/4πx (orientado para dentro do papel)
49
7-48. Considere uma espira de corrente plana, circular, de raio R, conduzindo uma corrente I. Escolha o eixo x como estando ao
longo do eixo da espira. Faça um gráfico da razão da magnitude do campo magnético na coordenada x pela magnitude do campo
na origem, de x = 0 até x = 5R. Pode ser útil usar uma calculadora programável ou um computador para resolver este problema.
(µ0I)/2R