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Marcelo Gomes Pereira
Métodos e Modelos Matemáticos
Fractais e Álgebra Linear
Autor
aula
05
D I S C I P L I N A
M
VERSÃO DO PROFESSOR
Met_Mod_Mat_A05_RF_IMBBW_250310.indd Capa1Met_Mod_Mat_A05_RF_IMBBW_250310.indd Capa1 18/06/12 10:3418/06/12 10:34
Aula 05 
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1. Ensino. 2. Aprendizagem. 3. Planejamento. I. Martins, André Ferrer Pinto. II. Título.
CDU 37 
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
1
2
1
Apresentação
Assim como a aula passada, esta também trata de fractais. A novidade é que 
estabeleceremos uma conexão entre esse assunto e a Álgebra Linear. Utilizaremos os conceitos 
vistos nessa disciplina como ferramentas para estudar os fractais.
Objetivos
Utilizar conceitos de Álgebra Linear para reconhecer 
conjuntos autossimilares.
Calcular dimensões fractais.
os 
uto
cul
SÃ
Os de Álgebra Linear para s de Álgebra Linear paratossimilares.ssimilares.
ular dimensões fractais.imensões fractais.
SÃ
Oos dos dutos
cula
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos2
Defi nições iniciais sobre 
conjuntos de pontos do plano
Antes de aprendermos como fazer uso da Álgebra Linear no estudo de fractais, 
precisaremos relembrar (ou conhecer) algumas defi nições.
Defi nição 1
Dizemos que um conjunto em R2 é limitado se couber dentro de algum círculo. 
Aqui vale a pena chamar a atenção para o fato de que essa defi nição não está relacionada 
com o limite que você já conhece do Cálculo. Dizer que um conjunto é limitado é diferente de 
dizer, de alguma forma, que seu limite existe.
Feita essa observação, podemos pensar em vários exemplos de conjuntos limitados. 
Qualquer região do plano em volta da qual pudermos desenhar uma circunferência é um 
conjunto limitado de pontos. Não importa se o raio dessa circunferência é grande ou pequeno. 
O que importa é o fato de podermos realizar a tarefa.
Por outro lado, uma reta não é um conjunto limitado. Não é possível conseguir um 
círculo que englobe toda a reta. Aqui é necessário tomar cuidado para não confundir reta com 
segmento de reta. Esse último é limitado.
Defi nição 2
Dizemos que um ponto X de um conjunto em R2 está na fronteira desse conjunto 
quando qualquer círculo que tenha centro em X contém pontos pertencentes e 
pontos não pertencentes ao conjunto. 
Na fi gura a seguir, vemos o conjunto A, formado pelos pontos que estão dentro da 
elipse e o ponto X que está em cima dela. Observe que se você tentar desenhar algum círculo 
centrado em X, ele necessariamente terá pontos que estão em A e pontos que estão fora de 
A. Portanto, X é um exemplo de ponto de fronteira de A. 
Note que o ponto Y não é um ponto de fronteira de A, pois é perfeitamente possível 
desenhar um círculo pequeno o sufi ciente de maneira que não contenha nenhum ponto que 
não pertença a A.
R
am
ê já
for
ess
er 
jun
O q
essa
e um
ar em
ual 
orta 
os r
eta 
a re
sse úRE
VI
SÃ
OR
2 é limitado se couber d
mar a atenção para o fato de quea atenção para o fato de qu
 já conhece do Cálculo. Dizer quece do Cálculo. Diz
orma, que seu limite existe.que seu limite existe.
ssa observação, podemos pensvação, podemos pens
r região do plano em volta da ião do plano em volta d
unto limitado de pontos. Não impimitado de pontos. N
O que importa é o fato de podermmporta é o fato de poder
Por outro lado, uma Por outro lado, uma
círculo que englobe todcírculo que englobe tod
gmento de reta. Egmento de reta.RE
VI
S
RR22
ama
ê já 
form
essa
er r
junt
O q
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
A Y
X
3
Figura 1 – Conjunto A e pontos X e Y
Defi nição 3
Um conjunto em R2 é dito fechado quando contém todos os seus pontos 
de fronteira. 
O conjunto A da Figura 1 só será considerado fechado se os pontos da elipse fi zerem 
parte dele. Caso algum ponto da elipse não faça parte do conjunto A, o conjunto não é fechado.
Defi nição 4
Dois conjuntos em R2 são ditos congruentes se pudermos fazê-los coincidir 
exatamente usando translações e rotações do plano. 
Na Figura 2, vemos exemplos de conjuntos congruentes. Note que podemos colocar um 
em cima do outro para que eles coincidam sem deformar nenhum deles.
Figura 2 – Conjuntos semelhantes
and
só s
da 
ção
nto
s po
o A
ongr
e ro
m
RE
VI
SÃ
O contém todos os seus p
ó será considerado fechado se oá considerado fechado s
a elipse não faça parte do conjunnão faça parte do conjun
juntos em R são ditos 
usando translaçEV
IS
ÃO
and
ó se
da e
ção
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Atividade 1
Y
X
S
Y
X
T(S)
T
4
Defi nição 5
Seja uma transformação linear T : R2 → R2 tal que T=(v)=αv para todo 
v ∈ R2 e algum α ∈ R, e um subconjunto S ⊂ R2. T(S ) é dito uma dilatação 
de S quando α > 1 e uma contração de S quando α < 1. 
A Figura 3 mostra uma contração do retângulo S por um fator α =
1
2
.
Figura 3 – Contração dada por T (v) =
1
2
v
Dê exemplos (diferentes dos que aparecem aqui) para cada uma das definições 
apresentadas nesta seção.
su
a
 r
e
sp
o
st
a
gulo
a 3 –
RE
V
REE
VI
SÃ
O
EV
IS
ÃOSÃ
O
SÃ
VI
S
VI
S
VI
SXX
OOYTT
SÃ
O
ulo
FigFig
RE
VI
SÃ
O
EV
IS
Ã
VI
S
gul
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
S
5
Conjuntos autossimilares
Na aula passada, você viu que fractais são conjuntos autossimilares. Veremos agora uma 
defi nição mais formal do que isso signifi ca.
Defi nição 6
Um subconjunto fechado e limitado do plano euclidiano R2 é dito autossimilar 
quando pode ser escrito na forma
S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sk,
onde S1 , S2 , · · · , Sk são conjuntos não-sobrepostos, cada um dos quais é 
congruente à contração de S pelo mesmo fator α(0 < α < 1). 
Na Figura 3, vimos um retângulo S e sua contração por um fator 1�2 . A Figura 4 mostra 
que S é formado por quatro cópias não sobrepostas de T(S). Por não sobrepostas devemos 
entender que a interseção é possível somente na fronteira.
Figura 4 – Retângulo S formado por 4 cópias suas
Então, de acordo com o que vemos na Figura 4, S é autossimilar, com k = 4 e α =
1
2
. 
Ou seja, temos S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 e cada Si é congruente a S1, que é a imagem de S pela 
contração T (v) =
1
2
v.
Já o conjunto de Cantor é formado por dois conjuntos que são congruentes a uma 
contração por um fator 1/3. Veja na Figura 5 que o conjunto todo é formado por duas cópias 
da parte destacada, cada uma com um terço do tamanho total.
R
∪ S
o-so
sm
m r
uat
ers
ais é
r um
T(S
ntei
RE
V
REEEE
VI
SÃ
Sk
brepostos, cada um dos q
< α < 1). 
m retângulo âng S e sua contração pe sua contraçS
uatro cópias não sobrepostas decópias não sobrepostas d
rseção é possível somente na fro é possível somente na
RE
V
R2
∪ SS
-so
smo
m re
uatr
erse
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
Atividade 2
6
Figura 5 – Conjunto de Cantor formado por duas cópias reduzidas pelo fator 1/3
Outro exemplo de conjunto autossimilar é o triângulo de Sierpinski. Note na Figura 6 que 
a parte destacada é imagem do todo por uma contração.
Figura 6 – Triângulo de Sierpinski (contração no detalhe)
Determine qual é o fator k da contração do triângulo de Sierpinski.
su
a
 r
e
sp
o
st
a
por 
sim
o p
RE
VI
SÃ
O
EV
IS
ÃOSSÃSÃSSSSÃSÃSSSSSÃSÃSÃ
O
SÃ
OÃÃSÃSÃ
EV
ISISVEV
ISIS
EV
ISISVVVVIVII
SISVIVIVVVVVVVI
SÃ
O
ISSSSISISISSSISIS
O
or duas
milar é o triângulo de milar é o triângulo de 
por uma contração.por uma contra
RE
VI
SÃSÃÃ
O
or d
imilim
o poo p
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
Atividade 3
7
Dimensão fractal de
conjuntos autossimilares
Com base na teoria desenvolvida até agora, podemos defi nir de forma mais precisa a 
dimensão fractal de um conjunto autossimilar.
Defi nição 7
A dimensão fractal de um conjunto autossimilar S é denotada por df (S) e é 
defi nida por df (S) =
ln k
ln(1/s)
. 
Baseados nessa defi nição, podemos encontrar as dimensões fractais dos exemplos desta 
aula. Os resultados encontram-se no quadro a seguir.
Quadro 1 – Dimensões fractais dos exemplos desta aula
Retângulo α =
1
2 k = 4
df (S) =
ln k
ln(1/s)
=
ln 4
ln 2
= 2
Conjunto de Cantor α =
1
3 k = 2
df (S) =
ln k
ln(1/s)
=
ln 2
ln 3
Triângulo de Sierpinski α =
1
2 k = 3
df (S) =
ln k
ln(1/s)
=
ln 3
ln 2
Use o novo método para encontrar as dimensões fractais dos outros exemplos que 
apareceram na aula anterior. Determine k e α em cada caso.
su
a
 r
e
sp
o
st
a
den
ntra
ro a
ens
tor
emp
) =
RE
VI
SÃ
Otrar as dimensões fractais dos exmensões fractais dos exo a seguir.eguir.
nsões fractais dos exemplos desta aulais dos exemplos desta 
1
V
2 k = 4
df (S
α
1
EV
k
Sierpinski α =
1E
IS
Ã
deno
ntra
ro a 
ensõ
tor
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos8
Semelhanças
Antes de vermos algumas técnicas para gerar fractais, precisamos da seguinte defi nição:
Defi nição 8
Uma semelhança de razão k, ou com fator de escala k, é uma aplicação de R2 
em R2 da forma
T
([
x
y
])
= k
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
][
x
y
]
+
[
e
f
]
,
onde k, μ, e e f são escalares. 
Cada um dos termos que aparecem na Defi nição 8 tem um propósito. O fator de escala k 
representa uma contração ou dilatação, conforme seu valor. A matriz com senos e cossenos 
representa uma rotação por um ângulo μ. O vetor 
[
e
f
]
 é uma translação.
O que está por trás dessa defi nição é a mesma ideia da semelhança de triângulos. Você 
diz que dois triângulos são semelhantes quando um deles puder ser obtido a partir do outro 
por meio de uma ampliação/redução mais uma rotação mais um deslocamento. Em resumo, 
dois triângulos (ou outra fi gura qualquer) são ditos semelhantes quando pudermos estabelecer 
uma aplicação de R2 em R2 da forma T
([
x
y
])
= k
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
][
x
y
]
+
[
e
f
]
, 
de forma que um dos triângulos seja a imagem do outro por T.
Assim, pela defi nição de conjuntos autossimilares, podemos dizer que tais conjuntos são 
escritos como S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sk, onde cada Si é semelhante a S. Nos próximos exemplos 
encontraremos as semelhanças que produzem os conjuntos S
1
, S
2 ,
..., S
k
 em cada caso.
Exemplo 1
Suponha que o retângulo apresentado na Figura 4 tenha seus vértices nos pontos 
dados por 
[
0
0
]
,
[
2
0
]
,
[
2
1
]
,
[
0
1
]
. Vamos nomear os retângulos que compõem o maior 
conforme a Figura 7. 
r d
[
c
ca
m do
a u
rese
[
finiçã
form
o μ
defi n
sem
ção/
utra 
de R
ue
RE
VI
SÃ
[
c − s
e cos θ
][
x
y
]
dos termos que aparecem na Demos que aparecem na D
uma contração ou dilatação, cocontração ou dilatação, co
esenta uma rotação por um ângua uma rotação por um
O que está por trás dessaue está por trás dessa
diz que dois triângulos sãodiz que dois triângulos sã
por meio de uma amplipor meio de uma ampl
ois triângulos (ou oois triângulos (ou
icaçãoicaçRE
V
r d
[[
coc
cala
 dos
a um
ese
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Met_Mod_Mat_A05_RF_IMBBW_250310.indd Miolo8Met_Mod_Mat_A05_RF_IMBBW_250310.indd Miolo8 18/06/12 10:3418/06/12 10:34
Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
Atividade 4
S
1
S
4
S
3
S
2
9
Figura 7 – Retângulo S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4
Note que S
1
 é simplesmente uma contração do retângulo maior, sem rotação e sem 
translação. Nesse caso, a semelhança que resulta em S
1
 tem k =
1
2
, rotação com μ=0 e translação 
com 
[
e
f
]
=
[
0
0
]
 . Ou seja, temos T1
([
x
y
])
=
1
2
[
1 0
0 1
][
x
y
]
+
[
0
0
]
=
1
2
[
x
y
]
.
Já no caso de S
2 
, além de termos uma contração pelo mesmo fator de S
1 
 e a rotação 
zero, temos também uma translação. Veja que o canto inferior esquerdo de S
1 
 está na origem, 
assim como o de S, enquanto que o de S
2
 está no ponto correspondente a 
[
1
0
]
. Isso signifi ca 
que T2
([
0
0
])
=
1
2
[
1 0
0 1
][
0
0
]
+
[
e
f
]
=
[
1
0
]
. Logo, temos e =1 e f =0. Então a 
semelhança que resulta em S
2
 é dada por T2
([
x
y
])
=
1
2
[
x
y
]
+
[
1
0
]
.
Encontre as semelhanças T
3
 e T
4
 que resultam nos retângulos S
3
 e S
4
, respectivamente.
su
a
 r
e
sp
o
st
a
3 ∪
o re
m S
1
([
 te
ans
nq
0
])
e tra
[
0
]
mo 
esq
cor]
=
[
1
or TRE
VI
SÃ
O
∪ S44S
retângulo maior, sem roretângulo maior, semro
S
1
S tem te kk ==
1
ÃO
22
, rotação com , rotação com μμ=0=
([
x
y
])])
=
11
SÃ
22
[[
1 00
0 10 1
][][
x
y
]]
termos uma contração pelo meos uma contração pelo m
nslação. Veja que o canto inferioja que o canto inferio
quanto que o de to que o de SS
22
SSS está no pont está n])
=
1
R
22
[[
1 01 0
0 10 1
][][
00
0
]]
+
[[
e
f
]]
resulta emresulta em SS
2
S é dada é dadaRE
VI
SÃ
O
3 ∪
o re ret
m S
1
([
ter
ans
nqu
0
])
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
Y
X1
√3/2
10
Exemplo 2
Consideremos S como o triângulo de Sierpinski com lado 1 e numeração semelhante ao 
caso do retângulo. Então seus vértices estão nos pontos 
[
0
0
]
,
[
1
0
]
,
[
1/2√
3/2
]
, os vértices 
de S
1
 estão em 
[
0
0
]
,
[
1/2
0
]
,
[
1/4√
3/4
]
, os de S
2
 em 
[
1/2
0
]
,
[
1
0
]
,
[
3/4√
3/4
]
 e os de S
3
 
em 
[
1/4√
3/4
]
,
[
3/4√
3/4
]
,
[ √
3/2
1/2
]
 .
Logo, as semelhanças envolvidas na construção de S são:
T1
([
x
y
])
=
1
2
[
x
y
]
,
T2
([
x
y
])
=
1
2
[
x
y
]
+
[
1/2
0
]
 e 
T3
([
x
y
])
=
1
2
[
x
y
]
+
[
1/4√
3/4
]
.
Algoritmo para gerar fractais
Agora, você verá um procedimento iterativo que determina S a partir das semelhanças 
que o defi nem. Começamos com um exemplo do procedimento e depois damos o algoritmo 
para o caso geral. 
Passo 0. Consideramos o triângulo de lado 1 mostrado na Figura 8.
Figura 8 – Triângulo de lado 1
ons([
x
]
[
/2
]
[
x
]
rá u
Com
geraRE
VI
SÃ
O
nstrução de nstrução d S são:ão:S([
x
y
])])
==
1
Ã
22
[[
x
yy
]]
,
T2T
([([
xx
yy
])])
=
11
SÃ
2
[[
x
yy
]
+
[[
TT3T
([([
x
yy
])])
==
11
[
Algoritmo p
Agora, você vAgora, você 
defi nem. defi ne
oRE
VI
SÃ
O
onston([
x
]]
VERSÃO DO PROFESSOR
Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________
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Aula 05 Métodos e Modelos Matemáticos
Y
X1
√3/2
Y
X1
√3/2
11
Passo 1. Aplicamos as três semelhanças do triângulo de Sierpinski a esse triângulo para obter 
o que está mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Imagens do triângulo pelas semelhanças
Passo 2. Aplicamos novamente as mesmas três contrações ao conjunto mostrado na Figura 9. 
O resultado aparece na Figura 10.
Figura 10 – Imagens do triângulo vazado pelas semelhanças
Continuando esse processo indefi nidamente, no limite, teremos o triângulo de Sierpinski.
A escolha do triângulo de lado 1 para iniciar o processo poderia ter sido substituída pela 
escolha de qualquer outro conjunto não-vazio, limitado e fechado de R2.
Podemos, agora, enunciar o algoritmo utilizado no exemplo anterior. Sejam T1 , T2 , . . . , Tk 
semelhanças contrativas (que são contrações) de mesma razão e, para algum conjunto 
arbitrário Q em R2, defi na o conjunto τ(Q) por
τ(Q) = T1(Q) ∪ T2(Q) ∪ . . . ∪ Tk(Q).
O algoritmo a seguir gera, no limite, um fractal.
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Q Q
1
Q
2
Q
5
12
Algoritmo para gerar fractais
Passo 0. Escolha um conjunto Q em R2 que seja não-vazio, limitado e fechado.
Passo 1. Encontre Q1 = τ(Q).
Passo 2. Encontre Q2 = τ(Q1).
Passo 3. Encontre Q3 = τ(Q2).
.
.
.
Passo n. Encontre Qn = τ(Qn−1).
.
.
.
A Figura 11 a seguir mostra a aplicação desse algoritmo até o passo 5.
Figura 11 – Triângulo de Sierpinski obtido por meio de um conjunto limitado e fechado qualquer
Resumo
Nesta aula você aprendeu que podemos utilizar conceitos de Álgebra Linear 
para gerar fractais. Viu como defi nir mais formalmente o que são conjuntos 
autossimilares e também aprendeu a calcular a dimensão fractal como resultado 
da nova defi nição.
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Anotações
13
Autoavaliação
Identifi que as semelhanças que dão origem ao fractal Floco de Neve.
Referências
ANTON, Howard A.; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.
MANDELBROT, BENOIT B. The fractal geometry of nature. [s.l.]: W.H. Freeman and 
Company, 2000.
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