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Aula 08
Raciocínio Lógico - Matemático p/ PRF
(Policial)Com Videoaulas-2020-
Pré-Edital(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 08
29 de Junho de 2020
Curso adquirido no site www.rateiobarato.com
1
Sumário
1. Pares Ordenados ..................................................................................................................................... 3
1.1 Diagrama Sagital de um par ordenado ............................................................................................. 4
1.2 Plano Cartesiano ................................................................................................................................ 5
1.3 Retas especiais no plano cartesiano .................................................................................................. 7
1.4 Simetria no plano cartesiano ............................................................................................................. 9
2. Produto Cartesiano ............................................................................................................................... 11
2.1 Quadrado cartesiano de um conjunto ............................................................................................. 13
2.2 Formas de representação do produto cartesiano ........................................................................ 13
3. Relação Binária ...................................................................................................................................... 18
3.1 Relação Inversa ................................................................................................................................ 21
3.1.1 Propriedade Gráfica da relação inversa ....................................................................................... 23
4. Funções ................................................................................................................................................. 24
4.1 Domínio e Imagem .......................................................................................................................... 28
4.2 Domínio mais amplo de uma função ........................................................................................... 29
4.3 Reconhecimento gráfico de uma função ...................................................................................... 33
4.4 Imagem de um elemento ............................................................................................................. 35
4.5 Reconhecimento gráfico do conjunto imagem ............................................................................ 36
4.6 Zero de uma função ..................................................................................................................... 36
4.7 Qualidades de uma função .......................................................................................................... 37
4.7.1 Função Sobrejetora ...................................................................................................................... 38
4.7.2 Função Injetora ......................................................................................................................... 39
4.7.3 Função Bijetora ......................................................................................................................... 41
4.7.4 Função par ................................................................................................................................ 42
4.7.5 Função Ímpar ............................................................................................................................ 44
4.7.6 Funções Periódicas ................................................................................................................... 46
5. Composição de Funções ....................................................................................................................... 47
6. Função Inversa ...................................................................................................................................... 52
6.1 Função inversa da função homográfica ........................................................................................... 56
6.2 Propriedades das funções inversíveis ........................................................................................... 58
7. Análise do crescimento das funções ..................................................................................................... 63
8. Análise do sinal de uma função ............................................................................................................. 65
9. Lista de Questões de Concursos Anteriores ......................................................................................... 66
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10. Gabaritos ............................................................................................................................................... 82
11. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ............................................................ 83
12. Considerações Finais ........................................................................................................................... 137
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Oi, pessoal.
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!!
Vamos começar a nossa aula sobre funções?
1. PARES ORDENADOS
Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é irrelevante a
ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de par ordenado, um ente
matemático que depende da ordem em que os números a e b são considerados. Um par
ordenado é indicado entre parênteses e os elementos são separados por vírgula (ou ponto e
vírgula).
Estamos adotando “par ordenado” como um conceito ou noção primitiva. Entretanto, é possível
de várias maneiras definir par ordenado. É clássica, por exemplo, a definição dada por
Kuratowski. As definições clássicas de “par ordenado”, como a dada por Kuratowski, são
completamente inúteis para o nosso objetivo e serão aqui desconsideradas. Para mais detalhes
sobre a definição de par ordenado, você pode consultar, depois que você passar no seu
concurso, o livro “Teoria Ingênua dos Conjuntos” de Paul Halmos ou ainda o livro “Relações
Binárias” de Edgar de Alencar Filho.
Considere o par ordenado (𝑎, 𝑏). O número 𝑎 é chamado abscissa do par e o número 𝑏 é
chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se possuírem a mesma
abscissa e a mesma ordenada.
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑
Exemplo:
Os pares ordenados (2, 3) 𝑒 .√4, 123 são iguais porque:
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4
2 = 4 𝑒 3 =
6
2
Observe que em geral (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎). Só teremos a igualdade (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑎) nos casos em que
𝑎 = 𝑏.
1.1 Diagrama Sagital de um par ordenado
Um par ordenado (x,y) pode ser representado graficamente por uma flecha que tem por origem o
primeiro elemento x e por extremidade o segundo elemento y. A figura composta pela flecha e
por sua origem e extremidade chama-se diagrama sagital do par ordenado (x,y).
Podemos representar o diagrama sagital do par ordenado (x,y) de duas maneiras:
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1.2 Plano Cartesiano
Considere duas retas orientadas 𝑥 e 𝑦. Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere
ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90º) e se cortam no ponto
O.
O eixo 𝑥 é o eixo das abscissas. O eixo 𝑦 é o eixo das ordenadas. A origem do plano cartesiano é
o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. A numeração dos
quadrantes é feita no sentido anti-horário.
Como representamos o par ordenado (𝑎, 𝑏) no plano cartesiano?
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- Localizamos o número 𝑎 no eixo 𝑥 e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto
encontrado.
- Localizamos o número 𝑏 no eixo 𝑦 e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto encontrado.
- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto (𝑎, 𝑏).
Exemplo: Localize no mesmo plano cartesiano os pontos 𝐴(2,4), 𝐵(−1,−3), 𝐶(3,0) 𝑒 𝐷(0,2).
Observações
- O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo 𝒙 possuem a ordenada
igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo 𝒙 possuem 𝒚 = 𝟎.
- O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo 𝒚 possuem a abscissa
igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo 𝒚 possuem 𝒙 = 𝟎.
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1.3 Retas especiais no plano cartesiano
Algumas retas são muito importantes e aparecerão frequentemente em assuntos futuros.
I) Retas horizontais
As retas horizontais, paralelas ao eixo x, possuem equação do tipo y = k, onde 𝑘 ∈ ℝ.
Assim, por exemplo, se uma reta horizontal passa pelo ponto (0,3), sua equação será y = 3.
Todos os pontos da reta y = 3 possuem ordenada igual a 3.
II) Retas verticais
As retas verticais, paralelas ao eixo y, possuem equação do tipo x = k, onde 𝑘 ∈ ℝ. Assim, por
exemplo, se uma reta vertical passa pelo ponto (-2,0), sua equação será x = -2.
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III) Bissetriz dos quadrantes ímpares
Bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Lembre-se que os
eixos x e y são perpendiculares, ou seja, formam ângulos de 90º.
Chamamos “bissetriz dos quadrantes ímpares” a reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e do
terceiro quadrantes. Assim, o ângulo formado entre a reta y = x e os eixos coordenados é de 45º.
Todos os pontos da reta y = x possuem coordenadas iguais.
IV) Bissetriz dos quadrantes pares
Chamamos bissetriz dos quadrantes pares a reta y = - x, que é a bissetriz do segundo e quarto
quadrantes. Todos os pontos da reta y = -x possuem coordenadas simétricas.
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1.4 Simetria no plano cartesiano
É importante notar que:
i) Os pontos (x,y) e (x,-y) são simétricos em relação ao eixo x.
Por exemplo, os pontos (2,3) e (2, - 3) são simétricos em relação ao eixo x.
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ii) Os pontos (x,y) e (-x,y) são simétricos em relação ao eixo y.
Por exemplo, os pontos (3,2) e (-3,2) são simétricos em relação ao eixo y.
iii) Os pontos (x,y) e (y,x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Por exemplo, os pontos (1,4) e (4,1) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares,
ou seja, em relação à reta y = x.
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2. PRODUTO CARTESIANO
Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B, ou apenas
produto de A por B, ou ainda A cartesiano B, ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais
que o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B.
𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵}
Definimos ainda que se um dos fatores do produto cartesiano for o conjunto vazio o resultado da
operação será o conjunto vazio. Desta maneira, temos:
𝑖) 𝐴 × 𝜙 = 𝜙
𝑖𝑖) 𝜙 × 𝐴 = 𝜙
𝑖𝑖𝑖) 𝜙 × 𝜙 = 𝜙
Vamos representar por extensão o seguinte produto cartesiano.
{−1,2,3} × {0,1,3,4}
Ora, o produto cartesiano é um conjunto de pares ordenados. E como são formados esses pares?
O primeiro elemento do par (abscissa) pertence ao primeiro conjunto e o segundo elemento do
par (ordenada) pertence ao segundo conjunto. Assim, o produto cartesiano será dado por:
{(−1,0), (−1,1), (−1,3), (−1,4), (2,0), (2,1), (2,3), (2,4), (3,0), (3,1), (3,3), (3,4)}
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Poderíamos também representar esse produto cartesiano com o auxílio do diagrama de Euler-
Venn.
Observe que o total de elementos de A x B é igual a 3 x 4 = 12, ou seja, o produto das
quantidades de elementos de cada conjunto.
Assim, o número de elementos de 𝐴 × 𝐵 é o produto do número de elementos de A pelo
número de elementos de B, se A e B forem finitos.
Se A tem 3 elementos e B tem 2 elementos, 𝐴 × 𝐵 terá 2 x 3 = 6 elementos. Observe o seguinte
exemplo.
𝐴 = {1,2}
𝐵 = {2,3,4}
𝐴 × 𝐵 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)}
𝐵 × 𝐴 = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
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Observe que se (x,y) é elemento de A x B, então (y,x) é elemento de B x A. Desta forma, os
gráficos de A x B e B x A são simétricos em relação à reta y = x.
Observe ainda que o produto cartesiano de dois conjuntos não é uma operação comutativa.
2.1 Quadrado cartesiano de um conjunto
No caso particular em que A = B, o produto A x B = B x A = A x A chama-se quadrado cartesiano
do conjunto A ou apenas quadrado do conjunto A. Indicamos por A2, que se lê “A dois”.
Simbolicamente, temos:
𝐴2 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐴}
Exemplo: O quadrado cartesiano do conjunto A = {1,2} é dado por 𝐴2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.
2.2 Formas de representação do produto cartesiano
O produto cartesiano A x B pode ser representado por uma tabela de dupla entrada, por um
diagrama sagital (de flechas) ou por um diagrama cartesiano (diagrama no plano cartesiano).
i) Tabela de dupla entrada
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Na tabela de dupla entrada, escrevemos os elementos do conjunto A na primeira coluna da
esquerda, os elementos de B na primeira linha superior. Na interseção da linha do elemento 𝑥 ∈
𝐴 com o elemento 𝑦 ∈ 𝐵 se encontra o elemento (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵.
Observe o exemplo:
𝐴 = {1,2}
𝐵 = {2,3,4}
A x B
2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,2) (2,3) (2,4)
ii) Diagrama sagital
Vamos construir os diagramas de Venn dos conjuntos A e B e vamos ligar cada elemento de A a
cada elemento de B por flechas.
Observe a representação sagital de A x B em que A = {1,2} e B = {2,3,4}.
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iii) Diagrama cartesiano
Em um plano cartesiano, representamos sobre o eixo x (eixo das abscissas) o conjunto A e sobre
o eixo y (eixo das ordenadas) o conjunto B. Traçam-se retas paralelas aos eixos passando pelos
pontos representados. Os pontos de interseção destas retas paralelas representam os pares
ordenados de A x B.
Observe os seguintes exemplos.
i) A x B sendo A = {1,2} e B = {2,3,4}
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ii) A x B em que A é o intervalo 𝐴 = [1,2) = {𝑥 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑥 < 2} e B é o intervalo
𝐵 = (2,4] = {𝑦 ∈ ℝ|2 < 𝑦 ≤ 4}
Observe que quando temos o produto cartesiano entre intervalos, o gráfico cartesiano é uma
região retangular. Observe ainda que no exemplo acima, o intervalo A é fechado em 1 e aberto
em 2; o intervalo B é aberto em 2 e fechado em 4.
Observe no gráfico que a borda do extremo aberto fica pontilhado. O único vértice “fechado” é
o ponto (1,4), pois 1 ∈ 𝐴 e 4 ∈ 𝐵. Os outros vértices do retângulo são “abertos” e não pertencem
ao produto cartesiano.
- O ponto (1,2) não pertence ao produto cartesiano A x B, pois 2 não é elemento de B.
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- O ponto (2,2) não pertence ao produto cartesiano, pois 2 não é elemento de A e 2 não é
elemento de B.
- O ponto (2,4) não pertence ao produto cartesiano, pois 2 não é elemento de A.
Observação: o plano cartesiano em sua totalidade é a representação do produto cartesiano
ℝ × ℝ = ℝ2.
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3. RELAÇÃO BINÁRIA
Considere, por exemplo, o produto cartesiano de A={1,2,3} por B={0,1,2,3,4,5}, formado por
3x6=18 elementos. Consideremos agora, o subconjunto de AxB formado pelos pares ordenados
(x,y) tais que o y < x. Temos então o conjunto 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑦 < 𝑥}
∴ 𝑅 = {(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2)}
que é chamado relação binária de A em B. Podemos representar essa relação por uma diagrama
sagital.
Considere dois conjuntos A e B. Chamamos de relação binária de A em B (ou simplesmente
relação de A em B) qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.
𝑅 é 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑚 𝐵 ⟺ 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵
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Tomemos por exemplo os conjuntos A = {1,2,3} e B = {3,4,5}.
Acima está representado A x B.
Qualquer subconjunto de A x B é chamado relação de A em B. Por exemplo, vamos selecionar os
pares (x,y) tais que y = x + 1.
Em outras palavras, vamos verificar a relação
𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑦 = 𝑥 + 1}
Ao substituir x por 1,2 e 3, obtemos 2, 3 e 4, respectivamente.
Assim, deveríamos:
enviar uma flecha do 1 para o 2.
enviar uma flecha do 2 para o 3.
enviar uma flecha do 3 para o 4.
Entretanto, o número 2 não pertence ao conjunto B. Assim, há apenas 2 flechas que podemos
representar.
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A relação R é dada, portanto, por R = {(2,3), (3,4)}.
Na relação de A em B, o conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de
chegada (ou contradomínio).
Os elementos de A que participam da relação formam o domínio da relação. Em outros termos,
domínio de uma relação R de A em B é o conjunto dos primeiros elementos (abscissas) de todos
os pares ordenados que pertencem a R. São os elementos que enviam as flechas.
No exemplo acima, o domínio da relação é dado por D = {1,2}.
Chama-se imagem de uma relação R de A em B o conjunto de todos os elementos de B que
recebem flecha, ou seja, que participam da relação. Em outros termos, o conjunto imagem é
formado por todos os segundos elementos de todos os pares ordenados que pertencem a R. São
os elementos que recebem as flechas.
Resumindo:
O conjunto A é o conjunto de partida.
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Os elementos de A que participam da relação formam o domínio da relação.
O conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio.
Os elementos de B que participam da relação formam a imagem da relação.
No exemplo anterior, temos:
Conjunto de Partida: {1,2,3}
Conjunto de Chegada ou Contradomínio: {3,4,5}
Domínio: {2,3}
Imagem: {3,4}
3.1 Relação Inversa
Seja R uma relação binária de A em B. Por definição, R é um subconjunto de A x B. Definimos a
relação inversa de R como
𝑅]^ = {(𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵 × 𝐴|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Em outras palavras, a relação inversa de R é a relação 𝑅]^ de B em A que se obtém permutando
as coordenadas dos pares ordenados da relação R.
Voltemos ao exemplo do produto cartesiano de A={1,2,3} por B={0,1,2,3,4,5} e a relação 𝑅 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑦 < 𝑥}
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𝑅 = {(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2)}
A relação inversa de R é a relação 𝑅]^ = {(0,1), (0,2), (1,2), (0,3), (1,3), (2,3)}
Para determinar a lei de formação, basta permutar x por y e y por x. A relação de R é 𝑦 < 𝑥 e a
relação de sua inversa é 𝑥 < 𝑦.
É fácil perceber que:
i) D(R]^) = Im(R)
ii) Im(R]^) = D(R)
iii) (R]^)]^ = R
A primeira propriedade afirma que o domínio da relação inversa é o conjunto imagem da relação
original.
A segunda propriedade afirma que a imagem da relação inversa é o domínio da relação original.
A terceira propriedade afirma que a inversa da relação inversa é a própria relação original.
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3.1.1 Propriedade Gráfica da relação inversa
Vimos que os pontos (x,y) e (y,x) são simétricos em relação à bissetriz dosquadrantes ímpares (y
= x).
Desta forma, os gráficos de duas relações binárias, uma sendo a inversa da outra, são simétricos
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
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4. FUNÇÕES
João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi. Como ele é um bom
aluno de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a lei que calcula o valor a ser
pago pela corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$ 3,50 –
valor inicial a ser pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então ele pagará 9
vezes R$ 0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para fazer o percurso de 9
quilômetros. João achou caro e começou a fazer as contas de quanto pagaria na corrida
dependendo da quantidade de quilômetros rodados – decidiu que faria o restante do percurso
andando.
8 quilômetros → 3,50 + 8 × 0,50 = 7,50
7 quilômetros → 3,50 + 7 × 0,50 = 7,00
6 quilômetros → 3,50 + 6 × 0,50 = 6,50
5 quilômetros → 3,50 + 5 × 0,50 = 6,00
4 quilômetros → 3,50 + 4 × 0,50 = 5,50
João percebeu que o valor a ser pago pela corrida depende da quantidade de quilômetros
rodados.
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Quilômetros rodados Valor a ser pago
?? 2,00
?? 2,50
4 5,50
5 6,00
6 6,50
7 7,00
8 7,50
9 8,00
Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos calcular o valor
correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um
valor a ser pago. Nem todos os valores “a serem pagos” possuem uma quilometragem
correspondente. No exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$
2,00 ou R$ 2,50.
O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com os elementos de
B (possíveis valores a serem pagos). Observe que cada elemento de A corresponde a um único
elemento de B. Esta relação binária é denominada função de A em B. Podemos garantir,
matematicamente, que se trata de uma função porque:
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i) Todos os elementos de A participam da relação binária (mandam flecha).
ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam apenas uma flecha).
Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação entre dois conjuntos não seja
função:
Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha).
Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar mais de uma flecha).
A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar com um
elemento do conjunto imagem, e esse elemento deve ser único.
Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções?
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4.1 Domínio e Imagem
No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado
contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que recebem as flechas
formam o conjunto imagem. Desta forma:
𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓: 𝐷j = 𝐴 = {4,5,6,7,8,9}
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓: 𝐶𝐷j = 𝐵 = {2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00}
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑓: 𝐼𝑚j = {5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00}
Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os
elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio.
É comum falarmos em função real. Neste caso, estaremos considerando que o domínio e o
contradomínio são o conjunto dos números reais. Assim, se f é uma função real, então f é uma
função de R em R.
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4.2 Domínio mais amplo de uma função
Um problema comum em livros e provas de Matemática consiste em fornecer uma lei de
formação e perguntar qual o domínio da função.
Rigorosamente, você tem várias opções para escolher o domínio da função. Entretanto, neste
caso específico de problema, implicitamente se pede o “domínio mais amplo”.
Pensemos, por exemplo, na lei 𝑦 = 𝑥2. Um possível domínio para esta função seria o conjunto A
= {1,2,3}. Neste caso, as respectivas imagens seriam
𝑦(1) = 12 = 1
𝑦(2) = 22 = 4
𝑦(3) = 32 = 9
Outro possível domínio para esta função seria B = {-2, 0, 5}. As respectivas imagens seriam:
𝑦(−2) = (−2)2 = 4
𝑦(0) = 02 = 0
𝑦(5) = 52 = 25
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Como você pode perceber, existem infinitas possibilidades para a escolha do domínio.
Assim, se um problema pede o domínio da função f, sendo 𝑓(𝑥) = 𝑥2, o que responder? Você
deverá pensar no domínio mais amplo possível.
Existe alguma restrição para x? Não. A variável x pode assumir qualquer valor negativo, positivo
ou mesmo o zero. Desta maneira, o domínio mais amplo da função f é o conjunto dos números
reais.
𝐷j = ℝ
Assim, você deve estar atento para alguns problemas com certas operações como, por exemplo:
não é possível dividir por zero
não é possível calcular raiz de índice par e radicando negativo
Assim, quando outras indicações não são dadas, subentende-se que o domínio de uma função f
é o domínio de existência da expressão algébrica no conjunto dos números reais, ou seja, o
conjunto de todos os valores reais de x para os quais as operações indicadas na expressão
algébrica dada podem ser efetuadas. Esta é a regra do domínio máximo.
Exemplo: Determine o domínio das funções definidas por
𝑓(𝑥) = 2p]^
pqr
, 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 4 e ℎ(𝑥) = 2pqt
√p]2
, 𝑖(𝑥) = √−𝑥 + 8u e 𝑗(𝑥) = ^
√rp]tu
.
Resolução
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I) f(x)
Lembre-se que não é possível dividir por zero. Assim, a condição de existência é que o
denominador não pode ser zero.
𝑥 + 3 ≠ 0
𝑥 ≠ −3
Assim, o domínio mais amplo da função f pode ser escrito de várias formas:
𝐷j = ℝ − {−3} = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −3} = (−∞,−3) ∪ (−3,+∞)
II) g(x)
No campo dos números reais, não podemos calcular raiz quadrada de número negativo. Assim, a
condição de existência é que o radicando tem que ser não-negativo.
2𝑥 + 4 ≥ 0
2𝑥 ≥ −4
𝑥 ≥ −2
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𝐷z = [−2,+∞) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −2}
III) h(x)
Há duas restrições na função h. A primeira é que o denominador não pode ser zero. A segunda é
que o radicando não pode ser negativo. Ora, se não pode ser zero nem negativo, então
𝑥 − 2 > 0
𝑥 > 2
𝐷| = [2,+∞) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 2}
IV) i(x)
Não há restrições para a função i. Podemos calcular raiz cúbica de qualquer número real.
Portanto,
𝐷} = ℝ
V) j(x)
Não há restrições para a raiz cúbica. Entretanto, o radicando está no denominador e, portanto,
não pode ser zero.
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3𝑥 − 9 ≠ 0
3𝑥 ≠ 9
𝑥 ≠ 3
Assim, o domínio mais amplo da função f pode ser escrito de várias formas:
𝐷j = ℝ − {3} = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 3} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞)
4.3 Reconhecimento gráfico de uma função
Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma função de A em B
devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos os pontos do conjunto
partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a dada relação
binária é uma função.
Exemplos
𝑓: 𝐴 → ℝ 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = [−1,2]
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A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais encontram o gráfico apenas
uma vez.
𝑔: 𝐵 → ℝ 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐵 = [0,6]
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4.4 Imagem de um elemento
Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função 𝑓. O elemento y é chamado valor de
f do elemento x e escrevemos dessa forma: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Exemplo
Dada a função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 1, calcule f(0), f(-1) e f(√2).
𝑓(0) = 02 + 1 = 1
𝑓(−1) = (−1)2 + 1 = 2
𝑓�√2� = (√2)2 + 1 = 3
Isto significa que o gráfico da função 𝑓 passa pelos pontos (0,1), (−1,2), (√2, 3). Podemos
também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o número −1 manda uma
flecha para o número 2 e o número √2 manda uma flecha para o número 3.
É importante ressaltar que f(x) é a imagem do elemento x pela função f. Alguns livros e
professores costumam cometer um abuso de linguagem ao dizer “a função f(x)” quando
deveriam dizer “a função f”.
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4.5 Reconhecimento gráfico do conjunto imagem
Para identificar graficamente o conjunto imagem de uma função, basta projetar o gráfico da
função sobre o eixo y.
No exemplo acima, o conjunto imagem é o intervalo fechado de -1 a 6, ou seja, 𝐼𝑚 = [−1,6] =
{𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 6}.
4.6 Zero de uma função
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Exemplo: Determine os zeros da função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6.
Resolução
Basta resolver a equação 𝑓(𝑥) = 0.
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 =
−(−5) ± �(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1 =
5 ± 1
2
𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 3
Isto significa que o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 toca o eixo 𝑥 nos pontos de abscissa 2 e
3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre função quadrática).
4.7 Qualidades de uma função
São qualidades de uma função de A em B ser sobrejetora (ou sobrejetiva), injetora (ou injetiva),
bijetora (ou bijetiva), par, ímpar e periódica. Vamos definir e exemplificar cada uma dessas
qualidades.
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4.7.1 Função Sobrejetora
Dizemos que uma função f de A em B é sobrejetora (ou sobrejetiva) se e somente se o
contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Observe que qualquer função não-sobrejetiva f de A em B pode ser transformada em uma função
sobrejetiva reduzindo-se o seu contradomínio.
Em outras palavras, se uma função é não-sobrejetiva, ou seja, se estão sobrando elementos no
contradomínio, podemos transformar esta função em uma função sobrejetiva simplesmente
excluindo os elementos do contradomínio que não participam da função.
Para reconhecer uma função sobrejetiva num diagrama sagital, basta verificar se todos os
elementos do contradomínio “recebem” flecha.
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4.7.2 Função Injetora
Dizemos que uma função f de A em B é injetora (ou injetiva) se e somente se elementos distintos
do domínio possuem imagens distintas. Em outras palavras, se 𝑥^ ≠ 𝑥2, então 𝑓(𝑥^) ≠ 𝑓(𝑥2).
No diagrama sagital, uma função é injetiva quando não há flechas convergindo para o mesmo
elemento no contradomínio.
Para reconhecer uma função injetiva na representação cartesiana traçam-se retas horizontais ao
longo do contradomínio da função.
Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em apenas um ponto ou não cortar o gráfico, então a
função é injetiva. Se alguma reta cortar o gráfico em mais de um ponto, a função será não-
injetiva.
Exemplos:
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As funções acima não são injetoras porque elementos diferentes do domínio possuem a mesma
imagem. Nestes casos, x1 envia uma flecha para y1 e x2 também envia uma flecha para y1.
Observe agora estes exemplos:
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Observe que para elementos distintos do domínio, eles sempre têm imagens distintas. Os dois
exemplos anteriores são exemplos de funções injetoras.
Observe que qualquer reta horizontal que você traçar nos dois exemplos anteriores cortará o
gráfico em no máximo um ponto.
4.7.3 Função Bijetora
Uma função ser injetiva não implica em ela ser sobrejetiva. Reciprocamente, uma função ser
sobrejetiva não implica em ela ser injetiva. Porém, quando uma dada função 𝑓 for injetiva e
sobrejetiva, ela será chamada de função bijetiva (bijetora).
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4.7.4 Função par
Uma função é par se e somente se para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐷j, −𝑥 ∈ 𝐷j e 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).
Em outras palavras, para que uma função seja par, para qualquer elemento do seu domínio, o
simétrico deste elementoobrigatoriamente deverá pertencer ao domínio e esses dois elementos
deverão ter a mesma imagem.
Assim, por exemplo, se o número 2 pertencer ao domínio, o número -2 deverá pertencer ao
domínio e os números 2 e -2 deverão enviar flechas para o mesmo número, ou seja, f(2) =
f(-2).
O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo y, pois se o ponto (x,y)
pertence ao gráfico, o ponto (-x,y) também pertencerá ao gráfico.
O eixo y funciona como um espelho para a função.
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Para que uma função polinomial seja par, todos os expoentes de x devem ser números pares.
Assim, a função real f definida por 𝑓(𝑥) − 5𝑥� + 7𝑥2 − 2 é uma função par. Observe que 2 = 2𝑥�.
Observe, por exemplo, que:
𝑓(2) = −5 ∙ 2� + 7 ∙ 22 − 2 = −54
𝑓(−2) = −5 ∙ (−2)� + 7 ∙ (−2)2 − 2 = −54
Isto ocorrerá para quaisquer valores de x e –x justamente porque f é uma função par.
A função real g definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥r − 4 não é uma função par. Observe, por exemplo, que:
𝑓(1) = 2 ∙ 1r − 4 = −2
𝑓(−1) = 2 ∙ (−1)r − 4 = −6
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4.7.5 Função Ímpar
Uma função é ímpar se e somente se para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐷j, −𝑥 ∈ 𝐷j e 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).
Em outras palavras, para que uma função seja ímpar, para qualquer elemento do seu domínio, o
simétrico deste elemento obrigatoriamente deverá pertencer ao domínio e esses dois elementos
deverão ter imagens simétricas.
Assim, por exemplo, se o número 4 pertencer ao domínio, o número -4 deverá pertencer ao
domínio e os números 4 e -4 deverão enviar flechas para elementos simétricos, ou seja, f(4)
= -f(-4).
Para ficar mais simples: se 4 envia uma flecha para -7, -4 enviará uma flecha para 7; se o número
2 envia uma flecha para o número 5, o número -2 enviará uma flecha para o número -5. Isto
implica que se zero é elemento do domínio, então f(0) = 0. Por quê?
Ora, se f(0) = 5 e f é uma função ímpar, então o simétrico de 0, que é o próprio 0, deveria enviar
uma flecha para -5 e, assim, teríamos f(0) = -5. Neste caso, o número zero estaria enviando duas
flechas, o que não é permitido para que f seja considerada uma função.
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O do plano cartesiano. O gráfico
a seguir representa um exemplo de função ímpar:
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Para que uma função polinomial seja ímpar, todos os expoentes de x devem ser números
ímpares.
Exemplo: a função real f definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥� − 6𝑥r é uma função ímpar. Observe, por
exemplo, que:
𝑓(2) = 4 ∙ 2� − 6 ∙ 2r = 80
𝑓(−2) = 4 ∙ (−2)� − 6 ∙ (−2)r = −80
𝑓(0) = 0
Observe ainda que, por exemplo, a função g definida por 𝑔(𝑥) = 4𝑥� − 6𝑥r + 7 não é uma
função ímpar, pois 7 = 7𝑥�. Observe que 𝑔(0) = 7. Se g fosse ímpar, obrigatoriamente g(0)
deveria ser igual a 0.
Muitas funções numéricas não têm paridade, ou seja, não são pares nem ímpares.
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4.7.6 Funções Periódicas
Uma função f é periódica se existe um número real não-nulo p tal que, para todo 𝑥 ∈ 𝐷j, (𝑥 +
𝑝) ∈ 𝐷j e 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥).
O número real não-nulo p é o período da função periódica f. Funções periódicas aparecem
frequentemente no estudo de trigonometria. A função seno, por exemplo, é uma função
periódica por 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) para todo x.
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5. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Considere, por exemplo, a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
Calcule f(1), f(2) e f(-3).
𝑓(1) = 3 ∙ 1 − 2 = 1
𝑓(2) = 3 ⋅ 2 − 2 = 4
𝑓(−3) = 3 ⋅ (−3) − 2 = −11
Considere agora a função 𝑔: 𝑅 → 𝑅
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5
Calcule g(1), g(4) e g(-11).
𝑔(1) = 2 ⋅ 1 + 5 = 7
𝑔(4) = 2 ⋅ 4 + 5 = 13
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𝑔(−11) = 2 ⋅ (−11) + 5 = −17
Dada a função ℎ: 𝑅 → 𝑅
ℎ(𝑥) = 6𝑥 + 1
Calcule h(1), h(2) e h(-3).
ℎ(1) = 6 ⋅ 1 + 1 = 7
ℎ(2) = 6 ∙ 2 + 1 = 13
ℎ(−3) = 6 ⋅ (−3) + 1 = −17
Vamos verificar no diagrama de flechas o que aconteceu.
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A primeira aplicação foi a função 𝑓. Ela relacionou o número 1 com o número 1, o número 2 com
o número 4 e o −3 com o número −11.
𝑓(1) = 1
𝑓(2) = 4
𝑓(−3) − 11
Em seguida, a função 𝑔 pegou esses valores (1,4,-11) e os relacionou com (7,13,-17),
respectivamente.
𝑔(1) = 7
𝑔(4) = 13
𝑔(−11) = −17
E o que a função ℎ fez? A função ℎ utilizou um atalho relacionando o número 1 como número 7
(sem passar pelo 1), o número 2 com o número 13 (sem passar pelo 4) e o número −3 com o
número −17 (sem passar pelo −11).
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ℎ(1) = 7
ℎ(2) = 13
ℎ(−3) = −17
Esta função “atalho” é a chamada função composta de g com f.
Em resumo: A função 𝑓 relaciona o número 𝑥 com o 𝑓(𝑥). A função 𝑔 pega o resultado da função
f e relaciona com a sua imagem. Ora, o resultado da função f é 𝑓(𝑥), portanto, a função 𝑔 levará o
𝑓(𝑥) para o 𝑔�𝑓(𝑥)�.
Por isso o nome da função é composta de g com f (nesta ordem).
Assim, definimos a função ℎ pela lei de formação ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
E como descobrimos a lei de formação desta função “atalho”?
Vejamos a função 𝑔.
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𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5
Como se calcula, por exemplo, 𝑔(8)?
Basta substituir o 𝑥 por 8.
Como se calcula 𝑔�𝑓(𝑥)�?
Basta substituir o 𝑥 por 𝑓(𝑥)!
𝑔(𝑓(𝑥)) = 2 ∙ 𝑓(𝑥) + 5 = 2 ∙ (3𝑥 − 2) + 5 = 6𝑥 − 4 + 5
𝑔�𝑓(𝑥)� = 6𝑥 + 1
Que é justamente a lei de formação da função h.
Pode-se indicar a função composta por 𝑔 ∘ 𝑓 (lê-se “g composta com f” ou “g bola f”). Ou seja,
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓�𝑔(𝑥)�.
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6. FUNÇÃO INVERSA
Vamos observar uma função 𝑓 definida por 𝑦 = 2𝑥 − 1. Vamos considerar como domínio o
conjunto {1,2,3,4}. Neste caso, os valores assumidos pela função são:
𝑓(1) = 2 ∙ 1 − 1 = 1
𝑓(2) = 2 ∙ 2 − 1 = 3
𝑓(3) = 2 ∙ 3 − 1 = 5
𝑓(4) = 2 ∙ 4 − 1 = 7
Observe que a função f é bijetiva.
Vamos agora trocar os conjuntos de posição e associar cada elemento de B ao seu
correspondente de A. Teremos, dessa forma, construído uma função denominada função inversa
de f e representada pelo símbolo 𝑓]^.
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Caso f não fosse injetiva, ao inverter o sentido das flechas, teríamos algum elemento de B
enviando mais de uma flecha.
Caso f não fosse sobrejetiva, ao inverter o sentido das flechas, teríamos algum elemento de B
“sobrando”.
Uma função f de A em B diz-se inversível ou invertível se e somente se a relação inversa f-1 é uma
função de B em A. É importante notar que uma função f de A em B é inversível se e somente se f
é bijetora.
A pergunta que surge é: como descobrir a lei de formação desta função?
É muito simples: pegamos a função original e trocamos os lugares dos “x” e dos “y”. Em seguida
isolamos o “y”.
Vejamos:
A função dada foi 𝑦 = 2𝑥 − 1.
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Trocamos “x” com “y”.
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑥 + 1 = 2𝑦
𝑦 =
𝑥 + 1
2
Pronto! Esta é a lei da função inversa. Vamos substituir o valor de x pelos valores do novo
domínio {1,3,5,7}.
𝑦 =
1 + 1
2 = 1
𝑦 =
3 + 1
2 = 2
𝑦 =
5 + 1
2 = 3
𝑦 =
7 + 1
2 = 4
Assim como nas relações inversas, os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares – a reta y = x.
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Vamos fazer mais alguns exemplos.
Obtenha a lei que define 𝑓]^ nos seguintes casos:
a) 𝑦 = 4𝑥 − 3
b) 𝑦 = 𝑥r
𝑐) 𝑦 =
1 − 2𝑥
3
Resolução
a) Vamos trocar “x” com “y”, obtendo 𝑥 = 4𝑦 − 3.
𝑥 + 3 = 4𝑦
𝑦 =
𝑥 + 3
4 ⟵ 𝑓
]^
b) Vamos trocar “x” com “y”, obtendo 𝑥 = 𝑦r.
Para isolar o 𝑦 devemos extrair a raiz cúbica nos dois membros.
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�𝑦ru = √𝑥u
𝑦 = √𝑥u ⟵ 𝑓]^
c) Trocando “x” com “y”:
𝑥 =
1 − 2𝑦
3
3𝑥 = 1 − 2𝑦
2𝑦 = 1 − 3𝑥
𝑦 =
1 − 3𝑥
2 ⟵ 𝑓
]^
6.1 Função inversa da função homográfica
A função homográfica é uma função com lei de formação
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
onde c é um número não-nulo e 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐.
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Vamos calcular a sua inversa.
𝑥 =
𝑎𝑦 + 𝑏
𝑐𝑦 + 𝑑
𝑥(𝑐𝑦 + 𝑑) = 𝑎𝑦 + 𝑏
𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 = 𝑎𝑦 + 𝑏
𝑐𝑥𝑦 − 𝑎𝑦 = −𝑑𝑥 + 𝑏
𝑦 ∙ (𝑐𝑥 − 𝑎) = −𝑑𝑥 + 𝑏
𝑦 =
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 − 𝑎
𝑓]^(𝑥) =
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 − 𝑎
Observe que b e c permaneceram em seus lugares. Já a e d permutaram seus lugares e também
trocaram os seus sinais.
Você também poderia simplesmente trocar a e d de lugar e inverter os sinais de b e c. Para
chegar neste resultado, basta multiplicar numerador e denominador por -1. Isto pode aparecer
em alguma questão para confundir o candidato.
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Assim, podemos escrever
𝑓]^(𝑥) =
𝑑𝑥 − 𝑏
−𝑐𝑥 + 𝑎
Exemplo: Determinar a lei de formação da inversa da função bijetiva f(x) = ]r�q�
2�]�
.
Resolução
Aplicando o resultado obtido, temos:
𝑓]^(𝑥) =
5𝑥 + 7
2𝑥 + 3
6.2 Propriedades das funções inversíveis
Se a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é inversível, então (𝑓 ∘ 𝑓]^)(𝑥) = (𝑓]^ ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥.
Se as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒 𝑔: 𝐵 → 𝐶 são inversíveis, então a função composta 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶
também é inversível e sua inversa é dada por (𝑔 ∘ 𝑓)]^ = 𝑓]^ ∘ 𝑔]^.
Exemplo: Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. Calcule (𝑓 ∘ 𝑓]^)(𝑥) 𝑒 (𝑓]^ ∘ 𝑓)(𝑥).
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Resolução
Pelo teorema dado, temos que (𝑓 ∘ 𝑓]^)(𝑥) = 𝑥 e (𝑓]^ ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥. Vamos resolver este
exercícios sem o teorema.
Primeiro vamos determinar a lei de formação de 𝑓]^.
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑥 + 1 = 2𝑦
𝑦 =
𝑥 + 1
2
𝑓]^(𝑥) =
𝑥 + 1
2
Vamos calcular (𝑓 ∘ 𝑓]^)(𝑥).
Lembre-se que (𝑓 ∘ 𝑓]^)(𝑥) = 𝑓(𝑓]^(𝑥)). Assim, devemos substituir x por 𝑓]^(𝑥) na função f.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑓�𝑓]^(𝑥)� = 2𝑓]^(𝑥) − 1 = 2 ∙ �
𝑥 + 1
2 � − 1 = 𝑥 + 1 − 1 = 𝑥
Vamos agora calcular (𝑓]^ ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓]^(𝑓(𝑥)). Devemos substituir x por f(x) na função f-1.
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𝑓]^(𝑥) =
𝑥 + 1
2
𝑓]^(𝑓(𝑥)) =
𝑓(𝑥) + 1
2 =
2𝑥 − 1 + 1
2 =
2𝑥
2 = 𝑥
Exemplo: Dadas as funções reais 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 e 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 8, mostre que é válida a
expressão (𝑔 ∘ 𝑓)]^ = 𝑓]^ ∘ 𝑔]^.
Resolução
i) Inversa de f
𝑥 = 3𝑦 − 5
𝑦 =
𝑥 + 5
3
𝑓]^(𝑥) =
𝑥 + 5
3
ii) Inversa de g
𝑥 = −2𝑦 + 8
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−2𝑦 = 𝑥 − 8
2𝑦 = −𝑥 + 8
𝑦 =
−𝑥 + 8
2
𝑔]^(𝑥) =
−𝑥 + 8
2
iii) 𝑔 ∘ 𝑓
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔�𝑓(𝑥)� = −2𝑓(𝑥) + 8 = −2(3𝑥 − 5) + 8
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −6𝑥 + 18
iv) (𝑔 ∘ 𝑓)]^
𝑥 = −6𝑦 + 18
6𝑦 = −𝑥 + 18
𝑦 =
−𝑥 + 18
6
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62
(𝑔 ∘ 𝑓)]^(𝑥) =
−𝑥 + 18
6
v) 𝑓]^ ∘ 𝑔]^
(𝑓]^ ∘ 𝑔]^)(𝑥) = 𝑓]^�𝑔]^(𝑥)�
Assim, devemos substituir x por 𝑔]^(𝑥) na função 𝑓]^.
𝑓]^�𝑔]^(𝑥)� =
𝑔]^(𝑥) + 5
3 =
−𝑥 + 8
2 + 5
3 =
1
3 ∙ �
−𝑥 + 8
2 + 5�
𝑓]^�𝑔]^(𝑥)� =
−𝑥 + 8
6 +
5
3 =
−𝑥 + 8 + 10
6
𝑓]^�𝑔]^(𝑥)� =
−𝑥 + 18
6
(𝑓]^ ∘ 𝑔]^)(𝑥) =
−𝑥 + 18
6
Assim, mostramos neste exemplo que (𝑔 ∘ 𝑓)]^(𝑥) = (𝑓]^ ∘ 𝑔]^)(𝑥).
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7. ANÁLISE DO CRESCIMENTODAS FUNÇÕES
Sejam f uma função numérica e I um intervalo de ℝ contido no domínio D(f) da função.
Consideremos dois valores 𝑥^ e 𝑥2 pertencentes a 𝐷(𝑓), sendo 𝑥^ < 𝑥2, e suas respectivas
imagens 𝑓(𝑥^) 𝑒 𝑓(𝑥2).
O quociente
𝑚 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥^)
𝑥2 − 𝑥^
é denominado taxa de variação.
A função f diz-se:
i) crescente em I se e somente se a taxa de variação é positiva para todos os valores 𝑥^, 𝑥2 ∈ 𝐼.
ii) decrescente em I se e somente se a taxa de variação é negativa para todos os valores 𝑥^, 𝑥2 ∈
𝐼.
iii) constante em I se e somente se a taxa de variação é nula para todos os valores 𝑥^, 𝑥2 ∈ 𝐼.
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Alguns livros fazem distinção entre “função crescente” e “função estritamente crescente”.
Entretanto, esses conceitos ficam além dos nossos objetivos.
Observe estes conceitos graficamente.
- A função é crescente no intervalo (x1, x2).
- A função é constante no intervalo (x2, x3).
- A função é decrescente no intervalo (x3, x4).
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8. ANÁLISE DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função significa dizer quando a função é positiva, negativa ou nula.
Quando a função está representada no plano cartesiano, basta analisar se a ordenada de cada
ponto é positiva, nula ou negativa.
O que nos interessa é o comportamento da curva em relação ao eixo das abscissas (eixo x). A
função é positiva quando a curva está acima do eixo x; a função é negativa quando a curva está
abaixo do eixo x; a função é nula nos pontos em que a curva corta o eixo x.
No exemplo acima, temos:
�
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2 𝑜𝑢 𝑥 = 2
𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −5 𝑜𝑢 1/2 < 𝑥 < 2
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ −5 < 𝑥 < −3 𝑜𝑢 − 3 < 𝑥 < 1/2 𝑜𝑢 𝑥 > 2
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9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES
1. (CETRO 2007/TRT-SC 2007)
Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).
2. (Petrobras 2010/CESGRANRIO)
Na função f(x)= −x2 + 3x − 1, a imagem de − 1 é
(A) −5
(B) −3
(C) 0
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(D) +1
(E) +3
3. (FUNRIO 2008/SUFRAMA)
Seja 𝒇 uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e
como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o
número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-se afirmar que
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio.
c) f não é uma função.
d) 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 5
e) 𝑓(𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜) = 𝑓(𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜)
4. (ESAF 1996/AFTN)
Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um
coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n)
minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa.
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.
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5. (ESAF 2008/ISS-Natal)
Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade 𝒇(𝒙) − (𝒙 + 𝟏) ∙
𝒇�√𝟐 − 𝒙� = √𝒙𝟑 , para todo 𝒙 inteiro. Com estas informações, conclui-se que 𝒇(𝟎) é igual a:
a) −2]^/r
b) 2]^/r
c) −2^/r
d) 2]2/r
e) −2]2/r
6. (FUNRIO 2008/SUFRAMA)
Se R denota o conjunto dos números reais e 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟕 e 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 são funções de
R em R, então a lei de definição da função composta 𝒇 ∘ 𝒈 é dada por
a) 𝑥2 − 3𝑥 + 1
b) 2𝑥2 − 4𝑥 + 13
c) 𝑥� − 3𝑥2 + 9
d) 2𝑥� − 5𝑥2 + 36
e) 𝑥� − 𝑥2 + 𝑥 − 1
7. (ESAF 2008/AFC-STN)
A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A
tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que
está no visor em 1– t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e
alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1,
T2 .... . Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se
corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a:
a) 0,8
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b) 0,7
c) 2,5
d) 0,42
e) 0,36
8. (ESAF 2008/TFC – CGU)
A função 𝒇:𝑹 → 𝑹 é tal que, para todo número real x, f(3x) = 3f(x). Sabendo-se que f(9) = 45,
então o valor de [f(1)]2 é igual a:
a) 25
b) 15
c) 0
d) 30
e) 35
9. (CESGRANRIO/Petrobras 2012)
Sejam 𝒇:ℝ → ℝ, 𝒈:ℝq → ℝ e 𝒉:ℝ → ℝq as funções definidas por 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) = 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐. Quais,
dentre as funções apresentadas, são injetoras?
(A) f, g e h
(B) g e h, apenas.
(C) g, apenas.
(D) h, apenas.
(E) nenhuma das três funções.
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10. (CESGRANRIO/Petrobras 2012)
Toma-se um conjunto P com 2 elementos e um conjunto Q com 3 elementos. Quantas são as
possíveis relações não vazias de P em Q?
(A) 6
(B) 8
(C) 16
(D) 48
(E) 63
11. (CONSULPLAN 2011/Pref. de Monte Belo-MG)
Sejam os conjuntos P = {3, 5, 7, 9, 10} e S = {2, 3, 7, 8, 10}. Qual dos pares ordenados a seguir
pertencem, respectivamente aos produtos cartesianos S x P e P x S?
A) (9, 3) e (10, 8)
B) (10, 3) e (7, 5)
C) (10, 5) e (9, 7)
D) (7, 9) e (2, 9)
E) (7, 8) e (3, 2)
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12. (FGV 2010/CODEBA)
A figura ilustra o gráfico de uma função f de ℝ em ℝ.
Com relação às informações do gráfico, analise as afirmativas a seguir:
I. f(0) > 0
II. f(1) < 0
III. f(2) > 0
Está(ão) correta(s) somente
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) I e II.
(E) II e III.
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13. (CONESUL 2008/PrefeituraMunicipal de Eldorado do Sul)
Seja a função f(x) = x² + 5, e g(x) = x – 4. A função composta 𝒇 ∘ 𝒈, para x = 2 é igual a
a) 9.
b) 5.
c) 6.
d) - 2.
e) - 4.
14. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis)
Para o professor é importante o reconhecimento da utilização de letras ao representar em
expressões. É importante identificarmos o coeficiente e a sua parte literal. Essa linguagem na
matemática, é representada por expressões de termos semelhantes. A expressão algébrica
x2+5x−4, quando x=2, equivale a:
a) 4.
b) 9.
c) 6.
d) 10.
15. (IBFC 2015/CM de Vassouras)
Considere os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,5}. Dentre as alternativas, a única que não
representa uma relação de A em B, é:
a) {(0,2); (1,3);(2,5)}
b) {(1,4);(3,2); (2,5);(0,3)}
c) {(0,5);(2,4)}
d) {(0,2);(1,4);(0,5)}
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e) {(1,5);(2,4);(5,2)}
16. (CM de Vassouras 2016/IBFC)
O gráfico da função f(x) = -3x+b intercepta o eixo das abscissas (eixo x) no ponto A(-2,0). Nessas
condições o valor de b é:
a) 1,5
b) -1,5
c) 6
d) 2/3
e) -6
17. (IBFC 2015/Pref. de Petrópolis)
Calcule a quantidade algébrica de C. Para isso considere que a raiz da equação x2 –7x–2c é −3.
Assinale a alternativa correspondente.
a) 12.
b) 7.
c) 15.
d) 29.
18. (ESAF 2016/ANAC)
Sejam f(x) = ax + 7 e g(x) = 3x + 6 funções do primeiro grau. O valor de "a" que faz com que
f(2) seja igual a g(3) é igual a
a) 6.
b) 3.
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c) 5.
d) 4.
e) 7.
19. (FCC 2016/SEDU-ES)
O gráfico abaixo é de uma função definida no intervalo real de −7 a 7.
A soma dos zeros dessa função é igual a
(A) 14.
(B) 9.
(C) −3.
(D) 19.
(E) 0.
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20. (CONSULPLAN 2016/CBM-PA)
Analise as afirmativas a seguir, marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Para a função 𝒇:ℕ → ℕ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏, o conjunto imagem é tal que 𝑰𝒎(𝒇) = ℕ∗.
( ) O domínio da função 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = √𝟑 − 𝒙 é tal que é tal que 𝑫(𝒇) =
{𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < 𝟑}.
( ) Dada a função 𝒇:ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒, seu domínio é tal que 𝑫(𝒇) = ℝ.
A sequência está correta em
A) V, F, V.
B) V, F, F.
C) V, V, F.
D) F, V, V.
E) F, F, V.
21. (CONSULPLAN 2016/CBM-PA)
“O domínio da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟓(𝟐𝒙 − 𝟒) é 𝑫(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|____________}. Assinale a
alternativa que completa corretamente a afirmativa anterior.
a) x > 2.
b) x < 2.
c) x < 5
d) x > 1/5
e) x < 2/5
22. (CONSULPLAN 2010/ CM de Santo Antônio do Grama-MG)
Sejam as funções 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟒 e 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏. O valor do produto 𝒇]𝟏(𝟕) ∙ 𝒈]𝟏(𝟗) é igual a:
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a) 2
b) 7
c) 5
d) 8
e) 9
23. (CONSULPLAN 2010/CM de Santo Antônio do Grama-MG)
Sejam f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 2x + 1. Assim, g(4) é igual a:
a) 2
b) 5
c) 6
d) 3
e) 7
24. (CONSULPLAN 2010/Santa Maria Madalena-RJ)
Seja f(x) = 2x – 5 e f(g(x)) = 4x – 3. Qual é o valor de k para que g(k) seja igual a 7?
a) 3
b) 5
c) 2
d) 1
e) 6
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25. (CONSULPLAN 2010/Santa Maria Madalena-RJ)
Qual das funções a seguir apresenta domínio diferente das demais funções?
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2u
e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
26. (CONSULPLAN 2010/Santa Maria Madalena-RJ)
Sobre a função f(x), cujo gráfico está representado a seguir, é correto afirmar que:
A) f(x) é decrescente para 0 < x < 2
B) f(1) > f(−1)
C) f(x) < 0 para x = −1
D) f(1) < f(−2)
E) f(x) é crescente para −2 < x < 0
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27. (CESGRANRIO 2006/IBGE)
Para cada pessoa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respeito, assinale a afirmativa
FALSA.
(A) f[f(x)] = avô paterno de x
(B) g[g(x)] = avó materna de x
(C) f[g(x)] = avô materno de x
(D) g[f(x)] = avó paterna de x
(E) f[g(x)] = g[f(x)]
28. (IBFC 2016/TCM-RJ)
Dada a função f(x) = 3x – 2 e g(x) = (x+8)/3, então g(f(-1)) é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 5
(Pref. de São Luís 2017/CESPE-UnB)
Texto 11A1AAA
Se 𝒙 ≥ 𝟎 representa a quantidade de quilômetros percorridos por um veículo em determinado
dia, então:
• 𝒇(𝒙) = 𝒙
𝟏𝟐
representa a quantidade de litros de combustível consumido pelo veículo para
percorrer x quilômetros;
• 𝒈(𝒙) = 𝟔𝟎 − 𝒙
𝟏𝟐
representa a quantidade de litros de combustível que restam no tanque
do veículo depois de percorridos x quilômetros.
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29. Tendo como referência as informações do texto 11A1AAA e considerando que o veículo
tenha iniciado o percurso com o tanque de combustível cheio, se, no dia mencionado, o
condutor parar o veículo para abastecer quando restarem exatamente 15 litros de combustível
no tanque, então, até aquele instante, o veículo terá percorrido
A) mais de 150 km e menos de 300 km.
B) mais de 300 km e menos de 450 km.
C) mais de 450 km e menos de 600km.
D) mais de 600 km.
E) menos de 150 km.
30. Ainda com base no texto 11A1AAA, se 𝑚(𝑥) = 𝑥 − 240 e se a função composta 𝑄(𝑥) =
(𝑔 ∘ 𝑚)(𝑥) = 𝑔(𝑚(𝑥)) representa a quantidade de litros de combustível que resta no tanque de
um veículo depois de percorrer x quilômetros, tendo iniciado o percurso com o tanque cheio,
então o tanque de combustível desse veículo tem capacidade para
A) mais de 90 litros e menos de 95 litros.
B) mais de 95 litros.
C) 80 litros.
D) mais de 80 litros e menos de 85 litros.
E) mais de 85 litros e menos de 90 litros.
31. Se 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são as funções definidas no texto 11A1AAA, e se ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥), então
a inversa ℎ]^(𝑥) pode ser expressa por:
𝑎) ℎ]^(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥 − 720
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𝑏) ℎ]^(𝑥) = −
𝑥 + 1
720 + 𝑥
𝑐) ℎ]^(𝑥) =
𝑥 + 1
720𝑥
𝑑) ℎ]^(𝑥) =
720𝑥
𝑥 + 1
𝑒) ℎ]^(𝑥) =
720 − 𝑥
𝑥 + 1
32. (ESAF 2012/AFRFB)
A função bijetora dada por 𝒇(𝒙) = 𝒙q𝟏
𝒙]𝟐
possui domínio no conjunto dos números reais, exceto o
número 2, ou seja: ℝ− {𝟐}. O conjunto imagem de f(x) é o conjunto dos números reais menos o
número 1, ou seja: ℝ− {𝟏}. Desse modo, diz-se que f(x) é uma função de ℝ− {𝟐} em ℝ− {𝟏}.
Com isso, a função inversa de f, denotada por f -1, é definida como
𝑎) 𝑓]^(𝑥) =2𝑥 + 1
𝑥 − 1 𝑑𝑒 ℝ −
{1} 𝑒𝑚 ℝ − {2}
𝑏) 𝑓]^(𝑥) =
2𝑥 − 1
𝑥 + 1 𝑑𝑒 ℝ −
{1} 𝑒𝑚 ℝ − {2}
𝑐) 𝑓]^(𝑥) =
2𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝑑𝑒 ℝ −
{2} 𝑒𝑚 ℝ − {1}
𝑑) 𝑓]^(𝑥) =
𝑥 − 2
𝑥 + 1 𝑑𝑒 ℝ − 1 𝑒𝑚 ℝ − 2
𝑒) 𝑓]^(𝑥) =
𝑥 − 2
𝑥 + 1 𝑑𝑒 ℝ − 2 𝑒𝑚 ℝ − 1
33. (ESAF 2014/AFRFB)
Considere a função bijetora 𝒇 de ℝ 𝒆𝒎 ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏, se 𝒙 ≥ 𝟎 e 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟏, se
𝒙 < 𝟎, em que ℝ é o conjunto dos números reais. Então, os valores da função inversa de f,
quando x = -8 e x = 8 são respectivamente, iguais a:
a) -7 ; 3
b) -7; -3
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c) 1/9 ; 1/63
d) -1/9 ; -1/63
e) -63 ; 9
34. (FUNCAB 2015/CRF-RO)
Sendo 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙q𝟑
𝟓q𝟐𝒙
uma função bijetora, o valor de 𝒇(𝟏) + 𝒇]𝟏(𝟏) é:
a) -1
b) 2
c) 3
d) 1
e) 0
35. (FUNCAB 2015/CRF-RO)
Dada a função definida por 𝒇(𝒙 + 𝟐) = 𝟑𝒙 + 𝟓. O valor de 𝒇(𝟑) ∙ 𝒇(−𝟑) é:
a) 18
b) -80
c) 42
d) -70
e) -56
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10. GABARITOS
2. C
3. A
4. E
5. E
6. A
7. B
8. A
9. A
10. C
11. E
12. C
13. C
14. A
15. D
16. E
17. E
18. C
19. D
20. B
21. A
22. A
23. C
24. D
25. A
26. C
27. D
28. E
29. C
30. C
31. C
32. D
33. A
34. A
35. B
36. B
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11. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS
1. (CETRO 2007/TRT-SC 2007)
Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).
Comentário
O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o
gráfico da letra C não representa uma função.
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Gabarito: C
2. (Petrobras 2010/CESGRANRIO)
Na função f(x)= −x2 + 3x − 1, a imagem de − 1 é
(A) −5
(B) −3
(C) 0
(D) +1
(E) +3
Comentário
Para calcular a imagem do elemento −1, devemos simplesmente substituir 𝑥 por −1.
𝑓(−1) = −(−1)2 + 3 ∙ (−1) − 1
𝑓(−1) = −1 − 3 − 1 = −5
Gabarito: A
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3. (FUNRIO 2008/SUFRAMA)
Seja 𝒇 uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e
como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o
número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-se afirmar que
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio.
c) f não é uma função.
d) 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 5
e) 𝑓(𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜) = 𝑓(𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜)
Comentário
A função 𝑓 associa a cada elemendo 𝑥 em A o número de letras distintas desse elemento 𝑥.
Ana à possui 2 letras distintas.
José à possui 4 letras distintas.
Maria à possui 4 letras distintas.
Paulo à possui 5 letras distintas.
Pedro à possui 5 letras distintas.
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Desta maneira, podemos afirmar que:
𝑓(𝐴𝑛𝑎) = 2
𝑓(𝐽𝑜𝑠é) = 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 4
𝑓(𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜) = 𝑓(𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜) = 5
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio.
Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao mesmo elemento
no contradomínio. Por exemplo, 𝑓(𝐽𝑜𝑠é) = 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 4.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio.
Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado com algum
elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado.
c) f não é uma função.
Esta alternativa é falsa, pois 𝑓 é uma função. Todos os elementos de A se relacionam uma única
vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e ninguém manda mais de uma
flecha.
d) 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 5
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Falso. Maria tem 4 letras distintas. 𝑓(𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎) = 4.
e) 𝑓(𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜) = 𝑓(𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜)
Verdadeiro. Como foi visto, 𝑓(𝑃𝑎𝑢𝑙𝑜) = 𝑓(𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜) = 5.
Gabarito: E
4. (ESAF 1996/AFTN)
Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um
coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n)
minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos.
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa.
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa.
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa.
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.
Comentário
a) O número 𝑛 representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto.
Obviamente, este número 𝑛 é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 12 por um
número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e maior
que 3.
Desta maneira, a letra A é falsa.
b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos substituir 𝑛
por 5.
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𝐶(𝑛) = 3 +
12
𝑛
𝐶(5) = 3 +
12
5 = 5,4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 0,4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 + 0,4 ∙ 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝐶(5) = 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
A alternativa B é falsa.
c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de 𝑛 por 3.
𝐶(𝑛) = 3 +
12
𝑛
𝐶(3) = 3 +
12
3 = 7 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
A alternativa C é falsa.
d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de 𝑛 por 10.
𝐶(𝑛) = 3 +
12
𝑛
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𝐶(10) = 3 +
12
10 = 4,2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
A alternativa D é falsa.
e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos.
3 +
12
𝑛 = 3,5
12
𝑛 = 0,5
0,5𝑛 = 12
𝑛 =
12
0,5 =
120
5 = 24
Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa.
Gabarito: E
5. (ESAF 2008/ISS-Natal)
Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade
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