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15 Noções de probabilidades – probabilidade condicional 
Meta da aula
Apresentar os conceitos básicos que envolvem o cálculo das 
probabilidades condicionadas.
Objetivos 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
conceituar probabilidade condicionada;
realizar cálculos que envolvam probabilidades condicionadas;
diferenciar probabilidade condicionada de regra do produto.
Pré-requisitos
Para que você encontre maior facilidade na compreensão desta 
aula, são necessários os conceitos básicos de probabilidades das 
Aulas 13 e 14.
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1
3
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Aula 15 • Noções de probabilidades – probabilidade condicional
Introdução 
Ocorrem em muitas situações práticas de você ter uma informação 
extra sobre a ocorrência de determinado evento e de essa infor-
mação ser útil para o cálculo da probabilidade do evento do seu 
interesse – por exemplo, no lançamento de um dado, o evento cuja 
probabilidade é ocorrer o número três. Você viu, na Aula 14, que o 
valor dessa probabilidade é de 1/6, porém, se você for informado 
que nesse lançamento ocorreu um número menor do que quatro, 
essa informação poderá entrar no cálculo da probabilidade de 
ocorrer o número 3. A forma como isso pode ser feito é o assunto 
desta aula.
Definição: probabilidade condicional
Muitas vezes, o fato de ficarmos sabendo que certo evento 
ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a 
outro evento. Denotaremos por P(E2/E1) a probabilidade do evento 
E2 sabendo-se que E1 ocorreu ou, simplesmente, probabilidade de 
E2 condicionada a E1.
Com base na definição intuitiva de probabilidade, pode-se 
calcular a probabilidade condicional do evento E2 ocorrer, dado 
que o evento E1 já ocorreu (ou de que já se tenha conhecimento 
de E1), pela fórmula:
 P(E2 ∩ E1)
P(E2 / E1) = 
 P(E1)
ou
 n(E2 ∩ E1)
P( E2 / E1) = 
 n(E1)
Obs.: Com P(E1) ≠ 0.
Estatística
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Regra do produto para eventos condicionados
A regra do produto para eventos condicionados é útil, 
pois permite que você calcule a probabilidade de ocorrência da 
interseção de dois eventos, quando se tem conhecimento da 
probabilidade condicional. 
Assim, se dois eventos são condicionados, pode-se obter 
das expressões de probabilidades condicionadas:
P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2/E1)
Exemplo:
Uma pesquisa de perfil demográfico feita junto a vinte 
turistas adultos, cadastrados em uma agência de viagens, revelou 
a base de dados na tabela a seguir:
Tabela 15.1: Perfil de turistas
Turista Sexo Idade Nível escolar Número de filhos Classe social
1 M 35 2 2 B
2 M 25 2 1 B
3 F 40 3 1 C
4 M 25 2 3 B
5 M 32 2 2 C
6 F 22 2 0 C
7 M 37 3 2 B
8 M 28 2 0 B
9 F 25 2 1 B
10 F 39 3 2 C
11 M 35 1 1 B
12 F 21 1 0 A
13 F 27 0 0 A
14 F 45 2 2 C
15 M 57 4 4 C
16 F 33 2 2 A
17 M 36 1 0 B
18 M 35 2 2 C
19 M 33 2 2 B
20 F 22 3 0 C
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Aula 15 • Noções de probabilidades – probabilidade condicional
Os códigos usados para montar a base de dados foram:
Variável sexo: M-masculino e F-feminino;
Variável idade: idade em anos (em dois dígitos);
Variável nível escolar: 0 - ausência de nível escolar; 1 - Ensino Fun-
damental; 2 - Ensino Médio; 3 - Ensino Superior; 4 - Pós-graduação;
Variável nº filhos: número de filhos do morador;
Variável classe social: A - alta; B - média; C - baixa.
Qual a probabilidade de que, ao selecionar aleatoriamente 
um turista dessa base de dados, os eventos a seguir ocorram?
a) Dado que é mulher, ter menos de 2 filhos.
b) Dado que é homem, ser da classe social C. 
c) Dado que é da classe social B, não ter mais que 3 filhos.
d) Que seja um homem, sabendo-se que tem nível de esco-
laridade médio e classe social baixa. 
e) Que seja um turista de Ensino Médio, com 2 ou menos 
filhos, sabendo-se que tem 30 anos ou mais.
Solução:
Antes de partir para a resposta, lembre-se de que é necessário 
sempre fazer a representação do espaço amostral (S). Neste caso, 
não precisaremos, pois a Tabela 15.1 já é essa representação. 
a) A probabilidade de ter menos de 2 filhos, dado que é 
mulher, é calculada pela condicional a seguir:
P(<2filhos|F) = 6/9. 
Primeiro verifique a quantidade de mulheres (note que 
essa é a condição da probabilidade). O resultado será 9 mulheres. 
Atendida a condição, contam-se as mulheres que têm menos de 
2 filhos (isso quer dizer que as mulheres com 2 ou mais filhos 
estão excluídas). O resultado dessa contagem será 6, de onde 
chegamos ao resultado P(<2filhos|F) = 6/9. 
Pronto. Utilizando-se dessa lógica, você já adquiriu os sub-
sídios necessários para entender e fazer os outros exemplos e 
atividades.
Estatística
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b) A probabilidade de ser da classe social C, dado que é 
homem, é calculada pela condicional a seguir:
P(C|H) = 3/11
c) A probabilidade de não ter mais que 3 filhos, dado que é 
da classe social B, é calculada pela condicional a seguir:
P(<3filhos|B) = 9/9 
d) A probabilidade de que seja um homem, sabendo-se que 
tem nível de escolaridade médio e classe social baixa, é calculada 
pela condicional a seguir:
P(H| 2 ∩ C) = 2/4 
e) A probabilidade de que seja um turista com Ensino 
Médio, com 2 ou menos filhos, e sabendo-se que tem 30 anos ou 
mais, é calculada pela condicional a seguir:
P(2 ∩ ≤ 2| ≥ 30 anos) = 6/11 
Atividade 
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
1. Em uma cidade existem 15.000 usuários de telefonia, dos quais 
10.000 possuem telefones fixos, 8.000 deles, telefones móveis e 
3.000, telefones fixos e móveis. Seja a experiência aleatória de 
uma operadora de telefone móvel, selecionar uma pessoa da ci-
dade para oferecer uma promoção do tipo “Fale grátis de seu 
móvel para seu fixo”, pergunta-se:
a. Já sabendo que ela tem telefone móvel, qual a probabilidade 
de ela ter telefone fixo também?
b. Já sabendo que ela tem telefone fixo, qual a probabilidade de 
ela ter telefone móvel também?
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Aula 15 • Noções de probabilidades – probabilidade condicional
Respostas Comentadas
O espaço amostral S desse problema é dado por:
F
7000
M
5000
MF
3000
Nomeando os eventos de interesse, temos:
F = pessoa com telefone fixo. 
M = pessoa com telefone móvel.
MF = pessoa com telefone fixo e móvel.
Assim, você pode calcular as probabilidades condicionais solicitadas 
por meio de:
a.
 n(MF) 3.000
P(F|M) =  =  = 3/8 = 0,375.
 n(M) 8.000
b.
 n(MF) 3.000
P(M|F) =  =  = 3/10 = 0,3.
 n(M) 10.000
Atividade
Atende aos Objetivos 1 e 2
2. Em uma escola com 100 alunos, 40 estudam só Biologia, 30 
estudam só Alemão, e 20 estudam Biologia e Alemão. Qual é a 
probabilidade de um aluno que já estuda Biologia estudar tam-
bém Alemão?
Estatística
181
Resposta Comentada
Espaço Amostral S
E1 = aluno estudar Biologia. 
E2 = aluno estudar Alemão.
 P(E2 ∩ E1) 20/100
P(E2|E1) =  =  = 20/60 = 33%.
 P(E1) 60/100
Você pode concluir, com o que foi estudado nesta aula, que quando 
a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência de outro 
evento, essa informação agregará confiabilidade ao ser incluída no 
cálculo da probabilidade da ocorrência do evento de interesse.
Atividade
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
3. Suponha que a seguinte tabela represente uma possível divisão 
dos alunos matriculados em um dado instituto de Matemática, 
clientes de uma viagem de excursão para um passeio turístico:
Curso
Sexo
Total
M F
Matemática Pura 70 40 110
Matemática Aplicada 15 15 30
Estatística10 20 30
Computação 20 10 30
Total 115 85 200
M = masculino; F = feminino.
40
B
30
A
2010
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Aula 15 • Noções de probabilidades – probabilidade condicional
Seleciona-se aleatoriamente um aluno presente na excursão. Foi 
constatado que ele é do curso de Estatística. Qual a probabili-
dade de ele ser homem?
Resposta Comentada
Sejam os eventos:
E1 = aluno do curso de Estatística;
E2 = aluno do sexo masculino. 
Assim, a probabilidade condicional de ocorrer E2, dado que E1 ocor-
reu, é dada por:
 P(E2 ∩ E1) 10/200
P(E2|E1) =  =  = 10/30 = 33%.
 P(E1) 30/200
Atividade
Atende aos Objetivos 1, 2 e 3
4. Considere o lançamento de um dado e a observação da face 
superior. Considere os seguintes eventos: 
E1 = {2,3,4,5} e E2 = {1,3,4};
E1 = {1,3,5,6} e E2 = {1,3,6};
E1 = {2,3,5,6} e E2 = {1,2};
Em cada caso, obtenha a probabilidade condicional P(E2|E1) e in-
dique se os eventos E1 e E2 são independentes ou condicionados.
Estatística
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Respostas Comentadas
a) Considerando os eventos E1 = {2,3,4,5} e E2 = {1,3,4}, temos que a 
sua interseção será dada por: E2 ∩ E1 = {3,4}.
Com isso, você pode calcular as probabilidades: P(E2 ∩ E1) = 2/6 e P(E1) 
= 4/6. Assim, a probabilidade condicional de E2 , dado que E1 ocorreu, 
será dada por:
 P(E2 ∩ E1) 2/6
P(E2|E1) =  =  = 1/2 = 50%.
 P(E1) 4/6 
P(E2) = 3/6 = 50% (probabilidade incondicional).
Desse modo, conclui-se que a informação adicional de que E1 já 
ocorreu não altera a ocorrência de E2 ; portanto, são independentes.
b) Sejam os seguintes eventos de interesse: E1 = {1,3,5,6} e E2 = 
{1,3,6}. 
A interseção desses eventos é dada por: E2 ∩ E1 = {1,3,6}.
Você, dessa maneira, pode calcular as probabilidades: P(E2 ∩ E1) = 
3/6 e P(E1) = 4/6.
Assim, a probabilidade condicional de E2 , dado que E1 ocorreu, será 
dada por:
 P(E2 ∩ E1) 3/6
P(E2|E1) =  =  = 3/4 = 75%.
 P(E1) 4/6 
P(E2) = 3/6 = 50% (probabilidade incondicional).
Esse resultado permite você concluir que a informação adicional de 
que E1 já ocorreu altera a ocorrência de E2. A chance de ocorrer E2 fica 
mais certa; portanto, são condicionados.
c) Sejam os eventos de interesse: E1 = {2,3,5,6} e E2 = {1,2}.
A interseção desses eventos é dada por: E2 ∩ E1 = {2}.
Você pode, então, calcular as probabilidades: P(E2 ∩ E1) = 1/6 e P(E1) 
= 4/6.
Assim, a probabilidade condicional de E2 , dado que E1 ocorreu, será 
dada por:
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Aula 15 • Noções de probabilidades – probabilidade condicional
 P(E2 ∩ E1) 1/6
P( E2|E1) =  =  = 1/4 = 25%.
 P(E1) 4/6 
 
P(E2) = 2/6 = 33% (probabilidade incondicional).
Conclui-se que a informação adicional de que E1 já ocorreu altera a 
ocorrência de E2. A chance de ocorrer E2 fica menos certa; portanto, 
são condicionados.
A essa altura deve estar claro que as noções de indepen-
dência e probabilidade condicionada estão intimamente ligadas. 
O efeito da independência de E1 e E2 é tornar as probabilidades 
incondicionais iguais às respectivas probabilidades condicionais. 
Atividade Final
Atende ao Objetivo 3
Numa grande agência de turismo, existem 4 turismólogos e 5 
administradores de empresas. Seja a experiência aleatória de se-
lecionar quatro desses profissionais, sem reposição, para formar 
uma comissão de elaboração de um novo plano turístico para 
uma cidade em alta temporada. Qual a probabilidade do seguinte 
evento:
{turismólogo ∩ administrador ∩ turismólogo ∩ administrador}?
Resposta Comentada
Vamos chamar:
TUR – o evento selecionar um turismólogo;
ADM – o evento selecionar um administrador.
Estatística
185
Logo, a probabilidade pedida é: P(TUR ∩ ADM ∩TUR ∩ ADM) = ?
Como esses eventos são independentes, você irá calcular essa pro-
babilidade utilizando a regra do produto, o que resultará em:
P(TUR ∩ TUR ∩ TUR ∩ TUR) =
 4 5 3 4
 x  x  x  = 240/3.024 = 0,08. 
 9 8 7 6
Resumo
Probabilidade condicionada consiste em calcular a probabilidade 
de um evento ocorrer sabendo que um outro evento já ocorreu. 
No cálculo da probabilidade de um evento ocorrer, é incluída a 
informação adicional de que um outro evento já ocorreu. Proba-
bilidade condicionada não é teorema. Seu cálculo se baseia na 
definição clássica de probabilidades. O número total de casos 
possíveis da probabilidade condicionada fica restrito ao evento 
que já ocorreu, e o número de casos favoráveis é o número de 
casos da interseção dos dois eventos envolvidos na probabili-
dade condicionada.
Informação sobre a próxima aula
A próxima aula é um dos temas mais importantes da teoria 
das probabilidades, e generaliza a regra do produto para even-
tos condicionados, permitindo que se “invertam” probabilidades 
dada uma partição do espaço amostral.