Características dos modelos matemáticos

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Características dos modelos matemáticos
APRESENTAÇÃO
Nesta unidade você terá contato com alguns modelos de Pesquisa Operacional. Os métodos que 
serão mostrados são os mais utilizados em problemas envolvendo pesquisa operacional. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar os diferentes modelos que são comuns em problemas de pesquisa operacional.•
Analisar os fatores restritivos de um problema.•
Identificar o objetivo do problema.•
DESAFIO
Em uma determinada empresa é utilizada uma empilhadeira para transportar os componentes A, 
B e C (um de cada) entre a fabricação e a linha de montagem.
Essa empilhadeira só pode transportar, no máximo, dois componentes de cada vez e, por 
questões de contrapeso, não pode ir nem voltar sem carga no garfo. Assim, ela deve transportar, 
sempre, um ou dois componentes em cada viagem que faz. 
Os tempos de referência para transportar os componentes A, B e C são, respectivamente, 2, 5 e 
10 minutos. Nesse caso, o tempo gasto para percorrer o trajeto será a média dos tempos que 
seriam gastos no transporte individual. 
Além disso, há um agravante: após duas viagens (uma ida e uma vinda), a empilhadeira sofre 
uma queda de performance e passa a levar o dobro do tempo para percorrer o percurso.
Qual é a forma mais conveniente de efetuar o transporte de todos os componentes no menor 
tempo possível?
INFOGRÁFICO
Este infográfico mostra todos os modelos que serão apresentados nesta Unidade de 
Aprendizagem.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Produzir introdução ao conteúdo do capítulo.
A pesquisa operacional, comumente definida como P.O., evoluiu dentro de um contexto de 
demandas por conta da Revolução Industrial, e, depois, foi aperfeiçoada pela disponibilidade e 
pela evolução da tecnologia em favor da programação e organização da indústria de modo gera
No capitulo Características dos modelos matemáticos da obra Pesquisa Operacional I, você 
conhecerá mais a respeito dos diferentes modelos para resolução de problemas e desenvolver a 
capacidade de fazer a análise inicial do problema, definir o modelo matemático e, por 
consequência, atuar com os dados
Boa leitura.
PESQUISA 
OPERACIONAL I
Sirnei César Kach
Características dos 
modelos matemáticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar os diferentes modelos comuns em problemas de pesquisa 
operacional.
 � Analisar os fatores restritivos de um problema.
 � Identificar o objetivo do problema.
Introdução
Inicialmente, a pesquisa operacional, comumente definida como P.O., 
evoluiu dentro de um contexto de demandas por conta da Revolução 
Industrial, e, depois, foi aperfeiçoada pela disponibilidade e pela evolução 
da tecnologia em favor da programação e organização da indústria de 
modo geral. Nesse cenário, entendemos que a pesquisa operacional 
envolve uma pesquisa sobre as operações, ou seja, diferentes métodos e 
modelos matemáticos para identificar e resolver os problemas de maneira 
organizada. Assim, percebemos um forte direcionamento da análise 
com base metodológica, o que, na engenharia de processos, torna-se 
algo favorável, visto que a organização de dados e seu desdobramento 
por meio de métodos são fundamentais para ter uma melhor clareza 
e organização das informações para o encaminhamento de soluções 
(HILLIER; LIEBERMAN, 2012).
Também é relevante considerar a grande contribuição da pesquisa 
operacional, em termos gerais, para a gestão das operações, já que in-
fluencia desde aquisições, controle de estoques até a programação da 
produção e das entregas, complementando o conceito de otimização que 
toda empresa procura: atuar de forma otimizada e eficiente configura-
-se como uma regra fundamental para o sucesso de um negócio. Já a 
adequação do modelo variará conforme os tipos de demandas e o perfil 
de processo em estudo.
Neste capítulo, você conhecerá mais a respeito dos diferentes modelos 
para resolução de problemas, entenderá sobre os fatores que promovem 
restrições ou dificuldades apontadas pelo problema em análise e, ainda, 
identificará de forma clara e sucinta o objetivo do problema. Com isso, 
poderá ter a clareza da metodologia e de sua eficiência para a gestão 
de dados, proporcionando informações efetivamente corretas e, assim, 
dando suporte para a tomada de decisão. Desenvolver a capacidade de 
fazer a análise inicial do problema, definir o modelo matemático e, por 
consequência, atuar com os dados são, sem dúvidas, etapas fundamentais 
para realizar uma ação efetiva e obter um resultado satisfatório sobre o 
problema em questão. Em outras palavras, seguir o método representa 
uma condição básica para garantir a padronização e, assim, aumentar a 
garantia e a eficácia dos resultados.
1 Dinâmica dos modelos para resolução 
de problemas
O processo de coleta e análise de dados representa um diferencial importante 
quando atuamos sobre problemas que exijam conceitos de pesquisa operacional. 
Sem dúvida, a importância de um bom planejamento, que consiste em verificar 
o cenário, escolher o modelo e coletar os dados e processá-los como forma 
básica de estruturação das ações, é um diferencial da ação.
De acordo com Hillier e Lieberman (2012), a formulação de um modelo 
matemático nada mais é do que transferir uma situação-problema em seus 
detalhes e comportamentos a uma metodologia com base matemática, na qual 
se organizam as informações possibilitando verificá-las com base quantitativa. 
Nessa alternativa de organização e encaminhamento de solução, transfere-se a 
informação do problema para simbologias e orientações estruturando a função 
matemática, embasada por variáveis de decisão.
Ainda conforme Hillier e Lieberman (2012), os modelos aplicados na 
resolução de problemas com base no conceito de pesquisa operacional tratam 
de diferentes situações, dados e cenários. Com isso, existem diferentes formas 
de contribuição e percepções sobre a possível solução. Isso é muito importante 
para entender onde aplicar a função matemática ou a representação de fluxos 
de materiais, pessoas e de controle de estoques na cadeia de suprimentos, 
visto que são diversas as situações que podem ser resolvidas com aplicação 
de modelos matemáticos no contexto da pesquisa operacional. 
Características dos modelos matemáticos2
Assim, a seguir descreveremos de maneira breve, direta e objetiva, com 
base em diferentes literaturas, os diversos modelos aplicados na resolução 
de problemas.
É muito importante identificar todos os detalhes do problema com muita precisão, 
pois esses fatores auxiliarão na escolha do modelo de programação a ser aplicado. 
Ter esse alinhamento bem elaborado torna-se fundamental para o sucesso da ação 
de maximização ou minimização das causas em relação ao problema.
Modelo de programação matemática
Conforme Rodrigues (2017), os modelos de programação matemática criam a 
base para uma análise e verificação de dados adequadas a fim de possibilitar 
ações, já que estão alinhados para otimizar os recursos em questão. Com a 
aplicação de modelos matemáticos, busca-se sempre maximizar ou minimizar 
determinada quantidade com base em unidades de medida específicas e que 
representem hora, lucro, custo, receita, número de produtos, etc.
Ainda de acordo com Rodrigues (2017), as formas de programação apresen-
tam divisões que podem ser mais bem entendidas a partir das seguintes áreas:
 � programação linear e método simplex;
 � programação não linear;
 � programação em redes;
 � programação multiobjetivos;
 � programação discreta (programação linear inteira).
Para Arenales et al. (2015), a programação linear tem como principais aplica-
ções ou finalidades organizar dados e procurar a otimização da solução, tornando 
uma orientação considerada problema em algo com uma condição melhor com 
base no modelo matemático. Já o algoritmo simplex atua como método interativo 
para determinar numericamente a solução ótima de ummodelo de programação 
linear, agindo como facilitador ao organizar as variáveis de entrada e saída do 
problema. Sua aplicação na solução de um problema precisa seguir a orientação-
-padrão de escrito do problema na linguagem de programação do software.
3Características dos modelos matemáticos
A otimização ou programação não linear está direcionada aos cuidados 
com a área de custos. Por exemplo, no caso de uma fábrica, em um contexto 
no qual mesmo com uma previsão de manufatura dos produtos, nenhum 
mês é igual ao outro, alinhar da melhor forma a questão envolvendo custos 
torna-se fundamental, sobretudo pelos diversos impactos em seu fluxo de 
caixa (ARENALES et al., 2015). Trata-se de uma forma de programação que 
prevê possíveis variações na preparação e na organização de sua capacidade 
dentro daquilo que é demandado e precisa ser atendido. Na programação 
não linear, consegue-se definir, em relação às demandas, quais e quantas 
máquinas devem estar em operação, e, no alinhamento de prazos, decidir em 
quais dias deve haver essa conversão para a programação do planejamento e 
controle de produção (PCP).
Ainda segundo Arenales et al. (2015), a otimização em redes (grafos) 
considera elementos fundamentais que mantêm alguma relação entre si e 
têm uma representação que se refere a cidades, ruas, estradas, etc., a qual 
proporciona uma percepção visual mais concreta. Assim, forma-se uma rede 
ligada por nós ou vértices, que correspondem aos pontos de ligação dessa 
rede ou, então, a cidade fazendo a ligação de mais de uma estrada ou de ruas. 
Quando o grafo é definido como orientado, sua representação se dá pelo uso 
de flechas, sendo também chamado de dígrafo.
Conforme Ávila (2006), a otimização ou programação multi objetivos 
pressupõe a busca de uma solução capaz de maximizar ou minimizar o pro-
blema, a qual varia conforme o contexto. Com ela, trabalhamos com a função 
objetivo (aquilo que se quer melhorar), a definição de parâmetros ou variáveis, 
restrições do problema, espaço de busca dos parâmetros (delimitados ou não), 
além do domínio realizável (no qual os parâmetros são respeitados) e do do-
mínio não viável (no qual não há observância quanto às restrições definidas). 
Uma definição clara da aplicação da otimização multi objetivos reside no 
caso no qual otimizamos a produção de uma manufatura com baixo custo, 
ou seja, máximo desempenho com mínimo custo consistiu em um conceito 
fundamental de otimização, pelo controle de perdas e demais desperdícios 
nos conceitos da engenharia de produção.
Citando novamente Arenales et al. (2015), o que altera o formato da oti-
mização discreta é que algumas das variáveis pertencem a um subconjunto 
dos números inteiros, conhecida como programação inteira e combinatória. 
É aplicada em situações que envolvam demandas sobre otimização no campo 
de energia, transportes, telecomunicações, medicina, aviação, finanças, entre 
outras. No caso da engenharia de produção, atua principalmente na organização 
Características dos modelos matemáticos4
das necessidades relacionadas a PCP, desenvolvimento de layout, logística 
interna e externa. Destaca-se a relação com PCP no sentido de nivelar a 
produção, organizando as entradas de linha com base em prazos de entrega 
e volume programado, correlacionando lead time e capacidade produtiva, 
o que passa a influenciar toda a cadeia de distribuição pela programação da 
manufatura e, com isso, gerar uma prévia do que será o processo logístico 
externo, podendo atuar dentro de uma programação de movimentações, ali-
nhada à sua capacidade logística.
Na programação matemática, conforme Rodrigues (2017), as descrições 
da divisão pelas áreas de programação já citadas complementam diferentes 
programações e métodos, de acordo com as características-base do problema. 
Essa programação sempre será estruturada com base em dados, equações e 
inequações complementando sobre restrições, variáveis e outros fatores que 
integram o processo em análise.
Modelo de teoria dos estoques
A questão central dos estoques consiste em determinar o que, quando e quanto 
deve ser encomendado e armazenado. Geralmente, baseia-se na minimização 
de custos de estocagem ao longo de determinado período que se estabelecem o 
tamanho dos pedidos e o momento em que este deve ser efetuado. Inicialmente, 
devemos considerar custo de estocagem, além dos custos de armazenamento, 
os custos decorrentes do não atendimento do pedido e os de elaboração do 
pedido (LACHTERMACHER, 2016).
Na prática, verifica-se a ocorrência de um período, denominado prazo de 
entrega, que se dá entre o momento em que determinada quantidade do produto 
a ser estocada é solicitada e aquele em que esse produto se torna disponível 
(LACHTERMACHER, 2016). Geralmente, não é possível determinar com 
precisão os prazos de entrega, motivo pelo qual são tratados como variáveis 
estocásticas. Portanto, o objetivo na estocagem consiste em otimizar as cha-
madas políticas de pedido ou estocagem, também denominadas regras de 
pedidos, por meio das quais se deseja determinar um ponto de pedido e uma 
quantidade de pedido que minimize os custos de estocagem.
Segundo Lachtermacher (2016), a utilização do Solver do Excel é um 
dos meios mais adequados e fáceis de trabalhar uma programação linear, 
o que envolve o conceito de controle de estoques. Trata-se de demandas de 
consumo correlacionadas com pedidos e capacidade instalada de produção de 
diferentes segmentos, apenas com o propósito de controlar o estoque e garantir 
5Características dos modelos matemáticos
abastecimentos prevendo a necessidade de recursos. Essa coordenação sobre 
demandas e volume de estoque complementa a decisão de quanto, quando e o 
que deve ser comprado em cada período determinado na condição de atender 
de forma otimizada a parâmetros como minimização de custos, maximização 
de resultados pelo não comprometimento do fluxo de caixa ou grandes volumes 
de estoque, tudo em função dos parâmetros definidos pelos pedidos em aberto 
(LACHTERMACHER, 2016).
Modelo de teoria das filas
Conforme Hillier e Lieberman (2012), o modelo da teoria das filas estuda a 
relação entre todas as demandas que podem ser identificadas em um sistema, 
considerando-se também os atrasos sofridos pelos usuários. Geralmente, 
a composição de algum tipo de fila tem relação com baixa capacidade de aten-
dimento, o conhecido gargalo. Com uma restrição de recursos que impactam 
no fluxo, criando-se a restrição, temos o que se denomina fila. Definem-se 
como sistemas de filas as seguintes condições:
 � uma fila única e um único servidor;
 � uma fila única e múltiplos servidores em paralelo;
 � formação de múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo;
 � uma fila única e com múltiplos servidores organizados em série, também 
descritos como múltiplos estágios.
As principais aplicações da teoria das filas se dão em bancos, supermer-
cados, aeroportos com aviões aguardando para aterrissar, produtos aguar-
dando em máquinas ou postos de trabalho para processamento, navios aguar-
dando em portos, etc. Definem-se como servidor o recurso disponibilizado 
para atender à demanda e a fila, uma composição das demandas, variando 
para mais ou menos considerando as restrições ou a formação de gargalos. 
As filas são definidas de acordo com o contexto: no caso de atendimentos a 
sistemas comerciais, os clientes externos recebem atendimentos relacionados 
a demandas comerciais (HILLIER; LIEBERMAN, 2012) e, no sistema de 
atendimento de transportes, têm relação direta com a utilização otimizada 
de meios logísticos, por exemplo, fila de aviões para pouso, navios no porto 
para descarregamento, etc.
Características dos modelos matemáticos6
Modelo de teoria dos jogos
Essa teoria foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas 
que envolvessem interesses conflitantes, já que, em teoria, os jogos ajudam 
a entender como ocorre ou deveria ocorrer o processo de decisão (FIANI, 
2015). Interagindo entre si, a partirda compreensão da lógica do problema 
em questão, os agentes conseguem se articular e iniciar o melhor encaminha-
mento de ações, estabilizando e, em seguida, resolvendo a questão em que 
estão envolvidos. No contexto dos jogos, sempre existem dois ou mais sujeitos 
com objetivos diferentes, e cada uma das ações individuais a serem tomadas 
pode impactar nos resultados do “jogo”. Aqui, tratamos o jogo literalmente 
como “jogo de interesses”, pois toda decisão a ser tomada por uma das partes 
tem como objetivo principal maximizar ou minimizar as ações de impacto 
do segundo sujeito envolvido. Além disso, admite-se que cada jogador sabe 
os objetivos de seu oponente. A teoria dos jogos fornece um resultado para 
esse jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seu lucro 
mínimo esperado ou minimizar sua perda esperada.
Os elementos necessários para a compreensão do objeto de estudo da teoria 
dos jogos, segundo Fiani (2015) seriam:
 � existe um número finito de jogadores representados, ou seja, dentro do 
segmento em que a organização está envolvida e em uma organização 
por prioridades, as ações devem ser direcionadas naquela demanda;
 � cada jogador dispõe de um conjunto finito de opções, denominadas 
estratégias puras do jogador, pois elas respeitam uma ordenação; com 
isso, a priorização determina essa condição limitadora;
 � os resultados de cada jogador, pois impactam diretamente as decisões 
tomadas com expectativas específicas;
 � a função que permite a cada parte combinar suas estratégias, as quais, 
por sua vez, seguem conforme a perspectiva sobre o cenário em que a 
empresa ou o processo está inserido;
 � a relação de preferências de cada um diante dos resultados, em que se 
determinam os indicadores de satisfação, percebendo onde há maior 
ou menor impacto positivo nos ganhos estimados ou nas ações supos-
tamente bem-sucedidas.
7Características dos modelos matemáticos
As aplicações da teoria da otimização dos jogos se enquadram basicamente 
nos seguintes pontos (FIANI, 2015):
 � campanhas de marketing e política de preços de produtos: tratativa 
específica sobre custo, formação de preços e demandas previstas;
 � campanha de eleições políticas: indicando estratégias e desempenho 
em função do objetivo de um melhor resultado nas urnas;
 � programação de programas de televisão: perceber quais as tendências 
que o expectador busca e o que a concorrência tem feito dentro de um 
comparativo de parâmetros iguais (p. ex., horários);
 � planejamento de estratégias militares de guerras: é fundamental conhe-
cer o inimigo, ou seja, o conceito dos jogos, entendendo as estratégias 
para contra-atacar, mesmo sabendo dos efeitos das ações, mas com os 
objetivos de maximizar e superar o resultado.
Por exemplo, quando uma montadora de algum bem está avaliando a 
possibilidade de redução no preço de vendas por conta da baixa demanda, 
precisa considerar as consequências dessa decisão em relação à concorrência. 
Pode haver uma diminuição dos valores do concorrente com um bem similar, 
e, assim, nenhuma mudança relevante no plano ou simplesmente uma redução 
da margem e da manutenção da baixa demanda do bem em estudo. Conforme 
Fiani (2015), as empresas desse segmento devem sempre levar em conta a pos-
sibilidade de ação das demais, ou seja, observar e acompanhar o desempenho 
da concorrência é muito importante, o que comprova a existência de um jogo 
pela melhor colocação no mercado.
Modelo de teoria dos grafos
A teoria em rede, também conhecida como otimização dos grafos, corresponde 
à área da matemática que estuda as propriedades dos conjuntos de pontos em 
uma rede de ligações após a coleta de informações, por exemplo, estradas 
que ligam uma cidade entre entradas e saídas (GOLDBARG; LUNA; GOL-
DBARG, 2015). Esses pontos são definidos como vértices, nodos ou nós, por 
fazerem a conexão das linhas. Já as linhas levam o nome de arestas ou arcos, 
de acordo com a opção de referência, mas correspondendo ao mesmo conceito. 
Trata-se de resultados de uma organização de elementos que estruturam uma 
informação, porém com entendimento muito claro por seu perfil intuitivo, já 
que reportam uma informação visual do cenário representado. Separar dados, 
transformá-los em informações por meio de uma função ou, então, conseguir 
Características dos modelos matemáticos8
efetivar uma forma de representação visual são fundamentais para facilitar o 
seu entendimento. Como a análise de um problema geralmente apresenta certa 
dificuldade de entendimento inicial, o uso de grafos facilita essa demonstração 
das variáveis e dos parâmetros envolvidos no caso.
Conforme o problema, a forma de aplicação varia, e, por consequência, 
as arestas podem ou não ter direções definidas. Assim, podem ser permitidas 
ou não, ligando-se um vértice a ele próprio e a vértices e/ou ter determinado 
valor (nesse caso, denominado valor numérico). Quando as arestas têm uma 
direção associada, quer dizer que estão sendo indicadas por uma seta na repre-
sentação gráfica da rede, formando o grafo. Nesse caso, passa a ser chamado 
de grafo direcionado ou dígrafo (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015). 
As estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte, 
possibilitando a formulação de muitos problemas de interesse prático, como:
 � problemas de roteamento;
 � problemas de fluxo em redes.
2 Restrições como complicadores 
dos problemas
Desde a origem da pesquisa operacional, apontam-se a necessidade e a rele-
vância de tratar os problemas com base metodológica e científica para obter 
melhores resultados de análise dos problemas. Essa organização das infor-
mações, identificando os fatores restritivos do problema, pode ser vista como 
uma dificuldade a ser superada, o que se dará de maneira mais tranquila desde 
que seguida de forma organizada. Nesse contexto, surge o conceito da teoria 
das restrições (TOC), que deve ser entendido para minimizar o problema.
Sua ideia principal reside no fato de que o relevante de uma demanda 
deve ser a maximização do resultado levando em conta apenas as restrições, 
e não a totalidade de elementos, variáveis e parâmetros do sistema. Para as 
não restrições, o conceito de “mais é melhor” está correto, desde que dentro 
de um único limitador, pois, ao ultrapassar essa ideia, o “mais” acaba sendo 
pior. Esse limitador é determinado pelas interdependências das restrições e 
não restrições, ou seja, não pode ser determinado analisando apenas a não 
restrição, e sim a restrição em conjunto: a totalidade do problema para uma 
melhor gestão da análise e do plano de ações dos encaminhamentos para 
maximização do que se pretende alinhar como melhoria. No caso das não 
restrições, a maximização local não é igual aos ótimos na totalidade nas não 
9Características dos modelos matemáticos
restrições. Não é sempre que o “mais” não se traduz necessariamente em 
melhor desempenho do sistema como um todo. Importante salientar que os 
elementos de um sistema, em sua vasta maioria, não são restrições, e, para as 
não restrições, mais não pode ser melhor, e sim pior. No caso de não restrições 
e estas sendo maximizadas, obviamente teremos um agravamento da situação, 
tornando-se importante avaliar e sempre buscar o nivelamento. Assim, o foco 
é fazer o que deve ser feito, e não fazer o que não deve ser feito, sob pena de 
criar um resultado insatisfatório de modo geral (COX III; SCHLEIER, 2013).
No contexto da análise de problemas de processo, como identificamos uma 
restrição? Como as decisões podem ser alinhadas para um melhor aproveita-
mento dessa restrição? Como determinar a forma adequada de subordinar as 
não restrições às decisões referentes à restrição no sentido de utilizar a nosso 
favor? A otimização por meio de técnicas dos métodos da pesquisa operacional 
pode atuar de que forma para auxiliar as restrições, possibilitando sua maxi-
mização de resultados? Com todas essas dúvidas, fica muito claro que todas 
as práticas de análise não podem simplesmente atuarde maneira empírica, 
desde a coleta, o tratamento até o encaminhamento das ações, mas seguir 
um método, de preferência quantitativo, na tomada de decisões. O suporte 
de programação para otimização é fundamental e relevante para o processo 
de melhoramento sobre as restrições (COX III; SCHLEIER, 2013). Em sua 
maioria, as metodologias convencionais para identificar as necessidades de 
desenvolver melhorias eram inadequadas e tinham baixa eficiência, levando à 
necessidade de retrabalhos diversos em razão das variáveis não identificadas 
como relevantes. Normalmente, partiam de uma lista de problemas simples e 
analisados de forma qualitativa sem base estatística, apontando lacunas (falha 
de informações) entre a situação existente e a situação desejada, obviamente 
com maximização. Essas lacunas eram quantificadas e, seguindo o princípio 
de Pareto, buscavam-se os itens no topo da lista, escolhidos como alvo de 
melhoria e encaminhados geralmente com análise por meio de ferramentas 
da qualidade. Certamente, há um efeito positivo, mas muito vulnerável se 
compararmos com a precisão e a eficiência de uma análise com uso de esta-
tística ou programação amparada pelos conceitos e pelas formas de aplicação 
da pesquisa operacional.
Ainda citando Cox III e Schleier (2013), na melhor condição sobre a análise 
das variáveis de um problema para, então, encaminhar a otimização, essa 
abordagem possibilita somente melhorias muito pequenas e com possibilidade 
de erros. Obviamente, identificar a fonte do problema auxilia na precisão da 
ação, mas deve-se, além disso, estruturar a decisão com base em programação, 
conseguir separar de forma clara o problema e eliminar lacunas entre o que se 
Características dos modelos matemáticos10
espera e o real problema. No contexto geral, as lacunas podem ser definidas 
como efeitos indesejáveis (EI) de uma causa mais profunda, devendo ser 
consideradas para que as ações tomadas para eliminar as causas profundas 
sejam precisas. Nesse sentido, surge incisivamente a necessidade de aplicar 
uma estrutura lógica e detalhada para identificar o problema ou a causa-raiz 
e ampliar a visão das soluções, eliminando, assim, de forma efetiva a maior 
variável. Nessa percepção, surge a correlação entre programação pelos modelos 
de pesquisa operacional aplicada sobre os problemas e a necessidade de enten-
der e controlar a TOC, cujo conceito interfere diretamente na identificação do 
problema, na coleta de dados, na geração das informações pelo tratamento dos 
dados e na definição de ações de resolução ou controle. O problema pode ter 
relação com fluxo, gargalo ou falha, porém todo o alinhamento das restrições é 
ajustado pela aplicação efetiva do modelo matemático, que garantirá a eficácia 
de uma ação sobre o problema.
É muito importante definir a TOC no contexto do problema. Perceber as variáveis 
representa algo fundamental e favorável para a análise de cenário, pois as restrições 
remetem a gargalos, ou seja, a teoria é aplicada e, pontualmente onde devem ser apli-
cadas ações, tratamos os gargalos ou restrições específicas do produto e do processo.
A vantagem competitiva dificilmente é decisiva, ou seja, pode haver fa-
cilidade ou não, possibilitando ganhos imediatos, a médio e longo prazos ou, 
ainda, não ser constante. A orientação sobre competitividade tem direcio-
namento para vendas, porém, dentro do fluxo de produção, é fundamental 
pela estruturação-base dos resultados. Não surpreende que a maioria dos 
vendedores não seja treinada para conduzir reuniões de vendas voltadas à 
vantagem competitiva decisiva da empresa, sempre com foco em ofertar apenas 
o produto e, obviamente, suas vantagens. As reuniões voltadas à vantagem 
competitiva devem girar em torno do ambiente do cliente, evidenciando uma 
necessidade significativa que, naquele momento, não está sendo satisfeita 
pelos fornecedores. Como existem vários ambientes de cliente, o desafio de 
decifrar as causas e os efeitos que governam cada um deles, bem como de 
criar um ciclo de vendas de acordo e encontrar a solução para conduzir os 
vendedores à mudança de paradigma, sem dúvida demanda muito tempo, 
11Características dos modelos matemáticos
afirmação de Cox III e Schleier (2013). Teoricamente, a venda deveria ser 
o resultado maximizado de diversos fatores, como a qualidade do produto, 
mas também a eficiência dos processos, como a entrega no prazo, algo muitas 
vezes impactado pelas restrições não tratadas ou percebidas diretamente como 
dificultador do sucesso.
No sentido de dar suporte aos métodos da pesquisa operacional e na TOC, 
surgiu o método PERT (program evaluation and review technique), carateri-
zado como uma técnica aplicada no gerenciamento de projetos de diferentes 
demandas. Quando tratamos de verificação da necessidade de otimização de 
processos, simples ou complexo, temos um projeto que precisa ser gerenciado. 
O método PERT consiste em representar de forma gráfica uma rede de ta-
refas interligadas e com correlação de dados, cujo encadeamento possibilita 
alcançar os objetivos de um projeto, tanto como simples solução quanto para 
maximizar ganhos. Metodologia desenvolvida pela marinha norte-americana 
para coordenar os trabalhos de milhares de pessoas atuantes em projetos de 
equipamentos para guerra, o método PERT exige uma segmentação precisa 
do projeto organizado em tarefas, as quais, com os tempos de execução, são 
responsáveis pela garantia de efetivação do projeto, da mesma forma que se 
aplica um cronograma com base na ferramenta 5W2h. PERT e CPM (critical 
path method) compreendem modelos de verificação de problema com base 
no método de redes, comumente conhecidos como grafos. Segundo Cox III 
e Schleier (2013), por sua base de estruturação visual quanto ao fluxo das 
informações, o CPM tem sido muito utilizado para planejar e visualizar a 
coordenação das atividades do projeto de maneira clara e objetiva. Já o método 
PERT corresponde ao cálculo a partir da média ponderada de três durações 
possíveis de uma atividade, que, por sua vez, considera uma possibilidade oti-
mista, mais provável e pessimista, como forma de alinhamento de possibilidade 
de qualificação dessas respostas. A CPM é um método que ajuda na apuração e 
na definição do caminho crítico, dada uma sequência de atividades. O caminho 
crítico refere-se à identificação da prioridade de cuidado, por se tratar de algo 
relevante apontado pela análise, no caso a definição de urgência ou de maior 
criticidade que precisa atenção. Todo esse encaminhamento de atividades em 
sequência, após definidos etapas, prazos e responsabilidades, não pode sofrer 
alteração, pois a mudança prejudica a efetividade dos resultados de duração, 
sem refletir no tempo total do projeto. Na Figura 1, apresentamos uma taxo-
nomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Características dos modelos matemáticos12
Figura 1. Taxonomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Fonte: Adaptada de Goldbarg (2015).
Problemas de fluxos em redes
Fluxo de produtos Expansão de redes
Tanto o PERT quanto o CPM são técnicas aplicadas de estimativa e planeja-
mento para grandes projetos e têm sofrido modificações nos últimos anos, pela 
evolução do conceito e tendo por base necessidades de melhoria em virtude das 
aplicações e das observações realizadas. Em resumo, a diferença entre ambos 
reside no fato de que o PERT utiliza três estimativas básicas de estruturação 
— a otimista, a mais provável e a “pessimista” —, enquanto o CPM emprega 
apenas uma estimativa, considerada a mais precisa, características que os 
diferenciam, mas não os distanciam necessariamente, pois objetivam, da mesma 
forma, a otimização de determinada situação. O conceito de probabilística 
baseada na distribuição de dados para cada atividade de tempo nos permite 
usar o conceito de gerenciamento das probabilidades, característica principal 
do PERT. Nesse contexto, teremos o risco de risco muito claro e percebidono 
cenário em estudo, podendo avaliar a intensidade e a relevância do momento 
para definir os encaminhamentos específicos para a ação de otimização (COX 
III; SCHLEIER, 2013). Já o CPM fundamenta-se em um conceito de estimativa 
simples e de natureza determinística, buscando evidenciar a ligação efetiva 
e com base em ligações entre todos os elementos, não cabendo alternativas 
informais ou conceitos empíricos, e sim apenas evidências reais e efetivas. 
13Características dos modelos matemáticos
Para complementar o conhecimento sobre a correlação entre a teoria das restrições, a 
programação para otimização e a pesquisa operacional de forma aplicada na cadeia 
de suprimentos, recomendamos a leitura de: MOELLMANN, A. H. Aplicação da teoria 
das restrições no gerenciamento da cadeia de suprimentos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2017.
Mais uma vez de acordo com Cox III e Schleier (2013), os dois métodos 
permitem o uso de atividades Dummy programação, que aplica linguagem de 
programação com duração nula e o conceito de organização por meio do método 
de setas, uma melhor opção para o desenvolvimento da lógica. Assim, teremos 
a aplicação do método PERT em projetos de pesquisa e desenvolvimento, 
situações em que o percentual das atividades já finalizadas é praticamente 
impossível de determinar; já a maior utilização do CPM segue em projetos 
voltados para a área civil, cenário em que o percentual de cada atividade já 
finalizada pode ser determinado com razoável precisão. Trata-se de duas 
formas de programação que aliam pesquisa operacional, matematicamente 
aplicada na verificação da otimização e com base em programação em redes, 
determinando a maximização ou a minimização conforme a necessidade.
3 Objetivo e relevância dos problemas
A relevância do problema pode resultar das diferentes formas de percebê-lo, 
com uma orientação clara com base nos dados levantados em primeira análise, 
o que deve fazer parte de um contexto qualitativo ou quantitativo. Esse aspecto 
é fundamental, já que se trata de estudos de problemas com base nos conceitos 
de pesquisa operacional, em que há demandas da programação e aplicação de 
modelos matemáticos para maximização ou minimização, e os números devem 
ser a base relevante para verificação e tomada de ação quanto aos problemas.
Características dos modelos matemáticos14
Conforme Lachtermacher (2016), a resolução de um problema segue pelo 
fluxo de cinco etapas básicas e consecutivas, que podem, entretanto, ser repeti-
das, conforme a situação, pois se trata de um conceito flexível no caso da leitura 
e da interpretação do problema em pauta. Vale ressaltar que a identificação do 
problema, que talvez pareça a mais simples de todas as etapas, pode se tornar 
complexa em diversas situações por suas variáveis e complementações sobre 
o problema (no caso, os dados coletados). Assim, certificar-se da verificação 
feita com eficiência é muito importante para uma boa definição do problema. 
Sem dúvida, erros de definição impactam nos resultados, já que não levam 
a nenhum resultado e causam perda de tempo e esforço da equipe envolvida. 
Vale ressaltar que, como o processo é cíclico, semelhante ao PDCA (Plan, Do, 
Check, Action), por exemplo, pode haver a necessidade de retornar às análises 
anteriores quando da detecção de um novo problema. Essa situação ocorrerá 
por conta de uma eventual falha na identificação do que seria o problema. 
Na Figura 2, apresentamos um fluxograma básico para análise e resolução 
de problemas.
Figura 2. Fluxo básico para aná-
lise e resolução de problemas.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 5).
15Características dos modelos matemáticos
Obviamente, haverá situações com características distintas, criando uma 
situação fora do padrão. Por exemplo, os problemas de programação linear 
são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor ou 
igual (LACHTERMACHER, 2016). Quando ocorrer esse tipo de situação 
e o formato não for um padrão, devemos utilizar diversos métodos antes de 
empregar o simplex. Analisando uma situação na qual temos um problema em 
que todas as restrições são do tipo menor ou igual (< ou =) e a função-objetivo 
é de minimização, devemos alterar o problema como na Figura 3.
Figura 3. Programação linear modificada de minimização para maximização.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 38).
Problemas com restrições de maior ou igual
De acordo com Lachtermacher (2016), nos casos que envolvem restrições do 
tipo maior ou igual, o procedimento seria o método da função-objetivo arti-
ficial, assim denominada por conta da alteração, visto consistir em introduzir 
uma variável de excesso (com coeficiente – 1) e uma variável artificial (com 
coeficiente + 1) no lado esquerdo da restrição, encontrando, assim, sua solu-
ção. O próximo passo consiste em resolver o problema alterado, representado 
pelo dicionário artificial inicial, encontrando uma solução ótima, em que a 
variável artificial seja igual a zero, achando a solução inicial do problema 
original. Assim, se na solução ótima do problema alterado a variável artificial 
apresentar valor diferente de zero, isso significa que o problema original não 
tem uma solução viável. Já no caso de um problema alterado, o objetivo é 
levar a variável ou, havendo mais de uma, introduzir as variáveis artificiais no 
problema para zero, o que equivale a minimizar o somatório dessas variáveis. 
Se as variáveis forem simultaneamente para zero na solução ótima, nossa 
Características dos modelos matemáticos16
função-objetivo artificial terá valor zero. Aplicando o método desse modo, 
leva o nome de método de duas fases, já que está dividido em duas partes: 
na primeira, ao resolvermos o problema alterado, apenas encontramos uma 
solução viável inicial para o problema original, e, na segunda, efetivamente 
resolvemos o problema em questão.
Problema com restrições de igualdade
O método da função artificial deve também ser utilizado quando existem 
restrições de igualdade no problema em análise, cuja metodologia é a mesma 
usada no caso de restrições do tipo maior ou igual. Primeiro, devemos introduzir 
uma variável artificial para cada restrição de igualdade (LACHTERMACHER, 
2016). Em seguida, substituímos a função-objetivo original pela minimização 
do somatório das variáveis artificiais, e, depois, encontramos a solução ótima do 
problema alterado, que já encaminha a viabilidade de solução. Caso a solução 
seja ótima, e o valor de todas as variáveis artificiais for zero, significa que 
existe no mínimo uma solução viável para o problema original, possibilitando 
o primeiro encaminhamento; havendo mais, complementam-se as opções, o 
que também se torna melhor ao estruturarmos os processos decisórios. Na 
segunda fase do método decisório, as variáveis artificiais não assumem o 
valor zero na solução ótima do problema alterado, o que novamente significa 
a inexistência de solução viável para o problema original.
Problemas com todo tipo de restrições
Ainda citando Lachtermacher (2016), na condição real de análise sobre os 
problemas, normalmente se apresentam todos os tipos de restrições e de forma 
simultânea. Para resolver um problema desse tipo, é importante aplicar o 
método da função artificial, além de introduzir as variáveis de folga, excesso e 
artificiais, criando uma condição ampla de verificação, pois, na condição real, 
obviamente passa a ser algo efetivo, e não uma criação-base para simulação 
de cenários e resultados. Outro detalhe que se soma a essa percepção reside 
no fato de que pode haver diversos tipos de restrições, vários problemas e 
características muito opostos entre um problema e outro. Um cenário real 
compromete o definido padrão de análise e exige adequações e enquadramento 
dos envolvidos mantendo a orientação-base, adequando-se às diversas possi-
bilidade, que sejam efetivas e garantidoras da solução (Quadro 1). A escolha 
do método é fundamental, mas a eficácia de sua atuação é ainda maior.
17Características dos modelos matemáticos
Fonte:Adaptado de Lachtermacher (2016).
Tipo de problema Operação necessária
Função-objetivo de minimização Transformar a minimização em 
maximização (MinZ = Max – Z)
Restrição de menor ou igual Inserção de uma variável de folga
Restrição de maior ou igual Inserção de uma variável de 
excesso e outra artificial
Restrição de igualdade Inserção de uma variável artificial
Constante negativa Multiplicar por (–1) a restrição
Quadro 1. Operações por tipo de restrição do problema
Fica muito clara a importância de se aprofundar e dominar os conceitos 
de programação, pesquisa operacional, método e gestão sobre problemas, 
sobretudo nas engenharias. Porém, abre-se um espaço enorme para diferentes 
áreas, pois a quantificação parte de números, remetendo-se, assim, a ações 
mais efetivas no sentido de programar soluções observando orientações rele-
vantes que a modelagem matemática consolida na busca da maximização ou 
da minimização para ganhos e efeitos de problemas, respectivamente.
A relevância dos problemas e a maneira de tratá-los no que tange às verificações para 
decisão sobre sua otimização são importantes buscas, por sua complexidade de análise 
e demanda de conhecimento sobre diferentes modelos. Para obter mais informações 
a esse respeito, recomendamos a leitura de alguns capítulos de: LACHTERMACHER, G. 
Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Características dos modelos matemáticos18
Um processo apresenta duas demandas (A e B), porém sua capacidade é apenas 
compatível com uma delas. Por qual decidiria se não se pode atender às duas demandas 
ao mesmo tempo, em virtude da escassez de recursos para aumentar a capacidade? 
É preciso definir com base na escolha de qual demanda terá maior prioridade, ou 
seja, qual atenderá primeiro ou melhor. As variáveis de decisão serão x1 para A e 
x2 para B, como principal referência, podendo-se escolher ora uma ora outra, uma 
variável de decisão. O custo para atender à demanda de A é de R$ 180,00 e, para B, de 
R$ 100,00, mas o recurso disponível é de R$ 800,00. Havendo uma única demanda, 
teremos a seguinte situação: 180 × 1 + 100 × 2 ≤ 800. O somatório dos custos de x1 
e x2 passa a ser o investimento. O valor de 800 é a disponibilidade e o sinal de ≤, por 
agora, significa a garantia de que não faltará recurso. Ainda, a demanda A consome 
2 horas e a B 4 horas, porém a disponibilidade de horas semanais é de 20 horas para 
ambas, pois o restante do tempo já está comprometido com outras. Assim, teremos 
a seguinte representação em função do tempo: 2 × 1 + 4 × 2 ≤ 20 horas; então, 2 × 1 
+ 2 × 2 corresponderão ao total de horas e o valor de 20 horas é o tempo disponível. 
O símbolo ≤ é a garantia de atendimento das demandas. Com esses dados juntos 
(valores e tempo disponível), teremos então as restrições do problema bem descritas. 
Os objetivos agora são:
 � atender ao máximo de vezes as demandas por semana: máx x1 + x2;
 � uma das demandas terá o dobro de necessidade de atendimento: máx x1 + 2.x2.
Assim, teremos a seguinte condição representada a seguir.
19Características dos modelos matemáticos
ÁVILA, S. L. Otimização multi-objeto e análise de sensibilidade para concepção de disposi-
tivos. 2006. 159 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de 
Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, 2006. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/
bitstream/handle/123456789/88982/224404.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso 
em: 13 ago. 2020. 
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2015.
COX III, J. F.; SCHLEIER, J. G. Handbook da teoria das restrições. 1. ed. Porto Alegre: Book-
man, 2013.
FIANI, R. Teoria dos jogos com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, Henrique P.; GOLDBARG, E. F. Programação linear e fluxos em 
rede. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016.
RODRIGUES, R. Pesquisa operacional. 1. ed. Porto Alegre: Sagah, 2017. E-book. 
Leitura recomendada
MACHLINE, C. et al. Manual da administração da produção. 6. ed. Rio de Janeiro: FGV, 1985.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Características dos modelos matemáticos20
 
DICA DO PROFESSOR
A Pesquisa Operacional, como ferramenta de auxílio à tomada de decisão, tem como objetivo 
entender e auxiliar na solução de problemas. Porém, no contexto das empresas, que pode ser 
visto como um sistema complexo, temos um número grande de problemas distintos que podem 
ser solucionados com diferentes abordagens pela Pesquisa Operacional.
Tendo em vista esta diversidade de problemas, este vídeo irá trazer, em seu conteúdo, alguns 
modelos para soluções de problemas utilizados pela Pesquisa Operacional e suas respectivas 
definições.
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EXERCÍCIOS
1) Problemas que busquem atribuir o mesmo número de tarefas para o mesmo número 
de recursos são chamados de: 
A) Designação.
B) Competição.
C) Otimização.
D) Otimização clássica.
E) Reposição.
2) Equipamentos se depreciam ao longo do tempo. Qual dos modelos de pesquisa 
operacional podemos usar para analisar a troca de equipamentos? 
A) Designação.
B) Alocação.
C) Reposição.
D) Otimização.
E) Filas.
3) Em uma barbearia temos 2 cadeiras de barbeiro que estão ocupadas. Cada 
atendimento leva 25 minutos e a taxa de chegada de clientes é de um cliente a cada 15 
minutos. Este pode ser modelado por que modelo? 
A) Fila.
B) Otimização.
C) Reposição.
D) Otimização clássica.
E) Decisão.
4) O problema do caixeiro viajante é um problema típico para se utilizar que modelo? 
A) Alocação.
B) Otimização.
C) Otimização clássica.
D) Roteiro.
E) Decisão.
5) Qual o tipo de modelo que analisa se o problema está preocupado com o estado do 
sistema? 
A) Decisão.
B) Roteiro.
C) Otimização.
D) Otimização clássica.
E) Designação.
NA PRÁTICA
Uma empresa de manufatura de telhas produz dois modelos de telhas: o modelo alfa e o 
modelo beta. Ambos são compostos de barro e água. Sabe-se que:
Geralmente, um problema deste tipo irá buscar a maximização do lucro da produção, ou seja, a 
maximização do lucro do mix de produção ideal. Para iniciarmos a modelagem é necessário 
percorrer os seguintes passos:
1 - Quais são as variáveis de decisão? Neste caso, são a água e o barro que compõem os dois 
modelos de telhas a serem produzidos.
2 - Os parâmetros de fornecidos são os preços unitários das matérias-primas que compõem os 
dois modelos de telhas.
3 - As restrições são os valores máximos de barro e água utilizados em cada um dos modelos.
A partir do entendimento destas três questões anteriormente elencadas, pode-se iniciar a 
construção da função objetivo que determina a maximização do lucro.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Aspectos práticos da aplicação de modelos de roteirização de veículos a problemas reais.
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