matematica_financeira_e_estatistica_unidade1

Prévia do material em texto

1ª Edição |Dezembro| 2013
Impressão em São Paulo/SP
Matemática financeira 
e estatística
Claudia Cristina Soares de Carvalho
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
Matemática financeira 
e estatística
Coordenação Geral 
Nelson Boni
Professor Responsável
Claudia Cristina Soares 
de Carvalho
Coordenação de Projetos
Leandro Lousada
Revisão Ortográfica
Célia Ferreira Pinto
Projeto Gráfico, Dia-
gramação e Capa
Ana Flávia Marcheti
1º Edição: Dezembro de 2013
Impressão em São Paulo/SP
Sumário
Unidade 1
1.1 Conceitos fundamentais da matemática financeira
1.2 O cálculo dos juros e do valor presente no sistema simples
1.3 O montante no sistema simples
1.4 Taxas de juros proporcionais
1.5 Desconto racional e comercial no sistema simples
1.6 O valor presente, valor futuro e os juros no sistema composto
1.7 Taxas no sistema compoto
1.8 Desconto racional e comercial no sistema composto
Exercícios propostos
Gabarito
Referências Bibliográficas
9
52
53
Apresentação
Prezado estudante,
Certamente, você já deve ter ouvido falar que 
a Matemática é uma ciência muito importante e que 
usamos Matemática para tudo em nossas vidas. Afir-
mações como estas são constantemente proferidas 
por professores e pais, na intenção de motivar seus 
alunos e filhos para o estudo. O discurso, geralmen-
te, gira em torno da seguinte ideia: “estude Matemá-
tica agora, pois no futuro você precisará dela”.
Mesmo com todo esforço de professores e pais, 
para alguns estudantes, estas afirmações são comple-
tamente artificiais, uma vez que as aplicações da Mate-
mática no dia a dia do cidadão comum restringem-se 
ao uso de operações aritméticas simples, muito bem 
compreendidas e solidificadas desde a conclusão do 
ensino fundamental. Isto quer dizer que a Matemática 
não é tão importante assim? Eu discordaria totalmen-
te de qualquer afirmação neste sentido. 
A Matemática tem aplicações em quase todas 
as áreas do conhecimento humano, tais como en-
genharia, física, química, biologia, psicologia, me-
dicina, publicidade, entre outras. A Matemática vai 
além de uma porção de números e equações. Ela é a 
ciência dos padrões, e auxilia o ser humano no pla-
nejamento, na previsão de fenômenos e na tomada 
de decisões. Se você estudar qualquer assunto pro-
fundamente, você encontrará uma grande quantida-
de de boa Matemática.
Neste contexto, caro estudante, este curso pre-
tende engajá-lo na aplicação dos conhecimentos 
matemáticos em duas grandes áreas: a financeira e a 
estatística. Você terá a oportunidade de utilizar seus 
conhecimentos matemáticos para compreender os 
conceitos de juros simples e compostos, investimen-
tos e amortizações. Além disso, você verá como a 
Matemática é utilizada como base para a compreen-
são de conceitos estatísticos, tais como as medidas 
de posição, dispersão e correlação.
Neste material, você encontrará explicações 
contextualizadas, problemas discutidos e resolvidos, 
e algumas questões para colocar em prática tudo 
aquilo que foi apreendido. Não tenho dúvidas de 
que você apreciará ainda mais a Matemática depois 
desta experiência.
Unidade 1
Matemática financeira: Ju-
ros simples e compostos
Caro (a) Aluno (a)
Seja bem-vindo (a)!
Nesta primeira unidade, você terá a oportunidade de 
conhecer e compreender os conceitos fundamentais 
da Matemática Financeira, percebendo a utilidade 
desta grande área para o mundo do trabalho.
Bons estudos!
1.1. Conceitos fundamentais da 
matemática financeira
A Matemática Financeira é uma área do co-
nhecimento que visa compreender o valor do 
dinheiro no tempo, de modo a maximizar lucros 
e minimizar prejuízos.
O conceito de juro é fundamental nesta 
área. É por meio dos juros que o dinheiro valo-
riza num determinado período. Os juros estão 
presentes em diversas situações do nosso coti-
diano. Vejamos duas delas a título de exemplo.
Imagine que uma loja esteja vendendo uma 
bicicleta nas seguintes condições:
10
15 parcelas de R$ 13,00
ou
R$ 150,00 à vista
Imaginou? Agora, observe que o preço final da 
bicicleta no parcelamento é maior do que o preço 
à vista. No parcelado, pagaremos R$ 195,00 pela 
bicicleta. Uma diferença de R$ 45,00 sobre o valor 
original. Esta diferença corresponde a 30% do valor 
à vista.
O preço à vista é diferente do preço a prazo, por-
que estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da 
dívida. Neste caso, o juro é uma compensação que a 
loja recebe por entregar ao comprador um produto 
pelo qual ele ainda não pagou.
Outra situação envolvendo a ideia de juro pode 
ser encontrada no ambiente bancário. Imagine que 
uma pessoa investiu R$ 3.000,00 na poupança e que 
após dois meses esse investimento valorizou de modo 
que ela passou a ter R$ 3.060,00 em sua conta. Imagi-
nou? Nesta situação, podemos dizer que os juros do 
investimento foram de R$ 60,00, o que corresponde 
a 2% do valor investido. Aqui, o juro é uma compen-
sação que o cliente recebe por deixar seu dinheiro em 
poder do banco por determinado tempo.
Em situações envolvendo empréstimos, dívi-
das e investimentos, utilizamos demasiadamente as 
11
ideias de juros, taxa de juros, valor presente e valor 
futuro. Veja a seguir a definição de cada uma:
Valor Presente – É o valor de referência utilizado 
para calcular lucros ou prejuízos. É o valor de um 
bem na data da compra ou o valor de um capital na 
data do investimento ou do empréstimo. Algumas 
pessoas referem-se ao Valor Presente como Princi-
pal ou Valor Atual. Na situação da bicicleta, o valor 
presente correspondia ao valor à vista. Na situação 
do investimento bancário, correspondia ao valor 
aplicado inicialmente na poupança.
Valor Futuro – É o valor de um bem ou de um ca-
pital após a incidência de juros. Corresponde à soma 
do Valor Presente com os Juros. Ele é também co-
nhecido como Montante ou Valor Nominal. No caso 
da bicicleta, o Valor Futuro correspondia ao valor fi-
nal a prazo. No caso do investimento, correspondia à 
quantia a receber após dois meses de aplicação.
Juros – É a compensação recebida por emprestar ou 
investir um capital, ou ainda, a compensação dada 
por tomar dinheiro emprestado ou parcelar uma 
dívida. No caso da bicicleta, correspondia aos R$ 
45,00 de aumento no sistema parcelado. No caso do 
investimento, correspondia aos R$ 60 de acréscimo 
ao capital após dois meses.
12
Taxa de Juros – É uma porção do Valor Presente. 
Ela determina o quanto uma quantia vai valorizar 
por período ao longo do tempo. As taxas de juros 
são apresentadas na sua forma percentual ou deci-
mal. Nos exemplos discutidos, as taxas totais de ju-
ros foram de 30% (2% ao mês no sistema simples), 
no caso da bicicleta, e de 2% (1% ao mês no sistema 
simples), no caso do investimento.
Há duas formas de acrescentar juros ao Valor 
Presente: a forma SIMPLES e a COMPOSTA. No 
sistema simples os juros são sempre calculados em 
relação ao Valor Presente no dia da compra ou na 
data do investimento, período a período. Assim, o 
valor dos juros é constante em cada período de tem-
po. No sistema composto, os juros são incorporados 
ao Valor Presente a cada período. São os famosos 
juros sobre juros.
1.2. O cálculo dos juros e do va-
lor presente no sistema simples
Como mencionado na seção anterior, no siste-
ma simples, os juros são SEMPRE calculados sobre 
o VALOR PRESENTE INICIAL. Isto quer dizer 
que a mesma quantia é adicionada ao seu valor de 
referência a cada período de tempo.
Vamos compreender a evolução do Valor Presen-
13
te no sistema simples discutindo a seguinte situação.
Suponha que Roberta tenha aplicado R$ 400,00 
num fundo de investimentos. Imagine que ela tenha 
decidido deixar seu dinheiro no banco por três me-
ses, rendendo juros simples de 2% a cada mês. Ima-
ginou? Nestas condições, qual será o montante que 
ela resgatará no final deste investimento?
Para compreender o que ocorre com o dinheiro 
no sistema de juros simples, observe a Tabela 1 com 
os valores do investimento mês a mês.
Tabela 1: Evolução dosjuros no sistema simples
Mês Valor no 
início de 
cada mês
Juros do 
mês
Valor no fi-
nal de cada 
mês
1.º 400 2% de 400 = 8 408
2.º 408 2% de 400 = 8 416
3.º 416 2% de 400 = 8 424
Note que o valor investido gerou juros de R$ 
8,00 a cada mês. Isto significa que em três meses ele 
gerou R$ 24,00 de juros. Nestas condições, após três 
meses, Roberta resgatará um montante de R$ 424,00.
No sistema simples, os juros formam uma proporção com o tem-
po de investimento, uma vez que os juros de um mês estão para 
R$ 8,00 assim como os juros de três meses estão para R$ 24,00.
14
Agora, vamos analisar a situação de Roberta 
por outro ponto de vista. Sabemos que ela receberá 
2% de R$ 400,00 a cada mês que seu dinheiro ficar 
investido. Sabemos também que isto equivale a R$ 
8,00 por mês. Mas, como chegamos a este valor?
Para calcularmos 2% de R$ 400,00 basta mul-
tiplicar 2% por R$ 400,00. Como 2% é equivalente 
a 0,02 (dois dividido por 100), basta multiplicarmos 
0,02 por R$ 400,00. Faça as contas em sua calcu-
ladora e veja que o resultado desta multiplicação é 
igual a 8.
2% de 400=2% ∙400=0,02∙400=8
Sabemos que Roberta deixou seu dinheiro 
investido por 3 meses. Logo, os juros totais rece-
bidos (J) vão corresponder a três vezes R$ 8,00, 
ou seja, R$ 24,00.
Se você observar com cuidado os cálculos que 
fizemos, você verá que, para determinarmos os juros 
de um período, multiplicamos o Valor Presente Ini-
cial pela taxa e, para determinarmos os juros totais, 
multiplicamos os juros de um período pela quantida-
de de períodos.
Voltando à situação, se chamarmos os juros de 
J, podemos dizer que fizemos:
15
J = 400 . 0,02 . 3} } }
Valor Presente taxa de 
juros na 
sua forma 
decimal
tempo
J = 24
De forma geral, podemos calcular os juros no 
sistema simples multiplicando-se o Valor Presente 
Inicial (VP), a taxa de juros na sua forma decimal (i) e 
o número de períodos (t) na mesma unidade da taxa.
J=VP∙i∙t
A letra i é usada para representar o valor da taxa de ju-
ros porque, em inglês, a palavra juros significa interest.
A Equação 1 é também utilizada para determi-
nar o Valor Presente Inicial, da taxa de juros e do 
tempo. Para isso, basta utilizarmos as regras de re-
solução de uma equação do primeiro grau. Vamos a 
um exemplo.
Suponha que você tenha aplicado uma quantia 
num fundo de investimentos que paga 8% de juros 
simples ao ano. Suponha ainda que, após 5 anos, esta 
quantia tenha gerado juros de R$ 1.200,00. Qual é o 
16
valor da quantia que você aplicou? 
Nesta situação, queremos determinar o Valor 
Presente (VP), capaz de gerar um juros (J) de R$ 
1.200,00 num período de 5 anos (t) se submetido 
à taxa de juros (i) de 8% ao ano. Substituindo estes 
valores na fórmula, temos:
J=VP∙i∙t
1.200=VP ∙0,08∙5
1.200=VP∙0,40
VP=3.000
VP = 1.200
0,40
De acordo com os cálculos, o valor investido 
(VP) foi de R$ 3.000,00.
Note que na fórmula utilizamos 8% na sua forma decimal, ou 
seja, dividimos 8 por 100, que equivale a 0,08. Faremos esta 
conversão em todas as equações que estudaremos neste curso.
1.3. O montante no sistema simples
17
Em muitas situações relacionadas ao cálcu-
lo dos juros no sistema simples é interessante sa-
ber determinar o Valor Futuro (Montante) sem 
que seja necessário calcular os juros em primeiro 
lugar. Para isso, considere que:
O Valor Futuro corresponde ao Valor Pre-
sente adicionado aos juros:
VF=VP+J
E os juros são obtidos fazendo-se:
J=VP∙i∙t
Se substituirmos a segunda expressão na pri-
meira, teremos:
VF=VP+J
VF=VP+(VP∙i∙t)
VF=VP∙(1+i∙t)
Perceba que a Equação 2 é uma relação entre o 
Valor Futuro (VF), o Valor Presente Inicial (VP), a 
taxa (i) e o tempo (t). Os juros (J) não fazem parte 
desta expressão.
Para notar a utilidade desta expressão, vamos 
imaginar que um você tenha investido R$ 3.000,00 
num fundo com taxa de 2% a.m. por 10 meses. Para 
18
determinar o Valor Futuro, não será mais necessá-
rio determinar os juros em primeiro lugar. Vamos 
utilizar diretamente a Equação 2, considerando que 
o Valor Presente equivale a R$ 3.000,00, a taxa de 
juros é de 2% ao mês e o tempo é de 10 meses.
 VF=VP∙(1+i∙t)
 VF=3.000∙(1+0,02∙10)
 VF=3.000∙(1+0,20)
 VF=3.000∙1,2
 VF=3.600
Logo, o valor a receber após 10 meses será de 
R$ 3.600,00.
A Equação 2 também pode ser usada para o 
cálculo do Valor Presente, da taxa e do tempo. Va-
mos a um exemplo.
Imagine que você tenha resgatado um inves-
timento e que na data do resgate você recebeu R$ 
1.800,00. Sabendo que o investimento durou 3 anos 
e foi submetido a uma taxa de juros simples de 4% 
ao ano, qual foi o valor investido?
Nesta situação, sabemos que o valor resgatado 
corresponde ao Valor Futuro (VF) de R$ 1.800,00, 
a taxa de juros (i) é de 4% ao ano e o tempo de in-
vestimento é de 3 anos. Substituindo estes valores na 
Equação 2, temos:
19
 VF=VP∙(1+i∙t)
 1.800=VP∙(1+0,04∙3)
 1.800=VP∙(1+0,12)
 1.800=VP∙1,12
 VP=1.607,14
Logo, o valor investido foi de R$ 1.607,14.
1.4. Taxas de juros proporcionais
Em muitas situações relacionadas ao cálculo 
dos juros no sistema simples trabalhamos com taxas 
de juros numa unidade de tempo diferente do nú-
mero de períodos do investimento. Podemos ajus-
tar este tipo de situação modificando a unidade de 
medida do tempo ou da taxa. A seguir, veremos um 
exemplo de cada caso.
Modificando a unidade de medida do tempo
Imagine que João tenha tomado emprestado R$ 
1.200,00 numa instituição financeira. Suponha que 
ele tenha concordado com uma taxa de juros simples 
de 2% ao mês e que o empréstimo tenha durado 
dois anos. Imaginou? Após dois anos, qual o valor 
VP = 1.800
1,12
20
que João deverá devolver?
Nesta situação, sabemos que o valor tomado 
emprestado corresponde ao Valor Presente. Logo, 
VP equivale a R$ 1.200,00. Sabemos, ainda, que a 
taxa de juros (i) é de 2% ao mês e que o tempo de 
empréstimo (t) é de 2 anos. Apesar de termos os 
valores necessários para determinarmos o Valor Fu-
turo (VF) a ser devolvido, temos que observar que 
a taxa de juros foi dada em meses e que o tempo 
do investimento foi dado em anos. Para ajustar esta 
situação, vamos modificar a unidade de medida do 
tempo fazendo 2 anos corresponder a 24 meses. 
Sendo assim: 
 VF=VP∙(1+i∙t)
 VF=1.200∙(1+0,02∙24)
 VF=1.200∙(1+0,48)
 VF=1.200∙1,48
 VF=1.776
Logo, no final do empréstimo, João deverá de-
volver R$ 1.776,00.
Modificando a taxa de juros: taxas proporcionais
Suponha que você tenha investido R$ 1.000,00 
à taxa simples de 6% ao ano, mas tenha mantido o 
investimento somente por três meses. Quais serão 
21
os juros gerados neste investimento?
Repare que a taxa acordada está em anos, mas 
o tempo do investimento foi dado em meses. Para 
manter a coerência nos cálculos, antes de aplicarmos 
a fórmula dos juros simples, descobriremos a taxa 
proporcional mensal relativa à taxa de 6% ao ano.
Para isso, basta lembrarmos que 1 ano corres-
ponde a 12 meses. Logo, dada uma taxa de juros 
anual, ao dividirmos a mesma por 12 estaremos de-
terminando a taxa de juros mensal.
 i=6÷12
 1=0,5
Assim, uma taxa de 6% ao ano corresponde a 
uma taxa de 0,5% ao mês.
Voltando ao problema, sabemos que o capital 
é de R$ 1.000,00, o tempo é de três meses e a taxa é 
de 0,5% ao mês (proporcional a 6% ao ano). Nestas 
condições, os juros serão:
 J=VP∙i∙t
 J=1.000∙0,005∙3
 J=15
Então, os juros gerados após três meses de in-
vestimento serão de R$ 15,00.
22
Agora, imagine que você tenha tomado empres-
tada certa quantia e que tenha concordado em pagar 
juros simples de 0,3% ao dia. Nestas condições, qual 
será a taxa mensal de juros deste empréstimo?
Nesta situação, devemos lembrar que nos pro-
blemas da matemática financeira costumamos consi-
derar 1 mês como 30 dias. Assim, se sua taxa é de 
0,3% ao dia e o mês tem 30 dias, basta multiplicarmos0,2 por 30 para determinarmos a taxa de juros mensal.
 i=0,3∙30
 i=9
Logo, a taxa de juros do empréstimo é de 
9% ao mês.
1.5. Desconto racional e co-
mercial no sisema simples
Quando estamos analisando nossas próprias 
finanças ou as finanças da empresa em que tra-
balhamos é muito comum nos depararmos com 
situações, em que temos que pagar uma dívida 
antes do vencimento ou até mesmo resgatar um 
investimento antes do prazo. Quando queremos 
fazer tais operações, temos que pensar na ideia 
de desconto.
23
No sistema de juros simples, as operações 
de desconto podem ser calculadas de duas for-
mas. Na primeira, conhecida como desconto 
racional, utilizamos o Valor Presente como re-
ferência para calcular o desconto. Na segunda, 
conhecida como desconto comercial, utilizamos 
o Valor Futuro como referência.
Desconto Racional (DR)
Suponha que você tenha investido R$ 
1.000,00 e que tenha combinado com o banco de 
resgatar este investimento após 12 meses. Supo-
nha ainda que a taxa de juros vigente na época 
do investimento seja de 5% a.m. Imaginou? Nes-
tas condições, após 12 meses, você receberá R$ 
1.600,00 do banco. Veja:
 VF=VP∙(1+i∙t)
 VF=1.000∙(1+0,05∙12)
 VF=1.000∙(1+0,6)
 VF=1.000∙1,6
 VF=1.600
Agora, imagine que após 8 meses você pre-
cise resgatar este investimento e que a taxa de 
juros, no momento do resgate, tenha se alterado 
para 6% a.m.. Quanto você deverá resgatar?
24
Nesta situação, devemos ter em mente que 
você quer resgatar o investimento 4 meses an-
tes do prazo final. Sendo assim, pensando racio-
nalmente, o dinheiro que você está para receber 
hoje (VP) deve ser aquele que te geraria um Va-
lor Futuro de R$ 1.600,00 caso você decidisse 
aplicá-lo em outra instituição por 4 meses a uma 
taxa de 6% a.m..
Figura 01: Desconto Racional
Para descobrir este valor, podemos utilizar a 
fórmula do Valor Futuro, considerando que o Valor 
Presente (VP) será o valor que receberemos com o 
desconto por termos antecipado o investimento por 
um período (n) de 4 meses. A taxa utilizada será a 
taxa vigente no momento do resgate do investimen-
to, no caso 6% a.m..
25
Sendo assim,
 1.600=VP∙(1+0,06∙4)
 1.600=VP∙1,24
 
 VP=1.290,32
Logo, se você resgatar seu investimento antes 
do prazo, você receberá uma quantia de R$ 1.290,32. 
Note que este é o Valor Presente que te geraria o 
mesmo Valor Futuro de R$ 1.600,00 caso você o in-
vestisse por 4 meses a uma taxa de 6% ao mês. 
E quanto foi descontado do seu investimento?
Bom, se você mantivesse o investimento até 
o fim, você receberia o equivalente a R$ 1.600,00. 
Entretanto, você recebeu somente R$ 1.290,32. A 
diferença entre estes dois valores representa o que 
lhe foi descontado. Neste caso,
 DR = 1.600 – 1.290,32
 DR = 309,68
O banco descontou R$ 309,68 de seu investimento.
De forma geral, podemos determinar o valor 
com desconto (VD), fazendo-se:
VP=
1,24
1.600
26
VF=VP∙(1+i∙n)
1+i∙n
VFVP =
Na Equação 3, VF é Valor Futuro contratado, 
ou seja, é o valor que você deveria receber caso man-
tivesse o investimento ou empréstimo até o fim. VP 
é o valor pago ou recebido na data do resgate, ou 
seja, é o Valor Futuro com desconto. A letra n repre-
senta o tempo de antecedência, ou seja, o tempo que 
faltaria para completar o investimento ou emprésti-
mo. A letra i representa a taxa de juros vigente no 
dia do resgate.
Conhecendo-se o valor com desconto (VP), 
pode-se facilmente determinar o Desconto Racional 
(DR) aplicado calculando-se a diferença entre o Va-
lor Futuro (VF) e o Valor Presente (VP).
DR=VF-VP
Se a taxa de juros (i) não sofresse alteração no momento do 
resgate do investimento, o valor a receber no dia resgate cor-
responderia ao Valor Futuro a ser recebido pelo prazo em que 
seu dinheiro ficou investido. Neste caso, o desconto corres-
ponderia aos juros que você deixou de ganhar.
27
Desconto Comercial (DC)
Outro raciocínio utilizado para determinar o 
Valor Presente de um investimento, empréstimo ou 
título de crédito, quando os mesmos são resgatados 
antes do prazo acordado, é aquele em que se calcula 
do DESCONTO COMERCIAL (DC). Para deter-
minar o desconto comercial, descontamos a taxa de 
juros vigente (i) sobre o Valor Futuro (VF) de seu 
investimento considerando o período de antecedên-
cia ao resgate (n). Usando expressões matemáticas, 
temos que o desconto comercial é calculado por:
DC=VF∙i∙n
Note que nas equações envolvendo as operações de desconto 
utilizou-se a letra n ao invés da letra t para representar o tempo. 
A letra n representa o tempo de antecipação do investimento 
ou da dívida.
Considere a mesma situação que trabalhamos 
quando discutimos o desconto racional. Suponha 
que você tenha investido R$ 1.000,00 por 12 meses 
a uma taxa de 5% a.m. Nestas condições, sabemos 
que no final do investimento você deverá receber 
um montante de R$ 1.600,00.
Se você decidisse resgatar seu investimento 4 
28
meses antes do prazo, com uma taxa de juros vi-
gente de 6% a.m., você receberia menos do que R$ 
1.600,00. Se fosse aplicado o DESCONTO CO-
MERCIAL (DC), o banco descontaria do seu mon-
tante a seguinte quantia,
 DC=VF∙i∙n
 DC=1.600∙0,06∙4
 DC=384
Você teria R$ 384,00 de desconto sobre o Valor 
Futuro. Ou seja, o valor a ser resgatado (VP) seria de:
 VP=1.600-384
 VP=1.216
Então, caso o desconto fosse comercial, você 
teria resgatado R$ 1.216,00 se antecipasse em 4 me-
ses o resgate de seu investimento.
Na situação envolvendo o Desconto Racional, primeiramente 
nós calculamos o valor a ser resgatado (VP) e depois determina-
mos o Desconto (DR). Na situação envolvendo o Desconto Co-
mercial, fizemos o contrário. Primeiramente, determinamos do 
desconto (DC) e depois calculamos o valor a ser resgatado (VP).
29
1.6. O valor presente, valor futu-
ro e os juros no sistema composto 
No sistema composto, os juros de cada perío-
do, quando não são pagos ao final dos mesmos, in-
corporam-se ao Valor Presente e, consequentemen-
te, passam a render juros. Na Matemática Financeira, 
este processo também é conhecido como capitaliza-
ção composta. No dia a dia, ele é conhecido como 
“juros sobre juros”.
Para que você compreenda o que ocorre com 
o dinheiro no sistema composto, imagine que uma 
pessoa tenha investido R$ 2.000,00 num fundo que 
paga 10% de juros compostos por mês. Imagine 
ainda que este investimento durasse quatro meses. 
Agora, observe a Tabela 2 que descreve o que ocorre 
com o dinheiro desta pessoa mês a mês.
Mês Valor no 
início de cada 
mês
Juros do mês Valor no 
final de cada 
mês
1.º 2.000 10% de 
2.000 = 200
2.200
2.º 2.200 10% de 
2.200 = 220
2.420
3.º 2.420 10% de 
2.420 = 242
2.662
Tabela 2: Evolução dos juros no sistema composto
30
4.º 2.662
10% de 
2.662 = 
266,20
2.928,20
Note que os juros de cada mês foram calcula-
dos sobre o valor que se formou no mês anterior. 
Desta forma, cada período gerou juros maiores que 
o período anterior.
Se observarmos a tabela com cuidado, veremos 
que o valor no final de cada mês corresponde a 110% 
do valor no início de cada mês (110% correspondem 
a 100% do capital mais 10% de juros sobre o capital).
Podemos obter 110% do Valor Futuro multipli-
cando o valor no início de cada mês por 1,1 (1,1 é 110% 
na sua forma decimal, ou seja, equivale a 110÷100). 
Desta forma, observe o que ocorre mês a mês.
110% de 2.000=1,1∙2000=2.200
110% de 2.200=1,1∙2200=2.420
110% de 2.420=1,1∙2420=2.662
110% de 2.660=1,1∙2662=2.928,20
Agora, se pegarmos os valores no início de 
cada mês e os substituirmos pelos produtos que os 
correspondem, veremos que este Valor Futuro pode 
ser obtido fazendo-se 2.000∙(1,1)^4, que é o mes-
mo que multiplicar o Valor Presente pela potência 
(1,1)4. Repare que a base desta potência corresponde 
31
a 100% mais 10% de juros (em sua forma decimal) 
e o expoente representa o tempo do investimento.
2928,20=1,1∙2662
1,1∙2662=1,1∙1,1∙2420
1,1∙1,1∙2420=1,1∙1,1∙1,1∙2200
1,1∙1,1∙1,1∙2200=1,1∙1,1∙1,1∙1,1∙2000De forma geral, o Valor Futuro no sistema com-
posto pode ser obtido por meio da seguinte relação,
VF=VP∙(1+i)t
Na Equação 6, VF é o valor a ser resgatado no 
final do investimento, VP é o Valor Presente Inicial 
ou principal, i é a taxa de juros por período e t é a 
quantidade de períodos (tempo).
No sistema composto, é muito importante saber lidar com po-
tências. Por isso, lembre-se que, por definição, dado um núme-
ro real a e número natural n, chama-se potência o produto de n 
fatores iguais ao número a. Veja:
an = a . a . a . a ... . a
n vezes
}
32
O número a é chamado de base da potência e o número n é 
chamado de expoente.
Se a for o número 3 e n for o número 4, por exemplo, a po-
tência será:
34=3∙3∙3∙3=81
É possível estender a ideia de potenciação para expoentes que 
não são números naturais. Desta forma, consideramos que
 , sendo m e n dois números naturais sem divi-
sores comuns além do 1.
Por exemplo, = = 3
a
m
n = √ am
n
2
2
9 √ 9
2
Vamos utilizar a Equação 4 para resolver qua-
tro tipos de problemas. Você verá que esta equação 
pode ser utilizada para determinar o Valor Futuro, 
os juros em todo período, o Valor Presente, a taxa 
e o tempo.
Primeiramente, suponha que uma pessoa tenha 
investido R$ 7.500,00 num fundo, cuja taxa de juros 
era de 2% ao mês. Suponha ainda que a capitalização 
fosse feita mês a mês por 18 meses. Ao final deste 
período, quanto esta pessoa resgatará? Quais foram 
os juros gerados pelo investimento?
Para resolver este problema, basta percebemos 
que R$ 7.500,00 corresponde ao Valor Presente Ini-
33
cial, a taxa de juros é de 2% ao mês (0,02) e o tempo 
corresponde a 18 meses. Podemos substituir estes 
valores na Equação 6. 
 VF=VP∙(1+i)t
 VF=7.500∙(1+0,02)18
 VF=7.500∙(1,02)18
 VF=7.500∙1,428246
 VF=10.711,85
Logo, ao final de 18 meses será resgatado o 
equivalente a R$ 10.711,85. Para determinarmos 
os juros do investimento, basta verificar a diferen-
ça entre o Valor Futuro e o Valor Presente. Neste 
problema, esta diferença corresponde ao valor de R$ 
3.211,85.
Você pode calcular o valor aproximado das potências utilizan-
do a tecla xy numa calculadora científica ou financeira.
Para determinar o valor aproximado de (1,02)18 basta digitar, 
nesta ordem, 1,02; xy; 18. 
Nos problemas deste curso, representaremos os resultados 
da potenciação de forma aproximada com seis casas decimais 
(quando houver).
34
Agora, pense que uma pessoa tenha resgatado 
R$ 6.678,00 após seis anos de investimento. Imagine 
que a taxa de juros deste investimento foi de 8% ao 
ano. Qual foi o valor investido?
Para resolver este problema, basta percebemos 
que R$ 6.678,00 corresponde ao Valor Futuro, a taxa 
de juros é de 8% ao ano, ou seja, 0,08 e o tempo cor-
responde a 6 anos. Podemos substituir estes valores 
na Equação 6. 
 VF=VP∙(1+i)t
 6.678=VP∙(1+0,08)6
 6.678=VP∙(1,08)6
 6.678=VP∙1,586874
 VP=4.208,27
Logo, o valor investido inicialmente foi de R$ 
4.208,27.
Se uma pessoa investiu R$ 1.600,00 e após 4 
meses de investimento resgatou R$ 1.664,97, qual 
foi a taxa de juros do investimento?
Para resolver este problema basta percebemos 
que R$ 1.600,00 corresponde ao Valor Presente ini-
cial, R$ 1.664,97 corresponde ao Valor Futuro, e o 
tempo de investimento corresponde a 4 meses. Po-
VP = 6.678
1,586874
35
demos substituir estes valores na Equação 6. 
 VF=VP∙(1+i)t
 1.664,97=1.600∙(1+i)4
 1,0406=(1+i)4
 1,01=1+i
 i=1,01-1
 i=0,01
Logo, a taxa de juros do investimento foi de 
0,01 que equivale a 1% ao mês.
Quando as equações envolvem potências, devemos lembrar que 
a operação inversa da potenciação é a radiciação. Desta forma, se 
queremos saber qual número que elevado a quarta potência resulta 
em 16, devemos calcular a raiz quarta deste número.
O mesmo vale para qualquer outra potência. Por exemplo, se qui-
sermos saber qual é o número que elevado ao cubo resulta em 27, 
devemos determinar a raiz cúbica deste número.
1.664,97 (1+i)4=1.600
√ 1,0406=1+i
4
x4 =16
x = 2
x = 16
4
√
36
Quando o expoente da potência é um número par, devemos ter 
em mente que os resultados obtidos com a operação inversa po-
dem ser positivos ou negativos. Neste curso, utilizaremos apenas 
as respostas positivas.
O valor de qualquer raiz também pode ser obtido com o auxílio de 
uma calculadora científica ou financeira.
No último problema, imagine que uma pessoa 
tenha investido R$ 500,00 num fundo que paga juros 
compostos de 6% ao final de cada ano. Após quan-
tos anos esta pessoa terá R$ 751,82?
Para resolver este problema, basta percebemos 
que R$ 500,00 corresponde ao Valor Presente inicial, 
R$ 751,82 corresponde ao Valor Futuro, e a taxa de 
juros é de 6% ao ano (0,06). Podemos substituir es-
tes valores na Equação 6. 
 VF=VP∙(1+i)t
 751,82=500∙(1+0,06)t
 1,5036=(1,06)t
 log1,5036=log(1,06)t 
 log1,5036=t∙log1,06
 0,177132=t∙0,025306
751,82 =(1,06)t
500
0,025306
0,177132t =
t = 7
37
Logo, o investimento durou 7 anos.
Algumas equações que envolvem potências possuem a 
incógnita no expoente. Estas equações são chamadas de equa-
ções exponenciais.
Para resolvermos este tipo de equação precisamos lem-
brar-nos do que é um logaritmo.
O logaritmo de um número natural a é o expoente x ao 
qual devemos elevar uma potência de base 10 para obtermos 
o número a. Veja:
loga=x se 10x = a
É fácil calcular mentalmente muitos logaritmos como, 
por exemplo, log 100 e log 10000.
O logaritmo de 100 é 2, pois 102 = 100.
O logaritmo de 10000 é 5, pois 105 = 10000.
Em outros casos, precisamos utilizar a tecla log que exis-
te nas calculadoras científicas e financeiras.
O logaritmo de 50 é aproximadamente 1,70, pois 101,70 =50.
Para resolvermos uma equação exponencial, é importan-
te que saibamos algumas propriedades dos logaritmos, como, 
por exemplo, aquela que aplicamos para resolver o problema 
anterior: logay = y∙loga.
38
1.7. Taxas no sistema composto
No sistema composto, as taxas também podem 
estar declaradas numa unidade de medida diferen-
te daquela utilizada no tempo de investimento. Po-
demos ter uma taxa ao mês para um investimento 
que durou anos, ou ainda, uma taxa anual para um 
investimento que durou meses ou dias. Em situa-
ções como estas, devemos prestar atenção em como 
ocorre a capitalização.
Quando a capitalização ocorre conforme a 
unidade de medida da taxa
Suponha que você tenha investido R$ 3.500,00 
num fundo de investimentos que paga 5% de juros 
compostos ao ano, com capitalização anual. Ima-
gine que seu investimento tenha durado 54 meses. 
Quanto você deverá resgatar após este período?
Antes de iniciarmos os cálculos, devemos sa-
ber que se a capitalização é anual, então os juros são 
incorporados ao valor presente somente ao final de 
um ano. Por isso, devemos converter 54 meses em 
4,5 anos. Desta forma,
 VF=3.500∙(1,05)4,5
 VF=3.500∙1,245523
 VF=4.359,33
39
Você resgatará R$ 4.359,33 após 54 meses de 
investimento.
Quando a capitalização não ocorre de acordo 
com a unidade de medida da taxa
Nas operações de investimento ou de emprés-
timo que ocorrem no dia a dia é muito comum as 
instituições financeiras apresentarem ao cliente uma 
taxa de juros anual. Por exemplo, é comum ouvir-
mos que o financiamento de um imóvel será feito a 
uma taxa de 6% ao ano ou que um fundo de inves-
timentos renderá juros de 12% ao ano. Entretanto, 
apesar da taxa de juros ser declarada em períodos 
anuais, a capitalização geralmente ocorre mês a mês. 
Em outras palavras, apesar da taxa acordada ser anu-
al, todo mês são acrescentados juros ao seu capital.
Em situações como estas, as instituições finan-
ceiras consideram que uma taxa declarada de 6% ao 
ano capitaliza 0,5% ao mês e uma taxa declarada de 
12% ao ano capitaliza 1% ao mês. De forma geral, 
a taxa de juros anual declarada é proporcional a taxa 
de juros mensal utilizada na capitalização.
Esta diferença no modo de tratarmosas taxas 
de juros gera uma discrepância nos montantes obti-
dos, quando a taxa é anual e a capitalização também 
é anual e quando a taxa é anual e a capitalização é 
mensal. Se fizermos os cálculos, veremos que, na 
40
verdade, a taxa anual declarada é diferente da taxa 
anual que efetivamente vigorou no investimento 
com capitalização mensal.
As taxas anuais declaradas pelas instituições fi-
nanceiras são chamadas de taxas nominais. As taxas 
que realmente vigoram, neste período, são chamadas 
de taxas efetivas. Vamos ver a diferença entre elas e 
como é possível obter uma a partir da outra.
Suponha que você queira aplicar R$ 1.500,00 
num fundo de investimentos que paga 12% de ju-
ros compostos ao ano. Se a capitalização ocorrer so-
mente ao final de cada ano, em dois anos você terá 
R$ 1.881,60. Veja:
 VF=1.500∙(1+0,12)2
 VF=1.500∙(1,12)2
 VF=1.500∙1,2544
 VF=1.881,60
Se na mesma situação a taxa de juros fosse de 
12% ao ano, mas a capitalização ocorresse mensal-
mente, ao final de dois anos você teria R$ 1.904,60. 
Isto porque, neste novo caso, devemos considerar 
que 12% ao ano são proporcionais à taxa nominal de 
1% ao mês. Considerando dois anos como 24 meses, 
teremos que,
 VF=1.500∙(1+0,01)24
41
 VF=1.500∙(1,01)24
 VF=1.500∙1,269735
 VF=1.904,60
Se invertêssemos a situação e tentássemos des-
cobrir qual é a taxa de juros anual que devemos apli-
car a R$ 1.500,00 a fim de obtermos R$ 1.904,60 
em dois anos, veríamos que esta taxa deveria ser de 
12,68% ao ano. Observe:
 VF=VP∙(1+i)t
 1.904,60=1.500∙(1+i)2
 1,269733=(1+i)2
 1,126824=1+i
 i=1,126824-1
 i=0,126824
Nesta situação, dizemos que a taxa nominal da 
operação foi de 12% ao ano, mas que a taxa efetiva 
foi de 12,68% ao ano.
Note que, na prática, no sistema de juros com-
postos, 1% ao mês não corresponde a 12% ao ano, 
0,5% ao mês não corresponde a 6% ao ano e assim 
por diante.
1.904,60
1.500
= (1+i)2
√1,269733 = 1+i
42
É possível determinar a taxa efetiva anual a par-
tir da taxa mensal nominal. Para isso, utilizamos a 
seguinte relação:
ie = (1 + in )
12-1
Na Equação 7, i_e é a taxa efetiva anual que 
vigorou na operação e i_n é a taxa nominal mensal 
(que é proporcional à taxa nominal anual).
Vamos usar a Equação 7 para determinar qual 
é a taxa efetiva de uma operação cuja taxa nominal é 
de 18% ao ano. Para isto, devemos lembrar que 18% 
ao ano é proporcional a 1,5% ao mês. Desta forma,
 ie=(1+in )
12-1
 ie=(1+0,015)
12-1
 ie=(1,015)
12-1
 ie=1,195618-1
 ie=0,195618
 
Logo, a taxa efetiva é de 19,56% ao ano. Em 
outras palavras, se você receber 1,5% de juros com-
postos por mês, em um ano você terá recebido 
19,56% de juros.
Para finalizar, imagine que uma pessoa tenha 
aplicado R$ 40.000,00 na poupança. Sabendo que a 
taxa de juros era de 6% ao ano, com capitalização 
mensal, qual será o valor do investimento após três 
43
anos? Qual é a taxa efetiva da operação?
Nesta situação, devemos considerar que uma 
taxa de 6% ao ano é proporcional a uma taxa de 
0,5% ao mês e que três anos correspondem a 36 me-
ses. Desta forma, teremos que:
 VF=40.000∙(1+0,005)36
 VF=40.000∙(1,005)36
 VF=40.000∙1,196681
 VF=47.867,24
Logo, após três anos esta pessoa terá R$ 
47.867,24.
A taxa efetiva que vigorou durante o investi-
mento pode ser calculada com a Equação 7.
 ie=(1+0,005)
12-1
 ie=(1,005)
12-1
 ie=1,061678-1
 ie=0,061678
A taxa efetiva foi de 6,17% ao ano.
1.8. Desconto racional e comer-
cial no sistema composto
44
As ideias de desconto racional e desconto co-
mercial também estão presentes no sistema compos-
to e suas definições seguem os mesmos princípios 
daquelas utilizadas no sistema simples.
Desconto Racional (DR)
O desconto racional (DR) deve ser calculado de 
forma que o valor a ser resgatado na data atual (VP) 
seja aquele que, se submetido à taxa de juros vigente 
(i) pelo tempo que ainda falta para completar a ope-
ração (n), geraria o Valor Futuro contratado (M).
Desta forma, podemos escrever que,
 VF=VP∙(1+i)n
Conhecendo-se o valor a ser resgatado (VP), 
pode-se facilmente determinar o desconto racional 
(DR) calculando-se a diferença entre o montante 
(VF) e o valor resgatado (VP).
 DR = VF-VP
Para compreendermos melhor como se calcu-
VF
(1+i)n
45
la o desconto racional no sistema composto, vamos 
analisar duas situações.
Primeiramente, imagine que você tenha apli-
cado R$ 5.000,00 num fundo de investimentos que 
pagava juros de 6% ao ano caso aplicação durasse 5 
anos. Nestas condições, após 5 anos você resgataria 
deste fundo o equivalente a R$ 6. 691,13. Veja:
 VF=5.000∙(1+0,06)5
 VF=5.000∙(1,06)5
 VF=5.000∙1,338226
 VF=6.691,13
Entretanto, suponha que você decidiu resgatar 
este investimento dois anos antes do prazo combi-
nado e que a taxa de juros vigente no momento do 
resgate tenha sido de 8% ao ano. Nesta situação, 
você resgataria do banco R$ 5.736,57 se o banco 
aplicasse um desconto racional de R$ 954,56. Veja:
6.691,13
VP = (1+0,08)2
6.691,13
VP = (1,08)2
6.691,13
VP = 1.1664
46
 DR = 6.691,13-5.736,57
 DR = 954,56
Agora, imagine que uma pessoa deseje pagar uma 
dívida de R$ 12.000,00 com três meses de antecedên-
cia. Suponha que a taxa de juros no momento do paga-
mento da dívida seja de 0,5% ao mês. Qual será o valor 
pago? Qual será o desconto racional aplicado?
Neste problema, o valor da dívida na data de 
vencimento contratada corresponde ao Valor Futu-
ro (VF), a taxa de juros vigente (i) é de 0,5% ao mês 
e o tempo de antecedência (n) é de três meses. Nes-
tas condições, temos que:
 VP = 11.821,79
 DR = 12.000-11.821,79
 DR = 178,21
Logo, a dívida sofrerá um desconto de R$ 178,21 
e esta pessoa pagará o equivalente a R$ 11.821,79.
12.000
VP = (1+0,005)3
12.000
VP = (1,005)3
12.000
VP = 1,015075
47
Desconto Comercial (DC)
O desconto comercial (DC) é uma operação 
pouco utilizada no dia a dia do mercado financeiro. 
Esta discussão, geralmente, aparece nos livros desta 
área para fins teóricos, como modelos de descontos 
que poderiam ser aplicados nos investimentos ou 
empréstimos interrompidos antes do prazo.
O desconto comercial (DC) é calculado de for-
ma que a taxa de juros vigente no momento do res-
gate da operação (i) seja descontada do Valor Futu-
ro contratado (VF) período a período até a data do 
resgate (n).
Valor investido Valor resgatado Valor futuro
Desconta-se do montante a taxa 
de juros vigente período a período 
até o resgate.
Desta forma, o valor resgatado (VP) será:
 VP=VF∙(1-i)n
E o desconto comercial será:
 DC= VF-VP
48
Para compreendermos a diferença entre o des-
conto comercial e o desconto racional, vamos utili-
zar uma das situações já discutidas anteriormente.
Suponha que uma pessoa deseje pagar uma dívi-
da de R$ 12.000,00 com três meses de antecedência. 
Suponha ainda que a taxa de juros no momento do 
pagamento da dívida seja de 0,5% ao mês. Qual será o 
valor pago? Qual será o desconto comercial aplicado?
Neste problema, o valor da dívida na data de 
vencimento contratada corresponde ao Valor Futu-
ro (VP), a taxa de juros vigente (i) é de 0,5% ao mês 
e o tempo de antecedência (n) é de três meses. Nes-
tas condições, temos que:
 VD =12.000∙(1-0,005)
3
 VD =12.000∙(0,995
)3
 VD =12.000∙0,985075
 VD =11.820,90
Sabendo que está pessoa pagará R$ 11.820,90, 
calculamos o desconto comercial considerando a di-
ferença do montante para o valor pago.
 DC = 12.000 - 11.820,90
 DC=179,10
Logo, o desconto comercial aplicado foi 
de R$ 179,10.
49
Exercícios
1) Paulo aplicou R$ 14.500,00 num fundo de in-
vestimentos. A instituição financeira que recebeu a 
aplicação concordou em reajustar o capital aplicado 
com uma taxa de juros simples de 0,3% ao mês se 
Paulo mantivesse o investimento por 3 anos e meio. 
Sabendo que ambas as partes cumpriram o acordo, 
qual foi o Montante resgatado por Paulo?
2) Após 5 anos de aplicação, Mariana foi ao banco 
e resgatou R$ 5. 400,00. Qual foi o valor aplicado 
por Mariana sabendo que ataxa de juros simples em 
todo o período foi de 4% ao ano?
3) Ao final de 8 meses, Maria foi ao banco e resga-
tou R$ 2.604,00 de um fundo de investimento. Sa-
bendo que ela aplicou inicialmente R$ 2.100,00, qual 
foi a taxa de juros simples contratada?
4) Joana pagou uma dívida de R$ 1.700,00 com 15 
dias de antecedência. Determine o desconto racional 
e o valor que ela deve pagar sabendo que a taxa de 
juros simples vigente no dia do pagamento era de 
50
12% ao mês.
5) Gabriel depositou R$ 18.000,00 num fundo de 
investimentos que pagava 6% de juros simples ao 
ano caso o investimento durasse 5 anos. Dezoito 
meses após o depósito, Gabriel precisou resgatar o 
dinheiro. Determine o valor resgatado por Gabriel 
sabendo que a taxa de juros vigente no momento 
do resgate era de 4% ao ano e que foi aplicado o 
desconto comercial.
6) Uma empresa toma emprestada a quantia de R$ 
60.000,00 numa instituição financeira que cobra uma 
taxa de juros compostos de 0,6% ao mês. Quais se-
rão os juros e o Valor Futuro desta operação se a 
mesma durar 2 anos?
7) Uma pessoa pretende comprar uma casa no va-
lor de R$ 500.000,00 daqui a 6 anos. Para que possa 
comprar a casa no tempo planejado, quanto ela de-
verá aplicar, hoje, no banco se a taxa de juros com-
postos vigente é de 15% ao ano?
8) Uma empresa investiu R$ 35.000,00 num fundo 
51
cuja taxa de juros nominal é de 9,6% ao ano. Sabendo 
que a capitalização ocorreu mensalmente. Quanto a 
empresa resgatará após 18 meses de investimento?
9) Uma dívida de R$ 7.500,00 será saldada com cin-
co meses de antecedência. Sabendo que a taxa de ju-
ros compostos vigente é de 1% ao mês. Qual será o 
desconto reacional aplicado? Qual será o valor pago 
pela dívida?
10) Um título bancário no valor de R$ 15.000,00 
será resgatado com 2 anos de antecedência. Sabendo 
que a taxa de juros compostos vigente é de 9% ao 
ano. Qual será o desconto comercial aplicado? Qual 
será o valor resgatado?
52
Gabarito
Unidade 1 – Matemática financeira: 
juros simples e compostos
1. R$ 16.327,00
2. R$ 4.500,00
3. 3% ao mês
4. R$ 96,23 e R$ 1.603,77
5. R$ 20.124,00
6. R$ 9.264,00 e R$ 69.264,00
7. R$ 216.160,13
8. R$ 35.280,00
9. R$ 363,94 e R$ 7.136,06
10. R$ 2.578,50 e R$ 12.421,50
53
Referências Bibliográficas
FIELD, A. - Discovering Statistics Using SPSS. 3.ª 
ed. - SAGE Publications - 2009.
GIMENES, C. M. - Matemática Financeira com HP 
e Excel. 2.ª ed. Pearson, São Paulo, 2010.
LEVIN, J.; FOX, J. A. Estatística para Ciências Hu-
manas. 9.ª ed. Pearson, São Paulo, 2004.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Finan-
ceira: com mais de 600 exercícios resolvidos. 6.ª ed. 
Atlas, São Paulo, 2010.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática Finan-
ceira: Objetiva e Aplicada. Edição Compacta. Sarai-
va. São Paulo, 2006.
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística Básica. 
2.ª ed. Atlas, São Paulo, 2010.