LISTA DE EXERCÍCIOS - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
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1. (Enem) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e 
sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente 
simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma 
jovem resolveu construir um cisne usando técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 
18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura. 
 
 
 
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é 
a) 2 22 cm. 
b) 6 3 cm. 
c) 12 cm. 
d) 6 5 cm. 
e) 12 2 cm. 
 
2. (Eear) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é 
 
 
a) 
22
3
 
b) 
16
3
 
c) 22 
d) 16 
 
3. (G1 - cotil) O mapa abaixo mostra o posicionamento de três cidades – nomeadas de A, B e 
C – e as rodovias que as ligam e se cruzam perpendicularmente na cidade A. Em uma 
rodovia, a 60 km de distância de A, encontra-se a cidade B; na outra, a 80 km de A, 
 
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encontra-se a cidade C. Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga a cidade B 
até a C, conforme o desenho. 
 
 
 
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B? 
a) 20 km 
b) 36 km 
c) 40 km 
d) 47 km 
 
4. (G1 - ifpe) Um fio foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. 
Sabendo que a torre menor tem 16 m de altura, a torre maior tem 21m de altura e que a 
distância entre as duas torres é de 12 m, qual é o comprimento do fio? 
a) 13 m 
b) 5 m 
c) 37 m 
d) 12 m 
e) 10 m 
 
5. (G1 - cp2) “Diferente dos balões comuns, os balões meteorológicos são produzidos com 
borracha natural usando um processo de rotomoldagem. Isso quer dizer que toda a superfície 
do balão apresenta a mesma espessura, evitando estouros prematuros.” 
Fonte: http://www.mundoclima.com.br/baloes-meteorologicos/balao-meteorologico-de-grande-
altitude-600g/. Acesso em: 15 de maio de 2016. 
 
 
Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram lançar um único balão meteorológico para 
fazer um estudo. Após o lançamento, em um dado momento, João estava a 8 km do balão e 
Diogo a 15 km. Sabe-se que o balão subiu verticalmente durante todo o percurso e que a 
distância entre os pesquisadores naquele momento era de 17 km. 
 
Observe a figura abaixo, representativa da situação: 
 
 
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Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se afirmar que a altura aproximada desse balão 
era de 
a) 6 km. 
b) 6,5 km. 
c) 7 km. 
d) 7,5 km. 
 
6. (G1) No triângulo da figura a seguir, o valor de x é: 
 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
7. (G1 - ifce) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e 
as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em 
centímetros, iguais a 
a) 10, 15 e 20. 
b) 12, 17 e 22. 
c) 15, 20 e 25. 
d) 16, 21 e 26. 
e) 18, 23 e 28. 
 
8. (G1 - ifal) Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos 
medem 6 cm e 8 cm. 
a) 3,6 cm. 
 
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b) 4,8 cm. 
c) 6,0 cm. 
d) 6,4 cm. 
e) 8,0 cm. 
 
9. (G1 - cp2) Observe o esquema a seguir, que representa certo trecho do Oceano Atlântico 
na costa brasileira. Um navio de pesquisas, situado inicialmente no ponto B, deve seguir rumo 
ao ponto C, em linha reta. Sabe-se que a distância BC é igual a 10 km. No ponto A 
encontra-se uma ilha e o navio deve parar, na sua trajetória, em um ponto o mais próximo 
possível dessa ilha, para que uma equipe de biólogos siga em um barco auxiliar a fim de 
coletar algumas espécies de plantas nativas para análise. 
 
Considere que a região limitada por AB, AC e BC seja plana e que o ângulo BAC meça 90 . 
 
 
 
Se a distância do navio à ilha, ao iniciar sua trajetória em B, era de 8 km, podemos afirmar 
que, nesse percurso, a menor distância do navio à ilha será igual a 
a) 5,2 km. 
b) 5,0 km. 
c) 4,8 km. 
d) 3,6 km. 
 
10. (G1 - ifal) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm. Determine o valor da 
medida do cateto maior sabendo que o cateto menor mede 5 cm. 
a) 6 cm. 
b) 8 cm. 
c) 10 cm. 
d) 11cm. 
e) 12 cm. 
 
11. (G1 - ifba) Um grupo de corredores de aventura se depara com o ponto A no topo de um 
despenhadeiro vertical (o ângulo C é reto), ponto este que já está previamente ligado ao ponto 
B por uma corda retilínea de 60 m, conforme a figura a seguir: 
 
 
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Se a altura (AC 30 m)= do despenhadeiro fosse a metade do que é, o comprimento da corda 
deveria ser igual a: 
a) 15 m. 
b) 30 m. 
c) 3 15 m. 
d) 13 15 m. 
e) 15 13 m. 
 
12. (G1 - ifsc) O município de Mossoró, no estado do Rio Grande do Norte é o maior produtor 
de sal marinho do Brasil. Esse sal é transportado, por meio terrestre, até a capital do estado, 
Natal, que fica a, aproximadamente, 200 km a leste e 150 km ao sul da cidade de Mossoró, 
de acordo com mapa abaixo: 
 
 
 
Com base em seus conhecimentos de geometria, é CORRETO afirmar que a distância em 
linha reta entre as cidades de Mossoró e de Natal, em km, é de: 
a) 70 
 
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b) 500 
c) 450 
d) 350 
e) 250 
 
13. (G1 - ifce) Um retângulo cujo comprimento excede a largura em 2 m está inscrito em um 
círculo de 5 m de raio. A área desse retângulo, em metros quadrados, vale 
a) 56. 
b) 35. 
c) 48. 
d) 50. 
e) 64. 
 
14. (G1 - ifal) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é a 3+ e um dos catetos a 3.− Se o 
outro cateto vale 18, quanto vale a? 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 27 
e) 30 
 
15. (G1 - ifce) Um retângulo inscrito em um círculo de raio 5 cm tem um dos lados medindo 
2 cm a mais que o outro. A área desse retângulo, em centímetros quadrados, é 
a) 30. 
b) 56. 
c) 48. 
d) 24. 
e) 40. 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Desde que AD BC= e AB DC,= temos DE 6cm.= Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, 
temos 
 
2 2 2 2 2 2AE AD DE AE 12 6
AE 5 36
AE 6 5 cm.
= +  = +
 = 
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Da figura, temos: 
( )25 3 3 n
25 9 3n
16 3n
16
n
3
=  +
= +
=
=
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Chamando o posto policial de P, obtemos uma nova figura: 
 
 
 
Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, obtemos: 
2 2 2
2
2
BC 60 80 BC 100 km
AC BC PB
60 100 PB
PB 36 km
= +  =
= 
= 
=
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Considere a ilustração a seguir: 
 
 
 
Logo, aplicando teorema de Pitágoras, temos: 
2 2 2d (5) (12) d 25 144 d 13m= +  = +  = 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Como 2 2 217 8 15 ,= + concluímos que o ângulo do triângulo com vértice no balão é reto. 
 
 
 
Portanto, a altura h do balão desprezando a altura dos pesquisadores será dadapor: 
17 h 8 15 17 h 120 h 7 km =    =  
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Altura = h 
 
2 2 2
2 2 2
(3,8) h 5 [I]
(10 3,8) h x [II]
+ =
− + =
 
 
Fazendo a diferença [II] – [I]: 
 
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2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
(10 3,8) h (3,8) h x 5
(10 3,8) (3,8) x 5
100 38 38 (3,8) (3,8) x 5
100 76 x 5
x 100 76 25
x 49 x 7
− + − − = −
− − = −
− − + − = −
− = −
 = − +
=  =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados. 
 
 
 
Sabemos que m n 7 m n 7− =  = + e que h 12.= 
 
Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos 
2
2
h mn (n 7)n 144
n 7n 144 0
n 9 ou n 16.
=  + =
 + − =
 = = −
 
 
Logo, m 9 7 16= + = e a m n 16 9 25 5 5.= + = + = =  Daí, como o triângulo dado é semelhante 
ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, segue que b 5 4 20=  = e c 5 3 15.=  = 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Observe primeiramente que: 
 
 
 
 
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Obtendo a hipotenusa temos: 
2 2 2
2 2 2
hip cat cat
hip 8 6
hip 100 10
= +
= +
= =
 
 
Analisando a altura relativa (h), temos: 
 
 
 
Segundo as propriedades referentes a altura relativa a hipotenusa podemos afirmar que: 
26 m 10 36 10m
m 3,6
=   =
=
 
 
E que: 
28 n 10 10n 64
n 6,4
=   =
=
 
 
Por fim, basta aplicar a relação h m n=  sobre o triangulo. Logo: 
2
2
h m n
h 3,6 6,4
h 23,04 4,8
= 
= 
= =
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Admitindo que o ponto D, pertencente a hipotenusa, é o ponto mais próxima da ilha, situada no 
ponto A. 
 
 
 
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2 2 2AC 8 10 AC 6+ =  = 
 
Calculando agora, a medida AD, temos: 
10 AD 6 8 AD 4,8 =   = 
 
Portanto, a menor distância do navio até a ilha, no lado de extremos B e C, será dada por 
AD 4,8 km.= 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Considere a situação: 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
2 2 2
2 2 2
2
2
hip cat cat
13 5 cat
cat 169 25
cat 144
cat 144
cat 12 cm
= +
= +
= −
=
=
=
 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se: 
( )
2 22 2
22 2 22
60 30 BC BC 2700 BC 30 3
A 'B 30 3 15 2700 225 A 'B 2925 A 'B 15 13 m
= + → = → =
= + = + → = → =
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
 
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Segundo o trajeto temos: 
 
 
 
Aplicando teorema de Pitágoras temos: 
2 2 2
2
d 150 200
d 22500 40000
d 62500 250 km
= +
= +
= =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Teremos: 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 22
2 22 2 2 2
2 2
retângulo
2r x x 2
10 x x 2 100 x x 4x 4 2x 4x 96 0
x 8 (não convém)
2x 4x 96 0 x 2x 48 0
x 6
S 6 6 2 48
= + +
= + + → = + + + → + − =
= −
+ − = → + − = →
=
=  + =
 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
 
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2 2
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hip cat cat
(a 3) (a 3) 18
a 6a 9 a 6a 9 324
12a 324
a 27
= +
+ = − +
+ + = − + +
=
=
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: 
2 2 2
2 2
2
2
(x 2) x 10
x 4 x 4 x 100
2x 4 x 96 0
x 2x 48 0
2 196
x
2 1
2 14
x
2
x 6 ou x 8 (não convém)
x 6 x 2 8
+ + =
+  + + =
+  − =
+ − =
− 
=

− 
=
= = −
=  + =
 
 
Portanto, a área A do retângulo, em 2cm , será dada por: 
2A 6 8 48 cm .=  =