bx_01_CURSO_ER21_MATCN_MAT_1A

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1
01
Aula Matemática
1A
Matemática básica: 
produtos notáveis e 
fatoração
Introdução
Embora este assunto tenha sido iniciado no final do Ensino Fundamental, ele representa um facilitador quando 
da resolução de diversas questões algébricas presentes em situações de cálculo em vários momentos da Matemática 
do Ensino Médio. A Geometria, que aparentemente está distanciada da Álgebra, apresenta um bom contexto para os 
chamados produtos notáveis. Observe, por exemplo, o quadrado abaixo e pense numa expressão algébrica que possa 
representar sua área, conforme as medidas indicadas.
a + b
a + b
ba
a
b
Existem duas expressões algébricas que podem ser utilizadas para representar a área desse quadrado, conforme 
veremos ainda nesta aula.
Quadrado de uma soma
Este é o primeiro caso de produtos notáveis:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo 
segundo termo e mais o quadrado do segundo termo.
2 Extensivo Terceirão
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, podemos justificar algebricamente o 
resultado:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado de uma diferença
Agora, o segundo caso de produtos notáveis:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do 
primeiro pelo segundo termo e mais o quadrado do segundo termo.
Justificamos também a partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
(a – b)2 = (a – b)(a – b)
(a – b)2 = a(a – b) – b(a – b)
(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Produto da soma pela diferença
O resultado a seguir também é conhecido como produto notável:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos resulta no quadrado do primeiro termo menos o quadrado 
do segundo termo.
Pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Fatoração de expressões algébricas
Fatorar uma expressão algébrica qualquer é transformá-la em produto. Em diversas situações esse procedimento 
de cálculo representa um facilitador na resolução tanto de expressões algébricas quanto de equações. Além dos 
produtos notáveis, vistos anteriormente, temos dois casos de fatoração:
Fator comum
Quando numa soma algébrica há um fator comum a todas as parcelas, o procedimento de colocar esse fator 
comum em evidência constitui uma fatoração. Para exemplificar, temos:
ax + bx = x . a + x . b = x . ( a+ b)
O fator x foi colocado em evidência
Observe que fatorar é o “caminho inverso” de utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição algébrica. Além disso, podemos utilizar o cálculo de área de figuras planas para compreendermos melhor esse 
procedimento algébrico.
Aula 01
3Matemática 1A
01. Simplifique a expressão algébrica E = (x – y)2 + (x + y)(x – y) + (x + y)2
• Para simplificar essa expressão algébrica, utilizaremos os três produtos notáveis estudados e, depois, reuniremos 
os termos semelhantes:
E = (x – y)2 + (x + y)(x – y) + (x + y)2
E = x2 – 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 + 2xy + y2
E = 3x2 + y2
02. Considerando valores que não anulem o denominador, reduza a fração 
a a
a
2
2
4 4
4
− +
−
 à sua forma mais simples.
• Note que tanto o numerador quanto o denominador são produtos notáveis que podem ser fatorados:
a a
a
a
a a
a
a
2
2
24 4
4
2
2 2
2
2
− +
−
=
−( )
+( ) −( ) =
−
+
03. Transforme a expressão algébrica m = x3 + 2x2 + x + 2 como o produto de dois fatores.
• A fatoração da expressão dada, conforme a seguir, é feita por agrupamentos:
m = x3 + 2x2 + x + 2
m = x2(x + 2) + 1(x+2)
m = (x + 2)(x2 + 1)
Situações resolvidas
Existem duas expressões que representam a área do retângulo a seguir.
Cálculo da área S:
S = (a + b) . x
ou
S = a . x + b . x
ba
x x
Fatoração por agrupamento
Esse caso de fatoração é usado quando, numa soma algébrica, não há um fator comum a todas as parcelas mas 
existem fatores comuns a algumas delas, de tal forma que, ao serem convenientemente agrupadas e fatoradas, recai-
-se numa expressão algébrica em que novamente é possível encontrar fator comum. Para exemplificar, temos: 
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
Também neste caso de fatoração é possível fazermos uma interpretação utilizando o cálculo de área de figuras 
planas. Assim, existem duas maneiras de representarmos a área do retângulo abaixo:
ba
x
y Cálculo da área S:
S = (a + b) . (x + y)
ou
S = a . x + b . x + a . y + b . y
4 Extensivo Terceirão
04. (UFSC) – Calcule (a – b)2, sendo a e b números reais positivos, sabendo que 
a b
ab
2 2 117
54
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
• Como queremos calcular o quadrado de uma diferença, utilizaremos os dados da questão, conforme está apre-
sentado a seguir:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a – b)2 = 117 – 2 ∙ 54 (a – b)2 = 9
05. Obtenha a expressão correspondente ao desenvolvimento de y = (a + b + c)2
• A partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:
y = (a + b + c)2
y = (a + b + c)(a + b + c)
y = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)
y = a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c2
y = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
01. Obtenha duas expressões matemáticas equivalentes que representem a área do quadrado ilustrado no início desta 
aula.
02. (FUVEST – SP) – A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma 
dos quadrados desses dois números é:
a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252
03. (MACK – SP) – O valor de 
x y
x x y xy y
4 4
3 2 2 3
−
− + −
 para x = 111 e y = 112 é:
a) 215 b) 223 c) 1 d) –1 e) 214
Situações para resolver
Aula 01
5Matemática 1A
Testes
Assimilação
01.01. Desenvolver os produtos notáveis a seguir:
a) 4 ∙ (x – 2y) = 
b) 3x2 ∙ y(x2y + 4xy3) =
c) (x + 3y)(x – 3y) = 
d) (2x – 3y)2 = 
e) (x4 + y)2 = 
Fatore as seguintes expressões:
f ) 2x – 4y = 
g) 36x2y + 18xy2 = 
h) yx – zx + 2y – 2z = 
i) xy + x + zy + z = 
j) x2 – 81 = 
k) 121 – x4y2 =
l) x2 – 4x + 4= 
m) 64 + 96 y3 + 36y6 = 
01.02. (PUC – SP) – Considere as sentenças a seguir:
I. (3x – 2y)2 = 9x2 – 4y2
II. 5xy + 15xm + 3zy + 9zm = (5x + 3z) ∙ (y + 3m)
III. 81x6 – 49a8 = (9x3 – 7a4) ∙ (9x3 + 7a4) 
Dessas sentenças, SOMENTE:
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras. 
01.03. (INSPER – SP) – A diferença entre o quadrado da soma 
e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números. 
01.04. (PUC – MG) – O valor da fração a b
a ab b
2 2
2 22
−
+ +
 
quandoa = 51 e b = 49, é:
a) 0,02.
b) 0,20.
c) 2,00.
d) 20,0. 
Aperfeiçoamento
01.05. (UTFPR) – Um fazendeiro possui dois terrenos qua-
drados de lados a e b, sendo a > b. Represente na forma de 
um produto notável a diferença das áreas destes quadrados.
a) (a + b) ∙ (a + b)
b) (a + b) ∙ (a – b)
c) (a – b) ∙ (a – b)
d) (a + b)2
e) (a – b)2
01.06. (MACK – SP) – Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20, então 
x ∙ y é igual a: 
a) – 1
b) 0 
c) 10 
d) 5
e) 1/5
6 Extensivo Terceirão
01.07. (UTFPR) – Simplificando a expressão (x y) ,
+ −
−
2
2 2
4xy
x y
 
com x ≠ y, obtém-se: 
a) 2 – 4xy
b) 
x y
x y
−
+
c) 
2xy
x y+
 
d) –2xy
e) −
−
4xy
x y
 
01.08. (UNISINOS – RS) – Qual das identidades abaixo é 
válida para quaisquer números reais x e y?
a) (x + y)2 = x2 + y2.
b) (x – y)2 = x2 – y2.
c) (x – y)2 = x2 + y2.
d) (x – y) ∙ (x + y) = x2 + y2.
e) (x – y) ∙ (x + y) = x2 – y2. 
01.09. (CEFET – MG) – Simplificando a fração algébrica 
x y x y
x y
22
2 2
2 2− + +
−
, sendo x e y números reais, tais que x + y ≠ 0 
e x – y = 4, obtém-se o valor:
a) 1,5
b) 1,0
c) 0,5
d) 0,0
01.10. (ESPM – SP) – O número que se deve somar a 
456 7882 para se obter 456 7892 é: 
a) 456 789 
b) 1 
c) 456 788 
d) 913 579 
e) 913 577
Aprofundamento
01.11. (UFMG) – Uma expressão simplificada de 
3 3 4 4
4 3
2 3 2
2
y xy y xy
y y
+ − −
−
, com y ≠ 0 e y ≠ 3/4, é:
a) –x–y. b) xy. c) –xy. d) x+y.
01.12. (INSPER – SP) – No bolso de uma pessoa havia X cé-
dulas de Y reais e Y cédulas de X reais. Se esta pessoa colocar 
neste bolso mais X cédulas de X reais e Y cédulas de Y reais, 
então esta pessoa terá no bolso:
a) (X + Y)2 reais. 
b) (X – Y)2 reais. 
c) (X2 + Y2) reais.
d) (X2 – Y2) reais. 
e) (X2 + Y2)2 reais.
01.13. (UFRGS) – Se x + y = 13 e x ∙ y = 1, então x2 + y2 é:
a) 166 b) 167 c) 168 d) 169 e) 170
Aula 01
7Matemática 1A
01.14. (FAG) – Simplificando a expressão:
2
1
1 2 12
2
x
x
x
x
x
x x+
+
+
− − − , com x ≠ 0 e x ≠ –1, obtemos: 
a) x/(x + 1)
b) x/(x – 1) 
c) (x2 – 2)/(x + 1) 
d) (x2 + 2)/(x – 1) 
e) x/2
01.15. (PUCSP) – A senha de um cadeado é formada por 3 
algarismos distintos, ABC, escolhidos entre os algarismos 3, 
4, 5, 6 e 7. Sabendo que B > A > C, e que B2 – A2 = 13, nessas 
condições o valor de A ∙ C é certamente:
a) um número primo. 
b) divisível por 5.
c) múltiplo de 3.
d) quadrado perfeito. 
01.16. (UEFS – BA) – Simplificando a expressão abaixo 
obtém-se:
x xy
xy y
x y
x y xy
2
2
2 2
2 2 2
+ ⋅
+−
−
+
a) 1
2 2x y+
b) 
1
32 2x y xy+ +
c) 
2 2
2 2
x x
x y xy
+
+ +
d) x
y
2
2
e) x
y
01.17. (UFSC) – Guardadas as condições de existência, de-
termine o valor numérico da expressão para x = 966 
( )( )
( )( )( )
x x x ax bx a b
x a b x
3 2
2
14 49 7 7
49 2 2 7 49
− − −
− − −
+ +
01.18. (UFSC) – Guardadas as condições de existência, de-
termine o valor numérico da expressão para x = 343.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
51 51 2 2 4
4 4 17 17
4 4 2
3 2
x y xy mx m nx n x
x x x my ny
+ ⋅ + ⋅
+ ⋅ ⋅
− − −
− + (( ) ( )x xy y x y2 2 69 69− + ⋅ +
8 Extensivo Terceirão
Gabarito
01.01. a) 4x – 8y
b) 3x4y2 +12x3y4
c) x2 – 9y2 
d) 4x2 – 12xy + 9y2 
e) x8 + 2x4y + y2 
f ) 2 ∙ (x – 2y) 
g) 18xy ∙ (2x + y) 
h) (y – z) (x + 2)
i) (y + 1) ∙ ( x + z)
j) (x + 9) (x – 9)
k) (11 + x2y) (11 – x2y)
l) (x – 2 )2
m) (8 + 6y3)2
01.02. e
01.03. e
01.04. a
01.05. b
01.06. d
01.07. b
01.08. e
01.09. a
01.10. e
01.11. a
01.12. a
01.13. b
01.14. a
01.15. c
01.16. e
01.17. 69
01.18. 15
01.19 c
Note que p ∙ r = 1 1 1
ab bc ac
ab ac bc+ +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +
( )
pr
a
b
b
a
c
a
a
c
b
c
c
b
= + + + + + +3
⇒ pr = 3 + q → q = pr – 3
Como q2 + 6q = q (q + 6) = (pr – 3) (pr + 3) = p2r2 –9
01.20. e
1º. passo: 
Simplificando a expressão x
y
y
x
+ temos 
x y
xy
2 2
2º. passo: 
Resolver a equação: x y
x y
2 2
2
7
12
+
+
=
( )
 :
12(x2+y2)=7(x+y)2
12x2 + 12y2 = 7(x2 + 2xy + y2) 
12x2 + 12y2 = 7x2 + 14xy + 7y2
12x2 + 12y2 – 7x2 – 7y2 = 14xy 
5x2 + 5y2 = 14xy 
5(x2+y2) = 14xy 
Fazendo a divisão dos dois membros da equação por 5xy, temos: 
5
5
14
5
2 2( )x y
xy
xy
xy
+ = 
Logo x
y
y
x
+ = =14
5
2 8, 
Desafio
01.19. (COLÉGIO NAVAL – RJ) – Sejam ‘a’, ‘b’ e ‘c’ números 
reais não nulos tais que 
1 1 1
ab bc ac
p
a
b
b
a
c
a
a
c
b
c
c
b
q+ + = + + + + + =,
e ab + a c+ bc = r. O valor de q2 + 6q é sempre igual a:
a) p r
2 2 9
4
+
b) p r p
2 2 9
12
−
c) p2r2 – 9
d) p r
r
2 2 10
4
−
e) p2r2 – 12p
01.20. (OBMEP) – Sabe-se que x y
x y
2 2
2
7
12
+
+
=
( )
, qual o valor 
de x
y
y
x
+ ?
a) 2,0 b) 2,2 c) 2,4 d) 2,6 e) 2,8
Matemática
9Matemática 1A
1B1AAula 02
 Matemática básica: resolução de 
equações e problemas do 2o. grau
A busca pelo procedimento que permitisse resolver uma equação do 2o. grau certamente 
teve diversos personagens, muitos dos quais desconhecidos. Muitas tentativas foram feitas até 
se obter a fórmula resolutiva.
Bháskara Akaria, personagen hindu nascido no ano 1114, foi o grande responsável pela 
divulgação daquilo que hoje denominamos fórmula de Bháskara. 
Nesta aula, retomamos o assunto equações do 2o. grau, apresentamos a fórmula resolu-
tiva e procuramos também resolver problemas que, de alguma forma, estão relacionados 
com a fórmula de Bháskara.
Resolução de equações incompletas
Uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) é dita equação completa quando todos os 
coeficientes reais a, b e c forem não nulos. Quando pelo menos um dos coeficientes b ou c for igual a zero, temos uma 
equação incompleta. Nesses casos, as soluções podem ser obtidas por processos algébricos bem imediatos:
ax2 + c = 0
A equação poderá ser resolvida isolando a incógnita x no primeiro membro da igualdade.
Para isolar a incógnita x no primeiro membro da igualdade, procedemos de forma análoga à resolução de uma 
equação do 1o. grau, quando empregamos princípios que mantêm verdadeira uma igualdade.
Exemplo de equação incompleta: 4x2 – 9 = 0
ax2 + bx = 0
A equação poderá ser resolvida transformando em produto o primeiro membro da igualdade.
Neste caso, para transformar o primeiro membro em produto, utilizamos a técnica de fatoração simples, conforme 
foi apresentado na aula anterior.
Exemplo de equação incompleta: 2x2 – 7x = 0
Resolução de equações completas
Qualquer equação do 2o. grau na forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), completa ou incompleta, poderá ser resolvida por 
meio da seguinte fórmula resolutiva:
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
A obtenção dessa fórmula é feita a partir do processo que permite transformar um trinômio do 2o. grau em trinômio 
quadrado perfeito. Veremos isso, na forma de exercício, ainda nesta aula.
Discriminante
A fórmula resolutiva apresentada anteriormente 
também pode ser escrita como:
D
KO
 E
st
úd
io
. 2
01
6.
 D
ig
ita
l.
x b
2a
== −− ±± ΔΔ
O discriminante da equação é: = b2 – 4ac
10 Extensivo Terceirão
01. Obtenha as soluções da equação 4 x2 – 9 = 0
• A equação apresentada é incompleta. Assim, suas soluções podem ser obtidas sem a utilização da fórmula 
resolutiva. Isolamos a incógnita x:
4 x2 – 9 = 0
4 x2 – 9 + 9 = 0 + 9
4 x2 = 9
4
4
9
4
2x
 
x 2
9
4
= →
x
3
2
x = −
3
2 
02. Determine as soluções da equação 2 x2 – 7x = 0
• Também temos aqui uma equação incompleta. Note que o primeiro membro da igualdade pode ser transfor-
mado em produto:
2 x2 – 7x = 0
x ∙ (2x – 7) = 0
• Se um produto é igual a zero, então, necessariamente, pelo menos um dos fatores deve ser nulo. Assim, temos:
x = 0 ou 2x – 7 = 0
Dessa forma, as soluções da equação são:
x = 0 e x
7
2
03. Resolva a equação completa do 2o. grau em x: 4x2 – 5x – 6 = 0
• Utilizaremos a fórmula resolutiva, considerando que os coeficientes a, b e c são iguais a 4, – 5 e – 6, respectivamente:
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
x =
− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅
( ) ( ) ( )5 5 4 4 6
2 4
2
x =
±5 121
8
 
 
x =
±
→
5 11
8
x x=
+
→ =
5 11
8
2
x x=
−
→ = −
5 11
8
3
4
04. Discuta as possibilidades de raízes da equação x2 – 4x + m = 0, sendo m um número real.
• Obtemos inicialmente a expressão que representa o discriminante em função de m:
 = b2 – 4ac
 = (– 4)2 – 4 ∙ 1 ∙ m = 16 – 4m
• Analisamos agora as três possibilidades quanto ao valor do discriminante:
 > 0 16 – 4m > 0 m < 4 (duas raízes reais e distintas)
 = 0 16 – 4m = 0 m = 4 (duas raízes reais e iguais)
 < 0 16 – 4m < 0 m > 4 (não apresenta raízes reais)
Situações resolvidas
Embora não seja necessária a utilização do discriminante na resolução de uma equação do 2o. grau, ele permite 
discutir como são suas soluções, existindo três casos:
• > 0 A equação admite duas soluções reais e distintas
• = 0 A equação admite duas soluções reais e iguais
• < 0 A equação não admite soluções reais
Aula 02
11Matemática 1A
01. Resolva a equação do 2o. grau x2 + 8x + 7 = 0 sem a utilização da fórmula resolutiva de Bháskara.
02. Demonstre a fórmula resolutiva que permite resolver qualquer equação do 2o. grau na forma ax2 + bx + c = 0 em 
função dos valores doscoeficientes a, b e c.
03. (UEL – PR) – A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33
4
. Esse 
número está compreendido entre:
a) 5 e 6 b) 1 e 5 c) 
1
2
1e d) 
3
10
1
2
e e) 0
3
10
e
Situações para resolver
12 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
02.01. (UNISINOS – RS) – As soluções da equação x2 + 3x – 4 = 0, 
são:
a) – 4 e –1. b) – 4 e 1.
c) – 4 e 3. d) –1 e 3. 
e) 1 e 3.
02.02. (IFSUL – RS) – As medidas do comprimento e da 
altura (em metros) do outdoor retangular, representado 
na figura abaixo, são exatamente as soluções da equação 
x2 –10x + 21 = 0.
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse outdoor é: 
a) 10 m2 b) 20 m2 c) 21 m2 d) 24 m2
02.03. (UTFPR) – Bárbara tem 6 anos e Ligia tem 5. Assinale 
daqui a quantos anos o produto de suas idades será igual 
a 42.
a) 1. b) 2. c) 10. d) 12. e) 30.
02.04. (UEM) – Se m e n são as soluções da equação 
2x2 + 9x – 5 = 0 e m é maior do que n, então o valor de 
n + 10m é igual a:
a) 0 b) 5 c) –5 d) 10 e) –10
Aperfeiçoamento
02.05. (ESPM – SP) – As soluções da equação 
x
x
x
x
+
−
= +
+
3
1
3 1
3
 são dois números: 
a) primos 
b) positivos 
c) negativos 
d) pares 
e) ímpares 
02.06. (UNISC – RS) – A soma de todas as raízes da equação 
(2x2 + 6x – 20) ∙ (5x – 1) = 0, é:
a) –14/5
b) –16/5
c) 14/5
d) 4/5
e) 16/5
Aula 02
13Matemática 1A
02.07. (UCS – RS) – Se uma das raízes da equação 
2x2 – 3px + 40 = 0 é 8, determine o valor de p.
02.08. (UEPG) – Um ciclista fez um percurso de 600 km, 
em n dias, percorrendo x quilômetros por dia. Se ele tivesse 
percorrido 10 km a mais por dia teria gasto 3 dias a menos. 
Nessas condições, assinale o que for correto. 
01) O número de dias usados para percorrer os 600 km é 
um número par. 
02) Ele fez o percurso em 30 dias. 
04) Ele percorreu mais de 12 km por dia. 
08) O número de quilômetros percorridos por dia é um nú-
mero divisível por 8. 
02.09. (UNIFOR – CE) – Uma indústria de cimento contrata 
uma transportadora de caminhões para fazer a entrega de 
60 toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a pro-
blemas operacionais diversos, em certo dia, cada caminhão 
foi carregado com 500 kg a menos que o usual, fazendo com 
que a transportadora nesse dia contratasse mais 4 caminhões 
para cumprir o contrato. Baseado nos dados acima se pode 
afirmar que o número de caminhões usados naquele dia foi: 
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
02.10. (FAG – PR) – O valor de n, para que a equação 
x2 – (n – 1) x + n – 2 = 0 tenha duas raízes iguais, é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Aprofundamento
02.11. (UFPR) – Considere as seguintes afirmativas a respei-
to da equação x2 – (n + 1)x + n = 0
1. O discriminante Δ ≥ 0, qualquer que seja o número 
inteiro n.
2. Quando n ≠ 1, essa equação possui duas raízes reais 
distintas.
3. O valor x = 1 é raiz da equação, qualquer que seja o nú-
mero inteiro n.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
02.12. (MACK – SP) – O número inteiro positivo, cujo 
produto de seu antecessor com seu sucessor é igual a 8, é 
a) 5 b) 4 c) – 3 d) 3 e) 2
02.13. (PUC – SP) – 
Atribui-se aos pitagóricos a regra para a determina-
ção da tríade que fornece os três lados de um triângulo 
retângulo. Essa regra é dada por 
m
m
m2 21
2
1
2
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, , 
sendo m um número inteiro ímpar e m 3.
Considere um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos 
b e c, com b > c, cujos lados obedeçam a essa regra. Se 
a + b + c = 90, o valor de a ∙ c, é:
a) 327 b) 345 c) 369 d) 381
14 Extensivo Terceirão
02.14. (UFMG) – Laura tem de resolver uma equação do 
2º. grau no “para casa”, mas percebe que, ao copiar do quadro 
para o caderno, esqueceu-se de copiar o coeficiente de x. 
Para resolver a equação, registrou-a da seguinte maneira: 
4x2 + ax + 9 = 0. Como ela sabia que a equação tinha uma 
única solução, e esta era positiva, conseguiu determinar o 
valor de a, que é
a) – 13 b) – 12 c) 12 d) 13
02.15. (PUC – SP) – Atribui-se aos pitagóricos a ideia de 
números figurados. Esses números expressam configurações 
geométricas e representam um elo entre a geometria e a 
aritmética. A tabela mostra alguns desses números e suas 
respectivas expressões algébricas gerais, em que n é um 
número natural diferente de zero.
Números 
figurados Oblongos Pentagonais Hexagonais
Expressões 
algébricas gerais n(n+1)
n n( )3 1
2
− 2n2 – n
Fonte: Carl B. Boyer: História da matemática – Editora Edgard Blücher – 1974 
(Adaptado)
Sabendo que para determinado valor de n, o número pen-
tagonal correspondente possui 3 unidades a menos que o 
número hexagonal, então o valor do número oblongo que 
corresponde ao dobro do valor de n é:
a) 18. b) 26. c) 34. d) 42.
02.16. (CEFET – RJ) – Para qual valor de “a” a equação 
(x – 2) . (2ax – 3) + (x – 2) . (–ax + 1) = 0 tem duas raízes 
reais e iguais?
a) –1 b) 0 c) 1 d) 2
02.17. (VUNESP – SP ) – Em uma sala de aula havia 3 me-
ninos a mais do que meninas. Cada menina escreveu um 
bilhete para cada menino e cada menino escreveu um bilhete 
para cada menina, num total de 176 bilhetes. O número de 
meninas nessa sala é um divisor de:
a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 e) 50
02.18. (ITA – SP) – Considere a equação a
x
b
x1
1
2
52−
−
−
= , 
com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então x ≠ 1
2
, x ≠ –1 e x ≠ 1. 
III. x = 2
3
 não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas II. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
Desafio
02.19. (FGV – SP) – Clara ganhou R$ 20,00 em uma raspa-
dinha. Mateus, seu namorado, sugeriu que ela dividisse o 
prêmio com ele. Clara disse que daria y reais para Mateus, 
com y sendo a soma das soluções reais não negativas da 
equação (x2 – 17)5x – 2 = 1, se ele resolvesse corretamente 
essa equação em R. Admitindo-se que Mateus tenha resol-
vido corretamente o problema proposto por Clara, então 
ele recebeu:
a) exatamente 1% do prêmio.
b) exatamente 21% do prêmio.
c) exatamente 22% do prêmio.
d) aproximadamente 39% do prêmio.
e) aproximadamente 43% do prêmio. 
Aula 02
15Matemática 1A
02.20. (COLÉGIO NAVAL) – Os números reais e positivos ‘x’ e ‘y’ são tais que x2 + y2 = 21 e (x – y)2 = 9. Nessas condições, 
determine o valor de 16p, onde ‘P’ é o produto das possíveis soluções da expressão 1 1 1 1
x y x y
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− .
a) 1 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/16 e) 1/8
Gabarito
02.01. b
02.02. c
02.03. a
02.04. a
02.05. e
02.06. a
02.07. p = 7
02.08. 12 (04 + 08) 
02.09. a
02.10. c
02.11. e
02.12. d
02.13. c
02.14. b
02.15. d
02.16. c
02.17. a
02.18. e
02.19. e
Considerando que a solução da equação (x² – 17)5x – 2 = 1 deverá 
ser real e não negativa, temos:
1º. caso: x² – 17 = 1 ⇔ x² = 18 ⇔ x = ± 3 2
Apenas x = 3 2 serve.
2º. caso: x² – 17 = –1 e (5x – 2) par ⇔ x = ± 4 
Apenas x = 4 serve. 
3º. caso: x2 – 17 ≠ 1. Neste caso, temos:
5x – 2 = 0 ⇔ x = 2
5
 que também é solução da equação.
Considerando 2 aproximadamente 1,4, temos:
3 2 + 4 + 2/5 = 4,2 + 4 + 0,2 = 8,4
8,4 ---------------- p
20 -----------------100%
Logo, p = 43%
02.20. b
1º. momento 
(x – y)2 = 9 ⇔ x2 – 2xy + y2 = 9 
Como temos x2 + y2 = 21, então 21 – 2xy = 9 ⇔ xy = 6
2º. momento 
(x – y)2 = 9 ⇔ x – y = 3 ou x – y = –3 
3º. momento 
1 1 1 1
x y x y
x y x y
x y x y
x y
xy
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=−
− −( ) ( )
Se x – y = 3 então 1/2 ou se x – y = –3 então − 1
2
Logo p = 
1
2
1
2
1
4
⋅ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
− −; p
16p = 16–1/4 = 1/2
16 Extensivo Terceirão
Matemática
Matemática básica: propriedades das 
raízes numa equação do 2o. grau
Aula 03 1A
O francês Albert Girard (1595 – 1632) teve trabalhos desenvolvidos na Álgebra, na Aritmé-tica e também na Trigonometria. Sua contribuição no campo da Álgebra está relacionada 
com a resolução de equações algébricas. 
Para o nosso estudo interessam-nos as chamadas relações de Girard que representam 
relações entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Entre essas rela-
ções, particularmente para uma equação do 2o. grau, abordaremos aqui duas relações:
 • soma das raízes;
 • produto das raízes.
Propriedades das raízes 
Dada uma equação do 2o. grau na forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) e indicando por x1 e x2 suas 
soluções, temos as seguintes propriedades entre as raízes e os coeficientes da equação:
• Soma das raízes x1 + x2 = – 
b
a
• Produto das raízes x1 . x2 = 
c
a
Essas relações, também conhecidas como relações de Girard, permitem relacionar a soma e também o produto das 
soluções com os correspondentes coeficientes da equação, mesmo que as soluções não sejam reais.
Observações:
Quando o coeficiente do termo do 2o. grau em x for unitário e as raízes forem números inteiros, podemos 
obtê-las mentalmente. Essa é uma consequência das propriedades das raízes:
x2 + bx + c = 0
 Produto das raízes: c
 Soma das raízes: – b
Observe que, nesse caso, para obter a soma das raízes de uma equação do 2o. grau, basta considerar o oposto 
do coeficiente de x, enquanto o produto das raízes corresponde ao termo independente de x.
Forma Fatorada
Toda equação do 2o. grau pode ser fatorada em dois fatores do primeiro grau em x. Esse resultado é decorrente 
das relações entre os coeficientes e as soluções da equação. Dada uma equação do 2o. grau na forma ax2 + bx + c = 0 
(a ≠ 0) e indicando por x1 e x2 suas soluções, ela poderá ser escrita na seguinte forma:
(x – x1) . (x – x2) = 0
Forma fatorada de uma equação do 2o. grau
Quando as raízes forem iguais, os dois fatores do 1o. grau serão também iguais. Essa relação é válida mesmo que as 
raízes não sejam reais, como veremos mais adiante quando do estudo de números complexos.
D
KO
 E
st
úd
io
. 2
01
6.
 D
ig
ita
l.
Aula 03
17Matemática 1A
01. Sendo e β as raízes da equação 2x2 – 3x – 5 = 0, calcule o valor de 1 1
α β
+ .
• Pelas relações de Girard, podemos obter o valor da expressão, isto é:
1 1
1 1
3
2
5
2
1 1 3
5
α β
β α
α β
α β
α β
+ =
+
⋅
+ =
−
−
−
+ = −
02. Determine o valor de k na equação 3x2 + kx – 2 = 0 considerando que a soma e o produto das raízes são iguais.
• Utilizando as relações de Girard, temos:
x x x x
b
a
c
a
b c
k k
1 2 1 2
2 2
+ = ⋅
− =
− =
− = − → =
03. Escreva a equação x2 – 7x + 6 = 0 na forma fatorada.
• Utilizando a fórmula resolutiva de Bháskara, obtemos as raízes
x1 = 1 e x2 = 6
• Utilizando a forma fatorada, temos:
(x – x1) ∙ (x – x2) = 0
(x – 1) ∙ (x – 6) = 0
01. Demonstre, a partir da fórmula resolutiva de Bháskara, as propriedades sobre a soma e o produto das raízes de uma 
equação do 2o. grau na forma ax2 + bx + c = 0
Situações para resolver
Situações resolvidas
18 Extensivo Terceirão
02. Demonstre que toda equação do 2o. grau ax2 + bx + c = 0 pode ser fatorada na forma (x – x1) ∙ (x – x2) = 0
03. (FUVEST – SP) – Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x
2 + 33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 
5x1x2 + 2(x1 + x2) é:
a) –33 b) –10 c) –7 d) 10 e) 33
04. As raízes das equações a seguir são números inteiros. Calcule mentalmente essas raízes utilizando as relações de 
Girard para equações do 2o. grau em x:
Equação Raízes
x2 – 13x + 36 = 0
x2 + 9x – 10 = 0
x2 – x – 2 = 0
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 30x + 125 = 0
x2 – 15x + 26 = 0
x2 – 5ax + 4a2 = 0
Testes
Assimilação
03.01. (PUC – PR) – A equação 8x2 – 28x + 12 = 0 possui 
raízes iguais a x1 e x2. Qual o valor do produto x1 ∙ x2?
a) 1/2 b) 3 c) 3/2 d) 12 e) 28
03.02. (UFPR) – Considere a equação dada por 
2x2 + 12x + 3 = –7. Assinale a alternativa que apresenta a 
soma das duas soluções dessa equação.
a) 0 b) 1 c) –1 d) 6 e) –6
Aula 03
19Matemática 1A
03.03. (UFPR) – Uma das raízes de uma equação do segun-
do grau é 3. A outra raiz tem um valor inteiro diferente de 3 
e também é positiva. Essa equação é:
a) x2 + 2x – 15 = 0.
b) x2 – 3x + 12 = 0.
c) x2 - 8x + 15 = 0.
d) x2 – 5x + 9 = 0.
e) x2 + 2x – 12 = 0.
03.04. (IF – BA) – Considere a equação do 2o. grau, em x, 
dada por 5x2 + bx + c = 0. Se as raízes dessa equação são 
r1 = –1 e r2 = 
2
5
, então o produto b.c é igual a:
a) 1
b) 5
c) –5
d) 6
e) –6 
Aperfeiçoamento
03.05. (FUVEST – SP) – Se m e n são raízes da equação 
7x2 + 9x + 21 = 0, então (m+7) ∙ (n+7) vale :
a) 49
b) 43
c) 37
d) 30
e) 30/7
03.06. (UEM – PR) – A soma das raízes da equação 
4(x2 – 5) – x(x – 2) + 2(4 – x) = 0 é igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 2/3
e) 4/3
03.07. (FAG – PR) – A soma dos valores de m para os quais 
x = 1 é raiz da equação x2 + (1 + 5m – 3m2) ∙ x + (m2 + 1) 
= 0 é igual a:
a) 5/2
b) 3/2 
c) 0 
d) –3/2 
e) –5/2
03.08. (FGV – SP) – As equações x2 – 4x +3 = 0 e x2 + x + m = 0 
tem uma raiz em comum. A soma dos possíveis valores de 
m é
a) 4.
b) −4.
c) −7.
d) −12.
e) −14. 
20 Extensivo Terceirão
03.09. (ESPM – SP) – Se as raízes da equação 2x2 – 5x – 4 = 0 
são m e n, o valor de 1 1
m n
+ é igual a: 
a) − 5
4
b) − 3
2
 
c) 3
4
 
d) 7
4
 
e) 5
2
 
03.10. (UEPG – PR) – Sendo p e q as raízes da função 
y = 2x2 – 5x + a – 3, onde 
1
p
1
q
4
3
+ = , assinale o que for 
correto. 
01) O valor de a é um número inteiro. 
02) O valor de a está entre –20 e 20. 
04) O valor de a é um número positivo. 
08) O valor de a é um número menor que 10. 
16) O valor de a é um número fracionário. 
Aprofundamento
03.11. (FGV – SP) – Na resolução de um problema que 
recaía em uma equação do 2o. grau, um aluno errou apenas 
o termo independente da equação e encontrou como raízes 
os números 2 e –14. Outro aluno, na resolução do mesmo 
problema, errou apenas o coeficiente do termo de primeiro 
grau e encontrou como raízes os números 2 e 16. As raízes 
da equação correta eram:
a) −2 e −14
b) −4 e −8
c) −2 e 16
d) −2 e −16
e) 4 e 14
03.12. (CEFET – MG) – As raízes da equação x2 + mx + n = 0 
são reais e opostas. Nessas condições, m e n são números 
reais de modo que: 
a) m = 0 e n > 0. 
b) m = 0 e n < 0. 
c) m < 0 e n > 0. 
d) m > 0 e n > 0. 
03.13. (ESPM – SP) – A soma das raízes da equação 
1
x
1
x+1
1
6
− = , é igual a: 
a) 1 
b) 4 
c) –3 
d) 0 
e) –1
03.14. (FGV – SP) – A equação quadrática x2 – 2x + c = 0, 
em que c é uma constante real, tem como raízes x1 e x2. Se 
a razão entre as raízes for –2, então c3 será:
a) um múltiplo de 3.
b) racional não inteiro.
c) irracional.
d) –2.
e) 2.
Aula 03
21Matemática 1A
03.15. (IFSC) – Pedro é pecuarista e, com o aumento da 
criação, ele terá que fazer um novo cercado para acomodar 
seus animais. Sabendo-se que ele terá que utilizar 5 voltas 
de arame farpado e que o cercado tem forma retangular 
cujas dimensões são as raízes da equação x2 – 45x + 500 = 0, 
qual a quantidade mínima de arame que Pedro terá que 
comprar para fazer esse cercado?
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 545m 
b) 225m 
c) 200m 
d) 500m 
e) 450m 
03.16. (ESPM – SP) – As raízes da equação 3x2 + 7x − 18 = 0 
são α e β. O valor da expressão α2 ∙ β+α ∙ β2− α − β é:
a) 29/3
b) 49/3
c) 31/3
d) 53/3
e) 26/3 
03.17. (MACK – SP) – Sejam a e b raízes da equação 
x2– 3kx + k2 = 0 tais que a2 + b2 = 1,75. O valor de k2 é : 
a) (1,75)2 
b) 17,5 
c) 175 
d) 0,5
e) 0,25 
03.18. (IF – BA) – Considerando a equação 
x
x
−
−
1
2
1
1
3
2
+ =
é correto afirmar que a soma das suas raízes é um número
a) múltiplo de 3
b) divisor de 16
c) par
d) primo 
e) múltiplo de 6
Desafio
03.19. (COLÉGIO NAVAL) – As equações na incógnita ‘x’ 
dadas por ax + b = 0 e ax2 + bx + c = 0, onde ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são 
números reais e a ≠ 0, possuem uma única raiz em comum. 
Sabendo que ‘m’ e ‘n’ são as raízes da equação do 2o. grau, 
marque a opção que apresenta o valor da soma m2018 + n2018.
a) c
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2018
b) ab
c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2018
c) c
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2018
d) 
bca
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2018
e) b
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2018
03.20. (EPCAR – CPCAR) – Considere as equações:
I. x2 – bx + 15 = 0 (b IR) cujas raízes são os números 
reais e ( < )
II. x2 + kx + 15 = 0 (k ∈ IR)
Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unida-
des menores do que as raízes da equação (II)
Com base nessas informações, marque a opção correta. 
a) b3 – k é um número negativo. 
b) O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação 
(I) é 1.
c) As raízes da equação (II) NÃO são números primos. 
d) α2 – β2 é um número que é divisor de 8.
22 Extensivo Terceirão
Gabarito
03.01. c
03.02. e
03.03. c
03.04. e
03.05. b
03.06. a
03.07. a
03.08. e
03.09. a
03.10. 30 (02 + 04 + 08 + 16)
03.11. b
03.12. b
03.13. e
03.14. d
03.15. e
03.16. b
03.17. e
03.18. d
03.19. e
Na equação de 1o. grau: 
ax + b = 0 → ax = – b → x = –b/a (raíz) 
Na equação de 2o. grau: (O enunciado da questão informa que m 
e n são as raízes.)
m + n= –b/a . 
Ocorre que uma das raízes vale “–b/a”. 
Assim, podemos encontrar a segunda raiz, isto é:
m n
b
a
b
a
n
b
a
n+ = → + = → =− − − 0 (outra raíz)
Com isso, o valor da expressão m2018 + n2018 equivale a:
( )0 2018
2018 2018
+ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
b
a
b
a
03.20. a
Da equação (I) podemos escrever que:
α β
α β
+ =
⋅ =
⎧
⎨
⎩
b
15
Da equação (II) podemos escrever que:
α β α β
α β α β α β
+ + + = − ⇒ + = − +
+ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ +( )+ =
⎧
⎨
⎩
8 8 16
8 8 15 8 64 15
k k
( ) ( )
Considerando as segundas equações de cada sistema acima, po-
demos concluir que:
8 64 8 8⋅ + = − ⇒ + = − ⇒ = −( )α β α β b
Resolvendo a equação (I) com b = –8, temos:
x x e2 8 15 0 5 3+ + = ⇒ = − = − <α β α β( )
Logo, k = –15, pois –k = α + β + 8 + 8.
Julgando as opções, obtemos:
a) Verdadeira, pois (–8)3 – (–15) < 0.
b) Falsa, pois o módulo de –5 – (–3) é 2. 
c) Falsa. As duas raízes são números primos.
d) Falsa. (–5)2 – (–3)2 = 16 (múltiplo de 8). 
23Matemática 1A
1B1A
Matemática
Funções: conceito e lei de 
formação de uma função
Aula 04
Matemática
Um problema bem conhecido da geometria plana é aquele em que, conhecendo-se o número de lados de um 
polígono convexo, temos que determinar o número total de diagonais.
Podemos dizer que o número de diagonais depende do número de lados (ou vértices). Em outras palavras, há uma 
relação que permite obter a quantidade de diagonais a partir do número de lados. Estamos diante de um exemplo de 
função.
A relação de dependência dessas duas grandezas pode ser representada por meio de uma fórmula denominada 
lei de formação da função:
d f n
n n
= =
⋅ −
( )
( )3
2
Conceito de função
Uma função nada mais é do que uma relação de dependência entre duas grandezas. Assim, considerando que 
duas grandezas possam ter seus valores representados por y e por x, sendo que y depende de x:
Dizemos que uma variável y é dada em função de uma variável x se, e somente se, a cada valor de x corres-
ponde um único valor de y.
Em símbolos, essa relação pode ser indicada por:
Lemos:
y depende de x ou y é uma função de x
y = f(x)
Observações:
1. Numa função y = f(x), temos que y é a variável dependente enquanto x é a variável independente. Dizemos tam-
bém que y é a imagem segundo a função f de x.
24 Extensivo Terceirão
2. Utilizando diagramas da teoria dos conjuntos, podemos indicar uma função como uma relação de dependência 
entre os elementos de dois conjuntos A e B:
A B
 No diagrama, a função f, que relaciona elementos do conjunto A com elementos do conjunto B, é indicada por 
f: A B (lemos: f que vai de A em B). 
3. Para representar uma função f: A B, cada elemento do conjunto A deve ter uma única imagem no conjunto B.
Lei de formação de uma função
Em situações práticas, quando constatamos que há uma relação de dependência entre duas grandezas, torna-se 
importante estabelecer como que isso ocorre. Em outras palavras, precisamos estabelecer uma sentença matemática 
que nos permita observar como essas grandezas estão relacionadas. Como exemplo, observe uma situação geométri-
ca envolvendo a medida da diagonal de um quadrado e a medida do lado desse quadrado:
D
L
L
D L L
D L
D L D L
2 2 2
2 2
2
2
2 2
= +
=
= → =
Pelo teorema de Pitágoras:
Observação:
Essa fórmula estabelece que a medida da diagonal do quadrado é igual à medida do lado multiplicada pela raiz 
quadrada de dois. Estamos diante da lei de formação de uma função.
A condição que estabelece a relação entre os valores de x e y, quando y é função de x, é chamada de lei de 
formação da função. Essa relação de dependência é representada por
y = f(x)
Observações:
1. Em diversas situações, que ainda serão apresentadas, uma dificuldade a ser enfrentada é exatamente o estabele-
cimento da lei de formação da função que relaciona as grandezas envolvidas.
2. Para calcular o valor do y numa função em que y = f (x), devemos substituir x na lei de formação da função. 
Podemos interpretar que x é transformado em y por meio da função f.
x y
Lei de formação
(fórmula que relaciona y em função de x)
Aula 04
25Matemática 1A
01. (PUCMG) – O valor da expressão y
x
x
=
−
+
0 25
0 5
2,
,
 para x = – 2,1 é:
a) – 1,6
b) – 1,2
c) 1,3
d) 2,6
e) 3,1
• Note que y é uma função de x. Assim, para determinar o valor de y, basta substituir x, na expressão, por – 2,1. 
Antes, porém, observe que o numerador é a diferença de dois quadrados, isto é:
y
x
x
y
x x
x
y x
=
−
+
=
+ −
+
= −
0 25
0 5
0 5 0 5
0 5
0 5
2,
,
( , )( , )
,
,
• Calculamos o valor assumido por y, ou seja:
y = f(– 2,1)
y = 0,5 – (– 2,1) y = 2,6
02. Obtenha a lei de formação de uma função y = f(x), considerando que y representa o valor pago por uma corrida de 
táxi, sendo x a quantidade de quilômetros percorridos pelo táxi. Além disso, sabe-se que a bandeirada é R$ 4,50 e 
que a cada quilômetro percorrido cobra-se R$ 2,50.
• O valor a ser pago depende de uma parte fixa (bandeirada) e de uma parte variável (quilometragem). Assim, a 
lei de formação da função é:
y = f(x)
y = 4,50 + 2,50 ∙ x
03. (PUCMG) – Um ônibus parte da cidade A com destino à cidade B. Em cada instante t, medido em horas, a distância 
que falta percorrer até o destino é dada, em quilômetros, pela função D, definida por
D(t) = 40⋅
+
+
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t
t
7
1
1
2
Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo gasto por esse ônibus para ir de A até B, em horas, é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
• Observe que a função fornece a distância que falta para chegar à cidade B. Assim, se fizermos D(t) = 0, estamos 
presumindo que a distância que falta para chegar é igual a zero. Resta calcular então o valor da variável t:
0 40
7
1
1
0
7
1
1
1
7
1
1 7
6 0
2
2
2
2
2
= ⋅
+
+
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+
+
−
=
+
+
+ = +
− − = ⇒
t
t
t
t
t
t
t t
t t
t ==
= −
⎧
⎨
⎩
3
2t
• Portanto, o tempo para ir da cidade A até a cidade B é de 3 horas.
Situações resolvidas
26 Extensivo Terceirão
01. (VUNESP – SP) – Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, 
para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo 
máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:
a) 6 horas b) 5 horas c) 4 horas d) 3 horas e) 2 horas
02. (UFES) – Os raios ultravioleta B, abreviados por UVB, atingem camadas mais profundas da pele e causam, além 
da vermelhidão, a inibição da síntese de proteínas, das mitoses e várias outras alterações celulares. Esses raios são 
parcialmente bloqueados pela camada de ozônio; no entanto, com a diminuição dessa camada, a penetração dos 
raios UVB tem aumentado, o que gera uma elevação potencial da incidência de câncer de pele. O tempo que se 
pode ficar exposto ao Sol sem sofrer queimaduras causadas por radiação ultravioleta pode ser calculado com base 
no fator de proteção solar (FPS), que é utilizado para a classificação dos filtros solares. O coeficiente de eficiência E(x) 
de um creme protetor é dado por E x
x
( )= −1
1
, sendo xo fator de proteção solar (FPS) do creme. Camila quer um 
creme protetor cujo coeficiente de eficiência seja 12% maior do que o de um creme FPS igual a 8. Ela deve, portanto, 
adquirir um creme com FPS igual a:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
Situações para resolver
Aula 04
27Matemática 1A
Testes
Assimilação
04.01. (UTFPR) – O valor da expressão algébrica 2x2 – 4x +10 
para x = 5, é:
a) 40 b) 50 c) 110 d) 160 e) 240
04.02. Seja f e g as funções definidas por f(x) = 2x + 4 e 
g(x) = x – 3.
a) Calcule f (1) + g(5) 
b) Determine x se f (x) = 0 
c) Determine x se g(x) = 3
04.03. Dada a função abaixo para todo x real:
f x
x x
( )
( )( )
= 1
1 3− −
O valor de f(0) é:
a) 1/5
b) 1/3
c) –1/4
d) –1/3
e) –1/5
04.04. Dadas as funções reais f(x) = x + 3, g(x) = x2 – 8 e 
h(x) = 8 – 3x. O valor de f g
h
( ) ( )
( )
2 3
0
+ é:
a) 3/4 b) 2/3 c) 6/7 d) 8/9 e) 2
Aperfeiçoamento
04.05. (UNAMA – PA) – Um técnico em eletrônica cobra 
R$ 50,00 a visita e R$ 30,00 a hora de trabalho. Se ele traba-
lhou x horas e recebeu p reais, então:
a) p = 150x
b) p = 50x + 30
c) p = 30x + 50
d) p = 80x 
e) p = 50x + 80
04.06. Uma fábrica de torneiras tem um custo fixo diário de 
R$ 30,00 e mais R$ 0,10 por torneira fabricada. Se essa fábrica 
produzir n torneiras em um dia, então terá tido, nesse dia, 
um custo de:
a) C(n) = 10 + 0,3 0 ∙ n
b) C(n) = 3 + n
c) C(n) = 30 + 0,10 ∙ n
d) C(n) = 300 + 10 ∙ n
e) C(n) = 0,10 ∙ n
04.07. Uma televisão que tem t anos de idade, seu valor de 
revenda é de: r(t) = 1200 ∙ 2–t/5 + 300. O preço dessa televisão 
nova era (em reais):
a) 1500
b) 400
c) 2700
d) 2000
e) 1800
 
28 Extensivo Terceirão
04.08. Sendo f uma função de variáveis reais tal que 
f(x + 4) = 3x – 6 , então f(10) é:
a) 24 b) 22 c) 12 d) 6 e) 3
04.09. (IFCE) – A função f é tal que, para qualquer valor real 
de x, tem-se f(x – 3) = 2x + 5.
É verdade que para qualquer valor de x tem-se:
a) f(x) = 2x + 11.
b) f(x) = 2x + 10.
c) f(x) = x – 11.
d) f(x) = x – 10.
e) f(x) = 3x –9.
04.10. Sendo f uma função de variáveis reais tal que 
f(2x – 2) = x, então f(2m – 2n) é:
a) m – n + 1
b) 2 – m – n
c) 2m – 2n + 2
d) m + n 
e) 1 – m + n 
Aprofundamento
04.11. ( UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por uma corrida 
de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e 
uma parcela que depende da distância percorrida. Se a 
bandeirada custa R$3,44 e cada quilômetro rodado custa 
R$0,86, calcule: 
a) o preço de uma corrida de 11 km; 
b) a distância percorrida por um passageiro que pagou 
R$21,50 pela corrida. 
04.12. (UFPR) – A distância que um automóvel percorre a 
partir do momento em que um condutor pisa no freio até a 
parada total do veículo é chamada de distância de frenagem. 
Suponha que a distância de frenagem d, em metros, possa 
ser calculada pela fórmula
d v v v( ) ( ),= +1
120
82
sendo v a velocidade do automóvel, em quilômetros por 
hora, no momento em que o condutor pisa no freio. 
a) Qual é a distância de frenagem de um automóvel que se 
desloca a uma velocidade de 40 km/h?
b) A que velocidade um automóvel deve estar para que sua 
distância de frenagem seja de 53,2 m?
04.13. (FGV – SP) – TABELA DO IMC
Índice de massa 
corporal Diagnóstico
Até 20 Magro
20-25 Normal
25-30 Sobrepeso
30-40 Obesidade
Acima de 40 ObesidadeMórbida
A medicina utiliza para o cálculo de dietas baseadas em 
calorias o chamado Índice de Massa Corporal, o IMC, que 
é uma medida mais precisa do estado de obesidade do 
paciente. O IMC é dado pela fórmula I = P/A2 em que P é o 
peso da pessoa, dado em kg, e A é a altura medida em metros. 
Suponha que uma pessoa pese 66 kg e tem altura de 162 cm. 
O indivíduo que pertence a uma faixa, não pertence a outra. 
De acordo com a tabela do IMC, ela:
a) é magra.
b) é normal.
c) tem sobrepeso.
d) é obesa.
Aula 04
29Matemática 1A
04.14. (UFPEL) – Sendo f x
x
g x
x
C( ) , ( )= =5
4
5
2
5
2
− − e 
f(0) (0)=− g 1
2
. O valor de f g
1
2
10
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟− ,
 arredondan-
do somente no resultado final, com três algarismos decimais 
após a vírgula, é:
a) 49,313. b) –60,688.
c) 49,312. d) –60,687.
e) 60,688.
04.15. Dada a função abaixo para todo x real, com sua lei 
de formação;
f x
x se x
x x se x
x se x
( ) =
<
+ ≤ ≤
+ >
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 4 2
4 2 2
3 2
2
− −
− −
A soma de f(2) + f(–3) – f (4) é :
a) –1 b) –15 c) 12 d) –2 e) 9
04.16. (FAAP – SP) – Analistas de produção verificaram que 
numa determinada montadora, o número de peças produ-
zidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 
f x
t t para t
t para t
( )
( ),
( ),
=
⋅ + ≤ <
⋅ + ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
50 0 4
200 1 4 8
2
O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é: 
a) 1.000 
b) 800 
c) 200 
d) 400 
e) 600
04.17. (UNESPAR) – Um motorista de táxi percorre diaria-
mente 200 km. Sabe-se que o carro abastecido a álcool 
faz 7 km por litro e abastecido a gasolina faz 9 km por litro. 
Considere as seguintes afirmações:
I. f a
a
( ) = ⋅200
7
sendo a o preço do álcool, é uma a função 
que representa o gasto diário do taxista caso abasteça 
com álcool.
II. f (k) = 9k + 200, sendo k o preço da gasolina, é uma função 
que representa o gasto diário do taxista caso abasteça 
com gasolina.
III. f k
k
( ) = ⋅200
9
sendo k o preço da gasolina, é uma função 
que representa o gasto diário do taxista caso abasteça 
com gasolina.
IV. Abastecer a álcool será mais barato, caso o preço do álcool 
seja menor que o preço da gasolina.
V. f (a) = 7a + 200, sendo a o preço do álcool, é uma a função 
que representa o gasto diário do taxista caso abasteça 
com álcool.
a) Apenas II e V são falsas;
b) Somente a III é verdadeira;
c) Apenas III e IV são verdadeiras;
d) Apenas III e V são falsa
e) Somente a V é falsa.
04.18. (UEL – PR) – Como podemos compreender a dinâmica 
de transformar números? Essa pergunta pode ser respondida 
com o auxílio do conceito de uma função real. Vejamos um exem- 
plo. Seja para todo x, a função dada por f(x) = x 5 + 1 − 2x. 
Se a, b ∈ R são tais que f(a) = b, então diremos que b é 
descendente de a e também convencionaremos dizer que 
a é ancestral de b. Por exemplo, 1 é descendente de 0, já que 
f(0) = 1. Note também que 1 é ancestral de 5 − 1, uma vez 
que f(1) = 5 − 1.
Com base na função dada, e nessas noções de descendên-
cia e ancestralidade, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às 
afirmativas a seguir.
( ) Todo número real tem descendente.
( ) 2 + 5 é ancestral de 2.
( ) Todo número real tem ao menos dois ancestrais dis-
tintos.
( ) Existe um número real que é ancestral dele próprio.
( ) 6 − 2 5 é descendente de 5.
Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a 
sequência correta.
a) F, F, F, V, V
b) F, V, F, F, V
c) V, V, F, V, F
d) V, V, V, F, V
e) V, F, V, V, F
30 Extensivo Terceirão
Desafio
04.19. (OBMEP) – Se f(x) = 5x2 + ax + b, com a ≠ b, f(a) = b 
e f(b) = a ,qual é o valor de a + b?
a) –5
b) –1/5 
c) 0
d) 1/5
e) 5
Gabarito
04.20. (SANTA CASA – SP) – Segundo estudos publicados, 
a chance C de um indivíduo sofrer um acidente de trânsito 
após ingerir n doses de bebida alcoólica, quando comparado 
ao seu estado sóbrio, é aumentada, em número aproximado 
de vezes, de acordo com a função
C n n n para n( ) ( ), .= ⋅ + ≥1
2
7 18 14 22 −
A ingestão de nova dose de bebida alcoólica faz com que 
aumente a chance de uma pessoa sofrer um acidente. A 
expressão C(n) – C(n – 1) descreve o aumento da chance de 
uma pessoa sofrer um acidente, quando comparado à sua 
ingestão de uma dose a menos. Essa expressão equivale a:
a) 7n – 12,5.
b) 7n – 18.
c) 18n – 12,5.
d) 7n – 5,5.
e) 18n – 5,5.
04.01. a
04.02. a) 8
b) x = –2
c) x = 6
04.03. b
04.04. a
04.05. c
04.06. c
04.07. a
04.08. c
04.09. a
04.10. a
04.11. a) R$ 12,90
b) 21Km
04.12. a) 16m
b) 76 Km/h
04.13. c
04.14. c
04.15. b
04.16. d
04.17. a
04.18. c
04.19. b
Se f(a) = b então 5a2 + a ∙ a + b = b, então 6a2 + b = b, logo a = 0.
Como f(b) = 5b2 + a ∙ b + b = a, então 5b2 + b = 0, ou seja, 
b ∙ (5b + 1) = 0. Portanto, b = 0 oub = –1/5. Como a e b devem ser 
diferentes, então b = –1/5.
a + b = 0 + (–1/5) = –1/5
04.20. a
C(n) =
 7n2 −18 14
2
n+
 
C(n 1) =
 7 (n 1) (n 1)+142− − − − −⋅ = +18
2
7 32 39
2
2n n
C(n) C(n 1) =
 14n 25
1− − − −
2
7 2 5= n ,