03 - Matemática Financeira - web

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Informamos que é de inteira 
responsabilidade do(s) autor(es) 
a emissão dos conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá 
ser reproduzida por qualquer meio ou 
forma sem prévia autorização do IBRESP.
A violação dos direitos autorais é crime 
estabelecido na Lei 9.610/98 e punido de 
acordo com o Art. 184 do Código Penal.
Direitos AutoraisExpediente
INSTITUTO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO 
PROFISSIONAL DO ESTADO DE SÃO PAULO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
AUTORA
Tatiane Andreza de Souza Silva
DIRETOR PRESIDENTE
Arnaldo Manoel Alves
DIRETORA DE OPERAÇÕES
Jaqueline Araújo
DIRETORA ESCOLAR
Maria Tereza N. Abdal S. Cunha
SECRETÁRIA ESCOLAR
Lisamar Delazeri Castro
COORDENAÇÃO DE CONTEÚDO
Ariane Francine Serafim
REVISÃO
Maria Tereza N. Abdal S. Cunha
Ariane Francine Serafim
Valéria Serafim
Davi Bagnatori Tavares
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
João Carlos Rossi Fonseca
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Sueli Costa CRB-8/5213 
Silva, Tatiana Andreza de Souza 
 Matemática financeira [livro eletrônico] / Tatiana 
Andreza de Souza. – São Paulo: IBRESP, 2020. 
 134 p. 
 
 Formato: PDF 
 ISBN: 978-65-88399-04-0 
 
 1. Matemática financeira I. Título 
 
 CDD-510 
Índices para catálogo sistemático: 
 1. Matemática 510 
 
 
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Sumário
 ` AULA 1. MATEMÁTICA BÁSICA, PÁG. 11
 ` AULA 2. OPERAÇÕES COM DECIMAIS, PÁG. 19
 ` AULA 3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA, PÁG. 29
 ` AULA 4. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE JUROS, 
 LUCRO, TAXA E INFLAÇÃO, PÁG. 37
 ` AULA 5. MODELOS DE CAPITALIZAÇÃO, PÁG. 47
 ` AULA 6. PREÇO DE CUSTO E VENDA, PÁG. 83
 ` AULA 7. NOÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DE 
 CALCULADORA FINANCEIRA, PÁG. 91
 ` GLOSSÁRIO, PÁG. 126
 ` SIGLAS E ABREVIAÇÕES NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, PÁG. 126
 ` REFERÊNCIAS, PÁG. 127
 ` GABARITO, PÁG. 127
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Objetivo de 
aprendizagem
Contribuir para a formação do corretor de imóveis por meio do desenvolvimento do 
raciocínio lógico, analítico e crítico para que ele consiga atuar na área utilizando valores 
e fórmulas matemáticas presentes nas negociações imobiliárias nos diferentes contextos 
econômicos e sociais.
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Tatiane Andreza 
de Souza Silva
Professora
Mestra em Administração, tem MBA em Con-
troladoria e Finanças, Especialização em Gestão 
Escolar, Graduação em Administração de Empresas, 
Licenciatura em Matemática, Pedagogia e Formação 
Pedagógica para Educação Profissional.
Atualmente é professora de cursos de nível supe-
rior e técnico na área de Gestão e Negócios.
Tem experiência na coordenação dos processos 
de melhorias nas áreas financeira e de administra-
ção de pessoal, atuando com foco na otimização de 
rotinas, custos, aumento da produtividade e análise 
de performance.
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Apresentação
Caro(a) aluno(a),
Olá! Seja bem-vindo(a) ao componente curricular de Matemática Financeira do Curso 
Técnico em Transações Imobiliárias. Sou a professora Tatiane, e neste componente você 
terá contato com os conceitos elementares de matemática financeira, que contribuirão 
para que você, como futuro corretor de imóveis, alcance seus objetivos.
O início de um curso é um momento de boas expectativas, e o curso a distância vai 
além, pois propõe uma mudança de hábito de estudo e a criação de uma rotina diária. 
Nela, você se envolverá com uma metodologia de ensino moderna, que tem como 
finalidade te preparar para o mercado de trabalho dinâmico e competitivo.
A matemática financeira aplicada para a área imobiliária está dividida em cinco unida-
des de estudos: matemática básica, conceitos fundamentais da matemática financeira, 
modelos de capitalização simples, modelos de capitalização composta e custos. Cada 
unidade contará com lista de exercícios e vocabulários técnicos e certamente contribuirá 
para o seu desenvolvimento profissional.
Bons estudos!
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Matemática Básica
Caro(a) aluno(a),
Nesta aula, estudaremos a matemática básica, que é um importante caminho a ser percorrido 
antes de entrarmos na matemática financeira, que será fundamental para o seu trabalho como 
corretor de imóveis. Neste módulo, você aprenderá: regra de três simples e composta, operações 
com decimais e frações.
Ao final desta aula, você será capaz de aplicar os conceitos básicos da matemática, utilizando 
o raciocínio lógico, crítico e analítico, envolvendo as quatro operações básicas: adição, subtração, 
multiplicação e divisão, que são essenciais para o aprendizado na matemática financeira.
Para tanto, estudaremos:
 ` Regras de sinais;
 ` Regras de sinais na multiplicação e divisão;
 ` Regra de sinais na adição e na subtração.
Vamos estudar?
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Aula 1
Matemática Básica
Regras de Sinais
Agora aprenderemos as regras de sinais. Acredito que você já tenha ouvido falar daquela regri-
nha de “mais com mais”, “menos com menos”, “menos com mais” e “mais com menos”, também 
conhecida como jogo dos sinais.
Para melhor entendimento, separei para você três tabelas que ajudarão no aprendizado da 
regra de sinais: tabela da multiplicação, tabela da divisão e a tabela de soma e subtração.
Regras de Sinais na Multiplicação
O que você precisa observar na tabela é que sinais iguais levam a resultado "+" e sinais dife-
rentes, a resultado "-".
+ • + = +
− • − = +
+ • − = −
− • + = −
Regras de Sinais na Divisão
Note que a regra de sinais na divisão é a mesma para a multiplicação, ou seja, sinais iguais, o 
resultado é “+” e sinais diferentes é “−”.
+ ÷ + = +
− ÷ − = +
+ ÷ − = −
− ÷ + = −
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Regras de Sinais da Adição e Subtração
+ com + = Conserva o sinal e soma.
− com − = Conserva o sinal e soma.
+ com − = Conserva o sinal do número maior e subtrai.
− com + = Conserva o sinal do número maior e subtrai.
Vamos ver alguns exemplos para melhor entendimento:
Regra de sinal na adição e subtração 
1. Nas operações de soma, quando os dois números forem 
positivos (+ com +), o resultado será positivo.
A. 54 + 32 = +86
B. 7 + 7 = +14
C. 25 + 12 = +37
IMPORTANTE: na regra de sinais da adição, os números podem ser exibi-
dos sem sinal e sem parênteses. Esse sinal é subentendido.
D. (+) 4 + 5 = (+) 9 
E. 89 + 76 = 165
2. Nas operações de soma, quando os dois números forem 
negativos (- × -), o resultado será negativo.
A. (−45) + (−23) = −68
B. (−5) + (−4) = −9
C. (−76) + (−21) = −97
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Aula 1
Matemática Básica
3. Nas operações de soma, quando os sinais forem diferentes (+ com − ou 
vice-versa), conserva-se o sinal do número maior e faz-se a subtração.
A. +24 + (−8) = +16
B. (−46) + 12 = -34
C. (−5) + 24 = +19
Regras de sinal na multiplicação
1. Nas operações de multiplicação, quando os dois números 
forem positivos (+ × +), o resultado será positivo.
A. (+14) × (+12) = +168
B. (+9) × (+7) = +63
C. (+24) × (+24) = +576
2. Nas operações de multiplicação, quando os dois números 
forem negativos (− × −), o resultado será positivo.
A. (−14) × (−11) = +154
B. (−8) × (−5) = +40
C. (−17) × (−8) = +136
3. Nas operações de multiplicação, quando os sinais forem diferentes 
(+ × − ou vice-versa), o resultado será negativo.
A. (−21) × (+12) = −252
B. (+5) × (−2) = −10
C. (−14) × (+6) = −84
Regras de sinal na divisão
1. Nas operações de divisão, quando os dois números forem 
positivos (+ ÷ +), o resultado será positivo.
A. (+20) ÷ (+4) = +5
B. (+26) ÷ (+2) = +13
C. (+30) ÷ (+15) = +2
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2. Nas operações de divisão, quando os dois números forem 
negativos (− ÷ −), o resultado será positivo.A. (−18) ÷ (−3) = +6
B. (−54) ÷ (−6) = +9
C. (−96) ÷ (−24) = +4
3. Nas operações de divisão, quando os sinais forem diferentes 
(+ ÷ − ou vice-versa), o resultado será negativo.
A. (+9) ÷ (−3) = −3
B. (−12) ÷ (+6) = −2
C. (+24) ÷ (−4) = −6
SAIBA MAIS: para exercitar seus conhecimentos sobre o assunto, acesse 
os links e resolva os exercícios propostos: https://mundoeducacao.bol.
uol.com.br/matematica/jogo-sinais.htm
https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matema-
tica/exercicios-sobre-jogo-sinais.htm
Síntese da aula
 ` Na adição e subtração, quando os sinais são iguais, sejam positivos, 
sejam negativos, deve-se somar e conservar o sinal;
 ` Na adição e subtração, quando os sinais são diferentes, deve-se 
subtrair e conservar o sinal do número de maior valor;
 ` Na multiplicação e adição, quando os sinais forem iguais, o resultado será positivo;
 ` Na multiplicação e divisão, quando os sinais forem iguais, o resultado será positivo;
 ` Na multiplicação e divisão, quando os sinais forem diferentes, o resultado será negativo.
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Aula 1
Matemática Básica
Exercícios
Vamos verificar se você compreendeu a matéria desta aula?
Caso tenha ficado com dúvidas, sugiro que retorne ao conteúdo da aula para revisar a matéria.
 1. Você sabia que a regra de sinais é utilizada nas movimentações bancárias? No extrato bancário, as 
receitas (+), conhecidas como entradas, e as despesas (-), conhecidas como saídas, sempre são 
sinalizadas. Alguns bancos também utilizam a letra “D” à direita do saldo para indicar débito ou a 
letra “C” para indicar crédito. De acordo com o extrato bancário a seguir, analise as movimentações 
bancárias e informe qual é o saldo atual: 
Extrato Bancário
Banco S.A.
Data Histórico Valor 
1 Saldo anterior R$ 250,00 
5 Recebimento de proventos R$ 1.800,00 
5 Pagamento conta de telefone −R$ 115,00 
10 Pagamento conta de luz −R$ 65,00 
10 Pagamento conta de água −R$ 45,00 
12 Compra com cartão de débito - Supermercado S.A. −R$ 545,00 
20 Saque −R$ 350,00 
23 Pagamento de títulos - Convênio Médico −R$ 300,00 
 Saldo Atual 
A. ( ) R$ 630,00
B. ( ) R$ 620,00
C. ( ) R$ −630,00
D. ( ) R$ 640,00
E. ( ) R$ −620,00
 2. Você gosta de futebol? A regra de sinais também pode ser utilizada nos saldos de gols. Analise as 
tabelas, faça os cálculos e apresente o saldo de gols após os jogos de domingo.
Saldo de gols antes de domingo
Brasil +6
Alemanha −2
França +1
Estados Unidos −5
A. ( ) 9, 1, −1, −7
B. ( ) 8, 1, −1, −8
C. ( ) 8, 2, −1, −8
D. ( ) 9, 1, −2, −8
E. ( ) 8, 1, −3, −8
 Resultado dos jogos de domingo
Brasil 3 x 1 França
Alemanha 6 x 3 Estados Unidos
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 3. O cliente está alugando um imóvel no valor de R$ 1.100,00, porém, para finalizar a documentação, 
ele terá que entregar na imobiliária um cheque no valor de três meses de aluguel como garantia. 
Em sua conta corrente, ele tem um saldo de R$ 2.550,00 e um limite no cheque especial de R$ 
720,00. Pede-se:
I. Qual o total de saldo disponível do cliente?
II. Ele conseguirá pagar para a imobiliária?
III. O que ele poderá fazer para finalizar o negócio?
Escolha a alternativa correta:
A. ( ) O saldo positivo do cliente é de R$ 3.270,00, incluindo o seu cheque especial, porém não é 
 suficiente para pagar à imobiliária. Nesse caso, o cliente necessitará de empréstimo.
B. ( ) O saldo negativo do cliente é de R$ 3.470,00, incluindo o seu cheque especial. Nesse caso, 
 o cliente necessitará de empréstimo.
C. ( ) O saldo positivo do cliente é de R$ 3.470,00, incluindo o seu cheque especial, porém não é 
 suficiente para pagar à imobiliária. Nesse caso, o cliente necessitará de empréstimo.
D. ( ) O saldo do cliente é de R$ 3.300,00, sem a necessidade de utilizar o seu cheque especial. 
 O cliente conseguirá honrar o seu compromisso com a imobiliária sem a necessidade de 
 solicitar empréstimo.
E. ( ) O saldo negativo do cliente é de R$ 3.270,00, incluindo o seu cheque especial e não é sufici- 
 ente para pagar à imobiliária. Nesse caso, o cliente necessitará pedir dinheiro emprestado.
 4. Vamos relembrar o conceito básico das regras de sinais. Coloque “V” nas afirmativas verdadeiras e 
“F” nas falsas.
 ( ) + com +, devo subtrair e conservar o sinal.
 ( ) − com +, devo somar e conservar o sinal do número de maior valor.
 ( ) − × −, sinais iguais, o resultado será sempre positivo.
 ( ) + ÷ +, sinais iguais, o resultado será sempre negativo.
Escolha a alternativa com a sequência correta:
A. ( ) V – V – F – V
B. ( ) F – F – V – F
C. ( ) V – F – F – F
D. ( ) V – V – F – F
E. ( ) F – V – F – F
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Aula 1
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Operações com Decimais
Caro(a) aluno(a), 
Nesta aula, veremos o que é uma fração decimal, o que é um número decimal e como pode-
mos fazer para passar de uma fração decimal para um número decimal ou vice-versa.
Ao final desta aula, você será capaz de reconhecer a representação dos números decimais 
e utilizá-la nas quatro operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) em 
situações do cotidiano e no ramo imobiliário. 
Para tanto, estudaremos:
 ` Fração decimal;
 ` Potenciação;
 ` Número decimal;
 ` Transformação de número decimal em fração decimal;
 ` Transformação de fração decimal em número decimal.
Vamos estudar?
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Aula 2
Operações com Decimais
Negócios 
fechados pelo 
corretor.
Negócios 
não fechados 
pelo corretor.
Para entendemos bem o que são números decimais, precisamos antes entender o que é uma 
fração decimal.
A fração decimal é caracterizada pelos denominadores, ou seja, são as potências de 10. Ve-
jamos alguns exemplos:
A. 
B. 
C. 
IMPORTANTE: nesse caso, o foco é o denominador. 
Sabemos que, na fração do exemplo A, o 10 significa 101 (dez na potên-
cia 1), na fração b, o 10 significa 102 (dez na potência 2) e, na fração c, o 
10 significa 103 (dez na potência 3). 
Quando os denominadores tiverem esse formato, ou seja, potência de 
10, será uma fração decimal.
Exemplo: 
Um corretor tinha a meta de fechar negócio com 10 clientes no período de 6 meses, porém 
só conseguiu concretizar 8 propostas, pois 2 de seus clientes desistiram da compra. Dessa forma, 
podemos representar da seguinte forma:
 
 
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10
18
100
60
1000
8
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
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10
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10
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2 casas decimais
3 casas decimais
Agora que já aprendemos fração decimal, vamos avançar para numeral decimal.
Você conhece? Vamos relembrar?
TOME NOTA: o numeral decimal indica um número não inteiro.
 Exemplos: 4,28; 0,234; 53,03.
Agora iremos passar uma fração decimal para número decimal e vice-versa.
IMPORTANTE: toda fração decimal pode ser representada por numeral 
decimal e todo número decimal pode ser escrito em forma de fração 
decimal.
Transformação de numeral decimal em fração decimal:
Exemplo:
A. 46,31
B. 0,023
Será igual a
Será igual a
4631
100
23
1000
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Aula 2
Operações com Decimais
Transformação de fração decimal em numeral decimal:
Exemplo:
A. 
B. 
IMPORTANTE: quando você transformar um número decimal em uma fra-
ção decimal, é necessário verificar quantos algarismos decimais existem 
no número decimal.
Já na transformação de uma fração em um número decimal, você deve 
contar quantos números tem o denominador e então eles serão a quan-
tidade de casas decimais.
Agora ficou fácil?
3 casas decimais
2 casas decimais
Será igual a
Será igual a
45
1000
3544
100
0,045
35,44
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Agora iremos para as propriedades.
Vejamos o exemplo:
Existem várias formas de escrever o número decimal:
A. 4,38 = 4,380 = 4,3800 = 4,38000 e assim sucessivamente.
O que é importante entender é que colocar ou retirar os números zeros do lado direitode 
um número decimal não altera o valor.
Vejamos outros exemplos usando a multiplicação:
A. 4,246 × 10 = 42,46
Observe que, na multiplicação por dez, por cem ou por mil, por exemplo, a vírgula sempre 
irá se deslocar para a direita. No exemplo anterior, a vírgula se deslocou uma casa para a direita.
B. 4,246 × 100 = 424,6
Observe que a ideia é a mesma. Nesse caso, o 100 tem dois zeros, então a vírgula se deslocou 
duas casas para a direita.
C. 0,047 × 1000 = 47,0 ou 47
Observe que o 1000 contém três zeros, então a vírgula se deslocou três casas para a direita.
Vamos analisar outros exemplos, agora utilizando a divisão:
A. 371,7 ÷ 10 = 37,17
Observe que, como o 10 tem apenas um zero, na divisão, a vírgula, vai apenas uma única casa 
para a esquerda. 
B. 371,7 ÷ 100 = 3,717
Observe que o 100 tem dois zeros, por isso a vírgula deve ir duas casas para a esquerda.
C. 33,4 ÷ 1000 = 0,0334
Observe que o 1000 tem três zeros, por isso a vírgula deve ir três casas para a esquerda.
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Aula 2
Operações com Decimais
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Saiba mais
Para saber mais, acesse os links e veja mais exemplos 
de operações envolvendo números decimais.
 ` https://matematicabasica.net/numeros-decimais/
 ` https://brasilescola.uol.com.br/matematica/ope-
racoes-com-numeros-decimais.htm
Síntese da aula
 ` Os números decimais, sua forma de representação e como podemos 
transformar uma fração em número decimal e vice-versa; 
 ` A importância da vírgula para fazer a leitura e efetuar as operações; 
 ` Que os números decimais são comumente utilizados em nosso cotidiano;
 ` A importância de distinguir os números inteiros dos números fracionários.
Agora que estudamos, que tal fazermos alguns exercícios para fixação?
Ou escaneie o código
Ou escaneie o código
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Aula 2
Operações com Decimais
Exercícios
Vamos verificar se você compreendeu a matéria desta aula?
Caso tenha ficado com dúvidas, sugiro que retorne ao conteúdo da aula para revisar a matéria.
 1. Antônio trabalha na Corretora Associados Ltda. há cinco anos e o seu novo gerente, de acordo com 
a perspectiva de lançamentos de novos prédios comerciais, propõe uma meta audaciosa para os 
corretores. A meta de cada corretor é que, nos meses de março, abril e junho, consigam fechar 09 
negócios cada. Além do Antônio, a corretora tem mais três corretores, o Pedro, o Leone e a Sabrina. 
O Leone foi o único corretor que conseguiu bater a meta. O Antônio conseguiu fechar 03 negócios, 
o Pedro, 05 e a Sabrina, 06. Assinale qual das alternativas representa, em forma de fração, o total 
de negócios fechados por cada um dos corretores. 
A. ( ) Antônio 3/9, Pedro 5/9, Leone 9/9, Sabrina 6/9.
B. ( ) Antônio 3/9, Pedro 4/9, Leone 9/9, Sabrina 6/9.
C. ( ) Antônio 3/9, Pedro 5/9, Leone 9/9, Sabrina 5/9.
D. ( ) Antônio 3/9, Pedro 7/9, Leone 9/9, Sabrina 6/9.
E. ( ) Antônio 3/9, Pedro 5/9, Leone 9/9, Sabrina 4/9.
 2. Assinale a alternativa que explica a diferença das propriedades que envolvem os números decimais 
na multiplicação e na divisão. 
A. ( ) Nas operações que envolvam números na multiplicação, a vírgula deve se deslocar 
 para a direita; já na divisão é o oposto. Portanto, a vírgula se descola para cima.
B. ( ) Nas operações que envolvam números na multiplicação, a vírgula deve se deslocar 
 para a direita; já na divisão é o oposto. Portanto, a vírgula se descola para a esquerda.
C. ( ) Nas operações que envolvam números na multiplicação, a vírgula deve se deslocar 
 para baixo; já na divisão é o oposto. Portanto, a vírgula se descola para a esquerda.
D. ( ) Nas operações que envolvam números na multiplicação, a vírgula deve se deslocar 
 para o lado; já na divisão é o oposto. Portanto, a vírgula se descola para a esquerda.
E. ( ) Nas operações que envolvam números na multiplicação, a vírgula deve se deslocar 
 para cima; já na divisão é o oposto. Portanto, a vírgula se descola para a esquerda.
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 3. O corretor está negociando a venda de um imóvel residencial no valor de R$ 355.000,00, porém 
o seu cliente solicitou desconto para pagamento à vista. Foi aprovado o desconto no valor de R$ 
15.000,00. Quanto representa esse desconto em porcentagem?
A. ( ) 4,23%
B. ( ) 5,23%
C. ( ) 6,23%
D. ( ) 7,23%
E. ( ) 8,23%
 4. Na venda de um apartamento de R$ 600.000,00, um corretor ganhou R$ 36.000,00 de comissão 
sobre o imóvel. Pede-se:
I. Qual a porcentagem dessa comissão?
A. ( ) 6%
B. ( ) 5%
C. ( ) 4%
D. ( ) 3%
E. ( ) 8%
II. Qual é a representação em número decimal da comissão?
A. ( ) 0,8
B. ( ) 0,3
C. ( ) 0,4
D. ( ) 0,5
E. ( ) 0,6
 5. O corretor Roberto tem um cliente conservador e está tentando fechar o aluguel de uma casa no 
Bairro de São José. O seu cliente apresentou essa fração 12/100 = 0,12 para informar o quanto ele 
guarda do seu salário mensalmente, que é de R$ 1.500,00.
 Pede-se:
 Qual o valor que o seu cliente guarda todos os meses? 
A. ( ) 190,00
B. ( ) 180,00
C. ( ) 170,00
D. ( ) 200,00
E. ( ) 210,00 G
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Aula 2
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Regra de Três 
Simples e Composta
Caro(a) aluno(a),
Nesta aula estudaremos um assunto muito importante e sei que você já deve ter alguma noção 
sobre regra de três, afinal, é algo que utilizamos muito em nosso cotidiano.
Ao final, você será capaz de realizar cálculos envolvendo regra de três simples e composta, 
aplicadas em situações do cotidiano e no ramo de transações imobiliárias.
Você também poderá utilizar calculadoras convencionais e científicas para realizar os cálculos 
desta aula.
Para tanto, estudaremos:
 ` Conceito da regra de três;
 ` Regra de três simples;
 ` Regra de três composta.
Iniciaremos com a regra de três simples. Vamos conceituá-la?
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Aula 3
Regra de Três Simples e Composta
A regra de três simples pode ser entendida como uma proporção que envolve apenas duas 
grandezas.
Mas o que seriam essas grandezas? Vejamos alguns exemplos:
 � Velocidade, no qual ela aparece como quilômetro por 
hora, metros por segundo, páginas por minuto;
 � Tempo, no qual ele aparece como dias, horas por dia;
 � Quantias, no qual ela aparece como quantidade de trabalhadores (operários), 
quantidade de máquinas, quantidade de peças que foram fabricadas.
Mas como se resolve? A regra de três envolve três passos. Por que regra de três? Porque existem 
quatro valores, dos quais três são conhecidos e um é o que precisa ser encontrado.
Esses quatro valores são dispostos em duas colunas, que são as grandezas. Dois valores são 
colocados em uma coluna e os outros dois na outra, sendo a incógnita um desses quatro valores. 
IMPORTANTE: separe as colunas em grandezas, ou seja, uma grandeza 
ocupa uma coluna e outra grandeza ocupa a outra. Não misture.
Por exemplo, se é velocidade, deverá ser velocidade abaixo de velocidade, 
se é tempo, é tempo embaixo de tempo.
Lembre-se de determinar quais grandezas são direta e inversamente proporcionais. 
Como assim? Quando uma aumenta e a outra diminui, elas são inversamente proporcionais. 
Se ambas aumentam, elas são diretamente proporcionais. Agora se uma aumenta e a outra au-
menta também, elas são diretamente proporcionais.
Agora é o passo mais simples: montar a equação e resolvê-la, lembrando que se deve multi-
plicar cruzado, já que é uma igualdade de frações. Vamos lá?
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Exemplos:
1. Maria Clara comprou um relógio cuco com badaladas e notou que, às 6 horas da manhã, 
ele demora 20 segundos para tocar as 6 badaladas. Mas e ao meio-dia, quantos segundos 
o relógio cuco demorará para dar as 12 badaladas?
Devemos separar por grandezas:
BADALADAS SEGUNDOS
 =
Devemos multiplicar de forma cruzada, portanto:
6× = 240
× = 
× = 40 segundos
2.A imobiliária Campestre fez uma campanha para doação de alimentos para a Creche Vida 
Feliz e muitos funcionários colaboraram. Porém, para embalar os alimentos, 4 funcionários 
gastaram 75 horas. Caso todos os 12 funcionários colaborassem com as embalagens desses 
alimentos, no mesmo ritmo de trabalho, em quanto tempo seria finalizado?
FUNCIONÁRIOS HORAS
Note que as flechas estão indo em direções opostas, pois, se houver mais funcionários para 
fazer as embalagens, o tempo diminuirá, logo elas são inversamente proporcionais.
Note que precisamos inverter uma das frações e depois fazer as multiplicações de forma 
cruzada, comumente chamada de multiplicação em "X":
 =
12× = 300
× = 
× = 25 horas
6
12
6
12
20
×
20
×
240
6
4
12
75
×
4
12
×
75
300
12
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Aula 3
Regra de Três Simples e Composta
Agora que você já recordou a regra de três simples, passaremos para a regra de três composta. 
Quais são as diferenças? Ela é uma proporção que envolve mais de duas grandezas. 
Vamos ao exemplo:
1. Roberto trabalha como líder de expedição na empresa Materiais de Construção Ltda. Ele 
recebeu o pedido do seu cliente de 160 m³ de brita. Ele notou que, para realizar essa en-
trega, foram necessários 22 caminhões trabalhando 10 horas. Ele recebeu um novo pedido, 
agora de 120 m³ do mesmo produto, porém o seu cliente precisa receber a entrega em 5 
horas. Quantos caminhões serão necessários?
Primeiro passo é a separação das grandezas. Nesse caso, temos horas, brita em m³ e caminhões.
HORAS m3 CAMINHÕES
Devemos ajustar as setas, trocando-as de direção, transformando o que é inversamente pro-
porcional em diretamente proporcional.
HORAS m3 CAMINHÕES
Próximo passo é a multiplicação, portanto temos:
 × =
 =
Multiplicamos em “X”, então temos:
800× = 26.400
× = 
× = 33
Ou seja, ele precisará de 33 caminhões trabalhando 5 horas para entregar 120 m³ de brita 
para o seu cliente.
10
5
160
120
22
×
5
10
160
120
22
×
5
10
160
120
22
×
800
1200
22
×
26.400
800
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MATEMÁTICA
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Saiba mais
Para saber mais sobre Regra de Três, acesse os links e resolva exercícios 
com a calculadora on-line programada para regra de três e veja também 
mais exemplos para ampliar o seu conhecimento neste assunto:
 ` https://www.4devs.com.br/calculadora_regra_tres_simples
 ` https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-tres-simples.htm
Síntese da aula
 ` A regra de três simples e como ela pode ser facilmente utilizada 
para resolver situações e problemas do cotidiano;
 ` Que, antes de realizar os cálculos, é importante fazer 
análise do que está sendo investigado;
 ` Que as grandezas estudadas devem ser claramente identificadas.
Agora que já estudamos, que tal fazermos alguns exercícios para fixação?
Ou escaneie o código
Ou escaneie o código
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Aula 3
Regra de Três Simples e Composta
Exercícios
Vamos verificar se você compreendeu a matéria desta aula?
Caso tenha ficado com dúvidas, sugiro que retorne ao conteúdo da aula para revisar a matéria
 1. Cláudio aplicou R$ 500,00 no investimento indicado pela sua irmã, com juros mensais de R$ 2,50. 
No próximo mês, ele irá receber uma comissão extra e planeja aplicar R$ 2.100,00. Qual o valor 
adicional de juros receberá quando aplicar os R$ 2.100,00?
A. ( ) R$ 12,30
B. ( ) R$ 9,70
C. ( ) R$ 11,20
D. ( ) R$ 10,50
E. ( ) R$ 13,30
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MATEMÁTICA
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 2. Rodrigo fez um cálculo e concluiu que atende 6 clientes em 20 horas de trabalho. Para ele atender 
12 clientes, quanto tempo de trabalho ele utilizará?
A. ( ) 40
B. ( ) 42
C. ( ) 44
D. ( ) 46
E. ( ) 48
 3. A imobiliária DC imóveis recebeu uma proposta para trabalhar com a venda de um novo 
empreendimento de apartamentos. A imobiliária contratou 4 corretores para trabalhar em tempo 
integral. Porém, notou que os recém-contratados estavam trabalhando 80 horas semanais. Para 
que os corretores trabalhem apenas 40 horas semanais, quantos corretores a mais eles devem 
contratar?
A. ( ) 8
B. ( ) 4
C. ( ) 6
D. ( ) 10
E. ( ) 2
 4. Ademar trabalhou 10 horas por dia durante 5 dias para conseguir entregar os 200 relatórios de 
vendas no mês passado. Este mês, no entanto, ele só tem 120 relatórios para entregar ao seu chefe e 
pretende trabalhar apenas 6 horas por dia. Em quantos dias ele conseguirá concluir o seu trabalho?
A. ( ) 4
B. ( ) 8
C. ( ) 5
D. ( ) 6
E. ( ) 7
 5. A Construtora Cia Ltda. está construindo um novo edifício no centro da cidade. O engenheiro 
responsável pela obra comunicou ao departamento de compras que irão utilizar aproximadamente 
16.000 m³ de areia para realizar a obra. O fornecedor contratado enviou um e-mail avisando que 
a entrega seria realizada em 10 dias, pois seriam utilizados 220 caminhões VUC (veículo urbano 
de carga). Para tentar agilizar a entrega, o engenheiro pediu ao fornecedor que fossem entregues 
14.000 m³ de areia no prazo de 5 dias, pois a obra deveria iniciar imediatamente. Quantos caminhões 
VUC serão necessários para atender este pedido?
A. ( ) 370
B. ( ) 385
C. ( ) 395
D. ( ) 380
E. ( ) 345 G
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Aula 3
Regra de Três Simples e Composta
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Conceitos Fundamentais de 
Juros, Lucro, Taxa e Inflação
Caro(a) aluno(a), 
Até aqui, relembramos a matemática básica, que é fundamental para o entendimento do nosso 
componente curricular de matemática financeira. 
Nesta aula, iremos aprender as conceituações básicas da Matemática Financeira.
Ao final, você terá noções do funcionamento do sistema financeiro e dos principais conceitos 
que envolvem a matemática financeira. Portanto, você conhecerá o universo de juros, lucro e 
inflação.
Para tanto, estudaremos:
 ` Juros, montante e taxa;
 ` Lucro;
 ` Inflação.
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Aula 4
Conceitos Fundamentais de Juros, 
Lucro, Taxa e Inflação
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MATEMÁTICA
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Juros, Montante e Taxa
Você já deve ter escutado falar sobre o problema econômico denominado escassez, que está 
associado ao fato de satisfazer as necessidades das pessoas por meio de bens e serviços, porém 
a oferta é limitada. Diante desse processo de desenvolvimento da sociedade, surgiu a troca de 
um bem por outro e depois a troca por moeda. Dessa forma, o preço virou um medidor de valor 
dos bens, e a moeda, por sua vez, uma forma de acumulação de riqueza.
Notou-se também que os bens podiam ser utilizados ou guardados para serem consumidos 
futuramente. Se o bem fosse consumido, poderia desaparecer e se houvesse a acumulação, ou 
seja, o estoque, poderia gerar novos recursos e riqueza no processo produtivo.
Mas por que estamos falando nisso? Porque a noção de juros decorre justamente daí. Há pes-
soas que preferem utilizar ou consumir os seus bens, enquanto outras preferem acumulá-los. Ou 
seja, enquanto uns tem a necessidade de consumir, outros desejam guardar, para que se tenha 
o bem, é necessário oferecer uma recompensa, que nada mais é do que juros.
Juros também podem ser compreendidos como um custo do crédito ou de dinheiro aplicado. 
Em outras palavras, juros é o pagamento pela utilização de um bem por um determinado período.
Vejamos um exemplo:
Um cidadão quer comprar uma casa, mas não tem o valor total para pagá-la. Teoricamente, 
ele não poderia comprar, correto? Mas não é bem assim que funciona a economia. Nela, você 
encontra agentes dispostos a emprestar o recurso para que o cidadão possa fazer essa negociação. 
Nesse caso, ele adquire um empréstimo no valor do bem que deseja e, em contrapartida, além 
do valor principal, ele deverá pagar sobre ele os juros, que é a recompensa de quem o empresta. 
Notou semelhança desse exemplo com o ramo imobiliário?
Seguindo na mesma sintonia, os juros estão associados à propensão temporal de que as 
pessoas desejam consumir o quanto antes, e, nessa condição, a taxa de juros mede o custo do 
dinheiro no período.
EM OUTRASPALAVRAS:
a taxa de juros pode ser compreendida 
como um preço. Já a moeda (dinheiro) 
pode ser interpretada como uma 
mercadoria e por isso tem um preço.
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Aula 4
Conceitos Fundamentais de Juros, 
Lucro, Taxa e Inflação
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Lucro
Lucro é uma métrica muito importante no negócio. Você já deve ter lido ou escutado uma 
notícia assim: o lucro dos três maiores bancos no ano passado foi de R$ 65 bilhões. Mas o que 
quer dizer esse número? Quem conhece um pouco de gestão, compreende que essa informação 
sozinha não quer dizer muito, pois não se sabe o quanto de patrimônio foi investido. Menciona 
apenas o lucro isolado e não a sua rentabilidade. 
Vamos explorar mais. Se você recebeu R$ 1.500,00 de lucro da poupança, a pergunta é: 
quanto você investiu para receber esse valor? E aí você ouve outra palavra: rentabilidade. Mas 
o que será? 
Por exemplo: um cidadão depositou R$ 10.000,00 em sua conta poupança em um 
banco cujo rendimento era de 1% ao mês, portanto, ao final do mês, ele terá R$ 100,00 
de rendimento. Isso dá uma rentabilidade anual de 12,68%, em juros compostos, que 
falaremos mais adiante. Essa rentabilidade é o retorno sobre o seu capital. 
Continuando, esse cidadão tem um amigo que fala: 
”Encontrei um negócio melhor: você investe R$ 10.000,00 em produto e no mesmo 
dia você vende. No dia seguinte, pode comprar novamente e assim sucessivamente. 
A cada negociação, você ganha 1% sobre as vendas. Fazendo esse processo durante 
30 dias, você terá 1% de lucratividade e 30% de rentabilidade.“
Então, podemos dizer que o lucro é calculado sobre as vendas, ou seja, a receita e o seu 
retorno é sobre o faturamento. Já a rentabilidade é calculada sobre o que você investiu. Dessa 
forma, podemos dizer que as empresas que fazem um bom trabalho para a sociedade são aquelas 
que têm baixo lucro e alta rentabilidade, concorda? Melhor dizendo, são aquelas empresas que 
ganham pouco em cada produto, mas que vendem muito, então elas compram e vendem os 
estoques rotativamente, consideradas assim empresas eficientes.
TOME NOTA: não confunda lucro com faturamento. 
O faturamento é quanto a empresa vendeu, que pode ser na semana, no mês, no 
trimestre ou no ano. Já o lucro são as vendas, subtraindo todas as duas despesas e 
custos do seu negócio.
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Aula 4
Conceitos Fundamentais de Juros, 
Lucro, Taxa e Inflação
Inflação
Certamente não é a primeira vez que você vê essa palavra: “inflação". Ela está muito presente 
em noticiários e é muito citada em índices de economia. Mas por que estudá-la em matemática 
financeira? 
Iniciaremos com o conceito: a inflação pode ser entendida como a perda do poder de compra 
da moeda, ou seja, o aumento geral dos preços. 
Observando um exemplo básico, há 10 anos, um pão francês podia ser comprado a R$ 0,10, 
porém hoje ele custa R$ 0,50 a unidade. Isso significa que ele aumentou cinco vezes. 
Num outro exemplo, um carro popular custava, há 10 anos, o valor de R$ 15.000,00, porém 
hoje você só compra um se tiver pelo menos R$ 35.000,00. 
Isso não significa que o pão ou o carro se valorizaram, mas que a nossa moeda perdeu valor 
e os produtos e serviços ficaram mais caros.
Portanto, podemos notar claramente no nosso dia a dia que os preços aumentam, mas a quan-
tidade de moeda não aumenta na mesma proporção e, portanto, temos um aumento da inflação.
A inflação pode estar associada à demanda, ou seja, está atrelada à produção disponível. Ela 
ocorre quando há muita demanda por recursos. E também pode estar associada à inflação de 
custos, ou seja, a da oferta, na qual a demanda permanece a mesma, mas os custos sobem.
No Brasil, há vários índices de inflação. Entre eles podemos citar:
 � IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado);
 � IPA (Índice de Preços no Atacado);
 � INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor);
 � IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo);
 � INCC (Índice Nacional do Custo da Construção);
 � CUB (Custo Unitário Básico).
Cabe ressaltar que o IGP-M é muito utilizado para contratos de locação. Esse índice é publicado 
mensalmente. A Fundação Getulio Vargas é responsável por medi-la e divulgá-la.
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MATEMÁTICA
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Saiba mais
Para saber mais sobre juros, lucro e taxa de inflação, acesse os links e veja 
como esses temas são aplicados no mercado:
 ` http://www.portalbrasil.net/igpm.htm
 ` https://www.bussoladoinvestidor.com.br/taxa_de_juros_inflacao/
Síntese da aula
 ` Juros podem ser compreendidos como um custo do crédito ou de capital aplicado;
 ` O lucro é calculado sobre as vendas e a rentabilidade é calculada sobre o investimento;
 ` A inflação é comumente conceituada como a perda do poder de 
compra da moeda e o seu resultado é o aumento dos preços;
 ` O principal índice que mede o preço dos aluguéis no Brasil é o IGP-M.
Agora que já estudamos, que tal fazermos alguns exercícios para fixação?
Ou escaneie o código
Ou escaneie o código
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Aula 4
Conceitos Fundamentais de Juros, 
Lucro, Taxa e Inflação
Exercícios
Vamos verificar se você compreendeu a matéria desta aula?
Caso tenha ficado com dúvidas, sugiro que retorne ao conteúdo da aula para revisar a matéria
 1. Complete os espaços em branco com as palavras que dão sentido às afirmativas:
 I. pode ser considerada como o preço e a pode ser 
compreendida como uma mercadoria.
A. ( ) Juros simples; taxa de juros.
B. ( ) Inflação; juros compostos.
C. ( ) Taxa de juros; inflação.
D. ( ) Taxa de juros; moeda.
E. ( ) Lucro; moeda.
 II. O quanto a empresa vendeu por mês denominamos , já o 
é a subtração das despesas e custos.
A. ( ) Faturamento; lucro;
B. ( ) Faturamento; rentabilidade;
C. ( ) Inflação; faturamento;
D. ( ) Moeda; taxa de juros;
E. ( ) Moeda; inflação.
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MATEMÁTICA
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 2. Assinale a alternativa correta.
Uma empresa eficiente, para ter bons resultados, deve focar na rentabilidade, uma vez que a:
A. ( ) Rentabilidade é o mesmo que lucro.
B. ( ) Rentabilidade é calculada sobre o investimento.
C. ( ) Rentabilidade é a perda do poder de compra da moeda.
D. ( ) Rentabilidade é calculada sobre as vendas.
E. ( ) Rentabilidade é calculada sobre a taxa de juros.
 3. Assinale a alternativa correta.
Qual o índice brasileiro mais comum aplicado nos contratos de aluguéis nas imobiliárias?
A. ( ) IPCA 
B. ( ) INPC 
C. ( ) IGP-M 
D. ( ) IPA 
 4. Juros podem ser entendidos como:
A. ( ) Pagamento pela utilização de empréstimo de dinheiro.
B. ( ) Pagamento da mercadoria vendida à vista.
C. ( ) Oferta através da demanda econômica.
D. ( ) Demanda através da oferta econômica.
E. ( ) Pagamento pela utilização do dinheiro poupado.
 5. A inflação pode ser compreendida como a perda do poder 
da moeda, portanto é correto afirmar que:
A. ( ) Quando os preços aumentam, a quantidade de moeda aumenta, mas os produtos 
 não aumentam na mesma escala, identificamos a inflação no mercado.
B. ( ) Quando os preços aumentam, a quantidade de moeda aumenta, e os produtos 
 aumentam na mesma escala, identificamos a inflação no mercado.
C. ( ) Quando a rentabilidade de uma empresa cai isoladamente, 
 identificamos a inflação de mercado.
D. ( ) Quando o lucro de uma empresa cai isoladamente, identificamos a inflação de mercado.
E. ( ) Quando a rentabilidade de uma empresa sobe isoladamente, 
 identificamos a inflação de mercado. G
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Conceitos Fundamentais de Juros, 
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Modelos de Capitalização
Caro(a) aluno(a),
Vamos continuar com nossos estudos?
Nesta aula, daremos início aos cálculos da matemática financeira, que serão divididos em 
modelos de capitalização simples e composta.
Ao final, você será capaz de realizar cálculos de juros simples e compostos, descontos, valor 
de prestações, além de efetuar operações monetárias utilizadasnas transações imobiliárias. 
Você poderá utilizar as calculadoras convencionais, científicas e financeiras, além de planilhas 
de Excel para realizar todos os cálculos desta aula.
Para tanto, estudaremos:
 ` Juros simples;
 ` Montante;
 ` Juros diários;
 ` Valor futuro e valor presente em regime de juros simples;
 ` Operações de descontos simples;
 ` Taxa efetiva e taxa equivalente de descontos no regime de juros simples;
 ` Juros compostos;
 ` Valor atual, valor presente e valor futuro na capitalização composta;
 ` Equivalência entre taxas de juros compostos;
 ` Taxa efetiva e taxa nominal em operações de juros compostos;
 ` Operações com descontos no regime de juros compostos;
 ` Equivalência de capitais em regime de juros compostos;
 ` Taxa acumulada de inflação;
 ` Índice de preços e correções monetárias.
Vamos começar?
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Aula 5
Modelos de Capitalização
Juros Simples
Agora estudaremos juros simples, mas, antes disso, vamos relembrar o que é juros?
Juros pode ser entendido como 
uma remuneração cobrada pelo 
empréstimo de dinheiro.
Você sabia que, ao depositar seu dinheiro em um banco comercial, na verdade, você está 
emprestando o seu dinheiro para esse banco? O banco, por sua vez, pega o seu dinheiro e faz 
outras aplicações para ganhar dinheiro para ele. Se você emprestou esse dinheiro para o banco, 
você não o está utilizando, por isso o banco paga-lhe um valor por você emprestar o seu dinheiro 
e esse valor pago chama-se juros.
Mas então o que seriam juros simples? Nada mais do que o acréscimo apurado sobre o valor 
inicial, seja ele uma aplicação financeira, seja uma compra feita a crédito. Chamamos o valor ini-
cial de capital. Nesse capital, aplica-se uma correção monetária chamada taxa de juros, expressa 
em porcentagem.
Cabe ressaltar que, no mercado financeiro, a utilização de juros simples é incomum, pois, neste 
método, o valor dos juros sempre é calculado sobre o capital, o que resulta, em cada período, 
que o acréscimo será do mesmo valor.
Vamos imaginar que você vá ao banco fazer uma aplicação em juros simples, ou seja, capital, que 
é representado pela letra (C), no valor de R$ 1.000,00. O banco, por sua vez, tem uma taxa pré-fi-
xada, representada pela letra (i), de 10% ao mês, durante 3 meses, tempo representado pela letra (t):
Então temos:
Capital (C) = R$ 1.000,00
Taxa (i) = 10% ao mês
Período (t) = 3 meses
Dessa forma temos:
Mês 0 = R$ 1.000,00
Mês 1 = R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00)
Mês 2 = R$ 1.200,00 (R$ 1.100,00 + R$ 100,00)
Mês 3 = R$ 1.300,00 (R$ 1.200,00 + R$ 100,00)
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O que fica caracterizado nos juros simples é que, de um mês para o outro, o que muda é o 
acréscimo de R$ 100,00.
Note que o aumento é constante, o que caracteriza o regime de juros simples. Os valores que 
foram acrescentados caracterizam o que denominamos de capitalização simples.
Você deve estar se perguntando se existem fórmulas para realizar os cálculos de juros simples. 
Sim, vamos conhecê-las?
Temos:
J = C . i . t
Juros (Juros) = Capital (C) x taxa (i) x tempo (t)
Montante
O que seria o montante? Ele pode ser entendido como o valor final, em outras palavras, é o saldo.
Para calculá-lo, devemos utilizar a seguinte fórmula:
M = C + J
Montante (M) = Capital (C) + Juros
IMPORTANTE: a taxa e o tempo devem ser os mesmos. O que isso significa?
Exemplo: se a taxa (i) estiver em mês, o seu tempo (t) também deve estar em mês, 
ou seja, devemos fazer a homogeneização da taxa e do prazo de capitalização.
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Aula 5
Modelos de Capitalização
Vamos fazer um exemplo juntos?
1. Calcule os juros e o montante produzidos pelo capital de R$ 1.500,00 aplicado durante 6 
meses à taxa de 36% ao ano, considerando o regime de capitalização simples. 
Vamos às anotações:
J = ?
M = ?
C = R$ 1.500,00
t = 6 meses
i = 36% ao ano
Note que você tem o período em meses e a taxa em ano, portanto você precisará converter 
uma das duas grandezas. Por exemplo, 36/12, temos uma taxa de 3% ao mês.
J = ?
M = ?
C = R$ 1.500,00
t = 6 meses
i = 3% ao mês
Aplicamos a fórmula:
J = C . i . t
J = R$ 1.500,00 × 0,03 × 6 
J = R$ 270,00
Mas e o montante? Aplicaremos, neste caso, a fórmula do montante:
M = C + J
M = R$ 1.500,00 + R$ 270,00
M = R$ 1.770,00
Mais um exemplo para melhor fixação:
2. Qual o período necessário para um capital de R$ 12.000,00 aplicado a uma taxa de 18% 
a.a. (ao ano) render R$ 4.320,00 no regime de juros simples?
Vamos às anotações:
C = R$ 12.000,00
i = 18% a.a. 
J = R$ 4.320,00
t = ?
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Aplicamos a fórmula
J = C . i . t
J = R$ 12.000,00 × 0,18 = R$ 2.160,00 t
t = R$ 4.320,00
 R$ 2.160,00
t = 2 anos
Juros Diários
Estudamos aplicação, mas e o pagamento em atraso? Como seria o cálculo de juros de um 
boleto vencido? 
Vejamos um exemplo:
Imagine que o seu cliente não tenha efetuado o pagamento do aluguel do mês de janeiro, 
no valor de R$ 1.500,00, vencido no dia 10/01 e que só foi pago no dia 11 de julho. Com uma 
taxa de 36% a.a., qual o total de juros a ser pago?
Vamos às anotações:
J = ?
C = R$ 1.500,00
t = dias entre 10/01 até 11/07 (181 dias)
i = 36% a.a. (36/360)
Precisamos transformar a taxa anual em taxa diária e contar a quantidade de dias que o boleto 
ficou vencido. Para facilitar o cálculo, a quantidade de dias deve ser baseada no ano comercial, 
que corresponde a 360 dias, uma vez que um mês corresponde a 30 dias, inclusive fevereiro.
J = C . i . t
J = R$ 1.500,00 × 0,36 × 181/360
J = R$ 271,50
Ou seja, o valor de juros cobrado pelo atraso do aluguel seria de R$ 271,50.
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Aula 5
Modelos de Capitalização
Valor Futuro e Valor Presente 
em Regime de Juros Simples
Seguimos com a mesma linha de cálculo, no qual a base de cálculo é o valor presente inicial. 
Além disso, o valor dos juros está ligado ao prazo e à taxa de juros.
Vale ressaltar que o sistema bancário do nosso país não adota esse método de juros simples, 
mas o composto, que veremos mais à frente, mas muitas transações comerciais sim, como no 
caso de pagamento de boletos atrasados.
As variáveis de cálculos são:
PV = corresponde ao valor presente ou capital inicial.
FV = corresponde ao valor futuro ou montante.
i = corresponde à taxa de juros.
n = corresponde a períodos ou prazos.
Temos então a seguinte fórmula:
FV = PV . (1 + i.n)
Vamos a um exemplo:
Digamos que você emprestou o valor de R$ 1.900,00, à taxa de juros de 3% ao mês, pelo 
período de 12 meses em regime de juros simples. Qual o valor a receber no final do período?
PV = R$ 1.900,00
FV = ?
i = 3%
n = 12 meses
Aplicamos a fórmula
FV = 1.900,00 × (1 + 0,03 × 12)
FV = 1.900,00 × (1 + 0,36)
FV = 1.900 × (1,36)
FV = R$ 2.584,00
52
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
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écnico em
ransações
mobiliárias
Vamos fazer o exemplo de forma inversa para descobrirmos o valor presente?
Usaremos a seguinte fórmula:
PV = 2.584,00 ÷ (1 + 0,03 × 12)
PV = 2.584,00 ÷ (1 + 0,36)
PV = 2.584,00 ÷ 1,36
PV = R$ 1.900,00
Antes de iniciarmos o assunto de operações de descontos simples, vamos fazer um exercício 
de fixação?
Agora é com você! Exercícios:
1. O seu cliente investiu a quantia de R$ 1.600,00 em um fundo de investimento no regime 
de juros simples. Após 6 meses, ele verificou que o montante era de R$ 2.100,00. Ajude-o 
a encontrar a taxa de juros mensal dessa aplicação.
A. ( ) 3,4
B. ( ) 5,9
C. ( ) 5,2
D. ( ) 6,2
E. ( ) 4,4
2. Informe o período necessário para que um capital de R$ 10.000,00 aplicado a uma taxa 
de 6 % a.a. renda R$ 4.200,00 em regime de juros simples:
A. ( ) 6 anos
B. ( ) 5 anos
C. ( ) 4 anos
D. ( ) 7 anos
E. ( ) 8 anos
3. Você fez um investimento no valor de R$ 2.900,00, à taxa de juros de 5% ao mês, pelo pe-
ríodo de 12 meses, em regime de juros simples. Qual o valor a receber no final do período?
A. ( ) R$ 4.640,00
B. ( ) R$ 3.640,00
C. ( ) R$ 4.500,00
D. ( ) R$ 5.140,00
E. ( ) R$ 6.640,00
4. Seu cliente informou quefez um excelente investimento. Aplicou o seu capital, pelo perí-
odo de 12 meses, a uma taxa de 4% ao mês e recebeu o valor total de R$ 2.800,00. Qual 
foi o valor da sua aplicação?
A. ( ) R$ 1.890,01
B. ( ) R$ 1.888,45
C. ( ) R$ 1.891,89
D. ( ) R$ 1.887,89
E. ( ) R$ 1.659,89
53
Aula 5
Modelos de Capitalização
5. Calcule os juros e o montante produzidos pelo capital de R$ 1.350,00 aplicado durante 
7 meses à taxa de 36% ao ano, considerando o regime de capitalização simples.
A. ( ) Juros no valor de R$ R$ 283,50 e o Montante no valor de R$ 1.633,50.
B. ( ) Juros no valor de R$ R$ 273,50 e o Montante no valor de R$ 1.623,50.
C. ( ) Juros no valor de R$ R$ 253,50 e o Montante no valor de R$ 1.613,50.
D. ( ) Juros no valor de R$ R$ 263,50 e o Montante no valor de R$ 1.663,50.
E. ( ) Juros no valor de R$ R$ 243,50 e o Montante no valor de R$ 1.633,50.
Respostas
1. Letra (C) – Vamos às anotações:
C = R$ 1.600,00
M = R$ 2.100,00
t = 6 meses
i = ?
Fórmula de juros: J = M – C
J = 2.100 – 1.600
J = 500,00
Fórmula Juros Simples: J = C.i.t
500,00 = 1.600,00 × i × 6
500,00 = 9.600,00 i
i = 500,00 ÷ 9.600,00
i = 0,052 (× 100)
i = 5,2% 
2. Letra (D) – Vamos às anotações:
C = R$ 10.000,00
i = 6 % a.a. 
J = R$ 4.200,00
t = ?
Aplicamos a fórmula: J = C.i.t
R$ 4.200,00 = R$ 10.000,00 × 0,06 × t
4.200,00 = 600,00 t
t = 4.200,00 ÷ 600,00
t = 7 anos
3. Letra (A) – Vamos às anotações:
PV = R$ 2.900,00
FV = ?
i = 5%
n = 12 meses
Aplicamos a fórmula: FV = PV × (1 + i × n)
FV = 2.900,00 × (1 + 0,05 × 12)
FV = 2.900,00 × (1 + 0,6)
FV = 2.900 × (1,6)
FV = R$ 4.640,00
4. Letra (C) – Vamos às anotações:
PV = ?
FV = R$ 2.800,00
i = 4%
n = 12
Aplicamos a fórmula: PV = FV ÷ (1 + i × n)
PV = 2.800,00 ÷ (1 + 0,04 × 12)
PV = 2.800,00 ÷ (1 + 0,48)
PV = 2.800,00 ÷ 1,48
PV = R$ 1.891,89
5. Letra (A) – Vamos às anotações:
J =?
M =?
C = R$ 1.350,00
t = 7 meses
i = 36% ao ano (36 ÷ 12 = 3% ao mês) 
Aplicamos a fórmula: J = C.i.t
J = R$ 1.350,00 × 0,03 × 7 
J = R$ 283,50
Após o resultado, aplicamos a fórmula do montante: M = C + J
M = R$ 1.350,00 + R$ 283,50
M = R$ 1.633,50
Continuando nossos estudos...
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MATEMÁTICA
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mobiliárias
Operações de Descontos Simples
Acredito que, ao longo da sua vida, você já deva ter solicitado algum desconto para alguma 
compra que tenha realizado ou oferecido desconto ao seu cliente. Mas, na matemática financeira, 
o que seria desconto?
TOME NOTA: desconto pode ser entendido como um 
adiantamento de recursos sobre os valores de títulos.
Em outras palavras, desconto é a compensação recebida por alguém que antecipa o pagamento 
de uma dívida. Como assim? A dívida possui um valor, que deve ser pago na data de vencimento. 
Mas a pessoa pode optar por antecipar esse pagamento e, por essa antecipação, ela receberá 
uma compensação, que denominamos desconto. 
E como calculamos?
Vamos trabalhar com as seguintes nomenclaturas:
 � Valor nominal ou valor de face (N), que significa o valor da dívida na data do vencimento;
 � Valor atual (A), que significa o valor pago com antecipação;
 � Desconto (D), que nada mais é do que: (N - A);
 � Tempo (t), que significa o período de antecipação do pagamento;
 � Taxa (i), que significa a taxa de juros aplicada na operação de desconto.
Existem dois tipos de descontos: o desconto racional, comumente conhecido como descon-
to por dentro, e o desconto comercial bancário, também conhecido como desconto por fora. 
Ambos os descontos podem estar relacionados a uma taxa de juros simples ou composta. Aqui 
estudaremos o desconto simples.
Para ficar mais fácil a compreensão, vejamos um exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 500.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento 
à taxa de juros simples de 2% a.m. Qual foi o seu desconto?
Vamos às anotações:
N = 500.000,00 
i = 2% (0,02)
t = 2
55
Aula 5
Modelos de Capitalização
Aplicamos a fórmula:
D = N.i.t
 (1+i.t)
D = 500.000,00 × 0,02 × 2
 (1 + 0,02 × 2)
D = 20.000,00
 (1,04)
D = R$ 19.230,77
Fique tranquilo, que faremos exercícios de fixação para ficar mais fácil o entendimento.
Taxa Efetiva e Taxa Equivalente 
de Descontos no Regime 
de Juros Simples
A taxa efetiva de juros pode ser compreendida como a taxa referência para o período de ca-
pitalização, portanto não expressa a própria taxa da capitalização. 
Em outras palavras, a taxa pode ser considerada efetiva quando o tempo indicado coincidir 
com o período. Por exemplo: se você adquiriu uma capitalização com uma taxa de 3% ao mês 
e essa mesma capitalização é corrigida mensalmente, dizemos então que é uma taxa efetiva.
Mas como fazer a conversão da taxa nominal em taxa efetiva? 
Nesse caso, deve-se ajustar a taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. 
Isso pode ser feito por meio da regra de três simples.
Por exemplo: um título com juros de 72% ao ano capitalizado mensalmente.
72% 12
× 1 mês
Fazemos a multiplicação em “X” e temos:
12.× = 1.72
× = 72 ÷ 12
× = 6% ao mês, ou seja, é a taxa efetiva.
56
MATEMÁTICA
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ransações
mobiliárias
Por outro lado, dizemos que são taxas proporcionais quando os seus valores são proporcio-
nais ao prazo.
Por exemplo: um título de capitalização com taxa anual de 36% e de 3% ao mês. Podemos 
comprovar utilizando a regra de três simples. 
36% 12 meses
3% 1 mês
Fazemos a multiplicação em “X” e temos:
36 × 1 = 3 × 12
36% = 36%
Em juros simples, as taxas proporcionais sempre irão gerar o mesmo resultado. Ou seja, se 
esse mesmo juros for aplicado no capital, no mesmo tempo, ele gerará o mesmo montante.
Ao longo do desenvolvimento desse ponto sobre os regimes de juros simples e compostos, 
você notará que taxas equivalentes, geralmente estão mais ligadas a juros compostos, e taxas 
proporcionais estão mais ligadas a juros simples. No entanto, ambos os conceitos podem ser 
trabalhados em juros simples e compostos.
Podemos dizer que duas taxas de juros são equivalentes se, quando aplicadas a capitais iguais, 
em prazos iguais e juros iguais, têm como resultado o mesmo montante.
Vejamos um exemplo:
A aplicação de uma quantia, por certo período, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês 
poderia nos dar o total de juros, se aplicássemos a mesma quantia, durante o mesmo tempo, a 
uma taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Ou seja, a taxa de juros de 2% ao mês é equivalente 
à taxa de juros de 6% ao trimestre.
Note que 2% ao mês e 6% ao trimestre são proporcionais, pois, em juros simples, as taxas 
equivalentes sempre são proporcionais e o contrário também é verdadeiro, ou seja, as taxas 
proporcionais sempre serão equivalentes. Por isso, você poderá utilizar a mesma regra de três 
para encontrá-la.
2% 1 mês 
6% 3 meses
Fazemos a multiplicação em “X” e temos:
2 × 3 = 6 × 1
6% = 6%
57
Aula 5
Modelos de Capitalização
Exercícios 
1. O corretor de imóveis negociou a venda de um apartamento no valor de R$ 350.000,00, 
com vencimento para daqui a 3 meses, com uma taxa de juros de 2% ao mês, em regime 
de juros simples. Mas o seu cliente conseguiu o valor 2 meses antes do seu vencimento e 
solicitou um novo boleto com o desconto. Qual o valor do desconto que será concedido 
ao cliente?
A. ( ) R$ 13.331,50
B. ( ) R$ 13.341,44
C. ( ) R$ 13.351,56
D. ( ) R$ 13.461,54
E. ( ) R$ 13.441,54
2. A Corretora Associados Ltda. vendeu uma casa no valor de R$ 430.000,00 para o seu cliente 
e lhe concedeu o prazo de 4 meses para pagamento. No entanto, o seu cliente conseguiu 
efetuar o pagamento à vista. Foi lhe oferecido o desconto de 3% a.m., em regime de juros 
simples. Calcule o valor do desconto e o novo valor do boleto.
A. ( ) Desconto de R$ 46.071,43 e o novo boleto no valor de R$ 383.928,57.
B. ( ) Desconto de R$ 46.081,43 e o novo boleto no valor de R$ 383.918,57.
C. ( ) Desconto de R$ 46.061,43 e o novo boleto no valor de R$ 383.938,57.
D. ( ) Desconto de R$ 46.051,43 e o novo boleto no valor de R$ 383.908,57.
E. ( ) Desconto de R$ 46.851,40 e o novo boleto no valor de R$ 383.808,57.
3. Umtítulo no valor nominal de R$ 144.500,00 foi descontado 6 meses antes de seu venci-
mento, à taxa de juros simples de 1,5% a.m. Responda o que se pede:
I. Valor do desconto:
A. ( ) R$ 11.931,19
B. ( ) R$ 11.873,19
C. ( ) R$ 11.773,19
D. ( ) R$ 11.663,19
E. ( ) R$ 11.772,19
II. Valor atual do título: 
A. ( ) R$ 132.068,81
B. ( ) R$ 132.568.81
C. ( ) R$ 132.444.80
D. ( ) R$ 132.773,81
E. ( ) R$ 132.662,80
4. Quais são as grandezas utilizadas para calcular descontos em juros simples:
A. ( ) Valor nominal, valor atual, taxa e tempo.
B. ( ) Valor nominal, valor antigo, taxa e temperatura.
C. ( ) Valor nominal, regra de três e tempo.
D. ( ) Valor nominal, desconto e temperatura.
E. ( ) Valor nominal, valor passado e tempo.
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5. Em juros simples, é correto afirmar que as taxas de juros proporcionais e equivalentes: 
A. ( ) As taxas equivalentes sempre são nominais e vice-versa.
B. ( ) As taxas equivalentes sempre são proporcionais e vice-versa.
C. ( ) As taxas equivalentes sempre são descontadas do valor nominal.
D. ( ) As taxas equivalentes sempre são descontadas do valor presente.
E. ( ) As taxas equivalentes sempre são descontadas do valor antigo.
Respostas:
1. Letra (D) – Vamos às anotações:
N = 350.000,00 
i = 2% (0,02)
t = 2
Aplicamos a fórmula:
D = N . i . t
 (1 + i . t)
D = 350.000,00 × 0,02 × 2
 (1+0,02 × 2)
D = 14.000,00 (1,04)
D = R$ 13.461,54
2. Letra (A) – Vamos às anotações:
N = 430.000,00 
i = 3% (0,03)
t = 4
Aplicamos a fórmula:
D = N . i . t
 (1 + i . t)
D = 430.000,00 × 0,03 × 4
 (1 + 0,03 × 4)
D = 51.500,00 (1,12)
D = R$ 46.071,43
Boleto: 430.000,00 – 46.071,43 = R$ 383.928,57
3. I. (A) R$ 11.931,19
 II. (B) R$ 132.568,81
Vamos às anotações:
N = 144.500,00 
i = 1,5% (0,015)
t = 6
Aplicamos a fórmula:
D = N . i . t
 (1 + i . t)
D = 144.500,00 × 0,015 × 6
 (1 + 0,015 × 6)
D = 13.005,00 (1,09)
D = R$ 11.931,19
Título: 144.500,00 – 11.931,19 = R$ 132.568,81
4. Letra (A) – As grandezas para calcular os descontos são: valor nominal, valor atual, taxa e tempo.
5. Letra (B) – As taxas equivalentes sempre são proporcionais e o contrário também é verdadeiro, ou seja, as taxas proporcionais sempre serão equivalentes.
Após esses estudos, vamos continuar nossa aula?
59
Aula 5
Modelos de Capitalização
Juros Compostos
Continuando nossa aula, estudaremos juros compostos. É o famoso termo “juros sobre juros” 
de que ouvimos falar com frequência. Esse método é utilizado em nosso sistema financeiro e, 
também, nos demais países, pois apresenta uma melhor rentabilidade.
Nesse método, a taxa de juros é aplicada ao somatório do montante em cada mês.
Assim como fizemos no Juros Simples, vamos compreender o mecanismo de juros compostos.
Vamos supor que você vá a um banco e faça uma aplicação inicial, isto é, o capital inicial, que 
será representado pela letra “C”, no valor de R$ 1.000,00. O banco então lhe oferece uma taxa, 
representada pela letra “i”, de 10% ao mês, por um período de 3 meses.
Então temos:
Capital Inicial (C) = R$ 1.000,00
Taxa (i) = 10% ao mês
Período (t) = 3 meses
Dessa forma temos então:
Mês 0 = R$ 1.000,00
Mês 1 = R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 x 10% + R$ 1.000,00)
Mês 2 = R$ 1.210,00 (R$ 1.100,00 x 10% + R$ 1.100,00)
Mês 3 = R$ 1.331,00 (R$ 1.210,00 x 10% + R$ 1.210,00)
Note que, de um mês para o outro, houve um aumento de 10% em cada resultado do mês, 
ou seja, um aumento de 1,11. Essa multiplicação caracteriza o regime de capitalização composta.
Você deve estar se perguntando se existem fórmulas para realizar os cálculos de juros com-
postos. A resposta é: sim! Vamos conhecê-la?
Temos:
M = C . ( 1 + i )t
M (Montante) = C (Capital) x 1 + i (taxa) elevado ao expoente t (tempo) 
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MATEMÁTICA
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IMPORTANTE: a taxa e o tempo devem ser os mesmos. O que isso significa?
Exemplo: se a taxa (i) estiver em mês, o seu tempo (t) também deve estar 
em mês, ou seja, devemos fazer a homogeneização entre da taxa e do 
prazo de capitalização.
Para melhor entendimento, que tal vermos um exemplo?
Vamos supor que você aplique o valor de R$ 500,00 em um investimento cuja renda seja de 
2% a.m. em regime de juros compostos. Qual será o montante após 3 meses de aplicação?
Então temos:
M = ? 
i = 2% (2 ÷ 100 = 0,02)
t = 3 meses
C = R$ 500,00
Note que o tempo está em meses e a taxa também está em meses, portanto não é necessária 
nenhuma transformação.
Aplicamos então a fórmula: M = C. (1 + i)t
M = 500 × (1 + 0,02)3
M = 500 × (1,02)3
M = 500 × 1,061208
M = 530,60
Vamos fazer mais um exemplo juntos?
Vamos supor que um capital foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% 
a.a. (ao ano) pelo período de 3 anos. Após esse período, identificou-se que o valor montante foi 
de R$ 864,00. Pergunta-se: qual o capital aplicado?
Então temos:
C = ? 
i = 20% (20 ÷ 100 = 0,20)
t = 3 anos
M = R$ 864,00
61
Aula 5
Modelos de Capitalização
Aplicamos então a fórmula: M = C . (1 + i)t
864 = C × (1 + 0,2)3
864 = C × (1,2)3
864 = C × 1,728
C = 854 ÷ 1,728
C = R$ 500,00
Pronto para o próximo assunto a ser estudado?
Então vamos lá!
Valor Atual ou Valor Presente 
e Valor Futuro na Capitalização 
Composta 
Nós já falamos dos conceitos de Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF) no regime de juros 
simples. Agora utilizaremos o mecanismo em juros compostos. 
Segue a mesma linha da fórmula anterior, que resulta em juros sobre juros. Você encontrará 
as seguintes grandezas:
VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente
i = taxa de juros
t ou n = período ou prazo
Portanto, temos a fórmula:
VF = VP . ( 1 + i)n
Note que a fórmula de juros compostos tem uma relação de anatocismo financeiro (juros 
sobre juros). A razão disso é o valor de juros elevado ao tempo de vezes que for necessário. Que 
pode ser empréstimo ou financiamento, tendo uma relação exponencial. 
Vamos juntos resolver um exemplo para ficar mais claro; iremos descobrir o Valor Futuro.
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MATEMÁTICA
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Suponhamos que temos um valor atual de R$ 3.455,00, com uma taxa de juros de 2,75% ao 
mês, aplicados pelo período de 14 meses.
Então temos:
VF = ?
VP = R$ 3.455,00
i = 2,75 (2,75/100 = 0,0275)
n = 14 a.m.
Aplicamos então a fórmula: VF = VP . (1 + i)n
FV = 3.455,00 × (1 + 0,0275)14
FV = 3.455,00 × (1,0275)14
FV = 3.455,00 × 1,4620
FV = R$ 5.051,19
Agora iremos fazer outro exemplo, dessa vez para descobrir o Valor Presente ou valor atual:
Suponhamos que você tenha aplicado uma quantia em regime de juros compostos que re-
sultou no valor de R$ 4.232,42, a uma taxa anual de 3,12% ao ano durante 7 anos de aplicação. 
Qual foi o valor aplicado?
Então temos:
VF = R$ 4.232,42
VP = ?
i = 3,12 (3,12 ÷ 100 = 0,0312)
n = 7 a.a.
Aplicamos então a fórmula: VP = VF/ (1 + i)n. Note que, no exemplo anterior, a fórmula esta-
va multiplicando e nessa, como é o inverso, está dividindo. Na regra matemática de igualdade, 
sempre que houver a inversão, ou seja, quando o VP estiver multiplicando, ele passará dividindo. 
Vamos continuar o exemplo para ficar mais claro.
VP = 4.232,42 ÷ (1 + 0,0312)7
VP = 4.232,42
 (1+0,0312)7
VP = 4.232,42
 (1,0312)7
VP = 4.232,42
 1,2399
VP = R$ 3.413,41
Vamos fazer exercícios para fixarmos, na prática, como calcular os juros no regime composto?
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Aula 5
Modelos de Capitalização
Exercícios 
1. Um corretor de imóveis vendeu um apartamento no valor de R$ 560.000,00, com venci-
mento para 60 dias, a uma taxa de juros de 3,5% a.m. Qual o preço do imóvel que o cliente 
deverá pagar na data acordada, considerando o regime de juros compostos.
A. ( ) R$ 599.886,00
B. ( ) R$ 599.996,00 
C. ( ) R$ 599.286,00 
D. ( ) R$ 599.586,00 
E. ( ) R$ 599.776,00
2. Um investidor aplicou a quantia de R$ 255.000,00 para resgate em 6 meses a uma taxa de 
juros de 2,5% ao mês, em regime de juros compostos. Determine o que se pede:
I. Valor total do resgate: 
A.( ) R$ 295.721,82
B. ( ) R$ 285.720,80
C. ( ) R$ 292.662,80
D. ( ) R$ 293.721,82
E. ( ) R$ 280.672,82
II. Valor total dos juros:
A. ( ) R$ 39.720,00
B. ( ) R$ 40.721,82
C. ( ) R$ 38.722,00
D. ( ) R$ 41.721,82
E. ( ) R$ 42.720,00
3. Um investidor resgatou o valor total de R$ 15.960,00 de sua conta poupança. Ele havia 
guardado o dinheiro durante 7 meses a uma taxa de juros de 0,55% ao mês, em regime 
de juros compostos. Calcule o capital inicial do depósito e assinale a alternativa correta.
A. ( ) R$ 14.358,84
B. ( ) R$ 15.358,84
C. ( ) R$ 13.338,84
D. ( ) R$ 16.358,84
E. ( ) R$ 16.225,84
4. Sobre o cálculo de juros compostos, é correto afirmar:
A. ( ) O montante corresponde à taxa de juros, assim como o capital corresponde à taxa presente, 
 porém sua fórmula é exponencial, por isso chamamos de juros sobre juros.
B. ( ) A taxa de juros corresponde ao valor futuro, assim como o capital corresponde ao valor 
 presente, porém sua fórmula é exponencial, por isso chamamos de juros simples.
C. ( ) O montante corresponde ao valor futuro, assim como o capital corresponde ao valor 
 presente, porém sua fórmula é exponencial, por isso chamamos de juros sobre juros.
D. ( ) O período corresponde ao valor futuro, assim como o capital corresponde ao valor presente, 
 porém sua fórmula é exponencial, por isso chamamos de juros simples.
E. ( ) O montante corresponde ao valor passado, assim como o capital corresponde ao valor 
 futuro, porém sua fórmula é juros simples, por isso chamamos de juros sobre a taxa.
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ransações
mobiliárias
5. Um corretor de imóveis vendeu um terreno comercial no lote Jardim das Maresias no valor 
de R$ 159.500,00 para o seu cliente e lhe concedeu o prazo de 2 meses para pagamento. 
Ocorre que o seu cliente conseguiu antecipar o pagamento para o mês de compra. Sa-
bendo que a taxa de juros compostos dessa operação é de 2,6%, calcule o que se pede:
I. Valor do novo boleto:
A. ( ) R$ 151.518,61
B. ( ) R$ 161.500,61
C. ( ) R$ 171.600,61
D. ( ) R$ 162.200,61
E. ( ) R$ 182.300,61
II. Valor do desconto concedido ao cliente:
A. ( ) R$ 6.900,39
B. ( ) R$ 7.981,39
C. ( ) R$ 6.800,39
D. ( ) R$ 6.771,39
E. ( ) R4 6.661,39
Respostas:
1. Letra (A) – Vamos às anotações:
VF = ?
VP = R$ 560.000,00
i = 3,3 (3,5 ÷ 100 = 0,035)
n = 2 a.m.
Aplicamos então a fórmula: VF = VP . (1 + i)n
FV = 560.000,00 × (1 + 0,035)2
FV = 560.000,00 × (1,035)2
FV = 560.000,00 × 1,0712
FV = R$ 599.886,00
2. I. Letra (A) – R$ 295.721,82
Vamos às anotações:
VF = ?
VP = R$ 255.000,00
i = 2,55 (2,55 ÷ 100 = 0,025)
n = 6 a.m.
Aplicamos então a fórmula: VF = VP . (1 + i)n
FV = 255.000,00 × (1 + 0,025)2
FV = 255.000,00 × (1,025)2
FV = 255.000,00 × 1,1597
FV = R$ 295.721,82
II. Letra (B) – R$ 40.721,82
Aplica-se a fórmula: J (Juros) = M (Montante) – C (Capital)
J = M – C
J = R$ 295.721,82 − 255.000,00
J = R$ 40.721,82
3. Letra (B) – Vamos às anotações:
C =? 
i = 0,55% (0,55/100 = 0,0055)
t = 7 meses
M = R$ 15.960,00
Aplicamos então a fórmula: M = C. (1 + i)t
15.960,00 = C × (1 + 0,0055)7
65
Aula 5
Modelos de Capitalização
15.960,00 = C × (1,0055)7
15.960,00 = C × 1,03914
C = 15.960,00 ÷ 1,03914
C = R$ 15.358,84
4. Letra (C) – Juros compostos são considerados anatocismo financeiro (juros sobre juros) e sua fórmula é 
caracterizada pela relação exponencial, por isso apresenta uma melhor rentabilidade.
5. I. Letra (A) – R$ R$ 151.518,61
Vamos às anotações:
PV: ?
FV: R$ 159.500,00
i = 2,6% (2,6 ÷ 100 = 0,026)
n = 2 meses
Aplica-se a fórmula: VP = VF ÷ (1 + i)n
VP = 159.500,00 ÷ (1 + 0,026)2
VP = 159.500,00 ÷ (1 + 0,026)2
VP = 159.500,00 ÷ (1,026)2
VP = 159.500,00 ÷ 1,0527
VP = R$ 151.518,61
II. Letra (B) – R$ 7.981,39
Aplica-se a fórmula: J = M – C
J = R$ 159.500,00 – R$ 151.518,61 = R$ 7.981,39
Vamos continuar?!
Equivalência entre 
Taxas de Juros Compostos
Iniciaremos os nossos estudos sobre taxa equivalente, muito utilizada no sistema financeiro. 
Mas o que seria taxa equivalente? 
Como o próprio nome já diz, duas taxas serão consideradas equivalentes em regime de ju-
ros compostos se, ao serem aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período ou período 
equivalente, gerarem os mesmos montantes. Ou seja, a taxa é considerada equivalente quando 
oferecer o mesmo valor futuro ou montante de uma operação de investimento, por exemplo, 
em períodos diferentes da taxa original.
Na maioria das vezes, quando se adquire um imóvel financiado, é informada a taxa de juros 
mensal, mas desconhecemos a taxa anual no período estabelecido. Portanto, uma forma de 
descobrir a taxa equivalente anual é utilizar a fórmula:
1 + ia = (1 + ip)n
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Na qual:
 � ia corresponde à taxa anual;
 � ip corresponde à taxa período; 
 � n corresponde ao número de períodos.
Vamos fazer juntos um exemplo para melhor entendimento:
Descubra a taxa anual correspondente à taxa de juros equivalente de 3% ao mês.
Vamos fazer as anotações:
ip = 3% ao mês (3 ÷ 100 = 0,03)
n = 1 ano, que corresponde a 12 meses
Aplicamos a fórmula: 1 + ia = (1 + ip)n
1 + ia = (1 + 0,03)12
1 + ia = (1,03)12
1 + ia = 1,4258
ia = 1,4258 – 1
ia = 0,4258 (× 100)
ia = 42,58
TOME NOTA: note que não é correto fazer o cálculo direto: 3% x 12 = 36% ao ano.
Isso ocorre por ser necessário calcular a taxa de forma exponencial, considerando 
o regime de juros compostos (juros sobre juros).
Vamos fazer mais um exemplo para fixar melhor o conceito?
Descubra a taxa mensal correspondente à taxa de juros equivalente de 0,1% ao dia.
Vamos fazer as anotações:
ip = 1% ao mês (1 ÷ 100 = 0,001)
n = 1 mês, que corresponde a 30 dias
Aplicamos a fórmula: 1 + ia = (1 + ip)n
1 + ia = (1 + 0,001)30
1 + ia = (1,001)30
1 + ia = 1,0304
ia = 1,0304 – 1
ia = 0,0304 (× 100)
ia = 3,04% ao mês
Agora que compreendemos a taxa equivalente, estudaremos taxa efetiva e taxa nominal.
67
Aula 5
Modelos de Capitalização
Taxa Efetiva e Taxa Nominal em 
Operações de Juros Compostos 
Para melhor compreensão, iremos conceituar taxa nominal e taxa efetiva:
TAXA NOMINAL: o período da taxa é diferente ao do período de capitalização. 
Por exemplo, podemos ter uma taxa:
 � 24% a.a ÷ a.m.: taxa anual com capitalização mensal.
 � 6% a.t. ÷ a.m.: taxa trimestral com capitalização mensal.
 TAXA EFETIVA: o período da taxa é igual ao do período de capitalização.
Por exemplo, podemos ter uma taxa:
 � 24% a.a. ÷ a.a.: taxa anual com capitalização mensal.
 � 6% a.t. ÷ a.t.: taxa trimestral com capitalização mensal.
Nesse caso, não é preciso colocar a taxa do período de capitalização, pois ela já está suben-
tendida.
Para transformar uma taxa nominal em taxa efetiva é simples: você precisa dividir a taxa pelo 
número de período de capitalização.
Vejamos um exemplo:
 � Uma taxa nominal de 24% a.a. ÷ a.m. Quantos meses 
tem o ano? 12, logo 24 ÷ 12 a.m. = 2% a.m.
 � Uma taxa nominal de 6% a.t. ÷ a.m. Quantos meses tem 
um trimestre? 3, logo 6 ÷ 3 a.m. = 2% a.m.
IMPORTANTE: taxa nominal e taxa efetiva podem ser consideradas equi-
valentes? A resposta é: não. Para fazer a equivalência, precisamos aplicar 
a fórmula 1 + ia = (1 + ip)n
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Operações de Desconto no 
Regime de Juros Compostos
As operações de desconto em regime de juros compostos correspondem à descapitalização. 
Seu conceito é o mesmo do sistema de juros simples, porém o que se altera é a forma, que é 
exponencial. 
Portanto, usamos a expressão:
N
(1 + i)n
Já para determinar o valor atual de um título, utilizamos a fórmula:
A = N . (1 + i)n
Em que:
 � A corresponde ao valor atual;
 � N corresponde ao valor nominal;
 � i corresponde à taxa de desconto;
 � n corresponde ao tempo, ou seja, à antecipação do desconto.
Para melhor entendimento, vamos ver um exemplo:
Suponhamos que um título no valor nominal de R$ 12.000,00 seja resgatado 2 meses antes 
do seu vencimento. Qual seria o seu valor atual, com o descontoda taxa de 3% ao mês?
Note que a fórmula está sob efeito de multiplicação, mas o inverso é a divisão. Na regra ma-
temática de igualdade, sempre que houver a inversão, o que está sendo multiplicado passará 
dividindo.
Vamos às anotações:
N = R$ 12.000,00
i = 3% (3 ÷ 100 = 0,03)
n = 2
A = ?
Aplicamos a fórmula: A = N ÷ (1 + i)n
A = 12.000,00 ÷ (1 + 0,03)2
A = 12.000,00 ÷ (1,03)2
A = 12.000,00 ÷ 1,0609
A = R$ 11.311,15
69
Aula 5
Modelos de Capitalização
Equivalência de Capitais em 
Regime de Juros Compostos
Na matemática financeira, trabalhamos com o deslocamento de quantias no tempo e já apren-
demos a fazer isso. Já vimos os juros, quando temos um valor no presente e queremos levá-lo 
para o futuro, assim como o desconto composto, quando temos um valor no futuro e queremos 
trazê-lo para o presente.
Agora, iremos fazer a equivalência de capitais para resolvermos problemas importantes tam-
bém na área de transações imobiliárias.
Mas o que seria equivalência de capitais?
TOME NOTA: capitais Equivalentes podem ser entendidos como o valor transportado 
de um período para outro, resultando o mesmo valor.
Por exemplo, se a taxa em regime de juros compostos é de 10% ao mês, significa que:
 � R$ 100,00 na data atual corresponderá a R$ 110,00 daqui a 1 mês;
 � R$ 100,00 hoje é equivalente a R$ 121,00 daqui a 2 meses.
Para melhor compreensão, vamos fazer um exercício juntos para trabalhar com essa ideia de 
capitais equivalentes?
Vamos supor que o capital vale 20% ao mês. Qual a melhor opção de compra de um produto 
que custa R$ 80,00? 
Temos as opções:
a. Comprar à vista, com 10% de desconto.
b. Comprar em 2 parcelas iguais, sendo uma de entrada e a outra para daqui a 1 mês, sem 
acréscimo e sem desconto.
c. Comprar em 2 parcelas, sem acréscimo e sem desconto, sendo a primeira para 30 dias 
após a compra e a segunda para 60 dias após a compra. 
Como faremos para resolver essas três questões?
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Vamos trazê-las para a linha do tempo:
a. Temos o seguinte valor  R$ 80,00 × 10% = R$ 8,00 de desconto, logo:
 R$ 72,00
 0
b. Temos o valor de R$ 80,00 dividido em uma entrada, paga no ato da compra, e uma parcela 
para 30 dias, logo:
 R$ 40,00 R$ 40,00
 0 1
c. Já na terceira opção, temos o valor dividido em duas parcelas, mas com o desembolso 
para 30 e 60 dias da compra, logo:
 R$ 40,00 R$ 40,00
 1 2
 Precisamos agora, para fazer a equivalência de capitais, levar todos os valores para o tempo “0”.
1ª Opção - na letra “a”, já temos o valor no tempo “0” = R$ 72,00
2ª Opção - na letra “b”, já temos o valor no tempo “0” de R$ 40,00, porém o 2º pagamento 
será realizado em 1 mês após a compra, portanto é necessário trazer esse pagamento para 
o tempo “0”. Para fazer isso, é necessário dividir o valor de R$ 40,00 por 1,2, pois a taxa dada 
do exercício é de 20%. Portanto, o dinheiro vale 20%. Resultando em: 40 + 40/1,2 = 73,33
3ª Opção - na letra “c”, o primeiro pagamento é realizado após 1 mês da data da compra, 
portanto devemos trazer um mês para trás, ou seja, 40/1,2 e esse segundo pagamento 
será realizado 2 meses após a compra, por isso devemos dividir de forma exponencial 40/
(1,2)2. Portanto, temos: 40/1,2 + 40/(1,2)2 = 61,11.
Nota-se que a terceira opção é a mais vantajosa, lembrando que o dinheiro vale 20% ao mês, 
conforme o enunciado. 
Agora que compreendemos boa parte do regime de juros compostos, que tal fazermos 
exercícios para fixação antes de entrarmos em um novo assunto?
71
Aula 5
Modelos de Capitalização
Exercícios 
1. Qual a diferença entre taxa nominal e taxa efetiva no regime de juros compostos? Assinale 
a alternativa correta:
A. ( ) A taxa nominal não corresponde ao período de capitalização, 
 já a taxa efetiva é igual ao período de capitalização.
B. ( ) A taxa nominal corresponde ao valor do mesmo consumo, 
 já a taxa efetiva é igual ao período de capitalização.
C. ( ) A taxa efetiva não corresponde ao período de capitalização, 
 já a taxa nominal é igual ao período de capitalização.
D. ( ) A taxa nominal corresponde ao valor exponencial no regime de juros 
 compostos, já a taxa efetiva é igual ao período de capitalização.
E. ( ) A taxa nominal corresponde ao valor de juros sobre 
 juros, já a taxa efetiva será sempre anual.
2. Considerando uma operação de desconto no regime de juros compostos, calcule o valor 
atual de uma venda de um imóvel de R$ 210.000,00, pagos 3 meses antes do vencimento, 
com o desconto da taxa de 3% ao mês, e assinale a alternativa verdadeira.
A. ( ) R$ 190.179,75
B. ( ) R$ 192.179,75
C. ( ) R$ 188.179,75
D. ( ) R$ 172.179,75
E. ( ) R$ 174.179,75
3. Você está negociando um imóvel com o seu cliente no valor de R$ 650.000,00 e, de acordo 
com as políticas internas, você pode oferecer 3 formas de pagamento para ele:
1ª opção: desconto de 8% sobre o valor.
2ª opção: dividir em duas parcelas iguais, sendo uma paga no ato da compra e a outra, 
30 dias da data da compra.
3ª opção: dividir em duas parcelas iguais, sendo a 1ª para daqui a 1 mês e a 2ª para 2 meses 
da data da compra.
Lembre-se que o seu cliente lhe informou que o dinheiro corresponde a um valor de 8% 
ao mês. Ele pediu para você calcular a melhor opção para compra. Faça os cálculos e 
assinale a alternativa correta:
I. Na 1ª opção, o cliente pagará o valor de:
A. ( ) R$ 578.000,00
B. ( ) R$ 560.000,00
C. ( ) R$ 620.000,00
D. ( ) R$ 598.000,00
E. ( ) R$ 580.000,00
II. Na 2ª opção, o cliente pagará o valor de:
A. ( ) R$ 625.925,93
B. ( ) R$ 630.900,93
C. ( ) R$ 620.800,83
D. ( ) R$ 645.925,93
E. ( ) R$ 655.800,93
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MATEMÁTICA
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mobiliárias
III. Na 3ª opção, o cliente pagará o valor de:
A. ( ) 589.561,04
B. ( ) 579.561,04
C. ( ) 559.561,04
D. ( ) 532.561,04
E. ( ) 529.561,04
4. Considerando uma operação de desconto em regime de juros compostos, calcule o valor 
atual de uma venda de uma casa no valor de R$ 350.500,00, pagos 2 meses antes do seu 
vencimento, com desconto da taxa de 5% ao mês. Assinale a alternativa correta:
A. ( ) R$ 307.913,83
B. ( ) R$ 311.913,83
C. ( ) R$ 327.913,83
D. ( ) R$ 317.913,83
E. ( ) R$ 337.913,83
5. A taxa mensal correspondente à taxa de juros equivalente de 0,2% ao dia, no regime de 
capitalização composta, é:
A. ( ) 6,18%
B. ( ) 5,18%
C. ( ) 0,18%
D. ( ) 7,18%
E. ( ) 4,18%
Respostas:
1. Letra (A) – A taxa nominal não corresponde ao período de capitalização, 
já a taxa efetiva é igual ao período de capitalização.
2. Letra (B) – Vamos às anotações:
N = R$ 210.000,00
i = 3% (3 ÷ 100 = 0,03)
n = 3
A = ?
Aplicamos a fórmula: A = N ÷ (1 + i)n
A = 210.000,00 ÷ (1 + 0,03)3
A = 210.000,00 ÷ (1,03)3
A = 210.000,00 ÷ 1,092727
A = R$ 192.179,75
3. I. Letra (D)
1ª Opção: R$ 650.000,00 × 8% = R$ 52.000,00
 R$ 650.000,00 − R$ 52.000,00 = R$ 598.000,00
II. Letra (A)
2ª Opção: R$ 325.000,00 + 325.000,00/1,08 = R$ 625.925,93
III. Letra (B)
3ª Opção: 325.000,00/1,08 + 325.000,00/(1,08)2 = R$ 579.561,04
4. Letra (D) 
Vamos às anotações:
N = R$ 350.500,00
i = 5% (5 ÷ 100 = 0,05)
n = 2
A = ?
Aplicamos a fórmula: A = N ÷ (1 + i)n
A = 350.500,00 ÷ (1 + 0,05)2
A = 350.500,00 ÷ (1,05)2
A = 350.500,00 ÷ 1,1025
A = R$ 192.179,75
5. I. Letra (A) 
Aplicando a fórmula: 1 + ia = (1 + ip)n
1 + ia = (1 + 0,002)30
1 + ia = (1,002)30
1 + ia = 1,0618
ia = 1 − 1,0618
ia = 0,0618 × 100
ia = 6,18%
73
Aula 5
Modelos de Capitalização
Taxa Acumulada de Inflação
O tema inflação é recorrente. Sempre ouvimos sobre o assunto nos noticiários e já estudamos 
esse conceito na aula 4, porém vale a pena relembrarmos o conceito comumente aplicado.
TOME NOTA: a inflação está relacionada ao aumento de preços na economia.
Quando você escuta, por exemplo, no noticiário que a inflação do país aumentou 8%, isso 
significa que, em média, os preços no país aumentaram 8%. Vale ressaltar que existe o contrário da 
inflação, a deflação, que nada mais é