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PESQUISA OPERACIONAL
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
CONVERSA INICIAL
Olá! Seja muito bem-vindo(a)!
Inicialmente, aprenderemos o que é pesquisa operacional (ou simplesmente PO), qual a sua
origem e como podemos utilizar muitas técnicas de otimização da PO na resolução de problemas
reais.
No decorrer da disciplina, estudaremos muitas das técnicas de otimização pertencentes a esse
importante ramo da matemática e, nesta aula, estudaremos o conceito e a origem da pesquisa
operacional. Em seguida, teremos alguns exemplos de onde poderemos utilizar a PO. Vamos
aprender também o que é um modelo matemático. Estudaremos o que é a programação linear (PL),
uma importante parte da pesquisa operacional e, no final da aula, aprenderemos a formular
problemas de programação linear.
TEMA 1 – CONCEITO E ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL
Em nossas vidas, muitas vezes nos deparamos com situações onde temos duas ou mais
possibilidades e precisamos escolher qual delas é a melhor opção de acordo com alguns critérios.
Muitas vezes essa escolha é feita de uma forma intuitiva e isso não é errado. No entanto, se
pudermos contar com formas mais objetivas e consistentes para nos auxiliar no processo de
tomarmos decisões, melhor.
Há diversos profissionais capacitados para auxiliar pessoas na busca pela melhor solução.
Podemos encontrar profissionais da área de computação, direito, administração e empresas,
economia, engenharia, medicina, nutrição, psicologia, dentre muitas outras. Independentemente do
problema a ser resolvido ou da área de atuação das pessoas envolvidas, é muito comum, em algum
momento, a necessidade de um profissional relacionado à pesquisa operacional ou pelo menos de
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uma pessoa com conhecimentos nessa área. Mas por que isso? Por um motivo bastante importante:
a pesquisa operacional consiste em um vasto conjunto de técnicas de obtenção da solução ótima de
um problema, caso exista tal solução.
A pesquisa operacional é uma ciência cujo principal objetivo é a otimização de problemas reais
existentes nas mais diversas áreas.
O desenvolvimento da matemática está diretamente relacionado ao desenvolvimento da
humanidade da mesma forma que a humanidade se desenvolve utilizando diretamente os
conhecimentos relacionados à matemática. Quando nos deparamos com problemas de otimização,
ou seja, quando temos opções e queremos a melhor delas dentro do que é viável, o uso da
matemática é de grande importância.
Até meados da década de 40, principalmente em decorrência da Segunda Guerra Mundial,
muitos problemas de otimização precisavam ser resolvidos, mas não havia formas de essas soluções
serem obtidas.
Em decorrência da necessidade, na Inglaterra, um grupo de cientistas estava trabalhando nessa
época no desenvolvimento de técnicas para que o governo pudesse utilizar, da melhor forma
possível, os recursos militares disponíveis. Em paralelo, os Estados Unidos também estavam
trabalhando no estudo de problemas similares. Em 1947, graças ao empenho de George Bernard
Dantzig (1914-2005), um cientista matemático nascido em Portland, Oregon, e que trabalhava no
Controle Estatístico das Forças Aéreas, um excelente resultado foi conseguido: o desenvolvimento do
método simplex, destinado à resolução de problemas de programação linear. O termo pesquisa
operacional é oriundo da primeira aplicação dessas técnicas de otimização de recursos militares. Com
o passar do tempo, muitos desenvolvimentos ocorreram nessa importante área da matemática e,
atualmente, a pesquisa operacional é utilizada nas mais diversas situações onde existe a necessidade
de tomada de decisão.
  A PO está sendo cada vez mais utilizada dentro dos processos e dos métodos destinados à
customização e à otimização dentro de contextos reais, como produção, armazenagem, distribuição e
planejamento, além de muitas outras áreas.
TEMA 2 – APLICAÇÕES DA PESQUISA OPERACIONAL
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Antes de iniciarmos as explicações mais detalhadas, é importante termos uma visão geral de
onde é possível utilizar a pesquisa operacional.
Sabemos que o principal objetivo da pesquisa operacional é a otimização relacionada a
problemas reais. Com os avanços tecnológicos, os processos de otimização estão cada vez mais
presentes em nossas vidas e a utilização de técnicas relacionadas à pesquisa operacional estão se
tornando mais fáceis de serem utilizadas.
Atualmente, tendo um smartphone, por exemplo, podemos inserir em um aplicativo o endereço
de origem, o endereço de destino e temos como resposta as melhores opções de caminho: o mais
rápido, o mais curto, o de menor trânsito, o que tem menos pedágios etc. Nem sempre podemos ter
todas as melhores opções reunidas em um único trajeto, mas temos uma forma mais técnica e
específica de tomarmos as decisões.
Este é apenas um dentre muitos exemplos de otimização que podemos utilizar em nossas vidas,
tanto em situações pessoais quanto em profissionais.
De um modo geral, podemos dizer que a pesquisa operacional está relacionada à produção, ao
transporte, à armazenagem e ao planejamento.
É utilizada em muitas áreas tais como agricultura, finanças, marketing, meio ambiente, prestação
de serviços, engenharia de produção, logística, computação, que utilizam muito esse recurso para
determinar, por exemplo, a programação da produção de uma indústria ou as melhores formas de
distribuição de produtos.
Uma das principais características da PO é a busca pela maximização do lucro ou pela
minimização do custo. No entanto, é importante ressaltar que podemos ter muitos outros critérios de
otimização. Podemos ter como objetivo, por exemplo, maximizar a audiência relacionada a um
programa de TV, maximizar a satisfação dos clientes, minimizar a distância total percorrida, dentre
outras possibilidades.
A pesquisa operacional é uma poderosa ferramenta matemática que tem como principal função
auxiliar no processo de tomada de decisão em situações reais. Na maioria dos casos, são utilizados
modelos matemáticos que seguem estruturas estabelecidas. No decorrer de nossas aulas,
estudaremos muitos destes problemas. Podemos dizer que a PO uma ciência onde a tomada de
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decisões é feita com base em dados concretos e no uso da tecnologia. Os principais instrumentos
que a PO utiliza estão baseados em conhecimentos matemáticos, estatísticos computacionais.
Em um grande número de aplicações da PO em problemas do cotidiano, podemos destacar
algumas delas:
Escolher o melhor caminho entre dois pontos (origem e destino);
Obter a melhor rota para um veículo que precisa fazer entregas em diferentes pontos;
Calcular o fluxo máximo de uma rede de distribuição de água ou de petróleo;
Determinar a melhor forma de conectar pontos de uma rede;
Determinar as quantidades a serem produzidas de modo a maximizar o lucro;
Obter a melhor forma de distribuição de capital em diferentes investimentos.
Além dessas, existem muitas outras aplicações relacionadas às mais diversas situações.
Uma pergunta pode surgir: quando podemos utilizar os conhecimentos de pesquisa operacional
no processo de tomada de decisão? A resposta é bem simples: sempre que temos opções, dentre as
quais, queremos a melhor de acordo com critérios estabelecidos.
Quando há uma tarefa a ser realizada e não há diferentes possibilidades envolvidas, não existe a
necessidade de utilizarmos a PO. No entanto, quando temos uma tarefa e há duas ou mais opções
relacionadas, podemos utilizar a pesquisa operacional para nos auxiliar.
Em uma organização, os procedimentos relacionados à PO estão relacionados a todos osníveis –
estratégico, tático e operacional –, ou seja, auxilia diretores, assessores, supervisores, coordenadores e
demais funcionários.
Sempre que estamos relacionados a processos de tomada de decisão, temos os seguintes
fatores que irão interferir nestes processos.
Quadro 1 – Fatores e cenários que interferem na tomada de decisão
Fatores Cenários
Importância Está relacionada ao impacto que a decisão pode provocar na organização (ganhos ou prejuízos).
Agentes Número de decisores, individual ou em grupo, que simplifica ou torna mais complexo o processo.
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Risco As certezas ou incertezas influenciam nossas decisões.
Ambiente
Aspectos sociais e culturais que interferem no processo 
decisório.
Conflitos Surgem em função de choques de interesses entre setores de uma organização ou entre decisores.
Fonte: Lachtermacher, 2016, p. 4.
Considerando esses elementos, precisamos de uma forma mais técnica e objetiva no processo
de tomada de decisão e na quantificação de todas as variáveis relacionadas ao processo de tomada
de decisão.
Atualmente as empresas, além de redução de custos e melhor aproveitamento dos recursos,
buscam também um maior cuidado com o meio ambiente e, mesmo depois de manufaturados, um
acompanhamento do produto perante os consumidores para otimizar o processo de reciclagem. A
pesquisa operacional está presente em diversas áreas do conhecimento, e sua utilização pode trazer
melhorias significativas no aproveitamento dos recursos disponíveis, gerando redução de custos ou
desperdícios e também aumentando os lucros.
Para que possamos utilizar as técnicas da pesquisa operacional na resolução de problemas reais,
precisamos escrever esses problemas por meio de modelos matemáticos.
Veremos a seguir o que são esses modelos e como podemos realizar a modelagem matemática.
TEMA 3 – MODELAGEM MATEMÁTICA
A pesquisa operacional está diretamente relacionada à modelagem matemática de um
problema. Com base na modelagem, é possível transformar uma situação real em um modelo
matemático, o que permite que possamos buscar a respectiva solução.
No decorrer da nossa disciplina, estudaremos diversas técnicas relacionadas à resolução de
problemas reais, e a modelagem faz parte de uma importante etapa, pois com base na construção de
um modelo matemático consistente e que retrata a realidade é que utilizaremos as técnicas que
iremos estudar.
Como consequência, a modelagem realizada de forma correta permite que possamos obter uma
solução mais confiável para o nosso problema. Por outro lado, se a modelagem não estiver de acordo
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com a realidade ou se existirem erros, a solução do problema não estará de acordo com o que
realmente é preciso ser feito.
Assim, é fundamental que tenhamos muito cuidado nessa etapa para que seja feita da melhor
maneira, considerando as informações que realmente são relevantes para o processo.
Precisamos cuidar para que todos os dados importantes sejam considerados, pois não podemos
obter uma solução consistente e de acordo com a realidade se houver descuido na coleta de
informações.
Com o avanço da tecnologia e das técnicas de otimização, o processo de modelagem evoluiu
muito recentemente. Atualmente podemos contar com bancos de dados gigantes, computadores
muito potentes, sistemas interligados, além de muitos outros recursos.
Com esses avanços, é comum deixamos de lado a intuição e utilizarmos cada vez mais os
modelos criados. No entanto, é recomendável unir as duas fontes de informações, intuição e uso da
modelagem com técnicas de otimização. A intuição é uma importante ferramenta auxiliar nos
processos de:
classificação da relevância da informação, a fim de utilizá-la ou não;
escolha dos cenários a serem estudados;
validação do modelo sugerido para a situação;
análise dos resultados dos estudos.
Precisamos considerar a capacidade humana de análise e de ponderação sobre os fatos.
Em relação aos modelos, podemos encontrar três tipos: os físicos, os análogos e os matemáticos
(simbólicos).
Iremos abordar em nossas aulas os modelos matemáticos, mais utilizados nas atividades
gerenciais e cujas características fundamentais são as seguintes:
As grandezas são representadas por variáveis de decisão;
As relações entre as variáveis são apresentadas por expressões matemáticas;
Necessitam de informações quantificáveis.
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Para encontrarmos a solução ótima de um problema, aplicamos a modelagem, ou seja,
procuramos definir os aspectos que nos permitem delinear os passos para a obtenção da solução do
problema. A estruturação do modelo tem relação direta com o sistema representado, que é real.
Para organizarmos o nosso trabalho, precisamos considerar que a PO é dividida em seis fases
ordenadas:
Formulação do problema;
Construção ou alteração do modelo;
Cálculo do modelo;
Teste do modelo e da solução;
Estabelecimento e controle das soluções;
Implantação e acompanhamento.
Essas fases estão diretamente relacionadas à solução do problema. Em resumo, temos:
3.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Nessa fase, determinamos o que pretendemos fazer. É o momento de definições, no qual
devemos desenvolver o problema cuidadosamente, com clareza e coerência, delimitando os
objetivos a alcançar e identificando as limitações ou restrições do produto em estudo, inclusive
esboçando e acolhendo críticas aos possíveis caminhos que desejamos alcançar. É o período
adequado para fazermos as proposições possíveis, verificando os registros e coletando novas
informações, com máxima precisão e veracidade das informações. E se a formulação for feita de
modo equivocado? Você deve lembrar que, se a formulação for feita de modo equivocado, fugindo
do objeto de estudo, todas as outras fases ficam comprometidas e podem levar ao erro.
3.2 CONSTRUÇÃO OU ALTERAÇÃO DO MODELO
Partimos para o enfrentamento dessa fase com a concepção de que o modelo é uma
representação da realidade estudada, portanto ele depende do estudo do problema já levantado na
fase inicial. É importante lembrar que os elementos constitutivos do modelo são oriundos de dados
da empresa ou do mercado, ou, ainda, do cenário que está sendo analisado. Aqui prevalece a
modelagem matemática, definida por equações e inequações matemáticas, seja na função objetivo
ou em suas restrições, como veremos mais adiante. Cabe lembrar que nessa fase é preciso separar as
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variáveis decisivas (também chamadas de variáveis controláveis), das variáveis não controláveis. Para
exemplificar, podemos dizer que uma variável controlável é aquela que, em uma situação de
produção, representa a quantidade produzida. Já a variável não controlada poderia ser a demanda
dessa quantidade ou o preço de mercado praticado por certo produto.
3.3 CÁLCULO DO MODELO
Também podemos chamá-la de resolução do modelo. É a fase na qual encontramos a solução ou
as soluções do modelo por meio de diversas técnicas de resolução, desde as mais simples, nas quais
os problemas também são simples, até técnicas de programação lineares mais sofisticadas. O método
simplex é uma dessas técnicas que podemos utilizar quando se trata de problemas com mais de duas
variáveis controladas. Existem também muitos recursos computacionais que permitem fazer o cálculo
com extremo rigor, confiabilidade e rapidez. Podemos destacar alguns, como o Solver do Microsoft®
Excel, Lindo, Lingo, WinQSB, bibliotecas do Python, etc.
3.4 TESTE DO MODELO E DA SOLUÇÃO
Nessa fase, verificamos se os resultados obtidos pelas soluções encontradas do modelo
matemático servem para o modelo real do problema, após sua implantação, ou, ainda, se ele permite
verificar se serão necessárias novas soluções para melhorar ainda mais.
3.5 ESTABELECIMENTO E CONTROLE DAS SOLUÇÕES
Por quecontrole? Na construção do modelo, bem como na sua execução, devemos identificar
alguns parâmetros ou valores fixos para a solução do problema. Esses parâmetros devem ser
controlados, para que, caso sofram desvios durante o processo, o modelo possa ser corrigido.
3.6 IMPLANTAÇÃO E ACOMPANHAMENTO
É quando verificamos com precisão o que conseguimos, ou seja, o que encontramos nas fases
anteriores, desde que tenhamos feito todo o acompanhamento do processo. Podemos também,
nessa etapa, fazer correções ou ajustes no modelo, caso sejam necessários.
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É interessante pensar que a pesquisa operacional atua em vários níveis do conhecimento que
podem ser formulados matematicamente, adotando uma técnica específica para cada situação, por
exemplo:
Em setores cujo objetivo é otimizar a quantidade produzida para alcançar o menor custo ou a
maior receita (aumentar ou diminuir), situação na qual podemos citar a agricultura, a indústria
química ou a produção industrial;
Na indústria moveleira e metalúrgica, a qual procura minimizar o desperdício com problemas
de cortes de chapas ou madeiras, tendo assim um melhor aproveitamento;
Em carteira de investimentos que possam trazer uma opção melhor para um determinado
investimento, em função de obter uma melhor rentabilidade;
Em situações de transporte para otimizar o tempo e custo tanto no que se refere a fluxo de
transporte quanto a fluxo para obtenção do caminho mínimo.
Para cada situação, como já dissemos, utilizamos uma ferramenta (procedimento) ou técnica,
conforme particularidades que apresentam. Entre elas, podemos destacar:
Programação linear (PL), que consiste na programação matemática que procura otimizar
situações-problema sujeitas a certas restrições, maximizando ou minimizando. Cabe ressaltar
que existem outros tipos de programação linear, com características bem definidas, como as da
programação inteira, mista ou dinâmica;
Teoria dos grafos, técnica que é direcionada para os fluxos máximos, o caminho mais curto, a
roteirização de caminhos para veículos, o planejamento e programação de projetos (PERT e
COM);
Simulação, que atua com modelos representativos analisando o comportamento de variáveis e
abrangendo situações que favorecem à lei do acaso, sendo otimizadas. Como exemplo
podemos falar sobre a simulação de Monte Carlo;
Teoria dos jogos, a qual se baseia em estratégias para análise de consequências, persuasão e
tomada de decisão.
Essas técnicas podem ser utilizadas para o estudo do problema e a obtenção de dados
quantificados como subsídios para tomar decisões na empresa.
Dentre diversos temas estudados em PO, abordaremos inicialmente a programação linear (PL),
que consiste em uma das mais importantes áreas da pesquisa operacional. Veremos a formulação de
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problemas de PL, além de alguns exemplos e aplicações.
TEMA 4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR
A programação linear consiste em uma das mais importantes técnicas de otimização
relacionadas à pesquisa operacional. A principal característica da programação linear é o uso de uma
função objetivo linear e de restrições lineares. Muitos problemas de otimização estão sujeitos a
restrições tais como limitações de investimentos, mão de obra, matéria-prima, entre outras.
Matematicamente, essas restrições, bem como a função objetivo, podem ser lineares ou não lineares.
Em particular, a programação linear tem como objetivo abordar problemas de otimização dotados de
uma função objetivo linear e de restrições também lineares. Mas o que é uma restrição ou uma
função objetivo linear?
Uma função objetivo ou uma restrição são ditas lineares quando cada aumento de uma unidade
em uma das variáveis do problema corresponde a um aumento constante por unidade no recurso
associado a essa variável.
Graficamente, uma expressão linear com duas variáveis é representada por uma reta. No caso de
três variáveis, a representação gráfica é um plano. Para quatro ou mais variáveis temos hiperplanos,
mas que infelizmente não podem ser representados graficamente. No entanto, independentemente
do número de variáveis do problema, as características lineares são preservadas.
Problemas de caráter linear ocorrem em diversas situações. Por exemplo, vamos considerar que
em um posto de gasolina, o litro do combustível é vendido por R$ 6,00. O total a ser pago é
proporcional à quantidade de combustível adquirida. Note que se um litro custa R$ 6,00, dois litros
custam R$ 12,00, 3 litros custam R$ 18,00, 3,4 litros custam R$ 20,40 e assim por diante. Dizemos que
a relação entre a quantidade de combustível adquirida e o total pago é linear.
Podemos representar esta relação por meio de uma reta y=6x onde y é o total a ser pago e x é a
quantidade de combustível.
Graficamente, temos:
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Como a programação linear está relacionada a uma função objetivo linear e a restrições lineares,
com base na modelagem matemática, podemos escrever a seguinte forma geral para esses
problemas
Nesta formulação, temos importantes elementos a serem considerados. Os elementos aij, bi e cj
são parâmetros na forma numérica e estão relacionados aos dados do problema. Os termos xj
correspondem às variáveis, ou seja, são elementos do problema que possuem valores desconhecidos,
mas que precisamos encontrar de modo que satisfaçam a função objetivo e que estejam de acordo
com as restrições do problema. O termo “s.a.” é um formalismo apenas que indica que temos uma
função objetivo que está sujeita a uma sequência de restrições.
A formulação de um problema de PL tem três elementos que são fundamentais e que sempre
existirão: as variáveis, a função objetivo e as restrições.
Vamos, inicialmente, tratar da função objetivo, uma expressão na forma matemática que está
associada ao objetivo principal do problema.
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A função objetivo pode estar relacionada a um problema de maximização ou a um problema de
minimização.
Quando o problema é maximizar z, temos
Quando o problema é minimizar z, temos
Em ambos os casos,  são números reais e  são as variáveis do problema.
Além da função objetivo, temos também as restrições do problema que estão associadas às
limitações ou condições do problema.
Essas limitações ou condições variam de acordo com o problema.
Dentre as muitas que podem ocorrer, vejamos alguns exemplos de restrições:
Capital disponível;
Quantidade disponível de matéria-prima;
Capacidade de produção;
Quantidade de mão de obra disponível;
Limitações no preço;
Estoque mínimo ou máximo;
Demanda mínima ou máxima;
Limite de espaço físico;
Distância entre localidades.
As restrições podem ser de igualdade ou de desigualdade:
ou
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Em situações reais, os elementos de um problema de PL são identificados com base em uma
análise do cenário. A formulação é uma importante etapa e precisa ser feita de uma forma cuidadosa
e correta, a fim de estar representando fielmente o problema a ser resolvido.
TEMA 5 – FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR
Sabemos que a formulação é uma importante etapa a ser considerada no processo de
otimização. Para que possamos obter a formulação de um problema de programação linear, é
preciso identificar quais são os elementos fundamentais existentes: variáveis, função objetivo e
restrições. Podemos considerar também como um elemento fundamental de um problema de PL a
solução ótima, caso exista.
As variáveis estão diretamente relacionadas ao ponto principal do problema. Correspondem aos
elementos existentes e os respectivos valores serão obtidos na solução do problema. A função
objetivo está diretamente relacionada ao problema e indica, por meio de uma expressão matemática,
a meta a ser atingida. Quantoàs restrições, temos as condições ou limitações existentes.
Para entendermos melhor como devemos proceder para identificarmos estes elementos e,
consequentemente, formularmos um problema de programação linear, vamos pensar em alguns
exemplos.
Neste momento vamos nos concentrar na formulação dos problemas. Como podemos resolver
estes e outros problemas? Aprenderemos em conteúdos posteriores.
No primeiro exemplo, iremos considerar um problema simplificado relacionado a uma indústria
têxtil que fabrica toalhas de banho e de rosto. Antes de apresentarmos o enunciado do exemplo,
vamos entender um pouco como funciona o processo de produção destas toalhas.
Inicialmente, a indústria possui um lote de fios que são colocados em uma urdideira.
Saiba mais
  Urdideira é uma máquina parecida com uma grande gaiola que tem como objetivo
preparar os fios para serem direcionados aos teares que ficam na tecelagem da indústria. Como
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resultado do trabalho dos teares, as toalhas são produzidas por meio do entrelaçamento dos
fios. Inicialmente, é fabricado o tecido das toalhas que em seguida é aberto e cortado de
maneira automatizada. Na sequência, é realizada a costura lateral da toalha por meio de
máquinas. Após a costura lateral, as toalhas seguem para a máquina de costura transversal onde
elas são limpas, contadas e etiquetadas. Nesta máquina são feitas as costuras na parte superior e
inferior das toalhas. Na etapa final da fabricação, as toalhas são inspecionadas e dobradas,
prontas para serem separadas, embaladas e encaminhadas para a expedição. É claro que nesse
processo há diversos profissionais envolvidos, e a indústria precisa focar não apenas no processo
de produção mas também no cuidado com o meio ambiente, estudar o comportamento do
consumidor, estar por dentro das tendências do mercado e cuidar da qualidade dos produtos e
da relação com os clientes, com outras empresas e com a sociedade.
Agora que já sabemos um pouco como é o processo de fabricação de toalhas, vamos utilizar
alguns exemplos simplificados relacionados ao tema para podermos aprender a identificar os
elementos de um problema de programação linear, o processo de construção da função objetivo e
das restrições, a possibilidade de adicionarmos mais restrições a um problema e muito mais.
Exemplo 1:
Uma indústria têxtil produz toalhas de banho e de rosto. No processo de fabricação, cada toalha
de banho consome 400 g de tecido enquanto que para a produção de cada toalha de rosto são
necessários 180 g de tecido. O lucro da indústria para a venda de cada toalha de banho corresponde
a R$ 15,00 e para cada toalha de rosto corresponde a R$ 7,00. Mensalmente, a indústria tem uma
disponibilidade de matéria-prima equivalente a 5 toneladas de tecido. Quantas toalhas de rosto e
quantas toalhas de banho deverão ser produzidas de modo que o lucro mensal seja o maior
possível? Formule o problema como um problema de programação linear.
Resolução comentada:
Quando pensamos na formulação de um problema de programação linear precisamos,
inicialmente, identificar corretamente as variáveis do problema. Para isso, basta verificarmos o que
precisamos descobrir. No caso do exemplo que estamos considerando, o objetivo é sabermos
quantas toalhas de banho e quantas toalhas de rosto deverão ser produzidas. Assim, as variáveis do
problema são as quantidades de toalhas de cada modelo a serem produzidas. Podemos representar
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essas variáveis por x1 e x2, que são nomenclaturas mais genéricas, por b e r, as iniciais de das palavras
banho e rosto, respectivamente, ou por quaisquer outros termos. A escolha dos nomes das variáveis é
feita de acordo com a necessidade ou com a vontade de quem está formulando o problema. Iremos
optar por b e por r para facilitar a compreensão da formulação e, quando resolvermos futuramente o
problema, essa nomenclatura irá facilitar na associação da resposta obtida com as toalhas a serem
produzidas. Assim, podemos definir as variáveis da seguinte forma:
b = quantidade de toalhas de banho a serem produzidas;
r = quantidade de toalhas de rosto a serem produzidas.
Agora que sabemos quais são as variáveis, podemos escrever a função objetivo e as restrições.
Vamos começar pela função objetivo. O primeiro passo para que possamos escrever a função
objetivo, é identificarmos qual é o objetivo, a meta apresentada no problema. Pelo enunciado, fica
claro que a meta é obter o lucro mensal máximo relacionado à produção e, é claro, em relação à
posterior venda de toalhas de banho e de rosto.
Pelas informações contidas no enunciado, o lucro para a venda de cada toalha de banho
corresponde a R$ 15,00 e para a venda de cada toalha de rosto produzida corresponde a R$ 7,00.
Assim, o lucro referente à produção de b toalhas de banho corresponde à multiplicação de R$ 15,00
pela quantidade de toalhas de banho a serem produzidas, ou seja, 15 . b, ou, de maneira equivalente,
15b. O lucro referente às toalhas de rosto é dado pela multiplicação da quantidade de toalhas de
rosto produzidas r pelo lucro unitário R$ 7,00, ou seja, 7b.
Para que tenhamos o lucro mensal L, basta somarmos o lucro referente às toalhas de banho com
o lucro obtido a partir das toalhas de rosto, ou seja
L = 15b + 7r
Como o objetivo da indústria é obter o maior lucro mensal, o problema é de maximização. Logo,
a função objetivo corresponde a
max L = 15b + 7r
onde o termo max indica que temos um problema de maximização.
Vamos agora determinar as restrições do problema. Para isso, precisamos identificar quais são as
condições existentes ou os fatores que limitam a produção. Observando as informações contidas no
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enunciado, sabemos que cada toalha de banho utiliza 400 g de tecido e que cada toalha de rosto
utiliza 180 g de tecido. Sabemos também que o total de tecido disponível é de 5 toneladas por mês.
Podemos concluir então que a única restrição do problema é a quantidade máxima de tecido
disponível. É claro que poderíamos ter muitas outras restrições, mas como foi dito no início, estamos
trabalhando com uma forma simplificada do problema. Além disso, nos próximos exemplos iremos
adicionar mais restrições a este problema para que possamos aprender a formular um problema
passo a passo e também para sermos capazes de identificar o impacto de novas restrições neste
problema.
Voltando à restrição do problema, como a quantidade máxima de tecido está em toneladas e as
quantidades unitárias estão em gramas, precisamos converter estas unidades para uma em comum.
Podemos, por exemplo, transformar todas elas em quilos. Para convertermos toneladas em quilos,
multiplicamos o valor por 1000 e, para convertermos gramas em quilos, dividimos o valor por 1000.
Assim, 5 toneladas é equivalente a 5000 quilos, 180 g equivale a 0,18 kg e 400 g equivale a 0,4 kg.
Agora que temos todas as unidades convertidas para quilos, podemos pensar em como construir
a restrição. A ideia é bem simples. Como a indústria possui 5000 quilos de tecido, é possível utilizar
no máximo 5000 quilos para a produção de toalhas de banho e de rosto. Sabemos também que cada
toalha de banho requer 0,4 quilos de tecido. Como serão produzidas b toalhas de banho, o total de
tecido necessário é igual a 0,4 . b que pode ser escrito como 0,4b. Em relação às toalhas de rosto, a
abordagem é a mesma. Cada toalha de rosto utiliza 0,18 quilos e r toalhas de rosto serão produzidas.
O total de tecido para essas toalhas é o resultado da multiplicação de 0,18 pela quantidade de
toalhas de rosto produzidas, ou seja, 0,18 . r que pode ser escrito como 0,18r. Precisamos agora da
representação matemática do total de tecido utilizado para a produção das duas toalhas que
corresponde à soma 0,4b + 0,18r. Como essa quantidade não pode ultrapassar 5000 quilos,
utilizaremosum sinal de menor ou igual (≤) para essa restrição:
0,4b + 0,18r ≤ 5000
O significado da restrição é que o total de tecido utilizado para a produção de toalhas, tanto de
banho quanto de rosto, é menor ou igual a 5000 quilos.
Com base nos elementos obtidos, ou seja, variáveis, função objetivo e restrições, temos a
seguinte formulação:
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max L = 15b + 7r
s.a. 0,4b + 0,18r ≤ 5000
b ≥ 0, r ≥ 0
Observe que adicionamos duas restrições, b ≥ 0 e r ≥ 0, que não foram apresentadas
diretamente no enunciado do problema, mas que existem por não fazer sentido prático produzir uma
quantidade negativa de toalhas de banho ou de toalhas de rosto.
No próximo exemplo, iremos incluir mais uma restrição a este problema.
Exemplo 2:
Uma indústria têxtil produz toalhas de banho e de rosto. No processo de fabricação, cada toalha
de banho consome 400 g de tecido enquanto que para a produção de cada toalha de rosto são
necessários 180 g de tecido. O lucro da indústria para a venda de cada toalha de banho corresponde
a R$ 15,00 e para cada toalha de rosto corresponde a R$ 7,00. Mensalmente, a indústria tem uma
disponibilidade de matéria-prima equivalente a 5 toneladas de tecido. A indústria tem um limite de
produção de no máximo 20000 toalhas de rosto. Quantas toalhas de rosto e quantas toalhas de
banho deverão ser produzidas de modo que o lucro mensal seja o maior possível? Formule o
problema como um problema de programação linear.
Resolução comentada:
No Exemplo 1, vimos que as variáveis do problema são:
b = quantidade de toalhas de banho a serem produzidas;
r = quantidade de toalhas de rosto a serem produzidas.
Vimos também que a função objetivo é
max L = 15b + 7r
e que a restrição relacionada a quantidade de tecido disponível é
0,4b + 0,18r ≤ 5000
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No entanto, temos agora mais uma restrição: a produção máxima de 20000 toalhas de rosto.
Assim, temos a restrição
r ≤ 20000
Mas por qual motivo utilizamos o sinal de menor ou igual (≤) e não o sinal de igual (=)? A
resposta é bem simples. Como a produção é de no máximo 20000 toalhas de rosto, a indústria pode
produzir 20000 toalhas de rosto ou menos do que esta quantidade.
Considerando agora a nova restrição, a formulação do problema passa a ser
max L = 15b + 7r
s.a. 0,4b + 0,18r ≤ 5000
r ≤ 20000
b ≥ 0, r ≥ 0
Tanto no primeiro quanto no segundo exemplo foram apresentadas duas situações relacionadas
à fabricação de toalhas. Na primeira, a única restrição estava associada à quantidade de matéria-
prima disponível. Na segunda, além da restrição associada à quantidade total de matéria-prima
disponível, foi apresentada também uma condição em relação à produção máxima de toalhas de
rosto.
Mas o que isso influencia na solução do problema? Como dissemos anteriormente, nesta aula o
objetivo é pensarmos na formulação de problemas de programação linear.
Posteriormente, estudaremos diferentes formas de resolvermos problemas de programação
linear e continuaremos a trabalhar também com a formulação de problemas para que possamos
fortalecer a nossa aprendizagem.
FINALIZANDO
Aprendemos nesta aula o que é pesquisa operacional, sua importância, origem e algumas
aplicações em problemas reais. Aprendemos o que é um modelo matemático e a importância de
modelarmos corretamente um problema. Estudamos as características de problemas de programação
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linear e abordamos a formulação destes problemas. O nosso objetivo maior é a aprendizagem.
Esperamos que você tenha compreendido da melhor forma possível os temas abordados durante a
aula. Se necessário, retome os conteúdos abordados e refaça os exemplos apresentados.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de
gestão. 3. ed. Curitiba: InterSaberes, 2015.
COLIN, E. C. Pesquisa operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção,
marketing e vendas. São Paulo: Atlas, 2019.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre:
AMGH,2013.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
TAHA, H. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.