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Capı´tulo 6 Leis de Kirchhoff 6.1 Definic¸o˜es Em alguns casos, um circuito na˜o pode ser resolvido atrave´s de associac¸o˜es em se´rie e paralelo. Nessas situac¸o˜es geralmente sa˜o necessa´rias outras leis, ale´m da lei de Ohm, para sua resoluc¸a˜o. Estas leis adicio- nais sa˜o as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e sistema´tica de ana´lise de circuitos. Elas sa˜o duas, a saber: • Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes • Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tenso˜es Para o uso destas leis sa˜o necessa´rias algumas definic¸o˜es: • No´: e´ um ponto do circuito onde se conectam no mı´nimo treˆs elementos. E´ um ponto onde va´rias correntes se juntam ou se dividem. • Ramo ou brac¸o: e´ um trecho de um circuito com- preendido entre dois no´s consecutivos. Todos os elementos pertencentes ao ramo sa˜o percorridos pela mesma corrente ele´trica. • Malha: e´ um trecho de circuito que forma uma trajeto´ria eletricamente fechada. Figura 6.1: Circuito ele´trico com dois no´s Na figura 6.1, por exemplo, identifica-se: 1. dois no´s: B e F 2. treˆs ramos: BAEF, BDF e BCGF 3. treˆs malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA 6.2 Primeira Lei de Kirchhoff Uma boa introduc¸a˜o a` Primeira Lei de Kirchhoff ja´ foi vista no circuito paralelo. Num dado no´ entrava a cor- rente total do circuito e do mesmo no´ partiam as corren- tes parciais para cada resistor. Como no no´ na˜o ha´ possi- bilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam ao no´ e´ exatamente igual a` quantidade de cargas que saem do no´. Desta constatac¸a˜o surge o enunciado da primeira lei de Kirchhoff: “A SOMA ALGE´BRICA DAS CORRENTES EM UM NO´ E´ SEMPRE IGUAL A ZERO.” n ∑ i=0 Ii = 0 (6.1) Por convenc¸a˜o, consideram-se as correntes que en- tram em um no´ como positivas e as que saem como ne- gativas. Considere o circuito da figura 6.2. Ao se aplicar a lei de Kirchhoff das correntes aos no´s B e F, obte´m-se: No´ B: I1 + I2− I3 = 0 No´ F: −I1− I2 + I3 = 0 Observa-se que as equac¸o˜es dos no´s B e F sa˜o na re- alidade as mesmas, ou seja, a aplicac¸a˜o da lei das cor- rentes de Kirchhoff ao no´ F na˜o aumenta a informac¸a˜o sobre o circuito. Assim, o nu´mero de equac¸o˜es inde- pendentes que se pode obter com a aplicac¸a˜o da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito ele´trico e´ igual ao nu´mero de no´s menos um. Se equac¸a˜o do no´ B, isolarmos de um lado da igual- dade as correntes que chegam no no´ (nesse caso I1 e I2) e 57 CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF Figura 6.2: do outro lado as correntes que saem do mesmo no´ (nesse caso apenas a I3), temos: I1 + I2 = I3 Observando o resultado da equac¸a˜o podemos concluir que a soma das correntes que entram no no´ e´ igual a soma das correntes que saem dele. Essa e´ uma outra forma de se interpretar a primeira lei de Kirchhoff. 6.3 Segunda Lei de Kirchhoff A lei de Kirchhoff das tenso˜es e´ aplicada nas malhas. Ela ja´ foi usada no estudo dos circuitos de resistores em se´rie, onde a soma das quedas de tensa˜o nos resistores e´ igual a` f.e.m. da fonte. Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m. deve-se determinar a resultante das mesmas, ou seja, soma´-las considerando os seus sentidos relativos. Figura 6.3: Et =VAB+VBC+VCD Como a tensa˜o em um resistor pode ser calculada pela lei de Ohm, temos: E1−E2 = R1 · I+R2 · I+R3 · I +E2−E1 +R1 · I+R2 · I+R3 · I = 0 Entenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de energia na˜o-ele´trica e´ convertida para ele´trica cedendo energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em um potencial mais elevado. Nas quedas de tensa˜o as car- gas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o consumo da energia das cargas convertendo-a para uma forma de energia na˜o-ele´trica, por exemplo, calor, luz etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebe- se que toda a energia entregue a`s cargas num trecho do circuito ele´trico e´ dissipada num outro trecho. A tensa˜o, por definic¸a˜o, esta´ associada a` energia ce- dida a`s cargas ou retirada das mesmas durante o seu mo- vimento. Daı´ e´ obtido o enunciado da Segunda Lei de Kirchhoff: “A SOMA ALGE´BRICA DAS TENSO˜ES (f.e.m.s e quedas de tensa˜o) AO LONGO DE UMA MALHA ELE´TRICA E´ IGUAL A ZERO.” n ∑ i=0 Vi = 0 (6.2) Para a aplicac¸a˜o da lei de Kirchhoff das tenso˜es, faz- se necessa´rio adotar alguns procedimentos que sa˜o des- critos a seguir: 1. Atribuir sentidos arbitra´rios para as correntes em todos os ramos; 2. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre na placa maior da fonte, conforme a figura 6.4; Figura 6.4: 3. Polarizar as quedas de tensa˜o nos resistores usando a convenc¸a˜o de elemento passivo e sentido conven- cional de corrente ele´trica. Isto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de tensa˜o no resistor no terminal por onde a corrente entra no mesmo, conforme a figura 6.5; Figura 6.5: 4. Montar a equac¸a˜o percorrendo a malha e somando algebricamente as tenso˜es. O sinal da tensa˜o cor- responde ao sinal da polaridade pela qual se in- gressa no componente, independentemente do sen- tido da corrente ele´trica. De acordo com o circuito apresentado na figura 6.6, ao se aplicar a lei das tenso˜es de Kirchhoff a`s malhas ABDFEA e BCGFDB, no sentido hora´rio, obte´m-se: RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 58 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF Malha ABDFEA: R1 · I1 +E2−R2 · I2 +R4 · I1 +E1 = 0 Malha BCGFDB: −E1 +R3 · I3 +E4 +R2 · I2−E2 = 0 Figura 6.6: No circuito da figura 6.6, existe ainda mais uma ma- lha (a malha externa ABCGFEA). Nesta malha poderia ser aplicada tambe´m a lei das tenso˜es de Kirchhoff. En- tretanto, como no caso da lei das correntes, a equac¸a˜o re- sultante seria dependente das duas ja´ obtidas. Portanto, esta equac¸a˜o seria inu´til. Supondo-se que, no circuito da figura 6.6, fossem conhecidos os valores de todas as f.e.m.s das fon- tes de tensa˜o e todas as resisteˆncias, restariam como inco´gnitas as treˆs correntes. Para resolver um sis- tema de equac¸o˜es lineares com treˆs inco´gnitas sa˜o ne- cessa´rias treˆs equac¸o˜es. Uma equac¸a˜o ja´ foi obtida com a aplicac¸a˜o da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto, sa˜o necessa´rias mais duas, que podem ser obtidas pela aplicac¸a˜o da lei das tenso˜es de Kirchhoff. Em sı´ntese, pode-se concluir que, em um circuito ele´trico com r ramos e n no´s, tem-se r correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece Ne1 = n− 1 equac¸o˜es e, portanto, a lei das tenso˜es de Kirchhoff deve fornecer Ne2 = r− n+ 1 equac¸o˜es para que o problema possa ser resolvido. Por exemplo, no circuito da figura 6.6, tem-se r = 3, n = 2. Se r = 3, o nu´mero de correntes e´ 3. O nu´mero de equac¸o˜es fornecidas pela lei das correntes e´ Ne1 = 2− 1 = 1 e o nu´mero de equac¸o˜es fornecidas pela lei das tenso˜es e´ Ne2 = 3−1 = 2, conforme discutido ante- riormente. A seguir, apresenta-se um resumo para aplicac¸a˜o da LKC e LKT. Resumo para aplicac¸a˜o das Leis de Kir- chhoff 1. Identificar os no´s, ramos e malhas do circuito ele´trico; 2. Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente ele´trica; 3. Polarizar as fontes de tensa˜o; 4. Polarizar as quedas de tensa˜o nos resistores de acordo com o sentido adotado para a corrente; 5. Havendo no´s, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff, obtendo-se Ne1 equac¸o˜es (Ne1 = n−1); 6. Se o nu´mero de equac¸o˜es ainda na˜o for suficiente para resolver o circuito, aplicar a 2a Lei de Kir- chhoff, onde o nu´mero de equac¸o˜es e´ dado por Ne2 = (r−n+1); 7. Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha(s). Exemplo 6.1 : Calcule o sentido e o mo´dulo da corrente ele´trica no circuito da figura 6.7. Figura 6.7: Resoluc¸a˜o:1. Escolhe-se um sentido para a corrente ele´trica no circuito. Por exemplo, o sentido indicado na figura 10.5. 2. Polarizam-se as quedas de tensa˜o nos resistores (polaridade positiva no terminal por onde a cor- rente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal maior e´ o positivo). 3. Percorre-se a malha, somando algebricamente as tenso˜es (o sinal da tensa˜o corresponde ao sinal da polaridade da tensa˜o encontrada na entrada do componente). Estas etapas esta˜o mostradas na figura 6.8 e na equac¸a˜o abaixo. Figura 6.8: 1I+4,7I+3,3I+15−6 = 0 9I =−9 I =−1A RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 59 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I significa que o sentido escolhido para ela esta´ invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente ele´trica I e´ para baixo na figura 6.8 e na˜o para cima como foi arbi- trado no inı´cio da resoluc¸a˜o. Exemplo 6.2 : No circuito da figura 6.9, calcule os valo- res das correntes I1, I2 e I3 a partir dos valores das f.e.m.s e das resisteˆncias ele´tricas usando as leis de Kirchhoff. Figura 6.9: Resoluc¸a˜o: 1. O circuito possui 2 no´s, 3 ramos e 3 malhas. 2. Os sentidos de corrente e polaridades foram arbi- trados conforme 6.10. Figura 6.10: 3. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das correntes tem- se apenas uma equac¸a˜o obtida em relac¸a˜o aos no´s, pois nos dois no´s a equac¸a˜o sera´ a mesma: I1 + I2− I3 = 0 4. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tenso˜es, tem-se duas equac¸o˜es obtidas pelas malhas: Malha ACDA: Comec¸ando pelo no´ A, percorrendo a malha no sentido hora´rio e chegando novamente ao no A tem-se: +4I1 +12−36 = 0 Malha ABCA: Comec¸ando pelo no´ A, percorrendo a malha no sentido hora´rio e chegando novamente ao no A tem-se: +3,3I2 +2,7I2−4I1 = 0 5. Fica-se enta˜o com treˆs equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas, o que nos permite encontrar o valor de cada uma das correntes. Enta˜o, simplificando-se as equac¸o˜es e colocando-as na forma de um sistema, obte´m-se: I1 +I2 −I3 = 04I1 = 24−4I1 +6I2 = 0 6. Existem va´rios me´todos para se resolver um sis- tema de equac¸o˜es. Nesse caso foi usado o me´todo da substituic¸a˜o: Da segunda equac¸a˜o obte´m-se: I1 = 24 4 = 6A Substituindo-se o valor de I1 na terceira equac¸a˜o obte´m-se: −4 ·6+6I2 = 0; Logo: I2 = 24 6 = 4A Enta˜o, substituindo-se os valores de I1 e I2 na pri- meira equac¸a˜o obte´m-se: 6+4− I3 = 0; Logo: I3 = 10A 6.4 Te´cnica da Ana´lise de Malhas Partindo das Leis de Kirchhoff, va´rias te´cnicas foram desenvolvidas com o objetivo de facilitar a resoluc¸a˜o de circuitos ele´tricos. Uma das mais conhecidas e´ a Te´cnica de Ana´lise de Malhas que sera´ estudada nesta sec¸a˜o. Consideremos enta˜o o circuito da figura 6.11, em que foi atribuı´da uma corrente em cada ramo. Figura 6.11: Circuito para ana´lise de malhas Pela aplicac¸a˜o da Lei de Kirchhoff das correntes temos: I1− I2− I3 = 0 Isolando-se I3: I3 = I1− I2 Logo, podemos indicar as correntes no circuito desprezando a existeˆncia de I3, pois esta pode ser escrita como I1 − I2. Enta˜o as correntes no circuito ficam como na figura 6.12. Consideremos agora, o mesmo circuito com uma li- geira modificac¸a˜o, utilizaremos correntes de malha. RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 60 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF Figura 6.12: Circuito sem a corrente I3 Definimos correntes de malha como a corrente que flui apenas no perı´metro de uma malha. A corrente de malha e´ indicada por uma seta curva que quase fecha em si mesma sem cortar nenhum ramo. Por convenieˆncia, as correntes de malha sa˜o colo- cadas sempre no sentido hora´rio e, a lei de Kirchhoff das tenso˜es, tambe´m e´ aplicada nesse mesmo sentido. Utilizando-se essa te´cnica, na˜o e´ necessa´rio a aplicac¸a˜o da lei de Kirchhoff das correntes, o que simplifica a resoluc¸a˜o do circuito. Portanto, as correntes de malha sa˜o indicadas no cir- cuito analisado conforme a figura 6.13. Figura 6.13: Circuito com correntes de malha Conforme foi comentado anteriormente, para resolver o circuito e encontrar o valor das correntes, basta aplicar a lei de Kircchoff das tenso˜es a`s malhas da figura 6.13. Como no ramos central passam duas correntes de malha, o valor real da corrente que circula nesse ramo e´ a diferenc¸a entre as correntes de malha. Enta˜o as equac¸o˜es das malhas fica assim: Malha A: −42+6IA+3(IA− IB) = 0 Simplificando-se a equac¸a˜o resulta em: 9IA−3IB = 42 Malha B: −10+3(IB− IA)+4IB = 0 Apo´s simplificac¸a˜o fica-se com: −3IA+7IB = 10 Enta˜o, para encontrar o valor das correntes, deve- se resolver o seguinte sistema de equac¸o˜es:{ 9IA −3IB = 42 −3IA +7IB = 10 O me´todo da soma e´ um dos mais simples para se resolver sistemas com duas equac¸o˜es, pore´m so´ e´ possı´vel sua utilizac¸a˜o quando as equac¸o˜es sa˜o dispos- tas de forma que, ao subtrair ou somar os polinoˆmios das equac¸o˜es, todas as inco´gnitas, exceto uma, se anulam. Muitas vezes e´ necessa´rio multiplicar uma das equac¸o˜es por algum valor de modo que essa situac¸a˜o ocorra. Esse e´ o caso do sistema de equac¸o˜es deste exemplo. Enta˜o devemos multiplicar a segunda equac¸a˜o por 3, ficando com:{ 9IA −3IB = 42 −9IA +21IB = 30 Enta˜o, somando-se as duas equac¸o˜es do sistema, tem-se: 18IB = 74 Logo: IB = 4A Substituindo-se o valor de IB na primeira equac¸a˜o temos: 9IA−3(4) = 42 Enta˜o: IA = 6A A corrente de malha IA corresponde a` corrente I1 do circuito da figura 6.11. Enquanto a corrente IB corresponde a` corrente I2. Pore´m para obtermos a corrente I3 (que passa no ramos central) e´ necessa´rio subtrair as duas correntes, ou seja: I3 = IA− IB = 6−4 = 2A Como o valor de IA e´ maior do que IB, enta˜o o sentido correto da corrente I3 e´ o pro´prio sentido de IA. 6.5 Execı´cios 1. Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura 6.14. 2. Determine os valores das tenso˜es desconhecidas no circuito da figura 6.15 3. Calcule o valor da corrente I no circuito da fi- gura 6.16 4. Calcule o valor da resisteˆncia do resistor R3 no cir- cuito da figura 6.17. 5. Sabendo que a corrente atrave´s do resistor R3 no circuito da figura 6.18 vale 4A, calcule os valores e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R3. RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 61 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF Figura 6.14: Figura 6.15: Figura 6.16: Figura 6.17: Figura 6.18: 6. Calcule os valores das correntes I2 e I3 e do resis- tor R2, no circuito da figura 6.19, sabendo que a intensidade da corrente I1 vale 0,2A. Figura 6.19: 7. Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura 6.20. Figura 6.20: 8. Calcule os valores das correntes I1 e I2 no circuito da figura 6.21. 9. No circuito da figura 6.22, calcule o valor da cor- rente I. 10. No circuito da figura 6.23, calcule os valores da tensa˜o VS e da resisteˆncia R. 11. Determine a poteˆncia dissipada em R1 e R2 do cir- cuito da figura 6.24. RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 62 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF Figura 6.21: Figura 6.22: Figura 6.23: Figura 6.24: 12. Qual deve ser o valor do resistor R para que a cor- rente no ramo AB da figura 6.25 seja nula? Figura 6.25: Respostas dos exercı´cios nume´ricos 1. I1 = 1A; I2 = 18A; I3 = 9A 2. V1 = 11V ; V2 = 2V ; V3 =−1V 3. I = 0,3A 4. R3 = 1Ω 5. I1 = 4A; I2 = 0; R3 = 1,5Ω 6. I2 = 0,8A; I3 = 0,6A; R2 = 2,5Ω 7. I1 = 6A; I2 = 4A; I3 = 10A 8. I1 = 9A; I2 = 1,5A 9. I = 3A para cima 10. Vs = 14V ; R= 4Ω 11. P1 = 20mW ; P2 = 22,5mW 12. R= 26kΩ RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 63 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL
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