FMU - Estatística Descritiva

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Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
 
 
Estatística 
Descritiva 
 
 
Unidade 1 - Conceitos iniciais e 
medidas de tendência central 
 
 
 
 
 
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
I​ntrodução 
É interessante observarmos que nossa vida é cercada por números e em                       
diversas situações somos defrontados com grande quantidade de informações em                   
formato numérico, ou seja, muitos dados. Contudo, sua disposição e a forma no                         
qual estes dados são organizados interfere na eficiência da interpretação de tais                       
informações.  
Seria possível encontrar uma maneira de organizar estes dados de um modo                       
melhor? Visando facilitar a leitura e identificação da possível relação entre eles?  
Você já ouviu falar sobre medidas de tendência central? Conhece média,                     
moda e mediana? Se não, esta será a oportunidade de aprender sobre estes                         
importantes conceitos que permeiam o estudo da estatística descritiva, permitindo                   
entender as tendências ou padrões a partir de um conjunto de dados.  
As respostas às indagações feitas serão respondidas ao decorrer deste                   
capítulo. 
Vamos começar? Ótimo estudo para você! 
1. Introdução à Estatística 
A estatística está presente em nossa vida em diversas situações, mas você                       
pode se perguntar, onde? O que a estatística agrega para mim? Em quais contextos                           
os conhecimentos que propõe e sistematiza serão úteis em minha vida?  
Para começar nossa familiarização com os conceitos relacionados à                 
estatística, considere as afirmativas abaixo, muito recorrentes em nosso cotidiano:   
❏ [...] 29,8% dos brasileiros consomem refrigerantes pelo menos cinco 
vezes por semana. ​Fonte: Ministério da Saúde/jun 2019. 
❏ [...] as mulheres têm rendimento habitual médio mensal de todos os 
trabalhos no valor de R$ 1.764, enquanto os homens, R$ 2.306.  
Fonte: IBGE/ jun 2019. 
❏ [...] a cobertura vacinal na população com 65 e mais anos é de                         
54,8%. ​Fonte: IA SAÚDE. IP-RAM/jun 2019. 
 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
Outra maneira de encontrar dados estatísticos são em formato de tabelas                     
e/ou gráficos, como os apresentados a seguir: 
Tabela 1- Peso médio e altura média de meninos e meninas de um a doze anos. Fonte: OMS. 
Figura 1: Gráfico da proporção de alunos do nível médio por turno. Fonte: ABRES. 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
E agora? Reconhece discursos semelhantes a estes? Com certeza a sua                     
resposta será sim, pois é comum encontrar estas informações em relatórios,                     
reportagens jornalísticas, informativos contidos em jornais e/ou revistas entre                 
outras situações. Essa larga utilização estatística é justificável, pois, por intermédio                     
da coleta de dados, é possível obter e relacionar informações como as acima ou no                             
contexto desejado, de maneira a facilitar a leitura e interpretação. 
Para conceituarmos, de maneira formal, tem-se, conforme Larson e Farber                   
(2016), que a estatística consiste na ciência que coleta, organiza e interpreta dados                         
para a tomada de decisões. Neste contexto, dado é conceituado como qualquer                       
informação obtida por meio de observações, contagens medições ou respostas. 
A estatística pode ser classificada como descritiva ou indutiva. A primeira,                     
que é objeto de estudo deste curso também recebe o nome de dedutiva e trabalha                             
com o objetivo de coletar e tabular dados. Assim, as informações são reduzidas de                           
maneira a possibilitar uma clara interpretação dos dados. Já a estatística indutiva ou                         
inferência estatística baseia-se em resultados encontrados a partir do estudo de                     
uma amostra da população, buscando induzir, inferir ou ponderar as normas                     
habituais da população da qual a amostra pertence (CASTANHEIRA, 2013). 
A quantidade de dados analisados para um estudo estatístico varia                   
conforme o contexto, assim, é possível trabalhar com todas as informações ou com                         
parte delas. Desta forma, somos apresentados a dois conceitos fundamentais em                     
nosso estudo: população e amostra. 
População é o conjunto de todos os dados, medições, respostas ou                     
contagens que se deseja informações. Já amostra é um subconjunto da população,                       
ou seja, uma parte do conjunto de todos os dados a serem analisados (LARSON E                             
FARBER, 2016). 
1.1. Variáveis qualitativas e quantitativas 
Quando uma pesquisa estatística se inicia, normalmente, o pesquisar se                   
encontrará cercado de informações obtidas pela coleta de dados. Assim, é                     
necessário organizar esse material, para, então, conseguir elaborar um resumo e,                     
consequentemente, ser possível analisar e interpretar as informações. 
Um fator importante a ser considerado é a natureza dos dados a serem                         
estudados, pois é o que determinará a adoção da metodologia estatística mais                       
adequada. A coleção de dados ou, simplesmente, as variáveis podem ser                     
qualitativas quando estão associadas a situações como cor dos olhos, marca de                       
biscoito, preferência artística, entre outros exemplos, logo, representam entradas                 
não numéricas. Já, as variáveis quantitativas consistem em contagens ou medidas                     
 
 
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numéricas e são traduzidas por valores numéricos. Variáveis quantitativas são                   
subdivididas em discretas ou contínuas sendo ditas discretas quando as                   
informações são limitadas e contínuas, quando pertencem a um intervalo definido                     
por infinitos valores (MORETIM, 2010). 
 
 
Você sabia? No Brasil, os dados oficiais sobre informações do país são                       
encontrados no Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), assim basta                     
acessar o endereço eletrônico <http:​www.ibge.gov.br​> e pesquisar os dados                 
desejados. Existem também dados em órgãos internacionais como a Organização                   
das Nações Unidas (ONU) que podem ser encontrados no site:                   
<​https://nacoesunidas.org/​>. 
 
1.2. Distribuição de frequência 
De maneira a tornar os dados mais fáceis de serem interpretados, é                       
necessário aplicar técnicas para organizar um conjunto de informações de maneira                     
a encontrar possíveis padrões. Agora, imagine que foi pesquisado em uma                     
autoescola, durante uma semana, as idades das pessoas que conseguiram obter                     
sua carteira de habilitação (sem distinguir a categoria). Observe a seguir o resultado                         
da coleta de dados: 
18, 23, 60, 20, 19, 35, 43, 20, 20, 21, 34, 54, 18, 24, 23, 28, 24, 25, 43, 19, 20, 28, 40,                                             
31, 31, 39, 29, 23, 22, 22, 30, 29, 21, 34, 25, 19, 20, 23, 20, 29, 34, 30, 24, 22, 40. 
O que podemos concluir sobre estas informações? O que tais dados podem                       
agregar para um possível estudo acercada relação entre a idade e obtenção da                           
habilitação? Bem, em uma rápida observação destes números, pequena ou                   
nenhuma informação é transmitida, logo, se torna necessária a organização deste                     
conteúdo, de forma a prover um entendimento possível a tais dados. 
Inicialmente, vamos ordenar estes valores, ou seja, colocá-los em ordem                   
crescente ou decrescente para melhorar nossa percepção acerca destas                 
informações: 
18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21,21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24,                                           
25, 25, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 34, 34, 34, 35, 39, 40, 40, 43, 43, 54, 60. 
 
 
http://www.ibge.gov.br/
https://nacoesunidas.org/
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
Houve melhora! Porém, ainda não é possível elaborar conclusões. O que                     
mais seria possível fazer? Uma alternativa seria agrupar os valores iguais e, para                         
isso, verificaremos em nosso conjunto de dados tal possibilidade. A quantidade de                       
vezes que se repete um número é chamada de frequência (f). De acordo com                           
Larson e Farber (2016, p.32), a frequência ou frequência absoluta de uma classe é o                             
número de entrada de dados em uma classe. 
Assim, de acordo com os dados que estamos estudando, foi possível                     
construir a Tabela 2. Ela é um típico exemplo de distribuição de frequência, ou seja,                             
é uma tabela na qual uma de suas colunas é apresentada a frequência de cada                             
entrada, que equivale a contagem respectiva a ocorrência de cada resultado                     
(MORETIM, 2010). 
Idade (anos)  Frequência (f) 
18  2 
19  3 
20  6 
21  2 
22  3 
23  4 
24  3 
25  2 
28  2 
29  3 
30  2 
31  2 
34  3 
35  1 
39  1 
40  2 
 
 
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43  2 
54  1 
60  1 
Total  45 
Tabela 2: Frequência de alunos que obtiveram habilitação. Fonte: Elaborada pelo autor (2019). 
Neste momento, é possível tirar conclusões, como: a menor idade foi de 18                         
anos, a maior idade foi de 60 anos, a idade de maior frequência, ou seja, a idade                                 
mais comum entre os alunos que obtiveram a habilitação foi de 20 anos. 
O somatório das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado é                         
uma informação importante a ser adicionada na composição de uma tabela.                     
Recebe o nome de frequência absoluta e será designada por F (maiúscula), pois                         
permite identificar a soma da frequência para a classe e todas as anteriores (VIEIRA,                           
2012). A tabela 3 apresenta tal informação. 
 
Idade (anos)  Frequência 
(f) 
Frequência Absoluta 
(F) 
18  2  2  
19  3  3 +2 = 5 
20  6  6+ 5 = 11 
21  2  2 +11=13 
22  3  3 +13 =16 
23  4  4 +16 = 20 
24  3  3 +20 = 23 
25  2  2 + 23 = 25 
28  2  2 + 25 = 27 
29  3  3 + 27 = 30 
30  2  2 + 30 = 32 
 
 
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31  2  2 + 32 = 34 
34  3  3 + 34 = 37 
35  1  1 + 37 = 38 
39  1  1 + 38 = 39 
40  2  2 + 39 = 41 
43  2  2 + 41 = 43 
54  1  1 + 43 = 44 
60  1  1 + 44 = 45 
Total  45   
Tabela 3: Frequência acumulada dos alunos que obtiveram habilitação.  
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019. 
Por meio da frequência acumulada, é possível obter conclusões como: entre                     
18 e 21 anos, 13 pessoas obtiveram habilitação ou, que de 18 a 34 anos, 37 alunos                                 
possuem sua licença. 
O percentual referente a cada resultado perante ao todo recebe o nome de                         
frequência relativa e é mais uma importante informação a ser acrescentada na                       
tabela. Assim, para encontrar esta apuração, basta dividir a frequência da categoria                       
pelo total de elementos, em seguida, multiplicar esse resultado por 100, dado que                         
essa informação deve ser em percentagem.  
É importante salientar que o resultado, fruto das somas entre as frequências                       
relativas, deve ser equivalente a 100% ou valor aproximado (VIEIRA, 2012).  
Teremos, na tabela 4, esta informação disponível: 
 
Idade (anos)  Frequência (f)  Frequência relativa (fr %) 
18  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
19  3  00 , 7345 · 1 = 6 6  
20  6  00 3, 3645 · 1 = 1 3  
21  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
 
 
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22  3  00 , 7345 · 1 = 6 6  
23  4  00 , 9445 · 1 = 8 8  
24  3  00 , 7345 · 1 = 6 6  
25  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
28  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
29  3  00 , 7345 · 1 = 6 6  
30  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
31  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
34  3  00 , 7345 · 1 = 6 6  
35  1  00 , 2145 · 1 = 2 2  
39  1  00 , 2145 · 1 = 2 2  
40  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
43  2  00 , 4245 · 1 = 4 4  
54  1  00 , 2145 · 1 = 2 2  
60  1  00 , 2145 · 1 = 2 2  
Total  45  100 
Tabela 4: Frequência relativa dos alunos que obtiveram habilitação.  
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019. 
Por intermédio da frequência é relativa, é possível obter implicações como:                     
8,89% dos alunos que obtiveram sua habilitação tem 23 anos, ou a porcentagem de                           
alunos que alcançaram a carta de habilitação com 43 e 60 anos foi igual e                             
equivalente a aproximadamente 2,22%. 
1.3. Distribuição de frequência intervalos por intervalos de 
classe 
Ainda explorando o exemplo anterior, vamos tentar reduzir o tamanho da                     
tabela, agrupando os resultados em faixas de valores. Estas recebem o nome de                         
classes ou intervalos e, para realizar tal arranjo, utilizaremos o conceito de                       
 
 
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intervalos de classes, ou seja, iremos agrupar os dados dentro de um intervalo pré                           
determinado. 
Larson e Farber (2016) listam as etapas a serem executadas, de modo a                         
construir uma distribuição de frequência, com base em um conjunto de dados.                       
Segundo postulam, faz-se necessário determinar o número de classes e a                     
amplitude ou largura de cada uma, obtida por meio da diferença entre o limite                           
superior (maior número que pertence a classe) e o limite inferior (menor valor da                           
classe). 
 Vamos começar? Mãos à obra! 
❏ Determine o número de classes (k), pelo método de Sturges, em que:                       
, sendo ​n​ o tamanho do conjunto a ser estudado., og nk = 1 + 3 3 · l  
❏ Encontre a largura da classe, realizando a razão entre a amplitude total dos                         
dados (maior valor - menor valor) e a quantidade de classes que foi                         
encontrada anteriormente.  
❏ Encontre os limites de classe, para isso, basta usar o menor número como                         
limite inferior da primeira classe e adicionar a ele a largura de classe                         
encontrada, as subsequentes serão encontradas partindo do maior valor da                   
classe anterior e sempre adicionando a largura da classe. 
❏ Realize a contagem referente aos dados que pertencem a cada classe. 
Para a tabela sobre a relação entre idade e obtenção da habilitação, estamos                         
trabalhando com 45 dados, logo o número de classes será encontrado por:                       
, ou seja, aproximadamente 7 classes. Agora,.3 og 45 , 6 k = 1 + 3 · l = 6 4              
encontraremos a amplitude total:60 - 18 = 42, este valor deve ser dividido por 7,                               
que representa o número de classes, logo , ou seja, cada classe terá uma              24 ÷ 7 = 6              
largura de 7.  
Agora aplicando estas informações e contando os dados pertencentes a                   
cada classe, obtemos a tabela 5. 
Idade  Frequência 
l--2481   20 
24 l--30  10 
30 l--36  8 
36 l--42  3 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
42 l--48  2 
48 l--54  0 
54 l--60  2 
Total  45 
Tabela 5: Distribuição de frequência dos alunos que obtiveram habilitação.  
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019. 
Você sabia? O símbolo l-- indica intervalo fechado para o limite superior da classe                           
e aberto para o limite inferior, assim, por exemplo, na primeira linha, serão                         
agrupados idades entre 18 e 24 anos. No entanto, na prática, esse intervalo                         
equivale a 18, 19, 20, 21, 22 e 23 anos, logo, 24 anos não está presente neste                                 
intervalo e sim, no próximo. 
 
De posse de uma distribuição de frequência com intervalos de classe, é                       
possível ver os dados mais compactados, o que facilita a leitura e formulação de                           
conclusões acerca das classes mais ou menos frequentes dentro da situação                     
estudada. No exemplo explorado, inferimos que a classe mais comum das idades                       
que conseguiram a habilitação é de 18 a 24 anos e a menos frequente foi de 48 a                                   
54 anos, com nenhuma entrada. 
2. Histograma e polígonos de frequência 
A representação gráfica integra a representação de dados em tabelas, uma                     
vez que facilita e concede uma imediata visualização dos dados estudados. Existe                       
uma infinidade de gráficos que se distinguem de acordo com suas características,                       
no entanto, os mais comuns no estudo da estatística são o histograma e o polígono                             
de frequência. 
2.1. Histograma 
Larson e Farber (2016) definem como um diagrama de barras aquele que                       
representa a distribuição de frequência de um conjunto de dados. Estipulam a ele                         
as seguintes características: 
❏ A escala horizontal é quantitativa e mede os valores dos dados; 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
❏ A escala vertical indica as frequências das classes; 
❏ As barras consecutivas devem estar unidas umas às outras. 
E como converteremos uma tabela em um histograma? Transformaremos a                   
tabela 2, que dispõe das frequências de idades no gráfico 2, ou seja, em um                             
histograma. 
Figura 2: Histograma de frequência. 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019. 
A leitura de um histograma consiste em identificar a frequência que será                       
representada pela altura, leitura no eixo vertical de certo dado, que está disposto                         
na linha horizontal. 
2.2. Polígonos de frequência 
Outra forma de representar uma distribuição de frequência é utilizando um                     
polígono que une por segmentos de reta os pontos médios das bases superiores                         
dos retângulos de um histograma, Larson e Farber (2016) ainda conceituam                     
polígono de frequência como um gráfico de linhas que valoriza as alterações                       
contínuas de frequência.  
Baseado na figura 2, que é um histograma, será construído um polígono de                         
frequência, observe que as informações são as mesmas, o que diferencia é a linha                           
poligonal. 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
 
Figura 3: Polígono de frequência. Fonte: Elaborado pelo autor, 2019. 
É possível construir histogramas e, consequentemente, polígonos de               
frequência manualmente ou por intermédio de softwares adequados, como o                   
Excel, que será utilizado como ferramenta para elaborar os histogramas que serão                       
apresentados a seguir. 
Você quer ler? Para aprender mais sobre o passo a passo de como elaborar                           
histogramas e outros gráficos no excel, acesse o link                 
<​https://www.guiadoexcel.com.br/como-criar-um-histograma-no-excel/​>, este site     
apresenta o passo a passo para elaborar tal estrutura. 
 
3. Medidas de tendência central para dados não 
agrupados 
Já somos capazes de sintetizar dados provenientes de pesquisas e                   
representá-los graficamente, permitindo interpretar e descrever padrões             
estatísticos; agora vamos resumir ainda mais estes dados, descobrindo um ou mais                       
valores que sejam significativos para o estudo das informações estudadas.                   
Denominam-se medidas de tendência central ou medidas de posição, os valores                     
que representam uma entrada comum ou central do conjunto de dados (LARSON e                         
FARBER, 2016). 
 
 
https://www.guiadoexcel.com.br/como-criar-um-histograma-no-excel/
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
As medidas de tendência central mais comumente utilizadas e que serão                     
abordadas neste capítulo serão a média aritmética, a moda e a mediana; os                         
métodos para obtenção de tais resultados diferenciam-se de acordo com a                     
maneira em que as informações estão dispostas, ou seja, quando os dados não                         
estão agrupados e quando são agrupados em tabelas de distribuição de frequência                       
com classes. 
Castanheira (2013) define média aritmética como a soma dos resultados          x )(          
obtidos dividida pela quantidade de resultados; mediana como o valor que              Md )(        
ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados e moda como a                        M )( o    
entrada de maior frequência. 
3.1. Cálculo da média, moda e mediana 
Para exemplificar os conceitos apresentados anteriormente, suponha que               
você esteja gerenciando uma lanchonete e que mantenha controle das vendas dos                       
diversos tipos de pastéis diariamente; assim foram contabilizados os seguintes                   
valores referentes às vendas diárias do pastel de carne, durante 8 dias: 
  41  57  39  61  59  50  50  49 
Observe que esta é uma situação em que os dados não estão agrupados, e                           
agora? Como encontrar a média aritmética, a moda e a mediana?  
Bem, iniciaremos pelo cálculo da média, que compreende o resultado do                     
somatório dos dados dividido pelo total de elementos, assim, a relação é dada por:                           
logo, neste estabelecimento vende-se, em1x = n
Σx = 8
41 + 57 + 39 + 61 + 59 + 50 + 50 +49 ≃ 5            
média, 51 pastéis de carne diariamente.  
A moda é indicada pelo valor que mais se repete, ou seja, tem maior                           
frequência. Como podemos observar, a moda é 50, pois aparece no conjunto de                         
dados duas vezes.  
A mediana representa o valor central, a maneira para encontrá-la se                     
distingue se o tamanho do conjunto for par ou ímpar. O procedimento para um                           
resultado par consiste em encontrar os números referentes às posições e                   P 1 = ( )2
n °  
e, em seguida, calcular a média aritmética entre os valoresP 2 = ( )2
n + 1 °                    
encontrados; é importante salientar que as posições permitem encontrar as                   
posições dos números, uma vez que estes devem, obrigatoriamente, estar                   
ordenados(ordem crescente ou decrescente). Após identificar posição, devemos                 
encontrar qual número pertence a tal lugar e assim realizar a média. Para conjunto                           
de dados de tamanho ímpar, basta encontrar a posição , associá-lo ao                  P = ( )2
n + 1 °      
número que pertence a tal lugar, e pronto!  
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
No cenário da lanchonete e do número de pastéis vendidos, inicialmente, é                       
sempre necessário ordenar tais números, que ficarão da seguinte forma: 39, 41, 49,                         
50, 50, 57, 59, 61, após ordenação, vamos identificar a quantidade de elementos;                         
observemos que são 8, logo, um algarismo par, assim, vamos encontrar as                       
posições: e ; a quarta posição equivale ao número 50 P 1 = ( )2
8 ° = 4°  P 2 = ( )2
8 + 1 ° = 5°                
e a quinta também, assim, concluímos que a mediana é 50.  
Observação: como os valores respectivos as posições das medianas foram                   
iguais, não foi necessário calcular a média aritmética, uma vez que seria encontrado                         
o mesmo número. Já em caso contrário, é obrigatória a realização de tal                         
procedimento. 
Podemos sintetizar os métodos para encontrar as medidas de tendência                   
central para dados não agrupados em: 
❏ Média: x = n
Σx  
❏ Moda: número de maior frequência, que mais se repete; 
❏ Mediana: se tamanho do conjunto ímpar: posições e ;              P 1 = ( )2
n °   P 2 = ( )2
n + 1 °  
se tamanho do conjunto par: P = ( )2
n + 1 °  
4. Medidas de tendência central para dados           
agrupados 
Dados são agrupados em tabelas de distribuição de frequência em que há                       
intervalos ou classes. Em situações como essa, geralmente, são estudadas grandes                     
quantidades de informações, por isso, fica inviável determinar a média, moda e                       
mediana do conjunto pelo método de dados agrupados, assim, recorreremos a                     
outras fórmulas que serão utilizadas para tal objetivo. 
4.1. Cálculo da média, moda e mediana para dados               
agrupados 
Considere a situação hipotética de que uma construtora iniciará as obras de                       
um condomínio e, para iniciar as obras, fez o levantamento das áreas dos 400 lotes                             
que irão compor o empreendimento, esses valores estão dispostos na tabela 6. 
 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
Área ( metros quadrados)  Frequência (f) 
200 l---300  20 
300 l---400  46 
400 l---500  57 
500 l---600  68 
600 l---700  76 
700 l---800  62 
800l---900  48 
900 l---1000  23 
Total  400 
Tabela 6: Frequência de áreas em um loteamento. Fonte:Elaborado pelo autor, 2019. 
Como agora será possível calcular as medidas de tendência central? Os                     
métodos continuam os mesmos? A resposta é simples, não. Devido a quantidade                       
de dados e por estes estarem agrupados em intervalos, as fórmulas para se obter                           
tais resultados são diferentes. 
Para facilitar o cálculo destas medidas serão acrescentadas três colunas                   
adicionais a tabela original, uma constará a frequência acumulada, outra o ponto                       
médio de cada classe e a terceira corresponderá ao resultado do produto entre o                           
ponto médio e sua respectiva frequência.  
Observe a tabela 7, já com as novas colunas e seus respectivos resultados. 
Área (metros quadrados)  Frequência 
(f) 
Frequência 
acumulada (F) 
Ponto médio 
 ( )xi  
xi · f  
 
200 l---300  20  20  250  5000 
300 l---400  46  66  350  16100 
400 l---500  57  123  450  26650 
500 l---600  68  191  550  37400 
600 l---700  76  267  650  49400 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
700 l---800  62  329  750  46500 
800l---900  48  377  850  40800 
900 l---100  23  400  950  21850 
Total  400      243700 
Tabela 7: Frequência de áreas em um loteamento. Fonte: Elaborado pelo autor, 2019. 
A média é encontrada agora pelo somatório entre o ponto médio e sua                         
respectiva frequência, dividido pelo total de elementos, logo:  
.09, 5mx = n
Σx ·fi = 400
243700 = 6 2 2  
Existem várias relações que permitem encontrar a moda. Aqui, adotaremos                   
o método de King, que é expresso pela seguinte relação: 
 ,o iM = L +
fpost
f + fant post 
· h   
Onde é o limite inferior que contém moda; a frequência da classe  iL                 f post        
posterior à classe que contém a moda e a frequência a classe anterior a classe                f ant              
que contém a moda. Desta forma, é muito importante identificar a classe que                         
possui maior frequência, no caso desta tabela, o intervalo de maior frequência é                         
entre 600 e 700 metros quadrados, com 76 entradas, logo , e                    i 00L = 6   2f post = 6    
; substituindo os valores na relação: onde é o limite inferior que contém8f ant = 6               iL              
moda, a frequência a classe posterior a classe que contém a moda, a  f post                       f ant  
frequência da classe anterior à classe que contém a moda e h representa a                           
amplitude da classe (maior valor - menor valor). .                o 00 00 47, 9M = 6 + 6268 + 62 · 1 = 6 6  
Observe que o valor encontrado deve estar compreendido no intervalo de maior                       
frequência. 
A mediana será determinada pela igualdade: , onde é            d iM = L + f 
( −Faca)2
n
· h     iL    
o limite inferior que contém a mediana, n é o tamanho do conjunto, é a                          acaF      
frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana, a amplitude da                  h        
classe e a frequência da classe. Alerte-se ao fato de que é fundamental encontrar    f                        
a classe que abriga a mediana; como o tamanho do conjunto é 400, basta calcular                             
e (fórmulas para cálculo de mediana para00°P 1 = ( )2
400 ° = 2   01°P 2 = ( )2
400 + 1 ° = 2            
dados não agrupados), agora, basta identificar onde estas posições são abrigadas.                     
Por auxílio da frequência acumulada, é possível encontrar a classe; observe que a                         
classe de 600 a 700m² contém tais posições, logo, será o intervalo de referência.                           
Portanto, , n = 400, e , agora, basta substituir:  i 00L = 6         aca 91F = 1   00h = 1        
.d 00 00 11, 4M = 6 + 76
( −191)2
400
· 1 = 6 8   
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
Tenha o hábito de conferir se o número encontrado se aloja no intervalo que                           
serviu de base para o cálculo, isso permite conferir se o resultado encontrado pode                           
estar correto ou não. 
Recapitulando os métodos para encontrar as medidas de tendência central                   
para dados agrupados em: 
❏ Média: x = n
Σx ·fi  
❏ Moda: o iM = L +
fpost
f + fant post 
· h  
❏ Mediana: d iM = L + f 
( −Faca)2
n
· h  
 
Síntese 
Neste primeiro capítulo, você teve a oportunidade de ser apresentado aos                     
principais conceitos que norteiam a estatística descritiva, e verificar a necessidade                     
de organizar um conjunto de dados, de modo a facilitar a leitura e posterior                           
interpretação.  
De modo geral, foi possível: 
● Compreender os conceitos que fundamentam a estatística descritiva; 
● Entender o processo de coleta e organização de dados; 
● Conhecer e diferenciar as variáveis qualitativas e quantitativas; 
● Conheceras definições de frequência absoluta, frequência acumulada               
e frequência relativa; 
● Representar e interpretar dados em tabelas de distribuição de                 
frequência com dados agrupados ou não; e em gráficos estatísticos; 
● Construir e interpretar histogramas e polígonos de frequência; 
● Definir as medidas de tendência central (média, moda e mediana),                   
para dados agrupados e dados não agrupados. 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 1 - Conceitos iniciais e medidas de tendência central 
 
Bibliografia 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. ​Estatística aplicada a todos os níveis​. Curitiba:                   
Intersaberes, 2013. 
COSTA, Giovani Glaucio de Oliveira. ​Curso de estatística básica - Teoria e Prática.                         
2ªedição. São Paulo: Atlas, 2015. Disponível em: Minha Biblioteca. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. ​Estatística Aplicada​. 6. ed. São Paulo: Pearson,                     
2016. 654 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária. 
MORETIM, Luiz Gonzaga. ​Estatística Básica​: probabilidade e inferência. 1. ed. São                     
Paulo: Pearson, 2010. 376 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária 
MORAES, Fabíola Eugênio Arrabaça. ​Estatística Descritiva​. 1. ed. São Paulo:                   
Pearson, 2010. 142 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária. 
VIEIRA, Sônia. ​Elementos de Estatística​. São Paulo: Atlas, 2012. 
Referências imagéticas: 
Tabela 1​- Peso médio e altura média de meninos e meninas de um a doze anos.                               
BEBÊS E CRIANÇAS. ​Tabela de Peso e Altura de 1 a 12 anos Meninos e                             
Meninas. ​Organização Mundial da Saúde. Disponível em:             
<​https://www.bebesecriancas.com.br/de-1-12-anos/?cn-reloaded=1​>. Acesso em:     
13.jun.2019. 
Figura 1- Gráfico da proporção de alunos do nível médio por turno.                       
ABRES-Associação Brasileira de Estágios. ​Matrículas na Educação. ​Disponível               
em: <​http://www.abres.org.br/v01/dados-estagiarios-estudantes-no-brasil/​>.   
Acesso em: 13.jun.2019. 
 
 
 
 
 
https://www.bebesecriancas.com.br/de-1-12-anos/?cn-reloaded=1
http://www.abres.org.br/v01/dados-estagiarios-estudantes-no-brasil/
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
 
 
Estatística 
Descritiva 
 
 
Unidade 2 
Medidas de Dispersão e 
Análise Bidimensional. 
 
 
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
Introdução 
 Inicialmente, você sabe que este não é o capítulo inicial. Alguns conceitos 
já foram apresentados até aqui, não é mesmo? Aprendemos a construir tabelas 
de modo a agrupar diversos dados e seus respectivos gráficos (histograma e 
polígono de frequência). Também foi possível anunciar sobre as medidas de 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
tendência central (média aritmética, moda e mediana), bem como utilizar de tais 
conceitos para interpretar informações. 
Neste segundo capítulo, dando continuidade ao estudo da estatística 
descritiva, veremos a necessidade de medir a variabilidade dos dados. Afinal, com 
que grau de confiança as medidas de tendência central retratam fielmente as 
informações providas de uma pesquisa? Questionamentos semelhantes a estes 
serão respondidos pela fundamentação teórica que compreende as medidas de 
dispersão. 
A chance de relacionar duas variáveis, ou seja, determinar até qual ponto a 
manipulação de uma interfere na relação da outra, embasa o estudo da análise 
bidimensional. Neste contexto, você será apresentado a técnicas de como avaliar 
por métodos numéricos a qualidade de tal vínculo. 
Vamos em frente! 
 
 
1. Medidas de dispersão 
Imagine que em uma escola há quatro professores de matemática, de 
idades: 24, 32, 39 e 57 anos. E que, em outra escola, com essa mesma quantidade 
de docentes, as idades sejam de 35, 36, 39, 42 anos. Observe que a idade média 
entre as duas escolas é a mesma, de 38 anos; mas se atente às distintas 
variabilidades entre os dois grupos, ou seja, no quanto os números distam entre 
si. No primeiro grupo, as idades são mais heterogêneas, enquanto que, no 
segundo, estes dados são homogêneos. Desta maneira, avaliar a média somente, 
sem estabelecer uma relação entre os outros dados pertencentes a um grupo não 
permite elaborar uma afirmação precisa acerca das particularidades do conjunto. 
Martins e Domingues (2017) definem medidas de dispersão como sendo 
os parâmetros que avaliam o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em 
torno da média. Logo, possuem a capacidade de mensurar a representatividade 
da média. Assim, neste capítulo, você conhecerá o conceito, a maneira de calcular 
e a interpretação algumas medidas de dispersão. 
 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
2. Variância e desvio padrão 
Utilizando todas as entradas de um conjunto de dados, temos a variância 
e desvio padrão como medidas de dispersão. É importante salientar que estes 
indicadores podem contemplar uma amostra ou uma população. 
De acordo com Castanheira (2013), variância é o resultado da média 
aritmética dos quadrados dos desvios; e permite medir a variabilidade dos dados 
em torno da média. 
A medida de dispersão mais utilizada em estatística é o desvio padrão, ele 
é o resultado da raiz quadrada da variância, logo o cálculo da variância é um passo 
intermediário para obter o desvio padrão. Para interpretação desta medida vale 
relembrar que este indicador avalia o quanto uma entrada típica se desvia da 
média. Quanto mais espalhados estiverem os dados, maior será o desvio padrão. 
Desta forma, ele é considerado pequeno, se os valores estão bem concentrados 
em torno da média, ou grande, se estão muito espalhados ao redor da média. 
2.1. Variância e desvio padrão para dados não agrupados. 
 Uma pesquisa ao ser realizada com uma população ou amostra e, em 
seguida, contabilizada pequena quantidade de dados, podemos utilizar as 
fórmulas direcionadas a dados não agrupados, visto que não exista repetição de 
mesmos dados, não sendo necessário organizar tais informações em tabelas de 
distribuição de frequência. 
Outra ressalva deve ser considerada na identificação do método para 
encontrar a variância e o desvio padrão, assim, há diferença se for utilizada uma 
amostra ou população, como pode ser observado na tabela 1 abaixo. Essa 
distinção é encontrada a partir do enunciado e contexto do exercício a ser 
resolvido. 
 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
 População Amostra 
Variância 𝜎2 =
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2
𝑁
 
 
𝑠2 =
𝛴(𝑥 − 𝑥 )2
𝑛−1
 
Desvio Padrão 
𝜎 = √
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2
𝑁
 
 
𝑠 = √
𝛴(𝑥 − 𝑥 )2
𝑛−1
 
Média 𝜇 𝑥 
Tamanho do conjunto 𝑁 𝑛 
Tabela 1: Fórmulas para variância e desvio padrão de dados não agrupados. 
Elaborada pela autora, 2019. 
 Voltando ao contexto das idades dos professores de matemática de 
diferentes escolas no início do capítulo, é necessário identificar que se trata de 
uma população. Calculando sua variância, obtemos, para o primeiro grupo: 𝜎2 =
(24− 38 )2+ (32−38 )2 + (39−38 )2 + (57−38 )2
4
=
594
4
= 148,5 e, para o segundo grupo: 𝜎2 =
(35− 38 )2+ (36−38 )2 + (39−38 )2 + (42−38 )2
4
=
30
4
= 7,5 “anos ao quadrado”. 
Mas que medida de unidade é essa? Parece sem sentido, porém, com o 
resultado do cálculo da variância, obtemos respostas como esta. Essa é uma 
desvantagem em utilizar este parâmetro, pois suas unidades de medida, 
geralmente, não possuem sentido físico. Assim, devemos calcular a raiz quadrada 
desses valores, para, deste modo, conseguir interpretar tais resultados, uma vez 
que o desvio padrão é uma medida de variabilidade com idêntica unidade de 
medida dos dados. 
 Agorasim, retornando a proposta inicial, concluímos que as idades variaram, 
em relação à média, 12,2 anos para o primeiro grupo e 2,7 anos para o segundo 
grupo. Logo, é possível concluir que, apesar da média aritmética ser a mesma, na 
primeira escola há mais variabilidade em relação às idades dos professores de 
matemática, tendo assim uma diferença maior em relação a média de 38 anos. 
Enquanto que a segunda escola possui profissionais com idades mais próximas 
em relação a média, logo variaram menos. 
2.2. Variância e desvio amostral para dados agrupados. 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
 Quando trabalhamos com uma grande quantidade de dados é mais viável 
interligar tais informações a tabelas de distribuição de frequências, assim, 
consequentemente, a variável frequência estará presente. Por isso, a fórmula que 
permite calcular a variância e o desvio padrão não são mantidas. 
O que diferencia a fórmula utilizada é estabelecer se os dados são 
referentes a uma amostra ou a uma população, assim como as relações para 
dados não agrupados. Observe que, na variância populacional, o numerador é 
dividido por N, enquanto que, na variância amostral, é fracionado por n - 1. 
 
 População Amostra 
Variância 𝜎2 =
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2⋅𝑓
𝑁
 
 
𝑠2 =
𝛴(𝑥 − 𝑥 )2⋅𝑓
𝑛−1
 
Desvio Padrão 
𝜎 = √
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2⋅𝑓
𝑁
 
 
𝑠 = √
𝛴(𝑥 − 𝑥 )2⋅𝑓
𝑛−1
 
 
Média 𝜇 𝑥 
Tamanho do conjunto 𝑁 𝑛 
Tabela 2: Fórmulas de variância e desvio padrão para dados agrupados. 
Elaborada pela autora, 2019. 
 Agora, considere que, após um teste de proficiência de língua estrangeira 
foram contabilizados os erros cometidos por 50 alunos que realizaram tal prova. 
Estes números foram alocados na tabela de distribuição de frequência 3, disposta 
a seguir: 
 
Quantidade de erros Frequência 
0 I--- 4 10 
4 I--- 8 7 
8 I--- 12 21 
12 I--- 16 9 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
16 I--- 20 3 
Total 50 
Tabela 3: Distribuição de frequência de quantidade de erros por alunos. 
Fonte: Elaborada pela autora, 2019. 
 Bem, esse conjunto de dados retrata uma amostra ou uma população? 
Qual sua variância e seu desvio o padrão? Como podemos interpretar tais 
resultados? 
Começaremos respondendo a primeira pergunta: no enunciado está 
explícito que a pesquisa foi realizada com 50 alunos, logo, trata-se de uma 
população e utilizaremos as fórmulas destinadas a tal conjunto de dados. 
Para retornamos quanto à segunda pergunta, neste momento, 
adicionaremos uma nova coluna à tabela para cálculo da média, que é uma 
variável necessária para encontrar a variância e o desvio padrão; e outra coluna 
para facilitar as demais operações. 
Assim, a tabela 4 apresenta esses resultados (lembrando que, por se tratar 
de uma tabela de distribuição de frequência, também é necessário calcular o 
ponto médio (𝑥𝑖)). 
Quantidade 
de erros 
Frequência 
(f) 
Ponto 
médio (𝑥𝑖) 
(𝑥𝑖 ⋅ 𝑓) (𝑥𝑖 − 𝑥)
2 ⋅ 𝑓 
0 I--- 4 10 2 20 (2 − 9,04)2 ⋅ 10 = 495,61 
4 I--- 8 7 6 42 (6 − 9,04)2 ⋅ 7 = 64,69 
8 I--- 12 21 10 210 (10 − 9,04)2 ⋅ 21 = 8,29 
12 I--- 16 9 14 126 (14 − 9,04)2 ⋅ 9 = 221,41 
16 I--- 20 3 18 54 (18 − 9,04)2 ⋅ 3 = 240,84 
Total 50 
𝛴(𝑥𝑖 ⋅ 𝑓) =
452 
𝛴(𝑥𝑖 − 𝑥)
2 ⋅ 𝑓 = 1030,84 
Tabela 4: Distribuição de frequência de quantidade de erros por alunos. 
Fonte: Elaborada pela autora, 2019. 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
 Logo, para a média, obtemos: 𝑥 =
𝛴𝑥⋅𝑓
𝑛
=
452
50
= 9,04, observe que este valor 
interfere diretamente no cálculo da variância e do desvio padrão, já que: 𝜎2 =
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2⋅𝑓
𝑁
=
1030,84
50
= 20,62 erros ao quadrado e 𝜎 = √
𝛴(𝑥 − 𝜇 )2⋅𝑓
𝑁
 = √
1030,84
50
= 4,54 
erros. 
Assim, a interpretação de tais resultados compreende que, cerca de 21 
erros ao quadrado, corresponde à variabilidade dos erros e que estes variaram 
em relação à média, aproximadamente, 4,5 erros. 
 
3. Análise bidimensional 1ª parte 
Frequentemente, nos deparamos com a necessidade de realizar 
estimativas ou previsões sobre ocorrências futuras, tal processo pode ser 
realizado quando conhecemos as variáveis e o modo como se relacionam. Nesta 
conjuntura, existem técnicas estatísticas que possibilitam elaborar modelos e 
avaliar sua qualidade, estas são chamadas de análise de regressão e correlação. 
Essas técnicas possuem atributos próprios. Enquanto a regressão descreve, por 
meio de equações algébricas, a previsão acerca dos comportamentos da situação, 
a correlação avalia a qualidade da relação entre as variáveis (MILONE, 2006). 
Correlações e regressões podem ser classificadas quanto ao número de 
variáveis, assim, são ditas simples, quando uma variável for conveniente para 
explicar o contexto, ou múltipla, quando necessitar de mais de uma. Também são 
diferenciadas quanto à sua complexidade, logo, recebem o nome de lineares, 
quando se enquadram em funções de 1° grau, ou não lineares, quando sua 
modelagem matemática exige funções de ordem superior (MILONE, 2006). 
Nesta primeira parte, dedicada à análise bidimensional, o foco será o 
estudo acerca da qualidade entre as relações, ou seja, a correlação linear e a 
covariância. 
 
Você sabia? Galton Francis (1822 - 1911), matemático e estatístico francês 
publicou no século XIV o resultado de uma pesquisa onde coletou a altura de 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
homens adultos e a de seus pais. Assim, concluiu, por intermédio na análise 
bidimensional, que a variação da altura dos homens é, em parte, explicada pela 
variação da altura de seus pais. 
 
3.1. Correlação linear 
 Suponha que um médico queira avaliar o tempo que uma pessoa pratica 
exercícios físicos em relação à manutenção de seu peso. Ou que um professor 
queira avaliar o tempo dedicado aos estudos com as notas obtidas na etapa. 
Como seria possível avaliar a relação existente entre tais variáveis? 
 Correlação é descrita por Larson e Farber (2016) como uma relação entre 
duas variáveis, onde as informações são identificadas por pares ordenados (x, y). 
X é a variável independente (ou explanatória) e y representa a variável 
dependente (ou resposta). 
 Inúmeras vezes, dados bidimensionais são coletados, simultaneamente, 
para determinar se a variação de uma interfere na variação da outra. Assim, duas 
variáveis quantitativas podem aumentar ou diminuir juntas, aumentar quando 
uma diminui ou vice-versa. 
 Uma importante ferramenta para visualizar tal comportamento é o 
diagrama de dispersão, que, de acordo com Larson e Farber (2016), consiste em 
uma representação gráfica de dois conjuntos de dados que possuem mesmo 
tamanho e, para cada entrada do primeiro conjunto, existe um correspondente 
no segundo conjunto. Este formato é utilizado para exibir a relação entre duas 
variáveis quantitativas. 
 No diagrama de dispersão, os pontos (x, y) são plotados em um plano 
coordenado, a variável independente (x) é medida no eixo horizontal e a variável 
dependente (y), no eixo vertical. Com diagrama, é possível determinar se existe 
uma correlação linear, assim como diferenciar o tipo de correlação. 
 Quando duas variáveis crescem no mesmo sentido, existe correlação 
positiva, já em sentidos contrários há correlação negativa, e, caso a variável 
independente cresça e a dependente varie ao acaso, a correlação é nula, ou seja, 
não existe. Também existe a situação da correlação não ser linear. 
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bidimensional. 
 
Observe na figura 1 os gráficos de dispersão da correlação linear negativa 
e positiva, respectivamente, e a figura 2 apresenta os casos de não existir 
correlação ou desta não serlinear. 
 
Figura 1: Gráfico de dispersão de correlação linear negativa e positiva. 
Fonte: LARSON; FARBER, 2016, p. 394. 
 
Figura 2: Gráfico de dispersão quando inexiste correlação e quando esta não é linear. 
Fonte: LARSON; FARBER, 2016, p. 394. 
3.2. Coeficiente de correlação linear 
O coeficiente de correlação linear permite determinar o quanto duas 
variáveis se relacionam. É possível encontrá-lo por meio da igualdade: 
𝑟 =
𝛴𝑥𝑦 − 
1
𝑛
𝛴𝑥𝛴𝑦
√[𝛴𝑥2−
1
𝑛
(𝛴𝑥)2][𝛴𝑦2− 
1
𝑛
(𝛴𝑦)2]
 
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bidimensional. 
 
O resultado encontrado por intermédio desta operação varia entre -1 e +1, 
assim, se a correlação for negativa, o sinal do coeficiente será negativo e, se a 
correlação for positiva, o sinal deste coeficiente também será positivo. 
 
 Vamos considerar a seguinte situação: dez alunos tiveram suas notas em 
Português e Matemática estudadas, de modo a identificar uma possível relação 
entre ambas. Estes valores compõem a tabela 5 abaixo. 
 
Português Matemática 
50 75 
68 70 
70 90 
95 93 
53 61 
70 75 
93 90 
60 54 
72 69 
54 63 
Tabela 5: Notas de dez alunos nas disciplinas de português e matemática. 
Fonte: Elaborado pela autora, 2019 
Neste contexto, que tipo de correlação existe entre tais conjuntos de 
dados? Positiva ou negativa? Qual interpretação é viável, de acordo com o valor 
de coeficiente de correlação? Bem, estas são as indagações possíveis de realizar 
acerca de tais entradas. 
Vamos em frente! Encontrar estas respostas. 
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bidimensional. 
 
 Para facilitar o cálculo do coeficiente de correlação, inserimos três novas 
colunas à tabela 5, que relacionam os dados do problema a ser resolvido. Estas 
colunas contém o produto entre e xy, x² e y², uma vez que necessitamos dos 
somatórios destes valores. Portanto, geramos a tabela 6 abaixo. 
 
 
 
Português (x) Matemática 
(y) 
𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2 
50 75 50 ⋅ 75 =
3750 
502 = 2500 752 = 5625 
68 70 68 ⋅ 70 =
4760 
682 = 4624 702 = 4900 
70 90 70 ⋅ 90 =
6300 
702 = 4900 902 = 8100 
95 93 95 ⋅ 93 =
8835 
952 = 9025 932 = 8649 
53 61 53 ⋅ 61 =
3233 
532 = 2809 612 = 3701 
70 75 70 ⋅ 75 =
5250 
702 = 4900 752 = 5625 
93 90 93 ⋅ 90 =
8370 
932 = 8649 902 = 8100 
60 54 60 ⋅ 54 =
3240 
602 = 3600 542 = 2916 
72 69 72 ⋅ 69 =
4968 
722 = 5184 692 = 4761 
54 63 54 ⋅ 63 =
3402 
542 = 2916 632 = 3969 
𝛴𝑥 = 685 𝛴𝑦 = 740 𝛴𝑥𝑦 = 51910 𝛴𝑥2 = 49107 𝛴𝑦2 = 56346 
Tabela 5: Notas de dez alunos nas disciplinas de português e matemática. 
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bidimensional. 
 
Fonte: Elaborado pela autora, 2019. 
Agora, de posse dos valores necessários, substituiremos na relação: 𝑟 =
𝛴𝑥𝑦 − 
1
𝑛
𝛴𝑥𝛴𝑦
√[𝛴𝑥2−
1
𝑛
(𝛴𝑥)2][𝛴𝑦2− 
1
𝑛
(𝛴𝑦)2]
=
51910−
1
10
⋅685⋅740
√[49107−
1
10
⋅(685)2][56346−
1
10
⋅(740)2]
=
1220
√ 2184,5⋅1586
= 0,6554 =
65,54% 
 Logo, o coeficiente de correlação entre as notas de português e matemática 
para a amostra de dez alunos indicam média correlação positiva entre as 
variáveis. Ou seja, que há uma média semelhança dos comportamentos das 
variáveis no mesmo sentido. 
 Para interpretar o valor encontrado no coeficiente de correlação utilizamos 
os seguintes parâmetros: se r estiver compreendido entre 90% e 100%, alta ou 
ótima correlação; entre 80% e 90% boa correlação; entre 60% e 80%, média 
correlação; entre 40% e 60%, baixa correlação e entre 0% e 40% é péssima 
correlação ( MARTINS E DOMINGUES, 2011). 
 
 
Você sabia? É trabalhoso realizar os cálculos para encontrar o coeficiente de 
correlação, principalmente, se a amostra ou população for grande. Para isso, 
existem softwares como o Planilha Eletrônica Excel, que dispõe de ferramentas 
específicas para o cálculo de correlações entre duas ou mais variáveis. 
 
3.3. Covariância 
 Larson e Farber (2016) caracterizam a covariância como uma medida que 
avalia a relação entre duas variáveis. Este indicador assemelha-se muito ao 
conceito de correlação, no entanto, se diferenciam em dois aspectos. Os valores 
da covariância não obedecem a uma padronização, diferente da correlação (varia 
de +1 a -1), portanto, seu campo de existência abrange todos os números. Além 
disso, a covariância fornece respostas sobre a direção da relação entre as 
variáveis. 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
Resultados com sinais positivos apontam que, valores acima da média de 
uma variável estão associados a valores médios acima da outra variável e, abaixo 
dos valores médios, são igualmente associados. Resultados com sinais negativos 
indicam que valores acima da média de uma variável estão associados com 
valores médios abaixo da outra variável. 
 O cálculo da covariância é feito por intermédio da relação: 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =
𝛴𝑥𝑦
𝑛
−
𝛴𝑥
𝑛
⋅
𝛴𝑦
𝑛
. Agora, vamos voltar ao contexto das notas de dez alunos nas disciplinas de 
português e matemática e avaliar a covariância entre estas variáveis. 
Aproveitaremos os resultados disponibilizados na tabela 5, logo, apenas 
serão substituídos tais valores: 
𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =
𝛴𝑥𝑦
𝑛
−
𝛴𝑥
𝑛
⋅
𝛴𝑦
𝑛
=
51910
10
−
685
10
⋅
740
10
= 5191 − 5069 = 122, como o resultado 
foi um número positivo, podemos afirmar que as variáveis tendem a aumentar 
juntas ou diminuir juntas. Logo, se a nota em português aumentar, a de 
matemática também aumentará, ou se a nota em português diminuir, a de 
matemática também diminuirá. 
 
 
4. Análise bidimensional 2ª parte 
 Dando continuidade ao estudo de mais de um conjunto, iniciaremos uma 
nova abordagem ao trabalhar com dados bidimensionais. Até aqui, aprendemos 
a medir e qualificar a relação entre informações quantitativas e, a partir de agora, 
vamos desenvolver modelos estatísticos utilizados com o intuito de prever outros 
valores. E, assim, a partir de uma variável independente, descobrir os valores da 
variável dependente. 
4.1. Regressão linear 
 As técnicas de regressão linear são muito utilizadas em atividades em que 
organização e planejamento para o futuro são de suma importância, sendo 
empregada com o propósito de previsão. Estipular as futuras vendas de um 
produto em função do seu preço ou prever o consumo de certos alimentos em 
relação a seu valor nutritivo retratam algumas das muitas situações existentes 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
que permitem o uso de regressão linear. Uma vez que tal estratégia possibilite a 
previsão de médias ou valores esperados. 
 Geralmente, ao utilizar dados provenientes de observações e/ou pesquisas 
e, com o objetivo de utilizar o dispositivo de regressão linear, é necessário 
encontrar uma equação matemática que possibilite estabelecer a relação entre 
duas variáveis. Este processo é denominado ajuste de curvas. Aqui, concentramos 
no ajuste para equações lineares de duas incógnitas, ou seja, da forma y = ax + b 
(FREUND, 2009). 
4.2. Reta de ajuste linear 
O ajuste de uma reta é um tipo de regressão linear que interliga uma 
variável independente (x) a uma dependente (y) por intermédio de uma equação 
de primeiro grau, este processo sintetiza a relação linear entre duas variáveis 
aleatórias. Conforme Larson e Farber (2016), a equação de uma reta de regressão 
é: �̂� = 𝑚𝑥 + 𝑏, sabendo que �̂� é o valor 𝑦 previsto para um valor 𝑥. Para compor 
esta relação é determinado que 𝑚 =
𝑛𝛴𝑥𝑦 − (𝛴𝑥)(𝛴𝑦)
𝑛𝛴𝑥2 − (𝛴𝑥)2
 e 𝑏 =
𝛴𝑦
𝑛
 − 𝑚
𝛴𝑥
𝑛
. 
Você sabia? O ajuste de curvas no processo de regressão linear é deduzido pelo 
método dos mínimos quadrados, esse dispositivo de otimização matemática foi 
criado pelo matemático francês Adrien Legendre(1752 - 1833) e objetiva 
encontrar o mais adequado ajuste de reta para um conjunto de dados pré-
estabelecido (FREUND, 2009). 
 
 Para entender a dinâmica destas fórmulas, vamos considerar que uma 
empresa investigou a relação entre o tempo de uso de suas máquinas, em meses 
com o custo médio de manutenção em milhares de reais destas e obteve a 
seguinte tabela: 
 
Idade 3 6 14 21 28 36 
Custo 
médio 
7,7 9,5 15,2 19,8 21,2 27,7 
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bidimensional. 
 
Tabela 7: Tempo de uso de uma máquina em relação a seu custo médio. 
 Fonte: Elaborada pela autora, 2019. 
Seria possível estimar o custo médio desta máquina após 10 meses? E 
depois de 4 anos de uso? Ou para qualquer idade que não tenha seu valor já 
alocado na tabela? A resposta é sim, pois, uma vez identificada a equação de 
regressão linear, qualquer valor poderá ser substituído na igualdade que define 
tal situação e, assim, detectada a solução para qualquer um dos questionamentos 
iniciais. 
Para começarmos, vamos transpor (transformar linhas em colunas) a 
tabela 7, que contém as informações sobre o tempo de uso da máquina com seu 
gasto médio e adicionar duas novas colunas. 
Idade Custo médio 𝑥𝑦 𝑥2 
3 7,7 23,1 9 
6 9,5 57 36 
14 15,2 212,8 196 
21 19,8 415,8 441 
28 21,2 593,6 784 
36 27,7 997,2 1296 
𝛴𝑥 = 108 𝛴𝑦 = 101,1 𝛴𝑥𝑦 = 2299,5 𝛴𝑥2 = 2762 
Tabela 8: Tempo de uso de uma máquina em relação a seu custo médio(modificada). 
 Fonte: Elaborada pela autora, 2019. 
 De posse destes valores é possível determinar o valor de m, 𝑚 =
𝑛𝛴𝑥𝑦 − (𝛴𝑥)(𝛴𝑦)
𝑛𝛴𝑥2 − (𝛴𝑥)2
=
6⋅2299,5 − 108⋅101,1
6⋅2762−11664
=
2878,2
4908
= 0,5864 e, consequentemente, encontraremos o valor de 
b, pois 𝑏 =
𝛴𝑦
𝑛
 − 𝑚
𝛴𝑥
𝑛
=
101,1
6
− 0,5864 ⋅
108
6
= 6,2948. 
Agora sim, a reta será definida por: �̂� = 𝑚𝑥 + 𝑏 → �̂� = 0,5864𝑥 + 6,2948 . 
Voltando aos questionamentos no início do tópico: 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
Seria possível estimar o custo médio desta máquina após 10 meses? Sim, 
basta substituir a variável x por 10, observe: �̂� = 0,5864 ⋅ 10 + 6,2948 ≃ 12,2 , logo, 
após dez meses o custo médio é de 12,2 mil reais. 
Depois de 4 anos de uso? Bem, quatro anos de uso equivalem a 48 meses 
(4 x 12), logo, este valor será substituído na variável x: �̂� = 0,5864 ⋅ 48 + 6,2948 ≃
34,4mil reais. Ou seja, por meio da equação, é possível descobrir o gasto médio 
para qualquer tempo de uso ou a situação contrária, encontrar o tempo de uso, 
sendo previamente informado seu gasto médio. 
 
Síntese 
No decorrer desta unidade, verificamos que a variância e o desvio padrão 
são ferramentas úteis para verificar o quanto os dados obtidos por uma pesquisa 
estão dispersos em torno do foco central, ou seja, da média aritmética. Assim, por 
esta análise, constatamos sua aplicabilidade. 
Também foi possível descrever e avaliar a significância das relações entre 
variáveis, quando estas são organizadas no formato de pares ordenados. Por 
meio do uso de técnicas de correlação, que avaliam a qualidade entre as relações 
e pela regressão linear, processo que possibilita a previsão de resultados. 
De maneira geral, foi possível: 
● Calcular a variância e desvio padrão de dados não agrupados; 
● Calcular a variância e desvio padrão de dados agrupados; 
● Distinguir a relação de variância e desvio padrão para dados 
populacionais e amostrais. 
● Compreender e aplicar o conceito de correlação 
● Compreender e aplicar o conceito de regressão linear. 
● Elaborar a reta de ajuste linear. 
● Interpretar o coeficiente de correlação linear. 
 
Estatística Descritiva - Unidade 2 - Medidas de dispersão e análise 
bidimensional. 
 
Bibliografia 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
Intersaberes, 2013. Disponível em: Minha Biblioteca. 
CRESPO, A. A. (2009) Estatística Fácil. 19a ed. São Paulo: Saraiva. 
COSTA, Giovani Glaucio de Oliveira. Curso de estatística básica - Teoria e Prática. 
2ªedição. São Paulo: Atlas, 2015. Disponível em: Minha Biblioteca. 
FREUND, John E. Economia, Administração e Contabilidade. Estatística 
Aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 
2016. 654 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária. 
MARTINS, Gilberto de Andrade; DOMINGUES, Osmar. Estatística Geral e 
Aplicada. São Paulo: Atlas, 2017. 
MILONE, Giuseppe. Estatística Geral e Aplicada. Rio de Janeiro: Thomson, 2006. 
MORETIM, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: probabilidade e inferência. 1. ed. 
São Paulo: Pearson, 2010. 376 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual 
Universitária 
MORAES, Fabíola Eugênio Arrabaça. Estatística Descritiva. 1. ed. São Paulo: 
Pearson, 2010. 142 p. v. único. Disponível em: Biblioteca Virtual Universitária. 
 
VIEIRA, Sônia. Elementos de Estatística. São Paulo: Atlas, 2012. 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
 
Estatística 
Descritiva 
 
 
Unidade 3 - Probabilidade I 
 
 
 
 
 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
 
 
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
 
Introdução 
 No estudo da estatística, tivemos a oportunidade de observar que as 
informações coletadas, mesmo em condições igualitárias de experimentação, 
oscilam, ou seja, variam e, por consequência, essa diversidade dificulta o 
prenúncio de resultados possíveis e aceitáveis na matemática. Explicar tais 
fenômenos é factível por intermédio da teoria que fundamenta a temática de 
probabilidade; e aplicar esse conceito é mais comum do que imaginamos, pois 
nos cercam constantemente. 
Encontrar reportagens que declaram: “a chance de ganhar na loteria 
estadual é de um em quinhentos mil”; ou, “a probabilidade de contrair dengue é 
45% maior no verão que em comparação à outras estações do ano”, ou ainda: “a 
chance de realizar uma cirurgia cardíaca com sucesso é de 86%”. Você se lembra 
de algum discurso semelhante a este? Com certeza a resposta será sim, pois a 
probabilidade é parte integrante de toda situação em que se deseja encontrar a 
chance de determinada situação ocorrer. Compreender os conceitos que 
constituem essa disciplina será a essência desta terceira unidade. 
Vamos começar! Ótimo aprendizado para você! 
1. Probabilidade 
O estudo da probabilidade e da estatística estão intimamente ligados, pois 
para compreender a inferência estatística é fundamental compreender os 
conceitos que fundamentam a teoria probabilística. Na estatística, analisamos o 
conjunto de dados obtidos com as ferramentas pertencentes a tal ciência e 
encontramos conclusões acerca da avaliação da qualidade e mensuração da 
quantidade de como tais dados se associam entre si. Já, na teoria da 
probabilidade, o objetivo é prever os resultados de um experimento ou processo 
sistemático. 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
Vincular chances de determinado fenômeno acontecer a números é aplicar 
a probabilidade; Larson e Farber(2016) afirmam que um experimento de 
probabilidade é uma ação, ou tentativa pela qual respostas são encontradas, ou 
em outras palavras, as chances de um evento acontecer serem positivas. Assim, 
para entender a dinâmica desta ciência é fundamental compreender dois 
conceitos: 
● Espaço amostral (S): corresponde ao conjunto de todos os 
resultados; possíveis em um experimento de probabilidade; 
● Evento (E): é um subgrupo do espaço amostral, geralmente são 
escolhidas características específicas para definí-lo. 
 Freund (2009) relembra os três postulados relativos ao estudo da teoria de 
probabilidade que se aplicam a um espaço amostral finito: 
I. As probabilidades obtidas são representadas por números reais ou zero; 
assim a probabilidade de um evento A deve ser um númeromaior ou igual 
a zero, porém menor ou igual a um, essa afirmação é descrita por: 0 ≤
𝑃(𝐴) ≤ 1 𝑜𝑢, 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚, 0% ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 100%; 
II. Qualquer espaço amostral S possui probabilidade equivalente a 1, que 
equivale 100%, desta maneira 𝑃(𝑆) = 1 𝑜𝑢 𝑃(𝑆) = 100%; 
III. Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos (não existe intersecção 
entre os conjuntos), a probabilidade da união do evento A com o evento B, 
ou vice-versa equivale ao resultado da soma da probabilidade do evento 
A com a probabilidade de ocorrência do evento B, ou seja, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
 Vale ressaltar que o resultado provindo de um cálculo de probabilidade varia 
entre um e zero, de maneira que, se igual a 1 (um) que equivale a um resultado 
de 100%, isto é, este evento de fato acontece, porém se a probabilidade for zero 
corresponde a uma associação a um evento impossível, ou seja, nulo de 
acontecer. 
 Vamos a um exemplo prático, admita um dado comum de seis faces, este 
será jogado determinadas vezes, considerando este contexto qual é seu espaço 
amostral? Agora se consideramos a possibilidade de um número par aparecer na 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
face superior deste mesmo dado, qual será o evento desta outra situação 
hipotética? Ou ainda, qual a probabilidade de lançar este dado e encontrar um 
número primo, lembrando que um número é primo se os seus divisores são 
apenas ele mesmo e 1, na face superior? 
 Respondendo ao primeiro questionamento, é necessário determinar o 
espaço amostral, ou seja, identificarmos todos os casos possíveis, logo, nesta 
situação específica é 𝑆 = {1, 2,3,4,5,6}. O evento de sair um número par no 
lançamento de um dado é encontrado, compreendendo que num dado de seis 
faces {1, 2,3,4,5,6} há três números pares, logo, este conjunto representa o 
evento: 𝐸 = {2, 4,6}. Finalmente para determinar a solução da terceira indagação, 
vamos ter que realizar a divisão entre o número que corresponde ao conjunto 
dos números primos contidos em um dado {1,2,3,5}e o conjunto que se refere ao 
espaço amostral {1, 2,3,4,5,6}, assim probabilidade requerida é dada por P 
(número primo) =
4
6
=
2
3
= 66,67% . 
Agora, formalizando a maneira de calcular a probabilidade de um evento, 
a relação é dada por: 
 𝑃(𝐸) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝐸)
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 (𝑆)
 
É importante salientar que o resultado obtido pelo cálculo de uma 
probabilidade pode ser apresentado em formato fracionário, decimal ou 
percentual, todas essas configurações são matematicamente aceitáveis, sendo 
necessário apenas a percepção de tal distinção, porém os resultados em 
porcentagens são mais comuns. 
 
Você sabia? Para encontrar resultados corretos em formato decimal ou 
percentual é preciso utilizar a regra de arredondamento corretamente. De acordo 
com a Resolução nº 886/66, do IBGE há os seguintes casos: se o número for menor 
que 5 e o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o 
último algarismo que logo permanecerá; agora, se o número for maior que cinco, 
ou seja, se o primeiro algarismo a ser abandonado é o 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se 
em uma unidade o algarismo que permanece; mas, se o número for igual a 5, há 
duas soluções: se após o 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de 
zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo que permanece, já, se o 5 for o 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
último algarismo ou após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentando de uma unidade se for ímpar. 
 
 
Vamos discutir a seguinte questão, clássica no estudo de probabilidade 
condicional: “considere que, em uma urna há três bolas brancas, cinco bolas 
vermelhas e sete bolas pretas, qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma 
bola preta?” 
 Bem, já foi informado que há sete bolas pretas, assim este é o evento, pois 
apresenta a quantidade de resultados possíveis para a situação proposta; agora 
é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, todos os resultados 
possíveis, que será obtido adicionando todas as bolas contidas na urna, 
independente da cor, logo: 3 + 5 + 7 = 15. Agora, podemos encontrar a 
probabilidade, que será dada por: 𝑃(𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎) =
7
15
. 
 Como a fração resultante é irredutível, ou seja, não é possível simplificá-la ou 
reduzi-la, logo o resultado permanece o mesmo, isto é continua inalterado. 
1.1. Probabilidade condicional 
 Para determinar a probabilidade de um evento é necessário especificar o 
espaço amostral, caso contrário, deparamos com respostas distintas, porém 
válidas no contexto estabelecido. Desta forma, haverá situações em que será 
condicionado um evento em relação a ocorrência de outro, neste cenário, Larson 
e Farber (2016) estabelecem que a probabilidade condicional é a probabilidade 
de um evento ocorrer dado que outro evento já tenha sucedido, ou seja, já 
aconteceu. 
 É denotado por 𝑃(𝐵/𝐴) a probabilidade de o evento 𝐵ocorrer, dado que o 
evento 𝐴 já tenha ocorrido e essa relação é descrita matematicamente por: 
𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵
 
 
 
Você sabia? O símbolo ∩representa a intersecção entre conjuntos, desta 
maneira, escrever 𝐴 ∩ 𝐵( lê-se: A intersecção B) significa determinar os elementos 
Estatística Descritiva - Unidade 3 - Probabilidade I 
 
que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, ou seja, é comum ao 
conjunto A e ao conjunto B. Já em um caso de intersecção de mais conjuntos, por 
exemplo, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶(lê-se: A intersecção B intersecção C) significa determinar os 
elementos que pertencem aos três conjuntos ao mesmo tempo. 
 
 Para diferenciar e compreender este novo conceito considere que uma 
universidade coletou dados referentes a mil alunos ingressantes em seus cursos 
de graduação referentes ao primeiro semestre do ano, estes números foram 
separados e classificados por gênero e por classificação dos cursos pertencentes 
às áreas de: exatas, humanas e biológicas; esses números são apresentados na 
tabela 1 abaixo: 
 
 
Tabela 1: Área de estudo versus gênero. 
Fonte: Elaborado pela autora, 2019. 
 
Nestas circunstâncias, qual seria a probabilidade de um aluno optar por 
um curso que pertença a área de exatas? E qual a probabilidade de uma pessoa, 
sendo mulher, ter escolhido estudar em um curso da área de humanas? E, por 
fim, qual a probabilidade de estudar em curso da área de biológicas, sendo 
homem? 
 Para facilitar nossos cálculos e visualizar os totais referentes à cada 
categoria, será acrescentada à tabela 1 mais uma coluna à direita da última, com 
os resultados referentes aos somatórios correspondentes a cada linha e 
adicionada outra linha, dispondo do resultado das somas referentes aos gêneros, 
que estão dispostos em colunas, agora, observe a tabela 2, com estes dados e as 
modificações indicadas. 
 
Tabela 2: Área de estudo versus gênero com respectivos totais. 
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Fonte: Elaborado pela autora, 2019. 
 
Bem, agora será mais fácil responder aos questionamentos, lembrando 
que, para cada um destes, é necessário distinguir se a situação enquadra-se em 
uma probabilidade condicional ou um caso de probabilidade comum. Para 
descobrir a probabilidade de um aluno escolher um curso da área de exatas, é 
simples, vamos pensar... já que o sexo não foi especificado, basta realizar a 
divisão entre o total de alunos que optaram por exatas pelo total de alunos 
ingressantes no primeiro semestre, logo, obtemos a seguinte razão: 𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎𝑠) =
4571000
, logo é perceptível que a probabilidade deste evento ocorrer não depende de 
outro, ou seja, não está condicionado à existência de nenhum outro. 
Qual a probabilidade de uma pessoa sendo mulher estudar na área de 
humanas? Pois bem, perceba que foi condicionado ao evento de estudar um 
curso da área de humanas, porém ser mulher, logo, é um caso que devemos 
utilizar da definição de probabilidade condicional e por isso deve ser solucionada 
pela relação apresentada anteriormente, assim𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
=
95
520
=
19
104
. 
O último questionamento proposto também é uma situação em que é 
necessário utilizar o conceito de probabilidade condicional, pois é solicitada a 
probabilidade de estudar na área de biológicas, dada a condição de ser homem, 
observe que a ocorrência de um evento possui uma dependência com o 
acontecimento do outro, assim: 𝑃(𝐵/𝐴) =
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝐵)
=
68
480
=
17
120
. 
É possível perceber que nestes dois casos em que o sexo foi definido, 
representa uma probabilidade diferente caso não houvesse sido imposta esta 
condição. Qual é a probabilidade de um estudante ser de humanas? Note que 
este evento é independente de qualquer outro, logo temos: 𝑃(ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠) = 
232
1000
. 
Voltando para o caso em que uma mulher precisa ser estudante de humanas é 
𝑃(𝐵/𝐴) = 
19
104
 já calculada anteriormente. Agora compare os resultados, qual é 
maior? 
 
1.2. Dependência e independência de eventos. 
 
Em alguns contextos que se fundamentam eventos probabilísticos 
encontramos problemas em que a chance de determinado evento interfere ou 
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não na ocorrência de outros; Larson e Farber (2016) definem, formalmente, como 
eventos independentes, quando um deles não interfere na probabilidade da 
ocorrência do outro, caso contrário, os eventos são ditos dependentes entre si. 
Castanheira (2013) formaliza que um evento A é dito independente de um evento 
B, se a probabilidade de A equivale a probabilidade condicional de A, dado B, ou 
seja, 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵)e, por consequência, se A é independente de B e B é 
independente de A, logo: 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴). 
A maior aplicação do conceito de dependência e independência de eventos 
está na igualdade expressa por: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)(lê-se probabilidade de A 
intersecção B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B), que 
reconhece que, sendo dois eventos independentes, a intersecção entre eles é 
representada pelo produto entre a probabilidade do evento A pela probabilidade 
de ocorrência do evento B. 
Neste momento, vamos praticar este conceito, que é importantíssimo na 
probabilidade e permite a fácil resolução de problemas que se adequam a 
diversos casos? 
Considere as situações abaixo e classifique-as como dependentes ou 
independentes e, em seguida, justifique suas respostas. 
❏ Jogar um dado de seis lados (A) e tirar um 2 e jogar uma 
moeda e sair cara (B); 
❏ Selecionar uma rainha em um baralho sem reposição (A) e 
tirar uma carta de ouros do baralho (B); 
❏ Tirar uma bola preta em uma urna que contém dez bolas 
pretas (A) e ganhar em um jogo de azar (B). 
Para classificar tais acontecimentos e outros, como eventos dependentes 
ou eventos independentes, devemos analisar se a ocorrência de um vai interferir 
na ocorrência do outro: 
❏ O evento A ( tirar um ao jogar um dado) não interfere na ocorrência 
do evento B (sair cara ao jogar uma moeda), pois jogar o dado é uma 
situação e jogar uma moeda, outra, logo, estes eventos são 
independentes, eles não possuem nenhuma relação; 
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❏ Observe que o evento A (tirar uma rainha em um baralho) e o B (tirar 
uma carta de ouros no baralho) são relacionados ao mesmo 
conjunto de cartas, logo, se retirar uma carta, no caso, uma rainha, 
este acontecimento vai interferir no outro, pois teremos uma carta a 
menos no espaço amostral, assim, são ditos eventos dependentes; 
❏ Retirar uma bola em uma urna, que representa o evento A, e apostar 
em um jogo de azar (evento B) são eventos distintos e não 
ocasionam intervenção UM no outro, logo, são classificados como 
eventos independentes. 
1.3. Teorema de Bayes 
O teorema de Bayes é fundamentado no conceito de probabilidade 
condicional, descrito e analisado anteriormente, pois relacionam raciocínios 
contrários, assim, é necessário conhecer a base de um para compreender a 
dinâmica do outro. 
A probabilidade condicional trabalha com a probabilidade de ocorrer um 
evento B sob a condição de ocorrer seu antecedente A; enquanto que, o teorema 
de Bayes trata a probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de ocorrer o 
evento B que sucede A. 
 Freund (2009) descreve que, formalmente, o Teorema de Bayes é utilizado 
se 𝐵1,𝐵2,. . . , 𝑒 𝐵𝑘são eventos mutuamente excludentes, ou seja, a intersecção é 
nula, dos quais um deve ocorrer, logo: 
𝑃(𝐵𝑖/𝐴) =
𝑃(𝐵𝑖) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵𝑖)
𝑃(𝐵1) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵1) + 𝑃(𝐵2) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵2) + . . . + 𝑃(𝐵𝑘) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵𝑘)
 
Para 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑜𝑢 𝑘. 
Observe que os símbolos 𝑃(𝐵1/𝐴) E 𝑃(𝐴/𝐵1) podem ter aparência similar, 
mas há grande diferença no que eles representam e em seu significado no 
contexto do exercício proposto, por isso, atenção para identificar e calcular seus 
valores. 
 
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Você Sabia? O treinador de beisebol Billy Beane ficou mundialmente famoso por 
otimizar a performance do seu time através do uso estatística e análise de dados, 
sua história foi retratada no filme “Moneyball” baseado no livro de Michael Lewis 
sobre a história de Beine “Moneyball: The Art of Winning a Unfair Game”. 
Seu maior desafio foi montar este time, em 2012, pois o clube enfrentava 
dificuldades financeiras então decidiu utilizar estatística e análise de dados para 
basear as suas escolhas em dados reais, contratou um cientista para analisar as 
porcentagens de acertos de seus jogadores. 
 
Vamos colocar em prática esse importante e essencial conceito da teoria 
de probabilidades? Para isso, vamos resolver a problemática sugerida abaixo, 
como exemplo de aplicação. 
Assuma que a probabilidade de diagnosticar com sucesso a presença no 
organismo de determinada doença rara foi identificada, como sendo 0,75. 
Quando identificada esta patologia corretamente, a probabilidade de cura é 
alterada para 0,85. Se não for detectada perfeitamente essa doença, a 
probabilidade de cura é dada para 0,35. Considere que certo paciente com esta 
doença é curado, assim qual é a probabilidade de que este tenha sido 
diagnosticado corretamente? 
𝑃(𝐵1/𝐴) =
𝑃(𝐵𝑖) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵𝑖)
𝑃(𝐵1) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵1) + 𝑃(𝐵2) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵2)
=
0,75 ⋅ 0,85
0,75 ⋅ 0,95 + 0,25 ⋅ 0,35
= 0,7969
≃ 79,69% 
Assim, de acordo com o resultado acima, é possível inferir que há 
aproximadamente 79,69%, ou seja, arredondando, existem cerca de 80% de 
chances que um paciente, dentro das circunstâncias apresentadas, seja 
diagnosticado corretamente. Note que é uma probabilidade condicional, porém 
tendo em vista que um determinado evento já ocorreu, o paciente ter sido curado, 
para depois analisar se ele foi de fato diagnosticado de maneira correta. 
O teorema de Bayes é mais eficaz quando é utilizada uma série de dados 
históricos para fundamentar as previsões. Por isso, é importante continuar 
fazendo o acompanhamento e corrigir os possíveis erros de estruturação do 
método aplicado, pois pequenos erros podem propagar-se de maneira a 
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tornarem-se grandes erros, quando este teorema é utilizado, uma vez que a 
determinação incorreta de uma das probabilidades do Teorema interfere no 
resultado final. 
Você sabia? Thomas Bayes (1701-1776) foi um reverendo presbiteriano que viveu 
na Inglaterra. Em 1778, o filósofo Richard Price (1723-1791)