Eletricidade Aplicada Leis de Kirchhoff

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DESCRIÇÃO 
Introdução ao estudo em eletricidade aplicada para análise de 
circuitos elétricos em corrente contínua (CC) com base na Lei de 
Kirchhoff das correntes (LKC) e Lei de Kirchhoff das tensões 
(LKT). 
PROPÓSITO 
Compreender os conceitos fundamentais de grandezas elétricas 
em CC e das leis básicas de Kirchhoff, assim como a aplicação 
dessas leis na solução de problemas com circuitos elétricos. 
PREPARAÇÃO 
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta 
para anotações e, se possível, uma calculadora científica para 
facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos 
elétricos. 
OBJETIVOS 
Módulo 1 
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das 
correntes 
Módulo 2 
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das 
tensões 
INTRODUÇÃO 
NOÇÕES DE ELETRICIDADE 
BÁSICA – LEIS DE KIRCHHOFF 
 
AVISO: orientações sobre unidades de medida. 
 
MÓDULO 1 
 
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das 
correntes 
LEI DE KIRCHHOFF DAS 
CORRENTES 
PRIMEIRAS PALAVRAS 
Os conceitos básicos envolvidos na teoria de circuitos elétricos 
são essenciais em cursos de Engenharia. Dificilmente alguma 
área técnica não abordará grandezas e leis que regem os 
princípios da eletricidade básica, já que os circuitos elétricos 
também são de utilidade para a modelagem de sistemas diversos 
de energia em virtude das técnicas matemáticas aplicadas e de 
suas configurações físicas envolvidas. 
A partir da modelagem dos componentes, como resistores, 
indutores e capacitores, bem como do conhecimento das 
principais grandezas envolvidas em circuitos elétricos (tensão, 
corrente e potência elétrica), é possível analisar o comportamento 
desses elementos tendo como suporte as leis básicas que regem 
o funcionamento dos circuitos elétricos. 
A primeira lei estudada em eletricidade básica é a de Ohm, que 
permite relacionar a tensão e a corrente elétrica em um elemento 
do circuito; ainda por meio dessa lei, é possível derivar outras 
relações essenciais, como as de potência elétrica dissipada pelos 
elementos. 
No entanto, nem sempre a Lei de Ohm é suficiente para 
solucionar completamente as grandezas de um circuito elétrico – 
principalmente no caso de circuitos que contêm diversos 
componentes interligados. 
O comportamento dos elementos de um circuito elétrico é regido 
por duas relações algébricas muito importantes entre as 
grandezas tensão e corrente (conhecidas na teoria de circuitos 
como Leis de Kirchhoff). 
A LKT e a LKC, enunciadas por Gustav 
Kirchhoff em 1848, são nada mais que a 
aplicação do princípio de conservação da 
energia presente em um circuito elétrico, 
como será demonstrado ao longo deste 
material. 
Para compreender as Leis de Kirchhoff e suas aplicações na 
solução de circuitos, é necessário entender alguns conceitos 
básicos relacionados à topologia de redes elétricas, ou seja, a 
forma como os elementos são conectados entre si. Dessa forma, 
é fundamental que sejam definidos os seguintes conceitos: 
Ramo 
Representação de um elemento único conectado entre dois nós. 
Um exemplo de ramo pode ser um resistor, um indutor ou uma 
fonte de tensão a ser conectada entre dois nós. 
Nó 
É o ponto de conexão entre ramos, ou seja, a junção de dois ou 
mais ramos (elementos) do circuito. Se um fio (condutor) ideal 
conecta dois nós, esses nós constituem um único nó (curto-
circuito). 
Laço 
É o caminho fechado em um circuito (circuito fechado). Um laço 
inicia-se em um nó, percorre uma série de outros nós e retorna 
ao nó de partida sem passar por qualquer outro mais de uma vez. 
O laço também é conhecido por malha de um circuito. 
A quantidade de nós e laços (malhas) de um circuito depende de 
sua topologia, de modo que é possível estabelecer uma relação 
entre tais quantidades e o número de ramos presentes. Essa 
relação é o teorema fundamental da topologia de rede descrito 
pela equação 1: 
�=�+�-1 
(1) 
A equação 1 relaciona a quantidade de b ramos, n nós e l laços 
independentes que devem satisfazer ao teorema da topologia de 
rede. 
A partir da topologia de rede, pode-se dizer que: 
Dois ou mais componentes da rede são ligados em série se eles 
compartilham exclusivamente um único nó e, portanto, estão 
submetidos à mesma corrente elétrica. 
Dois ou mais componentes da rede são ligados em paralelo se 
eles estão conectados aos mesmos dois nós e, desse modo, 
estão submetidos à mesma tensão elétrica entre eles. 
Exemplo 1 
O circuito da figura 1 demonstra visualmente a presença de três 
laços (malhas). Com base na equação do teorema fundamental 
da topologia de rede, encontre o número de laços a partir da 
identificação dos ramos e dos nós presentes nesse circuito. 
Figura 1. Ilustração de um circuito elétrico com três malhas. 
Clique no botão para ver as informações. 
SOLUÇÃO 
LEI DE KIRCHHOFF DAS 
CORRENTES (LKC) 
A primeira Lei de Kirchhoff, direcionada à relação de correntes no 
circuito (LKC), também conhecida como Lei dos Nós, diz que a 
soma algébrica das correntes que entram em um nó deve ser 
zero, ou seja, a soma daquelas que entram em um nó deve ser 
igual à das correntes que saem dele, conforme ilustra a figura 2. 
Normalmente, consideram-se as correntes que chegam a um nó 
como positivas e as que saem dele como negativas. 
Figura 2. Lei de Kirchhoff das correntes. 
Matematicamente, a LKC pode ser descrita pela equação 2: 
íí∑�=1���=0 → ∑��������=∑���í�
� 
(2) 
Em que N é o número de ramos conectados ao nó e �� é a 
enésima corrente que entra (ou sai) desse nó. Na figura 2, a 
corrente �1 está entrando no nó (sinal positivo), enquanto as 
correntes �2 e �3 estão saindo dele (sinal negativo). 
Portanto: 
�1 – �2 – �3 = 0 
 
�1 = �2 + �3 
(3) 
É importante destacar que a Lei de Kirchhoff das correntes 
também pode ser aplicada a um segmento fechado de circuito, 
conforme ilustra a figura 3, pois um nó genericamente é uma 
superfície fechada reduzida a um ponto. Dessa forma, de acordo 
com a equação 2, a corrente total que entra pela superfície 
fechada é igual à total que sai dessa superfície. 
Figura 3. Correntes em uma superfície fechada. 
DIVISOR DE CORRENTE 
Sabe-se que a corrente elétrica sempre buscará o caminho de 
menor resistência para percorrer. No entanto, quando o circuito 
apresenta vários caminhos com resistência, essa corrente se 
divide entre esses ramos. Evidentemente, pela Lei de Ohm, os 
caminhos com menor resistência apresentarão as maiores 
parcelas da corrente dividida. Pelo mesmo raciocínio, se os 
ramos apresentarem resistências iguais, a corrente elétrica se 
dividirá igualmente entre os elementos. 
Resumindo 
Pode-se dizer, portanto, que a razão entre os valores das 
correntes em dois ramos será inversamente proporcional àquela 
entre suas resistências. 
Considere o circuito ilustrado na figura 4 composto por uma fonte 
de tensão e dois resistores ligados em paralelo: �1 e �2. Por 
estarem ligados em paralelo, os resistores estão submetidos à 
mesma tensão. 
Figura 4. Circuito divisor de corrente. 
�=�1�1=�2�2 
 
�1=��1 �2=��2 
(4) 
Aplicando a LKC no nó a, obtém-se a corrente total que vem da 
fonte: 
�=�1+�2 
(5) 
Substituindo a equação 4 na 5, tem-se: 
�=��1+��2=�1�1+1�2=���� 
(6) 
Em que ��� é denominada resistência equivalente dos 
resistores ligados em paralelo. 
1���=1�1+1�2 → 1���=�1+�2�1�2 
(7) 
A resistência equivalente de dois resistores ligados em 
paralelo é dada pelo produto dessas resistências dividido 
pela sua soma. 
���=�1�2�1+�2 
(8) 
Geralmente, é mais conveniente utilizar a condutância do 
elemento em vez da resistência para se lidar com componentes 
ligados em paralelo a fim de evitar operações matemáticas com 
frações. A partir da equação 7, a condutância equivalente para 
um circuito com N resistores ligados em paralelo é dada por: 
���=�1+�1+�2+…+�� 
 
Em 
que ���=1���, �1=1�1, �2=1�2, �3=1�
1 ��=1��. 
(9) 
A condutância equivalente de resistores ligados em paralelo 
é dada pela soma de suas condutânciasindividuais. 
Dessa forma, a condutância equivalente dos resistores ligados 
em paralelo pode ser encontrada da mesma forma que a 
resistência equivalente para aqueles ligados em série. 
Analogamente, a condutância equivalente para os ligados em 
série pode ser encontrada da mesma forma que a resistência 
equivalente para os ligados em paralelo. 
Uma forma genérica de encontrar a condutância equivalente é 
dada pela equação 10: 
1���=1�1+1�2+1�31+…+1�� 
(10) 
A partir da corrente total i que entra no nó a, é possível obter as 
correntes �1 e �2. 
�=����=��1�2�1+�2 
(11) 
Ao combinar as equações 4 e 8, vê-se que: 
�1=�2��1+�2 , �2=�1��1+�2 
(12) 
Percebe-se, portanto, que a corrente total é compartilhada pelos 
resistores de forma inversamente proporcional às resistências. 
Esse comportamento ilustra o princípio denominado divisão de 
corrente. O circuito da figura 4 é conhecido por circuito divisor de 
corrente. 
Exemplo 2 
Considere o circuito ilustrado na figura 5 composto por uma fonte 
de corrente e dois resistores ligados em paralelo. Determine o 
valor da corrente elétrica que circula pelos resistores R1 e R2. 
Figura 5. Circuito do exemplo 2. 
Clique no botão para ver as informações. 
SOLUÇÃO 
Inicialmente, esse problema pode ser entendido sem a 
necessidade das equações do princípio de divisão de corrente. 
Basta lembrar que a corrente será dividida entre os resistores do 
circuito de forma inversamente proporcional à sua respectiva 
resistência ao longo de todo o circuito paralelo. 
Como o valor da resistência de R2 é duas vezes maior que a de 
R1, sabe-se que a corrente que circula por �2 é duas vezes 
menor (metade) do que a que circula por R1. 
�2=0,5�1 
Utilizando agora o princípio de divisão de corrente, obtém-se: 
Para o resistor R1 
�1=48+46=2 � 
Para o resistor R2 
�2=88+46=4 � 
A soma das duas correntes deve ser igual à corrente da fonte 
para estar de acordo com a Lei de Kirchhoff das correntes: 
��=6=�1+�2 
MÉTODO DOS NÓS PARA 
CIRCUITOS COM FONTE DE 
CORRENTE 
A partir dos conceitos fundamentais sobre o comportamento de 
circuitos elétricos com base na Lei de Kirchhoff das correntes 
(LKC) e da Lei de Ohm, apresentaremos nesta seção uma 
importante técnica para a resolução de circuitos elétricos. 
O Método dos Nós, também conhecido por 
Lei dos Nós ou Análise Nodal, baseia-se na 
LKC para formular o problema a ser resolvido 
matematicamente, o que permite inclusive 
sua solução por programas computacionais 
de simulação. 
É importante destacar que são duas as Leis de Kirchhoff: de 
correntes (LKC) e tensões (LKT). No entanto, o objetivo deste 
módulo concentra-se nos estudos da primeira lei, a LKC, de 
modo que as análises referentes à segunda lei (LKT) serão feitas 
no módulo 2 deste material. 
A aplicação do Método dos Nós permite a solução de qualquer 
circuito linear a partir da resolução simultânea de um conjunto de 
equações lineares. Tendo em vista o princípio de conservação de 
energia regido pela Lei de Kirchhoff das correntes e das relações 
da Lei de Ohm, esse método utiliza as tensões nodais como 
variáveis do problema e determina as equações para a solução 
dos circuitos. 
Dica 
A utilização de tensões nodais é conveniente, pois reduz o 
número de equações que devem ser resolvidas. 
Para iniciar o Método dos Nós, é necessário adotar um nó de 
referência no circuito. Apesar de não ser uma regra, normalmente 
adota-se o nó de terra (GND) como referência, que é designado 
com potencial zero. 
A figura 6 ilustra as simbologias tradicionalmente utilizadas para 
indicar um nó de referência: 
Figura 6. Simbologia comum para nó de referência. 
Quando o potencial da terra é usado como referência, utiliza-se a 
simbologia de (a) e (b). Se o potencial de referência for a carcaça 
de um equipamento, por exemplo, será utilizada a simbologia de 
(c). 
Dessa forma, em um circuito contendo N nós, ao definir um como 
referência, tem-se N -1 nós cujas tensões são variáveis do 
problema a serem determinadas, ou seja, N -1 equações devem 
ser escritas para a solução do circuito. 
Os passos para aplicação do Método dos Nós são: 
Determinar um nó como referência e atribuir a variável de tensão 
(v1,v2,...,vn-1) para os N -1 nós restantes. 
Aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes em cada um dos N -1 
nós, exceto o de referência. Utilize a Lei de Ohm para expressar 
as correntes nos ramos em termos de tensões nodais. 
Resolver as equações simultâneas para obter as tensões nodais. 
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do Método dos Nós em um 
circuito elétrico: 
Exemplo 3 
Considere o circuito da figura 7. Utilizando o Método dos Nós, 
encontre as equações necessárias para determinar as tensões 
nodais no circuito. 
Figura 7. Circuito para o exemplo 3. 
Clique no botão para ver as informações. 
SOLUÇÃO 
Após a definição do nó de referência (nó 0, em que v = 0), é 
necessário atribuir as tensões nodais nos N -1 nós restantes. O 
circuito possui outros dois nós, de modo que são atribuídas 
respectivamente as tensões �1 e �2 
Essas tensões são dadas em relação ao nó 
de referência, ou seja, cada tensão nodal é a 
elevação dela a partir da tensão do nó de 
referência. 
A partir da aplicação da LKC nos nós 1 e 2, é possível expressar 
a relação entre as correntes das fontes (�1 e �2) e as que 
circulam pelos resistores �1, �2 e �3. Essas correntes são 
facilmente encontradas na figura 8. 
Figura 8. Correntes no circuito do exemplo 3. 
LKC do nó 1: 
�1=�2+�1+�2 
LKC do nó 2: 
I2+i2=i3 
Por fim, basta aplicar a Lei de Ohm para representar essas 
correntes em termos de tensões nodais. É importante lembrar 
que, em elementos passivos como resistores, a corrente flui do 
maior para o menor potencial, o que pode ser feito por: 
�=�+-�-� 
As correntes que circulam pelos resistores �1, �2 e �3 são 
dadas por: 
�1=�1-0�1 
 
�2=�1-�2�2 
 
�3=�2-0�3 
Substituindo as expressões de corrente, vê-se que: 
�1=�2+�1�1+�1-�2�2 
 
�2+�1-�2�2=�2�3 
Para finalizar a análise do circuito, basta resolver as equações 
lineares encontradas simultaneamente por meio da utilização de 
qualquer método matemático padrão de solução de sistemas 
lineares. Um método muito utilizado é o de Cramer, que utiliza 
uma formulação matricial para representar as equações. 
A solução para esse circuito também pode ser encontrada em 
termos das condutâncias dos elementos. Dessa maneira, as 
expressões são representadas por: 
�1=�2+�1�1+�2�1-�2 
 
�2+�2�1-�2=�3�2 
A representação matricial do sistema de equações obtidas é dada 
por: 
�1+�2-�2-�2�2+�3�1�2=�1-�2�2 
A solução fornecerá as tensões v1 e v2 dos nós do circuito. 
MÉTODO DOS NÓS PARA 
CIRCUITOS COM FONTES DE 
TENSÃO 
Em circuitos elétricos contendo fontes de tensão, a aplicação do 
Método dos Nós requer uma atenção especial. Das duas 
possibilidades que podem ocorrer, uma delas pode facilitar a 
análise. 
São elas: 
Clique nas barras para ver as informações. 
POSSIBILIDADE 1 
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre o nó de 
referência e outro nó qualquer (que não seja de referência). 
Na figura 9, por exemplo: 
 
�1=10 � (13) 
 
Figura 9. Circuito com superno. 
Percebe-se, portanto, que, nesse caso, a tensão do nó 1 já é 
automaticamente conhecida. Isso facilita a análise e reduz o 
número de equações a serem solucionadas. 
POSSIBILIDADE 2 
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre dois nós 
que não são de referência. Nesses casos, em que se denomina a 
existência de um supernó, também é necessária a aplicação da 
Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), a qual, como frisamos, será 
detalhada no módulo 2. É importante retornar a esta seção ao 
final dos estudos das duas Leis de Kirchhoff para um melhor 
entendimento. 
Um supernó ocorre quando uma fonte de 
tensão é conectada entre dois nós que não 
são nós de referência e quaisquer elementos 
ligados em paralelo com ele. 
Na figura 9, os nós 2 e 3 formam um supernó. Com base nos 
mesmos passos demonstrados parao Método dos Nós para 
circuitos com fontes de corrente, é possível solucionar o circuito. 
Deve-se observar que, para aplicar a Lei de Kirchhoff das 
correntes, é necessário conhecer as correntes em cada elemento 
do circuito; no entanto não é possível, a princípio, conhecer a 
corrente que circula por uma tensão nodal. 
Assim, a partir do conceito de supernó, tem-se o seguinte: 
�1+�4=�2+�3 
 
�1-�22+�1-�34=�2-08+�3-06 
(14) 
Com auxílio da Lei de Kirchhoff das tensões para o supernó, o 
circuito da Figura 9 pode ser redesenhado conforme a Figura 10. 
Figura 10. Aplicação da LKT em um superno. 
−�2+5+�3=0→�2−�3=5 
(15) 
Assim, a partir das equações 13, 14 e 15, é possível obter as 
tensões nodais. 
Atenção 
Em um supernó, a fonte de tensão fornece uma equação de 
restrição necessária para encontrar as tensões nodais. 
Um supernó não possui tensão própria. 
Na análise de circuitos com supernó, deve-se aplicar tanto a LKC 
como a LKT. 
 
MÃO NA MASSA 
1. A Figura 11 ilustra parte de um circuito elétrico em 
que diversas correntes circulam pelos ramos. 
Considerando os conceitos relacionados à primeira Lei 
de Kirchhoff (LKC), as correntes �3 e �4 valem 
respectivamente: 
Figura 11. Mão na massa - exercício 1. 
 
3A e 5A 
 
6A e 2A 
 
7A e 8A 
 
5A e 7A 
 
4A e 8A 
Comentário 
A alternativa correta é "C". 
O segmento de circuito ilustrado possui duas junções 
representadas pelos nós a e b. É possível encontrar as correntes 
incógnitas com apenas uma equação por nó aplicando a Lei de 
Kirchhoff das correntes: 
Para o nó a: 
í∑Ientrada=∑Isaída 
 
I1+I2=I3 
 
3 A+4 A= I3 
 
I3=7 A 
Para o nó b: 
í∑Ientrada=∑Isaída 
 
I3+I5=I4 
 
7 A+1 A= I3 
 
I3=8 A 
2. Para o circuito da Figura 12, que contém uma fonte 
de tensão e três elementos resistivos ligados em 
paralelo, é possível encontrar as correntes nos ramos a 
partir da Lei de Kirchhoff das correntes. Com base nos 
conceitos dessa lei e nos valores de corrente 
apresentados na figura, a resistência de �3 é de: 
Figura 12. Mão na massa - exercício 2. 
 
27kΩ 
 
28kΩ 
 
26kΩ 
 
24kΩ 
 
25kΩ 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
3. A partir da primeira Lei de Kirchhoff e do circuito 
divisor de corrente, o valor da corrente que circula pelo 
resistor �1, ilustrado na figura 13, é de: 
 
Figura 
13. Mão na massa - exercício 3. 
 
3,48mA 
 
5,24mA 
 
6,38mA 
 
4,84mA 
 
7,36mA 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
A resistência equivalente do circuito é dada por: 
Req=11R1+1R2+1R3 
 
Req=112kΩ+13kΩ+15kΩ=967,7 Ω 
Aplicando a regra do divisor de corrente no resistor R1, sabe-se 
que: 
I1=ReqR1IT=967,7 Ω2 kΩ10 mA=0,484×10 mA=4,84
 mA 
4. Com base nas regras do circuito divisor de corrente, 
o valor da potência elétrica dissipada pelo resistor de 
2Ω da Figura 14 é de: 
 
Figura 14. Mão na massa - exercício 4. 
 
1,84 watts 
 
2,56 watts 
 
3,45 watts 
 
2,35 watts 
 
3,86 watts 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Os resistores de 3Ω e 2Ω estão em paralelo. Sua resistência 
equivalente é de: 
3Ω||2Ω=3×23+2=1,2Ω 
É possível obter a tensão no resistor de 2Ω aplicando a Lei de 
Ohm: 
i=105+1,2=1,6A 
Então 
v=1,2×i=1,2×1,6=1,92 V 
Utilizando o circuito divisor de corrente, é possível encontrar a 
corrente no resistor de 2Ω: 
i=32+3i=351,6=0,96A 
Portanto, a potência dissipada pelo resistor de 2Ω será de: 
p=v×i=1,92×0,96=1,84W 
5. Utilizando a Análise Nodal e a Lei de Kirchhoff das 
correntes, as tensões nos nós 1 e 2 ilustrados na Figura 
15 valem respectivamente: 
 
Figura 15. 
Mão na massa - exercício 5. 
 
1,5V e 4,0V 
 
2,0V e 3,5V 
 
3,0V e 4,0V 
 
3,5V e 4,5V 
 
2,5V e 5,0V 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Para o nó 1, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da 
Lei de Ohm, tem-se: 
i1=i2+i3 → 3=v1-v22+v1-01 
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a primeira 
equação do problema: 
6=v1-v2+2v1 
Ou: 
3v1-v2=6 
Para o nó 2, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da 
Lei de Ohm, sabe-se que: 
i2+i4=i1+i5 → v1-v22+5=3+v2-03 
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a segunda 
equação do problema: 
3v1-3v2+30=18+2v2 
Ou: 
3v1-5v2=-12 
Aplicando uma técnica matemática para a solução de sistemas 
lineares (exemplo: eliminação, regra de Cramer), as tensões v1 e 
v2 são respectivamente: 
v1=3,5 V v2=4,5 V 
6. O circuito da Figura 16 apresenta um supernó. Com 
base na Lei de Kirchhoff das correntes e utilizando o 
Método dos Nós, as tensões �1 e �2 valem 
respectivamente: 
Figura 16. Mão na massa - exercício 6. 
 
-4,5V e -5,0V 
 
4,5V e -5,0V 
 
-4,5V e 5,0V 
 
7,3V e 5,3V 
 
-7,3V e -5,3V 
Comentário 
A alternativa "E" está correta. 
O supernó contém a fonte de tensão de 2V e o resistor de 10Ω. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes no supernó, tem-se: 
2=i1+i2+7 
 
2=v1-02+v2-04+7 → 8=2v1+v2+28 
 
v2=-2v1-20 
Utilizemos a Lei de Kirchhoff das tensões, que é necessária para 
estabelecer a relação entre �1 e �2: 
-v1-2+v2=0 → v2=v1+2 
 
v2=v1+2=-2v1-20 
 
v1=-7,3 V v2=-5,3 V 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
Considere o circuito da Figura 17, que contém três fontes de 
corrente ligadas em direções distintas entre si. Com base na Lei 
de Kirchhoff das correntes, a expressão que melhor representa o 
valor da corrente elétrica resultante total a circular pelos 
nós ab será de: 
Figura 17. Circuito elétrico para a teoria na prática. 
Clique no botão para ver a resolução. 
RESOLUÇÃO 
Uma interessante aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes em 
circuitos práticos é a possibilidade de associação de diversas 
fontes de corrente em paralelo, de modo que a corrente 
resultante na carga será dada pela soma algébrica das correntes 
individuais fornecidas pelas respectivas fontes. 
��+�2+�3=�1 
Dessa forma, a corrente total que circula pelos nós ab é de : 
��=�1-�2-�3 
É importante observar que, em um circuito série, jamais haverá 
duas correntes diferentes, a menos que ambas sejam iguais 
(�1 = �2). Correntes diferentes em um circuito série violam o 
princípio fundamental da primeira Lei de Kirchhoff, a LKC. 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. A Figura 18 ilustra um circuito integrado (CI) com oito 
terminais e suas respectivas correntes elétricas. Com 
base na Lei de Kirchhoff das correntes, é possível 
afirmar que a corrente �1 tem módulo: 
 
Figura 18. 
Atividade - exercício 1. 
 
 
20mA saindo do CI. 
 
15mA entrando no CI. 
 
20mA entrando no CI. 
 
15mA saindo do CI. 
 
10mA saindo do CI. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "D" está correta. 
 
 
A Lei de Kirchhoff das correntes diz que: 
í∑��������=∑���í�� 
�1+4 ��+6 ��+10 ��+7 ��=4 ��+3 ��+5
 �� 
 
�1+27 ��=12 �� 
 
�1=-15 �� 
Isso significa que a corrente �1 tem módulo 15mA saindo do CI. 
2. Para o circuito da Figura 19, o valor da tensão �1 é: 
Sugestão: Utilize o Método dos Nós para solucionar o 
problema. 
 
Figura 19. Atividade - exercício 2. 
 
 
5V 
 
25V 
 
20V 
 
15V 
 
10V 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "C" está correta. 
 
 
O circuito possui apenas dois nós: o nó �1 e o referência. Pela 
Lei de Ohm, sabe-se que: 
�2=�1�2 , �1=�1-24�1 
Pela Lei de Kirchhoff das correntes, vemos que: 
�=�1-246+�112 
Substituindo I = 1 A, a tensão �1 será: 
�1=20� 
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MÓDULO 2 
 
Analisar circuitos elétricos por meio da Lei de Kirchhoff das 
tensões 
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
PRIMEIRAS PALAVRAS 
Conforme destacamos no módulo 1, as Leis de Kirchhoff são 
essenciais para representar o comportamento de circuitos 
elétricos e estabelecer relações entre correntes e tensões nos 
diversos elementos de rede, como, por exemplo, resistores, 
capacitores, indutores e até mesmo fontes de alimentação, como 
as fontes de tensão e as de corrente. 
Inicialmente, apresentamos a primeira Lei de Kirchhoff conhecida 
como Lei de Kirchhoff das correntes (LKC). Neste módulo, 
falaremos sobre a segunda lei: a Lei de Kirchhoff das tensões 
(LKT). 
Atenção 
Os conceitos de ramo, nóe laço (malha) são igualmente 
importantes e necessários para o entendimento da segunda Lei 
de Kirchhoff. 
LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
(LKT) 
A partir do conceito de laço ou malha, a segunda Lei de Kirchhoff 
permite avaliar as variáveis de um circuito a partir de caminhos 
fechados, ou seja, a análise começa em determinado ponto, 
desloca-se pelos elementos presentes na malha e retorna ao 
ponto de partida original. 
Por exemplo, na Figura 20, um caminho fechado será observado 
se a corrente elétrica deixar o ponto d até o ponto a percorrendo 
a fonte de tensão e, em seguida, seguindo de b até c através do 
resistor até retornar ao ponto d. Percebe-se que a soma 
resultante de elevações e quedas de tensão será igual a zero. 
Figura 20. Lei de Kirchhoff das tensões. 
Considerando que as elevações de tensão sejam representadas 
por um sinal positivo e as quedas de tensão, por um negativo, a 
sequência da Figura 20 resulta matematicamente na equação 16: 
+�-�1-�2=0 
(16) 
A equação 16 deixa evidente que a tensão aplicada em um 
circuito de CC em série é igual à soma das quedas de tensão nos 
elementos conectados ao longo do circuito. A Lei de Kirchhoff das 
tensões (LKT) expressa que a soma algébrica das tensões ao 
longo de um caminho fechado, ou malha, é zero. 
Matematicamente, a LKT pode ser representada pela equação 
17: 
çõçõ∑������çõ��=∑������� → ∑�=
1���=0 
 
Em que M é o número de tensões na malha e vm, a 
m-ésima tensão. 
(17) 
Exemplo 1 
Considere o circuito da figura 21. Os sinais nas tensões de cada 
elemento dizem respeito à polaridade do terminal encontrado 
quando a corrente elétrica percorre a malha independentemente 
de tal circulação se dar no sentido horário ou no anti-horário. 
Figura 21. Circuito de um laço ilustrando a LKT. 
Clique no botão para ver as informações. 
SOLUÇÃO 
No sentido anti-horário, as tensões seriam, na ordem, -
 �1, + �2, + �3, - �4 � + �5. Dessa forma, a Lei de Kirchhoff 
das tensões (LKT) para esse circuito é representada por: 
-�1+�2+�3-�4+�5=0 
Reorganizando os termos, verifica-se que: 
�2+�3+�5=�1+�4 
Este exemplo ilustra de forma clara que a soma das quedas de 
tensão é igual, conforme descrevemos anteriormente, à soma 
das elevações de tensão. 
Quando um circuito contiver fontes de tensão conectadas em 
série, a Lei de Kirchhoff das tensões poderá ser utilizada para 
encontrar a tensão total equivalente mediante a soma algébrica 
de cada tensão individual. No circuito da Figura 22, por exemplo, 
as três fontes �1, �2 � �3 podem ser substituídas por uma 
fonte equivalente Vab após a aplicação da LKT no trecho ab. 
Figura 22. Fontes de tensão em série e circuito equivalente. 
DIVISOR DE TENSÃO 
A Lei de Kirchhoff das tensões demonstra que a soma das 
tensões por meio dos elementos do circuito será sempre igual à 
das tensões aplicadas, ou seja, das fontes de alimentação. Além 
disso, essa tensão será dividida entre os resistores do circuito de 
forma proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo 
o circuito em série. Desse modo, quanto maior for a resistência 
do elemento, maior será a tensão à qual estará submetido. 
O circuito ilustrado na Figura 24 representa um circuito com uma 
fonte de tensão e dois resistores ligados em série, de modo que 
apenas a corrente i circula por ambos (uma única corrente de 
malha). 
Figura 24. Circuito de uma malha com dois resistores em série. 
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, obtém-se o 
seguinte: 
�1=��1 , �2=��2 
(18) 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões à malha e arbitrando 
que a corrente circule no sentido horário, vê-se que: 
-�+�1+�2=0 
(19) 
Relacionando as equações 18 e 19: 
�=�1+�2=��1+�2 
�=��1+�2 
(20) 
A equação 20 pode ser modificada, pois os dois resistores podem 
ser substituídos por um resistor equivalente: 
�=���� 
(21) 
Em que: 
���=�1+�2 
(21) 
A resistência equivalente em um circuito com N resistores 
ligados em série é a soma algébrica das resistências 
individuais desses elementos. 
Para N resistores: 
���=�1+�2+…+��=∑�=1��� 
(22) 
As tensões individuais em cada resistor podem ser encontradas 
substituindo a equação 18 na 20: 
�1=�1�1+�2� , �2=�2�1+�2� 
(23) 
É importante observar que a tensão da fonte v foi dividida entre 
as resistências de forma proporcional à sua resistência conforme 
demonstramos anteriormente. Esse equacionamento é conhecido 
como divisão de tensão, de modo que o circuito da figura 24 é 
conhecido como circuito divisor de tensão. 
Se o circuito tiver N resistores ligados em série, a tensão sob o n-
ésimo resistor será dada genericamente por: 
��=���1+�2+…+��� 
(24) 
Exemplo 2 
Considere o circuito ilustrado na Figura 25 composto por uma 
fonte de tensão e dois resistores ligados em série. Determine o 
valor da queda de tensão nos resistores �1 e �2. 
Figura 25. Circuito em série do exemplo 2. 
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SOLUÇÃO 
MÉTODO DAS MALHAS PARA 
CIRCUITOS COM FONTES DE 
TENSÃO 
De modo semelhante ao Método dos Nós demonstrado no 
módulo 1, o Método das Malhas é outra maneira de solucionar 
circuitos elétricos a partir da segunda Lei de Kirchhoff. No Método 
das Malhas, utilizam-se as correntes circulantes como variáveis 
do problema. 
Como as variáveis são as correntes de malha, e não as correntes 
dos elementos, o número de equações a ser resolvido torna-se 
substancialmente menor, facilitando a análise do circuito elétrico. 
Método dos Nós 
Utiliza-se a Lei de Kirchhoff das correntes para encontrar as 
varáveis de tensão nodal. 
Método das malhas 
Emprega-se a Lei de Kirchhoff das tensões para determinar as 
variáveis de correntes de malha. 
É importante destacar que, para que o método agora 
apresentado possa ser efetivamente aplicado, o circuito elétrico 
não deverá ter cruzamento de ramos entre si, configurando-se 
como um circuito denominado planar. A Figura 26 ilustra dois 
circuitos, sendo que o primeiro é caracterizado como planar e o 
segundo, por sua vez, como não planar. 
Figura 26. Circuito planar e não planar. 
No segundo circuito, percebe-se que não existe uma maneira de 
redesenhá-lo sem que haja um cruzamento de ramos, o que faz 
com que ele seja configurado como não planar. Apesar de não 
ser possível utilizar o Método de Malhas, os circuitos não 
planares podem ser solucionados normalmente mediante o 
emprego do Método dos Nós. 
No Método das Malhas, o interesse está em aplicar a Lei de 
Kirchhoff das tensões em circuitos planares sem a presença de 
fontes de corrente. Casos especiais em que o circuito pode 
conter essas fontes serão tratados mais adiante. 
Para um circuito contendo N malhas, são necessários os 
seguintes passos: 
Atribuir as correntes de malha �1, �2, �3,....in para todas as n 
malhas do circuito. 
Aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para cada malha n. 
Utilizar a Lei de Ohm para expressar as tensões nos elementos 
em termos da corrente de malha. 
Resolver as n equações simultâneas para obter as correntes de 
malha. 
Para entender o método das malhas, considere o exemplo a 
seguir: 
Exemplo 3 
O circuito da figura 27 contém duas fontes de tensão 
(�1 e �2 e �3) e três resistores (�1, �2) alocados em duas 
malhas. Aplique o método das malhas para encontrar as 
correntes de malha �1 e �2. 
Figura 27. Circuito do exemplo 3. 
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SOLUÇÃO 
Seguindo os passos a serem aplicados no Método das Malhas, 
primeiramente deve-se atribuir as correntes elétricas às duas 
malhas do circuito: �1 e �2. De forma arbitrária, essas correntes 
circulam no sentido horário (importante: pode-se arbitrar que as 
correntes circulem no sentido anti-horário desde que todas as 
correntes do circuito sejam invertidas na análise). 
No segundo passo, aplica-se a Lei de Kirchhoff das tensões 
(LKT) em cada malha: 
Malha 1 
-�1+�1�1+�3�1-�2=0 
�1+�3�1-�3�2=�1 
Malha 2 
�2�2+�2+�3�2-�1=0 
-�3�1+�2+�3�2=-�2 
Rearranjando os termos nas expressões descritas para reduzir as 
equações de malha,é possível escrevê-las na forma matricial: 
�1+�3-�3-�3�2+�3�1�2=�1-�2 
O último passo é a solução das equações simultâneas utilizando 
qualquer método matemático padrão de solução de sistemas 
lineares. Um método muito usado é o de Cramer, que emprega 
uma formulação matricial para representar as equações. 
Se um circuito possui n nós, b ramos e l malhas independentes, 
então tem-se o seguinte: 
�=�-�+1 
Dessa forma, são necessárias l equações simultâneas para 
solucionar o circuito a partir do Método das Malhas. 
Atenção 
As correntes nos ramos serão diferentes das correntes de malha 
– exceto se a malha for isolada. Considerando i como corrente de 
malha e I como corrente de ramo para a figura 27, verifica-se 
que: 
 
�1=�1 , �2=�2 , �3=�1-�2 
MÉTODO DAS MALHAS PARA 
CIRCUITOS COM FONTES DE 
CORRENTE 
Apesar de, a princípio, parecer uma análise mais difícil, aplicar o 
Método das Malhas a circuitos contendo fontes de corrente 
poderá ser mais fácil que na forma anteriormente demonstrada. 
A análise contendo esse tipo de fonte pode ser feita para duas 
situações distintas: 
Clique nas barras para ver as informações. 
SITUAÇÃO 1 
Circuitos em que existe fonte de corrente em apenas uma malha. 
Figura 28. Circuito com fonte de corrente. 
Ao atribuir as correntes de malha, percebe-se que diretamente 
tem-se a corrente �2=-5�. As equações das malhas são 
facilmente obtidas. Por substituição, a corrente �1 pode ser 
encontrada. 
 
−10+4�1+6(�1−�2)=0→�1=−2� 
(25) 
SITUAÇÃO 2 
Circuitos em que a fonte de corrente está presente em duas 
malhas. Nesse caso, tem-se a chamada supermalha. 
Uma supermalha ocorre quando duas malhas possuem uma 
fonte de corrente em comum. 
Figura 29. Circuito com: (a) duas malhas e fonte de corrente comum; (b) supermalha. 
A supermalha ocorre a partir do compartilhamento do ramo que 
contém a fonte de corrente das malhas 1 e 2. A análise de 
malhas requer o conhecimento da tensão em cada ramo; no 
entanto, não é possível, a princípio, conhecer a tensão em uma 
fonte de corrente. 
Desse modo, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) na 
supermalha, sabe-se que: 
 
−20+6�1+10�2+4�2=0 
 
6�1+14�2=20 
(26) 
Com o auxílio da Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) aplicada 
ao nó de interseção das malhas, tem-se: 
 
−20+6�1+10�2+4�2=0 
 
�2=�1+6 
(27) 
 
 
Resolvendo as equações 26 e 27, obtém-se o seguinte resultado: 
 
�1=−3,2�,�2=2,8� 
(28) 
Atenção 
Em uma supermalha, a fonte de corrente fornece uma equação 
de restrição necessária para encontrar as correntes de malha. 
Uma supermalha não possui corrente própria. 
Na análise de circuitos com supermalha, deve-se aplicar tanto a 
LKT como a LKC. 
 
MÃO NA MASSA 
1. Considere o circuito da Figura 30. Com base na Lei 
de Kirchhoff das tensões (LKT), os valores das quedas 
de tensão nos resistores �1 e �2 são respectivamente 
de: 
Figura 30. Mão na massa - exercício 1. 
 
-8V e -12V 
 
8V e 12V 
 
-8V e 12V 
 
-12V e 8V 
 
8V e -12V 
Comentário 
A alternativa "E" está correta. 
Para encontrar as tensões em �1 e �2, basta aplicar a Lei de 
Ohm nos resistores e a LKT na malha do circuito. Considerando 
que a corrente I flua pela malha no sentido horário, tem-se: 
Pela Lei de Ohm 
V1=4I , V2=-6I 
Pela LKT 
-20+V1-V2=0 
 
-20+4I+6I=0 → 10I=20 →I=2A 
Substituindo nas expressões de tensão, encontra-se o seguinte: 
V1=8V , V2=-12V 
2. Para o circuito da Figura 31, a tensão à qual o 
resistor �2 está submetido é de: 
 
Figura 31. Mão na massa - exercício 2. 
 
8V 
 
10V 
 
12V 
 
15V 
 
6V 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
O circuito contém uma fonte de tensão em série com os 
resistores �1, �2 e �3. Dessa forma, trata-se de um circuito 
com apenas uma malha, o que permite encontrar a tensão 
em �2 apenas aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões: 
Considerando o sentido horário para a corrente de malha: 
Vs+V1+V2+V3=0 
Isolando a tensão �2: 
V2=Vs-V1-V3=30-8-10 
V2=12 V 
Perceba que o valor da resistência de R2 não foi importante no 
cálculo da tensão pela LKT, já que as outras tensões eram 
conhecidas. 
3. Com base na Lei de Kirchhoff das tensões e no 
princípio de divisão de tensão, as tensões nos 
resistores �1 e �3 da figura 32 são respectivamente 
de: 
 
Figura 32. Mão na massa - exercício 3. 
 
5V e 12V 
 
8V e 16V 
 
10V e 6V 
 
4V e 8V 
 
15V e 9V 
Comentário 
A alternativa "B" está correta. 
Primeiramente, deve-se encontrar a resistência total do circuito 
série: 
��=�1+�2+�3 
 
RT=2 kΩ+3 KΩ+4 KΩ=9kΩ 
Com base no circuito divisor de tensão, as tensões �1 e �3 são: 
V1=R1RTVs=2 kΩ9 kΩ36 V=8 V 
 
V3=R3RTVs=4 kΩ9 kΩ36 V=16 V 
4. A Figura 33 ilustra simplificadamente um circuito com 
uma fonte de tensão de 12 volts e dois resistores (de 
2Ω e 1Ω) ligados em série. A partir da regra de divisão 
de tensão, o valor da tensão �x em relação à 
referência é de: 
 
Figura 33. Mão na massa - 
exercício 4 
 
4 volts 
 
6 volts 
 
8 volts 
 
5 volts 
 
3 volts 
Comentário 
A alternativa "A" está correta. 
Caso seja necessário, a figura 33 pode ser redesenhada no 
formato de uma malha fechada utilizando o símbolo de uma fonte 
de tensão. Ao aplicar o princípio de divisão de tensão, vê-se que 
a tensão �x é a tensão sob o resistor �2: 
��=�2�1+�2��=12+112 → ��=4 � 
5. O Método das Malhas, que é um dos métodos mais 
utilizados para a solução de variáveis em circuitos 
elétricos, dispõe que o somatório das tensões em um 
caminho fechado deve ser nulo. Com base nos 
conceitos do método descrito, as correntes �1 e �2 a 
circular nas malhas 1 e 2 do circuito da Figura 34 são 
respectivamente de: 
 
Figura 34. Mão na massa - exercício 5. 
 
4A e 1A 
 
3A e 2A 
 
1A e 2A 
 
2A e 3A 
 
3A e 1A 
Comentário 
A alternativa "C" está correta. 
6. A partir da aplicação do Método das Malhas e da Lei 
de Kirchhoff das tensões para a solução de circuitos, as 
correntes �1, �2 e �3 do circuito ilustrado na Figura 
35 valem respectivamente: 
 
Figura 35. Mão na massa - exercício 6. 
 
3A, 2A e 1A. 
 
2A, 1A e 1A. 
 
0A, 1A e 2A. 
 
1A, 1A e 0A. 
 
2A, 0A e 3A. 
Comentário 
A alternativa "D" está correta. 
Para a solução, as correntes de malha serão adotas 
como �1 e �2. 
Aplicando-se inicialmente a LKT na malha 1: 
-15+5�1+10�1-�2+10=0 
 
3�1-2�2=1 
Aplicando-se agora a LKT na malha 2: 
6�2+4�2+10�2-�1-10=0 
 
�1=2�2-1 
Aplicando, por fim, o método da substituição para a solução de 
sistemas lineares, tem-se que: 
�2=1 � 
Consequentemente: 
�1=�1=1 �, �2=�2=1 �, �3=�1-�2=0 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
Considere o circuito da Figura 35. Com o auxílio da Lei de 
Kirchhoff das tensões, o valor da tensão no resistor R1 é de: 
Figura 36. Circuito elétrico para a teoria na prática. 
Clique no botão para ver a resolução. 
RESOLUÇÃO 
A Lei de Kirchhoff das tensões é um conceito muito importante na 
solução de problemas com circuitos elétricos. Com base no 
princípio de conservação de energia e conhecimento das tensões 
ao longo de uma malha, é possível encontrar grandezas nos 
elementos do circuito. 
Para o circuito da Figura 23, a tensão desconhecida referente ao 
resistor �1 pode ser obtida simplesmente aplicando o conceito 
elementar da Lei de Kirchhoff das tensões em torno de um 
caminho fechado, o que inclui as duas fontes de tensão: 
çõçõ∑������çõ��=∑������� → ∑�=
1���=0 
Considerando o sentido horário para corrente de malha, verifica-
se que: 
��1-��1-��2-��2=0 
 
��1=��1-��2-��2 
 
��1=15-3,2-10=1,8 � 
É possível observar que, utilizando a LKT, não é necessário 
conhecer o valor dos resistores ou da corrente que circula para 
determinar uma tensão se os valores das outras quedas de 
tensão estão disponíveis. 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Considere o circuito da Figura 37. Com base na Lei 
de Kirchhoff das tensões (LKT), o valor da tensão Vx é 
de: 
Figura 37: Atividade - exercício 1. 
 
20V 
 
15V 
 
12V 
 
18V 
 
24V 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "A" está correta. 
 
 
A tensão Vx no circuito nãoé de apenas um elemento resistivo, e 
sim entre dois pontos distintos. Basta aplicar a Lei de Kirchhoff 
das tensões na malha: 
��-�1-��=0 
 
��=��-�1=32-12=20 � 
2. O circuito da Figura 38 pode ser solucionado por 
meio do Método das Malhas. As correntes �1 e �2, 
referentes às correntes de malha, são: 
Figura 38: Atividade - exercício 2. 
 
2,25A e 0,41A 
 
3,33A e -0,67A 
 
-3,45A e 1,28A 
 
1,85A e -0,67A 
 
-3,33A e 2,45A 
Comentário 
Parabéns! A alternativa "B" está correta. 
 
 
Inicialmente, deve-se arbitrar o sentido das correntes de malha, 
como, por exemplo, o sentido horário. É possível perceber que a 
fonte de corrente no meio do circuito fornece uma supermalha. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões, tem-se: 
20-6�1-4�1-2�2+12=0 
 
10�1+2�2=32 
Relacionando as correntes de malha e a fonte de corrente, 
verifica-se que: 
�1=��+�2 
Por fim, aplicando o método da substituição para resolver o 
sistema com as duas equações encontradas, obtém-se isto: 
�1=3,33 � , �2=-0,67 � 
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CONCLUSÃO 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A solução de circuitos elétricos é essencial para o entendimento 
de diversas disciplinas de Engenharia. A aplicação da eletricidade 
básica em circuitos parte essencialmente das leis básicas de 
circuito, como a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff. 
Tendo isso em vista, apresentamos neste conteúdo os conceitos 
básicos relacionados à Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e à 
de Kirchhoff das tensões (LKT). A partir do conhecimento dessas 
leis elementares, salientamos que é possível equacionar os 
circuitos elétricos para o cálculo de grandezas de interesse, como 
tensão, corrente elétrica e potência elétrica nos elementos. 
Demonstramos ainda a aplicação das Leis de Kirchhoff na 
solução de circuitos por meio dos métodos de análise que se 
baseiam nas correntes dos nós e tensões de malhas. A análise 
nodal tem como princípio básico a Lei de Kirchhoff das correntes 
e dispõe que o somatório das correntes em um nó de circuito 
deve ser zero. De forma semelhante, a de malhas tem como 
princípio a Lei de Kirchhoff das tensões e estabelece que o 
somatório das tensões em uma malha precisa ser zero. 
Por fim, observamos que, com base no princípio de conservação 
de energia e desses métodos de análise, formulam-se as 
equações lineares dos circuitos que podem ser matematicamente 
solucionadas para a obtenção das variáveis do circuito.