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Capítulo 1 
Noções sobre a teoria dos conjuntos; 
Conjuntos Numéricos 
 
 
 
Serão recordadas, a seguir, as principais noções da teoria dos conjuntos, como 
também, os vários símbolos usados em Matemática mostrando diversas situações em que 
cada um deles é empregado. 
Será feita, ainda, uma revisão do conjunto dos números reais e de suas principais 
propriedades, que serão utilizadas no desenvolvimento das seções subseqüentes. 
 
1.1 - Conjuntos 
 
Qualquer coleção de objetos é chamada de conjunto. Um membro dessa coleção 
recebe o nome de elemento do conjunto. 
Para denotar conjuntos, geralmente utilizam-se letras maiúsculas latinas A, B, 
C,... ou colocam-se os símbolos dos objetos que os constituem entre chaves. Por exemplo: 
A = {visão, audição, olfato, gosto, tato} 
é o conjunto dos cinco sentidos tradicionais. 
Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado por φ . 
Seja A um conjunto e x elemento. Se x é um membro de A, escreve-se x ∈ A, 
onde o símbolo ∈, devido a Peano, é uma versão da letra grega epsilon. Para indicar que x 
não é um membro de A, escreve-se x ∉ A. 
Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B, diz-se 
que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que B contém A. 
Notações : 
A ⊂ B que se lê: A está contido em B 
B ⊃ A que se lê: B contém A. 
Simbolicamente, a definição acima fica: 
A ⊂ B ⇔ [ ]BxAx ∈⇒∈∀ 
 
 
 
 
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Por definição, φ ⊂ A para todo A. 
Se o conjunto A não é um subconjunto do conjunto B usa-se a notação A ⊄ B. 
 
Exemplos: 
a) Sendo A = { 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = { 2, 3, 4} 
A ⊂ B, visto que todo elemento de A é também um elemento de B 
A ⊄ C, visto que 1 ∈ A e 1 ∉ C. 
b) Seja X o conjunto de todas as pessoas possuidoras de automóvel. Então, o 
conjunto das pessoas que possuem um automóvel da marca Ford é um 
subconjunto de X. 
 
Observe que, se A, B e C são conjuntos quaisquer, valem as seguintes 
propriedades: 
i) A ⊂ A ( reflexiva) 
 ii) A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (transitiva) 
 iii) A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B 
 
1.2 - Reunião e interseção de conjuntos 
 
O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B é 
denotado por A ∪ B e é chamado de reunião ou união de A e B. 
Simbolicamente: 
A ∪ B = { p : p ∈ A ou p ∈ B} 
Se os conjuntos são partes do plano representados graficamente pelos 
diagramas da FIGURA 1, tem-se que A ∪ B é a região sombreada. Tal representação é 
chamada diagrama de Venn. 
 
Exemplos: 
a) {u, v, w} ∪ {r, s, w} = {u, v, r, s, w}. 
B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A 
FIGURA 1. Diagramas de Venn para a reunião de conjuntos 
 
 
 
 
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b) Os indivíduos que possuem dinheiro aplicado em caderneta de poupança ou em 
fundos de investimento são considerados aplicadores financeiros. Esses 
elementos formam dois conjuntos cuja reunião consiste de todos os indivíduos 
que possuem dinheiro em poupança ou em fundos de investimento ou em 
ambos os tipos de aplicações. 
 
O conjunto dos elementos que pertencem, simultaneamente, a um conjunto A e a 
um conjunto B é denotado por A ∩ B e é chamado de interseção de A e B. 
Simbolicamente: 
A ∩ B = { p : p ∈ A e p ∈ B} 
Se A ∩ B = ,φ diz-se que os conjuntos A e B são disjuntos. 
Se os conjuntos são partes do plano representados pelos diagramas da FIGURA 2 
tem-se que A ∩ B é a região sombreada. 
 
 
Exemplos: 
a) {m, n} ∩ {m, n, p, q} = {m, n} 
b) {1,2} ∩ {3,4} = φ 
c) Numa população universitária U, considere o conjunto A dos alunos que 
cursam Administração e B o conjunto dos alunos que moram em São Carlos. 
Então A ∩ B representa o conjunto dos universitários que cursam 
Administração e moram na cidade de São Carlos. 
 
Quaisquer que sejam A, B e C conjuntos, a reunião e a interseção satisfazem as 
seguintes propriedades: 
 
a) A ∪ A = A b) A ∩ A = A 
c) A ∪ B = B ∪ A d) A ∩ B = B ∩ A 
e) A ∪ φ = A f) A ∩ φ = φ 
g) se A ⊂ B então A ∪ B = B e A ∩ B = A 
A ∩ B = φ 
B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B 
 
FIGURA 2. Diagramas de Venn para a interseção de conjuntos 
 
 
 
 
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1.3 - Conjunto complementar e diferença de conjuntos 
 
 Quando se divide uma população de animais em dois grupos, supondo-se que uma 
é de animais vertebrados e outra de invertebrados, está-se falando de conjuntos 
complementares. 
Seja U um conjunto arbitrário e A ⊂ U. O conjunto dos elementos de U que não 
pertencem ao conjunto A é chamado complementar de A em U e é denotado por A . 
Simbolicamente, tem-se: A = { p : p ∈ U e p ∉ A} 
 
Exemplos: 
a) Seja U o conjunto das letras do alfabeto e A o conjunto das consoantes. 
Então, o conjunto complementar A é o conjunto das vogais. 
b) Seja U o conjunto dos números inteiros e A o conjunto dos números ímpares. 
Então, o conjunto complementar A é o conjunto dos números pares. 
c) Seja U o conjunto das mulheres de uma certa comunidade e X o conjunto das 
mulheres fumantes. Então, X consiste de todas as mulheres da comunidade 
que não fumam. 
 
Quaisquer que sejam os subconjuntos A e B de U, valem as seguintes 
propriedades: 
a) A ∩ A = φ b) A ∪ A = U 
c) BA∩ = A ∪ B d) BA ∪ = A ∩ B (leis de Morgan) 
 
Pode-se falar ainda numa outra operação, que é a diferença entre conjuntos. Dados 
dois conjuntos A e B, define-se A – B como sendo o conjunto de todos os elementos de A 
que não pertencem a B. 
Simbolicamente: 
A – B = { p : p ∈ A e p ∉ B} 
FIGURA 3. Diagrama de Venn para a complementação 
 
 
 
 
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Exemplos: 
a) Sendo A = {2, 4, 5, 7} e B = {3, 4, 5, 6}, determinar-se-á: 
i) A – B ii) B – A 
 Solução (i) Como os elementos do conjunto A que não pertencem a B são 2 e 
7, segue que A – B ={2, 7}. 
 (ii) Desde que os elementos do conjunto B que não pertencem a A são 3 e 6, 
decorre que B – A = {3, 6}. 
 
b) A FIGURA 4 apresenta alguns diagramas, nos quais a diferença A – B está 
indicada por regiões sombreadas. 
 
c) Seja A o conjunto de todas as pessoas aidéticas de uma cidade e B o conjunto 
de todas as pessoas que nunca ingeriram drogas. Então A – B é o conjunto 
de todas as pessoas que adquiriram AIDS por qualquer outro meio que não 
seja por uso de drogas. 
 
1.4 - Número de elementos da reunião entre conjuntos 
 
Se X é um conjunto finito, denote por n(X) o número de elementos de X. Para 
quaisquer dois conjuntos finitos A e B, é válida a seguinte fórmula: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
Exemplo 
Um levantamento efetuado entre 800 filiados à previdência oficial mostrou que 
muitos deles possuíam planos de saúde com duas empresas particulares A e B, conforme 
a tabela abaixo. 
A ⊂ B; neste 
caso A – B = φ 
A ∩ B φ≠ ; neste 
caso A – B = A 
FIGURA 4 Diagramas de Venn para a diferença de conjuntos 
 
 
 
 
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TABELA 1. Conveniados com empresas de previdência 
Convênio com A Convênio com B Possuem somente o plano oficial 
520 290 70 
 
Pergunta-se: 
a) Quantos eram filiados as duas empresas A e B. 
b) Quantos eram filiados somente à empresa A ? 
 
 Solução de (a) A pesquisa foi feita entre 800 pessoas, das quais 70 possuem 
somente o plano oficial. Daí, o número de pessoas que possuem o plano A ou o plano B é 
800 – 70 = 730. Isso quer dizer que n(A ∪ B) = 730. 
 De acordo com a tabela, tem-se: n(A) = 520 e n(B) = 290. Mas, como: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
então, 
730 = 520 + 290 – n(A ∩ B) 
de onde vem que n(A ∩ B) = 80, isto é, o número defiliados as duas empresas A e B é 80. 
Solução de (b) O número de filiados somente à empresa A é dado por: 
n( A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 520 – 80 = 440 
portanto, 440 pessoas. 
 
1.5 - Números reais 
 
O conjunto dos números naturais formado pelos inteiros 0, 1, 2, 3, ... é indicado 
por N, ou seja: 
N = {0, 1, 2. 3, 4, 5, ...} 
Excluindo o zero, obtém-se o conjunto dos números naturais não nulos 
representado por N ∗ . 
 
N ∗ = N – {0} = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Acrescentando ao conjunto N os números inteiros negativos, obtém-se o conjunto 
Z dos números inteiros: 
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 
 
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Em muitos problemas, os números inteiros são insuficientes para resolvê- los. Por 
exemplo, considere a equação 3x = 5. A solução dessa equação é o número 
3
5
, que não é 
inteiro. Esse número é chamado número racional. 
 
De um modo geral, número racional é todo número que se obtém pela divisão de 
dois inteiros. Por exemplo, 
3
1
 e –
2
7
 são números racionais. 
 
Representando por Q o conjunto de todos os números racionais pode-se escrever: 
Q = { 
b
a
: a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 } 
Quando b = 1, tem-se 
b
a
 = 
1
a
 = a ∈ Z . Dessa forma, todo número inteiro é 
racional. Logo, Z ⊂ Q. 
 
Ainda: 
Dois números racionais 
b
a
 e 
d
c
 são iguais quando a d = b c . 
 
Assim, por exemplo, 
16
12
,
8
6
,
4
3
 representam o mesmo número racional. 
 
O número racional 
b
a
 também é chamado razão de a para b. 
A razão da medida de uma circunferência de um círculo pelo seu diâmetro é um 
número não racional denotado por π , cujo valor é 3,1415..., e denominado número 
irracional. Outros exemplos de números irracionais: 
 
 3 = 1,7320508... 4 6 = 1,5650845... e = 2,7182818284.... 
 
O número e pode ser definido como o número irracional para o qual tendem os 
valores de 
x
x





 + 11 quando x cresce indefinidamente, conforme pode ser observado na 
TABELA 2, construída para alguns valores de x. 
 
 
 
 
 
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 TABELA 2. Algumas aproximações do número irracional e 
x 
x
x





 +
1
1 
102 2,70481 
103 2,716924 
104 2,718146 
105 2,718268 
106 2,718280 
M ↓ 
 e 
 
Chama-se número real todo número racional ou irracional, isto é, o conjunto dos 
números reais, denotado por R, é a reunião do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Assim, denotando-se por Q’ o conjunto dos números 
irracionais, tem-se: 
R = Q ∪ Q’ 
 
Dessa forma, todo número racional é real e todo número irracional é real. 
Portanto, tem-se as seguintes inclusões: 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e Q’ ⊂ R 
 
1.6- Representação decimal dos números reais 
 
Todo número real pode ser expresso na forma decimal. No caso de um número 
irracional como 2 = 1,41323.., π = 3,14159..., e = 2,7182818284...., essa representação 
é infinita e não periódica. 
No caso de um número racional, dois casos podem acontecer: 
 
i) a representação decimal é finita 
1
5
 = 5 
4
1
 = 0,25 
20
1645
 = 82,25 
10000
187
= 0,0187 
 
ii) a representação decimal é infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica. 
9
1
 = 0,11111... 
3
7
 = 2,33333... 
9900
1237
 = 0,1249494949... 
 
 
 
 
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Reciprocamente, todas as decimais finitas correspondem a frações decimais e é 
possível mostrar que todas as representações decimais periódicas também correspondem a 
frações e, portanto, representam números racionais. 
 
Exemplos: 
a) 2,36 = 
100
236
 
b) 0,0057 = 
10000
57
 
c) Mostrar que 0,454545... = 
99
45
. 
 Solução Chamando x = 0,454545... e multiplicando esta igualdade membro a 
membro por 100, obtém-se 100 x = 45,454545.... . Subtraindo as duas igualdades membro 
a membro, vem que: 
99 x = 45 
de onde segue que x = 
99
45
 . 
 
1.7 - Operações em R 
 
No conjunto R estão definidas duas operações. A adição, que a cada par ordenado 
(a, b) de números reais associa um único número real a + b, chamado soma de a e b, e 
multiplicação, que a cada par ordenado (a, b) de números reais associa um único número 
real a . b, chamado produto de a e b. 
Considere a adição –12 + 25 + 9. Uma forma de se efetuar o cálculo é adicionar 
–12 + 25 = 13 e, em seguida, calcular 13 + 9 = 22. Esse procedimento pode ser indicado 
pela utilização de parêntesis, como a seguir: 
(–12 + 25) + 9 
Uma outra maneira de se realizar o cálculo é primeiramente efetuar 25 + 9 = 34 
e, depois, –12 + 34 = 22. Dessa vez segue-se a regra: 
–12 + (25 + 9) 
 Em outras palavras, tem-se a propriedade: para adicionar três números reais 
adicionam-se os dois primeiros e ao resultado adiciona-se o terceiro ou, adiciona-se o 
primeiro à soma dos dois últimos. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da 
adição. 
 
 
 
 
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De maneira similar, pode-se efetuar a multiplicação 6 . 4 . 5 de duas maneiras: 
(6 . 4) .5 = 24 . 5 = 120 ou 6 . (4 . 5) = 6. 20 = 120 
isto é, a multiplicação de números reais também satisfaz a propriedade associativa. 
Em seguida, estão enunciadas as propriedades fundamentais que são satisfeitas 
pela adição e pela multiplicação de números reais, de grande importância nos cálculos 
algébricos que envolvem essas operações. 
 
Quaisquer que sejam a, b e c números reais: 
1) Comutatividade 



=
+=+
abba
abba
..
 
2) Associatividade 



=
++=++
cbacba
cbacba
.).().(.
)()(
 
3) Existência de elementos neutros: existem os elementos 0 e 1 em R tais que: 
a + 0 = a e a . 1 = a. 
4) Existência do oposto: todo a ∈ R possui um oposto –a tal que 
a + (–a) = 0. 
5) Existência do inverso multiplicativo: todo a ∈R não nulo, possui um inverso 
a
1
 
tal que a . 
a
1
 = 1. 
6) Distributiva da multiplicação em relação à adição: 
a . (b + c) = a . b + a . c 
 
Usando as propriedades do oposto e do inverso multiplicativo, pode-se definir: 
 
Subtração: Para todo a, b ∈ R, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por: 
a – b = a + (– b) 
Divisão: Se a, b ∈ R e b ≠ 0, o quociente de a e b, denotado por 
b
a
, é definido por 
b
a
 = a . 
b
1
 
 
1.8 - Operações com frações 
 
Adição 
 
 
 
 
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Observe: 
b
ca
b
ca
b
c
b
a
b
c
b
a +
=+=+=+
1
.)(
1
.
1
. 
onde utiliza-ses sucessivamente, a definição de divisão, a propriedade distributiva e, 
novamente, a definição de divisão. Assim: 
Para somar frações com denominadores iguais, conserva-se o denominador 
comum e somam-se os numeradores. 
Exemplos 
a) 
7
11
7
8
7
3
=+ b) 
2
3
4.2
4.3
8
12
8
15
8
3
===+
−
 
Veja agora como proceder para somar frações com denominadores diferentes. Por 
exemplo, considere a soma 
5
2
6
7
+ . Para efetuá- la,multiplica-se o numerador e o 
denominador de cada uma das frações por um mesmo número a fim de não alterá- las, com 
o objetivo de obter um denominador comum. 
Como o menor múltiplo comum de 6 e 5 é 30, ou seja, mmc(6,5) = 30, adota-se 
30 como denominador comum. Para encontrar o número que se deve multiplicar o 
numerador e o denominador da primeira fração, divide-se 30 por 6 , cujo resultado é 5. 
Então: 
30
35
5.6
5.7
6
7
== 
Do mesmo modo, para a segunda fração, divide-se 30 por 5 , cujo resultado é 6: 
30
12
6.5
6.2
5
2
== 
Daí: 
30
47
30
12
30
35
5
2
6
7
=+=+ 
O cálculo foi feito separadamente para cada parcela. Na prática, escreve-se isso 
diretamente, ou seja: 
30
47
30
1235
30
6.25.7
5
2
6
7
=
+
=
+
=+ 
 
 
 
 
 
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Multiplicação 
Se b≠ 0 e d ≠ 0, então: 
bd
ca
d
c
b
a
=⋅ 
Assim: 
Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores e os 
denominadores. 
 
Exemplos 
a) 
24
35
4.6
7.5
4
7
6
5
==⋅ b) 
49
8
7
2
7
4
−=⋅
−
 c) 4 . 
11
3
 = 
11
12
 
 
Divisão 
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, então 1a b ab
b a ab
⋅ = = . Assim, de acordo com a propriedade 5 
das operações em R, tem-se que 
a
b
 é o inverso multiplicativo de 
b
a
, de onde vem que: 
a
b
b
a
=
1
 
Assim, se b ≠ 0, c ≠ 0 e d ≠ 0 então, pela definição de divisão de números reais 
apresentada acima: 
d
cb
a
d
c
b
a
d
c
b
a 1
.: == = 
c
d
b
a
. 
Portanto: 
Para dividir uma fração pela outra, deve-se multiplicar a primeira pela fração 
inversa da segunda. 
 
Exemplos 
a) –
7
8
:
5
3
 = –
8
7
.
5
3
 = –
40
21
 
b) 
16
15
:
4
5
 = 
15
16
.
4
5
 = 
3
4
20.3
20.4
60
80
== 
 
 
 
 
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1.9 – Equações 
 
Considere a seguinte situação: 
O saldo de uma caderneta de poupança, após x meses de aplicação. é dado pela 
fórmula s = 3000 + 50x. Após quanto tempo de aplicação o saldo será R$ 4000,00? 
A situação se expressa através da seguinte sentença matemática: 
3000 + 50x = 4000 
chamada equação na variável x. 
Uma solução de uma equação na variável x real é o valor ou valores reais que, 
substituídos no lugar da variável, fazem com que a igualdade se verifique. Recebem 
também o nome de raízes da equação. Uma equação pode não ter solução. Por exemplo, a 
equação 0 . x = 3 não possui nenhuma solução real. 
Na situação considerada acima, x = 20 é a solução do problema, pois: 
3000 + 50 . 20 = 4000 
Considere uma equação da forma 
x + b = c 
em que a, b ∈ R e a ≠ 0. Para resolvê- la primeiramente adiciona-se – b a cada membro, 
de onde vem que: 
x + b – b = c – b 
isto é, x = c – b . Destaca-se então: 
 
Em uma igualdade pode-se passar uma parcela de um membro para outro, desde 
que se tome o seu oposto. 
 
Veja, agora, situações envolvendo o produto. Por exemplo, se a . x = b, em que 
a ≠ 0, então, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 
a
1
 , o inverso de a, que 
é um número não nulo, segue que: 
⋅
a
1
 (a . x) = 
a
1
. b ⇔ ( ⋅
a
1
 a) . x = 
a
b
 ⇔ x = 
a
b
 
Assim: 
Numa equação a . x = b, se a ≠ 0, pode-se passar o fator a dividindo no 
segundo membro, sem alterar igualdade. 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) Resolver em R a equação –5x –2 ( 3 – 8x) = 3(2x – 4). 
 Solução Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição, para eliminar os parêntesis, e respeitando a regra dos sinais para a multiplicação: 
 
+ . + = +, + . – = –, – . + = –, – . – = + 
resulta: 
–5x – 6 + 16x = 6x – 12 
Transpondo os termos com x para o primeiro membro e os números para o 
segundo membro, obtém-se: 
–5x + 16x – 6x = – 12 + 6 
No primeiro membro, pode-se aplicar a propriedade distributiva: 
–5x + 16x – 6x = (–5 + 16 – 6)x = 5x 
Assim: 
5x = –6 ⇒ x = 
5
6−
 
 
b) O custo mensal para produzir x unidades de uma determinada mercadoria é 
C = 5000 + 15x reais. Qual a quantidade mensal produzida, sabendo-se que o 
custo mensal é R$ 8000,00 ? 
 Solução Deve-se resolver a equação 5000 + 15x = 8000. Então: 
15x = 8000 – 5000 ⇔ 15x = 3000 ⇔ x = 
15
3000
 = 200 
 A quantidade mensal produzida é 200 unidades. 
 
c) Resolver em R a equação 
4
1
36
12 −
=+
+ xxx
. 
 Solução Proceder-se-á de modo similar ao que se faz para a adição de frações. O 
mínimo múltiplo comum dos denominadores 6, 3 e 4 é 12. Então: 
 
12
)1(3
12
4
12
)12(2 −
=+
+ xxx
 ⇔ 2(2x + 1) + 4x = 3(x – 1) ⇔ 
4x + 2 + 4x = 3x – 3 ⇔ 4x + 4x – 3x = –3 – 2 ⇔ 5x = –5 
 
ou seja, x = –1 é a solução da equação. 
 
 
 
 
 
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15 
 
1.10 - Equação do segundo grau 
 
Uma equação do segundo grau é uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 , onde a, 
b e c são números reais e a ≠ 0 . Ela admite a seguinte fórmula resolutiva: 
x = 
a
acbb
2
42 −±−
 
O radicando b2 – 4ac, chamado discriminante, é indicado por ∆ (delta). 
• Se ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e distintas; 
• Se ∆ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais; 
• Se ∆ < 0, a equação não admite raízes reais 
 
Exemplos 
a) Resolver em R a equação do segundo grau x2 – 5x + 6 = 0. 
Tem-se a =1, b = –5 e c = 6. Assim: 
x = 
2
15
2
15
1.2
6.1.455 2 ±
=
±
=
−±
 
Logo: 
x = 2
2
15
=
−
 ou x = 3
2
15
=
+
 
Portanto, o conjunto solução da equação dada é {2, 3}. 
 
b) O lucro mensal de uma empresa é dado por P = –x2 + 12x – 11, onde x 
representa a quantidade vendida. Para que valores de x o lucro é nulo? 
 
Solução Deve-se tomar P = 0 na equação do lucro. Assim: 
–x2 + 12x – 11 = 0 
de onde vem: 
 x2 – 12x + 11 = 0 
x = 
212 12 4.1.11 12 100 12 10
2.1 2 2
± − ± ±
= = 
x = 
12 10
1
2
−
= ou x = 
12 10
11
2
+
= 
Logo, o lucro é nulo se x = 1 ou x = 11. 
 
 
 
 
 
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16 
 
Equações da forma ax2 + bx + c = 0 em que b = 0 ou c = 0 chamam-se equações 
incompletas do segundo grau. 
Por exemplo, x2 – 5x = 0 e x2 – 16 = 0 são equações incompletas do segundo 
grau. Sua resolução pode ser feita pela fórmula resolutiva acima ou como se verá a seguir: 
c) x2 – 5x = 0 
x2 – 5x = 0 ⇒ x (x – 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5. 
Portanto, o conjunto solução é { 0, 5}. 
 
d) x2 – 16 = 0 
x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 16 ⇒ x = ± 4 
Portanto, o conjunto solução é { –4, 4 }. 
 
1.11 – A reta real; desigualdades 
 
A reta real é a representação geométrica dos números reais como pontos de uma 
reta. A escala de temperatura fornece uma idéia de como representar os números reais ao 
longo de uma reta. 
Escolhido um ponto O sobre a reta, chamado origem, para representar o número 0 
e escolhida uma unidade de comprimento, todo número real positivo x será representado 
por um ponto a uma distância de x unidades à direita da origem O e todo número real 
negativo x será representado por um ponto a uma distância de –x unidades à esquerda de 
O (observe que, se x é negativo, então –x é positivo). 
Dessa maneira, a cada número real, corresponde um só ponto da reta e 
reciprocamente, o que permite falar indistintamente em números reais. 
 
Dados dois números reais distintos, um deles fica localizado à direita do outro, 
isto é, os números reais são ordenados. No caso das temperaturas, o número à esquerda 
representa a temperatura mais baixa. Em geral, diz-se: 
 
FIGURA 5. A reta real 
 
 
 
 
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17 
 
Um número real a é menor que qualquer número b colocado à sua direita. 
Esse fato é assim expresso: 
 
Isso é equivalente a dizer que b fica à direita de a e escreve-se: 
b é maior do que a : b > a 
Escreve-se a < b < c para representar a < b e b < c. Introduz-se, ainda, as 
seguintes notações: 
 
a ≤ b significa a < b ou a = b 
a ≥ b significa a > b ou a = b 
Assim, por exemplo, 2 ≤ 3, pois 2 < 3 e π ≤ π , pois π = π . 
Uma proposição da forma a < b, a > b, a ≤ b ou a ≥ b é denominada 
desigualdade. 
Desigualdades ocorrem com freqüência em problemas de classificação. Por 
exemplo, o lucro mensal de uma determinada empresa no ano 2005 não ultrapassa R$ 
20000,00. Designando por x a variação mensal dos lucros, isso pode ser representado 
simbolicamente por: 
 x < 20000 
 
As principais regras que se utilizam no trabalho com desigualdades estão a seguir. 
Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R: 
 
D1) Se a < b, então a + c < b + c 
D2) Se a < b e c > 0, então a c < b c 
D3) Se a < b e c < 0, então a c> b c 
D4) Se a < b e b < c, então a < c ( transitividade) 
 
Propriedades análogas são válidas se cada sinal de desigualdade < entre a e b for 
substituído por >, ≥ ou ≤ . 
FIGURA 6. A relação a menor do que b 
 
 
 
 
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18 
 
1.12 - Inequações em R 
 
O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por s = 
3000 + 40t. Estimar o valor de t se o saldo superou R$ 3600,00. 
Para determinar a variação de t, deve-se impor que: 
3000 + 40t > 3600 
Uma sentença dessa forma é chamada inequação na variável t . Ela significa: 
“para que valores de t, tem-se 3000 + 40t maior do que 3600?” Supondo que t seja um 
número real, deve-se transformar a inequação dada de maneira a se obter explicitamente os 
possíveis valores de t. Para realizar isso procede-se de maneira similar ao feito na 
resolução de equações. Assim, pode-se passar uma parcela de um lado para outro desde 
que se tome o seu oposto. 
Em situações envolvendo o produto, como, por exemplo, a.t < b, a≠ 0, segue 
imediatamente das propriedades das desigualdades que: 
 
Multiplicando ou dividindo ambos os membros da inequação por um número 
negativo, a desigualdade se inverte. No caso de multiplicar-se ou dividir-se ambos os 
membros por um número positivo, o sentido da inequação não se altera. 
 
Exemplos 
a) Encontrar o conjunto solução da inequação 3000 + 40t > 3600 . 
 Solução Passando, então, –3000 para o segundo membro da desigualdade 
tomando o seu oposto, obtém-se, assim: 
40t > 3600 - 3000 ⇒ 40t > 600 
O sinal da última desigualdade não muda se ambos os membros forem divididos 
por 40. Isso é equivalente a passar o número 40 dividindo no segundo membro. 
Portanto: 
40t > 600 ⇒ t > 
600
40
 ⇒ t > 15 
de onde resulta que o conjunto solução é {t ∈ R: t > 15}. 
 
b) Resolver no conjunto R a inequação –8x – 7 < –3(x + 2). 
 Solução Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro vem que: 
–8x – 7 < –3x – 6 
 
 
 
 
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19 
 
Transpondo –3x para o primeiro membro e –7 para o segundo membro, com 
sinais trocados, obtém-se: 
–8x + 3x < –6 + 7 
–5x < 1 
Dividindo ambos os membros pelo número negativo –5 e lembrando que o sinal 
da desigualdade deve ser invertido, vem que x > 
5
1−
. 
Logo, a solução da inequação é { x ∈ R: x > 
5
1−
 }. 
 
c) Resolver no conjunto R a inequação 
3
5
12
27
4
5
<
−
−
− xx
 . 
 Solução O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 12. Assim: 
12
20
12
)27()5(3
<
−−− xx
 ⇒ 3(x – 5) – (7x – 2) < 20 
⇒ 3x – 15 – 7x + 2 < 20 ⇒ 3x – 7x < 20 + 15 – 2 
⇒ – 4x < 33 ⇒ 4x > – 33 ⇒ x > 
4
33−
 
Portanto, a solução é { x ∈ R: x > – 
4
33
}. 
 
1.13 – Intervalos 
 
Será destacada, agora, uma classe importante de subconjuntos dos números reais, 
chamados intervalos. 
 Por exemplo, se x denota o número de motos fabricadas diariamente por uma 
linha de montagem, então x deve ser não negativo, ou seja, x ≥ 0. Suponha que a gerência 
decida que a produção diária não deve exceder 180 unidades. Dessa maneira, x deve 
satisfazer a desigualdade 0 ≤ x ≤ 180, isto é, x deve pertencer ao intervalo fechado de 
extremos 0 e 180. 
 
Sejam a e b números reais tais que a < b. O intervalo fechado [a, b] é o conjunto 
de todos os pontos de a até b, isto é, o conjunto de todos os pontos x tais que a ≤ x ≤ b. 
O intervalo aberto ]a, b[ é o conjunto de todos os pontos entre a e b, isto é, o conjunto de 
todos os pontos x tais que a < x < b. Os pontos a e b são chamados extremos dos 
intervalos [a, b] e ]a, b[. 
 
 
 
 
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20 
 
Um intervalo semi-aberto é um intervalo aberto ]a, b[ com um de seus pontos 
extremos. Há dois tipos de intervalo semi-aberto: [a, b[ é o conjuntos de todos os pontos x 
tais que a ≤ x < b e ]a, b] é o conjunto de todos os pontos x tais que a < x ≤ b. 
Esses intervalos, apesar de conterem infinitos números reais, são ditos finitos. 
 
Pode-se, também, considerar os intervalos infinitos . O conjunto de todos os 
pontos x tais que x > a é denotado por ]a, + ∞ [ ; o conjunto de todos os pontos tais que 
x ≥ a é denotado por [a, +∞ [. Ainda, ] – ∞ , b[ denota o conjunto de todos os pontos x 
tais que x < b e ] – ∞ ,b] denota o conjunto de todos os pontos x tais que x ≤ b. 
 
Pode-se, ainda, identificar o conjunto dos números reais R com o intervalo 
infinito ] – ∞ ,+ ∞ [ = {x ∈ R: – ∞ < x < + ∞}. 
Os símbolos – ∞ (menos infinito) e +∞ (mais infinito) não representam 
números reais. Observe que, em – ∞ e +, ∞ os intervalos são sempre abertos. 
Desde que os intervalos são subconjuntos particulares dos reais, é possível operar 
com eles, da mesma maneira que para conjuntos quaisquer. 
 
Exemplos 
a) O fabricante de um determinado tipo de carro afirma que seu desempenho é de 
10km por litro na cidade e 18km por litro na estrada e que seu tanque tem 
FIGURA 7. Intervalos finitos 
 
FIGURA 8. Intervalos infinitos 
 
 
 
 
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21 
 
capacidade para 45 litros. Em condições ideais de percurso determinar o 
intervalo de possíveis valores da distância percorrida com um tanque de 
combustível. 
 Solução O intervalo tem extremo inferior 45 . 10 = 450 e extremo superior 
45 . 18 = 810. Portanto, o intervalo é [450, 810]. 
 
b) Dados os intervalos A = [1,6] e B = ]4,8[, determinar A ∩ B. 
 Solução Dispondo os conjuntos A e B conforme a FIGURA 9, observa-se que 
A ∩ B = ]4, 6]. 
 
c) Sendo A = [–2,5] e B = ]2,7[, determinar A ∪ B. 
Solução Observando a FIGURA 10 conclui-se que A ∪ B = [–2, 7[. 
 
 FIGURA 10. Reunião dos conjuntos A e B 
 
1.14 - Valor absoluto de um número real 
 
Na reta real, as temperaturas –7oC e 7o são igualmente distantes da origem 0o C. 
Expressa-se este fato dizendo que ambas as temperaturas têm o mesmo valor 
absoluto. Mais precisamente, o valor absoluto de um número real e positivo é o próprio 
número; o valor absoluto de um número real e negativo é o seu oposto e o valor absoluto 
de 0 é 0. Simbolicamente, se x é um número real, o valor absoluto ou modulo de x é o 
número | x | tal que: 
FIGURA 9. Interseção dos conjuntos A e B 
 
 
 
 
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22 
 
| x | = 



<−
≥
0
0
xsex
xsex
 
 
Exemplos | 4 | = 4; | 0 | = 0; | –2 | = – (–2) = 2; | 1 –π | = – (1 –π ) = π – 1 
 
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre um número não 
negativo, ou seja: 
| x | ≥ 0, ∈∀ x R 
Geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância de x à 
origem, não importando se x está à direita ou à esquerda de 0. 
 
Ainda mais, | x – y | representa a distância de x a y. 
 
Por exemplo, a distância entre 3 e 8 é | 3 – 8 | = | –5 | = 5 e a distância entre –3 e 3 
é |–3 – 3| = |–6| = 6. 
O valor absoluto tem as seguintes propriedades, para todo x, y, z ∈ R e a ∈ R •+ . 
VA1) | –x | = | x | 
VA2) | x . y | = | x | . | y | 
VA3) 
y
x
 = 
||
||
y
x
 se y ≠ 0 
VA4) | x + y | ≤ | x | + | y | 
VA5) | x | = | y | ⇔ x = ± y 
VA6) | x | < a ⇔ – a < x < a 
VA7) | x | > a ⇔ x > a ou x < – a 
FIGURA 11. Representação geométrica de | x | 
 FIGURA 12. O valor absoluto como distância entre dois pontos 
 
 
 
 
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23 
 
VA8) 
2x = | x | 
 
As propriedades VA6 e VA7 podem ser compreendidas facilmente ao lembrar-se 
que | x | é a distância de x até 0. 
 
Exemplos 
a) Achar os valores reais de x que satisfazem | 7x – 1 | = 5. 
 Solução Pela propriedade VA5, a equação é equivalente a: 
7x – 1 = 5 ou 7x – 1 = –5 
Assim, 
7x – 1 = 5 ⇔ 7x =5 + 1 ⇔ 7x = 6 ⇔ x = 
7
6
 
ou 
7x – 1 = – 5 ⇔ 7x = –5 + 1 ⇔ 7x = – 4 ⇔ x = 
7
4−
 
 Logo, x = 
7
6
 ou x = 
7
4−
. 
 
b) Resolver em R a inequação | x – 3 | ≥ 10 . 
 Solução Usando VA7, a desigualdade é equivalente a: 
x –3 ≥ 10 ou x – 3 ≤ –10 
Daí: 
 x –3 ≥ 10 ⇔ x ≥ 13 ou x – 3 ≤ -10 ⇔ x ≤ –7 
 Então, o conjunto solução é { x ∈ R: x ≤ –7 ou x ≥ 13} = ] – ∞ , –7] ∪ [13, +∞ [. 
 
c) O diâmetro r de cada esfera num lote de esferas de rolamento fabricado por 
 uma companhia siderúrgica satisfaz a desigualdade |r – 0,2| ≤ 0,02 onde r é 
 medido em centímetros. Qual é o diâmetro mínimo de uma esfera do lote ? E o 
 diâmetro máximo ? 
FIGURA 13. Desigualdades modulares 
 
 
 
 
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24 
 
Solução Desde que |r – 0,2| ≤ 0,02 tem-se: 
–0,02 ≤ r – 0,2 ≤ 0,02 
–0,02 + 0,2 ≤ r ≤ 0,02 + 0,2 ⇔ 0,18 ≤ r ≤ 0,22 
de onde se vê que o diâmetro mínimo do lote é 0,18 cm e o diâmetro máximo é 
0,22 cm. 
 
1.15 - Potências de expoentes inteiros 
 
As potências estão envolvidas em uma grande variedade de problemas aplicados. Por 
exemplo: 
• Para se calcular o volume de uma célula esférica, utiliza-se a fórmula V = 
3
3
4
rπ que envolve a terceira potência do raio. 
• Uma importância C aplicada a uma taxa constante i por período, em n 
períodos, é corrigida para um valor M dado pela fórmula M = C (1 + i)n. 
• A eficiência E de um operário para completar um trabalho em t meses é 
aproximada pela fórmula E = C – B ekt, onde B, C e k são constantes. 
Seja a um número real. Se n é um natural, define-se: 
an = 43421
vezesn
aaaa
−
...... , n ≥ 2 
a 0 = 1, a ≠ 0 
a1 = a 
a-n = 
na
1
, a ≠ 0 
 
Exemplos: 
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 ( ) 12 0 = 
25
49
5
7
.
5
7
5
7 2
=




 −





 −=




 − 1π = π 
(–9)0 = 1 (–3)-3 = 
3)3(
1
−
= –
27
1
 
2
3
2 −





 = 
2
2
3





 = 
4
9
 ( 0,3333...)-1 = =




=





−− 11
3
1
9
3
3 
 
 
 
 
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25 
 
 
Particularmente, as potências de 10 são de fundamental importância nas 
aplicações práticas. Algumas dessas potências estão representadas abaixo. 
10 = 101 
10
1
 = 0,1 = 10-1 
100 = 102 
100
1
 = 0,01 = 10-2 
1000 = 103 
1000
1
 = 0,001 = 10-3 
10000 = 104 etc. 
10000
1
 = 0,0001 = 10-4 etc. 
 
 Se m , n ∈ N* e a, b ∈ R, as potências de números inteiros satisfazem as 
seguintes propriedades: 
 
i) am . an = am+ n 
ii) am : an = am - n , a ≠ 0 
iii) (am)n = amn 
iv) (a . b)n = an . bn 
v) 
n
nn
b
a
b
a
=




 , b ≠ 0 
 
 
Exemplo 
Efetuar as operações utilizando as propriedades das potências: 
32 . 33 = 35 = 243 (23)2 = 26 = 64 
(–7)49 : (–7)47 = (–7)2 = 49 
25
9
5
3
5
3
2
22
==




 
2-5 . 23 = 2-2 = 
4
1
 3-2. 5-2 = 15-2 = 
215
1
 = 
225
1
 
6
4
7
7
 = 74 – 6 = 7-2 = 
49
1
 [(-4)-2]-1 = (-4)2 = 16 
 
1.16. Potências de expoentes racionais; radicais 
 
 
 
 
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Se n é um número inteiro e positivo, a expressão bn
1
 é definida como sendo o 
número real que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b . Portanto: 
n








 b n
1
 = b 
Se existe tal número, ele é chamado raiz n-ésima de b e é denotado por n b . 
Quando n = 2, escreve-se simplesmente a em vez de 2 a . Assim: 
64 6
1
 = 6 64 = 2 pois 26 = 64 3 125− = –5 pois (–5)3 = –125 
 Observe que a raiz n-ésima de um número negativo não está definida quando 
n é par. Por exemplo, não existe 4− porque não existe número real c tal que c2 = – 4. 
Além disso, dado um número b, de acordo com a definição, mais de um número real pode 
ser a sua raiz n-ésima. Por exemplo, tanto 2 como –2 elevados ao quadrado são iguais a 4 
logo, cada um deles é uma raiz quadrada de 4. No entanto, para evitar ambigüidades, 
define-se b n
1
como sendo a raiz n-ésima positiva de b, sempre que ela existir. Assim, 4 2
1
= 
4 = 2. 
Para b∈R e 
n
m
 um número racional positivo onde n ≠ 0, define-se b
n
m
como 
sendo o número 
m
nb 






 1
sempre que existir. Equivalentemente, 
m
nb 






 1
= n mb , sempre que 
existir. 
Para b ∈ R e 
n
m
 um número racional não negativo, define-se : 
b
n
m
−
 = 
 b
1
n
m
 = 
n mb
1
 
 
Observe que continuam válidas para potências com expoentes racionais as 
mesmas propriedades das potências com expoentes inteiros. 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) Calcular as seguintes potências: 
i) 8 3
2
 ii) 27 3
1
−
 iii) (–4) 4
3
 
 
Solução 
i) 8 3
2
 = 33 2 648 = = 4 ii) 27 3
1
−
 = 
3
1
27
1
 = 
3 27
1
 = 
1
3
 
iii) (–4)
4
3
 não é um número real, pois 4 3)4(− = 4 64− não existe em R. 
 
b) Efetuar os produtos: 
i) 34 7.7 ii) 
3
8
3
2
3
1
.
3
1












−
 
Solução 
34 7.7 = 7 4
1
. 7 3
1
 = 7 3
1
4
1
+
 = 7 12
7
 = 12 77 
3
8
3
2
3
1
.
3
1
−











 = 
3
8
3
2
3
1
−





 = 
2
3
1 −





 = 32 = 9 
c) Escrever cada uma das seguintes expressões na forma bn
m
 com m e n 
inteiros e n não nulo. 
i) 
3 5
125
 ii) 
5
5 46,0
3
3.3
 
Solução 
3 5
125
 = 
3
3
5
5
 = 
3
1
2
3
5
5
 = 3
1
2
3
5
−
 = 5 6
7
 
5
5 46,0
3
3.3
 = 
5
1
5
4
10
6
3
3.3
 = 
3 4
5 5
1
5
3 . 3
3
 = 
5
1
5
7
3
3
 = 3 5
6
 
d) A distribuição de renda numa determinada cidade pode ser descrita pela 
fórmula y = 
3 6
1,5
11 .10
x
, onde y é o número de pessoas que possuem uma renda 
mensal de x ou mais reais. Quantas pessoas ganham pelo menos R$1100,00? 
 
 
 
 
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28 
 
Solução Deve-se substituir x = 1100 na expressão de y e simplificá- la. Tem-se 
então: 
6
3
6 1,5 6 1,52
1,5 2 1,5 1,5 2 1,5
11 .10 11 .10 11 .10
(1100) (11.10 ) 11 .(10 )
= = = 
6
3
3
10
10 1000
10
= = 
Portanto, 1000 pessoas ganham pelo menos R$ 1100,00. 
 
A generalização da definição de potência para expoentes racionais permite 
considerar as operações de multiplicação e divisão entre radicais como casos particulares 
das mesmas operações entre potências, as quais, supondo as condições de existência, 
satisfazem propriedades análogas às correspondentes entre potências, ou seja: 
R1) nn ba . = n ba. R2) n
n
n
b
a
b
a
= 
R3) mnn m bb .= R4) ( ) m nnm bb = 
R5) n m
pn pm bb =. . 
 
Exemplos 
a) Simplificar : 
1) 22328.4 5 5555 === 2) 444 213.7 = 
3) 33
3
3
8
10
80
10
80
== = 2 4) 3
6
18
6
18
== 
5) 63 6464 = = 6 62 = 2 6) 4 625625 = = 5 
 
b) Efetuar 4 8 + 3 3 8 + 4 42 
Solução Tem-se 
8 = 2.4 = 2.4 = 2 2 
3 8 = 3 32 = 2 
4 4 = 4 22 = 2 2 = 2 
Daí: 
4 8 + 3 3 8 + 4 42 = 4 . 2 2 + 3 . 2 + 2 . 2 = 6 + 10 2 
 
 
 
 
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29 
 
1.17 - Notação científica 
 
A notação científica é uma linguagem introduzida pelos cientistas com a 
finalidade de amenizar o trabalho de escrita de números reais com muitos algarismos. 
Um número está expresso em notação científica se estiver escrito como o produto 
de dois números reais: um deles entre 1 e 10, incluindo o 1 e, o outro, uma potência de 10. 
 
Exemplos 
 
TABELA 3. Algumas transformações para notação científica 
 
Número Notação científica 
18 
849 
0,65 
0,034 
0,000017 
1,8. 10 
8,49 . 102 
6,5 . 10-1 
3,4 . 10-2 
1,7 . 10-5 
 
É possível, por exemplo, efetuar multiplicação em notação científica. Nesse caso, 
utiliza-se as seguintes propriedades dos números reais: 
 i) (a . b) . (c . d) = (a . c) . ( b . d) ii) am . an = am+n 
 
Exemplos 
 a) Dados A = 2,1 . 108 e B = 7 . 10-5, calcular A . B. 
A . B = (2,1 . 108) . (7 . 10-5) = (2,1 . 7) . (108 . 10-5) 
 = 14,7 . 103 = 1,47 . 10 . 103 
Portanto, A . B = 1,47 . 104 
 
b) Efetuar 
85
44
10.02,0
10.244.001,0
−
−
, dando a resposta em notação científica. 
85
44
10.02,0
10.244.001,0
−
−
 = 
822
443
10.)10.2(
10.)10(.244
−−
−−
 = 
84
412
10.10.4
10.10.244
−−
−−
 = 
12
16
10.4
10.244
−
−
 
 = 61 . 10-4 = 6,1 . 10 . 10-4 = 6,1 . 10-3 
 
 
1. 18 - Utilizando a calculadora 
 
 
 
 
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30 
 
Alguns exemplos de como realizar operações aritméticas básicas numa 
calculadora científica estão a seguir. Observe que, em geral, para números decimais na 
calculadora, usa-se ponto ( . ) em vez de vírgula ( , ); não confundir ( . ) com o sinal de 
multiplicação (× ). 
Observe também que, nos cálculos, é dado prioridade à multiplicação e divisão 
sobre a adição e subtração. 
 
Exemplos 
a) Efetuar 23,5 – 12 + 7 
Tecla-se na seqüência: 
23 . 5 – 12 + 7 = 
Aparece no visor o resultado 18.5. 
b) Efetuar 15 + 5 . 6 – 21. 
Tecla-se na seqüência: 
15 + 5 × 6 – 21 = 
Aparece no visor 24. 
c) Efetuar (–4) × (128 ÷ 32 + 16) 
Nesse caso, usa-se parêntesis para pontuar a expressão. Tecla-se então: 
 ( – 4 ) × ( 128 ÷ 32 + 16 ) 
cuja resposta é -80. 
Potências, nas calculadoras mais modernas, são efetuadas com o uso da tecla ∧ . 
Em outras, em vez de ∧ utiliza-se a tecla xy . 
d) Efetuar 0,54 
Tecla-se na seqüência: 
0 . 5 ∧ 4 = 
Aparece no visor 0.0625. 
 
e) Efetuar 128 2
1
 
Tecla-se: 
128 ∧ ( 1 ÷ 2 ) = 
ou, usando a tecla 1/x = x-1 : 
128 ∧ ( 2 x-1 ) = 
Aparece no visor 11.3137085 . 
 
 
 
 
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31 
 
Observe que 128 2
1
 = 128 . Daí, pode-se usar também a tecla : 
128 x 
 
f) Efetuar 4 738 
Como 4 738 = 38 4
7
, procede-se: 
38 ∧ ( 7 ÷ 4 ) = 
e aparece no visor 581.5958435. 
 
1.19 - Exercícios propostos 
 
1) Dizer se é verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmações: 
a) 2 = {2} b) 0 ∈ φ c) 5 ⊂ {5} d) 3 ∈{3,{3}} e) φ ∈{7} 
f) {3} ⊂ {3,{3}} g) φ ⊂ {0} h) {g, a, t, o} = {g, o, t, a} 
2) Enumerar os elementos dos seguintes conjuntos: 
A = {x : x é letra da palavra demanda} 
B = {x: x é cor da bandeira nacional} 
C= {x: x é inteiro positivo, ímpar, primo e menor que 18} 
3) Seja U o conjunto dos quadriláteros planos. Sendo: 
P = {x ∈ U : x tem os lados paralelos} 
Q = {x ∈ U : x tem os quatro lados congruentes e os ângulos todos retos} 
R = {x ∈U : x tem os quatro ângulos retos} 
L = {x ∈U : x tem os quatro lados congruentes} 
Determinar os seguintes conjuntos: 
 a) L ∩ Q b) L ∩ R c) R ∩ P d) R ∪ Q e) Q ∪ P 
4) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determinar o conjunto X 
de quatro elementos tal que A ∩ X = {3}, B ∩ X = {3, 5} e C ∩ X = {5,6}. 
5) Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 a) 3,222... ∈ Q b) 1,323323332...∈ Q c) 7 ∉ Q 
 d) 3 + 2 é um número irracional e) 0,153444... é um número irracional 
 f) 
4
5
∉ Q g) 9− ∉ R h) 
22
5
−
∈ R i) π ∈ R 
 
 
 
 
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32 
 
6) Efetuar : 
 a) 
...222.03,0
15
14
−
 b) 
7,0
3
10
...111,01
1
5
7
5 ⋅
−
−
−
 c) 
3
2
4
4
5
3
:
75,01
25,0
3
2 ⋅




 −
−
+
 
7) Mostrar que 0,32858585 = 
9900
3253
 
 Solução. Fazendo x = 0,32858585... 
32539900
...858585,3285x10000
..32,858585. x 100
=⇒



=
=
x ⇒ x = 
9900
3253
 
8) Escrever na forma de fração irredutível os seguintes números racionais: 
 a) 0,25 b) 11,005 c) 10,666... d) 4,59222... e) 1,3222... 
9) Enumerar os elementos dos seguintes conjuntos: 
 a) {x ∈ Z : – 7 < x ≤ 2} b) {x ∈ R : (x – 2 ) (x + 3) = 0} c) { x ∈ N : x ≤ 3} 
10) Simplificar as somas: 
 a) 6 2 + 2 2 – 4 2 b) 5 3 + 12 – 5 48 c) 2 6 256 + 3 3 16 
 d) 4 16 – 6 64 e) 8 + 3 27 – 4 4 f) 4 8 + 3 3 8 + 2 6 8 
11) Reduzir a um único radical e simplificar quando possível: 
a) 3 . 12 b) 3 4 2 . 2 4 3 . 4 8 c) 2 . 4 8 . 32 
d) 
3 10
5.2
 e) 0225,0 f) 1...)333,0( − 
12) Os números 16 4
1
−
 e 
4
1
16
1





 são iguais ou diferentes? 
13) Reduzir a uma só potência: 
a) 
152
3
1
.
3
1
.
3
1 −−

















 b) (-2)8 : (–2)4 c) 
342
3
2
.
3
2
−



















 
d) 23
23
2
1
2
1
.
2
1













−





−




−
 e) 
4
1
2
1
2
3
2
1
256
364
4
1 −
⋅⋅





 f) 
34
3
4
:
4
3











 
14) Simplificar as expressões: 
 
 
 
 
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33 
 
 a) 
8
32
10.1000000
100000.10 −
 b) 
3558
152112
10.10.10
10.10.10
−−
−
 c) 
550000.)1,0(
11000.)10000(.10
44
1525
−
 
15) Calcular as potências: 
a) 0,25 2
1
 b) 8 ...666,0 c) 9 2
1
−
 d) 32 5
3
 
16) Calcular o valor de cada uma das seguintes expressões: 
a) 
2
2
1
3
1 −





 − b) 49,0
7
4
81,0
3
2
− c) 100 5,0− + 8 3
1
 – 16 75,0 
17) Determinar A ∩ B e A ∪ B nos seguintes casos: 
a) A = [-3, 3] e B =[0, 6] b) A = ]1, 7[ e B =]2, 5[ 
c) A = ]- ∞, 2] e B = [-3,+∞] d) A = [0, 3] e B= [3, 8] 
18) Completar com o sinal > ou com o sinal < : 
a) 2 ..... 1,4 b) –1000 ..... –999 c) 
2
π
 ..... π 
d) 8 ..... 7 e) 1,3333... ..... 1,333 f) –
2
7
..... –
6
5
 
19) Calcular o valor de cada uma das expressões: 
a) |–18| – |–3| b) 4 – | –7| c) |5 – π | + |1 – π | 
d) | 2 – 1| – |3 – 2 | e) 
4,26,1
4,12,2
−
−
 f) |2 3 - 3| - | 3 – 4| 
20) Resolver em R : 
 a) |x – 2| ≤ 1 d) |x – 3| > 2 c) |2x – 5| < 4 d) |3x – 1| > 7 
21) Resolver em R as equações modulares: 
 a) |5x – 3| = 12 b) |3x – 5| = |2x – 3| c) 2x – 7 = |x| + 1 
22) Resolver em R as equações: 
a) 9 – 4(x + 1) = 4x – 3(4x – 1) b) 7x – 2(3x – 4) = – (x – 4) + 1 
c) 
5
12
4
3
12
53 +
=+
− xx
 d) 
2
5
3
2
2
3
−=− x
x
 
e) 3(x – 2) – 
3
4
2
17 −
=
− xx
 f) 
6
1
2
3
3
2
=
−
+
− xx
 
23) Resolver em R as seguintes equações do segundo grau: 
a) x2 – x – 2 = 0 b) –x2 + 7x –12 = 0 c) x2 – 5x + 6 = 0 
d) x2 +3x + 3 = 0 e) x2 – 10x + 25 = 0 f) 2x2 – 5x + 2 = 0 
 
 
 
 
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34 
 
24) Resolver as seguintes equações incompletas do segundo grau. 
a) x2 – 7x = 0 b) – 4x2 – 12x = 0 c) 3 x2 – 48 = 0 
d) –5 x2 – 40 = 0 e) x2 – 11 x = 0 f) 4x2 = 0 
25) Resolver em R as seguintes inequações: 
a) 3(x – 4) > x + 2 b) 2 (x –1 ) < 5x + 3 
c) 2
2
5
1
2
42
x
xxx
>
−
−
−
 d) 
6
1
2
2
4
53
<
−
+
− xx
 
26) Utilizandoa calculadora, estimar o valor de: 
a) 7 348 b) 36 – 46 5
3
 c) 
75
134
 – 11 98 + 0,58 . ( 0,86 – 35,76) 
27) Sabendo-se que A = 6,2 . 10-10 e B = 5 . 1020 , escrever o valor de A . B, usando a 
 notação científica. 
28) Escrever em notação científica: 
a) 1 bilhão b) 1 milésimo c) 1 centésimo d) 1 sextilhão 
29) Efetuar, dando a resposta em notação científica: 
a) 
9
33
10.02,0.9
10.36.01,0
−
−
 b) 
20
225
10.160
10.8,0.1,0
−
−
 c) 
7 9
20 5
(0,001) 200
10 .4000−
⋅
 
30) Num grupo de 22 estudantes universitários, há 8 que cursam Administração, 10 que 
 cursam Ciências Contábeis e 3 que cursam Administração e Ciências Contábeis. 
 Quantos não estão cursando Administração nem Ciências Contábeis? 
31) Determinar o valor real de x: 
 a) 
4 20
6 x
= b) 
15
3 18
x
=
−
 c) 
6 4
9x
= 
32) Achar dois números reais sabendo-se que estão: 
 a) Na razão de 3 para 4 e a soma deles é 35 
 b) Na razão de 18 para 5 e a diferença entre eles é 780 
33) Uma prova de Fundamentos da Matemática tem 12 questões. Um aluno não fez 5 
 questões. Representando por x o número de questões que o aluno pode acertar, qual a 
 desigualdade que expressa o número de possíveis acertos desse aluno? 
34) Num certo dia em São Carlos, a temperatura mínima registrada foi de 110C e a 
 temperatura máxima foi de 190C. Designando por x a variação da temperatura 
 registrada em São Carlos nesse dia, qual a desigualdade que expressa esse fato? 
 
 
 
 
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35 
 
35) O custo diário de produção de seringas é dado por C = 300 + 20x, onde x é o número 
 de seringas fabricadas por dia. Conhecendo-se que, em um determinado mês, o custo 
 diário oscilou entre um máximo de R$ 5000,00 e um mínimo de R$ 3000,00, em que 
 intervalo variou a produção diária nesse mês? 
36) O lucro mensal de uma empresa de materiais cirúrgicos é dado por L = 60x – 2600 
 onde x é a quantidade mensal vendida de seu produto. Qual quantidade é necessária 
 ser vendida para que o lucro mensal seja igual a R$ 4000,00? 
37) O custo diário de produção de um certo material é C = 250 + 15x, onde x é a 
quantidade produzida. Se o custo diário de um determinado mês oscilou de R$1450,00 
a R$ 2050,00, em que intervalo oscilou a produção diária nesse mês? 
38) O fabricante de um certo artigo estima que seu lucro, em milhares de reais, seja dado 
pela expressão –5x2 + 35x – 30, onde x representa , em milhares, o número de unidades 
produzidas. Que valores de x permitirão ao fabricante obter um lucro de pelo menos 
R$ 20000,00? 
39) Na produção de uma peça, uma indústria tem um custo fixo de R$ 2000,00 mais um 
custo variável de R$ 30,00 por unidade produzida. Em que intervalo deve variar o 
número de peças para que o custo não ultrapasse R$ 11000,00? 
40) Uma companhia fabrica e vende sapatos de corridas. Os custos de produção consistem 
em uma parte fixa de R$56000,00 mais uma parte variável de R$ 40,00 de custo do par 
de sapatos. Cada par é vendido por R$ 120,00. Quantos pares de sapatos devem ser 
vendidos para que a companhia tenha lucro? 
41) Determinar o custo máximo x, em reais, resultante de uma certa transação. Sabe-se que: 
7(x – 2000) ≤ 5(x + 1800) 
42) O lucro semanal de um fabricante de relógios é expresso por L = (x – 5)(125 – x), 
onde x é o preço de venda de cada relógio. Que preço deve ser cobrado para maximizar 
o lucro? Qual é esse lucro máximo?. 
43) Somatório Sejam a1, a2, ..., an números inteiros. Para se indicar de maneira abreviada 
 a soma desses números, utiliza-se a notação: 
n
n
i
i aaaa +++=∑
=
...21
1
 
cujo primeiro membro se lê: somatório dos ai para i de 1 até n. 
 Por exemplo: 
)13.2()12.2()11.2()12(
3
1
+++++=∑ +
=i
i = 3 + 5 + 7 = 15 
 
 
 
 
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36 
 
 Escrever as seguintes somas sem o sinal de somatório: 
a) ∑
=
5
1i
ix b) ∑
=
4
1
)3(
i
i c) ∑
=
4
1
2
i
i 
44) Escrever as seguintes somas utilizando o sinal de somatório: 
a) p1 + p2 + p3 + ... + pn b) r 21 + r
2
2 + r
2
3 + r
2
4 + r
2
5 c) u
3
0 + u
3
1 + u
3
2 
45) Mostrar que: 
a) ∑ ∑ ∑+=+
= = =
n
i
n
i
n
i
iiii baba
1 1 1
)( b) ∑=∑
==
n
i
i
n
i
i akak
11
 c) ∑ ∑ +=+
= =
n
i
n
i
ii bnaba
1 1
)( 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) F b) F c) F d) V e) F f) V g) V h)V 
2) A={d, e, m, a, n}, B={verde, amarelo, azul, branco}, C={3, 5, 7, 11, 13, 17} 
3) a) Q b) Q c) R d) R e) P 4) X = {3, 5, 6, a}, a ≠ 1, 2, 4 
5) a) V b) F c) V d) V e) F f) F g) V h) F i) V 
6) a) 12 b) 5 c)
63
22
 8) a) 
4
1
 b) 
2201
200
 c) 
3
32
 d)
900
4133
 e) 
90
119
 
9) a) {–6, –5, –4, –3, –2, –1,0,1,2} b) { 2 , –3} c) {0, 1, 2, 3} 
10) a) 4 2 b) –13 3 c) 10 3 2 d) 0 e) 2 + 3 f) 10 2 + 6 
11) a) 6 b) 12 4 3 c) 8 4 8 d) 6 10 e) 0,15 f) 3 
12) Iguais 13) a) 34 = 81 b) 24 = 16 c) 
5
3
2





 d) –2 e) 
6
1
 f) 
7
4
3





 
14) a) 10-27 b) 1062 c) 2 . 1039 15) a)
2
1
 b) 4 c)
1
3
 d) 8 
16) a) 36 b) 
5
1
 c) 
10
59−
 17) a) x ≤ 2 b) x > 3 c) 1< x ≤ 5 
17) a) [0,3], [–3,6] b) ]2,5[, ]1,7[ c) [ –3,2], R d) {3}, [0, 8] 
18) a) > b) < c) < d) > e) > f) < 19) a) 15 b) –3 c) 4 d) 2 2 – 4 
e) 1 f) 3 3 -7 20) a) [1,3] b) x < 1 ou x > 5 c) 



2
9
,
2
1
 d) x < –2 ou x > 
3
8
 
21) a){ –
5
9
,3} b) {2, 
5
8
} c) {8} 22) a) –
2
1
 b) –
2
3
 c) 
9
8
 d) – 
3
11
 e) –5 f)
5
14
 
23) a) {–1, 2} b) {3, 4} c) {2, 3} d) φ e) {5} f){
2
1
,2} 
 
 
 
 
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37 
 
24) a) {0, 7} b) {0, -3} c) {4, -4} d) φ e) {0, 11 } f) {0} 
25) a) x > 7 b) x > 
3
5−
 c) x < 
1
11
 d) x < 
5
7
 
26) a) 2,31 b) 26,05 c) –23,9 27) 3,1 . 1011 
28) a) 109 b) 10-3 c) 10-2 d) 1021 29) a) 2 . 102 b) 5 . 10-10 c) 5 . 10 
30) 7 31) a) 30 b) –2,5 c) 13,5 32) a) 15 e 20 b) 1080 e 300 
33) x ≤ 7 34) 11 ≤ x ≤ 19 
35) 135 < x < 235 36) 110 37) [80, 120] 38) entre 2000 e 5000 reais 
39) [0, 300] 40) 700 41) R$ 11500,00 42) R$ 65,00, R$ 3600,00 
43) a) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 b) 3 + 6 + 9 + 12 c) 12 + 22 + 32 + 42 
44) a) ∑
=
n
i
ip
1
 b) ∑
=
5
1
2
i
ir c) ∑
=
2
0
3
i
iu 
 
 
 
 
 
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38 
 
Capítulo 2 
Cálculo Algébrico; Grandezas proporcionais 
 
 
 
O Cálculo Algébrico é de fundamental importância em quase todas as áreas. Ele é 
usado para definir e simplificar sentenças matemáticas que são utilizadas para expressar 
situações práticas em termos de relações funcionais, como, por exemplo: 
 
• A medida do volume de um bloco retangular de dimensões a, b e c é dado pela 
expressão algébrica abc . 
• A densidade de um corpo de massa m e volume V é expressa pela razão 
V
m
. 
• O custo total de produção de uma mercadoria depende da quantidade 
produzida. 
• A quantidade demandada de um produto depende do preço unitário da mesma. 
• A lei de distribuiçãode renda de uma população, conhecida como a Lei de 
Pareto, é expressa por y = 
A
xα
, onde y representa o número de pessoas com 
renda maior ou igual a x, A é uma constante e α é o parâmetro que caracteriza 
a distribuição de renda. 
 
Neste capítulo, apresenta-se uma revisão dos conceitos básicos e técnicas de 
operações, fatoração e simplificação de expressões algébricas. Serão apresentadas também, 
diversas aplicações práticas envolvendo grandezas proporcionais. 
 
2.1 - Valor numérico ou avaliação de uma expressão algébrica 
 
 
Uma expressão matemática que envolve números e letras unidas por sinais de 
operação é denominada expressão algébrica ou literal. 
As letras representam indistintamente um número qualquer de um conjunto 
numérico e, por isso, são chamadas variáveis ou incógnitas. 
 Assim, são expressões algébricas ou literais: 
 
 
 
 
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39 
 
3x2y nRT 
210
73
−
−
y
x
 –t2 + 5t – 6 xyx 32 − 
Quando se atribui a cada variável um valor real, determina-se o valor numérico da 
expressão algébrica dada em R. Para isso, substitui-se a variável pelo valor algébrico e 
efetuam-se as operações indicadas. 
Por exemplo, o valor numérico da expressão 
yx
yx
+
− 33
 quando x = 4 e y = –3 é: 
91
1
2764
)3(4
)3(4 33
=
+
=
−+
−−
 
Existem expressões algébricas que não representam número real para 
determinados valores atribuídos às variáveis. Quando não se diz nada, fica subentendido 
que o conjunto de valores assumidos pelas variáveis são aqueles para os quais as operações 
envolvidas fazem sentido. 
 
Exemplos 
a) A expressão 
42
35
−
+
a
a
 não representa número real para a = 2, pois este valor 
anula o denominador. 
b) Para que valor x ∈ R, a expressão
129
52
−
−
x
x
 não representa número real? 
Solução A resposta será dada procurando-se o valor de x que anula a expressão 
9x – 12, isto é 
9x – 12 = 0 ⇒ 9x = 12 ⇒ x = 
3
4
9
12
= 
 Portanto, a expressão não representa um número real para x = 
3
4
. 
c) O custo C para fabricar x unidades de um produto X e y unidades de um 
produto Y, é estimado pela fórmula C = 100 + 2x + 3y. Qual é o custo de 
fabricação de 12 unidades de X e 25 unidades de Y ? 
 
Solução O valor de C é obtido avaliando a expressão acima para x =12 e y = 25. 
Daí: 
C = 100 + 2 . 12 + 3 . 25 = 199 
ou seja, o custo é R$ 199,00. 
 
 
 
 
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40 
 
2.2 - Redução de termos semelhantes 
 
Numa expressão do tipo 5x2y, destacam-se : 
• A parte numérica 5, denominada coeficiente numérico. 
• A variável ou produto das variáveis (inclusive seus expoentes), denominada 
parte literal. 
 
Exemplos 
–15 a3bc coeficiente –15 x6z4 coeficiente 1 
 parte literal a3 bc parte literal x6z4 
Expressões do tipo 5x2y, cuja parte literal indica somente produtos, recebem o 
nome de monômios. 
Por exemplo, são monômios: 
5a2 2 xy 3m5n4z 
A expressão 5x2y + 5y não é um monômio, pois não envolve somente produtos; 
envolve também uma soma. 
Monômios que possuem a mesma parte literal são chamados termos semelhantes. 
Assim: 
i) 5x2y, –10x2y e 2 x2y são termos semelhantes 
ii) –9a2 e 
4
1
a2 são termos semelhantes 
Também são semelhantes os monômios representados por números reais isolados. 
Por exemplo, 3 e 2 são semelhantes. 
Quando se tem uma soma de termos semelhantes, pode-se aplicar a propriedade 
distributiva. Assim: 
 
18 x3 – 23 x3 = (18 – 23) x3 = –5 x3 
4x5 y8 – 7 x5 y8 + 5 x5 y8 = (4 – 7 + 5) x5 y8 = 2 x5 y8 
O ideal é evitar a igualdade intermediária nos cálculos acima, ou seja, escrever 
diretamente o último membro, o que significa: 
Os termos semelhantes podem ser reduzidos somando algebricamente os seus 
coeficientes e mantendo a parte literal. 
 
 
 
 
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41 
 
Dessa forma, considerando uma expressão algébrica, pode-se sempre transformá-
la numa equivalente mais simples, reduzindo os seus termos semelhantes. 
A maneira de se pedir um procedimento como este é dizer: “simplificar a 
expressão”. 
Assim, para simplificar a expressão: 
6x2 – 2y2– (x2 – 2y2 – 5) 
procede-se como segue: 
6x2 – 2y2 – (x2 – 2y2 – 5) = 6x2 – 2y2 – x2 + 2y2 + 5 
 = 6x2 – x2 – 2y2 + 2y2 + 5 
 = 5 x2 + 5 
Exemplos 
1) Simplificar a expressão: (
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
) 
Tem-se: 
(
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
) = 
2
a
 + 2x + 1 – x + 
4
3a
+ 
5
2
 
 = (
4
3
2
1
+ ) a + (2 – 1)x + (1 + 
5
2
) = 
4
5
a + x + 
5
7
 
 
2) Simplificar a expressão: 2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)] 
2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)] = 2ab – (3b – 2a – 3b + ab) 
 = 2ab – 3b + 2a + 3b – ab 
 = 2ab – ab – 3b + 3b + 2 a = ab + 2a 
3) Dois modelos econômicos são representados pelas expressões A =
2
2
x
+ 20x + 
15 e B = 30x – x2. Obter a expressão que define L = B – A. 
 
L = (30x – x2) – (
2
20 15
2
x
x+ + ) = 30x – x2 – 
2
20 15
2
x
x− − 
 = (–1 – 
1
2
) x2 + ( 30 – 20) x – 15 = –
3
2
 x2 + 10x – 15 
 
 
 
 
 
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42 
 
2.3 - Técnicas para o cálculo algébrico 
 
Multiplicação 
Para se determinar o produto de dois monômios, multiplicam-se os seus 
coeficientes e aplica-se a propriedade am . an = am+n para as suas partes literais. 
 
1) (–7x2) . (3x3) = –21 x5 (Lembrar que x2 . x3 = x5) 
2) (
5
2
xy2) . (
4
1
x4y) = 
10
1
x5y3 ( Observar que 
5
2
. 
4
1
 = 
20
2
 = 
10
1
 ) 
3) Para o produto de 3a2 por 4a3 – 5a2 + 3a – 1, utiliza-se a propriedade 
distributiva: 
3a2 . (4a3 – 5a2 + 3a – 1) = 3a2 . 4a3 – 3a2 . 5a2 + 3a2 . 3a – 3a2 . 1 
 = 12a5 – 15a4 + 9a3 – 3a2 
4) Multiplicar 7x + 2 por 3x2 – 5x + 1. 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, vem: 
(7x + 2) . (3x2 – 5x + 1) = 7x . ( 3x2 – 5x + 1) + 2.( 3x2 – 5x + 1) 
 = 21x3 – 35x2 + 7x + 6x2 – 10x + 2 = 21x3 – 29 x2 – 3x + 2 
Pode-se também proceder como nos cálculos para a multiplicação entre números, 
conforme a seguir: 
 
 Divisão 
Para se determinar o quociente entre dois monômios, com o segundo não nulo, 
calcula-se o quociente dos coeficientes e o quociente das partes literais, sendo que para 
este, utiliza-se a propriedade am : an = am-n. 
 
 
 
 
 
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43 
 
Exemplos 
a) Dividir 8x5 por 2x2 
8x5 : 2x2 = 4x3 ( Observar que x5 : x2 = x5-2 = x3 ) 
b) Dividir –
5
2
x2y4z por 3x2y 
(–
5
2
x2y4z) : (3x2y) = –
15
2
y3z ( Observar: 
5
2
: 3 = ⋅
5
2
15
2
3
1
= ) 
c) Para efetuar o quociente do polinômio 6x5 – 21x3 + 12x2 por 3x2, utiliza-
se a propriedade distributiva: 
 
(6x5 – 21x3 + 12x2) : (3x2) = (6x5) : (3x2) – (21x3) : (3x2) + (12x2) : (3x2) 
 = 2x3 – 7x + 4 
d) Determinar o quociente de 3x3y2 – 5x2y3 por 3x2y2 
(3 x3y2 – 5x2y3) : (3x2y2) = (3 x3y2) : (3x2y2) – (5x2y3) : (3x2y2) = = x – 
3
5
y 
 
e) Efetuar a divisão entre os polinômios x3 – x2 –17x + 12 e x + 4. 
 Procede-se de maneira similar à divisão entre números. 
• Coloca-se o divisor d(x) = x + 4 dentro da chave de divisão e o dividendo 
D(x) = x3 – x2 – 17x + 12 fora, à esquerda e na mesma linha. Divide-se o 
primeiro termo D(x) pelo primeiro termo de d(x) obtendo-se x2, que 
representa o primeiro termo do quociente q(x). 
 
• Multiplica-se x2 por d(x) = x + 4, mudando o sinal para obter –x3 – 4x2 e 
escreve-se este resultado abaixo de D(x) para efetuar a soma com ele. 
 
 
 
 
 
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44 
 
• Repete-se o processo com – 5x2 – 17x + 12 como dividendo. Daí, divide-se–5x2 por x, obtendo-se –5x . Multiplica-se –5x por x + 4 e muda-se o sinal, 
obtendo-se, assim, 5x3 + 20x, que deve ser escrito abaixo do novo dividendo, 
para se somar com ele. 
 
• Repete-se novamente o processo com 3x + 12 como dividendo. 
 
 
Portanto, o quociente é q(x) = x2 – 5x + 3 e o resto é 0. De acordo com o 
resultado encontrado, pode-se escrever: 
 
 x3 – x2 –17x + 14 = (x2 – 5x + 3) . (x + 4) 
 
f) Dividir 10x2 + 5x3 + 1 por x2 + x + 1 
 É conveniente, antes de efetuar a divisão, ordenar tanto o dividendo como o 
divisor, segundo as potências decrescentes da variável e colocar 0 quando a potência não 
aparece. 
 
 
 
 
 
 
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45 
 
 
Neste caso, a divisão não é exata e, como o primeiro termo do resto não é 
divisível pelo primeiro termo do divisor, o processo se encerra. 
Assim, o quociente da divisão é 5x + 5 e o resto é –10x – 4. 
 
2.4 - Técnicas usuais na multiplicação: produtos notáveis 
 
Existem certas multiplicações de uso freqüente no cálculo algébrico, que são 
denominadas produtos notáveis. O seu conhecimento facilita o cálculo com expressões 
algébricas e é fundamental na sua fatoração. 
Considere uma placa constituída de quatro partes, conforme a FIGURA 14. 
FIGURA 14 Área de um quadrado como soma de áreas de retângulos e quadrados menores 
 
O cálculo da área total A dessa placa pode ser feito de duas maneiras: 
• Calcula-se a área de cada parte separadamente e soma-se os resultados. Como 
se tem dois quadrados, um de área a2 e outro de área b2 e dois retângulos de 
área ab cada um, então A = a2 + 2ab + b2. 
• Considerando o comprimento a + b do quadrado maior e calculando 
diretamente a área, ou seja, A = (a + b)2. 
Logo: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
Esta expressão, de uso freqüente no cálculo algébrico, é denominada produto 
notável, mais especificamente, quadrado da soma de dois termos. 
 
É importante salientar que: 
(a + b)2 é diferente de a2 + b2 
 
 
 
 
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46 
 
pois, conforme visto acima, a2 + b2 representa apenas uma parte da área total (a + b)2 da 
placa. 
 Observe, ainda, que este produto notável pode ser obtido algebricamente, usando a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição no conjunto dos números 
reais: 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2 
 
Exemplos 
a) (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 52 = 9 x2 + 24 x + 16 
b) (u2 + t3)2 = (u2)2 + 2 . u2 . t3 + (t3)2 = u4 +2 u2 t3 + t6 
c) (p + 
2
1
q)2 = p2 + 2. p . 
2
1
q + (
2
1
q)2 = p2 + p q + 
4
1
q2 
 
Além do produto notável acima, destaca-se ainda: 
 
• Quadrado da diferença de dois termos → (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 
De fato, pois: 
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – a b – b a + b2 = a2 – 2 a b + b2 
 
Exemplos 
a) (3x – 5)2 = (3x)2 – 2 . 3x . 5 + 52 = 9 x2 – 30 x + 25 
b) (u2 – v4)2 = (u2)2 – 2 . u2 . v4 + (v4)2 = u4 – 2 u2 v4 + v8 
c) (4a – 
2
1
b)2 = (4a)2 – 2 . 4a . 
2
1
b + (
2
1
b)2 = 16 a2 – 4 a b + 
4
1
b2 
• Produto da soma de dois termos pela sua diferença → (a + b) (a – b) = a2 – b2 
 
De fato, pois: 
(a + b) (a – b) = (a + b) (a – b) = a2 – a b + b a – b2 = a2 – b2 
 
Exemplos 
a) (y + 5) (y – 5) = y2 – 25 
b) (m – n3 ) (m + n3) = m2 – (n3)2 = m2 – n6 
c) (7a – 
2
1
b) (7a + 
2
1
b) = (7 a)2 – (
2
1
 b)2 = 49 a2 – 
4
1
 b2 
 
 
 
 
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47 
 
d) Se exatamente 100 pessoas fizerem reserva para uma excursão de um dia 
organizada pela agência Apolo, o preço por pessoa custará R$ 100,00. No 
entanto, se mais de 100 pessoas fizerem a reserva para a excursão, supondo 
que este seja o caso, então a tarifa será reduzida em R$ 10,00 para cada pessoa 
adicional. Denotando por x o número de passageiros acima de 100, mostrar 
que o faturamento da agência, em reais, será expresso por F = 10000 – x2 . 
 
Solução Havendo x pessoas acima de 100, então o número de pessoas com 
reserva para a viagem é dado por 100 + x. Além disso, a tarifa será de 100 – x reais por 
pessoa. Dessa maneira, o faturamento será: 
 
F = (100 + x)(100 – x) (número de passageiros vezes a tarifa por passagem) 
ou seja: 
F = 1002 – x2 = 10000 – x2 
 
• Produto de (x + a) por (x + b) → (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a b 
 
De fato, pois: 
(x + a) (x + b) = x2 + b x + a x + a b = x2 + (a + b) x + a b 
 
Exemplos 
a) (x + 5) (x + 4) = x2 + (5 + 4) x + 5. 4 = x2 + 9 x + 20 
b) (x + 6) (x – 2) = x2 + [6 + (–2)] x + 6.( –2) = x2 + 4 x – 12 
 
2.5 - Fatoração 
 
No desenvolvimento do cálculo algébrico com expressões literais, é sempre 
conveniente trabalhar com expressões equivalentes escritas de maneira mais simples. Este 
é o objetivo da fatoração de uma expressão literal, que significa decompô-la em um 
produto de expressões mais simples. 
Considere uma placa formada de duas partes de comprimentos a e b e mesma 
largura x. 
 
 
 
 
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48 
 
 
FIGURA 15. Área de um retângulo como soma de áreas de retângulos menores 
 
Pode-se calcular a área total A da placa de duas maneiras: 
• Calculando a área de cada parte separadamente e somando os resultados, ou 
seja, 
A = ax + bx. 
• Somando os comprimentos das duas placas e calculando diretamente a área 
total da placa, isto é, A = x(a + b). 
Logo: 
ax + bx = x(a + b) 
 
Nesta última igualdade diz-se que x é o fator comum aos termos da 
expressão a x + b x e que x (a + b) é a sua forma fatorada. Essa forma de fatoração é 
conhecida como colocação de fatores em evidência. 
Observe que a fórmula pode ser justificada algebricamente pela propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição. 
 
Exemplos 
a) 7m3 –7 m2 = 7m2 (m – 1) 
b) 4 a b2 – 12 a2 b = 4 a b (b – 3a) 
c) (m – n) t + (m – n) k = (m – n) (t + k) 
d) p x + q x + p y + q y 
= (p + q) x + (p + q) y → pondo em evidência o fator x nos dois primeiros 
 termos e o fator comum y nos dois últimos. 
 = (p + q) (x + y) → colocando em evidência o fator comum (p + q) 
e) Para fabricar x unidades de um certo produto, um artesão gasta 12600 – 45x 
reais mensalmente. Estima-se que a sua arrecadação mensal com a venda das x 
unidades é 280x – x2 reais. Mostrar que o lucro mensal L do artesão em termos 
de x é dado por L = (280 – x)(x – 45). 
x 
b a 
a b 
 
 
 
 
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 Solução Pondo em evidência o termo 45 na expressão 12600 – 45x e o termo x 
na expressão 280x – x2, vem: 
12600 – 45x = 45 ( 280 – x) ; 280x – x2 = x( 280 – x) 
O lucro L é obtido subtraindo o valor arrecadado do valor gasto. Assim: 
L = (12600 – 45x ) – (280x – x2) = 45 (280 – x) – x (280 – x) 
Daí, colocando a expressão 280 – x em evidência, encontra-se: 
 L = (280 – x)(45 – x) 
 
Destacam-se, ainda, os seguintes casos de fatoração: 
 
• Diferença de dois quadrados → a2 – b2 = (a + b) (a – b) 
Observe que: 
Assim: 
 
Portanto m4 – 9n2 = (m2 + 3n) (m2 – 3n) 
 
Exemplos 
1) a2 x2 – 9 y2 = (a x)2 – (3 y)2 = (a x – 3 y)(a x + 3 y) 
2) 36 z4 – 49 = (6 z2)2 – 72 = (6z2 + 7) (6 z2 – 7) 
3) x2 – 3 = x2 – ( 3 )2 = (x + 3 ) (x – 3 ) 
• 



222
222
)(2
)(2
bababa
bababa
−=+−
+=++
 → trinômio quadrado perfeito 
 
 
 
 
 
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Para fatorar 9 x2 + 24 x + 16, observe que 9 x2 = (3 x)2 e 16 = 42. Fazendo 
aparecer o fator 2 na segunda parcela, tem-se: 
 
9x2 + 24x + 16 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 42 = (3x + 4)2 
Observe: 
 
 
Para fatorar 25x2 – 20x + 4: 
 
Outros exemplos 
1) 16a2 + 8ab + b2 = (4a + b)2 
2) 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 
 
ObservaçãoConsidere o trinômio 16x2 + 10x + 81 . Tem-se: 
 
Logo, este trinômio não é um quadrado perfeito. 
 
• x2 + (a + b)x + a.b = (x + a) (x + b) → fatoração pela soma e produto 
 Portanto: 
 
 25x2 – 20x + 4 = (5x – 2)2 
 
 
 
 
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51 
 
Para fatorar x2 + 7x + 10, deve-se achar dois números a e b tais que a + b = 7 
e a . b = 10. Por tentativa vê-se que a = 2 e b = 5 satisfazem as condições. Então: 
 
x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) 
Isso pode ser feito também utilizando a fórmula: 
ax2 + bx + c = a (x – x’) (x – x’’) , a ≠ 0 
desde que o discriminante ∆ = b2 – 4ac seja não negativo, onde x’ e x’’ são raízes da 
equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0. 
 
Exemplos 
1) Fatorar a expressão x2 + 3x + 2 
 x2 + 3x + 2 = x2 + (2 + 1)x + 2.1 = (x + 2) (x + 1) 
2) Fatorar a expressão x2 – x – 12 
 x2 – x – 12 = x2 + (3 – 4) x + 3.( – 4) = (x + 3 ) (x – 4) 
3) Fatorar a expressão 2 x2 + 3x – 2. 
 Resolvendo a equação 2 x2 + 3x – 2 = 0, tem-se: 
x = 
4
1693 +±−
= 
4
53 ±−
 
de onde segue que x’= 
2
1
 e x’’ = –2. Portanto: 
2 x2 + 3x – 2 = 2(x –
2
1
) (x + 2) 
 
2.6 - Mínimo múltiplo comum de expressões algébricas 
 
Uma das maneiras que se usa para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de 
dois números naturais é a técnica da decomposição em fatores primos. 
Assim, para se determinar o mmc dos números 72 e 60, escreve-se: 
 
72 = 23 . 32 60 = 22 . 3 . 5 
O mmc dos números dados é o produto dos fatores comuns e não comuns 
tomados com o seu maior expoente. Daí: 
 
mmc(72,60) = 23 . 32 . 5 = 360 
 
 
 
 
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Surgem agora situações para determinação do mmc das seguintes expressões: 
• 6x2y3 e 9 x3y2 
• x2 – 9 e x2 + 3x 
Aplicando a mesma técnica de cálculo do mmc de números naturais, pode-se 
determinar o mmc de expressões algébricas como estas. Dessa maneira, para se obter o 
mmc de várias expressões algébricas: 
i) fatoram-se as expressões 
ii) faz-se o produto das maiores potências de cada um dos fatores 
 
Exemplos 
1) Determinar o mmc das expressões 6x2y3 e 9 x3y2 
expressões as fatorando
..39
y. x. 3 . 2yx6
23223
3232
→



=
=
yxyx 
Então: 
mmc (6x2y3, 9 x3y2) = 2 . 32 . x3 . y3 = 18 x3y3 
2) Determinar o mmc das expressões x2 – 9 e x2 + 3x 
expressões as fatorando
)3(3
)3()3(9
2
2
→



+=+
−+=−
xxxx
xxx
 
Então: 
mmc(x2 – 9, x2 + 3x) = x(x + 3) (x – 3) 
 
3) Determinar o mmc das expressões x + a, x2 – a2 e x2 + 2xa + a2 
expressões as fatorando
)(2
))((
)(
222
22 →





+=++
−+=−
+=+
axaxax
axaxax
axax
 
Então: 
mmc(x + a, x2 – a2 , x2 + 2x + a2) = (x + a)2 (x – a) 
 
2.7 – Simplificação de frações algébricas 
 
A simplificação de frações algébricas baseia-se na seguinte propriedade dos 
números racionais: 
 
 
 
 
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Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos de uma fração por um mesmo 
número diferente de zero, obtém-se um número racional equivalente. 
Recordemos a simplificação de frações numéricas: 
 
2
3
12:24
12:36
24
36
== 
Pode-se também decompor o numerador e o denominador como um produto de 
potências de fatores primos e depois dividir ambos os membros pelo produto das menores 
potências dos fatores. 
2
3
)3.2(:)3.2(
)3.2(:)3.2(
3.2
3.2
24
36
23
222
3
22
=== 
Para simplificar: 
1) 
34
25
24
36
ba
ba
 
Dividindo-se os dois termos por 12a4 b2, vem: 
34
25
24
36
ba
ba
 = 
b
a
2
3
 
2) 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 
Fatorando os polinômios, tem-se: 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 = 
2)3(
)3)(3(
−
+−
x
xx
 = 
)3)(3(
)3)(3(
−−
+−
xx
xx
 
Dividindo ambos os membros por (x – 3), vem que: 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 = 
3
3
−
+
x
x
 
 
2.8 – Adição de frações algébricas 
 
 Para a adição de frações algébricas, procede-se de modo similar ao que se faz para a 
adição de números racionais. 
 
Exemplos 
1) 
2 1 2 7 4 5 10 5( 2) 2
5 5 5 5 5
x x x x x x
x x x x x x
+ − − − − −
+ − = = = 
 
 
 
 
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2) 
22222 2
1
6
3
6
333
6
3)1(3
6
3
2
1
xxx
xx
x
xx
xx
x
==
−+
=
−+
=−
+ 
3) 
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( )( ) ( )( )
a b a a b b a b a ab ab b a b
a b a b a b a b a b a b a b
+ − − + − + +
− = = =
− + − + − + −
 
4) Dadas as expressões algébricas: 
R = 
2






+
−
xy
xy
 e T = 
2)(
4
yx
xy
+
 
Verificar que R + T = 1. 
 Solução Tem-se: 
 R + T = 
2






+
−
xy
xy + 
2)(
4
yx
xy
+
 = 
2
2
)(
)(
yx
xy
+
− + 
2)(
4
yx
xy
+
 = 
 = 
2
22
)(
42
yx
xyxxyy
+
++− = 
2
22
)(
2
yx
yxyx
+
++ (fatorando o numerador ) 
 = 
2
2
)(
)(
yx
yx
+
+ = 1 
 
2.9 – Multiplicação e divisão de frações algébricas 
 
Para a multiplicação de frações algébricas, usa-se a mesma técnica da 
multiplicação de números racionais. No caso da divisão de frações algébricas, multiplica-
se a primeira pelo inverso da segunda. 
 
Exemplos 
1) Determinar o produto 
ba
yx
yx
ba
2
2
3
23 2
10
⋅ 
Tem-se: 
ba
yx
yx
ba
2
2
3
23 2
10
⋅ = 
32
223
10
2
bxya
yxba
 = 
25 y
abx
 
2) Determinar o produto 
y
yx
yx
xy
2
332
22
+
⋅
−
 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
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y
yx
yx
xy
2
332
22
+
⋅
−
 = 
y
yx
yxyx
xy
2
)(3
))((
2 +
⋅
+−
 [ cancelar o fator 2y(x + y) ] 
 = 
yx
x
−
3 
3) Uma caixa fechada de base retangular, cujo comprimento supera a largura em 
uma unidade, deve apresentar um volume de 1800cm3. O material para a 
tampa e fundo da caixa custa R$ 4,00 por cm2 e o material para os lados custa 
R$ 2,50. por cm2. Se x cm for a largura de um lado da base, expressar o 
custo do material em termos de x. 
Solução Se x cm é a largura da base, então o comprimento mede x + 1 cm. 
Chamando de y a altura da caixa e C o custo do material, tem-se: 
C = 4 [2x (x + 1)] + 2,50 (2xy) + 2,50 [2(x + 1)y] 
= 8x2 + 8x + 5xy + 5(x + 1)y 
Como o volume da caixa é o produto da área da base pela altura: 
x(x + 1)y = 1800 
de onde segue que y = 
1800
( 1)x x +
. 
Por conseguinte: 
C = 8x2 + 8x + 5x 
1800
( 1)x x +
 + 5(x + 1) 
1800
( 1)x x +
 
isto é, o custo do material em termos de x é dado por: 
C = 8x2 + 8x + 
9000
1x +
 + 
9000
x
 
 
2.10 – Racionalização de frações algébricas 
 
Quando o denominador de uma fração contém somas ou diferenças que envolvem 
radicais, pode-se transformar a fração em uma outra equivalente cujo denominador não 
apresenta radicais. Esse procedimento é chamado racionalização do denominador. 
 
Exemplos 
1) Racionalizar o denominador de 
x
4
. 
 
 
 
 
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Neste caso, multiplica-se o numerador e o denominador da fração por x , visto 
que esse procedimento não altera o quociente. 
x
4
 = 
xx
x
.
.4
 = 
2
4
x
x
 = 
x
x4
 
 
2) Racionalizar o denominador de 
1
6
−x
. 
Neste caso, multiplicam-se ambos os termos da fração por x + 1. Dessa 
maneira: 
( x – 1). ( x + 1 ) = ( x )2 – 12 = x – 1 
Daí: 
1
6
−x
 = 
)1(.)1(
)1(.6
+−
+
xx
x
 = 
1
)1(.6
−
+
x
x
 
 
2.11 – Equações fracionárias 
 
Considere o seguinte problema: 
Deseja-se cercar um terreno de forma retangular cuja área é 180 m2. O material 
para a cerca custa R$ 20,00 o metro quadrado. Determinar as dimensões do terreno 
sabendo-se que o gasto total com a cerca foi R$ 1120,00. 
 
Seja x o comprimento e y a largura do terreno. Então: 
x y = 180 ⇒ y = 
180
x
 (1) 
Como o perímetro do terreno é 2x + 2y e o preço por m2 é R$ 20,00, segue 
que: 
20( 2x + 2y) = 1120 ⇒ x + y = 28 (2) 
Combinado (1) e (2), monta-se a equação para o problema: 
x + 
180
x
 = 28. 
Equações como esta,