MATEMÁTICA PET I

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CENTRO DE EDUCAÇÃO CONTINUADA CLEMENTE FARIA
 Roteiro de Estudo Matemática - Ensino Médio 
MÓDULO I
ORIENTAÇÕES PARA O TRABALHOOs trabalhos deverão ser entregues no dia de atendimento.
Não haverá atendimento/orientação nos dias de prova.
Copiar perguntas e resolver as questões propostas. VALOR: 40 MÉDIA: 20.
Todas as questões deverão conter os cálculos e/ou raciocínio. Letra legível, organização e capricho.
Lembre-se de assinar a lista de presença e datá-la sempre que vier ao CESEC.
Colocar capa contendo: NOME DA ESCOLA, NOME DO ALUNO COMPLETO, DISCIPLINA, PROFESSOR, MÓDULO e ETAPA (Fundamental ou Médio).
Apresente a carteirinha nos dias de prova, entrega de trabalho e agendamento.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO:
Potenciação: é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais, como por exemplo: . Temos a base, que é o fator que se repete, e o expoente que indica quantas vezes a base repete.
De forma geral, temos: , sendo e .
Propriedades da potenciação:
1) : temos que no primeiro fator o repete vezes e no segundo o repete vezes, portanto ao contarmos quantas vezes o repete, encontraremos vezes.
Exemplo: ou
 	
2) : temos que no primeiro fator o repete vezes e no segundo o repete vezes, como estávamos dividindo, temos que cortar , vezes.
Exemplo: ou
 	 
3) : resolvendo o que está dentro do parêntesis primeiro, temos , o que significa que temos , vezes. Depois, resolvendo o expoente de fora, temos que repete vezes, assim temos , vezes.
Exemplo: ou
 	 
4) : todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.
Exemplo: 
5) : como temos uma fração elevada a um expoente, precisamos elevar o numerador e o denominador da fração de forma independente. 
Exemplo: ou
 	 
6) .
7) elevado ao resultado de 
Exemplo: , pois 
8) pode ser compreendido como , nesse caso teríamos , de acordo com a propriedade 3. Ao elevar um número a , vamos inverter o numerador e o denominador e depois aplicar a propriedade 5.
Exemplo: 
Obs.: Lembrando que todo número que não apresenta denominador, tem o 1 “escondido”.
Radiciação: assim como adição e subtração são operações opostas, a radiciação é a operação oposta à potenciação. A é , pois , em sua forma fatorada.
Propriedades da radiciação:
1. As propriedades de potenciação são válidas para radiciação, pois podemos escrever , como 
2. 
Exercícios: 
1) Calcule as potências abaixo:
a) 
b) =
c) =
d) 
e) 
f) 
2) Calcule as raízes abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
Correção: 1 – a) 	b) .	c) .	d) .	e) 	f) .
 2 – a) 2.		b) 5.		c) 6. 		d) 8.
FUNÇÃO:
Definição: Sejam dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de função a correspondência f ou relação binária entre os conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento de A (domínio) possui um único correspondente em B (contradomínio).
Os elementos de A e B possuem uma relação binária determinada por uma lei de formação, como vimos nos exercícios anteriores. Podemos utilizar o Diagrama de Flechas para ilustrar essa relação. 
Exercícios: Qual diagrama abaixo representa uma função:
					
a)
b)
c)
d)
 
Correção: a) e c).
FUNÇÃO AFIM ou FUNÇÃO DO 1° GRAU:
Definição: Dizemos que um função f é uma função afim se existem constantes a, b tais que .
Exemplos:
· 
· 
· 
· 
Classificação: Existem quatro classificações para as funções do 1° grau.
1. Função linear – se ; Ex.: .
2. Função afim - .
3. Função constante – se ; Ex.: .
4. Função identidade – .
Exercícios: Qual das funções abaixo representa uma função afim?
a) 
b) 
c) 
d) 
Correção: a) e b).
Raiz ou Zero da função: É o ponto de encontro entre o gráfico da função e o eixo das abcissas (eixo X). 
Sabemos que, de forma geral, representa uma função afim. Para determinar o zero da função, devemos encontrar o valor de , tal que 
Então temos que:			 
e 					 
Portanto:	 	 ou 	.
Vamos encontrar o valor de x que transforma a igualdade acima em verdadeira.
	
Exemplo: Determine a raiz da função .
					
Exercícios: Determine a raiz ou zero das funções abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
Correção: a) 3; b) 4; c) -5; d) 0.
		
Gráfico: O gráfico de uma função afim é uma reta. Para esboçar o gráfico de uma função temos que analisar três pontos importantes:
i. A raiz da função, ponto de encontro do gráfico com o eixo das abcissas (eixo X);
ii. O valor de b, ponto de encontro do gráfico com o eixo das ordenadas (eixo Y);
iii. Se a função é crescente ou decrescente.
Obs.: A função é crescente se A função será decrescente se .
Exemplo: 1. Esboce o gráfico da função .
i. A raiz da função, ponto de encontro do gráfico com o eixo das abcissas (eixo X);
ii. O valor de b, ponto de encontro do gráfico com o eixo das ordenadas (eixo Y);
O valor de é -6, portanto o encontro da reta com o eixo das ordenadas acontece no ponto (0, -6).
iii. Se a função é crescente
 ou decrescente.
O valor de é +2, portando . 
Então a função é crescente.
2. 	Esboce o gráfico da função .
i. A raiz da função, ponto de encontro do gráfico com o eixo das abcissas (eixo X);
ii. O valor de b, ponto de encontro do gráfico com o eixo das ordenadas (eixo Y);
O valor de é +15, portanto o encontro da reta com o eixo das ordenadas acontece no ponto (0, +15).
iii. Se a função é crescente ou decrescente.
O valor de é -3, portando . Então a função é decrescente.
Exercícios: Esboce o gráfico das funções abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
Em uma equação, buscamos os valores finitos que satisfazem uma determinada igualdade. Em uma inequação, vamos tentar encontrar o intervalo de valores, nesse caso teremos infinitas respostas, que satisfazem a desigualdade.
Exemplo: Encontre o valor de x, tal que .
Resolvendo essa equação encontraremos uma única resposta.
Então, temos: Solução = {
Ao resolvermos uma inequação, como , queremos encontrar todos os valores que tornam essa desigualdade verdadeira.
Então para todos os valores menores que 3, será verdade. Solução .
Exercícios: Resolva as inequações:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
Correção: a) . b) . c). d) . e) . f)
		
FUNÇÃO DO 2° GRAU:
Definição: Dizemos que um função f é uma função quadrática ou do 2° grau se existem constantes a, b e c tais que , sendo e .
Exemplos:
· .
· .
· .
· .
Raiz ou Zero da função: É o ponto de encontro entre o gráfico da função e o eixo das abcissas (eixo X). 
Para uma função do 2° grau podemos encontrar até duas raízes reais. Utilizaremos a Fórmula de Bháskara para determinar essas raízes.
Vamos analisar a função . Queremos encontrar o valor de , tal que . Portanto teremos a seguinte equação do 2° grau: .
A fórmula de Bháskara é: 	
	 e		 
Temos que na função , os coeficientes são:
						
						
							
							
								
Encontramos que as raízes da função são .
Exercícios: Determine as raízes de:
a) 
b) 
c) 
d) 
Correção: a) . b) . c) . d) 2,-5. 
		
Gráfico: O gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola. Uma função do 2° grau pode ser usada para descrever a trajetória de um objeto lançado pro alto, ou para otimizar os lucros de uma determinada situação, entre outras situações.
Para esboçarmos os gráficos, vamos seguir passos semelhantes do esboço de uma função do 1° grau. Vamos considerar:
i. A(s) raiz(es) da função, ponto(s) de encontro do gráfico com o eixo das abcissas (eixo X);
ii. O valor de c, ponto de encontro do gráfico com o eixo das ordenadas (eixo Y);
iii. O valor de a. Se , então a parábola é côncava para cima. Se , então a parábola é côncava para baixo. 
Exemplo: Esboce o gráfico de .
i. A(s) raiz(es) da função, ponto(s) de encontro do gráfico com o eixo das abcissas (eixo X);
						
							
								
								
								
ii. O valor de c, ponto de encontro do gráfico com o eixo das ordenadas (eixo Y);
O valor de c é 3, portanto o gráfico encontra o eixo Y no ponto (0,3).
iii. O valor de a. Se , então a parábola é côncava para cima. Se , então a parábola é côncava para baixo. 
	O valor de a é 1 e 1 é maior que 0, portanto e a parábola será côncava para cima.
Vértice:Como vimos, o gráfico de uma função do 2° sempre será uma parábola, por isso podemos determinar o ponto de máximo, se , ou de mínimo, se . Esse ponto é o vértice da parábola.
	Para determinar as coordenadas do vértice vamos usar a seguinte fórmula:
			 		
	Exemplo: Esboce o gráfico e o vértice da função .
						
						
								
									
									
					 
Exercícios: Determine as coordenadas do vértice de:
a) 
b) 
c) 
d) 
Correção: a) . b) . c) d) . 
		
POLINÔMIO:
	Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Um monômio será constituído de uma parte numérica (coeficiente) e de uma parte literal (letras), como: .
	Já estamos trabalhando com polinômios desde o início desse módulo. Começamos com uma função polinomial de grau 1 (função do 1º grau) e uma função polinomial de grau 2 (função do 2º grau), também trabalhamos com equações polinomiais do 1º e 2º grau, quando determinamos as raízes dessas funções.
	Para esse módulo vamos considerar o termo geral de um polinômio como . Sendo e números naturais.
 
Grau do polinômio: Para determinar o grau de um polinômio, analisaremos o grau de cada monômio que o compõe, pois o grau de um polinômio é igual ao do monômio de maior grau.
Exemplo: Dado um polinômio, como , que é composto por quatro monômios, vamos analisar o grau de cada um.
· – tem grau 3, pois o expoente da parte literal é 3.
· – tem grau 2, pois o expoente da parte literal é 2.
· – tem grau 1, pois o expoente da parte literal é 1.
	Assim, como o termo de maior grau, que é o , e de grau 3, o polinômio também é de grau 3. 
	Uma função do tipo é dita função do 2º grau, pois o termo de maior grau do polinômio é o . Assim como é uma função do 1º grau.
Valor numérico de um polinômio: Dado um polinômio , temos que seu valor numérico quando , é .
	Exemplo: 
se , então 	
			 
 			
Adição e Subtração de polinômios: Considere os polinômios e . Temos que:
	 
	Ou seja, soma ou subtrai os coeficientes dos termos semelhantes (letras com mesmos expoentes) e conserva a parte literal.
	Exemplo: Dados e , calcule:
a) 
	 
	 
	.
b) 
	 
	 
	.
Exercícios: Determine a soma e a diferença dos polinômios abaixo:
a) e .
b) e .
Correção: a) 	b) .
		
Multiplicação de polinômios: Para multiplicarmos dois polinômios, precisamos inicialmente lembrar de uma regra da potenciação: .
Consideremos dois polinômios e . Queremos calcular :
			 
			 
 Exercícios: Multiplique os polinômios abaixo:
a) 
b) 
c) 
Correção: a) .	b) .	c).
		
TRABALHO:
1. Os numerais podem ser escritos e representados de diversas formas.
Uma delas é sob a forma de potências. O seguinte número 243 pode ser escrito sob a forma:
a) .
b) .
c) .
d) .
2. A potência é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
3. Usando as propriedades de potenciação, a simplificação da expressão: é:
a) .
b) .
c) .
d) .
4. O diagrama que representa uma função é: 
a) 
b) 
	
c) 	
d) 
5. A raiz da função é:
a) 5.
b) 8.
c) 4.
d) -8.
6. Qual gráfico abaixo representa uma função do 1° grau:
a) 
b) 
c) 
d)
7. A solução da inequação é o intervalo:
	a) .
	b) .
	c) .
	d) .
8. Dados os conjuntos e , a relação R = {(x,y) ∈ / está corretamente escrita na alternativa: 
	a) R = {(1,2), (2,5), (3,8)}
	b) R = {(1,1), (2,5), (3,5)}
	c) R = {(1,2), (2,5)}
	d) R = {(1,1), (3,5)}
9. Observe o gráfico:
Podemos dizer que:
a) Representa uma função do 1o grau e tem raiz igual a 0.
b) A parábola corta o eixo das abcissas no ponto 0.
c) O vértice dessa parábola é o ponto (2,3).
d) Representa uma função do 2º grau e as raízes são 2 e 3.
10. As coordenadas do vértice da parábola, referente à função são: 
a) V(2,3).
b) V(-2,-3). 
c) V(2,-3).
d) V(-2,3).
11. O gráfico abaixo representa uma função do 1º grau :
Então, de acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) a < 0, então f(x) é decrescente.
b) a = 0, então f(x) é constante.
c) a = 0, então f(x) é crescente.
d) a > 0, então f(x) é crescente.
12. As raízes da função são:
a) 3 e 1.	
b) 4 e 2.
c) 2 e 1.
c) -3 e -1.
13. É uma função polinomial:
a) . 
b) .
c) .
d) .
14. Dada a função polinomial o valor de é:
a) -1.
b) 5.
c) 0.
d) -7.
15. Dada a função polinomial e sabendo que P(2) = 5 , então “k” é igual a:
a) 3.
b) -3.
c) 1.
d) -1.
16. Dados os polinômios e , é igual a:
	a) .
 b) .
 c) .
 d) .
17. Na identidade de polinômios , os valores de a, b e c são, respectivamente:
 a) 2, 1, 3.
 b) 3, 2, 1.
	 c) -1, -2, -3.
	 d) 1, 2, 3.
	18. Dados os polinômios e , o produto é:
	 a) .
	 b) .
	 c) .
	 d) .
19. O grau do polinômio é:
a) 3.
b) 7.
c) 4.
d) 2.
20. Observe o gráfico da função do 2º grau 
x
y
A respeito das raízes e da concavidade da parábola, podemos dizer que:
a) Δ > 0 e a < 0
b) Δ < 0 e a > 0
c) Δ = 0 e a > 0
d) Δ > 0 e a > 0