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Aula 05
Raciocínio Lógico - Matemático p/ PRF
(Policial)Com Videoaulas-2020-
Pré-Edital(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 05
8 de Junho de 2020
Curso adquirido no site www.rateiobarato.com
 
 
1 
 
 
1. Trinômio Quadrado Perfeito .............................................................................................. 2 
1.1 Como fabricar um trinômio quadrado perfeito ............................................................. 3 
2. Raiz quadrada e equação do segundo grau .................................................................. 6 
3. Equação do 2º grau .............................................................................................................. 8 
4. Solução geral de uma equação do segundo grau ..................................................... 12 
5. Relações de Girard ............................................................................................................. 16 
6. Forma fatorada .................................................................................................................... 20 
7. Lista de Questões de Concursos Anteriores ................................................................ 24 
8. Gabaritos .............................................................................................................................. 41 
9. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ............................. 43 
10. Considerações Finais ....................................................................................................... 113	
 
 
Guilherme Neves
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Equação do 2º Grau? 
 
1. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
 
Denomina-se trinômio quadrado perfeito todo trinômio do segundo grau que pode ser fatorado 
na forma (𝑚𝑥 + 𝑛)'. 
Vamos desenvolver a expressão acima. 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = (𝑚𝑥 + 𝑛)(𝑚𝑥 + 𝑛) = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 + 𝒏𝒎𝒙 + 𝑛' 
 
Observe que 𝑚𝑛𝑥 = 𝑛𝑚𝑥, pois a multiplicação é uma operação comutativa. 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 𝑚𝑛𝑥 +𝒎𝒏𝒙 + 𝑛' 
 
(𝑚𝑥 + 𝑛)' = 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛' 
 
Desta maneira, como identificar se um trinômio do segundo grau é um trinômio quadrado 
perfeito? 
 
 
 
Guilherme Neves
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1) Calcule a raiz quadrada do termo em x2 e do termo independente (o 
termo que não tem x). Desta forma, você obtém m e n. 
2) Multiplique os resultados obtidos e depois multiplique por 2. Assim, você 
obtém 2mn. 
3) Se o resultado for igual ao termo em x, o trinômio é quadrado perfeito. 
Exemplo: 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 
A raiz quadrada do primeiro termo é 8x. A raiz quadrada do termo independente é 5. Vamos 
multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. 
 
𝟖𝒙 ∙ 𝟓 ∙ 𝟐 = 𝟖𝟎𝒙 
O resultado coincidiu com o termo do meio. 
Assim, o trinômio 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é (𝟖𝒙 + 𝟓)𝟐. 
Exemplo: Fatore o trinômio 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 + 𝟗. 
Comentário 
Vamos verificar se o trinômio acima é um quadrado perfeito. 
A raiz quadrada do primeiro termo é 4x. A raiz quadrada do termo independente é 3. Vamos 
multiplicar esses resultados e depois multiplicar por 2. 
4𝑥 ∙ 3 ∙ 2 = 24𝑥 
O resultado coincidiu com o termo do meio. 
Assim, o trinômio 16𝑥' + 24𝑥 + 9 é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é (4𝑥 + 3)'. 
 
1.1 Como fabricar um trinômio quadrado perfeito 
 
Em geral, caso um trinômio do segundo grau não seja quadrado perfeito, podemos utilizar 
alguns artifícios algébricos para forçar a criação de um quadrado perfeito. Isso nos ajudará na 
resolução de equações do segundo grau. 
Guilherme Neves
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Observe a forma do trinômio perfeito: 𝑚'𝑥' + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛'. 
 
Imagine que não temos o termo independente 𝑛'. Como a partir dos outros coeficientes 2mn e 
m2 podemos calcular n2? 
 
i) Eleve 2mn ao quadrado e obtenha 4m2n2. 
 
ii) Divida o resultado anterior por 4m2 e obtenha 4m2n2/4m2 = n2. 
 
Assim, 
Se você elevar ao quadrado o coeficiente de x e dividir por 4 vezes o coeficiente 
de x2, você obterá o termo independente n2. 
 
Vamos agora reescrever este procedimento com um binômio geral 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥. No caso anterior, 
𝑎 = 𝑚'	𝑒	𝑏 = 2𝑚𝑛. No procedimento anterior, substitua 2mn por b e m2 por a. 
 
i) Eleve b ao quadrado e obtenha b2. 
 
ii) Divida o resultado anterior por 4a e obtenha b2/4a. 
 
Em suma, 
Se temos apenas um trinômio da forma ax2 + bx e queremos completá-lo para 
formar um trinômio quadrado perfeito, basta somar b2/4a. 
 
Guilherme Neves
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Vejamos o trinômio do segundo grau 16𝑥' + 80𝑥 + 30. 
 
Este não é um trinômio quadrado perfeito. Observe que a raiz quadrada do termo dominante é 
4x, a raiz quadrada do termo independente é√30. Ao multiplicar estes valores e multiplicar o 
resultado por 2, encontramos 8𝑥√30, que não coincide com o termo do meio. 
 
Esqueça por um momento o termo independente. Ficamos com 16𝑥' + 80𝑥. 
 
Neste caso, a = 16 e b = 80. Para obtermos um quadrado perfeito, devemos adicionar b2/4a. 
 
𝑏'
4𝑎 =
80'
4 ∙ 16 =
6.400
64 = 100 
 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 100		 ⟶ 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜	𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 
 
Entretanto, já tínhamos 30 como termo independente. Que vamos fazer então? Vamos tomar o 
trinômio original e então adicionamos 100 e subtraímos 100 para que o trinômio não seja 
alterado. 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 16𝑥' + 80𝑥 + 30 + 100 − 100NOOPOOQ
R
= 16𝑥' + 80𝑥 + 100 + 30 − 100 
 
16𝑥' + 80𝑥 + 30 = 16𝑥' + 80𝑥 + 100 − 70 = (4𝑥 + 10)' − 70 
 
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Esta não é a fatoração do trinômio dado, mas, como dito anteriormente, será 
bastante útil para resolver equações do segundo grau. 
 
2. RAIZ QUADRADA E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
É importante notar a diferença entre, por exemplo, calcular a raiz quadrada de 9 e resolver a 
equação x2 = 9. 
 
A raiz quadrada de 9 é um resultado único: 3. 
 
√9 = 3 
 
Isto porque estamos trabalhando no universo dos números reais e a raiz quadrada possui um 
valor único e positivo. É errado, portanto, no universo dos números reais, escrever que √9 = ±3. 
 
Resolver a equação x2 = 9 significa encontrar valores de x que tornam esta sentença aberta uma 
sentença verdadeira. Há dois valores que satisfazem esta equação, a saber: 3 ou -3. 
 
3' = 9 
 
(−3)' = 9 
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Assim, o conjunto solução da equação x2 = 9 é S = {-3,3}. 
 
Rigorosamente, o passo a passo para resolver tal equação é o seguinte. 
 
𝑥' = 9 
 
U𝑥' = √9 
 
Vimos que √9 = 3. Entretanto, √𝑥' não é x. Existe uma propriedade dos módulos (ou valores 
absolutos) dos números reais que diz que √𝑥' = |𝑥|. 
 
|𝑥| = 3 
 
Existem dois números reais com módulo igual a 3, a saber:3 ou -3. 
 
Portanto, x = 3 ou x = -3. 
 
Entretanto, não é necessário escrever este passo a passo toda vez que for resolver uma equação 
do segundo grau. Fazemos simplesmente assim: 
 
𝑥' = 9 
 
𝑥 = ±√9 
 
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𝑥 = ±3 
 
Novamente: o símbolo ± não foi originado da raiz de 9. Ele foi originado de √𝑥' = |𝑥|. 
 
3. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Denomina-se equação do 2º grau toda equação que pode ser escrita na forma 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde a, b e c são números reais e a ¹ 0. 
 
Alguns casos particulares têm solução imediata. 
 
i) b = c = 0 
 
Neste caso, a equação reduz-se a ax2 = 0. 
 
𝑎𝑥' = 0 
𝑥' = 0 
𝑥 = 0 
 
Assim, o conjunto verdade é V = {0}. 
ii) b = 0 
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Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + c = 0. Nem sempre é possível resolver 
esta equação no conjunto dos números reais. 
 
 Observe os seguintes exemplos. 
 
Exemplo 1: 
9𝑥' − 4 = 0 
 
9𝑥' = 4 
 
𝑥' =
4
9 
 
𝑥 = ±X
4
9 
 
𝑥 = ±
2
3 
 
Assim, o conjunto solução é S = {-2/3, 2/3}. 
 
Exemplo 2: 
9𝑥' + 4 = 0 
 
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9𝑥' = −4 
 
𝑥' = −
4
9 
 
𝑥 = ±X−
4
9 
 
 
Entretanto, não é possível calcular raiz quadrada de números negativos no 
universo dos números reais. Assim, não há valor real de x que satisfaça a equação 
9𝑥' + 4 = 0 e o conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. 
 
iii) c = 0 
 
Neste caso, a equação reduz-se a ax2 + bx = 0. Podemos resolver esta equação 
fatorando a expressão. 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = 0 
 
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
 
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Assim, o produto de dois números (x e ax+b) é igual a zero. Para que o produto entre dois 
números seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑎𝑥 = −𝑏 
 
𝑥 = 0	𝑜𝑢	𝑥 = −
𝑏
𝑎 
 
E o conjunto solução é S = {0, -b/a}. 
 
Exemplo 1: 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟎 
 
𝒙(𝟐𝒙 + 𝟔) = 𝟎 
 
𝒙 = 𝟎	𝒐𝒖	𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
 
𝒙 = 𝟎	𝒐𝒖	𝒙 = −𝟑 
 
𝑺 = {𝟎,−𝟑} 
Exemplo 2: 
−𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎 
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𝒙(−𝟑𝒙 + 𝟏𝟐) = 𝟎 
 
𝒙 = 𝟎	𝒐𝒖	 − 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
𝒙 = 𝟎	𝒐𝒖	𝒙 = 𝟒 
 
𝑺 = {𝟎, 𝟒} 
 
4. SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
Vimos como resolver alguns casos particulares de equações do segundo grau. Vamos 
desenvolver uma fórmula para resolver qualquer equação do segundo grau. 
 
A equação do segundo grau tem a seguinte forma: 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Podemos reescrever: 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 = −𝑐 
Temos um binômio do segundo grau no primeiro membro da equação. Para obter um trinômio 
quadrado perfeito, como vimos, devemos adicionar 𝑏'/4𝑎	. Para não alterar a equação, vamos 
adicionar este número em ambos os membros. 
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𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 +
𝑏'
4𝑎 =
𝑏'
4𝑎 − 𝑐 
 
O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado. Vamos dividir o 
todos os termos da equação por a para facilitar os cálculos. 
 
𝑥' +
𝑏
𝑎 𝑥 +
𝑏'
4𝑎' =
𝑏'
4𝑎' −
𝑐
𝑎 
 
Vamos agora fatorar o trinômio quadrado perfeito do primeiro membro. A raiz quadrada do 
primeiro termo é x e a raiz quadrada do último termo é b/2a. 
 
No segundo membro, vamos subtrair as frações. 
 
c𝑥 +
𝑏
2𝑎d
'
=
𝑏' − 4𝑎𝑐
4𝑎' 
 
𝑥 +
𝑏
2𝑎 = ±
X𝑏
' − 4𝑎𝑐
4𝑎' 
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎 ±
√𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
 
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𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂 
 
Esta é a tão conhecida fórmula utilizada para resolver equações do segundo grau. Você não 
precisa se estressar em entender a dedução dela. Vamos aprender a aplicá-la. 
 
Denominamos discriminante o número real 𝚫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄. Podemos reescrever a fórmula 
resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
Esta fórmula, exclusivamente no Brasil, erradamente, é chamada de Fórmula de Bhaskara. 
 
Não sei o exato motivo de esse nome ser utilizado no Brasil. Bhaskara foi um famoso matemático 
indiano e que desenvolveu alguns métodos para resolver problemas que envolviam equações do 
segundo grau. 
 
Algum escritor ou professor brasileiro, algumas décadas atrás, interpretou que Bhaskara “criou” 
esta fórmula e o nome entrou na moda. 
 
Assim, o correto seria chamar a fórmula acima de “fórmula resolutiva da equação do segundo 
grau” ou algo do gênero. 
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Vejamos como aplicar esta fórmula em três exemplos. 
 
 
Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto 
solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não 
podem ser calculadas no universo dos números reais. 
 
Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. 
 
 
 
 
 
 
0 Duas raízes reais e distintas
0 Duas raízes reais e iguais 
0 Não há raízes reais
D > Û
D = Û
D < Û
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5. RELAÇÕES DE GIRARD 
 
Vamos resolver a equação 12𝑥' − 10𝑥 + 2 = 0. 
 
Considerando a notação usual 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, temos que 𝑎 = 12, 𝑏 = −10	𝑒	𝑐 = 2. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−(−10) ± U(−10)' − 4 ∙ 12 ∙ 2
2 ∙ 12 
 
𝑥 =
10 ± 2
24 
Assim: 
 
𝑥j =
10 + 2
24 =
12
24 =
1
2 					𝑜𝑢	𝑥' =
10 − 2
24 =
8
24 =
1
3 
 
Vamos calcular a soma das raízes: 
 
𝑆 = 𝑥j + 𝑥' =
1
2 +
1
3 =
3 + 2
6 =
5
6 
 
Vamos calcular o produto das raízes: 
 
𝑃 = 𝑥j ∙ 𝑥' =
1
2 ∙
1
3 =
1
6 
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==15ae22==
 
 
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Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo 
grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim, existe! É sobre este assunto que falaremos 
agora: As Relações de Girard. 
 
São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. 
 
Vejamos: Chamaremos de 𝑥j	𝑒	𝑥' as raízes da equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Desta maneira: 
 
𝑥j =
−𝑏 + √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 	𝑒	𝑥' =
−𝑏 − √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
Vamos multiplicar e somar estes dois números:𝑆 = 𝑥j + 𝑥' =
−𝑏 + √Δ
2𝑎 +
−𝑏 − √Δ
2𝑎 
 
𝑆 =
−𝑏 + √Δ − 𝑏 − √Δ
2𝑎 =
−2𝑏
2𝑎 = −
𝑏
𝑎 
 
𝑆 = 𝑥j + 𝑥' = −
𝑏
𝑎 
 
𝑃 = 𝑥j𝑥' = m
−𝑏 + √Δ
2𝑎 nm
−𝑏 − √Δ
2𝑎 n 
 
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𝑃 =
𝑏' + 𝑏√Δ − 𝑏√Δ − o√Δp
'
4𝑎' 
 
𝑃 =
𝑏' − Δ
4𝑎' =
𝑏' − (𝑏' − 4𝑎𝑐)
4𝑎' =
4𝑎𝑐
4𝑎 ∙ 𝑎 
 
𝑃 = 𝑥j𝑥' =
𝑐
𝑎
 
 
 
 
 
Relações de Girard 
𝑆 = 𝑥j + 𝑥' = −
q
r
 -----------------à Soma das raízes 
 
𝑃 = 𝑥j𝑥' =
s
r
 -----------------à Produto das raízes 
 
 
 
 
 
 
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Vamos voltar ao nosso exemplo: 
𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐 = 𝟎. 
 
𝒂 = 𝟏𝟐, 𝒃 = −𝟏𝟎	𝒆	𝒄 = 𝟐 
 
Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: 
 
𝑺 =
−𝒃
𝒂 =
−(−𝟏𝟎)
𝟏𝟐 =
𝟏𝟎
𝟏𝟐 =
𝟓
𝟔
 
 
O produto das raízes é dado por: 
 
𝑷 =
𝒄
𝒂 =
𝟐
𝟏𝟐 =
𝟏
𝟔
 
 
Ainda com as relações de Girard, podemos resolver outros problemas como, por exemplo, 
calcular a soma dos inversos das raízes ou a soma dos quadrados das raízes. Observe: 
 
a) Soma dos inversos das raízes. 
 
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
=
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝒙𝟏𝒙𝟐
=
𝟓/𝟔
𝟏/𝟔 =
𝟓
𝟔 ∙
𝟔
𝟏 = 𝟓
 
 
De fato, as raízes são 1/2 e 1/3. Assim, a soma dos seus inversos é 2 + 3 = 5. 
 
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b) Soma dos quadrados das raízes 
 
Agora estamos interessados em calcular 𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐𝟐. 
 
Para calcular o desejado, vamos partir de (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐. 
 
(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝟐 = 𝒙𝟏𝟐 + 𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 
 
c
𝟓
𝟔d
𝟐
= 𝒙𝟏𝟐 + 𝟐 ∙
𝟏
𝟔 + 𝒙𝟐
𝟐 
 
𝟐𝟓
𝟑𝟔 = 𝒙𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟑 + 𝒙𝟐
𝟐 
 
𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 =
𝟐𝟓
𝟑𝟔 −
𝟏
𝟑 =
𝟐𝟓 − 𝟏𝟐
𝟑𝟔 =
𝟏𝟑
𝟑𝟔
 
 
6. FORMA FATORADA 
 
Voltemos à equação 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
 
Podemos reescrever da seguinte forma: 
 
𝑎 c𝑥' +
𝑏
𝑎 𝑥 +
𝑐
𝑎d = 0 
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21 
 
 
𝑎 v𝑥' − c−
𝑏
𝑎d𝑥 +
𝑐
𝑎w = 0 
 
Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes, temos: 
 
𝒂[𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷] = 𝟎 
 
Com a expressão acima, podemos “fabricar” equações do segundo grau, se são 
dadas as raízes. 
 
Por exemplo, vamos fabricar uma equação do segundo grau de raízes -3 e 5. 
 
Neste exemplo, a soma das raízes é S = -3 + 5 = 2 e o produto das raízes é P = - 3 x 5 = -15. 
 
Substituindo na expressão acima, temos: 
 
𝑎[𝑥' − 2𝑥 − 15] = 0 
 
Agora basta escolher qualquer valor diferente de zero para a. 
 
Para a = 1, temos 𝑥' − 2𝑥 − 15 = 0. 
 
Para a = -3, temos −3𝑥' + 6𝑥 + 45 = 0. 
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22 
 
 
Voltemos à equação 𝑎[𝑥' − 𝑆𝑥 + 𝑃] = 0 
 
Se x1 e x2 são as raízes da equação, das relações de Girard, temos: 
 
𝑎[𝑥' − (𝑥j + 𝑥')𝑥 + 𝑥j𝑥'] = 0 
 
𝑎[𝑥' − 𝑥j𝑥 − 𝑥'𝑥 + 𝑥j𝑥'] = 0 
 
𝑎[𝑥(𝒙 − 𝒙𝟏) − 𝑥'(𝒙 − 𝒙𝟏)] = 0 
 
Observe que (𝑥 − 𝑥j) é um fator comum. Portanto, 
 
𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) = 𝟎 
 
Essa é a forma fatorada da equação do segundo grau. 
 
De fato, para fatorar qualquer trinômio do segundo grau, ou seja, para fatorar ax2 +bx +c, bastar 
achar as raízes da equação ax2 +bx +c=0 e substituir na expressão 𝑎(𝑥 − 𝑥j)(𝑥 − 𝑥'). 
 
Em suma, temos: 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐) 
em que x1 e x2 são as raízes da equação 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. 
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23 
 
Você também pode usar a forma fatorada para “fabricar” equações do segundo grau. 
 
Exemplo: Fatorar o polinômio 3x2 – 15x – 72. 
 
O primeiro passo é resolver a equação 3x2 – 15x – 72 = 0. 
 
Dividindo todos os membros por 3, temos: 
 
𝑥' − 5𝑥 − 24 = 0 
 
O discriminante é Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24) = 121 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 =
5 ± 11
2 
 
Assim, x = 8 ou x = -3. 
 
𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥j)(𝑥 − 𝑥') 
 
3𝑥' − 15𝑥 − 72 = 3(𝑥 − 8)(𝑥 + 3) 
 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
 
 
1. (VUNESP – 2019/UNICAMP) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 tem duas raízes. Subtraindo-se a menor da maior, obtém-se o 
valor 
a) 6. 
b) 4. 
c) 2. 
d) – 4. 
e) – 6. 
 
2. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Ribeirão Preto) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟎 tem duas raízes reais. Subtraindo-se a menor da maior obtém-se 
a) – 9. 
b) – 5. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
 
 
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3. (VUNESP – 2019/Câmara Municipal de Serrana) 
Especialistas em segurança no trânsito apontam que a distância mínima D, em metros, 
necessária para que dois motoristas de habilidade média, conduzindo veículos que percorram, 
em sentidos opostos, uma mesma faixa de tráfego, possam evitar o choque frontal, recorrendo 
aos freios, pode ser obtida, de modo simplificado, pelo seguinte cálculo: 
𝑫 = 𝟐 ∙ (𝟎, 𝟓 ∙ 𝑽 + 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝑽𝟐) 
Na expressão indicada, V corresponde à velocidade máxima permitida, em km/h, que cada um 
dos veículos pode manter, no referido trecho, com V positivo. 
 
A distância mínima de 300 m, necessária para evitar o choque frontal, está associada a uma 
velocidade V igual a 
a) 60 km/h. 
b) 80 km/h. 
c) 100 km/h. 
d) 120 km/h. 
e) 150 km/h. 
 
4. (VUNESP – 2019/UFABC) 
Considere a equação do segundo grau 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒒, na qual 𝒒 representa um número inteiro. 
Sabendo-se que −𝟑 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa 
equação é igual a 
a) – 6. 
b) –13. 
c) 0. 
d) 7. 
e) 12. 
 
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5. (VUNESP – 2019/Prefeitura de Itapevi) 
Uma professora pediu a seus alunos que resolvessem a equação 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎. Joana anotou 
uma equação do segundo grau errada em seu caderno, mas fez a resolução correta e cada raiz 
determinada por ela é 3 a menos do que as raízes da equação proposta pela professora. A 
equação resolvida por Joana, que começa por 𝒙𝟐, é 
a) 𝑥' − 3𝑥 − 15 = 0. 
b) 𝑥' + 2𝑥 − 9 = 0. 
c) 𝑥' + 𝑥 + 12 = 0. 
d) 𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0. 
e) 𝑥' − 12𝑥 − 1 = 0. 
 
6. (VUNESP – 2018/Câmara Municipal de 2 Córregos) 
Para a realização de um plenário, foram disponibilizadas para a plateia 96 cadeiras dispostas em 
fileiras, de modo que o número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de 
fileiras. O número de cadeiras de uma fileira é 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
 
7. (VUNESP– 2018/Prefeitura de Barretos) 
Em uma planilha há 192 espaços a serem preenchidos, distribuídos em linhas e colunas. A figura 
mostra um pedaço dessa planilha. 
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27 
 
 
Sabendo-se que o número de linhas é o triplo do número de colunas, então, o número de linhas 
de uma coluna é 
a) 15. 
b) 18. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 27. 
 
8. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em um escritório, havia 432 pastas que foram colocadas em caixas, de modo que cada caixa 
continha o mesmo número de pastas. Sabendo que o número de pastas por caixa é três vezes o 
número de caixas, então o número de pastas de uma caixa é 
a) 40. 
b) 36. 
c) 32. 
d) 28. 
e) 24. 
 
9. (VUNESP – 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
Em um depósito, há 108 latas de tinta empilhadas, e cada pilha tem o mesmo número de latas. 
Sabendo-se que o número de pilhas é o triplo do número de latas de uma pilha, então o número 
de pilhas é 
a) 18. 
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28 
 
b) 15. 
c) 12. 
d) 9. 
e) 6. 
 
10. (VUNESP – 2019/UNIFAI) 
Em uma turma com 31 crianças, cada menino deu para cada menina 1 bombom, de maneira que 
foram dados 228 bombons. Se nessa sala há mais meninas do que meninos, a soma dos 
algarismos do número de meninas nessa turma é igual a 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
 
11. (VUNESP – 2018/Câmara Municipal de Jales) 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André, e Carlos tem 17 carrinhos a menos do que 
André. Se o produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de 
Carlos é igual a 208, esses três meninos têm, juntos, um total de carrinhos igual a 
a) 55. 
b) 56. 
c) 57. 
d) 58. 
e) 59. 
 
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29 
 
12. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Buritizal) 
Em uma loja onde todos são vendedores, trabalham 7 mulheres a mais do que homens. Em 
certo dia, todos esses vendedores venderam, cada um, 12 camisas. O número de camisas 
vendidas por todos esses vendedores é igual ao produto do número de homens pelo número de 
mulheres que trabalham na loja. O total de vendedores dessa loja é 
a) 28. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 49. 
e) 56. 
 
13. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em uma sala de aula havia 3 meninos a mais do que meninas. Cada menina escreveu um bilhete 
para cada menino e cada menino escreveu um bilhete para cada menina, num total de 176 
bilhetes. O número de meninas nessa sala é um divisor de 
a) 24. 
b) 30. 
c) 36. 
d) 42. 
e) 50. 
 
14. (VUNESP – 2018/PAULIPREV) 
Em uma empresa, no Dia da Secretária, cada secretária comprou uma flor para cada outra 
secretária, sendo que nenhuma delas comprou flor para si mesma. Três diretoras compraram, 
cada uma, duas flores para cada secretária. A presidente da empresa comprou onze flores para 
apenas uma secretária. Se no total foram compradas 137 flores, o número de secretárias dessa 
empresa é divisor de 
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30 
 
a) 123. 
b) 256. 
c) 384. 
d) 459. 
e) 660. 
 
15. (VUNESP – 2018/Prefeitura de São José dos Campos) 
Alguns aniversariantes comemoraram juntos seus aniversários e convidaram 15 amigos para uma 
festa. Cada convidado trouxe um presente para cada aniversariante. Cada aniversariante 
também trouxe um presente para cada outro aniversariante, mas não para si próprio. Se, no 
total, foram oferecidos 351 presentes, o número de aniversariantes era um número divisor de 
a) 20. 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
 
16. (CESPE – 2008/PRF) 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter 
cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas 
multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um 
reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando 
um total de R$ 6.720,00. 
Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
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31 
 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
 
17. (CESPE – 2007/SEBRAE-AC) 
Julgue o item seguinte. 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. 
 
18. (CESPE – 2008/SEAD-SE) 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. 
 
19. (CESPE – 2007/SGA-AC) 
Se 𝑥j e 𝑥' são as raízes da equação 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥j/𝑥' > 0. 
 
20. (CESGRANRIO – 2010/Petrobras) 
Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. 
 
Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
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32 
 
(D) 7 
(E) 8 
 
21. (CETRO – 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) 
Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
c) (7,1) 
d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
 
22. (CETRO – 2004/Assistente Administrativo IMBEL) 
Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
 
23. (ESAF/TTN) 
A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
a) 0 
b) 16 
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33 
 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
 
24. (ESAF – 2005/AFC-STN) 
A soma dos valores reais de 𝒙 
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 =
𝟏𝟓𝟔
𝒙𝟐 + 𝒙
 
é igual a: 
a) −6 
b) −2 
c) −1 
d) 6 
e) 13 
 
25. (ESAF – 2006/TFC) 
Determinar 𝒂 de modo que a equação 𝟒𝒙𝟐 + (𝒂 − 𝟒)𝒙 + 𝟏 − 𝒂 = 𝟎 tenha duas raízes iguais: 
a) 𝑎 = 0 
b) 𝑎 = −8	𝑜𝑢	𝑎 = 0 
c) 𝑎 = 8 
d) −8 < 𝑎 < 0 
e) 𝑎 < 0	𝑜𝑢	𝑎 > 8 
 
 
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34 
 
26. (FCC – 2002/SEA-AP) 
Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que 
subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 52 
 
27. (FCC – 2004/TRT 2ª Região) 
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem 
arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao 
serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente 
previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
 
28. (CETRO – 2006/AssistenteAdministrativo EBDA) 
O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja 
igual a 7 é: 
a) - 7 
b) - 2 
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35 
 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
 
29. (CETRO – 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das 
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: 
a) -2 
b) -1 
c) 5 
d) 7 
e) 2 
 
30. (FEPESE – 2005/Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região) 
As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma 
dessas raízes é: 
a) 2,4 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
 
31. (CEPERJ – 2010/SEE) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 possui raízes 3 e 5. Então, 𝒃 + 𝒄 é igual a: 
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36 
 
a) 7 
b) 10 
c) 15 
d) 19 
e) 23 
 
32. (FUNCAB – 2015/CRF-FO) 
Considere m e n as raízes da equação x2 – 18x +10 = 0, o valor de m2 + n2 é: 
a) 304 
b) 324 
c) 296 
d) 390 
e) 398 
 
33. (FUNCAB – 2015/CRF-FO) 
Para que a parábola de equação 𝒚 = 𝒌𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝟖 tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p 
são, respectivamente: 
a) 6 e 1 
b) -1 e -6 
c) 1 e -6 
d) 1 e 6 
e) 6 e -1. 
 
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34. (VUNESP – 2016/CM de Guaratinguetá) 
Uma empresa possui uma frota de 48 veículos, que ficam estacionados no pátio, em fileiras, 
todas com o mesmo número de veículos. Sabendo-se que o número de veículos por fileira é o 
triplo do número de fileiras, então o número de veículos de uma fileira é 
(A) 8. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 16. 
 
35. (IBFC – 2015/Pref. de Petrópolis) 
Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2–7x–2c é –3. 
Assinale a alternativa correspondente. 
a) 12. 
b) 7. 
c) 15. 
d) 29. 
 
36. (CONSULPLAN – 2015/CM de Caratinga) 
A equação x2 + bx +c =0 tem 3 e 9 como raízes. Assim, a soma dos coeficientes “b” e “c” dessa 
equação é igual a 
a) 15 
b) 17 
c) 19 
d) 21 
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38 
 
37. (CONSULPLAN – 2015/CM de Caratinga) 
Marcelo leu x páginas por dia de um livro de 392 páginas. Se ele tivesse lido seis páginas a mais 
por dia, Marcelo teria gasto 21 dias a menos para ler todo o livro. Assim, o valor de x é 
A) 4. 
B) 6. 
C) 8. 
D)14. 
 
38. (FCC – 2016/Pref. de Campinas) 
Uma campanha de arrecadação de donativos conseguiu R$ 12.000,00, que seriam destinados a 
atender certo número de entidades sociais, cada uma recebendo a mesma quantia. Na hora de 
repartir os donativos por entidade, verificou-se que três delas não atendiam às normas exigidas. 
A eliminação dessas três entidades implicou em acréscimo no valor de R$ 900,00 para cada 
entidade que efetivamente recebeu a doação. De acordo com os dados, a soma dos algarismos 
do número que representa, em reais, o valor que cada entidade efetivamente recebeu de 
doação é igual a 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
(E) 12. 
 
39. (VUNESP – 2016/Pref. de Sertãozinho) 
Na equação 3x2 + 8x + a = 0, a incógnita é x, e a é um número inteiro. Sabendo-se que o 
número (– 3) é raiz da equação, a outra raiz dessa equação é 
a) -7 
b) -2/5 
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39 
 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 2 
 
40. (FCC – 2017/SABESP) 
Um grupo de amigos gastou R$ 396,00 em um restaurante. Ao dividirem a conta, decidiram que 
um deles que fazia aniversário naquele dia não deveria pagar a parte que lhe cabia. Assim, cada 
um dos outros teve que pagar R$ 3,00 a mais. Se a conta tivesse sido dividida entre todos do 
grupo, cada um teria pago 
(A) R$ 32,00. 
(B) R$ 34,00. 
(C) R$ 35,00. 
(D) R$ 33,00. 
(E) R$ 30,00. 
 
41. (FCC – 2017/SABESP) 
O valor de k para que a equação �𝒌
𝟐
𝟒
− 𝟓�𝒙𝟐 + (𝒌 − 𝟏𝟎)𝒙 + 𝟏 = 𝟎 tenha duas raízes iguais é 
a) 7 
b) 6 
c) 8 
d) -6 
e) -8 
 
 
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40 
 
42. (VUNESP – 2016/CM de Registro) 
Em um grupo de n irmãos, 4 são homens. Cada um desses n irmãos comprou para as irmãs um 
presente de R$ 30,00 e para os irmãos homens, um presente de R$ 25,00. Ninguém comprou 
presente para si próprio, e o gasto total com esses presentes foi R$ 3.100,00. O número de 
irmãs desse grupo é um divisor de 
(A) 12. 
(B) 15. 
(C) 18. 
(D) 21. 
(E) 24. 
 
43. (CESPE – 2017/Pref. de São Luís) 
Se X1 e X2, em que X1 < X2, são as raízes positivas da equação x4 – 164x2+6.400 = 0, então a 
diferença X2 – X1 é igual a 
a) 2 
b) 1 
c) 36 
d) 18 
e) 4 
 
44. (IBFC – 2017/Polícia Científica – PR) 
A alternativa que apresenta a equação de 2º grau cujas raízes reais são 5 e (-1) é: 
a) x2 + 4x + 5 = 0 
b) x2 + 4x2 - 5 = 0 
c) 2x2 – 2x + 10 = 0 
d) 2x2 + 2x – 10 = 0 
e) x2 – 4x – 5 = 0 
 
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41 
 
8. GABARITOS 
 
 
01. A 
02. E 
03. C 
04. B 
05. D 
06. D 
07. D 
08. B 
09. A 
10. A 
11. E 
12. D 
13. A 
14. D 
15. D 
16. B 
17. ERRADO 
18. CERTO 
19. ERRADO 
20. A 
21. C 
22. B 
23. A 
24. C 
25. B 
26. B 
27. E 
28. C 
29. D 
30. D 
31. A 
32. A 
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42 
 
33. C 
34. C 
35. C 
36. A 
37. C 
38. B 
39. C 
40. D 
41. B 
42. D 
43. A 
44. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43 
 
 
 
9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (VUNESP – 2019/UNICAMP) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 tem duas raízes. Subtraindo-se a menor da maior, obtém-se o 
valor 
a) 6. 
b) 4. 
c) 2. 
d) – 4. 
e) – 6. 
Comentário 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 10 e 𝑐 = 16. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (10)' − 4 ∙ 1 ∙ 16 = 36 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
−10 ± √36
2 ∙ 1 
 
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44 
 
𝑥 =
−10 ± 6
2 
 
𝑥 =
−4
2 = −2			𝑜𝑢				𝑥 =
−16
2 = −8 
 
Subtraindo-se a menor (-8) da maior (-2), obtém-se o valor (−2) − (−8) = −2 + 8 = 6. 
Gabarito: A 
 
2. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Ribeirão Preto) 
A equação 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟎 tem duas raízes reais.Subtraindo-se a menor da maior obtém-se 
a) – 9. 
b) – 5. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 9. 
Comentário 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5 e 𝑐 = −14. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−14) = 81 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
−5 ± √81
2 ∙ 1 
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45 
 
 
𝑥 =
−5 ± 9
2 
 
𝑥 =
4
2 = 2			𝑜𝑢				𝑥 =
−14
2 = −7 
Subtraindo-se a menor (-7) da maior (2), obtém-se o valor 2 − (−7) = 2 + 7 = 9. 
Gabarito: E 
 
3. (VUNESP – 2019/Câmara Municipal de Serrana) 
Especialistas em segurança no trânsito apontam que a distância mínima D, em metros, 
necessária para que dois motoristas de habilidade média, conduzindo veículos que percorram, 
em sentidos opostos, uma mesma faixa de tráfego, possam evitar o choque frontal, recorrendo 
aos freios, pode ser obtida, de modo simplificado, pelo seguinte cálculo: 
𝑫 = 𝟐 ∙ (𝟎, 𝟓 ∙ 𝑽 + 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝑽𝟐) 
Na expressão indicada, V corresponde à velocidade máxima permitida, em km/h, que cada um 
dos veículos pode manter, no referido trecho, com V positivo. 
 
A distância mínima de 300 m, necessária para evitar o choque frontal, está associada a uma 
velocidade V igual a 
a) 60 km/h. 
b) 80 km/h. 
c) 100 km/h. 
d) 120 km/h. 
e) 150 km/h. 
Comentário 
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46 
 
A distância D vale 300 metros e queremos calcular o valor correspondente V. Vamos substituir D 
por 300 na equação dada. 
300 = 2 ∙ (0,5 ∙ 𝑉 + 0,01 ∙ 𝑉') 
 
300 = 𝑉 + 0,02𝑉' 
 
0,02𝑉' + 𝑉 − 300 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em V em que 𝑎 = 0,02, 𝑏 = 1 e 𝑐 = −300. Vamos 
calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = 1' − 4 ∙ 0,02 ∙ (−300) = 25 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑉 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑉 =
−1 ± √25
2 ∙ 0,02 
 
𝑉 =
−1 ± 5
0,04 
Como a velocidade é positiva, vamos utilizar apenas a adição. 
𝑉 =
−1 + 5
0,04 =
4
0,04 = 100	𝑘𝑚/ℎ 
Gabarito: C 
 
4. (VUNESP – 2019/UFABC) 
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47 
 
Considere a equação do segundo grau 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒒, na qual 𝒒 representa um número inteiro. 
Sabendo-se que −𝟑 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa 
equação é igual a 
a) – 6. 
b) –13. 
c) 0. 
d) 7. 
e) 12. 
Comentário 
O enunciado da questão está errado. 
Poderíamos corrigir o enunciado de duas formas para chegar ao gabarito da banca. 
i) O polinômio do segundo grau 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞,… 
ii) A equação do segundo 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞 = 0, ... 
 
Se é equação, tem que haver o sinal de igualdade. Para falar sobre a raiz sem o sentido de 
igualdade, devemos nos referir à raiz do polinômio. 
Enfim, vamos resolver a questão com a devida correção. 
Se −3 é raiz da equação 3𝑥' − 4𝑥 + 𝑞 = 0, então podemos substituir 𝑥 por −3. 
3 ∙ (−3)' − 4 ∙ (−3) + 𝑞 = 0 
 
27 + 12 + 𝑞 = 0 
𝑞 = −39 
 
Assim, a equação do segundo grau é 3𝑥' − 4𝑥 − 39 = 0. 
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48 
 
Essa é uma equação do segundo grau com 𝑎 = 3, 𝑏 = −4 e 𝑐 = −39. O produto das raízes é dado 
por: 
𝑃 =
𝑐
𝑎 = −
39
3 = −13 
A resposta está na letra B. 
Uma maneira bem mais lenta de resolver, seria resolver a equação para encontrar a outra raiz. 
3𝑥' − 4𝑥 − 39 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 3, 𝑏 = −4 e 𝑐 = −39. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−4)' − 4 ∙ 3 ∙ (−39) = 484 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
4 ± √484
2 ∙ 3 
 
𝑥 =
4 ± 22
6 
 
𝑥 =
26
6 			𝑜𝑢	𝑥 = −3 
O produto das raízes é 
𝑃 =
26
6 ×
(−3) = −
78
6 = −13 
Gabarito: B 
 
5. (VUNESP – 2019/Prefeitura de Itapevi) 
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49 
 
Uma professora pediu a seus alunos que resolvessem a equação 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎. Joana anotou 
uma equação do segundo grau errada em seu caderno, mas fez a resolução correta e cada raiz 
determinada por ela é 3 a menos do que as raízes da equação proposta pela professora. A 
equação resolvida por Joana, que começa por 𝒙𝟐, é 
a) 𝑥' − 3𝑥 − 15 = 0. 
b) 𝑥' + 2𝑥 − 9 = 0. 
c) 𝑥' + 𝑥 + 12 = 0. 
d) 𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0. 
e) 𝑥' − 12𝑥 − 1 = 0. 
Comentário 
Primeiro, vamos resolver a equação dada pela professora. A equação dada pela professora tem 
𝑎 = 1, 𝑏 = −1	𝑒	𝑐 = −12. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−1)' − 4 ∙ 1 ∙ (−12) = 49 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑥 =
1 ± √49
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
1 ± 7
2 
 
𝑥 =
8
2 = 4				𝑜𝑢				𝑥 = −
6
2 = −3 
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50 
 
As raízes encontradas por Joana foram 3 a menos do que as raízes acima encontradas. 
Logo, as raízes encontradas por Joana foram 
𝑥j = 4 − 3 = 1 
𝑥' = −3 − 3 = −6 
 
Assim, precisamos encontrar uma equação do segundo grau cujas raízes são iguais a 1 e −6. 
Existem infinitas equações do segundo grau com essas raízes. A questão pede aquela que 
começa por 𝑥', ou seja, a equação do segundo grau com 𝑎 = 1. 
A pior maneira de resolver esta questão é resolver cada uma das equações das alternativas até 
encontrar a resposta. 
Existem duas maneiras de “fabricar” uma equação do segundo grau quando conhecemos as 
raízes. 
Uma delas é com a seguinte fórmula: 
𝑎[𝑥' − 𝑆𝑥 + 𝑃] = 0 
Na fórmula acima, 𝑆 é a soma das raízes e 𝑃 é o produto das raízes. No nosso caso, temos: 
𝑆 = 𝑥j + 𝑥' = 1 + (−6) = −5 
𝑃 = 𝑥j ∙ 𝑥' = 1 ∙ (−6) = −6	 
Assim, a equação pedida é 
1 ∙ [𝑥' + 5𝑥 − 6] = 0 
 
𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0 
Eu disse que existem infinitas equações do segundo grau com raízes 1 e −6 porque o valor de 𝑎 
pode ser qualquer um. A questão pediu especificamente para utilizar 𝑎 = 1. 
 
A outra maneira de fabricar essa equação de raízes 𝑥j = 1 e 𝑥' = −6 é com a forma fatorada da 
equação do segundo grau. 
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51 
 
𝑎(𝑥 − 𝑥j)(𝑥 − 𝑥') = 0 
1 ∙ (𝑥 − 1)(𝑥 + 6) = 0 
Desenvolvendo, temos: 
𝑥' + 6𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 
𝑥' + 5𝑥 − 6 = 0 
Gabarito: D 
 
6. (VUNESP – 2018/Câmara Municipal de 2 Córregos) 
Para a realização de um plenário, foram disponibilizadas para a plateia 96 cadeiras dispostas em 
fileiras, de modo que o número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de 
fileiras. O número de cadeiras de uma fileira é 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
Comentário 
Vamos supor que são 𝑓 fileiras e 𝑥 cadeiras por fileira. 
O total de cadeiras é 𝑓 ∙ 𝑥. Logo, 
𝑓 ∙ 𝑥 = 96 
O número de cadeiras de uma fileira corresponde a 2/3 do número de fileiras. 
𝑥 =
2
3 	𝑑𝑒	𝑓 
 
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52 
 
𝑥 =
2𝑓
3 
Vamos substituir 𝑥 por '�
�
 na primeira equação. 
𝑓 ∙
2𝑓
3 = 96 
 
2𝑓' = 96 × 3 
𝑓' =
96 × 3
2 
 
𝑓' = 144 
 
𝑓 = 12 
Logo, 
𝑥 =
2𝑓
3 
𝑥 =
2 × 12
3 = 8 
Gabarito: D 
 
7. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Barretos) 
Em uma planilha há 192 espaços a serem preenchidos, distribuídos em linhas e colunas. A figura 
mostra um pedaço dessa planilha. 
 
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53 
 
Sabendo-se que o número de linhas é o triplo do número de colunas, então, o número de linhas 
de uma coluna é 
a) 15. 
b) 18. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 27. 
Comentário 
Vamos considerar que são 𝑥 colunas. Como o número linhas é o triplo, então são 3𝑥 linhas. 
O total de células é 192. Logo, 
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 × 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 = 192 
 
3𝑥 ∙ 𝑥 = 192 
 
3𝑥' = 192 
 
𝑥' = 64 
 
𝑥 = 8 
O número de linhas é 3 × 8 = 24. 
Gabarito: D 
 
8. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
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54 
 
Em um escritório, havia 432 pastas que foram colocadas em caixas, de modo que cada caixa 
continha o mesmo número de pastas. Sabendo que o número de pastas por caixa é três vezes o 
número de caixas, então o número de pastas de uma caixa é 
a) 40. 
b) 36. 
c) 32. 
d) 28. 
e) 24. 
Comentário 
Vamos considerar que são 𝑥 caixas. Como o número de pastas por caixa é três vezes o número 
de caixas, então cada caixa contém 3𝑥 pastas. 
Ora, são 𝑥 caixas e cada caixa contém 3𝑥 pastas. Logo, o total de pastas é 𝑥 ∙ 3𝑥. 
Como são 432 pastas, então: 
𝑥 ∙ 3𝑥 = 432 
 
3𝑥' = 432 
 
𝑥' = 144 
 
𝑥 = 12 
O número de pastas em cada caixa é 3𝑥 = 3 × 12 = 36. 
Gabarito: B 
 
9. (VUNESP – 2018/Prefeitura de São Bernardo do Campo) 
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55 
 
Em um depósito, há 108 latas de tinta empilhadas, e cada pilha tem o mesmo número de latas. 
Sabendo-se que o número de pilhas é o triplo do número de latas de uma pilha, então o número 
de pilhas é 
a) 18. 
b) 15. 
c) 12. 
d) 9. 
e) 6. 
Comentário 
Vamos considerar que são 𝑥 latas em uma pilha. O número de pilhas é o triplo, ou seja, 3𝑥. 
Assim, são 3𝑥 pilhas e cada pilha tem 𝑥 latas. O total de latas é 3𝑥 ∙ 𝑥. O total de latas é 108. 
Logo, 
3𝑥 ∙ 𝑥 = 108 
 
3𝑥' = 108 
 
𝑥' = 36 
 
𝑥 = 6 
O número de pilhas é 3𝑥 = 3 × 6 = 18. 
Gabarito: A 
 
10. (VUNESP – 2019/UNIFAI) 
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56 
 
Em uma turma com 31 crianças, cada menino deu para cada menina 1 bombom, de maneira que 
foram dados 228 bombons. Se nessa sala há mais meninas do que meninos, a soma dos 
algarismos do número de meninas nessa turma é igual a 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
Comentário 
Vamos considerar que são ℎ meninos e 𝑚 meninas. O total de crianças é 31. Logo, 
ℎ +𝑚 = 31 
Como queremos calcular o número de meninas, vamos isolar ℎ. 
ℎ = 31 −𝑚 
Cada menino deu 1 bombom para cada menina. Assim, cada uma das 𝑚 meninas recebeu ℎ 
bombons (1 de cada um dos ℎ meninos). Logo, o total de bombons dados foi 𝑚 ∙ ℎ. 
𝑚 ∙ ℎ = 228 
Vamos substituir ℎ por 31 −𝑚. 
𝑚 ∙ (31 − 𝑚) = 228 
 
31𝑚 −𝑚' = 228 
 
−𝑚' + 31𝑚 − 228 = 0 
Temos aqui uma equação do segundo grau em que 𝑎 = −1, 𝑏 = 31 e 𝑐 = −228. Vamos calcular o 
discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (31)' − 4 ∙ (−1) ∙ (−228) = 49 
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57 
 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑚 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑚 =
−31 ± √49
2 ∙ (−1) 
 
𝑚 =
−31 ± 7
−2 
 
𝑚 =
−38
−2 = 19	𝑜𝑢	𝑚 = −
24
−2 = 12 
 
Sabemos que ℎ +𝑚 = 31. 
• Se 𝑚 = 19, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜	ℎ = 12. 
• Se 𝑚 = 12, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜	ℎ = 19. 
Como o número de meninas é maior do que o número de meninos, então 𝑚 = 19. A soma 
desses algarismos é 1 + 9 = 10. 
Gabarito: A 
 
11. (VUNESP – 2018/Câmara Municipal de Jales) 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André, e Carlos tem 17 carrinhos a menos do que 
André. Se o produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de 
Carlos é igual a 208, esses três meninos têm, juntos, um total de carrinhos igual a 
a) 55. 
b) 56. 
c) 57. 
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58 
 
d) 58. 
e) 59. 
Comentário 
Vamos considerar que André, Bernardo e Carlos possuem 𝑥, 𝑦	e 𝑧 carrinhos, respectivamente. 
Não vou utilizar 𝑎, 𝑏, 𝑐 para não confundir com os coeficientes da equação do segundo grau. 
Bernardo tem 14 carrinhos a menos do que André. Logo, 
𝑦 = 𝑥 − 14 
Carlos tem 17 carrinhos a menos do que André. 
𝑧 = 𝑥 − 17 
O produto entre o número de carrinhos de Bernardo e o número de carrinhos de Carlos é igual a 
208. 
𝑦 ∙ 𝑧 = 208 
Substituindo as expressões obtidas, temos: 
(𝑥 − 14)(𝑥 − 17) = 208 
 
𝑥' − 17𝑥 − 14𝑥 + 238 = 208 
 
𝑥' − 31𝑥 + 30 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −31	𝑒	𝑐 = 30. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−31)' − 4 ∙ 1 ∙ 30 = 841 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
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59 
 
 
𝑥 =
31 ± √841
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
31 ± 29
2 
 
Logo, 
𝑥 = 30	𝑜𝑢	𝑥 = 1 
Perceba que 𝑥 não pode ser 1, pois assim 𝑦 e 𝑧 seriam negativos. 
Logo, 𝑥 = 30.	Consequentemente, 
𝑦 = 𝑥 − 14 = 30 − 14 = 16 
𝑧 = 𝑥 − 17 = 30 − 17 = 13 
A soma é 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30 + 16 + 13 = 59 
Gabarito: E 
 
12. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Buritizal) 
Em uma loja onde todos são vendedores, trabalham 7 mulheres a mais do que homens. Em 
certo dia, todos esses vendedores venderam, cada um, 12 camisas. O número de camisas 
vendidas por todos esses vendedores é igual ao produto do número de homens pelo número de 
mulheres que trabalham na loja. O total de vendedores dessa loja é 
a) 28. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 49. 
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60 
 
e) 56. 
Comentário 
Sejam ℎ e 𝑚 as quantidades de homens e mulheres. São 7 mulheres a mais do que homens. 
Logo, 
𝑚 = ℎ + 7 
Cada vendedor vendeu 12 camisas. Assim, o total de camisas vendidas é 12 ∙ (ℎ + 𝑚). A questão 
diz que essa quantidade é igual a ℎ𝑚. 
12 ∙ (ℎ + 𝑚) = ℎ𝑚 
Vamos substituir 𝑚 por ℎ + 7. 
12 ∙ (ℎ + ℎ + 7) = ℎ ∙ (ℎ + 7) 
 
12 ∙ (2ℎ + 7) = ℎ' + 7ℎ 
 
ℎ' + 7ℎ = 24ℎ + 84 
 
ℎ' − 17ℎ − 84 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −17	𝑒	𝑐 = −84. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (−17)' − 4 ∙ 1 ∙ (−84)= 625 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
ℎ =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
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61 
 
ℎ =
17 ± √625
2 ∙ 1 
 
ℎ =
17 ± 25
2 
Como ℎ é positivo, então vamos utilizar a adição. 
ℎ =
17 + 25
2 =
42
2 = 21 
O número de mulheres é 𝑚 = ℎ + 7 = 21 + 7 = 28. 
O total de vendedores é 
21 + 28 = 49 
Gabarito: D 
 
 
 
13. (VUNESP – 2018/Prefeitura de Sertãozinho) 
Em uma sala de aula havia 3 meninos a mais do que meninas. Cada menina escreveu um bilhete 
para cada menino e cada menino escreveu um bilhete para cada menina, num total de 176 
bilhetes. O número de meninas nessa sala é um divisor de 
a) 24. 
b) 30. 
c) 36. 
d) 42. 
e) 50. 
Comentário 
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62 
 
Sejam ℎ e 𝑚 as quantidades de homens e mulheres. Como são 3 homens a mais do que 
mulheres, então 
ℎ = 𝑚 + 3 
Cada menino escreve 𝑚 bilhetes (um para cada menina). Assim, os ℎ meninos escrevem ao todo 
ℎ ∙ 𝑚 bilhetes. 
 
Cada menina escreve ℎ bilhetes (um para cada menino). Assim, as 𝑚 meninas escrevem ao todo 
𝑚 ∙ ℎ bilhetes. O total de bilhetes escritos é 176. 
ℎ𝑚 +𝑚ℎ = 176 
 
2𝑚ℎ = 176 
 
𝑚ℎ = 88 
Vamos substituir ℎ por 𝑚 + 3. 
 
𝑚(𝑚 + 3) = 88 
 
𝑚' + 3𝑚 − 88 = 0 
 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 3	𝑒	𝑐 = −88. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (3)' − 4 ∙ 1 ∙ (−88) = 361 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
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63 
 
𝑚 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
𝑚 =
−3 ± √361
2 ∙ 1 
 
𝑚 =
−3 ± 19
2 
Como o número de mulheres é positivo, devemos usar a adição. 
𝑚 =
−3 + 19
2 = 8 
São 8 mulheres. A resposta é a alternativa A porque 8 é divisor de 24. 
Gabarito: A 
 
 
 
14. (VUNESP – 2018/PAULIPREV) 
Em uma empresa, no Dia da Secretária, cada secretária comprou uma flor para cada outra 
secretária, sendo que nenhuma delas comprou flor para si mesma. Três diretoras compraram, 
cada uma, duas flores para cada secretária. A presidente da empresa comprou onze flores para 
apenas uma secretária. Se no total foram compradas 137 flores, o número de secretárias dessa 
empresa é divisor de 
a) 123. 
b) 256. 
c) 384. 
d) 459. 
e) 660. 
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64 
 
Comentário 
Seja 𝑥 a quantidade de secretárias. 
Cada secretária comprou uma flor para cada outra secretária, sendo que nenhuma delas comprou 
flor para si mesma. 
Assim, cada uma das 𝑥 secretárias comprou 𝑥 − 1 flores. O total de flores compradas por elas foi 
𝑥 ∙ (𝑥 − 1). 
Cada diretora comprou duas flores para cada secretária. Como são 𝑥 secretárias, então cada 
diretora comprou 2𝑥 flores. Como são 3 diretoras, então, juntas, elas compraram 3 ∙ 2𝑥 = 6𝑥 
flores. 
A presidente comprou 11 flores. 
 
Dessa forma, o total de flores compradas é igual a 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + 6𝑥 + 11. 
O enunciado diz que esse número é igual a 137. Logo, 
𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + 6𝑥 + 11 = 137 
 
𝑥' − 𝑥 + 6𝑥 − 126 = 0 
 
𝑥' + 5𝑥 − 126 = 0 
 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5	𝑒	𝑐 = −126. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (5)' − 4 ∙ 1 ∙ (−126) = 529 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
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65 
 
 
𝑥 =
−5 ± √529
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−5 ± 23
2 
Como a quantidade de secretárias é um número positivo, então vamos usar a adição. 
𝑥 =
−5 + 23
2 =
18
2 = 9 
A questão pede para assinalarmos um número múltiplo de 9. A maneira lenta de marcar a 
resposta é dividir cada alternativa por 9. 
Podemos pensar no critério de divisibilidade por 9. Um número é múltiplo de 9 quando a soma 
dos seus algarismos também é múltipla de 9. 
a) 1+2+3 = 6. 
b) 2 + 5 + 6 = 13 
c) 3 + 8 + 4 = 15 
d) 4 + 5 + 9 = 18 
e) 6 + 6 + 0 = 12 
Logo, o número 459 é o único múltiplo de 9. 
Gabarito: D 
 
15. (VUNESP – 2018/Prefeitura de São José dos Campos) 
Alguns aniversariantes comemoraram juntos seus aniversários e convidaram 15 amigos para uma 
festa. Cada convidado trouxe um presente para cada aniversariante. Cada aniversariante 
também trouxe um presente para cada outro aniversariante, mas não para si próprio. Se, no 
total, foram oferecidos 351 presentes, o número de aniversariantes era um número divisor de 
a) 20. 
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66 
 
b) 22. 
c) 24. 
d) 26. 
e) 28. 
Comentário 
Vamos considerar que são 𝑥 aniversariantes. 
Cada um dos 15 convidados trouxe 𝑥 presentes (um para cada aniversariante). Assim, os 
convidados trouxeram 15𝑥 presentes. 
Cada um dos 𝑥 aniversariantes trouxe 𝑥 − 1 presentes. Assim, os aniversariantes trouxeram um 
total de 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) presentes. 
O total de presentes é igual a 351. Logo, 
15𝑥 + 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) = 351 
 
15𝑥 + 𝑥' − 𝑥 − 351 = 0 
 
𝑥' + 14𝑥 − 351 = 0 
Na equação acima, temos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 14	𝑒	𝑐 = −351. 
 
Vamos calcular o discriminante Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐. 
Δ = (14)' − 4 ∙ 1 ∙ (−351) = 1.600 
Agora vamos aplicar a fórmula para resolver a equação. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
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67 
 
𝑥 =
−14 ± √1.600
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
−14 ± 40
2 
Como 𝑥 é positivo, vamos usar a adição. 
𝑥 =
−14 + 40
2 = 13 
A resposta é a alternativa D porque 13 é divisor de 26. 
Gabarito: D 
 
16. (CESPE – 2008/PRF) 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter 
cometido várias vezes um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas 
multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu um 
reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando 
um total de R$ 6.720,00. 
Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
Comentário 
Digamos que o valor de cada multa em 2006 tenha sido de 𝑥 reais e que ele tenha recebido 𝑛 
multas. Como o valor total das multas foi de 4 mil reais, então podemos escrever: 
 
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68 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000 
Observe que devemos multiplicar o número de multas pelo valor de cada multa para calcular o 
total. 
Em 2007, ele recebeu 3 multas a mais. Portanto, ele recebeu 𝑛 + 3 multas. 
O valor de cada multa aumentou R$ 40,00. Portanto, o valor de cada multa passou a ser de 𝑥 +
40. 
Devemos multiplicar o número demultas pelo valor de cada multa para calcular o total. 
(𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 
Temos um sistema de equações. 
� 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000																							(𝑛 + 3) ∙ (𝑥 + 40) = 6.720 
 
A primeira equação pode ser reescrita como 𝑛 = �.RRR
�
. Vamos agora desenvolver a segunda 
equação. 
𝑛 ∙ 𝑥 + 40𝑛 + 3𝑥 + 120 = 6.720 
Da primeira equação, sabemos que 𝑛 ∙ 𝑥 = 4.000. Vamos também substituir 𝑛 por 4.000/𝑥. 
 
𝑛 ∙ 𝑥�
�.RRR
+ 40 𝑛⏟
�.RRR
�
+ 3𝑥 + 120 = 6.720 
 
4.000 + 40 ∙
4.000
𝑥 + 3𝑥 + 120 − 6.720 = 0 
 
160.000
𝑥 + 3𝑥 − 2.600 = 0 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 𝑥 para eliminar o denominador. 
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69 
 
 
160.000
𝑥 ∙ 𝑥 + 3𝑥 ∙ 𝑥 − 2.600 ∙ 𝑥 = 0 
 
160.000 + 3𝑥' − 2.600𝑥 = 0 
 
Vamos agora organizar os termos para deixar na ordem padrão. 
 
3𝑥' − 2.600𝑥 + 160.000 = 0 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 3, 𝑏 = −2.600 e 𝑐 = 160.000. Vamos calcular 
logo o discriminante e a sua raiz. 
 
Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 
 
Δ = (−2.600)' − 4 ∙ 3 ∙ 160.000 = 4.840.000 
 
Δ = 484 × 10.000 
 
√Δ = √484 × 10.000 = 22 × 100 = 2.200 
 
Vamos agora calcular as raízes. 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎 
 
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70 
 
𝑥 =
2.600 ± 2.200
2 ∙ 3 
 
𝑥 =
2.600 ± 2.200
6 
 
𝑥 =
2.600 + 2.200
6 = 800		𝑜𝑢	𝑥 =
2.600 − 2.200
6 ≅ 66,66 
 
Como as multas são superiores a 200 reais, então 𝑥 = 800 
O valor de cada multa foi de R$ 800,00. 
Gabarito: B 
 
 
 
17. (CESPE – 2007/SEBRAE-AC) 
Julgue o item seguinte. 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 2 = 0 são números racionais. 
Comentário 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4	𝑒	𝑐 = 2. 
Vamos calcular o discriminante. 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 8 
Assim, as raízes são dadas por: 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
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71 
 
 
𝑥 =
4 ± √8
2 
 
Ora, sabemos que 2² = 4 e que 3² = 9. Assim, a raiz quadrada de 8 é um número IRRACIONAL. 
O item está errado. 
Gabarito: ERRADO 
 
18. (CESPE – 2008/SEAD-SE) 
As raízes da equação 𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0 são números irracionais. 
Comentário 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = −4	𝑒	𝑐 = 1. 
Vamos calcular o discriminante. 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 12 
Assim, as raízes são dadas por: 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
𝑥 =
4 ± √12
2 
 
Ora, sabemos que 3² = 9 e que 4² = 16. Assim, a raiz quadrada de 12 é um número 
IRRACIONAL. O item está certo. 
Gabarito: CERTO 
 
19. (CESPE – 2007/SGA-AC) 
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72 
 
Se 𝑥j e 𝑥' são as raízes da equação 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0, então 𝑥j/𝑥' > 0. 
Comentário 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 1, 𝑏 = 1	𝑒	𝑐 = −6. 
Vamos calcular o discriminante. 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 1' − 4 ∙ 1 ∙ (−6) = 25 
Assim, as raízes são dadas por: 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎 
 
𝑥 =
−1 ± √25
2 =
−1 ± 5
2 
 
Assim, concluímos que 𝑥j = 2 e 𝑥' = −3. A divisão de um número positivo por um número 
negativo dá um número negativo. O item está errado. 
Gabarito: ERRADO 
 
20. (CESGRANRIO – 2010/Petrobras) 
Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2. 
 
Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é 
(A) 4 
(B) 5 
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73 
 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
Comentário 
Vamos resolver a equação 𝐸j. Na equação 𝑥² + 2𝑥 − 15 = 0, consideramos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 =
−15. 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑥 =
−2 ± U2² − 4 ∙ 1 ∙ (−15)
2 ∙ 1 
𝑥 =
−2 ± √64
2 =
−2 ± 8
2 
 
𝑥 = 3	𝑜𝑢	𝑥 = −5 
 
O enunciado diz que a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2. Portanto, a menor raiz de E2 é 
igual a 3. 
Vejamos a equação E2: 𝑥² − 𝑏𝑥 + 12 = 0 
Sabemos que 3 é uma de suas raízes, portanto: 
3² − 𝑏 ∙ 3 + 12 = 0 
 
9 − 3𝑏 + 12 = 0 
 
−3𝑏 = −21 
 
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74 
 
𝑏 = 7 
 
A equação E2 tomará a seguinte forma: 
𝑥² − 7𝑥 + 12 = 0 
 
Neste caso, temos 𝑎 = 1, 𝑏 = −7, 𝑐 = 12. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑥 =
7 ± U(−7)' − 4 ∙ 1 ∙ 12
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
7 ± 1
2 
 
𝑥 = 4		𝑜𝑢	𝑥 = 3 
 
Já sabíamos que 3 era uma das raízes de E2. A maior raiz de E2 é igual a 4. 
Gabarito: A 
 
21. (CETRO – 2006/Pref. Municipal de Cruzeiro) 
Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
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75 
 
c) (7,1) 
d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
Comentário 
Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0. As raízes podem ser calculadas 
com o auxílio da seguinte fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, 
𝑥 =
−(−8) ± U(−8)' − 4 ∙ 1 ∙ 7
2 ∙ 1 
 
𝑥 =
8 ± √64 − 28
2 
 
𝑥 =
8 ± 6
2 
 
Assim, x = 7 ou x = 1. 
Gabarito: C 
 
22. (CETRO – 2004/Assistente Administrativo IMBEL) 
Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
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76 
 
c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
Comentário 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança 
de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 
𝑦' + 13𝑦 + 36 = 0 
 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do 
segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar 
a seguinte fórmula: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑦 =
−13 ± √13' − 4 ∙ 1 ∙ 36
2 ∙ 1 
 
𝑦 =
−13 ± √169 − 144
2 
 
𝑦 =
−13 ± 5
2 
 
Assim, 
𝑦 =
−13 + 5
2 = −4 
 
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ou 
𝑦 =
−13 − 5
2 = −9 
 
Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao 
quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = 
-9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o 
conjunto vazio. 
Gabarito: B 
 
23. (ESAF/TTN) 
A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
Comentário 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança 
de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, 
x2 = y. Assim, x4= y2. A equação ficará 
𝑦' − 25𝑦 + 144 = 0 
 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do 
segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, 
b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula: 
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𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑦 =
−(−25) ± U(−25)' − 4 ∙ 1 ∙ 144
2 ∙ 1 
 
𝑦 =
25 ± √625 − 576
2 
 
𝑦 =
25 ± 7
2 
 
Assim, 
𝑦 =
25 + 7
2 = 16 
 
ou 
𝑦 =
25 − 7
2 = 9 
 
Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9. 
 
𝑥' = 16					𝑜𝑢						𝑥' = 9 
 
𝑥 = 4	𝑜𝑢	𝑥 = −4			𝑜𝑢	𝑥 = 3		𝑜𝑢	𝑥 = −3 
 
A soma de todas as raízes da equação é 4 + (−4) + 3 + (−3) = 0. 
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Gabarito: A 
 
24. (ESAF – 2005/AFC-STN) 
A soma dos valores reais de 𝒙 
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 =
𝟏𝟓𝟔
𝒙𝟐 + 𝒙
 
é igual a: 
a) −6 
b) −2 
c) −1 
d) 6 
e) 13 
Comentário 
Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo 𝑥' + 𝑥 = 𝑦, a equação ficará: 
𝑦 + 1 =
156
𝑦 
 
𝑦 ∙ (𝑦 + 1) = 156 
 
𝑦' + 𝑦 = 156 
 
𝑦' + 𝑦 − 156 = 0 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−1 ± U1' − 4 ∙ 1 ∙ (−156)
2 ∙ 1 =
−1 ± √625
2 =
−1 ± 25
2 
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𝑦 =
−1 − 25
2 = −13			ou		𝑦 =
−1 + 25
2 = 12 
 
i) 𝑦 = −13 
 
𝑥' + 𝑥 = −13 
𝑥' + 𝑥 + 13 = 0 
 
𝑥 =
−1 ± √1' − 4 ∙ 1 ∙ 13
2 ∙ 1 =
−1 ± √−51
2 
 
Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois 
a raiz quadrada de −51 não é um número real. 
 
ii) 𝑦 = 12 
𝑥' + 𝑥 = 12 
 
𝑥' + 𝑥 − 12 = 0 
 
𝑥 =
−1 ± U1' − 4 ∙ 1 ∙ (−12)
2 ∙ 1 =
−1 ± 7
2 
 
𝑥 =
−1 − 7
2 = −4			𝑜𝑢	𝑥 =
−1 + 7
2 = 3 
 
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A soma dos valores reais de x é igual a	−4 + 3 = −1. 
Gabarito: C 
 
25. (ESAF – 2006/TFC) 
Determinar 𝒂 de modo que a equação 𝟒𝒙𝟐 + (𝒂 − 𝟒)𝒙 + 𝟏 − 𝒂 = 𝟎 tenha duas raízes iguais: 
a) 𝑎 = 0 
b) 𝑎 = −8	𝑜𝑢	𝑎 = 0 
c) 𝑎 = 8 
d) −8 < 𝑎 < 0 
e) 𝑎 < 0	𝑜𝑢	𝑎 > 8 
Comentário 
Uma equação do tipo 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ =
𝑏' − 4𝑎𝑐 for igual a 0. 
4𝑥' + (𝑎 − 4)𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 
 
(𝑎 − 4)' − 4 ∙ 4 ∙ (1 − 𝑎) = 0 
 
𝑎' − 8𝑎 + 16 − 16 + 16𝑎 = 0 
 
𝑎' + 8𝑎 = 0 
 
Vamos colocar 𝑎 em evidência. 
𝑎 ∙ (𝑎 + 8) = 0 
 
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Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? 
Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. 
Portanto, 𝑎 = 0		𝑜𝑢	𝑎 + 8 = 0 
Ou seja, 𝑎 = 0		𝑜𝑢	𝑎 = −8. 
Gabarito: B 
 
26. (FCC – 2002/SEA-AP) 
Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que 
subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 52 
Comentário 
De acordo com o enunciado, 𝑥' − 4𝑥 = 1.845. 
 
𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 
Vamos calcular o discriminante: 
 
Δ = 𝑏' − 4𝑎𝑐 = (−4)' − 4 ∙ 1 ∙ (−1.845) = 7.396 
 
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396. 
 
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Observe o seguinte fato: 
50' = 2.500 
60' = 3.600 
70' = 4.900 
80' = 6.400 
90' = 8.100 
 
Como 6.400 < 7.396 < 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 
90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode 
ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). 
84' = 7.056 
 
Deu errado... Só pode ser 86! 
86' = 7.396 
 
Voltando à equação: 
𝑥' − 4𝑥 − 1.845 = 0 
 
𝑥 =
−(−4) ± 86
2 ∙ 1 =
4 ± 86
2 
 
Como x representa o número de soldados, obviamente 𝑥 > 0, portanto, devemos utilizar apenas 
o + na fórmula. 
x =
4 + 86
2 = 45	soldados 
 
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Gabarito: B 
 
27. (FCC – 2004/TRT 2ª Região) 
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem 
arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao 
serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente 
previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
Comentário 
Digamos que há 𝑛 funcionários e que cada um arquivará 𝑝 processos. 
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos 
que cada um arquivará. Desta forma: 
𝑛 ∙ 𝑝 = 108 
𝑝 =
108
𝑛 
 
No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada 
um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. 
Ou seja, cada um dos (𝑛 − 2) funcionários arquivará (𝑝 + 9) processos. 
(𝑛 − 2) ∙ (𝑝 + 9) = 108 
 
𝑛 ∙ 𝑝 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 
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Sabemos que 𝑛 ∙ 𝑝 = 108, logo: 
108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 108 
 
108 + 9𝑛 − 2𝑝 − 18 − 108 = 0 
 
9𝑛 − 2𝑝 − 18 = 0 
 
Vamos substituir o valor de 𝑝 por jR¢
£
. 
9𝑛 − 2 ∙
108
𝑛 − 18 = 0 
 
9𝑛 −
216
𝑛 − 18 = 0 
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 𝑛. 
9𝑛 ∙ 𝑛 −
216
𝑛 ∙ 𝑛 − 18 ∙ 𝑛 = 0 ∙ 𝑛 
 
9𝑛' − 18𝑛 − 216 = 0 
 
Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9. 
𝑛' − 2𝑛 − 24 = 0 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−(−2) ± U(−2)' − 4 ∙ 1 ∙ (−24)
2 ∙ 1 =
2 ± 10
2 
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Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +. 
𝑛 =
2 + 10
2 =
12
2 = 6	funcionários. 
𝑝 =
108
𝑛 =
108
6 = 18	𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑎𝑑𝑎	𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 
 
Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, 
portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, 
portanto, cada um deles arquivou 27 processos. 
Gabarito: E 
 
 
28. (CETRO – 2006/Assistente Administrativo EBDA) 
O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja 
igual a 7 é: 
a) - 7 
b) - 2 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
Comentário 
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 𝑎𝑥' + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏' − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
Guilherme