Fenômenos de Transporte - aulas 1 a 3

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Fenômenos de 
Transporte
Parte I
1 – Introdução
1-1 – Massa específica
1.2 – Densidade
1.3 – Peso específico
1.4 – Viscosidade
1
• Disciplina: Fenômenos de Transporte (CCT01221).
Ementa: Introdução, Hidrostática, Leis fundamentais do escoamento de fluidos, Relações 
integrais: aplicações em bombas e turbinas, Equação da energia, Escoamento em dutos, 
Fundamentos da transmissão do calor e massa, Condução: equações diferenciais, regimes 
permanentes e não permanentes, Convecção: parâmetros adimensionais, Métodos exatos e 
aproximados de solução, Correlações, Radiação: natureza, leis e coeficientes, Equipamentos 
de troca de calor, Transferência de massa.
Conteúdo Programático:
1. Introdução da Disciplina:
1.1 Introdução: Fenômenos de transporte;
1.2 Meio contínuo;
1.3 Descrição de Lagrange e Euler.
2. Hidrostática:
2.1 Fluido: Definição, força de corpo e força de superfície;
2.2 Pressão, tensão;
2.3 Forças sobre superfícies submersas.
3. Leis fundamentais do escoamento dos fluidos:
3.1 Relações integrais: conservação de massa, quantidade de movimento, conservação 
de energia;
3.2 Máquinas de fluxo;
3.3 Escoamento em dutos.
4. Fundamentos de transmissão de calor e massa:
4.1 Introdução à transmissão de calor;
4.2 Condução: Regimes permanentes e não permanentes;
4.3 Convecção: Mecanismos de transportes de energias, métodos exatos e aproximados 
de soluções, correlações;
4.4 Radiação: natureza, leis e coeficientes;
4.5 Equipamentos de troca de calor: classificação, cálculos de transferência de calor;
4.6 Transferência de massa: difusão molecular e difusividade.
3
Unidades de medida
Medida S.I Inglês Métrico 
Tempo (t) Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s)
Comprimento (L) Metro (m) Pé (ft) Metro (m)
Massa (M) Massa (kg) Libra-massa (lb) Quilograma
(Kg)
Temperatura (T) Kelvin (K)
Tk=Tc+273,15
Farenheit (°F)
TF=1,8.Tc+32
Celsius (°C)
Força (F) Newton (N)
F=m.a=Kg.m.s-2
Libra-força (lbf) Kilograma-força
(Kgf)
Energia (E) Joule (J)
E=F.dx=N.m
Lbf.ft (BTU) Kgfm (kcal)
Potencia (P) Watt (W(=J/s)) BTU/s Kcal/h
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Sistema Internacional:
Comprimento: metro (m)
Tempo: segundo (s)
Força: newton (N)
Temperatura: Kelvin (K).
K=°C+273,15
Sistema britânico de 
unidades:
Comprimento: pé (ft)
Tempo: segundo (s)
Força: libra força (lbf)
Temperatura: °F ou 
Rankine (°R) quando T é 
absoluta.
°R=°F+459,67
5
Propriedades dos Fluidos
 Através das propriedades dos fluidos, pode-se distinguí-los e caracterizá-
los individualmente.
 Desta forma, as expressões matemáticas da Mecânica dos Fluidos são
aplicáveis para qualquer fluido, sendo seu resultado particularizado para
cada fluido individualmente, dependendo dos valores assumidos por suas
propriedades físicas, em função das condições ambientais e da posição
dentro de um mesmo fluido.
1 – MASSA ESPECÍFICA (ρ): Relação entre a massa do fluido e o volume 
que contém esta massa.
𝜌 =
𝑚
𝑉
Onde m é a massa do fluido e V o volume do fluido.
Podem se encontradas as seguintes as unidades de medida em Fentran:
SI kg/m3; Sistema CGS g/cm3; Sistema MKS (Técnico) kgf.m-4.s2 6
2 - DENSIDADE RELATIVA OU DENSIDADE (SG ou d)
É a relação entre a massa específica de uma substância e de outra,
tomada como referência. É adimensional.
𝑆𝐺 = 𝑑 =
𝜌𝑠𝑢𝑏
𝜌𝑠𝑢𝑏 𝑟𝑒𝑓
Onde 𝜌sub = massa específica do fluido em estudo; 𝜌sub ref = massa 
específica do fluido tomado como referência.
A referência usualmente adotada para os líquidos é a água a 4º C e 
para os gases é o ar atmosférico a 15,6 °C.
7
3 – PESO ESPECÍFICO (𝛾): É a relação entre o peso do fluido e o
volume que contém este peso.
𝛾 =
𝑃
𝑉
=
𝑚𝑔
𝑉
= 𝜌𝑔
Onde P é o peso do fluido (P=mg) e V o volume do fluido.
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas:
SI N/m3; Sistema CGS dines/cm3; Sistema MKfS (Técnico) kgf/m3.
4 – CALOR ESPECÍFICO (cp): É a quantidade de calor necessária,
que deverá ser fornecida a um fluido, para que haja variação de
sua temperatura.
A água é um dos fluidos que possui calor específico bastante alto.
Na prática adota-se, para a água: Cp = 1 cal/g.°C = 4180 J/Kg.°C.
(1 cal = 4,18 J)
8
Viscosidade dos fluidos
9
Define-se tensão de cisalhamento (𝜏)como a razão entre a componente 
tangencial da força F e a área da superfície onde ela é aplicada, necessária 
para manter o escoamento do fluido :
𝜏 =
𝐹𝑥
𝐴
No SI: N/m2;
As camadas do fluido em escoamento 
apresentam diferencial de velocidade 
em relação a y, neste caso temos uma 
taxa de deformação, deslocamento 
relativo das partículas ou moléculas do fluido. :
𝛾 =
𝑑𝑢
𝑑𝑦
A tensão e a taxa de deformação são proporcionais:
𝜏 ∝ 𝛾
Para alguns fluidos temos:
𝜏 ∝ 𝛾  𝜏 = 𝜇𝛾 onde 𝜇 é a viscosidade do fluido. 10
𝜇 expressa em:
Kg/(m.s) ou Pa.s, SI;
g/(cm.s) ou dina.s/cm2 
(poise), (c.g.s.)
lbf.s/ft2 (inglês)
O poise é a 
unidade de 
viscosidade 
dinâmica no 
sistema CGS de 
unidades. Seu 
nome é uma 
homenagem a 
Jean-Louis-Marie 
Poiseuille.
Centipoise -cp
11
Tipos de Fluido – Baseado no 
comportamento do fluxo
O comportamento dos fluidos pode ser definido 
mediante o comportamento reológico através da 
relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de 
deformação: 
12
Fluidos Newtonianos
O comportamento newtoniano é aquele em que a viscosidade é
afetada pela temperatura e pressão, mas não varia com o aumento da
taxa ou tensão cisalhante, sendo esta denominada como viscosidade
absoluta, portanto constante em condições de pressão e temperatura
constantes.
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COMPORTAMENTO REOLÓGICO
NÃO-NEWTONIANO
NÃO-
NEWTONIANO
Independentes 
do Tempo 
Dilatantes 
Pseudoplascitidade, 
Fluidos de Binghan
Dependentes 
do Tempo 
Tixotrópico e
reopético
Viscoelásticos
Observados em 
polímeros
Fenômeno da Potência 
• Alguns fluidos apresentam uma relação
entre a tensão de cisalhamento e a taxa
de deformação não linear. Desta forma,
Ostwald propôs um modelo que pode ser
descrito matematicamente como:
• Os fluidos que obedecem este modelo são
conhecidos como fluidos da Lei das
Potências.
Fenômenos Não Newtonianos Independentes do Tempo 
n>1 → fluido dilatante 
n=1 → fluido Newtoniano 
n<1 → fluido pseudoplástico
Fenômeno da Potência 
Fenômenos Não Newtonianos Independentes do Tempo 
 fluido dilatante 1 : O fluido dilatante apresenta comportamento de viscosidade 
aparente crescente com o aumento da taxa de cisalhamento 
 fluido Newtoniano 2 
→ fluido pseudoplástico 3: O fluido pseudoplastico apresenta comportamento de 
viscosidade aparente decrescente com o aumento da taxa de cisalhamento 
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MODELO DE FLUXO DE BINGHAM
Fluidos caracterizados pela
existência de um valor de
tensão residual de
cisalhamento que deve ser
excedida para que o material
apresente um fluxo viscoso
Fenômenos Não Newtonianos Independentes do Tempo 
Tixotrópicos
Fluidos tixotrópicos são aqueles
caracterizados pela diminuição da
viscosidade aparente do líquido com o
tempo de aplicação a uma dada taxa de
deformação
Fenômenos Não Newtonianos dependentes do Tempo 
Todo fluido tixotrópico é
pseudoplástico, mas nem todo
fluido pseudoplástico é tixotrópico.
tempo necessário para que a 
viscosidade aparente se 
mantenha constante é 
denominado de “tempo de 
estabilização” (Te), é dependente 
da taxa de cisalhamento imposta 
ao fluido. 
Reopéticos
Fluidos Reopéticos: fluidos que apresentam
comportamento oposto aos fluidos
tixotrópicos. Apresentam um aumento da
viscosidade aparente com o tempo a uma
dada taxa de cisalhamento.
Fenômenos Não Newtonianos dependentes do Tempo 
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VISCOSIDADE CINEMÁTICA (ν)
É o quociente entre a viscosidade dinâmica 𝜇 e a massa específica 𝜌 do fluido.
𝑣 =
𝜇
𝜌
19
20
Exemplo
O espaço entre duas placas paralelas está preenchido com
um óleo que apresenta viscosidade dinâmica igual a 4,56 x
10-2 N.s.m-2. A placa inferior é imóvel e a superior esta
submetida a uma força P. Veja Figura a seguir. Se a
distância entre as placas é de 2,5 mm,qual deve ser o
valor de P para que a velocidade da placa superior seja
igual a 0,9 m/s. Admita que a área da placa superior seja
de 0,13 m2.
21
FLUIDO COMO UM CONTÍNUO
Qual a definição de fluido dada na aula anterior?
Não nos preocupamos com a estrutura molécular do fluido. Porém, todo 
fluido é um conjunto de moléculas que estão em constante movimento.
Em nosso estudo estaremos interessados no valor médio das propriedades
ou no comportamento macroscópico deste conjunto de moléculas.
Veja o que ocorre com a massa específica:
Considere uma unidade 
de volume C:
Com massa = 
Volume =
Assim:
V
m
V
m
c



A massa específica será a mesma em 
todo o volume?
Fenômenos de Transporte – Introdução 
22
Se fizermos um gráfico de massa específica em função do volume
observaremos que o valor do volume deve ser suficientemente grande para
termos um valor assintótico representativo da propriedade.
V
m
VV 



lim
'

Trataremos qualquer fluido como substância que pode ser
dividida ao infinito,um contínuo, sempre mantendo suas
propriedades, sem nos preocuparmos com o comportamento
individual de suas moléculas.
23
• A massa específica em qualquer ponto no interior de um fluido pode
variar, tal variação é atribuída ao trabalho realizado sobre o fluido.
• Deste modo representamos a massa específica em uma notação de
campo onde as variáveis de tempo (t) e espaço (x,y,z) são
consideradas:
• A massa específica não se trata de uma grandeza vetorial, portanto
estamos tratando de um campo escalar, onde apenas temos a
magnitude de uma grandeza.
• Podemos trabalhar em alguns casos com o peso específico que é
o peso do fluido pelo volume ocupado, matematicamente temos:
),,,( tzyx 
24
Os fluidos são compostos de moléculas em movimento constante,
onde ocorrem colisões freqüentes. Para se analisar com exatidão,
deve-se considerar a ação de cada molécula ou grupo de moléculas
em um escoamento.
Tais considerações são pouco práticas na maioria dos problemas.
Interessam as manifestações médias mensuráveis de várias
moléculas (por exemplo: densidade, pressão, temperatura...).
Pode-se considerar que surjam de uma distribuição conveniente da
matéria, que denominamos de contínuo, ao invés de um
aglomerado de moléculas discretas.
Ou seja, no estudo dos fluidos desprezam-se o espaçamento e
atividade moleculares, considerando-o como um meio contínuo que
pode ser dividido infinitas vezes em partículas fluidas entre as quais
se supõe não haver vazios.
25
• Qualquer propriedade de um fluido tem valor
definido em cada ponto do espaço.
Densidade, Temperatura, Velocidade e outras propriedades são
funções contínuas do espaço e do tempo.
• A hipótese do contínuo falha quando o livre
caminho médio de colisão entre as moléculas
torna-se da mesma ordem de grandeza da
menor dimensão característica do problema
estudado.
Por exemplo no escoamento dos gases
rarefeitos: “caminho médio que uma molécula
poderia caminhar sem colidir com nenhuma
outra” é grande.
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Descrição e classificação do escoamento dos fluidos 
No escoamento de fluidos não viscosos a viscosidade é supostamente nula. Este
fluido não existe, mas, em alguns problemas, a hipótese simplifica a análise e
conduz a resultados satisfatórios.
27
Um escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas
movem-se em camadas, ou lâminas.
No escoamento turbulento as partículas fluidas rapidamente se
misturam, enquanto se movimentam ao longo do escoamento, devido
às flutuações aleatórias no campo tridimensional de velocidades.
O escoamento em dutos é laminar quando Re é menor que 2300
Exemplo:
Escoamento de fluido viscoso
28
Escoamentos compressíveis e Incompressíveis
• Os escoamentos onde as variações de massa especifica do fluido
são desprezíveis denominam-se incompressíveis. Quando estas
variações não podem ser desprezadas os escoamentos são ditos
compressíveis.
• Para a maioria dos casos práticos os escoamentos de líquidos são
incompressíveis.
• Os gases também podem se comportar como fluidos
incompressíveis desde que a velocidade do escoamento seja
pequena em relação à velocidade do som.
Escoamentos compressíveis aparecem em : sistemas de ar comprimido; gases
em tubulações a altas pressões; controles pneumáticos e hidráulicos;
ventiladores; compressores, etc. 29
PRESSÃO ESTÁTICA
Pressão em um ponto do fluido
 Considere a cunha mostrada na Figura abaixo.
 Nela estão atuando as forças devido ao peso e devido à pressão sobre cada 
uma de suas superfícies.
 Para facilitar nossa compreensão usaremos apenas as forças que atuam na 
direção dos eixos de coordenadas y e z as forças em x não serão usadas.
30
O somatório das forças que atuam no eixo y 
e z pela Segunda Lei de Newton será:
σ𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
σ𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
Podemos substituir o termo m pelo produto 
do volume da cunha pela massa específica 
do fluido:
𝑚 = 𝜌𝛿𝑉
𝛿v é o volume do elemento diferencial dado 
por:
𝛿𝑉 =
𝛿𝑥. 𝛿𝑦. 𝛿𝑧
2
Onde 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 𝑒 𝛿𝑧 corresponde ao
comprimento de cada um dos lados da
cunha, como é metade de um
paralelepípedo o volume fica dividido por 2.
31
A resultante das forças será:
Para o eixo y:
𝑝𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜌
𝛿𝑥. 𝛿𝑦. 𝛿𝑧
2
. 𝑎𝑦
Para o eixo z:
𝑝𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 − 𝛾.
𝛿𝑥.𝛿𝑦.𝛿𝑧
2
− 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜌
𝛿𝑥.𝛿𝑦.𝛿𝑧
2
. 𝑎𝑧
Da Figura temos que:
𝛿𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝛿𝑧 e 𝛿𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝛿𝑦
Assim temos para o eixo y:
𝑝𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑧 = 𝜌
𝛿𝑥. 𝛿𝑦. 𝛿𝑧
2
. 𝑎𝑦
Dividindo todos os termos por 𝛿𝑥𝛿𝑧 𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝜌
𝛿𝑦
2
. 𝑎𝑦
Assim temos para o eixo z: 
𝑝𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 − 𝛾.
𝛿𝑥. 𝛿𝑦. 𝛿𝑧
2
− 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑦 = 𝜌
𝛿𝑥. 𝛿𝑦. 𝛿𝑧
2
. 𝑎𝑧
Dividindo todos os termos por 𝛿𝑥𝛿y  𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝜌. 𝑎𝑧 + 𝛾)
𝛿𝑧
2
32
Conclusões:
- Em uma linha horizontal de um fluido confinado a
variação de pressão é nula, portanto a pressão é
constante. (a pressão em um plano do fluido é
constante)
𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝜌
𝛿𝑦
2
. 𝑎𝑦  𝑝𝑦 = 𝑝𝑠
- A pressão varia com a altura de uma coluna de fluido: a
pressão em um ponto no interior do fluido é devido ao
peso do fluido acima daquele ponto.
𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝜌. 𝑎𝑧 + 𝛾)
𝛿𝑧
2
 𝑝𝑧 = 𝑝𝑠 + 𝛾
𝛿𝑧
2
33
34
As pressões p1, p2 e p3 são iguais?
As pressões em p4, p5 e p6 são iguais?
p1 p2 p3
p4 p5p6
Campo de pressão – Equação básica
• Como varia a pressão em
um ponto do fluido com a
direção?
• Como varia a pressão em
uma certa quantidade de
fluido que não apresenta
tensão de cisalhamento?
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• Precisamos de uma equação que nos forneça o campo
de pressão dentro de um fluido estático.
• Isso será feito aplicando a segunda lei de Newton a um
elemento de fluido diferencial dm=ρ.dV.
• Sobre esse elemento podem atuar forças de campo
(gravitacional) e forças de superfície (pressão).
• Nos problemas de mecânica dos fluidos o campo
elétrico e magnético será desconsiderado.
• Da 2ª Lei de Newton a força de campo em um elemento
de volume será:
36
Se a pressão no centro geométrico do
elemento de volume é dada por p, assim
temos para o eixo y a pressão média em
cada uma das faces do elemento de volume
como:
𝛿𝐹𝑦 = 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧
Simplificando:
𝛿𝐹𝑦 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
Para as direções x e z a pressão sobre o
elemento de volume será por analogia:
𝛿𝐹𝑥 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
𝛿𝐹𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 37
A forma vetorial da força resultante que atua no elemento 
de volume é:
ou:
Onde o termo entre parênteses representa o gradiente de 
pressão sobre o elemento de volume da lateral até o 
centro.
A força devido a pressão sobre o elemento de volume 
pode ser representada por:
38
O peso do elemento de volume pode ser dado por:
A força resultante σ𝛿𝐹 sobre o elemento de volume pode 
ser dada como:
Ou
Simplificando:
Está é a equação geral do movimento para uma partícula 
fluida assumindo viscosidade nula.39
Pressão em uma coluna de fluido
Assumindo a equação geral do 
movimento para uma partícula 
fluida em repouso teremos:
O gradiente de pressão será:
Sendo p apenas função de z a 
equação geral do movimento 
pode ser reescrita na forma de 
uma equação diferencial 
ordinária: 
40
Pressão em uma coluna de fluido
Fluido incompressível 
𝑝1׬
𝑝2 𝑑𝑝 = −𝛾 𝑧1׬
𝑧2 𝑑𝑧
41
Pressão em uma coluna de fluido
Fluido incompressível 
𝑝1׬
𝑝2 𝑑𝑝 = −𝛾 𝑧1׬
𝑧2 𝑑𝑧
Pressão em p1:
𝑝1 = 𝑝2 + 𝛾h  Pressão hidrostática (pressão relativa)
Pressão em p1 considerando a pressão atmosférica:
𝑝1 = 𝑝0 + 𝑝2 + 𝛾h  Pressão absoluta (pabs)
42
43
Avaliando a direção de aplicação da pressão e variação de 
profundidade sobre a pressão vimos que:
A pressão em um ponto independe
da direção de aplicação da força;
A pressão varia com a profundidade e equivalerá ao peso 
do fluido sobre um ponto.
Tais observações são úteis na aplicação de dispositivos 
hidráulicos como freio de carro, prensas, elevadores 
hidráulicos...
𝑝1 = 𝑝2
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
 𝐹2 = 𝐴2
𝐹1
𝐴1
44
A Figura 3 os elementos básicos de uma prensa
hidráulica. A área de seção transversal do pistão
1, onde atua a força F1 é de 650 mm
2 e o pistão
é acionado por um mecanismo de alavanca que
apresenta uma relação de forças igual a 8 para
1. O pistão 2, onde atua a força F2, apresenta
área de seção transversal igual a 96774 mm2.
Qual é o valor de F2 se aplicarmos uma força de
90 N no mecanismo de alavanca?
45
Fluido compressível  gases 
𝑝1׬
𝑝2 𝑑𝑝
𝑝
= −
𝑔
𝑅𝑇
𝑧1׬
𝑧2
𝑑𝑧
𝑙𝑛
𝑝2
𝑝1
= −
𝑔
𝑅𝑇
𝑧1׬
𝑧2
𝑑𝑧
𝑝2 = 𝑝1 exp −
𝑔 (𝑧2 − 𝑧1)
𝑅𝑇
Relação entre pressão e altura em uma 
camada de gás perfeito em condições 
isotérmicas. 46
𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
Atmosfera padrão
• É indisponível medidas da pressão em faixas 
grandes faixas altitude considerando as 
variáveis: de pressão e temperatura.
• Criou-se uma atmosfera padrão para simular o 
comportamento de aviões, misseis, ... nessas 
condições:
 amostra da atmosfera terrestre com as especificações: 
47
Variação da temperatura com a altitude para a atmosfera padrão:
A variação de pressão para a 
troposfera pode ser 
determinada através da 
equação:
𝑝 = 𝑝𝑎 1 −
𝛽𝑧
𝑇𝑎
𝑔/𝑅𝛽
𝑇 = 𝑇𝑎 − 𝛽𝑧
Onde:
β é a taxa de decaimento da 
temperatura (0,0065K/m);
Ta e pa são a temperatura e 
pressão em condições 
padrões;
R é a constante dos gases e 
vale no SI 286,9 J/kg.K
48
06 A altitude do pico de uma montanha é 4300 m. 
(a) Determine a pressão neste local considerando 
a variação de temperatura. 
(b) Se for admitido que o peso específico do ar é 
constante e igual a 1,2 N/m3, qual o valor da 
pressão nesta altitude? 
(c) Se for admitido que a temperatura é uniforme e 
igual a 15°C, qual é o valor da pressão nesta 
altitude?
(d) Adimitindo condições isotérmicas determine a 
pressão a 5 m de altitude.
Admita em (a), (c) e (d) que a atmosfera ao nível 
do mar se comporta como a padrão.
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