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Capítulo 1 
Noções sobre a teoria dos conjuntos; 
Conjuntos Numéricos 
 
 
 
Serão recordadas, a seguir, as principais noções da teoria dos conjuntos, como 
também, os vários símbolos usados em Matemática mostrando diversas situações em que 
cada um deles é empregado. 
Será feita, ainda, uma revisão do conjunto dos números reais e de suas principais 
propriedades, que serão utilizadas no desenvolvimento das seções subseqüentes. 
 
1.1 - Conjuntos 
 
Qualquer coleção de objetos é chamada de conjunto. Um membro dessa coleção 
recebe o nome de elemento do conjunto. 
Para denotar conjuntos, geralmente utilizam-se letras maiúsculas latinas A, B, 
C,... ou colocam-se os símbolos dos objetos que os constituem entre chaves. Por exemplo: 
A = {visão, audição, olfato, gosto, tato} 
é o conjunto dos cinco sentidos tradicionais. 
Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado por φ . 
Seja A um conjunto e x elemento. Se x é um membro de A, escreve-se x ∈ A, 
onde o símbolo ∈, devido a Peano, é uma versão da letra grega epsilon. Para indicar que x 
não é um membro de A, escreve-se x ∉ A. 
Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B, diz-se 
que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que B contém A. 
Notações : 
A ⊂ B que se lê: A está contido em B 
B ⊃ A que se lê: B contém A. 
Simbolicamente, a definição acima fica: 
A ⊂ B ⇔ [ ]BxAx ∈⇒∈∀ 
 
 
 
 
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Por definição, φ ⊂ A para todo A. 
Se o conjunto A não é um subconjunto do conjunto B usa-se a notação A ⊄ B. 
 
Exemplos: 
a) Sendo A = { 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = { 2, 3, 4} 
A ⊂ B, visto que todo elemento de A é também um elemento de B 
A ⊄ C, visto que 1 ∈ A e 1 ∉ C. 
b) Seja X o conjunto de todas as pessoas possuidoras de automóvel. Então, o 
conjunto das pessoas que possuem um automóvel da marca Ford é um 
subconjunto de X. 
 
Observe que, se A, B e C são conjuntos quaisquer, valem as seguintes 
propriedades: 
i) A ⊂ A ( reflexiva) 
 ii) A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (transitiva) 
 iii) A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B 
 
1.2 - Reunião e interseção de conjuntos 
 
O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B é 
denotado por A ∪ B e é chamado de reunião ou união de A e B. 
Simbolicamente: 
A ∪ B = { p : p ∈ A ou p ∈ B} 
Se os conjuntos são partes do plano representados graficamente pelos 
diagramas da FIGURA 1, tem-se que A ∪ B é a região sombreada. Tal representação é 
chamada diagrama de Venn. 
 
Exemplos: 
a) {u, v, w} ∪ {r, s, w} = {u, v, r, s, w}. 
B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A 
FIGURA 1. Diagramas de Venn para a reunião de conjuntos 
 
 
 
 
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b) Os indivíduos que possuem dinheiro aplicado em caderneta de poupança ou em 
fundos de investimento são considerados aplicadores financeiros. Esses 
elementos formam dois conjuntos cuja reunião consiste de todos os indivíduos 
que possuem dinheiro em poupança ou em fundos de investimento ou em 
ambos os tipos de aplicações. 
 
O conjunto dos elementos que pertencem, simultaneamente, a um conjunto A e a 
um conjunto B é denotado por A ∩ B e é chamado de interseção de A e B. 
Simbolicamente: 
A ∩ B = { p : p ∈ A e p ∈ B} 
Se A ∩ B = ,φ diz-se que os conjuntos A e B são disjuntos. 
Se os conjuntos são partes do plano representados pelos diagramas da FIGURA 2 
tem-se que A ∩ B é a região sombreada. 
 
 
Exemplos: 
a) {m, n} ∩ {m, n, p, q} = {m, n} 
b) {1,2} ∩ {3,4} = φ 
c) Numa população universitária U, considere o conjunto A dos alunos que 
cursam Administração e B o conjunto dos alunos que moram em São Carlos. 
Então A ∩ B representa o conjunto dos universitários que cursam 
Administração e moram na cidade de São Carlos. 
 
Quaisquer que sejam A, B e C conjuntos, a reunião e a interseção satisfazem as 
seguintes propriedades: 
 
a) A ∪ A = A b) A ∩ A = A 
c) A ∪ B = B ∪ A d) A ∩ B = B ∩ A 
e) A ∪ φ = A f) A ∩ φ = φ 
g) se A ⊂ B então A ∪ B = B e A ∩ B = A 
A ∩ B = φ 
B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B 
 
FIGURA 2. Diagramas de Venn para a interseção de conjuntos 
 
 
 
 
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1.3 - Conjunto complementar e diferença de conjuntos 
 
 Quando se divide uma população de animais em dois grupos, supondo-se que uma 
é de animais vertebrados e outra de invertebrados, está-se falando de conjuntos 
complementares. 
Seja U um conjunto arbitrário e A ⊂ U. O conjunto dos elementos de U que não 
pertencem ao conjunto A é chamado complementar de A em U e é denotado por A . 
Simbolicamente, tem-se: A = { p : p ∈ U e p ∉ A} 
 
Exemplos: 
a) Seja U o conjunto das letras do alfabeto e A o conjunto das consoantes. 
Então, o conjunto complementar A é o conjunto das vogais. 
b) Seja U o conjunto dos números inteiros e A o conjunto dos números ímpares. 
Então, o conjunto complementar A é o conjunto dos números pares. 
c) Seja U o conjunto das mulheres de uma certa comunidade e X o conjunto das 
mulheres fumantes. Então, X consiste de todas as mulheres da comunidade 
que não fumam. 
 
Quaisquer que sejam os subconjuntos A e B de U, valem as seguintes 
propriedades: 
a) A ∩ A = φ b) A ∪ A = U 
c) BA∩ = A ∪ B d) BA ∪ = A ∩ B (leis de Morgan) 
 
Pode-se falar ainda numa outra operação, que é a diferença entre conjuntos. Dados 
dois conjuntos A e B, define-se A – B como sendo o conjunto de todos os elementos de A 
que não pertencem a B. 
Simbolicamente: 
A – B = { p : p ∈ A e p ∉ B} 
FIGURA 3. Diagrama de Venn para a complementação 
 
 
 
 
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Exemplos: 
a) Sendo A = {2, 4, 5, 7} e B = {3, 4, 5, 6}, determinar-se-á: 
i) A – B ii) B – A 
 Solução (i) Como os elementos do conjunto A que não pertencem a B são 2 e 
7, segue que A – B ={2, 7}. 
 (ii) Desde que os elementos do conjunto B que não pertencem a A são 3 e 6, 
decorre que B – A = {3, 6}. 
 
b) A FIGURA 4 apresenta alguns diagramas, nos quais a diferença A – B está 
indicada por regiões sombreadas. 
 
c) Seja A o conjunto de todas as pessoas aidéticas de uma cidade e B o conjunto 
de todas as pessoas que nunca ingeriram drogas. Então A – B é o conjunto 
de todas as pessoas que adquiriram AIDS por qualquer outro meio que não 
seja por uso de drogas. 
 
1.4 - Número de elementos da reunião entre conjuntos 
 
Se X é um conjunto finito, denote por n(X) o número de elementos de X. Para 
quaisquer dois conjuntos finitos A e B, é válida a seguinte fórmula: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
Exemplo 
Um levantamento efetuado entre 800 filiados à previdência oficial mostrou que 
muitos deles possuíam planos de saúde com duas empresas particulares A e B, conforme 
a tabela abaixo. 
A ⊂ B; neste 
caso A – B = φ 
A ∩ B φ≠ ; neste 
caso A – B = A 
FIGURA 4 Diagramas de Venn para a diferença de conjuntos 
 
 
 
 
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TABELA 1. Conveniados com empresas de previdência 
Convênio com A Convênio com B Possuem somente o plano oficial 
520 290 70 
 
Pergunta-se: 
a) Quantos eram filiados as duas empresas A e B. 
b) Quantos eram filiados somente à empresa A ? 
 
 Solução de (a) A pesquisa foi feita entre 800 pessoas, das quais 70 possuem 
somente o plano oficial. Daí, o número de pessoas que possuem o plano A ou o plano B é 
800 – 70 = 730. Isso quer dizer que n(A ∪ B) = 730. 
 De acordo com a tabela, tem-se: n(A) = 520 e n(B) = 290. Mas, como: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
então, 
730 = 520 + 290 – n(A ∩ B) 
de onde vem que n(A ∩ B) = 80, isto é, o número defiliados as duas empresas A e B é 80. 
Solução de (b) O número de filiados somente à empresa A é dado por: 
n( A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 520 – 80 = 440 
portanto, 440 pessoas. 
 
1.5 - Números reais 
 
O conjunto dos números naturais formado pelos inteiros 0, 1, 2, 3, ... é indicado 
por N, ou seja: 
N = {0, 1, 2. 3, 4, 5, ...} 
Excluindo o zero, obtém-se o conjunto dos números naturais não nulos 
representado por N ∗ . 
 
N ∗ = N – {0} = { 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Acrescentando ao conjunto N os números inteiros negativos, obtém-se o conjunto 
Z dos números inteiros: 
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 
 
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Em muitos problemas, os números inteiros são insuficientes para resolvê- los. Por 
exemplo, considere a equação 3x = 5. A solução dessa equação é o número 
3
5
, que não é 
inteiro. Esse número é chamado número racional. 
 
De um modo geral, número racional é todo número que se obtém pela divisão de 
dois inteiros. Por exemplo, 
3
1
 e –
2
7
 são números racionais. 
 
Representando por Q o conjunto de todos os números racionais pode-se escrever: 
Q = { 
b
a
: a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 } 
Quando b = 1, tem-se 
b
a
 = 
1
a
 = a ∈ Z . Dessa forma, todo número inteiro é 
racional. Logo, Z ⊂ Q. 
 
Ainda: 
Dois números racionais 
b
a
 e 
d
c
 são iguais quando a d = b c . 
 
Assim, por exemplo, 
16
12
,
8
6
,
4
3
 representam o mesmo número racional. 
 
O número racional 
b
a
 também é chamado razão de a para b. 
A razão da medida de uma circunferência de um círculo pelo seu diâmetro é um 
número não racional denotado por π , cujo valor é 3,1415..., e denominado número 
irracional. Outros exemplos de números irracionais: 
 
 3 = 1,7320508... 4 6 = 1,5650845... e = 2,7182818284.... 
 
O número e pode ser definido como o número irracional para o qual tendem os 
valores de 
x
x





 + 11 quando x cresce indefinidamente, conforme pode ser observado na 
TABELA 2, construída para alguns valores de x. 
 
 
 
 
 
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 TABELA 2. Algumas aproximações do número irracional e 
x 
x
x





 +
1
1 
102 2,70481 
103 2,716924 
104 2,718146 
105 2,718268 
106 2,718280 
M ↓ 
 e 
 
Chama-se número real todo número racional ou irracional, isto é, o conjunto dos 
números reais, denotado por R, é a reunião do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Assim, denotando-se por Q’ o conjunto dos números 
irracionais, tem-se: 
R = Q ∪ Q’ 
 
Dessa forma, todo número racional é real e todo número irracional é real. 
Portanto, tem-se as seguintes inclusões: 
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e Q’ ⊂ R 
 
1.6- Representação decimal dos números reais 
 
Todo número real pode ser expresso na forma decimal. No caso de um número 
irracional como 2 = 1,41323.., π = 3,14159..., e = 2,7182818284...., essa representação 
é infinita e não periódica. 
No caso de um número racional, dois casos podem acontecer: 
 
i) a representação decimal é finita 
1
5
 = 5 
4
1
 = 0,25 
20
1645
 = 82,25 
10000
187
= 0,0187 
 
ii) a representação decimal é infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica. 
9
1
 = 0,11111... 
3
7
 = 2,33333... 
9900
1237
 = 0,1249494949... 
 
 
 
 
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Reciprocamente, todas as decimais finitas correspondem a frações decimais e é 
possível mostrar que todas as representações decimais periódicas também correspondem a 
frações e, portanto, representam números racionais. 
 
Exemplos: 
a) 2,36 = 
100
236
 
b) 0,0057 = 
10000
57
 
c) Mostrar que 0,454545... = 
99
45
. 
 Solução Chamando x = 0,454545... e multiplicando esta igualdade membro a 
membro por 100, obtém-se 100 x = 45,454545.... . Subtraindo as duas igualdades membro 
a membro, vem que: 
99 x = 45 
de onde segue que x = 
99
45
 . 
 
1.7 - Operações em R 
 
No conjunto R estão definidas duas operações. A adição, que a cada par ordenado 
(a, b) de números reais associa um único número real a + b, chamado soma de a e b, e 
multiplicação, que a cada par ordenado (a, b) de números reais associa um único número 
real a . b, chamado produto de a e b. 
Considere a adição –12 + 25 + 9. Uma forma de se efetuar o cálculo é adicionar 
–12 + 25 = 13 e, em seguida, calcular 13 + 9 = 22. Esse procedimento pode ser indicado 
pela utilização de parêntesis, como a seguir: 
(–12 + 25) + 9 
Uma outra maneira de se realizar o cálculo é primeiramente efetuar 25 + 9 = 34 
e, depois, –12 + 34 = 22. Dessa vez segue-se a regra: 
–12 + (25 + 9) 
 Em outras palavras, tem-se a propriedade: para adicionar três números reais 
adicionam-se os dois primeiros e ao resultado adiciona-se o terceiro ou, adiciona-se o 
primeiro à soma dos dois últimos. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da 
adição. 
 
 
 
 
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De maneira similar, pode-se efetuar a multiplicação 6 . 4 . 5 de duas maneiras: 
(6 . 4) .5 = 24 . 5 = 120 ou 6 . (4 . 5) = 6. 20 = 120 
isto é, a multiplicação de números reais também satisfaz a propriedade associativa. 
Em seguida, estão enunciadas as propriedades fundamentais que são satisfeitas 
pela adição e pela multiplicação de números reais, de grande importância nos cálculos 
algébricos que envolvem essas operações. 
 
Quaisquer que sejam a, b e c números reais: 
1) Comutatividade 



=
+=+
abba
abba
..
 
2) Associatividade 



=
++=++
cbacba
cbacba
.).().(.
)()(
 
3) Existência de elementos neutros: existem os elementos 0 e 1 em R tais que: 
a + 0 = a e a . 1 = a. 
4) Existência do oposto: todo a ∈ R possui um oposto –a tal que 
a + (–a) = 0. 
5) Existência do inverso multiplicativo: todo a ∈R não nulo, possui um inverso 
a
1
 
tal que a . 
a
1
 = 1. 
6) Distributiva da multiplicação em relação à adição: 
a . (b + c) = a . b + a . c 
 
Usando as propriedades do oposto e do inverso multiplicativo, pode-se definir: 
 
Subtração: Para todo a, b ∈ R, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por: 
a – b = a + (– b) 
Divisão: Se a, b ∈ R e b ≠ 0, o quociente de a e b, denotado por 
b
a
, é definido por 
b
a
 = a . 
b
1
 
 
1.8 - Operações com frações 
 
Adição 
 
 
 
 
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Observe: 
b
ca
b
ca
b
c
b
a
b
c
b
a +
=+=+=+
1
.)(
1
.
1
. 
onde utiliza-ses sucessivamente, a definição de divisão, a propriedade distributiva e, 
novamente, a definição de divisão. Assim: 
Para somar frações com denominadores iguais, conserva-se o denominador 
comum e somam-se os numeradores. 
Exemplos 
a) 
7
11
7
8
7
3
=+ b) 
2
3
4.2
4.3
8
12
8
15
8
3
===+
−
 
Veja agora como proceder para somar frações com denominadores diferentes. Por 
exemplo, considere a soma 
5
2
6
7
+ . Para efetuá- la,multiplica-se o numerador e o 
denominador de cada uma das frações por um mesmo número a fim de não alterá- las, com 
o objetivo de obter um denominador comum. 
Como o menor múltiplo comum de 6 e 5 é 30, ou seja, mmc(6,5) = 30, adota-se 
30 como denominador comum. Para encontrar o número que se deve multiplicar o 
numerador e o denominador da primeira fração, divide-se 30 por 6 , cujo resultado é 5. 
Então: 
30
35
5.6
5.7
6
7
== 
Do mesmo modo, para a segunda fração, divide-se 30 por 5 , cujo resultado é 6: 
30
12
6.5
6.2
5
2
== 
Daí: 
30
47
30
12
30
35
5
2
6
7
=+=+ 
O cálculo foi feito separadamente para cada parcela. Na prática, escreve-se isso 
diretamente, ou seja: 
30
47
30
1235
30
6.25.7
5
2
6
7
=
+
=
+
=+ 
 
 
 
 
 
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Multiplicação 
Se b≠ 0 e d ≠ 0, então: 
bd
ca
d
c
b
a
=⋅ 
Assim: 
Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores e os 
denominadores. 
 
Exemplos 
a) 
24
35
4.6
7.5
4
7
6
5
==⋅ b) 
49
8
7
2
7
4
−=⋅
−
 c) 4 . 
11
3
 = 
11
12
 
 
Divisão 
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, então 1a b ab
b a ab
⋅ = = . Assim, de acordo com a propriedade 5 
das operações em R, tem-se que 
a
b
 é o inverso multiplicativo de 
b
a
, de onde vem que: 
a
b
b
a
=
1
 
Assim, se b ≠ 0, c ≠ 0 e d ≠ 0 então, pela definição de divisão de números reais 
apresentada acima: 
d
cb
a
d
c
b
a
d
c
b
a 1
.: == = 
c
d
b
a
. 
Portanto: 
Para dividir uma fração pela outra, deve-se multiplicar a primeira pela fração 
inversa da segunda. 
 
Exemplos 
a) –
7
8
:
5
3
 = –
8
7
.
5
3
 = –
40
21
 
b) 
16
15
:
4
5
 = 
15
16
.
4
5
 = 
3
4
20.3
20.4
60
80
== 
 
 
 
 
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1.9 – Equações 
 
Considere a seguinte situação: 
O saldo de uma caderneta de poupança, após x meses de aplicação. é dado pela 
fórmula s = 3000 + 50x. Após quanto tempo de aplicação o saldo será R$ 4000,00? 
A situação se expressa através da seguinte sentença matemática: 
3000 + 50x = 4000 
chamada equação na variável x. 
Uma solução de uma equação na variável x real é o valor ou valores reais que, 
substituídos no lugar da variável, fazem com que a igualdade se verifique. Recebem 
também o nome de raízes da equação. Uma equação pode não ter solução. Por exemplo, a 
equação 0 . x = 3 não possui nenhuma solução real. 
Na situação considerada acima, x = 20 é a solução do problema, pois: 
3000 + 50 . 20 = 4000 
Considere uma equação da forma 
x + b = c 
em que a, b ∈ R e a ≠ 0. Para resolvê- la primeiramente adiciona-se – b a cada membro, 
de onde vem que: 
x + b – b = c – b 
isto é, x = c – b . Destaca-se então: 
 
Em uma igualdade pode-se passar uma parcela de um membro para outro, desde 
que se tome o seu oposto. 
 
Veja, agora, situações envolvendo o produto. Por exemplo, se a . x = b, em que 
a ≠ 0, então, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 
a
1
 , o inverso de a, que 
é um número não nulo, segue que: 
⋅
a
1
 (a . x) = 
a
1
. b ⇔ ( ⋅
a
1
 a) . x = 
a
b
 ⇔ x = 
a
b
 
Assim: 
Numa equação a . x = b, se a ≠ 0, pode-se passar o fator a dividindo no 
segundo membro, sem alterar igualdade. 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) Resolver em R a equação –5x –2 ( 3 – 8x) = 3(2x – 4). 
 Solução Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição, para eliminar os parêntesis, e respeitando a regra dos sinais para a multiplicação: 
 
+ . + = +, + . – = –, – . + = –, – . – = + 
resulta: 
–5x – 6 + 16x = 6x – 12 
Transpondo os termos com x para o primeiro membro e os números para o 
segundo membro, obtém-se: 
–5x + 16x – 6x = – 12 + 6 
No primeiro membro, pode-se aplicar a propriedade distributiva: 
–5x + 16x – 6x = (–5 + 16 – 6)x = 5x 
Assim: 
5x = –6 ⇒ x = 
5
6−
 
 
b) O custo mensal para produzir x unidades de uma determinada mercadoria é 
C = 5000 + 15x reais. Qual a quantidade mensal produzida, sabendo-se que o 
custo mensal é R$ 8000,00 ? 
 Solução Deve-se resolver a equação 5000 + 15x = 8000. Então: 
15x = 8000 – 5000 ⇔ 15x = 3000 ⇔ x = 
15
3000
 = 200 
 A quantidade mensal produzida é 200 unidades. 
 
c) Resolver em R a equação 
4
1
36
12 −
=+
+ xxx
. 
 Solução Proceder-se-á de modo similar ao que se faz para a adição de frações. O 
mínimo múltiplo comum dos denominadores 6, 3 e 4 é 12. Então: 
 
12
)1(3
12
4
12
)12(2 −
=+
+ xxx
 ⇔ 2(2x + 1) + 4x = 3(x – 1) ⇔ 
4x + 2 + 4x = 3x – 3 ⇔ 4x + 4x – 3x = –3 – 2 ⇔ 5x = –5 
 
ou seja, x = –1 é a solução da equação. 
 
 
 
 
 
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15 
 
1.10 - Equação do segundo grau 
 
Uma equação do segundo grau é uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 , onde a, 
b e c são números reais e a ≠ 0 . Ela admite a seguinte fórmula resolutiva: 
x = 
a
acbb
2
42 −±−
 
O radicando b2 – 4ac, chamado discriminante, é indicado por ∆ (delta). 
• Se ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e distintas; 
• Se ∆ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais; 
• Se ∆ < 0, a equação não admite raízes reais 
 
Exemplos 
a) Resolver em R a equação do segundo grau x2 – 5x + 6 = 0. 
Tem-se a =1, b = –5 e c = 6. Assim: 
x = 
2
15
2
15
1.2
6.1.455 2 ±
=
±
=
−±
 
Logo: 
x = 2
2
15
=
−
 ou x = 3
2
15
=
+
 
Portanto, o conjunto solução da equação dada é {2, 3}. 
 
b) O lucro mensal de uma empresa é dado por P = –x2 + 12x – 11, onde x 
representa a quantidade vendida. Para que valores de x o lucro é nulo? 
 
Solução Deve-se tomar P = 0 na equação do lucro. Assim: 
–x2 + 12x – 11 = 0 
de onde vem: 
 x2 – 12x + 11 = 0 
x = 
212 12 4.1.11 12 100 12 10
2.1 2 2
± − ± ±
= = 
x = 
12 10
1
2
−
= ou x = 
12 10
11
2
+
= 
Logo, o lucro é nulo se x = 1 ou x = 11. 
 
 
 
 
 
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16 
 
Equações da forma ax2 + bx + c = 0 em que b = 0 ou c = 0 chamam-se equações 
incompletas do segundo grau. 
Por exemplo, x2 – 5x = 0 e x2 – 16 = 0 são equações incompletas do segundo 
grau. Sua resolução pode ser feita pela fórmula resolutiva acima ou como se verá a seguir: 
c) x2 – 5x = 0 
x2 – 5x = 0 ⇒ x (x – 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 5. 
Portanto, o conjunto solução é { 0, 5}. 
 
d) x2 – 16 = 0 
x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 16 ⇒ x = ± 4 
Portanto, o conjunto solução é { –4, 4 }. 
 
1.11 – A reta real; desigualdades 
 
A reta real é a representação geométrica dos números reais como pontos de uma 
reta. A escala de temperatura fornece uma idéia de como representar os números reais ao 
longo de uma reta. 
Escolhido um ponto O sobre a reta, chamado origem, para representar o número 0 
e escolhida uma unidade de comprimento, todo número real positivo x será representado 
por um ponto a uma distância de x unidades à direita da origem O e todo número real 
negativo x será representado por um ponto a uma distância de –x unidades à esquerda de 
O (observe que, se x é negativo, então –x é positivo). 
Dessa maneira, a cada número real, corresponde um só ponto da reta e 
reciprocamente, o que permite falar indistintamente em números reais. 
 
Dados dois números reais distintos, um deles fica localizado à direita do outro, 
isto é, os números reais são ordenados. No caso das temperaturas, o número à esquerda 
representa a temperatura mais baixa. Em geral, diz-se: 
 
FIGURA 5. A reta real 
 
 
 
 
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17 
 
Um número real a é menor que qualquer número b colocado à sua direita. 
Esse fato é assim expresso: 
 
Isso é equivalente a dizer que b fica à direita de a e escreve-se: 
b é maior do que a : b > a 
Escreve-se a < b < c para representar a < b e b < c. Introduz-se, ainda, as 
seguintes notações: 
 
a ≤ b significa a < b ou a = b 
a ≥ b significa a > b ou a = b 
Assim, por exemplo, 2 ≤ 3, pois 2 < 3 e π ≤ π , pois π = π . 
Uma proposição da forma a < b, a > b, a ≤ b ou a ≥ b é denominada 
desigualdade. 
Desigualdades ocorrem com freqüência em problemas de classificação. Por 
exemplo, o lucro mensal de uma determinada empresa no ano 2005 não ultrapassa R$ 
20000,00. Designando por x a variação mensal dos lucros, isso pode ser representado 
simbolicamente por: 
 x < 20000 
 
As principais regras que se utilizam no trabalho com desigualdades estão a seguir. 
Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R: 
 
D1) Se a < b, então a + c < b + c 
D2) Se a < b e c > 0, então a c < b c 
D3) Se a < b e c < 0, então a c> b c 
D4) Se a < b e b < c, então a < c ( transitividade) 
 
Propriedades análogas são válidas se cada sinal de desigualdade < entre a e b for 
substituído por >, ≥ ou ≤ . 
FIGURA 6. A relação a menor do que b 
 
 
 
 
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18 
 
1.12 - Inequações em R 
 
O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por s = 
3000 + 40t. Estimar o valor de t se o saldo superou R$ 3600,00. 
Para determinar a variação de t, deve-se impor que: 
3000 + 40t > 3600 
Uma sentença dessa forma é chamada inequação na variável t . Ela significa: 
“para que valores de t, tem-se 3000 + 40t maior do que 3600?” Supondo que t seja um 
número real, deve-se transformar a inequação dada de maneira a se obter explicitamente os 
possíveis valores de t. Para realizar isso procede-se de maneira similar ao feito na 
resolução de equações. Assim, pode-se passar uma parcela de um lado para outro desde 
que se tome o seu oposto. 
Em situações envolvendo o produto, como, por exemplo, a.t < b, a≠ 0, segue 
imediatamente das propriedades das desigualdades que: 
 
Multiplicando ou dividindo ambos os membros da inequação por um número 
negativo, a desigualdade se inverte. No caso de multiplicar-se ou dividir-se ambos os 
membros por um número positivo, o sentido da inequação não se altera. 
 
Exemplos 
a) Encontrar o conjunto solução da inequação 3000 + 40t > 3600 . 
 Solução Passando, então, –3000 para o segundo membro da desigualdade 
tomando o seu oposto, obtém-se, assim: 
40t > 3600 - 3000 ⇒ 40t > 600 
O sinal da última desigualdade não muda se ambos os membros forem divididos 
por 40. Isso é equivalente a passar o número 40 dividindo no segundo membro. 
Portanto: 
40t > 600 ⇒ t > 
600
40
 ⇒ t > 15 
de onde resulta que o conjunto solução é {t ∈ R: t > 15}. 
 
b) Resolver no conjunto R a inequação –8x – 7 < –3(x + 2). 
 Solução Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro vem que: 
–8x – 7 < –3x – 6 
 
 
 
 
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19 
 
Transpondo –3x para o primeiro membro e –7 para o segundo membro, com 
sinais trocados, obtém-se: 
–8x + 3x < –6 + 7 
–5x < 1 
Dividindo ambos os membros pelo número negativo –5 e lembrando que o sinal 
da desigualdade deve ser invertido, vem que x > 
5
1−
. 
Logo, a solução da inequação é { x ∈ R: x > 
5
1−
 }. 
 
c) Resolver no conjunto R a inequação 
3
5
12
27
4
5
<
−
−
− xx
 . 
 Solução O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 12. Assim: 
12
20
12
)27()5(3
<
−−− xx
 ⇒ 3(x – 5) – (7x – 2) < 20 
⇒ 3x – 15 – 7x + 2 < 20 ⇒ 3x – 7x < 20 + 15 – 2 
⇒ – 4x < 33 ⇒ 4x > – 33 ⇒ x > 
4
33−
 
Portanto, a solução é { x ∈ R: x > – 
4
33
}. 
 
1.13 – Intervalos 
 
Será destacada, agora, uma classe importante de subconjuntos dos números reais, 
chamados intervalos. 
 Por exemplo, se x denota o número de motos fabricadas diariamente por uma 
linha de montagem, então x deve ser não negativo, ou seja, x ≥ 0. Suponha que a gerência 
decida que a produção diária não deve exceder 180 unidades. Dessa maneira, x deve 
satisfazer a desigualdade 0 ≤ x ≤ 180, isto é, x deve pertencer ao intervalo fechado de 
extremos 0 e 180. 
 
Sejam a e b números reais tais que a < b. O intervalo fechado [a, b] é o conjunto 
de todos os pontos de a até b, isto é, o conjunto de todos os pontos x tais que a ≤ x ≤ b. 
O intervalo aberto ]a, b[ é o conjunto de todos os pontos entre a e b, isto é, o conjunto de 
todos os pontos x tais que a < x < b. Os pontos a e b são chamados extremos dos 
intervalos [a, b] e ]a, b[. 
 
 
 
 
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20 
 
Um intervalo semi-aberto é um intervalo aberto ]a, b[ com um de seus pontos 
extremos. Há dois tipos de intervalo semi-aberto: [a, b[ é o conjuntos de todos os pontos x 
tais que a ≤ x < b e ]a, b] é o conjunto de todos os pontos x tais que a < x ≤ b. 
Esses intervalos, apesar de conterem infinitos números reais, são ditos finitos. 
 
Pode-se, também, considerar os intervalos infinitos . O conjunto de todos os 
pontos x tais que x > a é denotado por ]a, + ∞ [ ; o conjunto de todos os pontos tais que 
x ≥ a é denotado por [a, +∞ [. Ainda, ] – ∞ , b[ denota o conjunto de todos os pontos x 
tais que x < b e ] – ∞ ,b] denota o conjunto de todos os pontos x tais que x ≤ b. 
 
Pode-se, ainda, identificar o conjunto dos números reais R com o intervalo 
infinito ] – ∞ ,+ ∞ [ = {x ∈ R: – ∞ < x < + ∞}. 
Os símbolos – ∞ (menos infinito) e +∞ (mais infinito) não representam 
números reais. Observe que, em – ∞ e +, ∞ os intervalos são sempre abertos. 
Desde que os intervalos são subconjuntos particulares dos reais, é possível operar 
com eles, da mesma maneira que para conjuntos quaisquer. 
 
Exemplos 
a) O fabricante de um determinado tipo de carro afirma que seu desempenho é de 
10km por litro na cidade e 18km por litro na estrada e que seu tanque tem 
FIGURA 7. Intervalos finitos 
 
FIGURA 8. Intervalos infinitos 
 
 
 
 
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21 
 
capacidade para 45 litros. Em condições ideais de percurso determinar o 
intervalo de possíveis valores da distância percorrida com um tanque de 
combustível. 
 Solução O intervalo tem extremo inferior 45 . 10 = 450 e extremo superior 
45 . 18 = 810. Portanto, o intervalo é [450, 810]. 
 
b) Dados os intervalos A = [1,6] e B = ]4,8[, determinar A ∩ B. 
 Solução Dispondo os conjuntos A e B conforme a FIGURA 9, observa-se que 
A ∩ B = ]4, 6]. 
 
c) Sendo A = [–2,5] e B = ]2,7[, determinar A ∪ B. 
Solução Observando a FIGURA 10 conclui-se que A ∪ B = [–2, 7[. 
 
 FIGURA 10. Reunião dos conjuntos A e B 
 
1.14 - Valor absoluto de um número real 
 
Na reta real, as temperaturas –7oC e 7o são igualmente distantes da origem 0o C. 
Expressa-se este fato dizendo que ambas as temperaturas têm o mesmo valor 
absoluto. Mais precisamente, o valor absoluto de um número real e positivo é o próprio 
número; o valor absoluto de um número real e negativo é o seu oposto e o valor absoluto 
de 0 é 0. Simbolicamente, se x é um número real, o valor absoluto ou modulo de x é o 
número | x | tal que: 
FIGURA 9. Interseção dos conjuntos A e B 
 
 
 
 
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22 
 
| x | = 



<−
≥
0
0
xsex
xsex
 
 
Exemplos | 4 | = 4; | 0 | = 0; | –2 | = – (–2) = 2; | 1 –π | = – (1 –π ) = π – 1 
 
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre um número não 
negativo, ou seja: 
| x | ≥ 0, ∈∀ x R 
Geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância de x à 
origem, não importando se x está à direita ou à esquerda de 0. 
 
Ainda mais, | x – y | representa a distância de x a y. 
 
Por exemplo, a distância entre 3 e 8 é | 3 – 8 | = | –5 | = 5 e a distância entre –3 e 3 
é |–3 – 3| = |–6| = 6. 
O valor absoluto tem as seguintes propriedades, para todo x, y, z ∈ R e a ∈ R •+ . 
VA1) | –x | = | x | 
VA2) | x . y | = | x | . | y | 
VA3) 
y
x
 = 
||
||
y
x
 se y ≠ 0 
VA4) | x + y | ≤ | x | + | y | 
VA5) | x | = | y | ⇔ x = ± y 
VA6) | x | < a ⇔ – a < x < a 
VA7) | x | > a ⇔ x > a ou x < – a 
FIGURA 11. Representação geométrica de | x | 
 FIGURA 12. O valor absoluto como distância entre dois pontos 
 
 
 
 
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23 
 
VA8) 
2x = | x | 
 
As propriedades VA6 e VA7 podem ser compreendidas facilmente ao lembrar-se 
que | x | é a distância de x até 0. 
 
Exemplos 
a) Achar os valores reais de x que satisfazem | 7x – 1 | = 5. 
 Solução Pela propriedade VA5, a equação é equivalente a: 
7x – 1 = 5 ou 7x – 1 = –5 
Assim, 
7x – 1 = 5 ⇔ 7x =5 + 1 ⇔ 7x = 6 ⇔ x = 
7
6
 
ou 
7x – 1 = – 5 ⇔ 7x = –5 + 1 ⇔ 7x = – 4 ⇔ x = 
7
4−
 
 Logo, x = 
7
6
 ou x = 
7
4−
. 
 
b) Resolver em R a inequação | x – 3 | ≥ 10 . 
 Solução Usando VA7, a desigualdade é equivalente a: 
x –3 ≥ 10 ou x – 3 ≤ –10 
Daí: 
 x –3 ≥ 10 ⇔ x ≥ 13 ou x – 3 ≤ -10 ⇔ x ≤ –7 
 Então, o conjunto solução é { x ∈ R: x ≤ –7 ou x ≥ 13} = ] – ∞ , –7] ∪ [13, +∞ [. 
 
c) O diâmetro r de cada esfera num lote de esferas de rolamento fabricado por 
 uma companhia siderúrgica satisfaz a desigualdade |r – 0,2| ≤ 0,02 onde r é 
 medido em centímetros. Qual é o diâmetro mínimo de uma esfera do lote ? E o 
 diâmetro máximo ? 
FIGURA 13. Desigualdades modulares 
 
 
 
 
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24 
 
Solução Desde que |r – 0,2| ≤ 0,02 tem-se: 
–0,02 ≤ r – 0,2 ≤ 0,02 
–0,02 + 0,2 ≤ r ≤ 0,02 + 0,2 ⇔ 0,18 ≤ r ≤ 0,22 
de onde se vê que o diâmetro mínimo do lote é 0,18 cm e o diâmetro máximo é 
0,22 cm. 
 
1.15 - Potências de expoentes inteiros 
 
As potências estão envolvidas em uma grande variedade de problemas aplicados. Por 
exemplo: 
• Para se calcular o volume de uma célula esférica, utiliza-se a fórmula V = 
3
3
4
rπ que envolve a terceira potência do raio. 
• Uma importância C aplicada a uma taxa constante i por período, em n 
períodos, é corrigida para um valor M dado pela fórmula M = C (1 + i)n. 
• A eficiência E de um operário para completar um trabalho em t meses é 
aproximada pela fórmula E = C – B ekt, onde B, C e k são constantes. 
Seja a um número real. Se n é um natural, define-se: 
an = 43421
vezesn
aaaa
−
...... , n ≥ 2 
a 0 = 1, a ≠ 0 
a1 = a 
a-n = 
na
1
, a ≠ 0 
 
Exemplos: 
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 ( ) 12 0 = 
25
49
5
7
.
5
7
5
7 2
=




 −





 −=




 − 1π = π 
(–9)0 = 1 (–3)-3 = 
3)3(
1
−
= –
27
1
 
2
3
2 −





 = 
2
2
3





 = 
4
9
 ( 0,3333...)-1 = =




=





−− 11
3
1
9
3
3 
 
 
 
 
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25 
 
 
Particularmente, as potências de 10 são de fundamental importância nas 
aplicações práticas. Algumas dessas potências estão representadas abaixo. 
10 = 101 
10
1
 = 0,1 = 10-1 
100 = 102 
100
1
 = 0,01 = 10-2 
1000 = 103 
1000
1
 = 0,001 = 10-3 
10000 = 104 etc. 
10000
1
 = 0,0001 = 10-4 etc. 
 
 Se m , n ∈ N* e a, b ∈ R, as potências de números inteiros satisfazem as 
seguintes propriedades: 
 
i) am . an = am+ n 
ii) am : an = am - n , a ≠ 0 
iii) (am)n = amn 
iv) (a . b)n = an . bn 
v) 
n
nn
b
a
b
a
=




 , b ≠ 0 
 
 
Exemplo 
Efetuar as operações utilizando as propriedades das potências: 
32 . 33 = 35 = 243 (23)2 = 26 = 64 
(–7)49 : (–7)47 = (–7)2 = 49 
25
9
5
3
5
3
2
22
==




 
2-5 . 23 = 2-2 = 
4
1
 3-2. 5-2 = 15-2 = 
215
1
 = 
225
1
 
6
4
7
7
 = 74 – 6 = 7-2 = 
49
1
 [(-4)-2]-1 = (-4)2 = 16 
 
1.16. Potências de expoentes racionais; radicais 
 
 
 
 
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Se n é um número inteiro e positivo, a expressão bn
1
 é definida como sendo o 
número real que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b . Portanto: 
n








 b n
1
 = b 
Se existe tal número, ele é chamado raiz n-ésima de b e é denotado por n b . 
Quando n = 2, escreve-se simplesmente a em vez de 2 a . Assim: 
64 6
1
 = 6 64 = 2 pois 26 = 64 3 125− = –5 pois (–5)3 = –125 
 Observe que a raiz n-ésima de um número negativo não está definida quando 
n é par. Por exemplo, não existe 4− porque não existe número real c tal que c2 = – 4. 
Além disso, dado um número b, de acordo com a definição, mais de um número real pode 
ser a sua raiz n-ésima. Por exemplo, tanto 2 como –2 elevados ao quadrado são iguais a 4 
logo, cada um deles é uma raiz quadrada de 4. No entanto, para evitar ambigüidades, 
define-se b n
1
como sendo a raiz n-ésima positiva de b, sempre que ela existir. Assim, 4 2
1
= 
4 = 2. 
Para b∈R e 
n
m
 um número racional positivo onde n ≠ 0, define-se b
n
m
como 
sendo o número 
m
nb 






 1
sempre que existir. Equivalentemente, 
m
nb 






 1
= n mb , sempre que 
existir. 
Para b ∈ R e 
n
m
 um número racional não negativo, define-se : 
b
n
m
−
 = 
 b
1
n
m
 = 
n mb
1
 
 
Observe que continuam válidas para potências com expoentes racionais as 
mesmas propriedades das potências com expoentes inteiros. 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) Calcular as seguintes potências: 
i) 8 3
2
 ii) 27 3
1
−
 iii) (–4) 4
3
 
 
Solução 
i) 8 3
2
 = 33 2 648 = = 4 ii) 27 3
1
−
 = 
3
1
27
1
 = 
3 27
1
 = 
1
3
 
iii) (–4)
4
3
 não é um número real, pois 4 3)4(− = 4 64− não existe em R. 
 
b) Efetuar os produtos: 
i) 34 7.7 ii) 
3
8
3
2
3
1
.
3
1












−
 
Solução 
34 7.7 = 7 4
1
. 7 3
1
 = 7 3
1
4
1
+
 = 7 12
7
 = 12 77 
3
8
3
2
3
1
.
3
1
−











 = 
3
8
3
2
3
1
−





 = 
2
3
1 −





 = 32 = 9 
c) Escrever cada uma das seguintes expressões na forma bn
m
 com m e n 
inteiros e n não nulo. 
i) 
3 5
125
 ii) 
5
5 46,0
3
3.3
 
Solução 
3 5
125
 = 
3
3
5
5
 = 
3
1
2
3
5
5
 = 3
1
2
3
5
−
 = 5 6
7
 
5
5 46,0
3
3.3
 = 
5
1
5
4
10
6
3
3.3
 = 
3 4
5 5
1
5
3 . 3
3
 = 
5
1
5
7
3
3
 = 3 5
6
 
d) A distribuição de renda numa determinada cidade pode ser descrita pela 
fórmula y = 
3 6
1,5
11 .10
x
, onde y é o número de pessoas que possuem uma renda 
mensal de x ou mais reais. Quantas pessoas ganham pelo menos R$1100,00? 
 
 
 
 
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28 
 
Solução Deve-se substituir x = 1100 na expressão de y e simplificá- la. Tem-se 
então: 
6
3
6 1,5 6 1,52
1,5 2 1,5 1,5 2 1,5
11 .10 11 .10 11 .10
(1100) (11.10 ) 11 .(10 )
= = = 
6
3
3
10
10 1000
10
= = 
Portanto, 1000 pessoas ganham pelo menos R$ 1100,00. 
 
A generalização da definição de potência para expoentes racionais permite 
considerar as operações de multiplicação e divisão entre radicais como casos particulares 
das mesmas operações entre potências, as quais, supondo as condições de existência, 
satisfazem propriedades análogas às correspondentes entre potências, ou seja: 
R1) nn ba . = n ba. R2) n
n
n
b
a
b
a
= 
R3) mnn m bb .= R4) ( ) m nnm bb = 
R5) n m
pn pm bb =. . 
 
Exemplos 
a) Simplificar : 
1) 22328.4 5 5555 === 2) 444 213.7 = 
3) 33
3
3
8
10
80
10
80
== = 2 4) 3
6
18
6
18
== 
5) 63 6464 = = 6 62 = 2 6) 4 625625 = = 5 
 
b) Efetuar 4 8 + 3 3 8 + 4 42 
Solução Tem-se 
8 = 2.4 = 2.4 = 2 2 
3 8 = 3 32 = 2 
4 4 = 4 22 = 2 2 = 2 
Daí: 
4 8 + 3 3 8 + 4 42 = 4 . 2 2 + 3 . 2 + 2 . 2 = 6 + 10 2 
 
 
 
 
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29 
 
1.17 - Notação científica 
 
A notação científica é uma linguagem introduzida pelos cientistas com a 
finalidade de amenizar o trabalho de escrita de números reais com muitos algarismos. 
Um número está expresso em notação científica se estiver escrito como o produto 
de dois números reais: um deles entre 1 e 10, incluindo o 1 e, o outro, uma potência de 10. 
 
Exemplos 
 
TABELA 3. Algumas transformações para notação científica 
 
Número Notação científica 
18 
849 
0,65 
0,034 
0,000017 
1,8. 10 
8,49 . 102 
6,5 . 10-1 
3,4 . 10-2 
1,7 . 10-5 
 
É possível, por exemplo, efetuar multiplicação em notação científica. Nesse caso, 
utiliza-se as seguintes propriedades dos números reais: 
 i) (a . b) . (c . d) = (a . c) . ( b . d) ii) am . an = am+n 
 
Exemplos 
 a) Dados A = 2,1 . 108 e B = 7 . 10-5, calcular A . B. 
A . B = (2,1 . 108) . (7 . 10-5) = (2,1 . 7) . (108 . 10-5) 
 = 14,7 . 103 = 1,47 . 10 . 103 
Portanto, A . B = 1,47 . 104 
 
b) Efetuar 
85
44
10.02,0
10.244.001,0
−
−
, dando a resposta em notação científica. 
85
44
10.02,0
10.244.001,0
−
−
 = 
822
443
10.)10.2(
10.)10(.244
−−
−−
 = 
84
412
10.10.4
10.10.244
−−
−−
 = 
12
16
10.4
10.244
−
−
 
 = 61 . 10-4 = 6,1 . 10 . 10-4 = 6,1 . 10-3 
 
 
1. 18 - Utilizando a calculadora 
 
 
 
 
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30 
 
Alguns exemplos de como realizar operações aritméticas básicas numa 
calculadora científica estão a seguir. Observe que, em geral, para números decimais na 
calculadora, usa-se ponto ( . ) em vez de vírgula ( , ); não confundir ( . ) com o sinal de 
multiplicação (× ). 
Observe também que, nos cálculos, é dado prioridade à multiplicação e divisão 
sobre a adição e subtração. 
 
Exemplos 
a) Efetuar 23,5 – 12 + 7 
Tecla-se na seqüência: 
23 . 5 – 12 + 7 = 
Aparece no visor o resultado 18.5. 
b) Efetuar 15 + 5 . 6 – 21. 
Tecla-se na seqüência: 
15 + 5 × 6 – 21 = 
Aparece no visor 24. 
c) Efetuar (–4) × (128 ÷ 32 + 16) 
Nesse caso, usa-se parêntesis para pontuar a expressão. Tecla-se então: 
 ( – 4 ) × ( 128 ÷ 32 + 16 ) 
cuja resposta é -80. 
Potências, nas calculadoras mais modernas, são efetuadas com o uso da tecla ∧ . 
Em outras, em vez de ∧ utiliza-se a tecla xy . 
d) Efetuar 0,54 
Tecla-se na seqüência: 
0 . 5 ∧ 4 = 
Aparece no visor 0.0625. 
 
e) Efetuar 128 2
1
 
Tecla-se: 
128 ∧ ( 1 ÷ 2 ) = 
ou, usando a tecla 1/x = x-1 : 
128 ∧ ( 2 x-1 ) = 
Aparece no visor 11.3137085 . 
 
 
 
 
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31 
 
Observe que 128 2
1
 = 128 . Daí, pode-se usar também a tecla : 
128 x 
 
f) Efetuar 4 738 
Como 4 738 = 38 4
7
, procede-se: 
38 ∧ ( 7 ÷ 4 ) = 
e aparece no visor 581.5958435. 
 
1.19 - Exercícios propostos 
 
1) Dizer se é verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmações: 
a) 2 = {2} b) 0 ∈ φ c) 5 ⊂ {5} d) 3 ∈{3,{3}} e) φ ∈{7} 
f) {3} ⊂ {3,{3}} g) φ ⊂ {0} h) {g, a, t, o} = {g, o, t, a} 
2) Enumerar os elementos dos seguintes conjuntos: 
A = {x : x é letra da palavra demanda} 
B = {x: x é cor da bandeira nacional} 
C= {x: x é inteiro positivo, ímpar, primo e menor que 18} 
3) Seja U o conjunto dos quadriláteros planos. Sendo: 
P = {x ∈ U : x tem os lados paralelos} 
Q = {x ∈ U : x tem os quatro lados congruentes e os ângulos todos retos} 
R = {x ∈U : x tem os quatro ângulos retos} 
L = {x ∈U : x tem os quatro lados congruentes} 
Determinar os seguintes conjuntos: 
 a) L ∩ Q b) L ∩ R c) R ∩ P d) R ∪ Q e) Q ∪ P 
4) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determinar o conjunto X 
de quatro elementos tal que A ∩ X = {3}, B ∩ X = {3, 5} e C ∩ X = {5,6}. 
5) Dizer se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
 a) 3,222... ∈ Q b) 1,323323332...∈ Q c) 7 ∉ Q 
 d) 3 + 2 é um número irracional e) 0,153444... é um número irracional 
 f) 
4
5
∉ Q g) 9− ∉ R h) 
22
5
−
∈ R i) π ∈ R 
 
 
 
 
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32 
 
6) Efetuar : 
 a) 
...222.03,0
15
14
−
 b) 
7,0
3
10
...111,01
1
5
7
5 ⋅
−
−
−
 c) 
3
2
4
4
5
3
:
75,01
25,0
3
2 ⋅




 −
−
+
 
7) Mostrar que 0,32858585 = 
9900
3253
 
 Solução. Fazendo x = 0,32858585... 
32539900
...858585,3285x10000
..32,858585. x 100
=⇒



=
=
x ⇒ x = 
9900
3253
 
8) Escrever na forma de fração irredutível os seguintes números racionais: 
 a) 0,25 b) 11,005 c) 10,666... d) 4,59222... e) 1,3222... 
9) Enumerar os elementos dos seguintes conjuntos: 
 a) {x ∈ Z : – 7 < x ≤ 2} b) {x ∈ R : (x – 2 ) (x + 3) = 0} c) { x ∈ N : x ≤ 3} 
10) Simplificar as somas: 
 a) 6 2 + 2 2 – 4 2 b) 5 3 + 12 – 5 48 c) 2 6 256 + 3 3 16 
 d) 4 16 – 6 64 e) 8 + 3 27 – 4 4 f) 4 8 + 3 3 8 + 2 6 8 
11) Reduzir a um único radical e simplificar quando possível: 
a) 3 . 12 b) 3 4 2 . 2 4 3 . 4 8 c) 2 . 4 8 . 32 
d) 
3 10
5.2
 e) 0225,0 f) 1...)333,0( − 
12) Os números 16 4
1
−
 e 
4
1
16
1





 são iguais ou diferentes? 
13) Reduzir a uma só potência: 
a) 
152
3
1
.
3
1
.
3
1 −−

















 b) (-2)8 : (–2)4 c) 
342
3
2
.
3
2
−



















 
d) 23
23
2
1
2
1
.
2
1













−





−




−
 e) 
4
1
2
1
2
3
2
1
256
364
4
1 −
⋅⋅





 f) 
34
3
4
:
4
3











 
14) Simplificar as expressões: 
 
 
 
 
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33 
 
 a) 
8
32
10.1000000
100000.10 −
 b) 
3558
152112
10.10.10
10.10.10
−−
−
 c) 
550000.)1,0(
11000.)10000(.10
44
1525
−
 
15) Calcular as potências: 
a) 0,25 2
1
 b) 8 ...666,0 c) 9 2
1
−
 d) 32 5
3
 
16) Calcular o valor de cada uma das seguintes expressões: 
a) 
2
2
1
3
1 −





 − b) 49,0
7
4
81,0
3
2
− c) 100 5,0− + 8 3
1
 – 16 75,0 
17) Determinar A ∩ B e A ∪ B nos seguintes casos: 
a) A = [-3, 3] e B =[0, 6] b) A = ]1, 7[ e B =]2, 5[ 
c) A = ]- ∞, 2] e B = [-3,+∞] d) A = [0, 3] e B= [3, 8] 
18) Completar com o sinal > ou com o sinal < : 
a) 2 ..... 1,4 b) –1000 ..... –999 c) 
2
π
 ..... π 
d) 8 ..... 7 e) 1,3333... ..... 1,333 f) –
2
7
..... –
6
5
 
19) Calcular o valor de cada uma das expressões: 
a) |–18| – |–3| b) 4 – | –7| c) |5 – π | + |1 – π | 
d) | 2 – 1| – |3 – 2 | e) 
4,26,1
4,12,2
−
−
 f) |2 3 - 3| - | 3 – 4| 
20) Resolver em R : 
 a) |x – 2| ≤ 1 d) |x – 3| > 2 c) |2x – 5| < 4 d) |3x – 1| > 7 
21) Resolver em R as equações modulares: 
 a) |5x – 3| = 12 b) |3x – 5| = |2x – 3| c) 2x – 7 = |x| + 1 
22) Resolver em R as equações: 
a) 9 – 4(x + 1) = 4x – 3(4x – 1) b) 7x – 2(3x – 4) = – (x – 4) + 1 
c) 
5
12
4
3
12
53 +
=+
− xx
 d) 
2
5
3
2
2
3
−=− x
x
 
e) 3(x – 2) – 
3
4
2
17 −
=
− xx
 f) 
6
1
2
3
3
2
=
−
+
− xx
 
23) Resolver em R as seguintes equações do segundo grau: 
a) x2 – x – 2 = 0 b) –x2 + 7x –12 = 0 c) x2 – 5x + 6 = 0 
d) x2 +3x + 3 = 0 e) x2 – 10x + 25 = 0 f) 2x2 – 5x + 2 = 0 
 
 
 
 
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34 
 
24) Resolver as seguintes equações incompletas do segundo grau. 
a) x2 – 7x = 0 b) – 4x2 – 12x = 0 c) 3 x2 – 48 = 0 
d) –5 x2 – 40 = 0 e) x2 – 11 x = 0 f) 4x2 = 0 
25) Resolver em R as seguintes inequações: 
a) 3(x – 4) > x + 2 b) 2 (x –1 ) < 5x + 3 
c) 2
2
5
1
2
42
x
xxx
>
−
−
−
 d) 
6
1
2
2
4
53
<
−
+
− xx
 
26) Utilizandoa calculadora, estimar o valor de: 
a) 7 348 b) 36 – 46 5
3
 c) 
75
134
 – 11 98 + 0,58 . ( 0,86 – 35,76) 
27) Sabendo-se que A = 6,2 . 10-10 e B = 5 . 1020 , escrever o valor de A . B, usando a 
 notação científica. 
28) Escrever em notação científica: 
a) 1 bilhão b) 1 milésimo c) 1 centésimo d) 1 sextilhão 
29) Efetuar, dando a resposta em notação científica: 
a) 
9
33
10.02,0.9
10.36.01,0
−
−
 b) 
20
225
10.160
10.8,0.1,0
−
−
 c) 
7 9
20 5
(0,001) 200
10 .4000−
⋅
 
30) Num grupo de 22 estudantes universitários, há 8 que cursam Administração, 10 que 
 cursam Ciências Contábeis e 3 que cursam Administração e Ciências Contábeis. 
 Quantos não estão cursando Administração nem Ciências Contábeis? 
31) Determinar o valor real de x: 
 a) 
4 20
6 x
= b) 
15
3 18
x
=
−
 c) 
6 4
9x
= 
32) Achar dois números reais sabendo-se que estão: 
 a) Na razão de 3 para 4 e a soma deles é 35 
 b) Na razão de 18 para 5 e a diferença entre eles é 780 
33) Uma prova de Fundamentos da Matemática tem 12 questões. Um aluno não fez 5 
 questões. Representando por x o número de questões que o aluno pode acertar, qual a 
 desigualdade que expressa o número de possíveis acertos desse aluno? 
34) Num certo dia em São Carlos, a temperatura mínima registrada foi de 110C e a 
 temperatura máxima foi de 190C. Designando por x a variação da temperatura 
 registrada em São Carlos nesse dia, qual a desigualdade que expressa esse fato? 
 
 
 
 
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35 
 
35) O custo diário de produção de seringas é dado por C = 300 + 20x, onde x é o número 
 de seringas fabricadas por dia. Conhecendo-se que, em um determinado mês, o custo 
 diário oscilou entre um máximo de R$ 5000,00 e um mínimo de R$ 3000,00, em que 
 intervalo variou a produção diária nesse mês? 
36) O lucro mensal de uma empresa de materiais cirúrgicos é dado por L = 60x – 2600 
 onde x é a quantidade mensal vendida de seu produto. Qual quantidade é necessária 
 ser vendida para que o lucro mensal seja igual a R$ 4000,00? 
37) O custo diário de produção de um certo material é C = 250 + 15x, onde x é a 
quantidade produzida. Se o custo diário de um determinado mês oscilou de R$1450,00 
a R$ 2050,00, em que intervalo oscilou a produção diária nesse mês? 
38) O fabricante de um certo artigo estima que seu lucro, em milhares de reais, seja dado 
pela expressão –5x2 + 35x – 30, onde x representa , em milhares, o número de unidades 
produzidas. Que valores de x permitirão ao fabricante obter um lucro de pelo menos 
R$ 20000,00? 
39) Na produção de uma peça, uma indústria tem um custo fixo de R$ 2000,00 mais um 
custo variável de R$ 30,00 por unidade produzida. Em que intervalo deve variar o 
número de peças para que o custo não ultrapasse R$ 11000,00? 
40) Uma companhia fabrica e vende sapatos de corridas. Os custos de produção consistem 
em uma parte fixa de R$56000,00 mais uma parte variável de R$ 40,00 de custo do par 
de sapatos. Cada par é vendido por R$ 120,00. Quantos pares de sapatos devem ser 
vendidos para que a companhia tenha lucro? 
41) Determinar o custo máximo x, em reais, resultante de uma certa transação. Sabe-se que: 
7(x – 2000) ≤ 5(x + 1800) 
42) O lucro semanal de um fabricante de relógios é expresso por L = (x – 5)(125 – x), 
onde x é o preço de venda de cada relógio. Que preço deve ser cobrado para maximizar 
o lucro? Qual é esse lucro máximo?. 
43) Somatório Sejam a1, a2, ..., an números inteiros. Para se indicar de maneira abreviada 
 a soma desses números, utiliza-se a notação: 
n
n
i
i aaaa +++=∑
=
...21
1
 
cujo primeiro membro se lê: somatório dos ai para i de 1 até n. 
 Por exemplo: 
)13.2()12.2()11.2()12(
3
1
+++++=∑ +
=i
i = 3 + 5 + 7 = 15 
 
 
 
 
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36 
 
 Escrever as seguintes somas sem o sinal de somatório: 
a) ∑
=
5
1i
ix b) ∑
=
4
1
)3(
i
i c) ∑
=
4
1
2
i
i 
44) Escrever as seguintes somas utilizando o sinal de somatório: 
a) p1 + p2 + p3 + ... + pn b) r 21 + r
2
2 + r
2
3 + r
2
4 + r
2
5 c) u
3
0 + u
3
1 + u
3
2 
45) Mostrar que: 
a) ∑ ∑ ∑+=+
= = =
n
i
n
i
n
i
iiii baba
1 1 1
)( b) ∑=∑
==
n
i
i
n
i
i akak
11
 c) ∑ ∑ +=+
= =
n
i
n
i
ii bnaba
1 1
)( 
 
Respostas dos exercícios propostos 
 
1) a) F b) F c) F d) V e) F f) V g) V h)V 
2) A={d, e, m, a, n}, B={verde, amarelo, azul, branco}, C={3, 5, 7, 11, 13, 17} 
3) a) Q b) Q c) R d) R e) P 4) X = {3, 5, 6, a}, a ≠ 1, 2, 4 
5) a) V b) F c) V d) V e) F f) F g) V h) F i) V 
6) a) 12 b) 5 c)
63
22
 8) a) 
4
1
 b) 
2201
200
 c) 
3
32
 d)
900
4133
 e) 
90
119
 
9) a) {–6, –5, –4, –3, –2, –1,0,1,2} b) { 2 , –3} c) {0, 1, 2, 3} 
10) a) 4 2 b) –13 3 c) 10 3 2 d) 0 e) 2 + 3 f) 10 2 + 6 
11) a) 6 b) 12 4 3 c) 8 4 8 d) 6 10 e) 0,15 f) 3 
12) Iguais 13) a) 34 = 81 b) 24 = 16 c) 
5
3
2





 d) –2 e) 
6
1
 f) 
7
4
3





 
14) a) 10-27 b) 1062 c) 2 . 1039 15) a)
2
1
 b) 4 c)
1
3
 d) 8 
16) a) 36 b) 
5
1
 c) 
10
59−
 17) a) x ≤ 2 b) x > 3 c) 1< x ≤ 5 
17) a) [0,3], [–3,6] b) ]2,5[, ]1,7[ c) [ –3,2], R d) {3}, [0, 8] 
18) a) > b) < c) < d) > e) > f) < 19) a) 15 b) –3 c) 4 d) 2 2 – 4 
e) 1 f) 3 3 -7 20) a) [1,3] b) x < 1 ou x > 5 c) 



2
9
,
2
1
 d) x < –2 ou x > 
3
8
 
21) a){ –
5
9
,3} b) {2, 
5
8
} c) {8} 22) a) –
2
1
 b) –
2
3
 c) 
9
8
 d) – 
3
11
 e) –5 f)
5
14
 
23) a) {–1, 2} b) {3, 4} c) {2, 3} d) φ e) {5} f){
2
1
,2} 
 
 
 
 
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37 
 
24) a) {0, 7} b) {0, -3} c) {4, -4} d) φ e) {0, 11 } f) {0} 
25) a) x > 7 b) x > 
3
5−
 c) x < 
1
11
 d) x < 
5
7
 
26) a) 2,31 b) 26,05 c) –23,9 27) 3,1 . 1011 
28) a) 109 b) 10-3 c) 10-2 d) 1021 29) a) 2 . 102 b) 5 . 10-10 c) 5 . 10 
30) 7 31) a) 30 b) –2,5 c) 13,5 32) a) 15 e 20 b) 1080 e 300 
33) x ≤ 7 34) 11 ≤ x ≤ 19 
35) 135 < x < 235 36) 110 37) [80, 120] 38) entre 2000 e 5000 reais 
39) [0, 300] 40) 700 41) R$ 11500,00 42) R$ 65,00, R$ 3600,00 
43) a) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 b) 3 + 6 + 9 + 12 c) 12 + 22 + 32 + 42 
44) a) ∑
=
n
i
ip
1
 b) ∑
=
5
1
2
i
ir c) ∑
=
2
0
3
i
iu 
 
 
 
 
 
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38 
 
Capítulo 2 
Cálculo Algébrico; Grandezas proporcionais 
 
 
 
O Cálculo Algébrico é de fundamental importância em quase todas as áreas. Ele é 
usado para definir e simplificar sentenças matemáticas que são utilizadas para expressar 
situações práticas em termos de relações funcionais, como, por exemplo: 
 
• A medida do volume de um bloco retangular de dimensões a, b e c é dado pela 
expressão algébrica abc . 
• A densidade de um corpo de massa m e volume V é expressa pela razão 
V
m
. 
• O custo total de produção de uma mercadoria depende da quantidade 
produzida. 
• A quantidade demandada de um produto depende do preço unitário da mesma. 
• A lei de distribuiçãode renda de uma população, conhecida como a Lei de 
Pareto, é expressa por y = 
A
xα
, onde y representa o número de pessoas com 
renda maior ou igual a x, A é uma constante e α é o parâmetro que caracteriza 
a distribuição de renda. 
 
Neste capítulo, apresenta-se uma revisão dos conceitos básicos e técnicas de 
operações, fatoração e simplificação de expressões algébricas. Serão apresentadas também, 
diversas aplicações práticas envolvendo grandezas proporcionais. 
 
2.1 - Valor numérico ou avaliação de uma expressão algébrica 
 
 
Uma expressão matemática que envolve números e letras unidas por sinais de 
operação é denominada expressão algébrica ou literal. 
As letras representam indistintamente um número qualquer de um conjunto 
numérico e, por isso, são chamadas variáveis ou incógnitas. 
 Assim, são expressões algébricas ou literais: 
 
 
 
 
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39 
 
3x2y nRT 
210
73
−
−
y
x
 –t2 + 5t – 6 xyx 32 − 
Quando se atribui a cada variável um valor real, determina-se o valor numérico da 
expressão algébrica dada em R. Para isso, substitui-se a variável pelo valor algébrico e 
efetuam-se as operações indicadas. 
Por exemplo, o valor numérico da expressão 
yx
yx
+
− 33
 quando x = 4 e y = –3 é: 
91
1
2764
)3(4
)3(4 33
=
+
=
−+
−−
 
Existem expressões algébricas que não representam número real para 
determinados valores atribuídos às variáveis. Quando não se diz nada, fica subentendido 
que o conjunto de valores assumidos pelas variáveis são aqueles para os quais as operações 
envolvidas fazem sentido. 
 
Exemplos 
a) A expressão 
42
35
−
+
a
a
 não representa número real para a = 2, pois este valor 
anula o denominador. 
b) Para que valor x ∈ R, a expressão
129
52
−
−
x
x
 não representa número real? 
Solução A resposta será dada procurando-se o valor de x que anula a expressão 
9x – 12, isto é 
9x – 12 = 0 ⇒ 9x = 12 ⇒ x = 
3
4
9
12
= 
 Portanto, a expressão não representa um número real para x = 
3
4
. 
c) O custo C para fabricar x unidades de um produto X e y unidades de um 
produto Y, é estimado pela fórmula C = 100 + 2x + 3y. Qual é o custo de 
fabricação de 12 unidades de X e 25 unidades de Y ? 
 
Solução O valor de C é obtido avaliando a expressão acima para x =12 e y = 25. 
Daí: 
C = 100 + 2 . 12 + 3 . 25 = 199 
ou seja, o custo é R$ 199,00. 
 
 
 
 
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40 
 
2.2 - Redução de termos semelhantes 
 
Numa expressão do tipo 5x2y, destacam-se : 
• A parte numérica 5, denominada coeficiente numérico. 
• A variável ou produto das variáveis (inclusive seus expoentes), denominada 
parte literal. 
 
Exemplos 
–15 a3bc coeficiente –15 x6z4 coeficiente 1 
 parte literal a3 bc parte literal x6z4 
Expressões do tipo 5x2y, cuja parte literal indica somente produtos, recebem o 
nome de monômios. 
Por exemplo, são monômios: 
5a2 2 xy 3m5n4z 
A expressão 5x2y + 5y não é um monômio, pois não envolve somente produtos; 
envolve também uma soma. 
Monômios que possuem a mesma parte literal são chamados termos semelhantes. 
Assim: 
i) 5x2y, –10x2y e 2 x2y são termos semelhantes 
ii) –9a2 e 
4
1
a2 são termos semelhantes 
Também são semelhantes os monômios representados por números reais isolados. 
Por exemplo, 3 e 2 são semelhantes. 
Quando se tem uma soma de termos semelhantes, pode-se aplicar a propriedade 
distributiva. Assim: 
 
18 x3 – 23 x3 = (18 – 23) x3 = –5 x3 
4x5 y8 – 7 x5 y8 + 5 x5 y8 = (4 – 7 + 5) x5 y8 = 2 x5 y8 
O ideal é evitar a igualdade intermediária nos cálculos acima, ou seja, escrever 
diretamente o último membro, o que significa: 
Os termos semelhantes podem ser reduzidos somando algebricamente os seus 
coeficientes e mantendo a parte literal. 
 
 
 
 
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41 
 
Dessa forma, considerando uma expressão algébrica, pode-se sempre transformá-
la numa equivalente mais simples, reduzindo os seus termos semelhantes. 
A maneira de se pedir um procedimento como este é dizer: “simplificar a 
expressão”. 
Assim, para simplificar a expressão: 
6x2 – 2y2– (x2 – 2y2 – 5) 
procede-se como segue: 
6x2 – 2y2 – (x2 – 2y2 – 5) = 6x2 – 2y2 – x2 + 2y2 + 5 
 = 6x2 – x2 – 2y2 + 2y2 + 5 
 = 5 x2 + 5 
Exemplos 
1) Simplificar a expressão: (
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
) 
Tem-se: 
(
2
a
 + 2x + 1) – (x – 
4
3a
– 
5
2
) = 
2
a
 + 2x + 1 – x + 
4
3a
+ 
5
2
 
 = (
4
3
2
1
+ ) a + (2 – 1)x + (1 + 
5
2
) = 
4
5
a + x + 
5
7
 
 
2) Simplificar a expressão: 2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)] 
2ab – [3b – ( 2a + 3b – ab)] = 2ab – (3b – 2a – 3b + ab) 
 = 2ab – 3b + 2a + 3b – ab 
 = 2ab – ab – 3b + 3b + 2 a = ab + 2a 
3) Dois modelos econômicos são representados pelas expressões A =
2
2
x
+ 20x + 
15 e B = 30x – x2. Obter a expressão que define L = B – A. 
 
L = (30x – x2) – (
2
20 15
2
x
x+ + ) = 30x – x2 – 
2
20 15
2
x
x− − 
 = (–1 – 
1
2
) x2 + ( 30 – 20) x – 15 = –
3
2
 x2 + 10x – 15 
 
 
 
 
 
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42 
 
2.3 - Técnicas para o cálculo algébrico 
 
Multiplicação 
Para se determinar o produto de dois monômios, multiplicam-se os seus 
coeficientes e aplica-se a propriedade am . an = am+n para as suas partes literais. 
 
1) (–7x2) . (3x3) = –21 x5 (Lembrar que x2 . x3 = x5) 
2) (
5
2
xy2) . (
4
1
x4y) = 
10
1
x5y3 ( Observar que 
5
2
. 
4
1
 = 
20
2
 = 
10
1
 ) 
3) Para o produto de 3a2 por 4a3 – 5a2 + 3a – 1, utiliza-se a propriedade 
distributiva: 
3a2 . (4a3 – 5a2 + 3a – 1) = 3a2 . 4a3 – 3a2 . 5a2 + 3a2 . 3a – 3a2 . 1 
 = 12a5 – 15a4 + 9a3 – 3a2 
4) Multiplicar 7x + 2 por 3x2 – 5x + 1. 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, vem: 
(7x + 2) . (3x2 – 5x + 1) = 7x . ( 3x2 – 5x + 1) + 2.( 3x2 – 5x + 1) 
 = 21x3 – 35x2 + 7x + 6x2 – 10x + 2 = 21x3 – 29 x2 – 3x + 2 
Pode-se também proceder como nos cálculos para a multiplicação entre números, 
conforme a seguir: 
 
 Divisão 
Para se determinar o quociente entre dois monômios, com o segundo não nulo, 
calcula-se o quociente dos coeficientes e o quociente das partes literais, sendo que para 
este, utiliza-se a propriedade am : an = am-n. 
 
 
 
 
 
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43 
 
Exemplos 
a) Dividir 8x5 por 2x2 
8x5 : 2x2 = 4x3 ( Observar que x5 : x2 = x5-2 = x3 ) 
b) Dividir –
5
2
x2y4z por 3x2y 
(–
5
2
x2y4z) : (3x2y) = –
15
2
y3z ( Observar: 
5
2
: 3 = ⋅
5
2
15
2
3
1
= ) 
c) Para efetuar o quociente do polinômio 6x5 – 21x3 + 12x2 por 3x2, utiliza-
se a propriedade distributiva: 
 
(6x5 – 21x3 + 12x2) : (3x2) = (6x5) : (3x2) – (21x3) : (3x2) + (12x2) : (3x2) 
 = 2x3 – 7x + 4 
d) Determinar o quociente de 3x3y2 – 5x2y3 por 3x2y2 
(3 x3y2 – 5x2y3) : (3x2y2) = (3 x3y2) : (3x2y2) – (5x2y3) : (3x2y2) = = x – 
3
5
y 
 
e) Efetuar a divisão entre os polinômios x3 – x2 –17x + 12 e x + 4. 
 Procede-se de maneira similar à divisão entre números. 
• Coloca-se o divisor d(x) = x + 4 dentro da chave de divisão e o dividendo 
D(x) = x3 – x2 – 17x + 12 fora, à esquerda e na mesma linha. Divide-se o 
primeiro termo D(x) pelo primeiro termo de d(x) obtendo-se x2, que 
representa o primeiro termo do quociente q(x). 
 
• Multiplica-se x2 por d(x) = x + 4, mudando o sinal para obter –x3 – 4x2 e 
escreve-se este resultado abaixo de D(x) para efetuar a soma com ele. 
 
 
 
 
 
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44 
 
• Repete-se o processo com – 5x2 – 17x + 12 como dividendo. Daí, divide-se–5x2 por x, obtendo-se –5x . Multiplica-se –5x por x + 4 e muda-se o sinal, 
obtendo-se, assim, 5x3 + 20x, que deve ser escrito abaixo do novo dividendo, 
para se somar com ele. 
 
• Repete-se novamente o processo com 3x + 12 como dividendo. 
 
 
Portanto, o quociente é q(x) = x2 – 5x + 3 e o resto é 0. De acordo com o 
resultado encontrado, pode-se escrever: 
 
 x3 – x2 –17x + 14 = (x2 – 5x + 3) . (x + 4) 
 
f) Dividir 10x2 + 5x3 + 1 por x2 + x + 1 
 É conveniente, antes de efetuar a divisão, ordenar tanto o dividendo como o 
divisor, segundo as potências decrescentes da variável e colocar 0 quando a potência não 
aparece. 
 
 
 
 
 
 
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45 
 
 
Neste caso, a divisão não é exata e, como o primeiro termo do resto não é 
divisível pelo primeiro termo do divisor, o processo se encerra. 
Assim, o quociente da divisão é 5x + 5 e o resto é –10x – 4. 
 
2.4 - Técnicas usuais na multiplicação: produtos notáveis 
 
Existem certas multiplicações de uso freqüente no cálculo algébrico, que são 
denominadas produtos notáveis. O seu conhecimento facilita o cálculo com expressões 
algébricas e é fundamental na sua fatoração. 
Considere uma placa constituída de quatro partes, conforme a FIGURA 14. 
FIGURA 14 Área de um quadrado como soma de áreas de retângulos e quadrados menores 
 
O cálculo da área total A dessa placa pode ser feito de duas maneiras: 
• Calcula-se a área de cada parte separadamente e soma-se os resultados. Como 
se tem dois quadrados, um de área a2 e outro de área b2 e dois retângulos de 
área ab cada um, então A = a2 + 2ab + b2. 
• Considerando o comprimento a + b do quadrado maior e calculando 
diretamente a área, ou seja, A = (a + b)2. 
Logo: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
Esta expressão, de uso freqüente no cálculo algébrico, é denominada produto 
notável, mais especificamente, quadrado da soma de dois termos. 
 
É importante salientar que: 
(a + b)2 é diferente de a2 + b2 
 
 
 
 
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46 
 
pois, conforme visto acima, a2 + b2 representa apenas uma parte da área total (a + b)2 da 
placa. 
 Observe, ainda, que este produto notável pode ser obtido algebricamente, usando a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição no conjunto dos números 
reais: 
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2 
 
Exemplos 
a) (3x + 4)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 52 = 9 x2 + 24 x + 16 
b) (u2 + t3)2 = (u2)2 + 2 . u2 . t3 + (t3)2 = u4 +2 u2 t3 + t6 
c) (p + 
2
1
q)2 = p2 + 2. p . 
2
1
q + (
2
1
q)2 = p2 + p q + 
4
1
q2 
 
Além do produto notável acima, destaca-se ainda: 
 
• Quadrado da diferença de dois termos → (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 
De fato, pois: 
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – a b – b a + b2 = a2 – 2 a b + b2 
 
Exemplos 
a) (3x – 5)2 = (3x)2 – 2 . 3x . 5 + 52 = 9 x2 – 30 x + 25 
b) (u2 – v4)2 = (u2)2 – 2 . u2 . v4 + (v4)2 = u4 – 2 u2 v4 + v8 
c) (4a – 
2
1
b)2 = (4a)2 – 2 . 4a . 
2
1
b + (
2
1
b)2 = 16 a2 – 4 a b + 
4
1
b2 
• Produto da soma de dois termos pela sua diferença → (a + b) (a – b) = a2 – b2 
 
De fato, pois: 
(a + b) (a – b) = (a + b) (a – b) = a2 – a b + b a – b2 = a2 – b2 
 
Exemplos 
a) (y + 5) (y – 5) = y2 – 25 
b) (m – n3 ) (m + n3) = m2 – (n3)2 = m2 – n6 
c) (7a – 
2
1
b) (7a + 
2
1
b) = (7 a)2 – (
2
1
 b)2 = 49 a2 – 
4
1
 b2 
 
 
 
 
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47 
 
d) Se exatamente 100 pessoas fizerem reserva para uma excursão de um dia 
organizada pela agência Apolo, o preço por pessoa custará R$ 100,00. No 
entanto, se mais de 100 pessoas fizerem a reserva para a excursão, supondo 
que este seja o caso, então a tarifa será reduzida em R$ 10,00 para cada pessoa 
adicional. Denotando por x o número de passageiros acima de 100, mostrar 
que o faturamento da agência, em reais, será expresso por F = 10000 – x2 . 
 
Solução Havendo x pessoas acima de 100, então o número de pessoas com 
reserva para a viagem é dado por 100 + x. Além disso, a tarifa será de 100 – x reais por 
pessoa. Dessa maneira, o faturamento será: 
 
F = (100 + x)(100 – x) (número de passageiros vezes a tarifa por passagem) 
ou seja: 
F = 1002 – x2 = 10000 – x2 
 
• Produto de (x + a) por (x + b) → (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a b 
 
De fato, pois: 
(x + a) (x + b) = x2 + b x + a x + a b = x2 + (a + b) x + a b 
 
Exemplos 
a) (x + 5) (x + 4) = x2 + (5 + 4) x + 5. 4 = x2 + 9 x + 20 
b) (x + 6) (x – 2) = x2 + [6 + (–2)] x + 6.( –2) = x2 + 4 x – 12 
 
2.5 - Fatoração 
 
No desenvolvimento do cálculo algébrico com expressões literais, é sempre 
conveniente trabalhar com expressões equivalentes escritas de maneira mais simples. Este 
é o objetivo da fatoração de uma expressão literal, que significa decompô-la em um 
produto de expressões mais simples. 
Considere uma placa formada de duas partes de comprimentos a e b e mesma 
largura x. 
 
 
 
 
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48 
 
 
FIGURA 15. Área de um retângulo como soma de áreas de retângulos menores 
 
Pode-se calcular a área total A da placa de duas maneiras: 
• Calculando a área de cada parte separadamente e somando os resultados, ou 
seja, 
A = ax + bx. 
• Somando os comprimentos das duas placas e calculando diretamente a área 
total da placa, isto é, A = x(a + b). 
Logo: 
ax + bx = x(a + b) 
 
Nesta última igualdade diz-se que x é o fator comum aos termos da 
expressão a x + b x e que x (a + b) é a sua forma fatorada. Essa forma de fatoração é 
conhecida como colocação de fatores em evidência. 
Observe que a fórmula pode ser justificada algebricamente pela propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição. 
 
Exemplos 
a) 7m3 –7 m2 = 7m2 (m – 1) 
b) 4 a b2 – 12 a2 b = 4 a b (b – 3a) 
c) (m – n) t + (m – n) k = (m – n) (t + k) 
d) p x + q x + p y + q y 
= (p + q) x + (p + q) y → pondo em evidência o fator x nos dois primeiros 
 termos e o fator comum y nos dois últimos. 
 = (p + q) (x + y) → colocando em evidência o fator comum (p + q) 
e) Para fabricar x unidades de um certo produto, um artesão gasta 12600 – 45x 
reais mensalmente. Estima-se que a sua arrecadação mensal com a venda das x 
unidades é 280x – x2 reais. Mostrar que o lucro mensal L do artesão em termos 
de x é dado por L = (280 – x)(x – 45). 
x 
b a 
a b 
 
 
 
 
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 Solução Pondo em evidência o termo 45 na expressão 12600 – 45x e o termo x 
na expressão 280x – x2, vem: 
12600 – 45x = 45 ( 280 – x) ; 280x – x2 = x( 280 – x) 
O lucro L é obtido subtraindo o valor arrecadado do valor gasto. Assim: 
L = (12600 – 45x ) – (280x – x2) = 45 (280 – x) – x (280 – x) 
Daí, colocando a expressão 280 – x em evidência, encontra-se: 
 L = (280 – x)(45 – x) 
 
Destacam-se, ainda, os seguintes casos de fatoração: 
 
• Diferença de dois quadrados → a2 – b2 = (a + b) (a – b) 
Observe que: 
Assim: 
 
Portanto m4 – 9n2 = (m2 + 3n) (m2 – 3n) 
 
Exemplos 
1) a2 x2 – 9 y2 = (a x)2 – (3 y)2 = (a x – 3 y)(a x + 3 y) 
2) 36 z4 – 49 = (6 z2)2 – 72 = (6z2 + 7) (6 z2 – 7) 
3) x2 – 3 = x2 – ( 3 )2 = (x + 3 ) (x – 3 ) 
• 



222
222
)(2
)(2
bababa
bababa
−=+−
+=++
 → trinômio quadrado perfeito 
 
 
 
 
 
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Para fatorar 9 x2 + 24 x + 16, observe que 9 x2 = (3 x)2 e 16 = 42. Fazendo 
aparecer o fator 2 na segunda parcela, tem-se: 
 
9x2 + 24x + 16 = (3x)2 + 2 . 3x . 4 + 42 = (3x + 4)2 
Observe: 
 
 
Para fatorar 25x2 – 20x + 4: 
 
Outros exemplos 
1) 16a2 + 8ab + b2 = (4a + b)2 
2) 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 
 
ObservaçãoConsidere o trinômio 16x2 + 10x + 81 . Tem-se: 
 
Logo, este trinômio não é um quadrado perfeito. 
 
• x2 + (a + b)x + a.b = (x + a) (x + b) → fatoração pela soma e produto 
 Portanto: 
 
 25x2 – 20x + 4 = (5x – 2)2 
 
 
 
 
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51 
 
Para fatorar x2 + 7x + 10, deve-se achar dois números a e b tais que a + b = 7 
e a . b = 10. Por tentativa vê-se que a = 2 e b = 5 satisfazem as condições. Então: 
 
x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) 
Isso pode ser feito também utilizando a fórmula: 
ax2 + bx + c = a (x – x’) (x – x’’) , a ≠ 0 
desde que o discriminante ∆ = b2 – 4ac seja não negativo, onde x’ e x’’ são raízes da 
equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0. 
 
Exemplos 
1) Fatorar a expressão x2 + 3x + 2 
 x2 + 3x + 2 = x2 + (2 + 1)x + 2.1 = (x + 2) (x + 1) 
2) Fatorar a expressão x2 – x – 12 
 x2 – x – 12 = x2 + (3 – 4) x + 3.( – 4) = (x + 3 ) (x – 4) 
3) Fatorar a expressão 2 x2 + 3x – 2. 
 Resolvendo a equação 2 x2 + 3x – 2 = 0, tem-se: 
x = 
4
1693 +±−
= 
4
53 ±−
 
de onde segue que x’= 
2
1
 e x’’ = –2. Portanto: 
2 x2 + 3x – 2 = 2(x –
2
1
) (x + 2) 
 
2.6 - Mínimo múltiplo comum de expressões algébricas 
 
Uma das maneiras que se usa para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de 
dois números naturais é a técnica da decomposição em fatores primos. 
Assim, para se determinar o mmc dos números 72 e 60, escreve-se: 
 
72 = 23 . 32 60 = 22 . 3 . 5 
O mmc dos números dados é o produto dos fatores comuns e não comuns 
tomados com o seu maior expoente. Daí: 
 
mmc(72,60) = 23 . 32 . 5 = 360 
 
 
 
 
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52 
 
Surgem agora situações para determinação do mmc das seguintes expressões: 
• 6x2y3 e 9 x3y2 
• x2 – 9 e x2 + 3x 
Aplicando a mesma técnica de cálculo do mmc de números naturais, pode-se 
determinar o mmc de expressões algébricas como estas. Dessa maneira, para se obter o 
mmc de várias expressões algébricas: 
i) fatoram-se as expressões 
ii) faz-se o produto das maiores potências de cada um dos fatores 
 
Exemplos 
1) Determinar o mmc das expressões 6x2y3 e 9 x3y2 
expressões as fatorando
..39
y. x. 3 . 2yx6
23223
3232
→



=
=
yxyx 
Então: 
mmc (6x2y3, 9 x3y2) = 2 . 32 . x3 . y3 = 18 x3y3 
2) Determinar o mmc das expressões x2 – 9 e x2 + 3x 
expressões as fatorando
)3(3
)3()3(9
2
2
→



+=+
−+=−
xxxx
xxx
 
Então: 
mmc(x2 – 9, x2 + 3x) = x(x + 3) (x – 3) 
 
3) Determinar o mmc das expressões x + a, x2 – a2 e x2 + 2xa + a2 
expressões as fatorando
)(2
))((
)(
222
22 →





+=++
−+=−
+=+
axaxax
axaxax
axax
 
Então: 
mmc(x + a, x2 – a2 , x2 + 2x + a2) = (x + a)2 (x – a) 
 
2.7 – Simplificação de frações algébricas 
 
A simplificação de frações algébricas baseia-se na seguinte propriedade dos 
números racionais: 
 
 
 
 
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53 
 
Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos de uma fração por um mesmo 
número diferente de zero, obtém-se um número racional equivalente. 
Recordemos a simplificação de frações numéricas: 
 
2
3
12:24
12:36
24
36
== 
Pode-se também decompor o numerador e o denominador como um produto de 
potências de fatores primos e depois dividir ambos os membros pelo produto das menores 
potências dos fatores. 
2
3
)3.2(:)3.2(
)3.2(:)3.2(
3.2
3.2
24
36
23
222
3
22
=== 
Para simplificar: 
1) 
34
25
24
36
ba
ba
 
Dividindo-se os dois termos por 12a4 b2, vem: 
34
25
24
36
ba
ba
 = 
b
a
2
3
 
2) 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 
Fatorando os polinômios, tem-se: 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 = 
2)3(
)3)(3(
−
+−
x
xx
 = 
)3)(3(
)3)(3(
−−
+−
xx
xx
 
Dividindo ambos os membros por (x – 3), vem que: 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 = 
3
3
−
+
x
x
 
 
2.8 – Adição de frações algébricas 
 
 Para a adição de frações algébricas, procede-se de modo similar ao que se faz para a 
adição de números racionais. 
 
Exemplos 
1) 
2 1 2 7 4 5 10 5( 2) 2
5 5 5 5 5
x x x x x x
x x x x x x
+ − − − − −
+ − = = = 
 
 
 
 
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2) 
22222 2
1
6
3
6
333
6
3)1(3
6
3
2
1
xxx
xx
x
xx
xx
x
==
−+
=
−+
=−
+ 
3) 
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
( )( ) ( )( )
a b a a b b a b a ab ab b a b
a b a b a b a b a b a b a b
+ − − + − + +
− = = =
− + − + − + −
 
4) Dadas as expressões algébricas: 
R = 
2






+
−
xy
xy
 e T = 
2)(
4
yx
xy
+
 
Verificar que R + T = 1. 
 Solução Tem-se: 
 R + T = 
2






+
−
xy
xy + 
2)(
4
yx
xy
+
 = 
2
2
)(
)(
yx
xy
+
− + 
2)(
4
yx
xy
+
 = 
 = 
2
22
)(
42
yx
xyxxyy
+
++− = 
2
22
)(
2
yx
yxyx
+
++ (fatorando o numerador ) 
 = 
2
2
)(
)(
yx
yx
+
+ = 1 
 
2.9 – Multiplicação e divisão de frações algébricas 
 
Para a multiplicação de frações algébricas, usa-se a mesma técnica da 
multiplicação de números racionais. No caso da divisão de frações algébricas, multiplica-
se a primeira pelo inverso da segunda. 
 
Exemplos 
1) Determinar o produto 
ba
yx
yx
ba
2
2
3
23 2
10
⋅ 
Tem-se: 
ba
yx
yx
ba
2
2
3
23 2
10
⋅ = 
32
223
10
2
bxya
yxba
 = 
25 y
abx
 
2) Determinar o produto 
y
yx
yx
xy
2
332
22
+
⋅
−
 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
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y
yx
yx
xy
2
332
22
+
⋅
−
 = 
y
yx
yxyx
xy
2
)(3
))((
2 +
⋅
+−
 [ cancelar o fator 2y(x + y) ] 
 = 
yx
x
−
3 
3) Uma caixa fechada de base retangular, cujo comprimento supera a largura em 
uma unidade, deve apresentar um volume de 1800cm3. O material para a 
tampa e fundo da caixa custa R$ 4,00 por cm2 e o material para os lados custa 
R$ 2,50. por cm2. Se x cm for a largura de um lado da base, expressar o 
custo do material em termos de x. 
Solução Se x cm é a largura da base, então o comprimento mede x + 1 cm. 
Chamando de y a altura da caixa e C o custo do material, tem-se: 
C = 4 [2x (x + 1)] + 2,50 (2xy) + 2,50 [2(x + 1)y] 
= 8x2 + 8x + 5xy + 5(x + 1)y 
Como o volume da caixa é o produto da área da base pela altura: 
x(x + 1)y = 1800 
de onde segue que y = 
1800
( 1)x x +
. 
Por conseguinte: 
C = 8x2 + 8x + 5x 
1800
( 1)x x +
 + 5(x + 1) 
1800
( 1)x x +
 
isto é, o custo do material em termos de x é dado por: 
C = 8x2 + 8x + 
9000
1x +
 + 
9000
x
 
 
2.10 – Racionalização de frações algébricas 
 
Quando o denominador de uma fração contém somas ou diferenças que envolvem 
radicais, pode-se transformar a fração em uma outra equivalente cujo denominador não 
apresenta radicais. Esse procedimento é chamado racionalização do denominador. 
 
Exemplos 
1) Racionalizar o denominador de 
x
4
. 
 
 
 
 
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56 
 
Neste caso, multiplica-se o numerador e o denominador da fração por x , visto 
que esse procedimento não altera o quociente. 
x
4
 = 
xx
x
.
.4
 = 
2
4
x
x
 = 
x
x4
 
 
2) Racionalizar o denominador de 
1
6
−x
. 
Neste caso, multiplicam-se ambos os termos da fração por x + 1. Dessa 
maneira: 
( x – 1). ( x + 1 ) = ( x )2 – 12 = x – 1 
Daí: 
1
6
−x
 = 
)1(.)1(
)1(.6
+−
+
xx
x
 = 
1
)1(.6
−
+
x
x
 
 
2.11 – Equações fracionárias 
 
Considere o seguinte problema: 
Deseja-se cercar um terreno de forma retangular cuja área é 180 m2. O material 
para a cerca custa R$ 20,00 o metro quadrado. Determinar as dimensões do terreno 
sabendo-se que o gasto total com a cerca foi R$ 1120,00. 
 
Seja x o comprimento e y a largura do terreno. Então: 
x y = 180 ⇒ y = 
180
x
 (1) 
Como o perímetro do terreno é 2x + 2y e o preço por m2 é R$ 20,00, segue 
que: 
20( 2x + 2y) = 1120 ⇒ x + y = 28 (2) 
Combinado (1) e (2), monta-se a equação para o problema: 
x + 
180
x
 = 28. 
Equações como esta,em que a variável figura no denominador, são chamadas de 
equações fracionárias. Para resolvê-las, procede-se de maneira similar ao estabelecido no 
capítulo anterior, no parágrafo sobre equações, observando que devem ser excluídos todos 
 
 
 
 
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57 
 
os valores das variáveis para os quais os denominadores se anulam. No caso do problema 
acima, deve ser excluído o valor x = 0 . 
 
Exemplos 
a) Resolver em R a equação 1 + 
x
3
 = 
4
1
. 
Note que se deve ter x ≠ 0, que é o valor que anula os denominadores de 
x
3
 . 
1 + 
x
3
 = 
4
1
 ⇒ 
x
x
x
x
44
124
=
+
 (reduzindo todos os termos ao mesmo 
 denominador) 
4x + 12 = x ⇒ 4x – x = –12 ⇒ 3x = –12 ⇒ x = 
3
12−
 = –4 
Portanto, a solução da equação é x = -4. 
b) Resolver em R a equação x + 
180
x
 = 28. 
Observe que se deve ter x ≠ 0, que é o valor que anula o denominador de 180
x
. 
Assim: 
x + 
180
x
 = 28 ⇒ 
2 180 28x x
x x
+
= ⇒ x2 – 28x +180 = 0 
 
Resolvendo, vem: 
 
x = 
28 784 720 28 64 28 8
2 2 2
± − ± ±
= = ⇒ x = 10 ou x = 18 
Portanto, a solução da equação é x = 10 ou x = 18. 
 
2.12 - Sistemas de equações lineares 
 
Considere o seguinte problema: 
Numa prova de Economia, foram aplicados 60 testes, com 5 alternativas, onde 
apenas uma era correta. Os alunos deveriam responder a todos os testes. A cada resposta 
certa, seriam atribuídos pontos positivos (+3) e, a cada resposta errada, dois pontos 
negativos (– 2). O melhor desempenho na prova foi de Lisbela, que fez 255 pontos. 
Quantos testes Lisbela acertou ? 
 
 
 
 
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58 
 
Denotando por x o número de testes que Lisbela acertou e por y o número de 
testes que ela errou, o problema pode ser expresso pelas seguintes sentenças: 
 



=+
=−
300
25523
yx
yx
 
Diz-se que as equações formam um sistema de duas equações de primeiro grau ou 
sistema linear nas variáveis x e y. 
Uma solução de um sistema para x e y reais é um par (x, y) de valores reais que, 
substituídos no lugar das variáveis do sistema, fazem com que as igualdades se verifiquem. 
Observe que o par x = 171 e y = 129 é uma solução do sistema, pois: 
 
3 . 171 – 2 . 129 = 255 e 171 + 129 = 300 
 
Neste caso, em virtude do sistema admitir uma única solução, diz-se que ele é um 
sistema possível e determinado. 
 
São estabelecidos, a seguir, dois métodos de resolução de sistemas lineares. 
 
Ø Método da substituição 
Seja dado o sistema 



=−
=+
15215
105
yx
yx
. 
Inicialmente, resolve-se a primeira equação, por exemplo, tirando o valor de y: 
5x + y = 10 ⇒ y = 10 – 5x 
Em seguida, substitui-se o valor de y na segunda equação: 
15x – 2y = 15 ⇒ 15x –2(10 – 5x) = 15 ⇒ 15x – 20 + 10x = 15 
25x = 35 ⇒ x = 
25
35
 ⇒ x = 
5
7
 
Substitui-se este na equação y = 10 – 5x, para encontrar o valor de y: 
y = 10 – 5 . 
5
7
 ⇒ y = 10 – 7 ⇒ y = 3 
Assim, a solução do sistema é x = 
5
7
 e y = 3. 
Ø Método da adição 
 
 
 
 
 
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59 
 
Seja dado o sistema 



=−
=+
1523
3325
yx
yx
 . 
 
Observe que, neste caso, os coeficientes da variável y são números opostos. 
Então, adicionando membro a membro as equações, a variável y é eliminada e obtém-se: 
8 x = 48 ⇒ x = 
8
48
 ⇒ x = 6 
A seguir, substitui-se o valor x = 6 em qualquer das equações do sistema, 
suponha que na primeira: 
5x + 2y = 33 
30 + 2y = 33 ⇒ 2y = 3 ⇒ y = 
2
3
 
 Logo, a solução do sistema é x = 6 e y = 
2
3
. 
 
Outro exemplo 
Resolver o sistema 



=−
=+
623
2352
yx
yx
 
Neste caso, se se quer eliminar y, deve-se multiplicar todos os termos da primeira 
equação pelo número 2 e todos os termos da segunda equação pelo número 5. Fazendo 
isso, obtém-se: 



=−
=+
301015
46104
yx
yx
 
Somando as duas equações membro a membro vem: 
19 x = 76 ⇒ x = 
19
76
 ⇒ x = 4 
Substituindo o valor de x na primeira equação do sistema, vem: 
8 + 5y = 23 ⇒ 5y = 15 ⇒ y = 3 
Logo, a solução do sistema é x = 4 e y = 3. 
 
2.13– Grandezas diretamente proporcionais 
 
A TABELA 5. mostra os valores V, em reais, da folha de pagamento diária de 
uma equipe de n trabalhadores 
 
 
 
 
 
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60 
 
TABELA 5 
V 600 750 900 1000 
n 12 15 18 20 
 
Tem-se que: 
600
12
 = 
750
15
 = 
900
18
 = 
1000
20
 = 50 
Diz-se que as grandezas V e n são diretamente proporcionais . 
De um modo geral, diz-se que duas grandezas são diretamente proporcionais ou 
simplesmente proporcionais quando seus valores correspondentes y e x são tais que 
x
y
 = k, 
onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade. 
 
Exemplos 
1) Na TABELA 6 abaixo, as grandezas X e Y são diretamente proporcionais. 
Determinar os valores de x, y e z. 
 
TABELA 6 
X 60 x 80 180 
Y 3 5 y z 
 
Solução Tem-se: 
3
60
 = 
5
x
 = 
y
80
 = 
z
180
 
5
x
 = 
3
60
 ⇒ x = 
3
5.60
 ⇒ x = 100 
 
y
80
 = 
3
60
 ⇒ y = 
60
3.80
 ⇒ y = 4 
 
z
180
 = 
3
60
 ⇒ z = 
60
3.180
 ⇒ x = 9 
Logo, x = 100, y = 40 e z = 9. 
2) Dois homens receberam, pela realização de um certo serviço, a importância 
de R$ 792,00, que será repartida em partes diretamente proporcionais ao 
 
 
 
 
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61 
 
número de horas que cada um trabalhou. Quanto deve receber cada um se um 
deles trabalhou 20 horas e o outro 24 horas? 
Solução Designando por x e y os valores procurados, deve-se ter: 
20 24
x y
= 
Desde que a soma dos numeradores e a soma dos denominadores preservam a 
mesma proporcionalidade, então: 
20 24
x y
= = 
44
x y+
 
Visto que x + y = 792, segue que: 
20 24
x y
= = 
792
44
 = 18 
Daí: 
20
x
 = 18 ⇒ x = 360 
24
y
 = 18 ⇒ y = 432 
Portanto, o homem que trabalhou 20 horas irá receber R$ 360,00 e o homem que 
trabalhou 24 horas irá receber R$ 432,00. 
 
2.14 - Grandezas inversamente proporcionais 
 
Considere a velocidade de um automóvel (suposta constante) e o tempo que ele 
gasta para percorrer certa distância. 
• Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas 
• Com velocidade de 80 km/h, gasta 3 horas 
• Com velocidade de 120 km/h, gasta 2 horas 
Pelos dados, observa-se que, variando a velocidade, o tempo também varia e, 
ainda mais, duplicando, triplicando a velocidade, o tempo se reduz à metade, terça parte, 
etc. Nesse caso, diz-se que as grandezas são inversamente proporcionais. 
Verifica-se, pois, que a razão entre as velocidades e os inversos dos tempos 
correspondentes são iguais. De fato: 
 
 
 
 
 
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62 
 
240
2
1
120
3
1
80
6
1
40
=== 
que é o mesmo que: 
40 . 6 = 80 . 3 = = 120 . 2 = 240 
De um modo geral, duas grandezas são inversamente proporcionais se os seus 
valores correspondentes y e x são tais que x . y = k, onde k é uma constante positiva 
chamada coeficiente de proporcionalidade. 
 
Exemplos 
1) Na TABELA 7 as grandeza A e B são inversamente proporcionais. 
Determinar 
 os valores de a, b e c. 
TABELA 7 
A 20 b 25 c 
B a 15 10,8 9 
 
 
Tem-se que k = 25 . 10,8 = 270 é o coeficiente de proporcionalidade. Daí: 
20 . a = 270 ⇒ a = 13,5 
15 . b = 270 ⇒ b = 18 
9 . c = 270 ⇒ c = 30 
Os valores de a, b e c são, respectivamente, 13,5, 18 e 30. 
 
2) Um pai distribuiu a seus três filhos a quantia de R$ 1520,00 inversamente 
proporcional às faltas dos mesmos às aulas, durante o ano. Sendo as faltas 
respectivas de 3, 5 e 10, pergunta-se a parte de cada um. 
Solução O problema consisteem dividir o número 1520 em partes inversamente 
proporcionais a 3, 5 e 10. 
Designando por x, y e z as partes procuradas, deve-se ter: 
3x = 5y = 10z 
 
 
 
 
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63 
 
de onde vem x = 
10
3
z e y = 
10
5
z = 2z. Visto que x + y + z = 1520 , então: 
x + y + z = 1520 ⇒ 
10
3
z + 2z + z = 1520 ⇒ 
19
3
z = 1520 
⇒ 19z = 4560 ⇒ z = 
4960
19
 ⇒ z = 240 
Daí: 
x = 
10
3
 . 240 = 800 e y = 2 . 240 = 480 
Assim, o filho que teve 3 faltas recebeu R$800,00, o que teve 5 faltas recebeu R$ 
480,00 e o que teve 10 faltas recebeu r$ 240,00. 
 
2.15 - Grandezas proporcionais a várias outras 
 
Ampliando os conceitos acima, pode-se definir proporcionalidade de uma 
grandeza em relação a diversas outras. 
Se as variáveis x, y, z e w estão relacionadas por uma igualdade do tipo: 
w = k 
z
yx
 
onde k é uma constante positiva, diz-se que w é diretamente proporcional a x e y e 
inversamente proporcional a z. O número k é chamado constante de proporcionalidade. 
Exemplo 
Três empregados receberam uma gratificação de R$ 6000,00 para ser dividida em 
partes diretamente proporcionais aos seu ordenados e inversamente proporcionais às faltas 
dadas durante o ano. Os ordenados sendo respectivamente, R$ 1000,00, R$ 1200,00 e R$ 
1500,00 e as faltas dadas 5, 8 e 6, encontrar a parte de cada um. 
Solução Deve-se dividir 6000 em partes proporcionais aos produtos: 
1000 . 
1
5
 = 200; 1200 . 
1
8
 = 150; 1500 . 
1
6
 = 250 
Chamando de x, y e z as partes procuradas, tem-se: 
 
 
 
 
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200 150 250
x y z
= = 
de onde segue: 
200 150 250
x y z
= = = 
200 150 250
x y z+ +
+ +
 = 
6000
600
 = 10 
Então: 
10
200
x
= ⇒ x = 2000 
10
150
y
= ⇒ x = 1500 
10
250
z
= ⇒ x = 2500 
Portanto, o primeiro recebeu R$ 2000,00, o segundo recebeu R$ 1500,00 e o 
terceiro R$ 2500,00. 
 
2.16 - Regra de três simples 
 
 Conhecendo-se duas medidas a1 e a2 de uma grandeza A e uma medida b1 de 
uma outra grandeza B, pode-se determinar a medida correspondente b2 de B. 
 Esse tipo de problema chama-se regra de três simples. 
 
• Regra de três simples direta 
 Neste caso, as duas grandezas são diretamente proporcionais. 
 
Exemplos 
1) Um operário ganha R$ 1200,00 por 20 dias de trabalho. Quanto ganhará por 9 
dias do mesmo trabalho diário? 
 Disposição dos dados 
dias R$ 
 20 1200 
 9 x 
 
 
 
 
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As grandezas são diretamente proporcionais pois, por exemplo, se trabalhasse o 
dobro de dias, ganharia o dobro. Assim: 
x
9
1200
20
= 
Este fato será indicado, na disposição dos dados, com duas flechas vo ltadas para 
baixo, isto é: 
 dias R$ 
20 1200 
? 
 9 
 
? 
 x 
 
Pode-se, então, escrever a seguinte igualdade: 
x
1200
9
20
= 
 
que é a mesma acima, onde se verifica que o sentido das flechas indica também a ordem 
como devem ser escritos os termos da proporção. Daí: 
x = 
20
9.1200
 = 540 
 Assim, o operário ganhará R$ 540,00. 
2) Sendo necessário 40kg de uva para se obter 25 litros de vinho, com 520kg de 
uva da mesma qualidade, quantos litros de vinho serão obtidos? 
Claramente constata-se que as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
kg de uva litros de vinho 
40 25 
? 
520 
 
? 
 x 
 
40 25
520 x
= ⇒ x = 
520. 25
40
 = 325 
 Serão obtidos 325 litros de vinho. 
• Regra de três inversa 
 
 
 
 
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 As duas grandezas são inversamente proporcionais. 
Exemplos 
1) Com a velocidade de 60 km/h, um automóvel leva 50 minutos para percorrer 
a distância entre duas cidades. Se a sua velocidade fosse 75 km/h, quanto 
tempo levaria para cobrir a mesma distância? 
Solução 
 velocidade tempo 
60 50 
 
75 
 
 
 x 
 
 As grandezas são inversamente proporcionais, pois, por exemplo, dobrando-se a 
velocidade, o tempo para cobrir a distância se reduzirá à metade. Então: 
60 . 50 = 75 . x, ou seja, 
x
50
60
75
= 
 Este fato é indicado, na disposição dos dados, com duas flechas de sentidos 
contrários, sendo a voltada para baixo, ao lado da coluna que contém x, isto é: 
 
 
 Portanto, a razão dos dois primeiros será igual à razão inversa dos dois últimos, ou 
seja: 
x
50
60
75
= 
de onde vem que x = 
75
60.50
 = 40. Logo, o carro levaria 40 minutos para percorrer a 
distância. 
 
2) Um aluno digita um trabalho com 48 toques por minuto, em 6 horas. Quantos 
toques seriam necessários para que esse aluno realizasse o mesmo trabalho em 
8 horas? 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois, por exemplo, dobrando-se o 
número de toques, o tempo para fazer o mesmo serviço fica reduzido à metade. 
velocidade tempo 
60 50 
? 
75 
 
? 
 x 
 
 
 
 
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Número de toques horas 
48 6 
? 
 x 
 
? 
8 
 
 
6
848
=
x
 ⇒ x = 
8
6.48
 ⇒ x = 36 
 Os dez operários executariam a obra em 30 dias. 
 
2.17 - Regra de três composta 
 
 Serão vistos, agora, problemas que relacionam três ou mais grandezas. 
 
Exemplo 
 Se 4 homens produzem 16 quilogramas de um certo medicamento em 8 dias, 
quantos quilogramas 7 homens produzirão em 6 dias? 
 
 Para verificar a proporcionalidade, considera-se separadamente a grandeza que 
possui a incógnita com cada uma das outras grandezas. 
 Constata-se facilmente, neste caso, que o número de quilogramas produzidos é 
diretamente proporcional ao número de dias de trabalho e, também, ao número de homens. 
número de homens número de dias gramas de medicamento 
4 8 16 ? 
7 
 ? 
6 
 ? 
 x 
Assim, o número de quilogramas produzidos será diretamente proporcional ao 
produto dessas grandezas. Dessa forma, pode-se reduzir o problema a uma única regra de 
três: 
4 . 8 16 
? 
7 . 6 
 ? 
 x 
 
21
8.4
6.7.1616
6.7
.84
=⇒=⇒= xx
x
 
 Portanto, produzirão 21 quilogramas. 
 
 
 
 
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2.18 - Porcentagem 
 
 Considere o seguinte problema: 
 Em uma prova de 80 testes, um aluno acertou 60 e, em uma outra de 50 questões, 
acertou 40. Em qual delas o aluno obteve um desempenho melhor? 
 Vai-se calcular a razão do número de questões certas para o número de questões 
propostas. Então, na primeira prova a razão é 
80
60
 = 
4
3
 e, na segunda, 
50
40
 = 
5
4
. 
Adotando como denominador comum o número 100, vem: 
4
3
 = 
4
3
 
25
25
⋅ = 
100
75
 , 
5
4
 = 
5
4
 
20
20
⋅ = 
100
80
 
Sendo 
100
75
 < 
100
80
 , conclui-se que, se as provas fossem constituídas de 100 
questões, o aluno acertaria 75 questões na primeira prova e 80 na segunda. Logo, seu 
desempenho seria melhor na segunda prova. 
 Observe que acertar 60 questões em 80 é a mesma coisa que acertar 75 em 100. 
Dessa maneira, é comum dizer que o aluno acertou 75 por cento das questões e representar 
esse fato pelo símbolo 75%. 
 Matematicamente, o símbolo x%, que se lê x por cento, é usado para representar a 
fração 
100
x
 , isto é: 
x% = 
100
x
 
 
Exemplos: 
1) 35 % = 
100
35
 = 0,35 
2) 75 % = 
100
75
 = 0,75 
3) Escrever os números dados usando o símbolo %. 
 i) 0,15 ii) 2 iii) 
5
4
 iv) 1,25 
Tem-se: 
 
 
 
 
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 i) 0,15 = 
100
15
 = 15% ii) 2 = 
100
200
 = 200% 
 iii) 
5
4
 = 
5
4
. 
20
20
= 
100
80
 = 80% iv) 1,25 = 
100
125
 = 125% 
 4) Quanto é 5% de 30,4 ? 
5 % de 30,4 = 
100
5
 . 30,4 = 1,52. 
5) Qual é a taxa percentual de 18 sobre 90? 
 valor % 
90 100 
? 
18 
 
 ? 
 x 
 
20
90
100.18
18
90100
==⇒= x
xA taxa percentual é 20%. 
6) Calcular 25% de 60%. 
 Escrever 25% de 60% significa 25% . 60%, ou seja: 
100
15
100
60
.
100
25
= 
 Portanto 15%. 
 
2.19 - Problemas sobre porcentagem 
 
1) Em uma sala de 50 alunos, sabe-se que 40% são mulheres. Quantas mulheres 
existem nessa sala? 
Solução Seja m a quantidade de mulheres na sala. Sabendo-se que 40 são 
mulheres, tem-se: 
m = 40% de 50 = 
100
40
 . 50 = 20 
 Assim, na sala existem 20 mulheres. 
2) Uma caixa de seringas descartáveis que custava 125 reais teve seu preço 
reajustado em 12 %. Por quanto está sendo vendido ? 
 
 
 
 
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(12 % de 125 ) = 
100
12
 . 125 = 15 
O reajuste que está sendo praticado é de 15 reais. Logo, o preço pelo qual a 
mercadoria está sendo vendida é: 
125 + 15 = 140 reais 
3) Na compra de um livro de Economia que custou R$ 120,00 obtive um desconto 
de R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual do desconto sobre o preço de compra? 
 valor % 
120 100 
? 
 30 
 
 ? 
 x 
 
x
100
30
120
= ⇒ x = 
120
30.100
 = 25 
A taxa percentual foi de 25%. 
 
4) Uma certa peça de carro, cujo preço era R$ 1750,00, foi vendida com um 
acréscimo de 8% sobre esse preço. Por quanto foi vendida a peça? 
Solução 
8% de 1750 = 
8
100
 . 1750 = 140; 1750 + 140 = 1890 
 A peça foi vendida por R$ 1890,00. 
 
5) Uma jóia cujo preço de custo era R$ 720,00 foi vendida por R$ 864,00. De 
quantos por cento foi o lucro sobre o preço de custo? 
Solução O lucro foi de 864,00 – 720,00 = 144 reais, de onde vem: 
 
 custo lucro 
720 144 
? 
100 
 
 ? 
 x 
 
720 144
100 x
= ⇒ x = 
144.100
720
 = 20 
A porcentagem de lucro foi de 20%. 
 
 
 
 
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6) Dois aumentos sucessivos de 20% e 20% sobre o preço de uma mercadoria 
eqüivalem a um aumento de qual taxa ? 
20 + 20 + 20 % de 20 = 40 + 
100
20
 . 20 = 44 
Os dois aumentos sucessivos eqüivalem a um aumento de 44 %. 
 
 
2.20 - Usando a calculadora 
 
 Algumas calculadoras oferecem comandos para o cálculo de porcentagens. 
 
Exemplos 
1) Para calcular 15% de 1200 
 1200 × 15 shift % 
que dá 180. 
2) 250 representa quantos por cento de 2000 ? 
250 ÷ 2000 shift % 
ou seja, 12,5%. 
 
2.21 – Juros simples 
 
Considere o seguinte problema: 
Uma pessoa aplica R$ 8000,00 durante 2 anos à taxa de 15% ao ano. Quanto 
receberá ao final desse tempo? 
Problemas como este são chamados de juros simples e se resolvem utilizando 
regra de três. 
Nos problemas de juros simples, utilizam-se as seguintes nomenclaturas: 
 
• O dinheiro emprestado ou depositado denomina-se capital; representa-se por C. 
A pessoa que empresta é o credor e a que toma emprestado é o devedor. 
• A quantia que se paga ou se recebe por empréstimo ou depósito de certa 
importância denomina-se juro; representa-se por j. 
 
 
 
 
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• O percentual denomina-se taxa e representa o juro pago ou recebido a 
cada R$ 100,00 por ano. Representa-se por i . 
• A referênc ia de tempo de empréstimo ou depósito denomina-se tempo, 
representa-se por t. 
 
Calculando juros simples 
 
Por convenção, os juros são diretamente proporcionais ao capital, à taxa e ao 
tempo. 
 No caso do problema enunciado acima, monta-se a regra de três composta: 
 O capital 100 em 1 ano produz 12. 
 O capital 8000 em 2 anos produzirá x, ou seja: 
 
que, resolvida, dá: 
x = 
100.1
2.12.8000
 ⇒ x = 1920 
 Os juros são de R$ 1920,00. 
 
Fórmula geral 
No problema anterior: 
x representa os juros : j 
8000 representa o capital : C 
12 representa a taxa : i 
2 representa o tempo : t 
De um modo geral, tem-se: 
 capital tempo juros 
100 1 i ? 
C 
 ? 
 t 
 ? 
j 
 
de onde vem a fórmula: 
 capital tempo juros 
100 1 12 ? 
8000 
 ? 
2 
 ? 
 x 
 
 
 
 
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j = 
100
tiC
 
que permite o cálculo dos juros, conhecidos o capital, a taxa e o tempo. 
 
Exemplos 
 
a) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 60000,00 empregado a 25% 
ao ano, durante 3 anos. 
 Solução Aplicando a fórmula dos juros, vem: 
j = 
100
3.25.60000
 = 45000 
 Os juros produzidos são de R$ 45000,00. 
 
b) Qual é o capital que aplicado a 1,8% ao trimestre, produz R$ 216,00 de juros 
em 3 trimestres ? 
 Solução Como j = 
100
tiC
 então C = 
ti
j100
. Daí C = 
3.8,1
216.100
 = 4000. 
 O capital é R$ 4000,00. 
 
c) A que taxa foi emprestado um capital que em 15 meses aumentou 
80
7
 ? 
 Solução Chamando de C o capital, tem-se que j = 
80
7
 C. Sendo i = 
tC
j100
 
então: 
i = 
25,1.
.
80
7
.100
C
C
 = 7 
A taxa foi de 7% ao ano. 
 
d) Durante quanto tempo esteve empregado um capital que, colocado a 10% ao 
ano, aumentou 
4
1
 de seu valor ? 
 Solução Neste caso, os juros produzidos foram j = 
4
1
 C. Visto que t = 
Ci
j100
, 
 então: 
 
 
 
 
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t = 
C
C
10
4
1
.100
 = 2,5 
 O tempo foi de 2 anos e meio. 
 
2.22 – Exercícios Propostos 
 
1) Para que valores de a, a expressão 
3
22
+
−
a
yx
 não representa número real? 
2) Avaliar a expressão 
3
22
+
−
a
yx
: 
a) quando x = 1, y = –2 e a = 
2
1
 
b) quando x = 0, y = –1 e a = –5 
3) Num triângulo isósceles, o comprimento da base em metros é x e os lados congruentes 
 têm, cada um, 2 metros a menos do que a base. Dizer qual das expressões literais 
representa o perímetro do triângulo: 
 a) 3x – 12 b) 3x – 4 c) 2x – 4 d) 3x + 4 e) 3x – 2 
4) Escreva a expressão algébrica que representa cada uma das seguintes condições: 
 a) a soma do dobro de um número x com 12 
 b) a diferença entre o quadrado do número y e o cubo de z 
 c) o triplo do número a aumentado do quadrado do número b 
 d) o triplo do número x diminuído do produto do quadrado de y pelo número w 
 e) o número de alunos que uma escola com x alunos ficaria se entrassem mais 52 alunos. 
5) Reduzir as expressões literais em expressões literais equivalentes mais simples: 
 a) (x + 2) + ( 3x – 6) – (8x + 1) b) (8a + 
3
2b
 –1) – (a + 
2
b
+ 5) + (–3a – b + 
2
1
) 
 c) 1 + r3 – [2s + 4 (r + 
4
s
) + 6] d) (2[
4
5
−++− yxx
y
2
1
 + y) + 
2
1
 – x – y ] 
6) Efetuar os seguintes produtos notáveis: 
 a) (2x – 7y)2 b) (a + 
2
1
)2 c) (ax – py)2 
 d) (m2 + x3)2 e) (1 + ax) (1 – ax) f) (mn + 2) (mn – 2) 
7) Simplificar as expressões algébricas 
 
 
 
 
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 a) (x – y)2 – (x + y) (x – y) + 2 x y b) (x – 2)2 + (x – 2)(x + 2) 
 c) (u – 1)2 + u(3u + 2) d) (x + y)2 – (x – y)2 – 4xy 
8) Fatorar as seguintes expressões: 
 a) 9y2 + 12y + 4 b) 1 – 6h3 + 9h6 c) a2 + 14a + 49 
 d) a2x2 –2abx + b2 e) a4 – 81 f) m4 – n4 
 g) x2 –2x –15 h) 2x2 –3x - 2 i) x2 – 4x – 5 
9) Simplificar as frações 
 a) 
4
44
2
2
−
+−
x
xx
 b) 
23
24
6
12
ba
ba
 c) 
22
22 2
ba
abba
−
++
 d) 
9
69
2
2
−
++
a
aa
 
10) Efetuar: 
 a) 
2
.
2
4 22
+
−
x
x
ax
x
 b) 
xxx
xx
x
xx 4
44124
65
2
22
⋅
++
+
⋅
+
++
 
 c) 
2
22
:
yx
yx
yx +
−
+
 d) 
1
155 2
24 +
+
⋅
+
+
a
x
xx
a
 
11) Efetuar as multiplicações : 
 a) (x2y ) . (–5x) b) (8x2 – 5x + 1) . (3x– 5) c) (2x2 + 5x –1) . (x – 2) 
12) Efetuar as divisões: 
 a) (28x5y2) : (7x3y) b) (6a4b3) : (–2a3b2c) c) (18a5b2) : (–6ab3) 
13) Efetuar as divisões entre polinômios, determinando o quociente e o resto: 
 a) x3 – 8x2 + 4x – 1 e x – 3 b) 8x2 - 12x + 9 e x – 2 
14) Resolver em R as equações: 
 a) 
x
x
x
x 1
3
1 −
=
+
+
 b) 
610
9
15
4
+
=
+ xx
 c) 
3
1
9
5
2 +
=+
− y
y
y
 
 d) 1
1
2
1
3
=
+
−
− xx
x
 e) 
2
1
4
2
2 +
=+
− x
x
x
 f) 
2
2
1
2
3
+
−=
− xx
x
 
15) Racionalizar os denominadores das seguintes frações: 
 a) 
21
1
+
 b) 
3
3
 c) 
2
4
 d) 
11 −+ h
h
 e) 
ax
ax
−
−
 
16) Resolver os seguintes sistemas lineares: 
 a) 




−=+−
=−
2
1
97
268
yx
yx
 b) 



−=−
=+
432
3
yx
yx
 c) 



+=−
+=−+
4452
)2(3)1(2
yx
yxx
 
17) Mostrar que: 
 
 
 
 
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 i) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ii) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
18) Determinar o valor real de x em cada caso: 
 a) 
x
20
6
4
= b) 
18
15
3
=
−
x
 c) 
9
46
=
x
 
19) Escrever sob a forma de porcentagem: 
 a) 0,05 b) 0,79 c) 0,333... 
20) Escrever sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens: 
 a) 15% b) 130% c) 7,5% 
21) Calcular: a) (10%)2 b) 100% 
22) Multiplicando-se a medida do comprimento pela medida da largura, tem-se a área de 
 um retângulo. Se essa área é 60x2 + 90x e a medida da largura é 15x, qual é a medida 
 do comprimento desse retângulo? 
 
23) Um microscópio está à venda numa loja especializada nas seguintes condições: uma 
 entrada de x reais e 4 prestações de y reais. Se a loja vendeu em um dia 8 aparelhos, 
 qual o polinômio que representa a quantia que a loja vai faturar com essa venda nesse 
 dia? 
24) O custo para produzir x unidades de uma certa mercadoria é dado pela expressão 2x2 – 
 200x + 11000 reais. Qual é o custo em reais quando se produzir 50 unidades? 
25) Numa eleição na Universidade Urca, 1260 estudantes votaram em dois candidatos 
 que concorriam à presidência do Diretório Acadêmico. O ele ito obteve 153 votos a 
 mais do que o seu concorrente e 147 votos foram anulados. Quantos votos obteve cada 
 candidato? 
26) Numa indústria, o número de mulheres é igual a 
5
3
 do número de homens. Se fossem 
 fossem admitidas mais 20 mulheres, o número destas ficaria igual ao número de 
 homens. Quantos homens e quantas mulheres trabalhavam na fábrica? 
27) Os três lados de um triângulo estão entre si como 18, 7 e 15, ou seja, são proporcionais 
 aos números 18, 7 e 15. Calcular as medidas dos lados do triângulo sabendo-se que 
 o seu perímetro é 4,8 dm. 
28) Duas grandezas A e B são diretamente proporcionais e têm suas medidas relacionadas 
conforme a tabela. Determinar a, b, c e d . 
 
 
 
 
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77 
 
 A 2 4 a 8 b 
B c 36 54 d 108 
 
29) Um terreno de 3456 m2 foi dividido em quatro lotes proporcionais aos números 2, 3, 5 
 e 8. Calcular a área de cada lote. 
30) Um comerciante distribui R$ 3500,00 entre seus empregados na razão direta do 
número de anos de serviço de cada um. Se um possui 7 anos, outro 5 e o terceiro 2 
anos de casa, quanto receberá cada um? 
31) O concreto usado nas edificações é obtido usando-se uma parte de cimento, 2 de areia 
e 4 de pedra britada. Qual deverá ser a quantidade de cada um desses materiais 
se o volume que se pretende concretar é 378 m2? 
32) Três negociantes organizaram uma sociedade. O primeiro entrou com R$ 120000,00; o 
segundo com R$ 75000,00 e o terceiro com R$ 87000,00. No fim de um ano, o lucro 
foi de 56400,00. Qual deve ser a parte de cada um? 
 
33) Com velocidade média de 500 km por hora, um avião percorre uma distância entre 
duas cidades em 3 horas. Quanto tempo levaria uma aeronave que desenvolve 750 km 
por hora de velocidade média para percorrer o mesmo espaço? 
34) Com certa quantidade de cobre, fabricam-se 1800 metros de fio com seção de 15mm2. 
Se a seção for de 12 mm2, quantos metros de fio poderão ser obtidos? 
35) Num livro de 180 páginas, há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas, 
quantas páginas teria o livro? 
36) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 metros de altura. 
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4 metros, qual será o tempo 
necessário para completar o muro? 
37) Antonio trabalhou 30 dias e recebeu R$ 1200,00. Quantos dias terá que trabalhar para 
receber R$ 1600,00? 
38) Para azulejar uma parede de 15m2 de área, foram necessários 300 azulejos. Quantos 
 azulejos iguais a esses seriam necessários para azulejar uma parede retangular de 8m 
 por 3m ? 
39) Se 35 operários fazem uma obra em 9 dias trabalhando 8 horas por dia, quantos 
operários serão necessários para fazer a mesma obra em 12 dias, trabalhando 10 horas 
por dia? 
 
 
 
 
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78 
 
40) Uma família de 8 pessoas consome, em 3 dias, 4kg de pão. Quantos quilogramas de 
pão serão consumidos em 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 
41) Num haras, são consumidos 240 kg de alfafa na alimentação de 4 cavalos durante 8 
dias. Para alimentar 10 cavalos durante 12 dias, quantos quilogramas de alfafa serão 
necessários? 
 
42) A mensalidade de minha escola é R$ 500,00. Com um aumento de 8%, de quanto será 
a nova mensalidade? 
43) Dos 300 casos de AIDS ocorridos num certo Estado, 60 foram na capital e 240 no 
interior. Estabelecer essas informações em porcentagem. 
44) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$ 2450,00, correspondendo a 
70% do preço de tabela. Qual é o preço de tabela da mercadoria? 
45) Sobre uma compra de R$ 4000,00 concedeu-se um desconto de R$ 160,00. Qual é a 
taxa percentual do desconto sobre o preço de compra? 
46) Uma mercadoria adquirida por R$ 1900,00 foi revendida por R$ 2375,00. Qual foi a 
percentagem de lucro? 
47) Devido à recessão, uma empresa demite 8% de seus 2000 funcionários. A que número 
ficou reduzido o quadro de funcionários? 
48) Num certo ano, a inflação foi de 8% e, no ano seguinte, 6%. Qual a inflação 
acumulada nesses dois anos? 
49) Um apartamento teve o seu preço corrigido em 15%. Sabendo-se que foi colocado à 
venda por R$ 92000,00, qual o seu preço antes da correção? 
50) Dois aumentos sucessivos de 10% e 10% sobre o preço de um artigo equivalem a 
um 
 aumento de qual taxa? 
51) Uma pessoa salda uma fatura pela importância de R$ 6370,00 após obter um desconto 
de 2%. Qual era o valor da fatura? 
52) Qual é o juro sobre R$ 25000,00 à taxa de 2% ao mês em 18 meses? 
53) Determinar os juros sobre R$ 50000,00 a uma taxa de 1,1% ao mês em 8 meses. 
54) Qual o capital que, colocado a 10% ao ano, depois de 3 anos, reunidos aos respectivos 
 juros se eleva a R$ 65000,00? 
55) A que taxa deve ser aplicado um capital de R$ 25000,00 a fim de que, depois de 8 
 anos, o capital reunido aos respectivos juros se eleve a R$ 43000,00 ? 
56) Uma pessoa aplicou certa quantia à taxa de 8% ao ano. Recebeu, depois de 1,5 anos, 
 
 
 
 
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79 
 
 capital e juros num total de R$ 40320,00. Qual foi a quantia aplicada? 
57) Durante quanto tempo foi aplicado um capital que, colocado a 10% ao ano, produziu 
 juros correspondentes a 
2
5
 do capital? 
58) Um indivíduo emprega 
12
5
 de um capital a 9% a e o resto a 8% ao ano. No fim de um 
 ano, tem um montante de R$ 26020,00.Achar o capital. 
59) Sistemas lineares com mais de 2 variáveis. Considere o sistema linear 





−=++−
=−−
=++
124
122
43
zyx
zyx
zyx
 
Trata-se de um sistema linear de 3 equações nas incógnitas x, y e z. Uma solução 
para este sistema é uma terna (x, y, z) de números reais que, substituídos no lugar das 
variáveis do sistema, fazem com que as igualdades se verifiquem. 
Para resolver o sistema acima, tira-se o valor de uma das variáveis em qualquer 
uma das três equações do sistema e substitui-se o valor encontrado nas outras duas 
restantes. Daí, obtém-se um sistema linear de duas equações em duas incógnitas que pode 
ser resolvido utilizando qualquer um dos métodos apresentados acima. 
Por exemplo, tirando o va lor de y na primeira equação, obtém-se y = 4 – 3x – z. 
Substituindo este valor na segunda e terceira equações, vem: 
 2x – y – z = 1 ⇒ 2x – 4 + 3x + z – 2z = 1 ⇒ 5x – z = 5 
–4x + y + 2z = –1 ⇒ –4x + 4 – 3x – z + 2z = –1 ⇒ –7x + z = –5 
Em seguida, resolve-se o sistema 



−=+−
=−
57
55
zx
zx
. 
Somando membro a membro as duas equações, vem que 
–2 x = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 
2
0
 ⇒ x = 0 
Substituindo na equação 5x – z = 5, obtém-se: 
5 . 0 – z = 5 ⇒ – z = 5 ⇒ z = –5 
Daí, substituindo os valores de x e z encontrados, em y = 4 – 3x – z, encontra-se: 
y = 4 – 3x – z ⇒ y = 4 – 3 . 0 – (–5) ⇒ y = 4 + 5 ⇒ y = 9 
Por conseguinte, a solução do sistema é x = 0, y = 9, z = 9. 
60) Resolver os seguintes sistemas: 
 
 
 
 
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80 
 
 a) 





−=−+
=−+
=+−
222
0
223
zyx
zyx
zyx
 b) 





=−+
=−+
=+−
622
4
623
zyx
zyx
zyx
 c) 





=−+−
=−−
=++
2054
62
43
zyx
zyx
zyx
 
61)Uma loja de cosméticos oferece três kits de produtos contendo batom, esmalte e sombra 
 dos mesmos tipos em todos os kits, com os seguintes preços: 
 kit 1: 1 batom, 2 esmaltes, 2 sombras ; 14 reais 
 kit 2: 2 batons, 1 esmalte, 2 sombras ; 16 reais 
 kit 3: 4 batons, 3 esmaltes, 1 sombra; 25 reais 
 Determinar o preço de uma unidade de cada um desses produtos. 
62) O número b é a média geométrica ou proporcional entre a e c se, e somente se, a, b e c 
 são positivos e 
c
b
b
a
= . 
 Assim, se b é média geométrica entre a e c, então b2 = a c, ou seja, b = ca . 
 Determinar a média geométrica entre os números: 
 i) 2 e 18 ii) 6 e 24 iii) 6 e 150 
63) Média aritmética ponderada de dois ou mais valores é o valor que se obtém somando 
 os produtos de cada valor pelo seu peso respectivo peso e, em seguida, dividindo o 
 resultado obtido pela soma dos pesos. 
 Calcular a média aritmética ponderada dos números: 
 i) 7, 12 e 15 com pesos 1, 2 e 2, respectivamente 
 ii) 8, 3 e 5 com pesos 2, 3 e 4, respectivamente 
64) Para preparar um suco, usam- se 8 copos de água mineral que custa R$ 1,20 o copo, e 
2 copos de groselha. que custa R$ 1,80 o copo. Qual é o custo de cada copo de suco? 
65) O professor de Português estabeleceu os seguintes pesos para as notas atribuídas 
durante o bimestre: 4 para a prova, 3 para a média aritmética das notas de redação, 2 
para a média aritmética dos trabalhos feitos em sala de aula e 1 para a média dos 
trabalhos feitos em casa. Qual será a média de Português de um aluno que, nesse 
bimestre, obteve nota 6,0 na prova, 4,0 na redação, 7,0 na média dos trabalhos em 
sala de aula e 8,0 na média dos trabalhos de casa? 
 
Respostas dos exercícios propostos 
1) a = –3 2) a) 
7
6−
 b) 
2
1
 3) b 
4) a) 2x + 12 b) y2 – z3 c) 3a + b2 d) 3x – y2w e) x + 52 
 
 
 
 
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81 
 
5) a) –4x – 5 b) 4a – 
6
5b
 – 
2
11
 c) – r –3s – 5 d) y
4
1
 
6) a) 4x2 – 28xy + 49y2 b) a2 + a + 
4
1
 c) a2x2 – 2axpy + p2y2 d) m4 + 2m2x3 + x6 
 e) 1 – a2x2 f) m2n2 – 4 7) a) 2y2 b) 2x(x – 2) c) 4u2 + 1 d) 0 
8) a) (3y + 2)2 b) (1 – 3h3)2 c) (a + 7)2 d) (ax - b)2 e) (a – 3)(a + 3) (a2 + 9) 
 f) (m – n)(m + n)(m2 + n2) g) (x + 3)(x – 5) h) 2 (x + 
2
1
)(x – 2) i) (x + 1)(x – 5) 
9) a) 
2
2
+
−
x
x
 b) 2 a c) 
ba
ba
−
+
 d) 
3
3
−
+
a
a
 
10) a) 
a
xx
2
)2( −
 b) 
2
1
+
+
x
x
 c) 
yx −
1
 d) 
2
5
x
 
11) a) –5x3y b) 24x3 – 55x2 + 28x – 5 c) 2x3 + x2 – 11x + 2 
12) a) 4x2y b) 
c
ab3−
 c) 
b
a 43−
 
13) a) quociente x2 –5x - 11 , resto = –34 b) quociente 8x + 4 resto 17 
14) a) 3 b) 3 c) 
3
4
 d) φ e) 1 f) 0, -4 
15) a) 2 –1 b) 3 c ) 2 2 d) h+1 + 1 e) ax + 
16) a) x = 
2
1
, y = 
3
1
 b) x = 1, y = 2 c) x = 
2
11
, y = 
2
1
 18) a) 30 b) –2,5 c) 13,5 
19) a) 5% b) 79% c) 33,33 20) a) 0,15 b) 1,3 c) 0,075 
21) a) 1% b) 100% 22) 4x + 6 23) 8x + 32y 24) 6000 reais 
25) vencedor: 633, perdedor: 480 26) 30 mulheres, 50 homens 
27) 2,16dm, 0,84 dm e 1,80 dm 28) a = 6, b = 12, c = 18 , d = 72 
29) 384m2, 576m2, 960m2, 1536m2 30) R$ 1750,00, R$ 1250,00, R$ 500,00 
31) 54 de cimento, 08 de areia, 216 pedra britada 32) R$ 24000,00, R$ 15000,00, R$ 
17400,0033) 2h 34) 2250m 35) 2l6 36) 12 37) 40 dias 38) 480 
39) 21 40) 5kg 41) 900kg 42) R$540,00 43) 20% capital, 80% interior 
44) R$3500,00 45) 4% 46) 25% 47) 1840 48) 14,48 
49) R$ 80000,00 50) 21% 51) R$ 6500,00 52) R$ 9000,00 53) R$ 4400,00 
54) R$ 5000,00 55) 9% 56) R$ 36000,00 57) 4 anos 58) R$ 24000,00 
60) a) x =1, y = 2, z = 3 b) x = 3, y = 2, z = 1 c) x = –2, y = 3, z = –5 
61) 4 reais o batom, 2 reais o esmalte e 3 reais a sombra 62) i) 6 ii) 12 iii) 30 
63) i) 12,2 ii) 5 64) R$ 1,32 65) 5,8 
 
 
 
 
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82 
 
 Capítulo 3 
Funções 
 
 
 
Com freqüência, são encontradas situações envolvendo relações entre duas 
grandezas variáveis. Por exemplo: 
• A área e o perímetro de um quadrado dependem da medida de seu lado 
• O preço pago numa conta de luz depende da quantidade de energia consumida 
• O rendimento anual de uma aplicação financeira depende da taxa oferecida 
pelo banco. 
• O custo total de produção de uma certa mercadoria em termos da quantidade 
produzida. 
A noção matemática que contempla os exemplos acima e muitos outros é a noção 
de função, que será desenvolvida neste capítulo. 
 
3.1 - Definição de função 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que 
a todo elemento x ∈ A associa um único elemento y ∈ B. 
Se designar-se por f a função, o elemento y é chamado imagem de x pela função f 
e é indicado por y = f(x). Essa notação permite dar diferentes nomes a diferentes funções 
trocando as letras usadas. Por exemplo, para dizer que o ponto de ebulição da água é uma 
função da altitude, pode-se escrever e = f(a). 
Escreve-se: 
f: A → B 
x → y = f(x) 
para designar uma função f de A em B. 
O conjunto A é chamado domínio de f e é indicado por D(f); o conjunto B é 
chamado contradomínio de f e o conjunto de todos os valores admissíveis de y é chamado 
conjunto imagem de f , e é denotado por Im(f). 
 
 
 
 
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83 
 
Como x é livre para variar no domínio da função, diz-se que xé a variável 
independente e que y é a variável dependente. 
Considera-se as funções f e g iguais quando elas possuem o mesmo domínio e f(x) 
= g(x), para todo x do domínio. 
 
Exemplos 
a) Dados A = D(f) = {1, 2, 3} e B = {3, 5, 7, 9, 11}, considere a função f 
definida por y = f(x) = 2x + 1 . 
Como D(f) = {1, 2, 3}, x não pode assumir valores diferentes de 1, 2 ou 3. O 
valor de y é obtido multiplicando-se o valor de x por 2 e somando-se 1 ao resultado. 
 Tem-se: 
 f(1) = 2.1 + 1 = 3 
 f(2) = 2.2 + 1 = 5 
 f(3) = 2.3 + 1 = 7 
 A imagem da função é Im(f) = {3, 5, 7} ⊂ B. 
 
FIGURA 16. Esquema de flechas da função y = 2x +1 em que D(f) ={1, 2, 3} 
 
b) Seja f: [0,6] → R definida por y = f(x) = x2 + 4. 
Tem-se que D(f) = [0,6]; assim, x só pode assumir valores do intervalo [0,6]. Por 
exemplo: 
f(0) = 02 + 4 = 4 f(
2
1
) = 
4
17
4
4
1
=+ 
f( 2 ) = ( 2 )2 + 4 = 6 f(5) = 52 + 4 = 29 
f(7) não está definida pois 7 ∉ D(f). 
 
 
 
 
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84 
 
A imagem da função é Im(f) = [4, 40]. 
c) Seja A = {3, 4, 5}, B = {1, 2} e f a relação dada pelo esquema de flechas 
abaixo. 
 
 
FIGURA 17. Diagrama de flechas em que o elemento 3 ∈ D(f) não possui imagem 
 
Essa relação não é uma função de A em B, pois nem todos os elementos de A 
estão associados a elementos de B; o número 3 não está associado a nenhum elemento 
de B. 
 
d) Dados A = {1, 4, 8}, B = {0, 3, 6, 9}, considere a relação f dada pelo 
diagrama a seguir: 
 
 
 
FIGURA 18. Relação na qual o elemento 1 do domínio possui duas imagens 
 
Essa relação não é uma função de A em B, pois existe elemento de A 
associado a mais de um elemento de B; o número 1 está associado aos números 0 e 3. 
 
3.2 - Domínio de uma função real 
 
Embora os conjuntos A e B que aparecem na definição de uma função possam ser 
bastante arbitrários, neste texto eles serão sempre subconjuntos dos números reais. 
 
 
 
 
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85 
 
Com freqüência se diz: considere uma função f dada por f(x) = expressão 
contendo x, por exemplo, f(x) = 
3
1
−x
, sem menção ao domínio da função. Neste caso, 
supõe-se que tal domínio é formado por todos os elementos x reais para os quais a 
expressão pode ser calculada. Assim, se f(x) = 
3
1
−x
, o domínio é formado pelos x para os 
quais x – 3 ≠ 0, ou seja, x ≠ 3, pois o denominador não pode ser nulo. 
 
Exemplos 
a) O domínio da função definida por y = f(x) =
5
72
−
−
x
x
 é R – {5}, pois, para 
todo x ∈ R, x ≠ 5, o número 
5
72
−
−
x
x
 é real 
b) O domínio da função y = f(x) = 4−x é [4, +∞ [, pois 4−x representa 
 um número real somente se x – 4 ≥ 0, isto é, se x ≥ 4. 
 
c) A relação que expressa o preço p e a quantidade x de uma mercadoria 
demandada é chamada de função preço. Considere a função preço dada por p 
= x216 − . Determinar o seu domínio. 
Solução Deve-se ter 16 – 2x ≥ 0. Assim, –2x ≥ –16 de onde vem que x ≤ 8. 
Como em situações normais econômicas tem-se x ≥ 0, decorre que o domínio da função é 
o intervalo [0,8]. 
 
3.3 - Operações com funções 
 
Suponha que o laboratório Blue, fabricante do medicamento Latrim, tenha 
mensalmente uma arrecadação total dada pela lei: 
 
R(x) = – 0,0005x2 + 20x, 0 ≤ x ≤ 40000 
 
e um custo mensal total dado por: 
 
C(x) = – 0,0001x2 + 10x + 10000, 0 ≤ x ≤ 40000 
 
onde x denota o número de unidades do medicamento fabricadas mensalmente. 
O lucro total da fabricação e venda de x unidades de Latrim por mês é a diferença 
entre a arrecadação total e o custo total envolvido. Assim, a função lucro é dada pela 
 
 
 
 
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86 
 
função L, diferença das funções R e C e escrita por L = R – C. Portanto, a lei que define 
L(x) é: 
L(x) = R(x) – C(x) 
 = (–0,0005x2 + 20x) – (–0,0001x2 + 10x + 10000) 
 = –0,0004x2 + 10x – 10000 
Tal função tem o mesmo domínio das funções R(x) e C(x). 
Muitas outras funções podem ser obtidas combinando funções através da adição, 
subtração, multiplicação e divisão de números reais. 
De um modo geral, dadas f e g com mesmo domínio D, define-se: 
• A soma das funções f e g é a função denotada por f + g, definida em D, tal 
que: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) 
 
Exemplo 
Sejam f e g com domínio D = [0, 20] e definidas por f(x) = 3x –1 e g(x) = x2 + 1. 
Então, f + g é a função com domínio D, definida por: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (3x – 1) + (x2 + 1) = x2 + 3x 
• O produto das funções f e g é a função denotada por f . g, definida em D, tal 
que: 
(f . g)(x) = f(x) . g(x) 
 
Exemplo 
Sejam f e g com domínio D = [–3,3] e definidas por f(x) = x – 1 e g(x) = x + 1. 
Então, f . g é a função com domínio D, definida por: 
(f . g)(x) = f(x) . g(x) = (x – 1).(x + 1) = x2 – 1 
• O quociente da função f pela função g, ambas com o mesmo domínio D, com 
g(x) ≠ 0 para todo x∈D, é a função q = f
g
 definida em D e tal que: 
 q(x) = 
)(
)(
xg
xf
. 
 
 Exemplo 
 
 
 
 
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87 
 
O quociente das funções definidas por f(x) = x2 – 16 e g(x) = x + 4, ambas com 
domínio [1, 9], é a função 
g
f
 definida em [1,9] tal que: 
(
g
f
)(x) = 
4
162
+
−
x
x
 = 
4
)4)(4(
+
+−
x
xx
 = x – 4 
 
 
3.4 - Plano cartesiano 
 
Viu-se em 1.11, do capítulo 1, que existe uma correspondência biunívoca entre os 
números reais e os pontos de uma reta. 
De maneira análoga, pode-se, também, estabelecer uma correspondência 
biunívoca entre pares ordenados de números e pontos de um plano. 
Uma reta horizontal é escolhida no plano e é chamada eixo x. Uma reta vertical é 
escolhida e chamada eixo y. O ponto de interseção dessas duas retas é chamado origem, 
sendo denotado por O. Uma unidade de comprimento é escolhida em cada eixo e não 
precisam ser as mesmas. É estabelecida a direção positiva sobre o eixo x, à direita da 
origem, e a direção positiva sobre o eixo y, acima da origem. 
Associa-se, então, a cada ponto do plano, um par ordenado de números reais, isto 
é, um par (a, b), onde a é o primeiro e b o segundo número. Para isso, seja P um ponto 
qualquer no plano. Trace as perpendiculares de P ao eixo x e ao eixo y, respectivamente. O 
número a é então o número correspondente ao ponto do eixo x no qual a perpendicular por 
P intercepta o eixo x. De maneira similar, b é o número que corresponde ao ponto do eixo 
y no qual a perpendicular por P intercepta o eixo y. 
Reciprocamente, dado um par ordenado de números (a, b), localiza-se, no eixo x, 
o ponto que representa o número a e, no eixo y, o ponto que representa o número b e 
traçam-se por eles perpendiculares aos eixos x e y. O ponto de interseção dessas retas é o 
ponto P. 
 
FIGURA 19. Um par ordenado (a,b) 
 
 
 
 
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No par ordenado (a, b), a é chamado abscissa e b ordenada e, conjuntamente, a e b 
são chamados coordenadas do ponto P. 
Os eixos x e y são chamados eixos coordenados e a correspondência biunívoca é 
chamada sistema de coordenadas cartesianas ou simplesmente sistema cartesiano. 
Cada uma das regiões em que o plano fica dividido pelos eixos coordenados é 
chamada quadrante. 
 
 
 FIGURA 20. Os quatro quadrantes no plano cartesiano 
 
Represente geometricamente, num sistema cartesiano, os seguintes pontos: 
(-5,0) (-4,-3) (-2,6) (0,-3) (5,-2) (6,4) (7,0) (0, 2) 
 
 
 FIGURA 21. Diversos pontos no cartesiano plano 
 
3.5 - Gráfico de uma função 
 
Num sistema cartesiano, os pontos (x, y) com x∈ D(f) e y = f(x) constituem o 
gráfico da função f. 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) Construir o gráfico da função definida por y = f(x) = 2x – 1 e cujo 
domínio éD(f) = {0, 1, 2, 3}. 
 
 
FIGURA 22. Gráfico da função y = 2x – 1 em que D(f) = {0, 1, 2, 3} 
 
b) Construir o gráfico da função definida pela sentença y = f(x) = 2x – 1, sendo 
D(f) = [0, 3] = { x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 3}. 
 
 A lei que define a função é a mesma lei que define a função do exemplo 
anterior, porém, o domínio é o intervalo [0, 3]. Assim sendo, além dos pontos A, B, C e 
D, é necessário considerar todos os pontos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 3 e y = 2x – 1. 
O gráfico de f é, pois, o segmento de reta AD. 
 
 
FIGURA 23. Gráfico da função y = 2x – 1 em que D(f) = [0,3] 
 
c) Construir o gráfico da função f: R → R dada por y = f(x) = 2x – 1. 
A lei que define a função é a mesma dos dois exemplos anteriores, porém, o 
domínio é constituído de todos os números reais. Assim, o gráfico é conjunto de todos os 
pontos (x, y) com x real e y = 2x – 1, ou seja, é a reta que passa por A e D. 
 
x f(x) 
0 –1 
1 1 
2 3 
3 5 
 
 
 
 
 
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FIGURA 24. Gráfico da função y = 2x – 1 em que D(f) = R 
 
Para esboçar o gráfico de uma função f, pode-se, em geral, montar uma tabela 
onde se obtém alguns valores y = f(x) para determinados x ∈ D(f). 
 
 c) Representar graficamente a função y = f(x) = –3x + 1. 
 
 
FIGURA 25. Gráfico da função y = –3x + 1 
 
e) Construir o gráfico da função y = f(x) = x2, x ∈ R. 
 
 
 FIGURA 26. O gráfico de y = x2 é uma parábola 
 
f) Representar graficamente a função definida por : 
f(x) = 



<+−
≥
01
02
xsex
xsex
 
 
O domínio de f é R. Constrói-se duas tabelas, uma para representar y = x2, x ≥ 0 
e a outra para representar y = – x + 1, x < 0. 
x y = –3x + 1 
0 1 
1 -2 
 
x y = x2 
-1 1 
-2 4 
0 0 
1 1 
2 4 
 
 
 
 
 
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FIGURA 27. Gráfico da função do exemplo (e), a qual é definida por duas sentenças 
 
Observação 
Embora seja verdade que toda função real de uma variável possua um gráfico no 
plano cartesiano, é importante observar que nem toda curva no plano cartesiano é gráfico 
de uma função. Por exemplo, a parábola da FIGURA 28 não representa o gráfico de uma 
função, visto que, por exemplo, para x = 4 estão associados dois valores de y, y = 2 
e y = –2. O gráfico em questão é a representação gráfica da relação y2 = x. 
Este exemplo sugere o seguinte teste para se determinar quando uma curva é o 
gráfico de uma função: 
“Uma curva no plano catesiano é gráfico de uma função y = f(x) se, e somente se, 
toda reta paralela ao eixo y intercepta a curva no máximo em um ponto.” 
 
FIGURA 28. Teste da reta vertical para verificar se um gráfico cartesiano é 
 gráfico de uma função 
 
3.6 - Determinação do domínio e da imagem de uma função 
 
Conhecendo-se o gráfico de uma função f, pode-se identificar nos eixos 
coordenados, o domínio e a imagem de f. O domínio é formado pelas abscissas x dos 
pontos do gráfico e a imagem é formada pelas ordenadas y dos pontos do gráfico. 
 
x ≥ 0 
 
x y = x2 
0 0 
1 1 
2 4 
 
x < 0 
 
x y= –x+1 
–1 2 
–2 3 
 
 
 
 
 
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Exemplo 
Determinar o domínio e a imagem das funções representadas na FIGURA 29. 
 
 
 ( i ) ( ii ) 
FIGURA 29. Olhando o domínio e imagem de uma função a partir de seu gráfico 
 
No caso (i), o domínio da função é constituído pelos números reais x 
compreendidos entre 2 e 6, ou seja, é o intervalo [2, 6]. O conjunto imagem é formado 
pelos números reais y compreendidos entre 1 e 4, ou seja, é o intervalo [1, 4]. 
No caso (ii), tem-se que o domínio é [0, 5[ e a imagem é ]-2,4]. 
 
3.7 – Raízes 
 
Os pontos do gráfico de uma função da forma (x, 0) são os pontos onde a curva 
encontra o eixo dos x. A abscissa diz-se raiz da função . 
 
Exemplo 
 
Seja y = f(x) = (x – 2)(x – 3). 
Para y = 0, (x – 1)(x – 3) = 0, de onde vem que x = 2 ou x = 3. Assim, a função 
intercepta o eixo dos x nos pontos (2, 0) e (3, 0). Portanto, 2 e 3 são as raízes da função. 
 
FIGURA 30. As raízes da função y =(x - 2)(x – 3) são 2 e 3 que representam 
 as abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x 
 
 
 
 
 
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3.8 – Funções crescentes e decrescentes 
 
Se o gráfico de uma função sobe ou aumenta, da esquerda para a direita, diz-se 
que a função é crescente. Se, no mesmo sentido, ele desce ou diminui, diz-se que a função 
é decrescente. 
 
FIGURA 31. O gráfico sobe nos intervalos [x1, x2] e [x3, x4] e desce no intervalo [x2, x3] 
Vê-se que: 
• Nos intervalos [x1, x2] e [x3, x4], a função y = f(x) é crescente. 
• No intervalo [x2, x3], a função é decrescente. 
 De um modo geral, seja A um subconjunto do domínio de uma função y = f(x). 
Considerando dois elementos arbitrários em A, com a < b, diz-se que: 
• f é crescente em A se f(a) < f(b) 
• f é decrescente em A se f(a) > f(b) 
 
Observa-se ainda que: 
• O ponto mais alto do ocorre quando x = x2 ou x = x4. 
• O ponto mais baixo ocorre quando x = x3. 
O ponto mais alto de um gráfico, quando existe, é o valor máximo da função e o 
mais baixo é o valor mínimo. As abscissas desses pontos são chamadas de ponto de 
máximo e ponto de mínimo, respectivamente. 
 
3.9 - Função composta 
 
 
 
 
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A produção de peças de uma determinada indústria é dada em função do tempo 
pela lei u = f(t) = 40t, em que u representa o número de peças produzidas e t o tempo em 
horas para fabricá- las. O consumo de energia em função do número de peças produzidas 
é dado pela lei y = g(u) = 
2
3
u, onde y representa o consumo de energia em quilowatt hora. 
Então, y é uma função de t, cuja lei que a define é : 
y = 
2
3
u = 
2
3
 (40t) ⇒ y = 60t 
é chamada função composta de g e f. 
Em geral, se y = g(u) e u = f(x) e os valores de u estiverem dentro do domínio de 
g, pode-se definir uma nova função, chamada função composta de g e f, denotada por gof e 
definida por: 
(gof)(x) = g(f(x)) 
Esquematizando: 
FIGURA 32. Esquema de flechas para a composição de funções 
 
Exemplos 
a) Dadas as funções reais f e g, definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x + 5, 
obter as leis que definem fog e gof. 
Tem-se: 
 (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x+5) = 2(3x + 5) + 1 = 6x + 11 
 (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3(2x + 1) + 5 = 6x + 8 
Observe que fog ≠ gof. 
b) Imagine que uma mancha de óleo sobre uma superfície de água tenha a 
forma de um disco de raio r, em centímetros. Então, a sua área, em cm2 , é função do 
 
 
 
 
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raio, dada pela lei A = A(r) = 2rπ . Por outro lado, considere que o raio aumenta em 
função do tempo, em minutos, obedecendo a relação r = r(t) = 16t + 0,5. Determinar a 
área ocupada pela mancha em função de t. 
 Solução Quando o tempo t varia a partir do instante t = 0, o raio passa a crescer a 
partir do valor 0,5 cm. Como A está definida para todo r não negativo, pode-se determinar 
a função composta das funções dadas. 
A = A(r(t)) = A(16t + 0,5) = π (16t + 0,5)2 
A = π (256t2 + 16t + 0,25) cm2 
c) (Olhando uma função como composta de funções) A função y = f(x) = 4−x 
pode ser pensada calculando-se primeiramente o valor de x – 4 e, depois, 
tomando a raiz quadrada do resultado. A função y = f(x) é a composta da 
função g(x) = x – 4 com a função h(x) = x . Como x – 4 não pode ser 
negativo, deve-se ter x ≥ 4. Portanto, o domínio da função composta é o 
intervalo [4, + ∞ [. 
 
3.10 - Função inversa 
 
 Comumente, em aplicações, certa grandeza é dada em função dotempo. Muitas 
vezes, no entanto, deseja-se saber o instante no qual esta grandeza atinge um determinado 
valor. Nessa situação, é conveniente obter a função inversa que exprime o tempo como 
função da grandeza considerada. Contudo, que isso nem sempre é possível. Serão 
estabelecidas, a seguir, condições para que a inversa exista. 
Considere y = f(x) uma função crescente. Nesse caso cada y do conjunto imagem 
Im(f) provém de um único x do domínio de f. Dessa forma, pode-se definir uma função, 
indicada por f-1, do seguinte modo: 
Se y ∈ Im(f) , f-1 leva y no único x ∈ D(f) tal que f(x) = y, ou seja: 
 
 f-1(y) = x ⇔ f(x) = y 
Fica claro, a partir da definição, que: 
 D(f-1) = Im(f) e Im(f-1) = D(f) 
 
 
 
 
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Observe que: 
(f-1of)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x 
(fo f-1)(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y 
Quaisquer funções f e g que satisfaçam uma relação da forma 
(f o g)(x) = (g o f)(x) = x 
são denominadas inversas uma da outra. 
De maneira análoga, pode-se definir f-1 se f é decrescente. Assim: 
Para toda função crescente ou decrescente y = f(x), existe uma função inversa. 
 
 Exemplos 
a) Determinar a inversa da função real y = f(x) = 2x – 1. 
Solução Observando a FIGURA 33, vê-se que esta função é crescente e, portanto, 
possui uma inversa. Para obter a lei que a define: 
• Tira-se o valor de x 
y = 2x - 1 ⇒ 2x - 1 = y ⇒ 2x = 1 + y ⇒ x = 
2
1 y+
 
• Troca-se x por y, pois o usual é indicar elemento do domínio pela letra x. 
y = f-1(x) = 
2
1 x+
. 
Os gráficos de f e f-1 estão representados na FIGURA 33. 
 FIGURA 33. O gráfico de f(x) = 2x – 1 e de sua inversa f-1(x) = 
2
1+x
 
Observe que a representação gráfica de f-1 resulta simétrica de f em relação à 
bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 
x y = f(x) = 2x – 1 
1 1 
2 3 
 
x 
y=f-1(x)=
1
2
x +
 
1 1 
3 2 
 
 
 
 
 
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b) Seja x a temperatura, em graus Fahrenheit, e y a mesma temperatura, em graus 
 Celsius. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas por: 
 y = f(x) = 
9
5
x – 
9
160
 
i) Encontrar y quando x = 18 
ii) Exprimir x como função de y, isto é, obter a função inversa que permite achar 
 a temperatura em graus Fahrenheit, conhecida a temperatura em graus Celsius. 
Solução 
 i) Quando x = 18 tem-se y = 
9
5
. 18 – 
9
160
 = – 
9
70 ≅ 7,8 
 ii) Tem-se: 
9
5
x – 
9
160
 = y ⇒ 5x – 160 = 9y ⇒ 5x = 160 + 9y ⇒ x = 32 + 
5
9
y 
Portanto, y = f-1(x) = 32 + 
5
9
x. 
 
3.11 - Função polinomial de 1º grau 
 
O custo mensal de fabricação de um produto é 6000 reais e o custo variável por 
unidade é 12 reais. Então, a função custo total é dada por: 
C = 6000 + 12x 
onde x representa a quantidade do produto fabricada mensalmente. 
Este é um exemplo de função polinomial de 1º grau. 
Definição: Função polinomial de 1º grau é a função f definida por 
y = f(x) = a x + b 
com a, b, x∈ R, a ≠ 0. O domínio da função é D(f) = R e o conjunto imagem da função é 
Im(f) = R. 
O gráfico é uma reta não paralela aos eixos coordenados e pode ser obtido por 
meio de dois pontos distintos, visto que dois pontos distintos determinam uma reta. 
A raiz da função y = f(x) = ax + b é obtida fazendo y = 0 e resolvendo a 
equação ax + b = 0, de onde se obtém x = – 
a
b
. 
 
 
 
 
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98 
 
Se b = 0, ou seja, y = ax, a função é chamada função linear. Um caso particular da 
função linear é quando a = 1, isto é, y = f(x) = x. Ela é chamada função identidade, pois, a 
cada x, ela associa um valor igual ao de x. 
 
Exemplos 
a) Esboçar o gráfico da função y = f(x) = x . Esta função, que, a cada x real, 
associa o próprio valor de x, é denominada função identidade. 
FIGURA 34. A função identidade y = x 
b) Esboçar o gráfico da função y = – 2x + 3 
 
 
FIGURA 35. A reta y = –2x + 3 passa pelos pontos (0, 3) e (1, 1) 
 
 
Observações 
 
i) Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) dois pontos distintos do gráfico da função de 1º. 
 grau y = f(x) = a x + b. 
 
 Então, para 
 )( 1212
222
111 xxayy
 b a x , y xx 
 b a x , y xx 
−=−⇒



+==
+==
 
x y = x 
1 1 
2 2 
 
x y = –2x +3 
0 3 
1 1 
 
 
 
 
 
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Como x1 – x2 ≠ 0, pois x1 ≠ x2, tem-se 
12
12
xx
yy
a
−
−
= . Assim, a é a razão entre os 
catetos do triângulo retângulo PQR da FIGURA 36, ou seja, a representa a variação 
proporcional de y em relação à variação ocorrida em x. 
 
FIGURA 36. Interpretação do coefic iente angular 
 
 
O coeficiente a é chamado coeficiente angular da reta. O decrescimento ou 
crescimento da função de 1º grau depende exclusivamente do coeficiente angular a. Se ele 
é positivo, a função é crescente. Se ele é negativo, a função é decrescente. Isso pode ser 
constatado nos exemplos acima. 
 De fato, na função y = x, tem-se a = 1 > 0 e ela é crescente; na função y = –2x + 
3, tem-se a = –2 < 0 e ela é decrescente. 
Assim, de um modo geral, o gráfico y = f(x) = ax + b, a ≠ 0 resume-se nos dois 
casos seguintes: 
 
FIGURA 37. A reta sobe se a > 0 e desce se a < 0 
 
ii) A constante b na equação f(x) = a x + b representa a ordenada do ponto em 
quea reta intercepta o eixo das ordenadas. 
 De fato, fazendo x = 0 em y = f(x) = a x + b, obtém-se que y = b. Isso leva a 
concluir que o ponto (0, b) pertence ao gráfico de f. Este valor b é denominado coeficiente 
linear da reta. 
 
 
 
 
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FIGURA 38. Interpretação geométrica do coeficiente linear 
 
 Exemplo 
 
Uma companhia de turismo constatou que, quando o preço de uma visita a pontos 
turísticos é R$ 150,00, a média do número de passageiros vendidos para a viagem é 30 e, 
quando o preço passa para R$ 222,00 o número de passagens recua para 18. Chamando de 
x o número de passagens vendidas, então o valor p de cada passagem pode ser expresso em 
função de x. Admitindo que essa função seja do 1º. grau, obter a sua equação e esboçar o 
seu gráfico. 
Solução Como x = 30 quando p = 150 e x = 18 quando p = 222, então os pontos 
(30, 150) e (18, 222) pertencem ao gráfico da função procurada, que é da forma p = ax + b. 
O valor de a é a = 
222 150 72
6
18 30 12
−
= = −
− −
. Para encontrar b, substituem-se os 
valores x = 30, p =150 e a = –6 na equação p = ax + b: 
150 = –6 . 30 + b ⇒ b = 150 + 180 ⇒ b = 330 
Assim, p = –6x + 330. Como p ≥ 0 então: 
–6x + 330 ≥ 0 ⇒ –6x ≥ –330 ⇒ x ≤ 
330
6
−
−
 ⇒ x ≤ 55 
Portanto, o domínio da função é o intervalo [0, 55] e o seu gráfico está a seguir. 
 
FIGURA 39. Gráfico da função p = –6x + 330 
 
 
 
 
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3.12 - Alguns modelos econômicos 
 
Função demanda 
 
Numa economia livre de mercado, a demanda de consumo por uma certa 
mercadoria depende do preço unitário dessa mercadoria. Uma equação que relaciona o 
preço com a quantidade demandada é chamada equação de demanda. 
Em geral, o preço p se relaciona com a quantidade demandada x. Essa relação 
indicada por p = f(x), é chamada função demanda e o seu gráfico é chamado curva de 
demanda. Normalmente, x e p são assumidos como positivos e p = f(x) é uma função 
decrescente, visto que, quanto maior o preço menor é quantidade demandada e vice-versa. 
 
FIGURA 40. Uma curva de demanda 
 
Exemplo 
Suponha que a equação de demanda para um produto é x = 8000 – 100p, onde p é 
o preço por unidade e x a demanda. 
a) Determinar o intervalo de variação de p 
b) Determinar o intervalo de variação de x 
c) Calcular o valor da demanda correspondente ao preço p = 50 reais 
d) A que preço a demanda será de 4500 unidades?e) A que preços a demanda ficará entre 5000 e 6500 unidades? 
f) Representar graficamente a função demanda. 
Solução 
a) Para determinar o intervalo de variação de p, deve-se fazer x > 0, ou seja, 8000 
– 100p > 0, de onde vem que p < 80. 
Logo, a variação de p é 0 < p < 80. 
 
 
 
 
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102 
 
b) Para determinar o intervalo de variação de x, basta isolar p na equação de 
demanda. Procedendo dessa forma, obtém-se p = 
8000
100
x−
, isto é, x < 8000. Assim, x 
varia no intervalo ]0, 8000[. 
c) Quando p = 50, tem-se: 
x = 8000 – 100 . 50 = 3000 
O valor da demanda correspondente ao preço p = 50 reais é 3000 unidades. 
d) Para que a demanda seja de 4500 unidades, deve-se ter: 
p = 
8000 4500 3500
35
100 100
−
= = 
isto é, um preço de 35 reais 
e) A demanda ficará entre 5000 e 6500 unidades se 5000 < x < 6500, ou seja: 
5000 < 8000 – 100p < 6500 ⇒ –3000 < –100p < –1500 
 ⇒ 1500 < 100p < 3000 ⇒ 15 < p < 30 
de onde conclui-se que o preço deve variar de 15 a 30 reais. 
f) A representação gráfica da função demanda p = 
8000
100
x−
 é um segmento de 
reta que une os pontos (0, 80) e (8000, 0), mas não os inclui. 
 
FIGURA 41. Gráfico da função demanda 
8000
100
x
p
−
= 
 
 Função oferta 
 
Num mercado competitivo, existe também a relação entre o preço por unidade de 
um determinado produto e a quantidade que os produtores estão dispostos a fabricar. Em 
geral, essa relação é indicada por p = g(x), onde p é o preço unitário e x a quantidade 
 
 
 
 
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103 
 
oferecida. Essa equação é denominada equação oferta e o seu gráfico, curva de oferta. 
Normalmente, x e p são assumidos positivos e a função oferta p = g(x) é uma função 
crescente, pois, quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada e vice-versa 
 
FIGURA 42. Uma curva de oferta 
Exemplo 
Considere a oferta dada por x = 50p – 700, onde p é o preço por unidade, p ≤ 30, 
e x a oferta. 
a) A partir de que preço haverá oferta? 
b) Qual o valor da oferta para p = 20 reais? 
c) Para que preços a oferta ficará entre 250 e 450 unidades? 
d) Esboçar o gráfico da curva de oferta 
Solução 
a) Haverá oferta quando x = 50p – 700 > 0, ou seja, p > 14. Portanto, 14 reais. 
b) Quando p = 20, x = 50 . 20 – 700 = 300 unidades. 
c) A oferta ficará entre 250 e 450 unidades quando 
250 < x < 450 ⇒ 250 < 50p – 700 < 450 
 ⇒ 950 < 50p < 1150 ⇒ 19 < p < 23 
isto é, entre 19 e 23 reais 
c) Isolando o valor de p em x = 50p – 700 obtém-se a função oferta p = 
700
50
x+
. 
Como p ≤ 30 então se deve ter: 
700
50
x+
 ≤ 30 ⇒ 700 + x ≤ 1500 ⇒ x ≤ 800 
 
 
 
 
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Portanto, o domínio da função demanda é ]0,800] e o seu gráfico é um segmento 
de reta que liga os pontos ]0, 14] e [800, 30], incluído o segundo e excluindo o primeiro. 
 
FIGURA 43. Gráfico da função oferta p = 
700
50
x+
 
 
 Ponto de equilíbrio 
Sob pura competição, o preço de uma mercadoria tenderá a estabilizar-se no 
momento em que a oferta for igual à demanda da mesma. Se o preço é alto, o consumidor 
não compra e, se o preço é baixo, o fornecedor deixa de produzir. 
Esse ponto, onde a quantidade demandada é igual à quantidade ofertada, é 
chamado ponto de equilíbrio. Geometricamente, se são traçadas, num mesmo sistema 
cartesiano, as curvas de demanda e oferta, o ponto de equilíbrio é o ponto (x0, p0) onde os 
gráficos se cortam. Os valores x0 e p0 são denominados preço de equilíbrio e quantidade de 
equilíbrio, respectivamente. 
 
FIGURA 44. Quantidade e preço de equilíbrio 
Exemplo 
Dadas a demanda de mercado x = 8000 – 100p e a oferta x = 50p – 700, 
determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 
Solução Resolvendo: 
 
 
 
 
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8000 – 100p = 50p – 700 
tem-se: 
100p + 50p = 8000 + 700 ⇒ 150p = 8700 ⇒ p = 
8700
150
 = 58 
Daí: 
x = 8000 – 100 . 58 = 8000 – 5800 = 2200 
Portanto, o ponto de equilíbrio é (58, 2200), a quantidade de equilíbrio é 2200 e o 
preço de equilíbrio é R$58,00. 
 
3.13 – Outros modelos econômicos de 1º. Grau 
 
Função custo 
A função custo C = C(x) representa o custo total para produzir uma quantidade x 
de algum bem. Os custos de produção podem ser divididos em duas partes: custos fixos, 
que não dependem da quantidade produzida, como, por exemplo, aluguel e seguros, e 
custo variável, que depende de x, como, por exemplo, remunerações e custos de matéria 
prima. Assim, pode-se escrever: 
Custo total = custo fixo + custo variável 
 
Exemplo 
Considere uma indústria que fabrica bolas de basquete. A fábrica e o maquinário 
necessário para o início da produção são custos fixos, visto que tais custos existem mesmo 
que nenhum item seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois 
dependem do número de bolas fabricadas. 
Solução Suponha que, para essa indústria, o custo fixo seja R$ 72000,00 e os 
custos variáveis sejam de R$ 30,00 por bola de basquete. Então, o custo total C para 
fabricar x bolas de basquete é: 
C = 72000 + 30x 
cujo gráfico é uma semi-reta. 
 
Função receita 
 
 
 
 
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A função receita R = R(x) é definida como o produto do preço de venda p de uma 
mercadoria, pela quantidade vendida x da mesma. 
R = p . x 
Se o preço não depende da quantidade vendida, a função R = px é do 1º. grau. Em 
circunstâncias normais, p e x são não negativos, o mesmo acontecendo com R. 
Exemplo 
Se bolas de basquete foram vendidas por R$ 120,00, esboçar o gráfico da função 
receita. 
Solução A função receita é R = 120x. O gráfico dessa função é uma semi-reta 
pela origem, com inclinação igual ao preço da mercadoria. O seu gráfico está esboçado na 
FIGURA 45. 
 
FIGURA 45. Gráfico da função receita R = 120x 
 
Função lucro 
O lucro total obtido por uma empresa na operação de um negócio é a diferença 
entre o total arrecadado e o custo total envolvido, isto é: 
L(x) = R(x) – C(x) 
O ponto crítico para uma empresa é o valor de x em que o lucro é zero, ou seja, 
quando a receita é igual ao custo. 
Exemplo 
Achar a função lucro da indústria de bolas de basquete, esboçar o seu gráfico e 
determinar o ponto crítico. 
Solução Como R = 120x e C = 72000 + 30x, então a função lucro é dada por: 
L = R – C = 120x – (72000 + 30x) = 120x – 72000 – 30x = 90x – 72000 
O ponto crítico é obtido fazendo L = 0: 
 
 
 
 
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L = 0 ⇒ 90x – 72000 = 0 ⇒ 90x = 72000 ⇒ x = 800 
isto é, o ponto crítico é x = 800. 
O gráfico da função lucro está esboçado a seguir. 
 
FIGURA 46. Lucro para a empresa fabricante de bolas de basquete 
 
3.14 - Função polinômio do segundo grau ou função quadrática 
 
É a função f: R → R definida por: 
f(x) = a x2 + b x + c 
com a, b, c ∈ R e a ≠ 0. 
O domínio da função é D(f) = R. O gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Se a > 0, a parábola tem a concavidade 
para cima e se a < 0, a concavidade é para baixo. O valor ∆ = b2 – 4 a c é chamado 
discriminante . Tem-se: 
i) Se ∆ > 0 a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos 
 P1 





 ∆−−
0,
2a
b e P2 





 ∆+−
0,
2a
b 
onde 
a
b
2
∆±− são os zeros ou raízes da função. 
 ii) Se ∆ = 0, a parábola tangencia o eixo no ponto 




 −
0,
2a
b
. 
 iii) Se ∆ < 0, a parábola não intercepta o eixo x. 
 
O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas 




 ∆−−
aa
b
4
,
2
, o qual é um ponto 
de máximo, se a < 0, ou é um ponto de mínimo, se a > 0. 
Levando-se em conta o sinal do coeficiente a e do discriminante∆ , as 
possibilidades para o gráfico de uma função quadrática são as seguintes: 
 
 
 
 
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FIGURA 47. Funções quadráticas ou de 2º grau 
 
Observando os gráficos, constata-se que o conjunto imagem de uma função 
quadrática é: 
i) ]- ]
4
,
a
∆−
∞ se a < 0 ii) [ , [
4a
−∆
+∞ se a > 0 
 
 
Exemplos 
1) Construir o gráfico da função quadrática f(x) = x2 – 5x + 6. 
O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 1 > 0. 
Como ∆ = b2 –4ac = 1 > 0, a parábola intercepta o eixo x nos pontos de abscissas: 
x1 = 2
2
15
=
−
 e x2 = 3
2
15
=
+
 
O vértice V da parábola tem coordenadas: xV = 
2
5
2
=
−
a
b
 e yV = 
4
1
4
−
=
∆−
a
. 
 
 
FIGURA 48. Gráfico da função f(x) = x2 – 5x + 6 
 
 
 
 
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2) Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 4x – 4 
O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois a = –1 < 0. 
Como ∆ = b2 –4ac = 0, a parábola tangencia o eixo x no ponto de abscissa: 
x = 2
2
4
=
−
−
 
Este ponto também é o vértice da parábola. 
Para esboçar o gráfico, construiu-se uma tabela atribuindo valores em torno do 
valor x = 2 . 
 
 FIGURA 49. Gráfico da função f(x) = – x2 + 4x – 4 
 
3) Construir o gráfico da função quadrática f(x) = 2x2 – 4x + 3. 
O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 2 > 0. 
Como ∆ = b2 – 4ac = –8 < 0, a parábola não intercepta o eixo x. O vértice V da parábola 
tem coordenadas: 
xV = 1
2
=
−
a
b
 e yV = 1
4
=
∆−
a
. 
Construindo uma tabela com valores de x em torno de xV = 1, obtém-se: 
 
FIGURA 50. Gráfico da função f(x) = 2x2 – 4x + 3 
4) Um terreno retangular deve ser cercado por todos os lados menos um, onde 
existe um muro já edificado. Para os outros, será usado um rolo de 25 metros de tela de 
arame. Determinar quais devem ser as dimensões do terreno para que sua área seja 
máxima. 
Solução Sendo x e y as dimensões do terreno, tem-se: 
x f(x) 
0 -4 
1 -1 
2 0 
3 -1 
4 -4 
x f(x) 
-1 9 
0 3 
1 1 
2 3 
3 9 
 
 
 
 
 
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2x + y = 25 ⇒ y = 25 – 2x 
A área do terreno é: 
A = x(25 – 2x) = –2x2 + 25x 
O gráfico desta função é uma parábola e, como a = –2 < 0, o seu vértice é um 
ponto de máximo. O valor de x para o qual A é máximo é dado por: 
 
x = 
25 25
6,25
2 2.( 2) 4
b
a
− −
= = =
−
 
 
o que implica: 
y = 25 – 2x = 26 – 2 . (6,25) = 25 – 12,5 = 12,5 
 
Portanto, as dimensões do terreno que maximizam a área são 6,25m e 12,5m. 
 
5) Um tanque vai ser construído e deve ter 1m de altura e formato de um bloco 
retangular. O seu comprimento deve superar a largura em 2m. O preço de 
construção do tanque é de R$ 60,00 o metro cúbico. Com que largura o preço 
total desse recipiente ultrapassará R$ 900,00? 
Solução O volume do tanque é dado em função da largura x por V = 1 . x .(x + 2), 
ou seja, V = x2 + 2x metros cúbicos. 
Como o custo do metro cúbico é R$ 60,00 então o custo total C é dado por C = 
60(x2 + 2x). Assim, deve-se resolver a inequação do segundo grau 60(x2 + 2x) > 900, isto 
é, 60x2 + 120x – 900 > 0, ou ainda, x2 + 2x – 15 > 0. 
Calculando as raízes da função f(x) = x2 + 2x – 15, obtém-se x = –5 e x = 3. 
 
Esboçando o gráfico de f(x) tem-se: 
 
 
 
 
 FIGURA 51. Gráfico da função f(x) = x2 + 2x – 15 
 
 
 
 
 
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Observando o gráfico da função, vê-se que f(x) = x2 + 2x – 15 é positivo para 
todo x > 3 ou x < -5. Como x é positivo, o preço total ultrapassará a capacidade R$ 
900,00 a partir da largura 3m. 
 
6) A companhia Thermos fabrica um certo tipo de termômetro. Foi estimado que 
o lucro em reais que a companhia pode alcançar na fabricação e venda de x termômetros 
por semana é L(x) = –0,001x2 + 9x – 2000. Determinar quantos termômetros por semana a 
Thermos deve vender para conseguir um lucro superior a 6000 reais. 
Solução Como o lucro deve ser maior do que 6000 reais, então –0,001x2 + 9x – 
2000 > 6000. Dessa maneira, deve-se resolver a inequação: 
–0,001x2 + 9x – 8000 > 0 
 Esboçando o gráfico da função f(x) = –0,001x2 + 9x – 8000 
 
 
 
FIGURA 52. Gráfico da função f(x) = x2 + 8x – 20 
 
vê-se que f(x) é positiva para x entre 1000 e 8000. Assim, o lucro da Thermos será 
maior do que 6000 reais se a fabricação semanal variar no intervalo ]1000, 8000[. 
 
3.15 – Modelos econômicos como funções quadráticas 
 
Viu-se, anteriormente, como obter a função receita quando o preço era constante. 
Muitas vezes, porém, esse não é o caso. Por exemplo, se a função demanda e a função 
custo são lineares, então a receita, que é o produto das duas, é representada por uma 
função de 2º. grau. Isso acontece, em geral, com todos os modelos econômicos. 
 
Exemplos 
1) Em um cinema, constatou-se que o número x de freqüentadores por sessão 
relacionava-se com o preço do ingresso pela fórmula p = 21 – 0,012x. Se o 
cinema possui 300 lugares, determinar quanto deve ser cobrado pelo ingresso 
para que a receita seja máxima. 
 
 
 
 
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Solução A receita é dada por: 
R = 300x (21 – 0,012x) = 6300x – 3,6x2 
que é uma função quadrática, cujo gráfico tem a concavidade voltada para baixo. O valor 
de x que maximiza R é a abscissa do vértice: 
x = 
2
b
a
−
 = 
6300
2.( 3,6)
−
−
 = 875 
Conseqüentemente, o preço é dado por: 
P = 21 – (0,012). 875 = 10,5 
Portanto, o preço do ingresso que maximiza a receita é R$ 10,50. 
2) As funções de demanda e oferta semanais para uma certa marca de barracas 
para acampamento são dadas por: 
p = –x2 – 10x + 900, p = x2 + 20x + 400 
respectivamente, onde x é medido em unidades de centenas e p em reais. 
Achar a quantidade e o preço de equilíbrio. 
Solução Deve-se resolver o sistema de equações: 
2
2
10 900
20 400
x x p
x x p
− − + =

+ + =
 
Substituindo a primeira equação na segunda, vem: 
–x2 – 10x + 900 = x2 + 20x + 400 
que é equivalente a: 
x2 + 15x – 250 = 0 
x = 
15 225 1000 15 1225 15 35
2 2 2
− ± + − ± − ±
= = 
Daí decorre que , x = –25 ou x = 10. Como x deve ser não negativo, descarta-se 
a solução x = –25 e, portanto, a quantidade de equilíbrio é 1000 barracas por semana. 
O preço de equilíbrio é p = 102 + 20 . 10 + 400 = 700, isto é, R$ 700,00. 
 
3.16 - Função polinomial e função racional 
 
Uma função f é chamada função polinomial de grau n se: 
f(x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + ... + an-2 x2 + an-1 x + an 
em que a0, a1, a2, ,,, , an-2, an-1, an são números reais e a0 ≠ 0, para garantir o grau n. 
 
 
 
 
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A função de 1º grau e a função quadrática são casos particulares da função 
polinomial para n = 1 e n = 2, respectivamente. Outros exemplos são: 
f(x) = 3x3 + 2x2 + x - 1 f(x) = x3 f(x) = 2x4 
Uma função polinomial está definida em todo R. Os gráficos de funções 
polinomiais de grau maior ou igual a 3 não se faz, em geral, com recursos elementares; 
utilizam-se, habitualmente, os conceitos de derivadas e limites. 
 
Exemplos 
1) Construir o gráfico da função y = x3. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 53. Gráfico da função y = x3 
 
Tem-se: D(f) = R = Im(f). 
 
2) Construir o gráfico da função y = f(x) = x4 . 
 
 
 FIGURA 54. Gráfico da função f(x) = x4 
 
Em geral, verifica-se que o gráfico da função polinomial y = xn, com n inteiro, 
ímpar e positivo, tem o aspecto da FIGURA 53, enquanto o gráfico de y = xn, com n 
inteiro, par e positivo, tem o aspecto da FIGURA 54. 
 
Uma função racional é aquela que pode ser escrita como quociente de funções 
polinomiais. As funções dadas a seguir são funções racionais: 
f(x)= 
14
753
2
24
+
+−
x
xx
 g(x) = 
6
2
1
811
x
x
+
−
 
x y = x3 
-2 -8 
-1 -1 
0 0 
1 1 
2 8 
x y = x4 
-2 16 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 16 
 
 
 
 
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3) Construir o gráfico da função racional y = f(x) = 
x
1
 
O domínio da função y = 
x
1
 é R*. Quanto maior for o valor de x, mais próximo 
de zero fica o valor de y = 
x
1
; o mesmo ocorre quando x diminui e torna-se muito 
grande em valor absoluto. 
 
Por outro lado, à medida que x se aproxima de zero, por valores positivos, por 
exemplo, assumindo os valores 
10
1
, 
100
1
, 
1000
1
, etc, o valor de y = 
x
1
 se torna cada 
vez maior 10, 100, 1000, etc. De maneira similar, quando x se aproxima de zero por 
valores negativos, y = 
x
1
 se torna cada vez maior em valor absoluto. 
 O gráfico da função y = 
x
1
 é chamado hipérbole e está esboçado abaixo. 
 
FIGURA 55. Gráfico da função y = 
x
1
 
 
 4) Construir o gráfico da função y = 
2
1
x
. 
 
 
 
FIGURA 56. Gráfico da função y = 
2
1
x
 
 
 
x y = 
x
1
 
-2 
-
2
1
 
-1 -1 
1 1 
2 
2
1
 
 
 
 
 
 
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Em geral, verifica-se que, se c é um número real e positivo, então o gráfico da 
função y = 
nx
c
 tem o mesmo aspecto do gráfico da função y = 
x
1
, se n é um número 
ímpar e positivo e, tem o aspecto do gráfico de y = 
2
1
x
, se n é um número inteiro par e 
positivo. 
 
3.17 - Exercícios propostos 
1) Se f(x) = 
1
42
−
−
x
x
, achar: a)f(0) b) f(-2) c) f(–3) d) f(x – 2) 
2) Dada f(x) = |x| - 2x, calcular : a) f(-1) b) f(0.5) c) f(
3
2−
) 
3) Exprimir como função de x: 
 a) o perímetro e a área de um retângulo de largura x cujo comprimento supera a largura 
 em 2 unidades . 
 b) a área de um cubo de aresta x 
 c) a área total de uma caixa de volume dado V, em que a base é um quadrado cujo 
 lado mede x. 
 d) a diagonal de um quadrado com lado de medida x. 
 e) o custo de produção de x unidades de um bem cujo custo fixo mensal de fabricação 
 é R$ 4000,00 e custo variável por unidade é R$ 1200,00. 
f) a receita pela produção de x unidades de uma mercadoria que é vendida a R$ 20,00 
 a unidade . 
4) Dada a função f(x) = 3x – 4, obter: 
a) a raiz da função. 
b) o valor de x tal que f(x) = 8 
c) os valores de x para os quais f(x) > 5 
5) Determinar o domínio das seguintes funções: 
 a) y = 
x−4
1
 b) y = 2−x + 
x−3
3
 c) 
4
4
−
−
x
x
 d) 
65
1
2 +− xx
 
6) Para f(x) = 
x
1
 e g(x) = 
21 x
x
+
, calcular: 
a) f + g b) f - g c) f . g d) g/f e) f o g f) g o f 
7) Dada a função f(x) = mx + 5, determinar m tal que f(2) = 13. 
8) Dada a função f(x) = x2 – 5x + 10, obter os valores de x cuja imagem seja 4. 
 
 
 
 
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9) Escrever a equação dada na forma y = ax + b: 
 a) 2x + 3y = 6 b) –2x + 4y = 7 c) x = 2y – 4 
10) Em cada um dos casos, determinar a fórmula da função inversa: 
 a) y = 3x + 4 b) y = -5x + 4 c) y = 
2−x
x
, x ≠ 2 d) y = x2 – 1, x ≥ 0 
11) Seja f a função definida por f(x) = 



≥+
<+−
112
13
2
2
xsex
xsex
 . Calcular os valores de f(-1), 
 f(0), f(1) e f(2). 
12) Sendo f(x) =
x
1
, calcular : a) f(
4
1
), b) f(x+2), c) f(x2). 
13) Esboçar os gráficos das funções: 
 a) y = f(x) = 4 b) y = f(x) = -x + 3 c) y = f(x) = 4 – 5x 
 d) f(x) = 



<
≥
0
02
xsex
xsex
 e) f(x) =



<
≥+
13
112
xse
xsex
 f) f(x) = 
1, 1
1, 1
x
x
≥
− <
 
14) Obter as funções, dados os seus gráficos: 
15) Esboçar os gráficos das seguintes funções: 
 a) y = x2 –3x + 2 b) y = -x2 + 7x –12 c) y = 9 – x2 
 d) y = x2 – 4x + 4 e) y = 



<−
≥
0
02
2
2
xsex
xsex
 f) y = 



<
≥
0
01
2 xsex
xse
 
16) Resolver em R as inequações: 
 a) –x2 – 6x – 5 < 0 b) x2 + x + 1 ≥ 0 c) –x2+ 5x – 6 ≤ 0 
17) Função modular) A função f dada por y = f(x) = |x| chama-se função valor 
absoluto ou função modular. Lembrando a definição de valor absoluto, tem-se para 
todo x real: 
f(x) = 



<−
≥
0,
0,
xsex
xsex
 
Pela própria definição, , seu gráfico coincide com a reta y = x se x ≥ 0 e com 
a reta y = -x se x < 0 e , assim, é fácil a sua representação geométrica. 
 
 
 
 
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Esboçar os gráficos das seguintes funções modulares: 
a) y = |x – 2| b) y = – | x | c) y = |x + 2| 
18) Dentre as equações abaixo, quais podem representar funções demanda e quais podem 
 representar oferta? 
 a) p = 3 – 5x b) p = 15 + 2x c) p – 7x + 11 = 0 d) 5p + 9x – 80 = 0 
19) São dadas as equações de demanda e oferta de uma mercadoria. Obter a quantidade e 
o preço de equilíbrio. 
 a) x + 2p – 15 = 0; x – 3p + 5 = 0 b) 3x + p – 21 = 0; 3x – 4p + 9 = 0 
 c) x = 10 – p2; x = p2 – 8 d) x = 91 – p2; x = p2 + p –14 
20) Na produção de uma peça, uma indústria tem um custo fixo de 2000 reais mais um 
 custo variável de 30 reais por unidade produzida. Representando por x o número de 
 unidades produzidas, 
 a) obter a lei que define a função custo. 
 b) Qual é o custo total para produzir 500 peças? 
21) Considere o gráfico da função f mostrado na figura. 
 
 
a) Determinar f(0). 
b) Determinar os valores de x para os quais : i) f(x) = 3, ii) f(x) = 0 
c) Determinar o domínio e a imagem de f 
x y = | x | 
-2 2 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 2 
 
 
 
 
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118 
 
22) O gráfico cartesiano é o de uma função y = f(x). 
a) Em que intervalos a função é crescente? E decrescente? 
b) Qual é domínio de f? 
c) E o conjunto imagem? 
d) Qual é o valor máximo dessa função? Para que valor de x isso ocorre? 
e) Qual é o valor mínimo dessa função? Para que valor de x isso ocorre? 
f) Qual é a variação de y quando x varia de 3 a 5 ? 
g) Quais os valores de x para os quais y = 2 ? 
23) O gráfico de uma função de 1º grau é dado na figura. Avaliar f(0), f(1), f(3). 
 
24) Usar o teste da reta vertical para verificar se cada gráfico representa y como função 
 de x. 
 
25) Função par e função ímpar Seja f uma função cujo domínio é simétrico em relação 
 à origem O, isto é, se x pertence ao domínio de f, então –x também pertence ao 
 domínio de f. Diz-se que: 
 i) f é uma função par se, para todo x no domínio de f, tem-se f(–x) = f(x). 
ii) f é uma função ímpar se, para todo x no domínio de f, tem-se f(-x) = –f(x). 
Verificar se são pares ou ímpares as seguintes funções: 
a) f(x) = x2 b) f(x) 4x3 + 3x c) f(x) = x + 2 
 
 
 
 
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119 
 
26) Um terreno retangular tem área 143m2 e comprimento da base 2 unidades a mais 
 do que a largura. Quais são as dimensões do retângulo? 
27) A moeda de um certo país é o Star, indicado por S. O imposto de renda y é uma 
 função contínua da renda x, calculada anualmente do seguinte modo: 
 i) Se x ≤ 12000, o contribuinte S está isento de imposto. 
 ii) Se 12000 < x ≤ 27000, calcula-se 15% de x e, do valor obtido, subtrai-se 1900 S. 
 iii) Se x > 27000, calcula-se 27,5% de x e, do valor obtido, subtrai-se 5500 S. 
 Pergunta-se: 
 a) A lei que define a função y = f(x). 
 b) Quanto pagará de imposto um pessoa que receber 9000 S ? 
 c) Quanto pagará de imposto um pessoa que receber 15000 S ? 
 d) Quantopagará de imposto um pessoa que receber 30000 S ? 
 28) Um parque de diversões cobra R$ 10,00 a entrada, além de R$ 2,00 para cada diversão. 
 a) Achar a receita R(x) como função do número x de diversões. 
 b) Achar R(4) e R(8) 
29) Uma empresa que produz bonés tem um custo fixo de R$ 1500,00 e um custo variável 
 de R$ 5,00 por boné. A empresa vende os bonés a R$ 15,00 cada. 
 a) Achar as fórmulas para a função custo, para a função receita e para a função lucro. 
 b) Qual é o lucro na venda de 500 bonés? 
30) A demanda de um produto é dada por x = 1500 – 20p. 
 a) Determinar o intervalo de variação de p. 
 b) Determinar o intervalo de variação de p. 
 c) Obter o valor da demanda correspondente ao preço p = R$ 35,00. 
 d) A que preço a demanda é de 600 unidades? 
 e) A que preço a demanda varia entre 500 e 600 unidades? 
31) Se as funções de oferta e demanda são dadas pelas equações x = 3p – 50 e x = 
 100 – 2p, respectivamente, achar o preço e a quantidade de equilíbrio. 
32) Uma padaria produz um certo tipo de bolo, de tal maneira que sua função oferta 
diária é p = 12 + 0,3x. 
 a) Qual o preço para que a oferta seja de 30 bolos por dia? 
 b) Se o preço unitário for R$ 18,00, qual a oferta diária? 
33) Um representante comercial recebe mensalmente um salário composto de duas partes: 
 uma fixa de R$ 1500,00 e uma parte variável correspondente a 8% do total de vendas 
 que ele faz durante o mês. Indicando-se por x o total de vendas de suas vendas do mês 
 
 
 
 
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 a) Obter a lei da função que representa o seu salário 
 b) Se sua venda mensal for de R$ 9000,00, qual será o seu salário? 
34) Num estacionamento para carros, o preço diário cobrado é 10,00 e, a esse preço, 
 estacionam 60 carros por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00 estacionarão 80 carros. 
 Supondo a função demanda de 1º. grau, obter essa função. 
35) Se produz 12 unidades de um certo produto, uma empresa tem custo de R$ 6000,00. 
 Quando são produzidas 18 unidades, o custo é R$ 7200,00. Achar a função custo, se 
 ela é do 1º. grau. 
36) Um eletricista X cobra, por serviço realizado, uma quantia fixa de R$ 80,00, mais R$ 
 40,00 por hora trabalhada. Um outro eletricista Y cobra pelo mesmo serviço um valor 
 fixo de R$ 60,00, mais R$ 50,00 por hora trabalhada. A partir de quantas horas de 
 de serviço é preferível o eletricista X ao eletricista Y ? 
37) Uma firma que vende estantes de aço consegue vender 800 estantes quando o preço 
 preço é R$ 150,00. Além disso, sabe-se que, a cada redução de R$ 30,00 no preço, a 
 companhia consegue vender mais 200 estantes. Sendo linear a equação de demanda: 
 a) Encontrar essa equação. 
 b) Esboçar o gráfico da curva de demanda. 
38) Um produtor oferta 400 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é R$ 
 25,00. Para cada aumento de R$ 1,00 o preço, 60 unidades a mais são ofertadas. Obter 
 a equação de oferta, supondo que ela seja de 1º. grau. 
39) Espera-se que as vendas anuais da empresa Alfa sejam de V(t) = 2,3 + 0,4t mil reais 
 aqui a t anos, ao passo que as vendas anuais da empresa Beta sejam dados por V(t) = 
 1,2 + 0,6t mil reais daqui a t anos. Daqui a quantos anos as vendas da empresa Beta 
 ultrapassarão as vendas anuais de Alfa? 
40) Uma firma tem custo fixo mensal de R$ 40000,00. O preço unitário de venda de um 
produto é R$ 12,00 e o custo variável por unidade é R$ 8,00; 
 a) Obter a função lucro mensal 
 b) Qual é a função que define o lucro líquido mensal se o imposto de renda cobrado 
 for de 25% do lucro? 
41) O preço de venda de uma peça é R$ 50,00. O custo variável por unidade é R$ 20,00 e 
o custo fixo mensal R$ 5000,00. Quantas unidades devem ser vendidas por mês para 
se obter um lucro líquido de R$ 2000,00, sabendo-se que, sobre o lucro, incide um 
imposto de renda de 20% ? 
 
 
 
 
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121 
 
42) Depreciação linear Devido ao desgaste, obsolescência e outras causas, o preço de um 
bem perde valor com o tempo. Essa perda de valor chama-se depreciação. 
 Suponha que, atualmente, o valor de um bem é R$ 60000,00 e estima-se que, 
daqui a 10 anos, seja R$ 2500,00. Considerando que o valor decresça linearmente com 
o tempo, obter : 
 a) A fórmula que dá o valor V = V(t) do bem em função do número de anos t, 
desde que o bem foi comprado. 
 b) Qual o valor do bem daqui a 12 anos? 
43) Um equipamento foi comprado por R$ 20000,00 e vendido 10 anos depois por R$ 
3000,00. Admitindo que a depreciação seja uma função de 1º. grau: 
 a) Obter a fórmula para a função depreciação 
 b) Qual o valor do equipamento depois de 11 anos de comprado? 
44) Um certo aparelho de R$ 12000,00 se deprecia linearmente em 15 anos. 
 a) Achar a fórmula para seu valor como função do tempo. 
 a) Achar o valor do aparelho 5 anos depois de adquirido. 
45) Segundo o economista inglês Keynes ( 1883 – 1946), a demanda por moeda para fins 
especulativos é função da taxa de juros. Suponha que, em um determinado país, a 
quantia y (em bilhões) que as pessoas mantêm para fins especulativos seja dada 
pela fórmula y = 
12
4x −
, x > 4, onde x é a taxa percentual de juros. 
 a) Esboçar o gráfico da função 
 b) Qual é a demanda por moeda se a taxa for de 7% ao ano? 
46) A lei de distribuição de renda de uma população pode ser modelada por y = 
K
xα
, onde 
x é a renda de um cidadão da população, y é o número de pessoas com renda maior ou 
igual a x e K e α são constantes. Esta lei é conhecida como a lei de distribuição de 
renda de Pareto. 
 Dada a lei de distribuição de renda de uma certa população y = 
8
1,5
3.10
x
: 
 a) Quantas pessoas ganham por mês, pelo menos R$ 10000,00? 
 b) Qual a menor renda das 1500 pessoas com renda mais alta? 
 
 
 
 
 
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47) Custo médio O custo médio da produção de cada unidade de um produto é obtido 
dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas. Sendo Q(x) o custo 
médio, tem-se Q(x) = 
( )C x
x
, onde Q(x) é chamada função custo médio. 
 Suponha que C(x) = 3x + 1 seja o custo total de produção de x unidades de 
uma certa mercadoria: 
 a) Obter a função custo médio Q(x) 
 b) Esboçar o gráfico da função Q(x) 
48) Um produto tem função custo C(x) = 2x – 3. 
 a) Obter a função custo médio Q(x) 
 b) Esboçar o gráfico da função Q(x) 
49) São dadas as equações de demanda e oferta de uma mercadoria. Achar a quantidade e o 
 preço de equilíbrio. 
 a) p = 81 x− , 8x = 48 + p2 b) p = 
1
x
, x = 3p + 2 
 50) Inequações produto e quociente A partir do estudo dos sinais, pode-se resolver 
 inequações que envolvem produtos e quocientes de funções polinomiais de 1º. e 2º. 
 graus. 
 Por exemplo, resolver a inequação: 
 (–x2 +2x + 3) (x – 2) < 0 
Solução Deve-se entender o primeiro fator como uma função de segundo 
grau, f(x) = –x2 +2x + 3 e o segundo fator como uma função de 1º grau, g(x) = x – 2 
e, assim, pretende-se determinar todos os valores x ∈ R para os quais f(x) . g(x) < 0, 
ou seja, o produto deve ser negativo. 
Analisando os sinais de f(x) = –x2 + 2x + 3 e g(x) = x – 2, tem-se: 
 
 
 
 
 
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123 
 
É construído um quadro que mostre simultaneamente os sinais de f(x) e g(x) e, 
também, os valores de x para os quais esse produto é nulo 
 
Olhando para o quadro de sinais simultâneos das funçõesf(x) = –x2 + 2x + 3 e 
g(x) = x – 2 conclui-se que (–x2 +2x + 3) (x – 2) < 0 se –1 < x < 2 ou x > 3. 
51) Resolver em R as inequações: 
a) (x – 1)(2x – 1) > 0 b) 1
41
12
≥
−
+
x
x
 c) 0
34
56
2
2
≥
+−
−+−
xx
xx
 
d) (x2 – 7x + 12)(7x – x2) ≥ 0 e) 0
4
1
2
2
≤
−
++
x
xx
 f) (x2 – 9)(3 – x) < 0 
52) O lucro y de uma empresa fabricante de certo produto é expresso pela fórmula y = 
 –x2 + 9x – 20, onde x é o preço de venda de cada unidade em milhares de reais. Para 
 que valor de x o lucro é máximo? 
53) Determinar a área máxima de um retângulo de 20m de perímetro. 
54) Para cercar um terreno retangular em cujo fundo existe um muro retilíneo dispõe-se 
 de uma tela de arame de 400m de comprimento. Determinar: 
a) As dimensões da cerca para que a área cercada seja máxima. 
b) A área máxima. 
 
Respostas dos exercícios propostos 
1) a) 4 b) 0 c) –1,25 d) 
3
42
−
−
x
xx
 2) a) 3 b) –0,5 c) 2 
3) a) perímetro = 4x + 4 área = x2 + 2x b) 6x2 c) 22
4
x
x
V
+ d) x 
 e) 40000+1200x f) 20x 
4) a) 
3
4
 b) 4 c) x > 3 5) a) R – {4} b) [2, 3[ c) ]4, + ∞ [ d) R – {2, 3} 
6) a) 
3
221
xx
x
+
+
 b) 
3
1
xx +
 c) 
21
1
x+
 d) 
2
2
1 x
x
+
 e) 
x
1
+ x f) g(x) 
 
 
 
 
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124 
 
7) m = 4 8) 2, 3 9) a) y = – 2
3
2
+x b) y = 
1 7
2 4
x + c) a) y = 2
2
1
+x 
10) a) y = 
3
4−x
 b) y = 
5
4+− x
 c) y = 
2
, 1
1
x
x
x
≠
−
 d) y = x+1 
11) a) 2 b) 3 c) 3 d) 9 12) a) 4 b) 
2
1
+x
 c) 
2
1
x
 
14) a) y = 2 –
2
3
x b) y = x
3
2
 + 1 16) a) x < –5 ou x > –1 b) R c) x ≤ 2 ou x ≥ 3 
17) f(x) = x(40 – x) , 0 < x< 40 18) a) demanda b) oferta c) oferta d) demanda 
19) a) p = 4, x = 7 b) p = 6, x = 5 c) p = 3, x = 1 d) p = 7, x = 42 
20) a) p = 2000 + 30x b) 17000 reais 
21) a) –5 b) i) 4 ii) 1 c) Domínio= [0,4], imagem = [–5, 3,2] 
22) a) crescente em ]1, 3[, decrescente em ] –1, 0[ ou ]3, 6[ b) [–1, 6] c) [0, 5] 
 d) 5, x = 3 e) 0, x = 6 f) de 2 a 5 g) [0, 1] 23) a) 4 b) 7 c) 13 
24) a) sim b) sim c) não 25) a) par b) ímpar c) nem par nem ímpar 
26) comprimento 13m e largura 11m 27) a) y = 0, se x ≤ 12000, y = 0,15x – 1900 se 
12000 < x ≤ 27000, y = 0,275x – 5500 se x > 27000 b) 0 c) 350 S d) 2750 S 
28) a) R = 10 + 2x b) R(4) = 18, R(8) = 26 
29) a) C = 1500 + 5x, R = 15x, L = 10x – 1500 b) R$ 3500,00 
30) a) [0, 75] b) [0, 1500] c) 800 d) R$ 450,00 e) 45 < p < 50 
31) p = 30, x = 40 32) a) 21, b = 20 33) a) 1500 + 0,08x b) 2220 reais 
34) p = –0,25x + 35 35) C = 200x + 3600 36) 2h 37) a) p = 
3
20
−
x + 270 
38) p = 
1 55
60 3
x + 39) 5,5 anos 40) a) 4x – 40000 b) 3x – 30000 
41) R$250,00 42) a) V = –3500t + 60000 b) R$ 180,00 
43) a) V = 2000 - 1700t b) R$ 1300,00 44) a) V = -800t + 12000 b) R$ 8000,00 
45) 4 bilhões 46 a) 300 b) R$ 3500,00 47) a) Q(x) = 3 + 
1
x
 
48) a) Q(x) = 2 – 
3
x
 49) a) p = 8,16; x = 14,33 b) p = 0,33; x = 3 
51) a) x < 
1
2
 ou x > 1 b) 0 ≤ x < 
1
4
 c) 3 < x ≤ 5 d) 0 ≤ x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 7 
 e) x < –2 ou x > 2 f) x > –3, x ≠ 3 52) R$ 4500,00 
 53) 25m2 54) 100m e 200m 
 
 
 
 
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125 
 
Capítulo 4 
Função exponencial, função logarítmica 
e funções trigonométricas 
 
 
 
Admita-se que a quantidade de uma determinada substância esteja crescendo 10% 
ao mês. Isso quer dizer que, daqui a um mês, uma quantidade original Q se transformará 
em um valor 1,1Q; daqui a dois meses, num valor (1,1)2Q; daqui a três anos em (1,1)3Q e, 
assim, sucessivamente. Desse modo, a quantidade acumulada ao final de x meses é descrita 
pela função abaixo, denominada função exponencial: 
 
y = (1,1)x Q 
Suponha, agora, que se quisesse saber em quantos meses se terá o dobro da 
quantidade total inicial Q. Para responder essa questão, é necessário calcular o número x de 
meses em (1,1)x Q = 2 Q, ou seja, resolver a equação (1,1)x = 2. 
Para se poder resolver esse tipo de equação, é preciso lançar mão de um 
instrumento matemático chamado logaritmo. 
Neste capítulo, tratar-se-á do estudo da função exponencial e de sua inversa, a 
função logarítmica. Vários tipos de funções exponenciais e logarítmicas são apropriados 
para representar curvas de oferta e demanda. Funções de custo exponenciais que 
representam o custo total como uma função do número de unidades produzidas também 
são utilizadas com freqüência. 
Será feita, ainda, uma introdução à trigonometria. As funções trigonométricas, em 
especial o seno e o cosseno, além de muito importantes em Matemática, são importantes 
também no estudo de diversos problemas que estabelecem relações entre medidas de 
ângulos e lados nos triângulos retângulos. Muitos fenômenos econômicos podem ser, em 
parte, descritos pelas funções seno e cosseno como, por exemplo, ciclos de negócio e 
variações sazonais. 
 
4.1. Potência de expoente real 
 
 
 
 
 
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126 
 
Estudou-se, no capítulo 1, potências com expoentes racionais. Se o expoente x for 
um número irracional, pode-se definir ax para a > 0. Por exemplo, pode-se definir 3 2 . 
Mas o que isso significa? É claro que não faz sentido multiplicar 3 por ele mesmo 2 
vezes. Também, como 2 não se escreve na forma 
n
m
 com m ∈ Z e n ∈ N*, a definição 
anterior não se aplica. 
3 2 é um número definido com um valor específico e isso não é de maneira 
óbvia. Um procedimento natural que se utiliza é o fato de que todo número irracional pode 
ser aproximado tanto quanto se queira por números racionais. Por exemplo, 3 2 é 
aproximadamente igual a 3 41,1 e, com melhor precisão, 3 414,1 aproxima 3 2 e, assim, por 
diante. Como 1,41 = 
100
141
 é um número racional, 31,41 é um caso do tipo 3
n
m
 acima. O 
mesmo se aplica a 31,414. Assim, 3 2 é encontrado por aproximações por números 3
n
m
 para 
certos racionais 
n
m
, ou seja, define-se 3 2 como o número real para o qual se aproximam 
os elementos do conjunto: 
{ 31,4, 3 41,1 , 3 414,1 , ...} 
potências positivas de expressões racionais, aproximações de 2 . Praticamente, nos 
cálculos, 3 2 é substituído por valores aproximados, pertencentes a este conjunto de 
aproximações. O resultado é que se pode definir ax para todo a > 0 e todo número real x. 
Para potências de expoentes reais, pode-se provar que ainda continuam 
verdadeiras as propriedades: 
E1) ax . ay = ax+y E2) (ax) y = ax.y, 
E3) (a.b)x = ax . ay E4) ax : ay = ax-y, 
 E5) x
xx
b
a
b
a
=




 
para todo a, b ∈ R *+ , x, y ∈ R. 
 
 Exemplos 
4−π = 
4
1
π
 e π+5 : e π+4 = e )4()5( ππ +−+ = e 
8
2
2 




 = ( ) 162 = ( )42 = 42 = 22 = 4 
 
 
 
 
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127 
 
10 32+ . 10 32− = 10 )32()32( −++ = 104 = 10000 
 
4.2. Equação exponencial 
 
Uma equação é chamada equação exponencial quando a incógnita a ser 
determinada aparece como expoente. 
• A equação exponencial mais simples é da forma ax = b, onde a e b são 
constantes positivas. Facilmente se resolve a referida equação quando b é uma 
potência de a. 
 
Exemplos: 
a) Resolver a equação exponencial 2x = 64. 
2x = 64 ⇔ 2x = 26 ⇔ x = 6 
b) Resolver a equação3 1
2 −x = 27. 
3 1
2 −x = 27 ⇔ 3 1
2 −x = 33 ⇔ x2 – 1 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 2 
 
• Há outros tipos que se reduzem ao anterior, conforme será mostrado através de 
alguns exemplos. 
 
Exemplo 
a) Resolver 22x+3 + 22x+2 - 22x = 88 
 Solução Pelas propriedades das potências, tem-se: 
22x+3 + 22x+2 – 22x = 88 ⇔ 22x (8 + 4 – 1) = 88 ⇔ 22x . 11 = 88 
 ⇔ 22x = 
11
88
 ⇔ 22x = 23 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 
2
3
 
 
b) Resolver a equação 32x+1 - 12 . 3x + 9 = 0. 
Solução A equação se escreve como 3 . 32x – 12 . 3x + 9 = 0, isto é, trata-se de 
uma equação da forma A a2x + B ax + C =0 . Fazendo a substituição 3x = y, tem-se a 
equação do segundo grau: 
3y2 – 12y + 9 = 0, ou ainda, y2 – 4y + 3 = 0 
de onde segue que y = 1 ou y = 3. Visto que 3x = y, pode-se escrever 3x = 1 ou 3x = 3 
e, portanto, x = 0 ou x = 1. 
 
4.3. Função exponencial 
 
 
 
 
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128 
 
Se a é real, positivo e a ≠ 1, a função exponencial com base a é a função f 
definida em R, pela sentença: 
y = f(x) = ax 
As funções f(x) = 2x, g(x) = ( 3 )x , h(x) = 
x






7
4
, r(x) = (0,9)x são exemplos de 
funções exponenciais. 
Observe que, se a = 1, então f(x) = 1x = 1 é uma função constante. Por esse motivo 
foi imposto na definição a condição a ≠ 1. 
A partir de y = ax e considerando que a pertence a um dos intervalos 0 < a < 1 
ou a > 1, pode-se verificar que o gráfico de uma função exponencial assume aspectos 
distintos em cada um desses intervalos. Serão observados esses aspectos, considerando os 
gráficos das funções: 
 
FIGURA 57. Gráfico de y = 2x 
FIGURA 58. Gráfico de y = 
x






2
1
 
Em geral, a função y = ax , a > 1 tem o gráfico semelhante a y = 2x , enquanto 
que o gráfico de y = ax , 0 < a < 1 tem o gráfico semelhante a y = 
x






2
1
. 
x y = 2x 
-2 
4
1
 
-1 
2
1
 
0 1 
1 2 
2 4 
 
 
x 
x





2
1 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 
2
1
 
2 
4
1
 
 
 
 
 
 
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129 
 
A análise dos gráficos fornece as seguintes propriedades das funções 
exponenciais: 
 
a) O seu domínio é R e a sua imagem é ]0, + ∞ [. 
b) O ponto (0, 1) pertence ao gráfico da função. 
c) A função f(x) = ax é crescente, se a > 1, e decrescente, se 0 < a < 1. 
d) Se a > 1, então ax se aproxima de zero à medida que x decresce ilimitadamente. 
e) Se 0 < a < 1, então ax se aproxima de zero à medida que x cresce 
ilimitadamente. 
 
4.4. Inequação exponencial 
 
Do fato de f(x) = ax ser crescente, se a > 1, e decrescente, se 0 < a < 1, conclui-se 
que: 
• Se a > 1, então ax > ay ⇔ x > y 
• Se 0 < a < 1, então ax > ay ⇔ x < y 
 
Essas propriedades são importantes para se resolver inequações exponenciais. 
Exemplos 
a) Resolver a inequação 9x > 
81
1
. 
 Solução Reduzindo os dois membros da desigualdade à base 3, a inequação se 
transforma em: 
32x > 3-4 
Em virtude de a base ser maior do que 1, conserva-se o sentido da desigualdade 
para os expoentes, ou seja: 
 
32x > 3-4 ⇔ 2x > –4 ⇔ x > –2 
b) Resolver a inequação 
xx 42
2
1
+





 ≥ 8. 
 Solução Como 8 = 
3
2
1 −





 , a desigualdade dada pode ser escrita como: 
xx 42
2
1
+





 ≥ 
3
2
1 −





 
 
 
 
 
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130 
 
Como a base é 
2
1
, um número entre 0 e 1, inverte-se o sentido da desigualdade 
para os expoentes, isto é: 
xx 42
2
1
+





 ≥ 
3
2
1 −





 ⇔ x2 + 4x ≤ –3, ou ainda, x2 + 4x + 3 ≤ 0. 
Resolvendo esta inequação quadrática, obtém-se –3 ≤ x ≤ –1. 
 
4.5. Algumas aplicações da função exponencial 
 
Modelos matemáticos envolvendo as funções exponenciais ocorrem em muitos 
campos. São apresentados, a seguir, alguns deles. 
 
1) Crescimento exponencial A função f(t) = B akt, t ≥ 0 onde B, k e a são constantes 
positivas, têm crescimento exponencial. É um modelo matemático de uma grandeza 
f(t) que, inicialmente, vale f(0) = B e cuja taxa de crescimento em qualquer instante t é 
diretamente proporcional ao seu valor inicial. 
 
Exemplo 
 Viu-se, no início do capítulo, que uma quantia C aplicada hoje, a 10% ao ano, se 
transformará daqui a t anos no valor y = C (1,1)t. Desse modo, o montante do investimento 
cresce exponencialmente. 
 Portanto, uma quantia de R$ 2000,00 aplicada a 10% ao ano, se transformará 
daqui a 3 anos em: 
y = 2000 . (1,1)3 = 2662 
ou seja, em R$ 2662,00. 
 
2) Decaimento exponencial Ao contrário do crescimento exponencial, uma grandeza 
apresenta um decaimento exponencial se ela decresce a uma taxa diretamente 
proporcional ao seu valo r inicial. Tal grandeza pode ser descrita por f(t) = B a-kt, t ≥ 0 
onde B, k e a são constantes positivas. 
 
Exemplo 
Um equipamento sofre uma depreciação exponencial de modo que seu valor 
daqui a t anos será y = 8000 . 2-t. Qual seu valor daqui a 4 anos? 
 
 
 
 
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131 
 
Solução Quando t = 4, tem-se que y = 8000 2-4 = 500. Portanto, daqui a 4 anos o 
valor do equipamento será R$ 500,00. 
 
3) Curva de aprendizagem Psicólogos e educadores constataram a relação existente entre 
a eficiência de um indivíduo e a competência de uma pessoa ao executar uma tarefa. A 
curva básica para esse tipo de estudo é da forma f(x) = C – B ekx , onde B, C e k são 
constantes positivas. 
 
Exemplo 
Suponha que a eficiência de um operário de uma determinada fábrica seja dada 
por f(t) = 100 – 60 e-0,2 t onde o operário pode completar f(t) unidades estando no trabalho 
por t meses. Quantas unidades diárias podem ser produzidas por um operário com 6 meses 
de experiência? 
Solução Vai-se obter f(6). Então: 
f(6) = 100 – 60 e(-0,2) . 6 = 100 – 60 e-1,2 = 82 
Logo, o operário pode produzir 82 unidades. 
 
4) Juros compostos Suponha que uma certa quantia C seja depositada num banco 
 que paga juros à taxa anual r. Assim: 
• daqui a 1 ano, a conta terá : 
 y1 = C + rC = C(1 + r) 
• daqui a 2 anos, a conta terá: 
 y2 = y1 + ry1 = C(1 + r) + rC(1 + r) = C(1 + r)(1 + r) = C(1 + r)2 
• daqui a 3 anos, a conta terá: 
 y3 = y2 + ry2 = C(1 + r)2 + rC(1 + r)2 = C(1 + r)2(1 + r) = C(1 + r)3 
Assim, se o juro for capitalizado uma vez por ano, depois de t anos, a conta terá: 
y = C(1 + r)t 
 
 De um modo geral, esse modelo se aplica se se tiver uma grandeza com valor 
inicial y0, que cresça a uma taxa igual a k por unidade de tempo. Dessa maneira, após um 
tempo t, medido na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza y será dado por: 
y = y0(1 + k)t 
 
 
 
 
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132 
 
Exemplos 
a) Se R$ 4000,00 são depositados numa conta bancária que rende 8% de juros 
anuais compostos, quanto haverá na conta ao final de 3 anos? 
Solução Tem-se: 
y = C(1 + r)t = 4000 (1 + 0,08)3 = 4000 . 1,083 = 5038,84 
Portanto, haverá na conta R$ 5038,84 no fim de 3 anos. 
 
b) Uma cidade tem, atualmente, 30000 habitantes e esse número cresce a uma 
taxa de 2% ao ano. Qual será a população dessa cidade daqui a 10 anos? 
Solução Tem-se: 
y = y0(1 + k)t = 30000 (1 + 0,02)10 = 30000 . 1,0210 = 36569 
Assim, o número de habitantes daqui a 10 anos será de 6569 pessoas. 
 
4.6. Logaritmos 
 
A equação (1,1)x = 2 possui uma solução. De fato, como 1,17 e 1,18 têm 
valores aproximadamente iguais a 1,9487 e 2,1436, então a solução é um número real x 
tal que 7 < x < 8. 
Esse número x, solução da equação (1, 1)x = 2, é chamado logaritmo de 1,1 na 
base 2 e é representado por 
x = log2 1,1 
Observe que: 
log2 1,1 = x ⇔ 2x = 1,1 
 
Generalizando,define-se: 
Se a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 e b ∈ R, b > 0, o número real x solução da equação ax = b 
é denominado logaritmo de b na base a . 
loga b = x ⇔ ax = b 
O número a é chamado base do logaritmo e o número b é chamado logaritmando 
ou antilogaritmo. 
Dois tipos de bases são freqüentemente utilizados: a base 10, cujos logaritmos 
associados são chamados decimais e a base e, cujos logaritmos correspondentes são 
chamados naturais ou neperianos. Na prática, é comum escrever: 
log x para denotar log10 x ( logaritmo decimal) 
 
 
 
 
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133 
 
ln x para denotar loge x (logaritmo neperiano) 
 
Exemplos 
a) Obter o logaritmo de 27 na base 3. 
log3 27 = x ⇔ 3x = 27 ⇔ 3x = 33 ⇔ x = 3 
Então, log3 27 = 3. 
b) Calcular log2 32 . 
log2 32 = x ⇔ 2x = 2 2
5
 ⇔ x = 
2
5
 = 2,5 
Assim, log2 32 = 2,5. 
c) Obter log
3
1 81. 
log
3
1 81 = x ⇔ 
x






3
1
 = 81 ⇔ 3-x = 34 ⇔ x = –4 
Portanto, log
3
1 81 = – 4. 
 
4.7. Usando a calculadora 
 
Logaritmos cujos resultados não são imediatos podem ser calculados por meio de 
tabelas, computadores ou, ainda, calculadoras usando a teclas log ou ln. 
 Assim, para obter o valor de log 15, tecla-se na seqüência: 
log 15 
e aparece no visor 1,176091259. 
Para calcular loge 8 = ln 8 tecla-se: 
ln 8 
e aparece no visor 2,079441542. 
Para obter o valor de (ln 7)2 + 5 . log 3, tecla-se na seqüência: 
 ( ln 7 ) ∧ 2 + 5 × log 3 = 
e obtém-se o valor 6,172172582. 
Se se quer encontrar o número real positivo tal que log x = 1,376 usa-se a tecla 
10x. 
shift 10x 1.376 
obtém-se o valor de x = 23,76840287. 
 
 
 
 
 
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134 
 
4.8. Propriedades dos logaritmos 
 
Cálculos envolvendo logaritmos são facilitados pelas seguintes propriedades dos 
logaritmos. 
Se m e n são números reais positivos e 0 < a ≠ 1, então: 
a) loga (m . n) = loga m + loga n 
b) loga 
n
m
 = loga m - loga n 
c) loga mn = n loga m 
d) loga 1 = 0 
e) loga a = 1 
 
As propriedades d) e e) são conseqüências imediatas da definição. Verificar-se-á a 
propriedade a); as demais são deixadas como exercício. 
Pondo loga m = x e loga n = y, de acordo com a definição de logaritmo, elas são 
equivalentes a: 
m = ax , n = ay 
Logo: 
m . n = ax . ay = ax + y 
A forma logaritmica da última igualdade é loga (m . n) = x + y. Substituindo x e 
y pelos valores considerados inicialmente, vem que: 
loga (m . n) = loga m + loga n 
A propriedade é válida também para mais de dois fatores. 
Exemplos 
a) Resolver a equação (1,1)x = 2. 
 Solução Tem-se: 
(1,1)x = 2 ⇒ log (1,1)x = log 2 ⇒ x log 1,1 = log 2 
 ⇒ x = 
1,1log
2log
 ⇒ x ≅ 7,273 . 
b) Suponha que R$ 8000,00 sejam depositados numa conta que paga 9% de juros 
anuais. Quanto tempo é necessário até que a quantia depositada dobre ? 
 
Solução Usando a fórmula y = y0(1 + k)t , onde t é o número de anos desde o 
depósito, tem-se y = 8000 (1 + 0,09)t e quer-se encontrar o valor de t tal que 
 
 
 
 
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135 
 
y = 16000. Então: 
16000 = 8000 (1 + 0,09)t ⇒ 2 = 1,09t ⇒ ln 2 = t ln1,09 
 ⇒ t = 
ln1,09
ln2
 ⇒ t = 8,04 
Portanto, serão necessários 8 anos para que dobre a quantia.. 
a) Se a função de demanda é x = 
0,21
12,03
p
, onde x é a quantidade de demanda, em 
centenas, e p é o preço, em milhares de reais, obter o preço se a quantidade de 
demanda é 6. 
Solução Fazendo x = 6 na fórmula da demanda, deve-se encontrar o valor de p tal 
que 6 = 
0,21
12,03
p
. Daí: 
p0,21 = 
12,03
6
 = 2,005 ⇒ 0,21 ln p = ln 2,005 ⇒ ln p = 
ln2,005
0,21
 
 ⇒ ln p = 3,3125 ⇒ p = e3,3125 ⇒ p = 27,456 
 
Portanto, o preço é R$ 27456,00 
 
4.9 - Mudança de base 
 
As calculadoras (e as tabelas) fornecem apenas logaritmos decimais ou 
neperianos. Se se quer, por exemplo, calcular logaritmos na base 2, deve-se transformá-los 
em logaritmos decimais ou neperianos. 
Suponha que se desejasse calcular loga b utilizando apenas logaritmos numa base 
c. Fazendo loga b = x, segue que b = ax. Daí : 
ax = b ⇔ logc ax = logc b ⇔ x logc a = logc b ⇔ x = 
a
b
c
c
log
log
 
Visto que x = loga b, conclui-se a seguinte fórmula, chamada fórmula para 
mudança de base: 
loga b = 
a
b
c
c
log
log
 
 Exemplos 
a) Conhecendo log2 3 = 1,58 e log2 5 = 2,32 calcular log5 3. 
Tem-se: 
 
 
 
 
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136 
 
log5 3 = 
5log
3log
2
2 = 
32,2
58,1
 = 0,681 
b) Utilizando a calculadora obter log4 7. 
log4 7 = 
4log
7log
 = 
602,0
845,0
 = 1,40 
 
4.10 - Função logarítmica e seus gráficos 
 
Se se considera um número real a, a > 0 e a ≠ 1, o número loga x existe para 
todo x > 0. Desse modo, pode-se considerar a função que a cada x > 0 faz corresponder 
o número y = loga x. 
Essa função é denominada função logarítmica de base a : 
 f : R •+ → R ( a > 0 e a ≠ 1 ) 
 x → y = loga x 
Uma maneira de se obter o gráfico da função logarítmica y = loga x é construir 
uma tabela de valores do logaritmo na base a . 
Como exemplo, constrói-se o gráfico da função y = log2 x . Desde que a base é 2, 
para facilitar os cálculos, escolhe-se para x algumas potências de 2: 
 x = 20 = 1 ⇒ y = log2 x = log2 1 = 0 
 
x = 21 = 2 ⇒ y = log2 x = log2 2 = 1 
 
x = 22 = 4 ⇒ y = log2 x = log2 4 = 2 
 
x = 23 = 8 ⇒ y = log2 x = log2 8 = 3 
x = 2-1 = 
2
1
 ⇒ y = log2 x = log2 
2
1
 = –1 
x = 2-2 = 
4
1
 ⇒ y = log2 x = log2 
4
1
= –2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 59. Gráfico da função y = log2 x 
 
x y = log2 x 
4
1
 
-2 
2
1
 
-1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
 
 
 
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137 
 
Uma outra maneira de construir esse gráfico é baseada na exploração da relação 
existente entre funções logarítmicas e exponenciais. Visto que: 
y = log2 x ⇔ 2y = x 
então o ponto (x, y) pertence ao gráfico da função logarítmica de base 2 se, e somente se, o 
ponto (y, x) pertence ao gráfico da função exponencial de mesma base. 
 
 Isso significa que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta de 
equação y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Assim, conhecendo o gráfico de 
y = 2x, obtém-se, por simetria, o gráfico de y = log2 x. 
 
 
 
 
 
FIGURA 60. Os gráficos de y = log2 x e y = 2x são simétricos 
 em relação à reta y = x 
 
Observe agora como construir o gráfico da função y = log
2
1 x para x > 0. 
Conforme visto anteriormente, esse gráfico é simétrico ao gráfico da função exponencial y 
= 
x





2
1 em relação à reta y = x. 
 
x y = log2 x 
4
1 -2 
2
1 -1 
1 0 
2 1 
4 2 
 
x y = 2x 
-2 
4
1 
-1 
2
1 
0 1 
1 2 
2 4 
 
 
 
 
 
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 FIGURA 61. Os gráficos de y = log
2
1 x e y = 
x






2
1
 são simétricos 
 em relação à reta y = x 
 
 
Em geral, a função y = loga x, a > 1 tem o gráfico semelhante a y = log2 x, ao 
passo que o gráfico da função y = loga x, 0 < a < 1 tem o gráfico semelhante a y = 
log
2
1 x. 
A análise do gráfico fornece as seguintes propriedades das funções logarítmicas: 
 
1) O seu domínio é R *+ e a sua imagem é R. 
2) O ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função. 
3) A função y = loga x é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
 
4.11. Comparação de logaritmosde mesma base 
 
 
x 
x





2
1 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 
2
1 
2 
4
1 
 
 x log
2
1 x 
4 -2 
2 -1 
1 0 
2
1 1 
4
1 2 
 
 
 
 
 
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139 
 
Do fato de y = f(x) = loga x ser crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, 
conclui-se que, para todo x e y positivos: 
 
• Se a > 1, então loga x > loga y ⇔ x > y 
• Se 0 < a < 1, então loga x > loga y ⇔ x < y 
 
Para a igualdade, em ambos os casos, tem-se: 
loga x = loga y ⇔ x = y 
 
Essas propriedades são importantes para resolver equações e inequações 
logarítmicas. 
 
Exemplos 
a) Resolver a equação logarítmica log2 (3x – 4) = log2 5. 
 Solução A condição de existência de log2 (3x – 4) exige que 3x – 4 > 0, ou seja, 
x > 
3
4 . 
Resolvendo a equação, vem: 
3x – 4 = 5 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 
Como este valor é maior do que 
3
4 , então x = 3 é a solução da equação. 
b) Resolver a inequação logarítmica log3 (3x – 6) < log3 15. 
 Solução Inicialmente, estabelece-se a condição de existência de log3 (3x – 6): 
3x – 6 > 0 ⇔ x > 2 
Como a base dos logaritmos é a = 3 > 1, segue que : 
3x – 6 < 15 ⇔ 3x < 21 ⇔ x < 7 
O conjunto solução é dado pela interseção das duas inequações acima, isto é, 
consiste do conjunto de todos os números reais tais que 2 < x < 7. 
 
c) Resolver a inequação logarítmica log0,5 (x + 1) < log0,5 (3 – x). 
 Solução As condições de existência dos logaritmos são: 
x + 1 > 0 ⇔ x > –1 (1) 
3 – x > 0 ⇔ x < 3 (2) 
Resolvendo a inequação, como a base a = 0,5 < 1, vem: 
x + 1 > 3 – x ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1 (3) 
 
 
 
 
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140 
 
Combinado as inequações (1), (2) e (3), conclui-se que a solução da inequação 
dada é 1 < x < 3. 
 
4.12. Ângulos 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal com origem O e s 
uma semi-reta, que originalmente coincide com o semi-eixo positivo dos x. 
Se girar-se a reta s mantendo a origem O fixa, quando s coincidir pela primeira 
vez com o semi-eixo positivo dos y, então s formará um ângulo reto com o semi-eixo 
positivo dos x. A nonagésima parte desse ângulo é a unidade freqüentemente usada para a 
medida de ângulos denominada grau. 
Continuando a, girar s, quando ela coincidir pela primeira vez com o semi-eixo 
negativo dos x, formará um ângulo de 1800 com o semi-eixo positivo dos x. 
Prosseguindo com a rotação de s, obtêm-se ângulos de medidas maiores, não 
existindo um limite superior para elas. Dessa maneira, pode-se considerar ângulos tais 
como 4000 , 7600, etc. Um ângulo de 3600 é a medida para uma rotação completa. 
 
 FIGURA 62. O ângulo α é positivo para uma rotação anti-horária 
 e negativo para uma rotação horária 
 
Em diversas aplicações, é necessário considerar ângulos negativos. Eles são 
obtidos quando se gira a semi-reta s, a partir de sua posição original no semi-eixo positivo 
dos x, no sentido horário. Quando s coincide pela primeira vez com o semi-eixo negativo 
dos y, forma-se um ângulo α = – 900. Uma rotação completa no sentido horário tem 
medida –3600. 
Para o estudo da trigonometria, é conveniente introduzir uma outra unidade de 
medida mais natural para ângulo, o radiano. Para isso, considera-se um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogona l e fixa-se nos dois eixos a mesma unidade de 
comprimento. Desenha-se uma circunferência com centro O na origem do sistema de 
coordenadas, cujo raio é a unidade de comprimento dos eixos. É fixado nessa 
circunferência o ponto A de coordenadas (1, 0). 
 
 
 
 
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141 
 
Girando a semi-reta s a partir de sua posição original no sentido anti-horário, seja 
B o ponto de interseção de s com essa circunferência. A medida em radianos do ângulo 
AOB no centro da circunferência ( FIGURA 63) equivale ao comprimento do arco que 
AOB forma no círculo trigonométrico. 
 
 FIGURA 63. A medida α em radianos é o comprimento do arco entre A e B. 
Uma circunferência cuja medida em graus é 3600 tem comprimento 2 π r, onde 
r é o comprimento de seu raio. Assim: 
3600 = 2π rad ou 1800 = π rad 
Dessa forma : 
1 rad = 
0
2
360






π
 ≅ 570 
Usualmente, omite-se a abreviação rad nas medidas expressas em radianos e o 
ângulo é tratado como um número puro. 
Exemplo 
Converter 
2
π
, π e 
2
3 π
 em graus. 
Tem-se que π = 1800 . Assim: 
2
π
 = 
2
1800
, ou seja, 
2
π
 = 900 
2
3 π
 = 
2
180.3
 , ou seja, 
2
3 π
 = 2700 
 
4.13. Seno e cosseno 
 
 Admita-se o sentido anti-horário como positivo. Considere uma circunferência com 
centro O na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, cujo raio é a 
unidade de comprimento dos eixos e fixe, sobre ela, o ponto A de coordenadas (1,0). Uma 
circunferência com tais características é chamada circunferência trigonométrica. 
 
 
 
 
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142 
 
Considere, ainda, o ponto B, de modo que o ângulo AOB tenha medida α radianos, 
conforme a FIGURA 64. 
 
FIGURA 64. O cosseno e o seno como abscissa e ordenada de 
 um ponto B da circunferência trigonométrica 
 
Define-se: 
senα é a ordenada do ponto B, ou seja, senα = OD 
cosα é a abscissa do ponto B, ou seja, cos α = OC 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OBC, segue que: 
sen2 α + cos2 α = 1 
O seno e o cosseno de um ângulo α , como coordenadas de um ponto, têm sinais 
que dependem do quadrante em que se encontram. Daí, para 0 < α < 900, tem-se cos α > 0 
e senα > 0; para 900 < α < 1800 , tem-se que cos α < 0 e sen α > 0; para 1800 < α < 2700, 
tem-se cos α < 0 e senα < 0 e para 2700 < α < 3600 , tem-se que cos α > 0 e sen α < 0. 
As funções seno e cosseno satisfazem as seguintes propriedades, ∀ x ∈ R: 
sen x = – sen(–x) cos x = cos(–x) 
ou seja, a função seno é par e a função cosseno é ímpar. 
De fato, conforme a FIGURA 65 (i) tem-se: 
OP = – OP’ ⇒ sen x = – sen(–x) 
e conforme a FIGURA 65 (ii) tem-se: 
cos
cos( )
OQ x
OQ x
= 
= − 
 ⇒ cos x = cos(–x) 
 
 
 
 
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143 
 
 ( i ) ( ii ) 
 FIGURA 65. ( i ) Os valores de sen x e sen (-x) são simétricos, portanto, 
 y = sen x é uma função ímpar; ( ii ) Os valores de cos x e cos (–x) 
 são iguais, portanto, y = cos x é uma função par 
 
Exemplo 
 Obter o seno e o cosseno dos arcos 
2
π
, 
2
3π
, π e 2π . 
Observando os gráficos da FIGURA 66 conclui-se: 
sen 
2
π
 = 1 sen π = 0 sen
2
3π
 = –1 sen 2 π = 0 
cos 
2
π
 = 0 cos π = –1 cos
2
3π
 = 0 cos 2 π = 1 
FIGURA 66. Ilustração dos senos e cossenos de 
2
π
, 
2
3π
, π e 2π 
 
Certos valores das funções seno e cosseno podem ser obtidos a partir de figuras 
geométricas, como, por exemplo, o seno e cosseno de 300, 450 e 600, cujos valores estão 
dispostos na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
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144 
 
 TABELA 8. Seno e do cosseno de 300, 450 e 600 
x 300 450 600 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 2
1
 
 
De um modo geral, os valores do seno e cosseno de ângulos se obtêm por tabelas, 
utilizando computadores ou calculadoras, usando as teclas cos (cosseno) e sin (seno) . 
Por exemplo, para se obter o valor do seno de 470, tecla-se na calculadora: 
sin 47 
e aparece no visor 0,731353701. 
Deve-se observar que a calculadora deve estar programada em deg para o cálculo 
em graus e em rad para o cálculo em radianos. 
Para ocálculo do cosseno de ,
4
7π
 tecla-se: 
cos ( 7 × shift exp ÷ 4 ) = 
e aparece no visor 0,707106781. 
 
4.14 - Função seno e função cosseno 
 
Para cada número real x, seja B o único ponto sobre a circunferência 
trigonométrica de modo que o arco AB tenha medida x radianos. 
Para cada x, tem-se então associado um único valor y = sen x e um único valor y 
= cos x, que atinge um máximo +1 e um mínimo –1. Ficam, assim, definidas as funções : 
sen : R → [–1, 1] e cos : R → [–1, 1] 
 x → y = sen x x → y = cos x 
 Se adiciona-se 3600 ou 2 π a qualquer ângulo x, os pontos da circunferência unitária 
que representam x e 3600 + x são os mesmos e, portanto, possuem o mesmo seno e o 
mesmo cosseno, ou seja: 
 
sen(3600 + x) = sen x, cos(3600 + x) = cos x 
 
 
 
 
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145 
 
Isso quer dizer que as duas funções y = sen x e y = cos x são periódicas com 
períodos 3600 ou 2 π . 
De um modo geral, uma função f com domínio D é periódica se existe um 
número real e positivo k tal que x + k está em D e f(x + k) = f(x), para todo x em D. Se 
existe um menor real positivo k, ele é chamado período de f. Isso implica que o gráfico de f 
se repete a intervalos sucessivos de amplitude k 
Em virtude desse fato, os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, o conjunto 
dos pontos do plano de coordenadas (x, sen x) e os pontos de coordenadas (x, cos x), 
respectivamente, podem ser representados no intervalo [0,2 π ] e depois repetidos em cada 
intervalo de amplitude 2 π . 
Levando-se em conta os valores de sen x e cos x para x = 0,
2
π
,π ,
2
3π
 e 2π 
obtidos no exemplo considerado em 4.13, esboça-se na FIGURA 67, os gráficos das 
funções seno e cosseno. 
 
 ( i ) ( ii ) 
 FIGURA 67 (i) Gráfico da função seno e (ii) gráfico da função cosseno 
 utilizando medida em radianos 
 
4.15 - Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo 
 
As definições do seno e cosseno foram dadas como coordenadas de ponto de uma 
circunferência trigonométrica. De um modo geral, considere agora um ponto P com 
coordenadas (x,y) em relação a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal de 
origem O. 
Admita-se que o ponto P não coincida com O. Seja B o ponto em que o segmento 
que liga O a P intercepta a circunferência trigonométrica e seja a o comprimento do 
segmento OP. É chamado de α o ângulo AOB. Então: 
 
x = a cos α e x = a sen α 
 
 
 
 
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146 
 
 
 FIGURA 68. Seno e cosseno definidos em termos x, y e a 
 
 De fato, pela semelhança de triângulos : 
 
1||
|| a
OC
OQ
= e 
1||
|| a
BC
PQ
= 
Como OQ e OC têm o mesmo sinal e, da mesma forma, PQ e BC, então: 
 
1cos
ax
=
α
 e 
1sen
ay
=
α
 
de onde segue a afirmação. 
Usando as funções seno e cosseno, pode-se definir a função tangente de α , 
denotada por tgα como o quociente: 
tg α = 
α
α
cos
sen
 desde que cos α ≠ 0 
Considere um triângulo retângulo, onde α é um de seus ângulos. Considerando 
um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal e tomando o triângulo na posição da 
FIGURA 69 , as funções seno, cosseno e tangente de α são dadas por: 
 
sen α = 
a
c
 = 
hipotenusa
opostocateto
 cos α = 
a
b
 = 
hipotenusa
adjacentecateto
 
 
tg α = 
b
c = 
adjacentecateto
opostocateto 
 
FIGURA 69. Esquema para definir o seno, o cosseno e a tangente de um 
 ângulo agudo α de um triângulo retângulo 
 
 
 
 
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Exemplos 
a) O setor de recursos humanos RH de uma empresa fica a 160 metros do portão 
de entrada, num ponto cujo ângulo, medido no sentido anti-horário, a partir da 
direção leste, é 1400 . Quais são as coordenadas cartesianas do prédio do RH? 
 
FIGURA 70. Localização do prédio de RH para o exemplo (a) 
 
Tem-se: 
 
a = 160 cos 1400 = –122,56 
 
b = 160 sen 1400 = 102,84 
 
b) A altura de uma chaminé mede 12 metros. Um observador situado num ponto 
A a oeste da chaminé, no plano horizontal, que passa por sua base B, enxerga 
o seu topo T sob um ângulo de 450. Obter o comprimento do segmento AT . 
Solução Chamando de x o comprimento de AT , tem-se de acordo com a 
FIGURA 71: 
 x sen 400 = 12 ⇒ x = 0
12
45sen
 = 16,97 
Logo, o comprimento de AT é 16,97 metros. 
 
FIGURA 71. Esquema para a distância entre um observador e o topo de uma chaminé 
 
4.16 – Função Tangente 
 
A tangente de um número real foi definida como a razão do seno para o cosseno 
desse real. Com isso, pode-se definir a função tangente: 
tg: D → R 
x → y = tg x = 
x
x
cos
sen
 
 
 
 
 
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148 
 
onde D = { x ∈ R: cos x ≠ 0} = { x ∈ R : x ≠ kπ + 
2
π
, k ∈ Z }. 
Geometricamente, o valor da tangente de x pode ser visto como a medida 
algébrica de um segmento. Para isso, considere numa circunferência trigonométrica S1 de 
centro O, um arco AB de medida x, onde A é a origem dos arcos, e trace por A uma reta 
orientada t tangente a S1 ( FIGURA 72) A reta que contém O e B determina um ponto T 
em t e tg x é a medida algébrica de AT, ou seja, tg x = AT. 
 
FIGURA 72. Representação geométrica da tangente 
 
De fato, se B está no primeiro ou terceiro quadrante, ver a FIGURA 72, tem-se 
que os triângulos OPB e OAT são semelhantes. Daí: 
ATxtg
AT
x
x
OA
AT
OP
BP
=⇒=⇒=
1cos
sen
 
De maneira similar, chega-se à mesma conclusão se B está no segundo ou quarto 
quadrante. 
Para todo x∈D tem-se que tg( x + π ) = tg x, de onde conclui-se que y = tg x é 
uma função periódica de período π . Dessa forma: 
tg (x + k π ) = tg x, ∀ x ∈ D, ∀ k ∈ Z 
Para valores próximos e menores que 
2
π
, a tangente se torna maior que qualquer 
número positivo dado, ou seja, se x tende a 
2
π
, então tg x tende a +∞ . De maneira 
análoga, para valores próximos e maiores que 
2
π
, a tangente se torna menor que qualquer 
número negativo dado, ou seja, tg x tende a – ∞ . Quando x se aproxima de –
2
π
 , vale 
comentário análogo. 
Para se obter o gráfico da função tangente é suficiente esboçá- lo no intervalo 
] –
2
π
, 
2
π
[ e repeti- lo em todos os quadrantes da fo rma ] –
2
π
+ kπ , 
2
π
+ kπ [, k∈ Z . 
 
 
 
 
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149 
 
 
 FIGURA 73. Gráfico da função y = tg (x) 
 
4.17 – Funções trigonométricas inversas 
 
A função de domínio R definida por y = sen x não admite inversa. Diversos 
valores reais possuem o mesmo seno; por exemplo, sen (– 
2
π
) = sen 
2
π
 = 1. Conforme se 
viu em 3.10, em todo intervalo onde y = f(x) é uma função crescente ou decrescente, existe 
uma inversa. Como y = sen x é um função crescente no intervalo [– 
2
π
, 
2
π
] ( ver FIGURA 
67, i), pode-se definir nesse intervalo uma inversa para esta função, denominada função 
arco seno e denotada por arc sen. A função arco seno de é o ângulo no intervalo [– 
2
π
, 
2
π
] 
cujo seno é x. Dessa maneira, tem-se: 
arc sen: [-1, 1] → [– 
2
π
, 
2
π
] 
 x → y = arc sen x ⇔ sen y = x 
Sabe-se que o gráfico da função inversa de uma função g é simétrico ao gráfico de 
g em relação à bissetriz de equação y = x. Assim sendo, pode-se esboçar o gráfico da 
função y = arc sen x a partir do gráfico de y = sen x, como pode ser visto na FIGURA 74. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 74. Gráfico da função y = arc sen x 
 
 
 
 
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150 
 
A exemplo da função seno, para definiras inversas das funções cosseno e 
tangente, é necessário restringir seus domínios a intervalos convenientes . 
As inversas das funções y = cos x e y = tg x, denotadas por arc cos x e arc tg x, 
respectivamente, são definidas por: 
arc cos : [–1, 1] → [0, π ] 
 x → y = arc cos x ⇔ cos y = x 
arc tg : R → ] –
2
π
, 
2
π
[ 
 x → y = arc tg x ⇔ tg y = x 
Seus gráficos estão esboçados na FIGURA 75. 
 
 (i) (ii) 
 FIGURA 75. ( i ) Gráfico da função y = arc cos x; ( ii ) gráfico da função y = arc tg x 
 
Se se quer usar a calculadora para obter a medida do ângulo cujo seno vale 0,875, 
ou seja, o valor de arc sen 0,875, usa-se a tecla sin-1. Tecla-se: 
shift sin 0.875 = 
e obtém-se, aproximadamente, 61,040. 
 Para calcular arc cos 0,672: 
shift cos 0.672 = 
e obtém-se, 47,780. 
 
4.18 - As funções cotangente, secante e cossecante 
 
Pode-se definir a função secante: 
sec : F → R 
 
 
 
 
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151 
 
 x → y = sec x = 
xcos
1
 
onde F = { x ∈ R: x ≠ kπ + 
2
π
, k ∈ Z }. 
Também define-se: 
cossec : D → R cotg : D → R 
 x → y = cossec x = 
xsen
1
 x → y = cotg x = 
x
x
sen
cos
 
onde D = { x ∈ R: x ≠ kπ , k ∈ Z }. 
Os gráficos destas funções estão esboçados abaixo. 
 
 ( i ) ( ii ) 
FIGURA 76. ( i ) gráfico da função y = sec(x) ( ii ) gráfico da função y = cosec(x) 
 
 FIGURA 77. Gráfico da função y = cotg(x) 
 
4.19 – Relações básicas 
 
Como conseqüências das definições acima, tem-se: 
i) sec2x = 1 + tg2 x 
ii) cossec2x = 1 + cotg2 x 
 
Para justificar (i), lembre que sen2x + cos2 x = 1. Dividindo por cos2x , desde 
que cos2 x ≠ 0, segue que: 
xx
x
x
x
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
=+ , isto é, tg2 x + 1 = sec2x 
A justificativa de (ii) é similar. 
 
 
 
 
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152 
 
Existem ainda fórmulas para a adição de arcos. São elas: 
iii) cos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen y 
iv) sen ( x + y ) = sen x cos y + sen y cos x 
Substituindo a por x e y nas identidades acima, tem-se as seguintes relações, 
denominadas fórmulas do seno e cosseno do arco duplo: 
v) cos 2a = cos2a – sen2a 
vi) sen 2a = 2 sen a cos a 
Exemplos 
1) Sendo x um ângulo agudo do segundo quadrante e sen x = 
13
12
, determinar os 
valores de cos x e tg x. 
 
 Solução Tem-se: 
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 – 
2
13
12





 ⇒ cos2 x = 
169
25
 
Como no segundo quadrante, o valor do cosseno de x é negativo, segue que: 
cos x = – 
169
25
 ⇒ cos x = – 
13
5
 
Daí vem que tg x = 
x
x
cos
sen
 = – 
5
12
. 
Então, cos x = – 
13
5
 e tg x = –
5
12
. 
2) Se x é um ângulo tal que tg x = 2 e 
2
π
 < x < 
2
3π
, obter sen x e cos x. 
 Solução Tem-se: 
tg x = 
x
x
cos
sen
 ⇒ tg2 x = 
2
2
sen
1
x
sen x−
 ⇒ 4 = 
2
2
sen
1
x
sen x−
 
⇒ 4( 1 – sen2x) = sen2 x ⇒ sen2 x = 
4
5
 
Sendo x um ângulo do segundo quadrante, então o valor do seno de x deve ser 
negativo. Logo: 
sen x = – 
5
4
 ⇒ sen x = – 
2
5
 Assim 
 
 
 
 
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153 
 
cos2 x = 1 – sen2x ⇒ cos2 x = 1 – 
4
5
 ⇒ cos x = – 
5
1
 
onde o sinal negativo foi considerado em virtude de 
2
π
 < x < 
2
3π
. 
Portanto, sen x = –
2
5
 e cos x = –
5
1
. 
3) Mostrar que, para todo x real: 
i) sen (
2
π
– x) = cos x 
ii) cos (
2
π
– x) = sen x 
iii) tg (
2
π
– x) = cotg x 
De acordo com a fórmulas de adição de arcos e lembrando que y = sen x é uma 
função ímpar e y = cos x é uma função par e sen 
2
π
 = 1 e cos 
2
π
 = 0, tem-se: 
i) sen (
2
π
– x) = sen [
2
π
 + (– x) ] = sen 
2
π
 cos(-x) + sen (–x) cos 
2
π
 = cos x 
ii) cos (
2
π
– x) = cos [
2
π
 + (– x) ] = cos
2
π
 cos(-x) – sen 
2
π
 sen (– x) = sen x 
iii) tg (
2
π
– x) = 
x
x
cos
sen
 = 
x
x
sen
cos
 = cotg x 
 
4) Resolver a equação (sen x + cos x)2 = 1 para x ∈ [0, 2π ]. 
 Solução Tem-se: 
(sen x + cos x)2 = 1 ⇒ sen2 x + 2 sen x cos x + cos2 x = 1 
⇒ 1 + sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = 0 
O seno se anula para valores múltiplos de π . Como, por hipótese, 0 ≤ x ≤ 2π , 
ou seja, 0 ≤ 2x ≤ 4 π , para que sen 2x = 0, o ângulo 2x deve assumir valores múltiplos 
de π entre 0 e 4 π . Logo: 
 
2x = 0, π , 2π , 3π , 4π 
Portanto, as soluções da equação são x = 0, x = 
2
π
, x = π , x = 
2
3π
 ou x = 2 π . 
 
 
 
 
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154 
 
4.20 - Exercícios propostos 
 
1) Construir os gráficos das funções exponenciais: 
a) f(x) = ex b) f(x) = 
x






3
1
 c) f(x) = 4x 
2) Construir o gráfico de cada uma das funções e determinar o conjunto imagem: 
a) f(x) = 
x






2
1
 + 4 b) f(x) = 2x + 1 + 3 
3) Resolver em R as equações exponenciais: 
a) 3x + 1 = 81 b) 9x – 2 = 272x + 1 c) 2 12
2 −x = 
8
1
 
d) 
25
16
4
5
=





x
 e) 32x + 1 = 27 f) (0,001)3x + 1 = 1002x + 8 
4) Resolver em R as inequações exponenciais: 
a) 3x > 3 9 b) (0,1)x ≤ 10 c) 
xx 52
3
2
−





 > 
6
2
3





 
d) 49 . 2x < 4 . 7x e) 3x + 31 – x – 4 < 0 f) 
xx 32
7
1
+





 ≤ 49 
g) 2 6
2 +x < 128x h) 10
2x ≥ 10x + 2 
5) Resolver as equações exponenciais: 
a) 4x - 2x + 2 = 25 b) 3x + 2 - 10 . 3x + 9 = 0 c) 9x – 4 . 3x + 3 = 0 
6) Dados log 4 = 0,60 e log 9 = 0,95, determinar x. 
a) 4x = 9 b) 9x = 36 c) 64x = 729 
7) Conhecidos log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699, determinar: 
a) log 16 b) log 0,25 c) log 
2
5
 
8) Obter o número real e positivo x tal que log3 x + log9 x = 3. 
9) Se o número de artigos manufaturados por dia, t dias após o início de um turno de 
produção, é descrito por y = 180(1 – e-0,1t), quantos artigos são manufaturados por dia, 
12 dias após o início do turno? 
10) O custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso 
mensal médio x, pela fórmula y = 3200 – 2600 e-0,01t. Qual é o custo anual de 
manutenção para um uso mensal médio de 200 horas? 
 
 
 
 
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155 
 
11) A equação de oferta de um certo produto é p = 20,3 + 10 ln(1 + x), onde x unidades 
são ofertadas quando p é o preço unitário. Determinar o preço pelo qual 15 unidades 
deveriam ser ofertadas. 
12) O valor de uma máquina , em milhares de reais, daqui a t anos será V = 30 . (0,8)t. 
 a) Qual o seu valor hoje? 
 b) Qual será o seu valor daqui a 4 anos? 
13) Suponha que um operário pode produzir f(t) = 50 - 50e-kt, unidades por dia de um 
certo material. Se ele pode produzir 32 unidades após 4 dias, quantas unidades ele 
poderá produzir após 10 dias? 
14) A taxa de crescimento de uma certa cidade varia de acordo com a lei T = B ekt, onde 
t ≥ 0 e B e k são constantes positivas. 
a) Se a população em 1930 era 50000 e em 1960 era 75000, qual a população 
esperada em 2005? 
b) Após quantos anos a população deverá superar 200000 habitantes? 
15) Se P(t) é o preço de uma mercadoria t anos após a sua aquisição, então P(t) = B e
t
5
1−
, 
onde B é uma constante positiva. 
a) Se a mercadoria foi comprado por 10000 reais, qual será o seu preço em 3 anos? 
b) Quantos anos depois de sua compra a mercadoria terá um valor de 1000 reais? 
16) Foi observado que, após t horas de prática, uma pessoa podia digitar f( t)= 90(1 – e-0.03 t ) 
palavras por minuto. Quantas palavrasé esperado que a pessoa digite após 5 horas de 
prática? 
17) Um apartamento vale hoje R$ 180000,00 e, a cada ano, sofre uma desvalorização 
anual de 3%. Qual será o seu valor daqui a 8 anos? 
18) O PIB de um país cresce a uma taxa de 4% ao ano. Daqui a quantos anos o PIB 
 duplicará? 
19) Um carro novo vale, atualmente, R$ 30000,00 e sofre uma desvalorização anual de 
15%. Daqui a quanto tempo o seu valor se reduzirá à metade? 
20) Uma aplicação de C reais em caderneta de poupança renderá 10% ao ano daqui para a 
frente. Ao final de x anos, a quantia em reais que ela acumulará será y = (1,1)x C. 
a) Em quantos anos se terá o quádruplo da quantia inicial? 
b) Qual será o montante ao final de 5 anos? 
21) Quanto se deve aplicar, hoje, a juros compostos e à taxa de 1,5% ao mês, para poder 
pagar uma dívida de R$ 10000,00 daqui a 9 meses? 
 
 
 
 
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22) A que taxa mensal um capital de R$ 1200,00 deve ser aplicado a juros compostos, 
durante 6 meses, para produzir um montante de R$ 1300,00? 
23) A que taxa deve ser aplicada a quantia de R$ 1500,00, a juros compostos, num fundo 
para que se possa sacar R$ 1600,00 daqui a 4 meses? 
 
24) Juros compostos capitalizados m vezes ao ano Viu-se, no exemplo 4 de 4.5 que 
uma quantia C aplicada a uma taxa anual r resulta após t anos num montante y = 
C(1 + r)t. Se o juro é pagável m vezes ao ano, então a taxa de juros em qualquer 
período é 
r
m
 e o número de períodos é mt. Portanto, a quantidade em depósito ao final 
de m períodos de juros será: 
y = C(1 + 
r
m
) mt 
Uma pessoa deposita R$ 6000,00 a 4% de juros. Qual será o seu saldo após 10 
anos se o juros são pagáveis trimestralmente? 
 Solução Pagamentos trimestrais correspondem a m = 4 períodos. 
y = C(1 + 
r
m
) mt = 6000(1 + 40
0,04
)
4
 = 6000 . 1,0140 = 8933,18 
Logo, o saldo após 10 anos será R$ 8933,18. 
25) Determinar o número de anos necessários para que a quantia R$ 3000,00 se acumule a 
R$ 4200,00 se o dinheiro é investido a 10%, composto semestralmente. 
26) Suponha que se queira investir dinheiro em um certificado de depósito bancário para 
pagar a educação de um filho, estimada em R$120000,00 em 10 anos. Quanto é 
necessário investir se o investimento rende juros anuais de 9% compostos 
trimestralmente? 
27) Cologaritmo O número – loga b, oposto do logaritmo de b na base a é chamado de 
cologaritmo de b na base a e é indicado por cologa b. Assim: 
cologa b = – loga b, b > 0, a > 0 e a ≠ 1 
Na Química, o cologaritmo é usado para definir o pH de uma solução, isto é: 
pH = colog [H+] 
onde [H+] representa a concentração de íons de hidrogênio H+ a solução. Essa 
medida serve para classificar a solução em: 
 
 (i) Ácido se pH < 7 (ii) Básico se pH > 7 (iii) Neutro se pH = 7 
 
 
 
 
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Calcular o pH de uma solução em que [H+] = 2 . 10-7. 
Solução Tem-se: 
pH = colog (2 . 10-7) = – log (2 . 10-7) = – ( log 2 – 7 log 10) = 6,7 
Trata-se pois de uma solução ácida. 
28) Determinar o pH de uma solução em que [H+] = 3 . 10-8. 
29) Sabendo que tg x = 2 e 0 < x < 900, obter sen x e cos x. 
30) Achar o valor de x, sabendo que 900 < x < 1800 : 
 a) tg x = –0,9 b) sen x = 0,72 c) cos x = -0,35 
31) Determinar a área e o perímetro de um triângulo retângulo ABC cujo cateto AB 
mede 10 cm e forma com a hipotenusa AC um ângulo de 300. 
32) Num sistema de coordenadas cartesianas, considere os pontos A(0, 4) e B(2, 0). Obter a 
tangente do ângulo agudo que a reta forma com o eixo x. 
33) Calcular o valor de x nos triângulos: 
 
34) Observando a figura abaixo, determinar os valores de tg a e tg b. 
 
 
35) Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 600 com o chão. Que 
altura ela atinge, sabendo-se que a escada tem comprimento de 18 metros? 
36) Uma barra vertical de 3 metros de comprimento produz uma sombra em um plano 
horizontal. Os raios solares têm inclinação de 600 em relação ao plano horizontal. Qual 
é o comprimento da sombra? 
37) A inclinação de uma reta num sistema de coordenadas ortogonal é medida por m = 
x
y
∆
∆
. 
Suponha que ∆ x e ∆ y são medidos e plotados na mesma unidade de comprimento. O 
ângulo α obtido ao girar o eixo x no sentido anti-horário até ele coincidir com a reta 
 
 
 
 
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dada pela primeira vez é chamado ângulo de inclinação e tem um valor que varia de 00 
a 1800. Obter α nos seguintes casos: 
 a) ∆ x = 3 ∆ y = 3 b) ∆ x = –2 3 ∆ y = 2 
 
38) Converter em graus: 
a) 
4
3π
 b) 
4
5π
 c) 
6
7π
 d) 
11
12
π
 
39) Converter em radianos: 
a) 1500 b) 3000 c) 2400 d) 1100 
40) Uma empresa vende jaquetas masculinas, iniciando seu exercício fiscal em 1º. de 
agosto. Para os três exercícios fiscais começando em 1º. de agosto de 2004, o lucro foi 
dado, aproximadamente, por L(t) = 6000 (1 – cos 
6
tπ
), 0 ≤ t ≤ 36, em que L(t) é o 
lucro mensal em reais. Obter o lucro mensal em: 
 
 a) 1º. de dezembro de 2004 b) 1º. de fevereiro de 2005 
 
41) As vendas mensais S(t) de uma companhia são sazonais e dadas como função do 
tempo, em meses, por S(t) = 8000 + 600 sen (
6
tπ
). 
 a) Achar S(2) 
 b) Qual é o máximo de vendas mensais? Qual é o mínimo? 
42) Lei dos cossenos Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se α 
for o ângulo entre os lados com comprimentos a e b, demonstra-se que: 
c2 = a2 + b2 - 2a b cos α 
Determinar o perímetro de um triângulo em que dois lados medem 6m e 10m e 
formam entre si um ângulo de 1200. 
Solução Fazendo a = 6, b = 10 e α = 1200, encontra-se a medida do lado c. 
Assim: 
c2 = a2 + b2 - 2a b cos α ⇒ c2 = 62 + 102 – 2 . 6. 10 cos 1200 
 
 
 
 
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c2 = 36 + 100 – 120 . (- 
1
2
) ⇒ c2 = 196 ⇒ c = 14 
Portanto, o perímetro do triângulo é 6 + 10 + 14 = 30 me tros. 
43) Num triângulo ABC, conhece-se as medidas a = 3 + 1, b = 2 e µC = 300. Obter as 
 medidas do lado c. 
 
Respostas dos exercícios propostos 
2. a) ]4, + ∞ [ b) ]3, + ∞ [ 3. a) {3} b) {– 
4
7
} c) {3, -3} d){ – 2} 
e) {
4
1
} f){ – 
13
19
} 4. a) x > 
3
2
 b) x ≥ – 
2
1
 c) 2 < x < 3 d) x > 2 
e) 0 < x < 1 f) x ≤ – 2 ou x ≥ – 1 g) 1 < x < 6 h) x ≤ – 1 ou x ≥ 2 
5. a) {3} b) {2} c) {0, 1} 6. a) 1,58 b) 1,63 c) 1,58 
7) a) 1,204 b) –0,602 c) 0,398 
8) x = 9 9) 126 10) R$ 2848,12 11) R$ 48,00 
12) a) R$ 30000,00 b) R$ 12288,00 13) 46 14) a) 137623 b) 103 anos 
15) a) 5488 anos b) 11 anos 16) 90 17) R$ 141074,20 18) 17 anos 
19) 4 anos 20) a) 14 anos b) 1,61 C 21) R$ 8745,92 22) 1,34% ao mês 
23) 1,6% ao mês 25) 3,45 anos ou 3 anos 5 meses e 12 dias 26) R$ 49438,41 
28) 7,52 29) sen x = 
2
5
, cos x = 
1
5
 
30) a) 1380 b) 133,950 c) 110,480 
31) perímetro = 10 3 + 10 área = 
50 3
3
 32) – 2 33) i) 4 ii) 30 
34) tg a = 0,8, tg b = – 0,8 35) 9 3 m 36) 3 m 37) a) 450 b) 1500 
38) a) 1350 b) 2250 c) 2100 d) 1650 39) a) 
6
5π
 b) 
3
5π
 c) 
3
4π
 d) 
18
11π
 
40) a) R$ 9000,00 b) R$ 12000,00 41) a) R$ 8519,61 b) R$ 8600,00, R$ 7400,0043) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
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