Lista - Seção 7 8

Prévia do material em texto

Lista de Exerćıcios
Cálculo I
Integrais Impróprias
Lista Referente à Seção 7.8 da 6a ed. do livro de James Stewart, Cálculo - Volume 1.
Exerćıcios: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 25, 27, 29 e 67.
1. Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
(a)
∫∞
1
x4e−x
4
dx
(b)
∫ π
2
1
sec x dx
(c)
∫ 2
0
x
x2−5x+6dx
(d)
∫ 0
−∞
1
x2+5dx
2. Quais das seguintes integrais é imprópria? Por quê?
(a)
∫ 2
0
1
2x−1dx
(b)
∫ 1
0
1
2x−1dx
(c)
∫∞
−∞
senx
1+x2 dx
(d)
∫ 2
1
ln (x− 1) dx
3. Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(a)
∫∞
1
1
(3x+1)2
dx
(b)
∫ 0
−∞
1
2x−5dx
(c)
∫ −1
−∞
1√
2−wdw
(d)
∫∞
0
x
(x2+2)2
dx
(e)
∫∞
4
e−
y
2 dy
(f)
∫ −1
−∞ e
−2t dt
(g)
∫∞
1
e−
√
x
√
x
dx
(h)
∫∞
2π
sen (θ) dθ
(i)
∫∞
e
1
x(lnx)3
dx
(j)
∫ 1
0
3
x5
dx
1
(k)
∫ 14
−2
1
4
√
x+ 2
dx
4. Um fabricante de lâmpadas quer produzir lâmpadas que durem cerca de 700 horas, mas naturalmente
algumas lâmpadas queimam mais rapidamente que outras. Seja F (t) a fração de lâmpadas da companhia
que queimam antes de t horas; assim F (t) está entre 0 e 1.
(a) Faça um esboço de como você acha que o gráfico de F deve parecer.
(b) Qual o significado da derivada r(t) = F ′(t)?
(c) Qual é o valor de
∫∞
0
r(t)dt? Por quê?
2
Gabarito
1. (a) Intervalo infinito.
(b) Descontinuidade infinita.
(c) Descontinuidade infinita.
(d) Intervalo infinito.
2. (a) Descontinuidade em x = 12 .
(b) Descontinuidade em x = 12 .
(c) Intervalo infinito.
(d) Descontinuidade em x = 1.
3. (a) 112
(b) Diverge.
(c) Diverge.
(d) 14 .
(e) 2e−2.
(f) Diverge.
(g) 2e−1.
(h) Diverge.
(i)
1
2
.
(j) Diverge.
(k)
32
3
.
4. (a)
(b) A taxa de crescimento da fração F (t) com o tempo.
(c)
∫∞
0
r(t)dt = 1.
3